【课堂新坐标】高中数学苏教版选修1-1练习：3.2.1常见函数的导数

1．若f (x )＝3，则f ′(3)＝__________.2．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α等于__________．3．已知f (x )＝kx ＋3，若f ′(2)＝3，则k 等于__________．4．已知函数y ＝x 3的切线的斜率等于1 ，则这样的切线有__________条．5．曲线()f x =在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为__________．6．函数y ＝cos x ， x ∈ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上切线斜率为12的点是__________． 7．函数y ＝ln x 在点(e,1)处的切线方程为__________．8．设直线y ＝e 2x ＋b 是曲线y ＝e x的一条切线，则b ＝__________.9．求下列函数的导数： (1)51y x =；(2)2y =；(3)2sin cos 22x x y =. 10．求证：双曲线xy ＝k (k ≠0)上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数．参考答案1.答案：0 解析：∵3是常数，∴f ′(x )＝0，∴f ′(3)＝0.2.答案：4 解析：∵f ′(x )＝α·xα－1， ∴f ′(－1)＝α·(－1)α－1＝－4，∴α＝4.3.答案：3 解析：∵f ′(x )＝k ，∴f ′(2)＝k ＝3.∴k ＝3.4.答案：两 解析：设切点为(x 0，x 03).∵y ′＝3x 2，∴3x 02＝1，∴03x =±，即切点有两个，故斜率为1的切线有两条. 5.答案：34- 解析：∵f ′(x )＝(x －34)′＝3744x --， ∴f ′(1)＝34-. 而直线倾斜角的正切值就是直线的斜率，由导数的几何意义知，斜率为34-，∴正切值为34-.6.答案：π6⎛- ⎝⎭解析：设切点为(x 0，y 0)，x 0∈ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ∵y ′＝－sin x ，∴－sin x 0＝12， 又∵x 0∈ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴0π6x =-.当0π6x =-时，0y =∴切点为π6⎛- ⎝⎭.7.答案：x －e y ＝0 解析：∵y ＝ln x ，∴1y'x =， ∴在点(e,1)处的切线斜率为1e k =， ∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.8.答案：－e 2 解析：设切点为(x 0，y 0)，则由y ′＝e x ，∴02e e x ＝，∴x 0＝2，代入y ＝e x 得y 0＝e 2.又∵y 0＝e 2x 0＋b ，∴b ＝e 2－2e 2＝－e 2.9.答案：解：(1)∵y ＝51x ＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝65x -. (2)∵322y x ==，∴31223()2y'x 'x ===(3)∵y ＝2sin cos 22x x ＝sin x ，y ′＝(sin x )′＝cos x . 10.答案：证明：设双曲线上任一点P (x 0，0k x ). ∵k y x =，∴2k y'x =-，∴当x ＝x 0时，导数20k y'x =-， ∴过点P 的切线方程为()0200k k y x x x x -=--. 令y ＝0，则x ＝2x 0；令x ＝0，则02k y x =. ∴三角形的面积 S ＝12|x |·|y |＝12|2x 0|·02k x ＝2|k |(常数)， ∴问题得证.。

3.2.1常见函数的导数学习要求：（1）了解求函数的导数的流程图，会求函数的导函数（2）掌握基本初等函数的运算法则学习内容：一.回顾函数在某点处的导数、导函数思考：求函数导函数的流程图二.新授：例1、 求下列函数的导数①y kx b =+②2()f x x =③3()f x x =④1()f x x=⑤()f x x =思考：你能根据上述①～⑤发现什么结论？总结：教师适当补充相应的公式，如平方差、立方差公式，对于⑤而言：()()10)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x+-+-+-++→===+-++++当时，这种技巧很重要，需要强调；建议采用互动课堂，让学生板书并提问其他学生补充进行公式的理解记忆.几个常用函数的导数：（1）（kx+b ）=k ；（2）C ’=0；（3）x ’=1；（4）（x 2）’=2x ;（5）（1x ）’=21x- 基本初等函数的导数：（6）1()'(x x αααα-=为常数）；（7）'()ln (0,x x a a a a =>且1)a ≠，特别地，()'x x e e =；（8）11(log )'log (0,ln a a x e a x x a ==>且1)a ≠，特别地，1(ln )'x x=； （9）(sin )'cos x x =；（10）(cos )'sin x x =-.总结：这些公式可直接演示给学生，可举sinx 的导数进行板书讲解.例2、若直线y x b =-+ 为函数1y x=图像的切线，求b 及切点坐标. 提示：本题的设计思路在于结合第一节内容，求出导数后利用导数的几何意义，反求切点和切线方程.例3、直线132y x =+能作为下列函数()y f x =图像的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由（1）1()f x x =（2）1()f x x=-（3）()sin f x x =（4）()x f x e = 提示：只需求导后，看f ’（x ）能否等于12. 三.作业：（1） 在曲线24y x=上一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135. （2）当常数k 为何值时，直线y x =才能与函数2y x k =+相切？并求出切点.四.小结（1）求函数导数的方法；（2）掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式.。

