8.4 与圆有关的辅助线(课时测试)-2016届九年级数学一轮复习(解析版)

莃圆专题一协助线薄 1．碰到弦时（解决相关弦的问题时）蚁经常增添弦心距，或许作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

或许连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

芈作用： 1、利用垂径定理；肅2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；莂3、利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求相关量。

螁 4、可得等腰三角形；蚈 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。

蒃例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径 ,PO⊥ AB 交⊙ O 于 P 点，弦 PN 与 AB 订交于点 M ，肁求证： PM?PN=2PO2.袁剖析：要证明PM ?PN=2PO2，即证明PM ?PC =PO 2，袅过 O 点作 OC⊥PN 于 C，依据垂经定理NC=PC ，只需证明芅 PM ?PC=PO2，要证明 PM ?PC=PO2只需证明 Rt△POC∽ Rt△PMO.袀证明 : 过圆心 O 作 OC⊥ PN 于 C，∴ PC=1PN 2羁∵ PO⊥ AB, OC ⊥PN，∴∠ MOP= ∠ OCP=90° . 芆又∵∠ OPC=∠ MPO ，∴ Rt△POC∽ Rt△PMO.蚃∴PO PC即∴ PO2= PM ?PC. ∴ PO 2= PM ? 1PN ，∴ PM?PN=2PO 2.PMPO2袃【例 1】如图，已知△ ABC 内接于⊙ O ，∠ A=45°， BC=2，求⊙ O 的面积。

A羀【例 2】如图，⊙ O 的直径为 10，弦 AB ＝8， P 是弦 AB 上一个动点，OBC蚇那么 OP 的长的取值范围是 _________．莅【例 3】如图，弦 AB 的长等于⊙ O 的半径，点 C 在弧 AMB 上，蚂则∠ C 的度数是 ________.肀2． 碰到有直径时肈经常增添（画）直径所对的圆周角。

袃作用：利用圆周角的性质，获得直角或直角三角形。

蒁例 如图，在△ ABC 中，∠ C=90 °，以 BC 上一点 O 为圆心，以OB 为半径的圆交 AB 于点 M ，交 BC于点 N ．（ 1）（ 2） 膀求证： BA · BM=BC · BN ；（ 3）（ 4）葿假如 CM 是⊙ O 的切线， N 为 OC 的中点，当 AC=3 时，求 AB 的值．薅剖析：要证 BA ·BM=BC ·BN ，需证△ ACB ∽△ NMB ，而∠ C=90°，因此需要△ NMB 中有个直角，而 BN是圆 O 的直径，因此连结 MN 可得∠ BMN=90 °。

专题30 圆的基本性质【知识要点】知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑷圆心；⑸半径，⑹其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【类型一遇弦作弦心距或半径】【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】【类型三遇切线连接圆心和切点】【典型例题】【类型一遇弦作弦心距或半径】1(2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末)如图，⊙O的半径为6cm，AB是弦，OC⊥AB 于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠，交OC于点D，若D是OC的中点，则AB的长为．【变式训练】1(2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末)如图，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么光盘的半径是cm．2(2023·湖南永州·统考中考真题)如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm．水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为cm．3(2023·甘肃庆阳·统考一模)如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2m ，净高CD =5m ，则圆形拱门所在圆的半径为m ．【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】1(2023·江苏·九年级假期作业)如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弦AC 延长线上一点，AC =CD ，DB 的延长线交⊙O 于点E ，连接CE ．(1)求证∠A =∠D ；(2)若AE的度数为108°，求∠E 的度数．【变式训练】1(2023·黑龙江佳木斯·校联考二模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC =2，∠BAC =30°，则⊙O 的直径等于．2(2023春·九年级校考阶段练习)如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD= 60°，∠AED=100°，则∠ABC=．3(2023·江苏徐州·统考一模)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，延长OD交⊙O于点E，连接AE．(1)求证：OE∥AC；(2)若AC=1，AB=4，求AE的长度．4(2023秋·辽宁大连·九年级统考期末)如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD∥BC，⊙O交BC于点E．(1)求证：CD=DE；(2)若AB=12，AD=4，求CE的长度．5(2023·浙江·模拟预测)如图，在半径为6的⊙O 中，AB 是直径．已知：∠BFC =75°，点D 是弧AB 的中点，连接CD 交AB 与点F ，作AE ⊥CD ．回答下列问题：(1)求证：点C 是弧AB 的三等分点．(2)求AE 的长．6(2022秋·浙江杭州·九年级统考期末)如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，且点E 是CD的中点，连接DE ．(1)求证：△ABC 是等腰三角形．(2)若BC =10，CE =6，求线段AD 的长．【类型三遇切线连接圆心和切点】1(2023秋·河南·九年级校联考期末)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，E 是⊙O 上不同于A ，B 的两点，过点C 的切线垂直于AE 交AE 的延长线于点D ，连接AC ．(1)求证：EC =BC ；(2)若AC =43，CE =33，则CD 的长为．【变式训练】1(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，若AC =PC ，则∠P 的度数是()A.15°B.20°C.30°D.45°2(2023·山东临沂·统考一模)如图，菱形OABC 的顶点A ，B ，C 在⊙O 上，过点B 作⊙O 的切线交OA 的延长线于点D ，若⊙O 的半径为1，则BD 的长为()A.1B.2C.2D.33(2023·浙江衢州·统考二模)如图，⊙O 的切线PC 交直径AB 的延长线于点P ，C 为切点，若∠P =30°，⊙O 的半径为3，则PB 的长为．4(2023·海南省直辖县级单位·校考三模)如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦CD 垂直AB 于点P ，过点D 