3．2.1常见函数的导数学习目标 1.能用导数的定义求比较简单的幂函数的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数．知识点一幂函数与一次函数的导数思考1函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？思考2你能结合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及(x 12)′＝12x12归纳出f(x)＝x n的导数有怎样的规律吗？梳理(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)，特别地C′＝0(C为常数)．(2)(xα)′＝α·xα－1(α为常数)．知识点二基本初等函数的求导公式思考1计算过程(cos π6)′＝－sinπ6＝－12正确吗？思考2 如何利用(ln x )′推出(log a x )′？ 梳理原函数 导函数 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝x α(α为常数)f ′(x )＝αx α－1类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝log 12x ；(6)y ＝3x .。

1．若f (x )＝3，则f ′(3)＝__________.2．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α等于__________．3．已知f (x )＝kx ＋3，若f ′(2)＝3，则k 等于__________．4．已知函数y ＝x 3的切线的斜率等于1 ，则这样的切线有__________条．5．曲线在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为__________．()f x =6．函数y ＝cos x ， x ∈上切线斜率为的点是__________．ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦127．函数y ＝ln x 在点(e,1)处的切线方程为__________．8．设直线y ＝e 2x ＋b 是曲线y ＝e x 的一条切线，则b ＝__________.9．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3).51y x=y =2sin cos 22x x y =10．求证：双曲线xy ＝k (k ≠0)上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数．参考答案1.答案：0　解析：∵3是常数，∴f ′(x )＝0，∴f ′(3)＝0.2.答案：4　解析：∵f ′(x )＝α·x α－1，∴f ′(－1)＝α·(－1)α－1＝－4，∴α＝4.3.答案：3　解析：∵f ′(x )＝k ，∴f ′(2)＝k ＝3.∴k ＝3.4.答案：两　解析：设切点为(x 0，x 03).∵y ′＝3x 2，∴3x 02＝1，∴，即切点有两个，故斜率为1的切线有两条.0x =5.答案：　解析：∵f ′(x )＝(x －)′＝，34-343744x --∴f ′(1)＝.34-而直线倾斜角的正切值就是直线的斜率，由导数的几何意义知，斜率为，∴正切值34-为.34-6.答案：　解析：设切点为(x 0，y 0)，x 0∈.π6⎛- ⎝ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∵y ′＝－sin x ，∴－sin x 0＝，12又∵x 0∈，∴.ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0π6x =-当时，0π6x =-0y =∴切点为.π6⎛- ⎝7.答案：x －e y ＝0　解析：∵y ＝ln x ，∴，1y'x =∴在点(e,1)处的切线斜率为，1e k =∴切线方程为y －1＝(x －e)，即x －e y ＝0.1e8.答案：－e 2　解析：设切点为(x 0，y 0)，则由y ′＝e x ，∴，02e e x ＝∴x 0＝2，代入y ＝e x 得y 0＝e 2.又∵y 0＝e 2x 0＋b ，∴b ＝e 2－2e 2＝－e 2.9.答案：解：(1)∵y ＝＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝.51x 65x -(2)∵，∴.32y x ==31223()2y'x 'x ===(3)∵y ＝＝sin x ，y ′＝(sin x )′＝cos x .2sin cos 22x x 10.答案：证明：设双曲线上任一点P (x 0，).0k x ∵，∴，∴当x ＝x 0时，导数，k y x =2k y'x =-20k y'x =-∴过点P 的切线方程为.()0200k k y x x x x -=--令y ＝0，则x ＝2x 0；令x ＝0，则.02k y x =∴三角形的面积S ＝|x |·|y |＝|2x 0|·＝2|k |(常数)，121202k x ∴问题得证.。

常见函数的导数（一）教学目标：掌握定义法求函数法，求熟练运用基本初等函数的求导公式，求常见函数的导数 教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式课前预习：①：=+)'(b kx ②：'C (C 为常数)③：=)'(a x ④：=)'(log x a⑤：=)'(x a ⑥：=)'(x e ⑦：=)'(ln x ⑧：=)'(sin x ⑨：=)'(cos x教学过程：利用定义求①为常数）b k b kx x f ,()(+=；②2)(x x f =；③x x f 1)(=的导数。

典型例题：例1下列各项中 （ ）①：2)'12(=+x ；②：21)'2(ln =；③：)(')]'([00x f x f =④：0)]'([0=x f A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④例2一质点的运动方程是tS sin 2= ①：求3π=t 时的速度； ②：求该质点度。

例3求抛物线2x y =和直线1-=x y 间最短距离。

课堂练习：1. 用定义法推导233)'(x x =；x x 21)'(=2. 求函数x y 1=的图像在点（2，21）处的程。

3. 若直线b x y +-=是函数xy 1=图像的切线，求b 及切点坐标。

4. 若对于任意x ，有34)('x x f =，1)1(-=f ，则此函数=)(x f5. 直线321+=x y 能作为函数)(x f y =图像的切线吗不能，简述理由： ①x x f 1)(= ②4)(x x f = ③x x f sin )(= ④x e x f =)( 课堂小结：① 公式1)'(-⋅=a a x a x 的推导（利用定义）② 初等函数的导数记忆。

3.2.1 常见函数的导数课时目标1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．1．几个常用函数的导数：(kx ＋b)′＝______；C′＝______ (C 为常数)；x′＝______；(x 2)′＝______；⎝⎛⎭⎫1x ′＝________. 2．基本初等函数的导数公式：(x α)′＝________(α为常数)(a x )′＝________ (a>0，且a≠1)(log a x)′＝1xlog a e ＝________ (a>0，且a≠1) (e x )′＝________(ln x)′＝________(sin x)′＝________(cos x)′＝________一、填空题1．下列结论不正确的是________．(填序号)①若y ＝3，则y′＝0；①若y ＝1x，则y′＝－12x ； ①若y ＝－x ，则y′＝－12x； ①若y ＝3x ，则y′＝3.2．下列结论：①(cos x)′＝sin x ；①⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；①若y ＝1x 2，则f′(3)＝－227.其中正确的有______个．3．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f′0(x)，f 2(x)＝f′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f′n (x)，n①N ，则f 2 010(x)＝________.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为______________．5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为_________．6．若函数y ＝f(x)满足f(x －1)＝1－2x ＋x 2，则y′＝f′(x)＝________.7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________． 8．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是__________． 二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝log 4x 3－log 4x 2；(2)y ＝2x 2＋1x－2x ； (3)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1.10.已知曲线y ＝x 2上有两点A(1,1)，B(2,4)．求：(1)割线AB 的斜率k AB ；(2)在内的平均变化率；(3)点A 处的切线斜率k AT ；(4)点A 处的切线方程．能力提升11．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围为__________．12．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(注ln 1.05≈0.05，精确到0.01)1．求函数的导数，可以利用导数的定义，也可以直接使用基本初等函数的导数公式．2．对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决．3．2.1常见函数的导数知识梳理1．k012x－1 x22.(xα)′＝αxα－1(α为常数)(a x)′＝a x ln_a (a>0，且a≠1)作业设计1．①解析 y′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－1232x - ＝－12x x. 2．1解析 直接利用导数公式．因为(cos x)′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以①错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则f′(3)＝－227， 所以①正确．3．－sin x解析 f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f′0(x)＝cos x ，f 2(x)＝f′1(x)＝－sin x ，f 3(x)＝f′2(x)＝－cos x ，f 4(x)＝f′3(x)＝sin x ，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数， 2 011＝4×502＋3，所以f 2 010(x)＝f 2(x)＝－sin x. 4．(－1，－1)或(1,1)解析 y′＝3x 2，①k ＝3，①3x 2＝3，①x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5.110523解析 s′＝155t 4.当t ＝4时，s′＝15·1544＝110523.6．2x 解析 ①f(x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ①f(x)＝x 2，f′(x)＝2x.7．x ＋2y －3－π6＝0 解析 ①y′＝(cos x)′＝－sin x ，①k ＝－sin π6＝－12， ①在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0. 8.⎝⎛⎭⎫12，14解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则tan π4＝f′(x 0)＝2x 0，①x 0＝12. ①所求点为⎝⎛⎭⎫12，14.9．解 (1)①y ＝log 4x 3－log 4x 2＝log 4x ，①y′＝(log 4x)′＝1xln 4. (2)①y ＝2x 2＋1x －2x ＝2x 2＋1－2x 2x ＝1x. ①y′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2. (3)①y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2 x 4 ＝2sin x 2cos x 2＝sin x. ①y′＝(sin x)′＝cos x.10．解 (1)k AB ＝4－12－1＝3. (2)平均变化率Δy Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2Δx ＋Δx 2Δx ＝2＋Δx.(3)y′＝2x ，①k ＝f′(1)＝2，即点A 处的切线斜率为k AT ＝2.(4)点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.11．(－∞，0)解析 ①f′(x)＝5ax 4＋1x，x①(0，＋∞)， ①由题知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解． 即a ＝－15x 5在(0，＋∞)上有解． ①x①(0，＋∞)，①－15x 5①(－∞，0)．①a①(－∞，0)． 12．解 ①p 0＝1，①p(t)＝(1＋5%)t ＝1.05t .根据基本初等函数的导数公式表，有p′(t)＝(1.05t )′＝1.05t ·ln 1.05.①p′(10)＝1.0510·ln 1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．。

2019-2020学年苏教版数学精品资料课题：3.2.1常见函数的导数（2）姓名：一、学习目标1. 熟记常见的基本初等函数的求导公式。

2. 熟练掌握求简单函数的导数的两种方法：定义法、公式法。

3. 理解导数的几何意义，并掌握曲线的切线问题的处理的基本路径。

二、课前预习1. 列出你所知的求导公式。

2. 利用导数定义求3y x 的导数。

来源:]3. 过原点作切线x y e 的切线，则切点坐标为，切线斜率为三、课堂研讨例1：质点运动方程51s t ，求质点在t=2时的速度。

例2：求曲线1yx 和2y x 在它们交点处的两条切线与x 轴围成的三角形的面积。

例3：若直线y x b是函数1yx图象的切线，求b及切点坐标。

来源:]变式1：求曲线2y x在点（1，1）处的切线方程。

变式2：求曲线2y x过点（0，-1）的切线方程。

四、学后反思课堂检测：课题：3.2.1常见函数导数（2）姓名：1. 下列四组函数中导数相同的是①()1f x 与()f x ；②()sin ()cos f x x f x x 与；③1()()ln f x f x x x 与；④2()()2x f x x f x 与2. 函数cos y x 在3x 处的切线方程为来源:]3. 如果曲线3(0)yx x 的一条切线与直线273y x 平行，求切点坐标及切线方程。

来源:]4. 直线12y x b 能作为下列函数图象的切线吗？若能求出切点坐标，若不能，简述理由。

①1()f x x ；②()sin ;f x x 课外训练：课题：3.2.1常见函数导数（2）姓名：1. 求曲线cos y x 在点1(,)32p 处的切线方程。

2. 已知函数ln y x ，求这个函数在1x 处的切线方程。

3. 直线12y x b 能作为下列函数图象的切线吗？若能求出切点坐标，若不能，简述理由。

①()x f x e ②4()f x x 4. 若直线12y x b 是曲线ln (0)y x x 的一条切线，求实数b 的值。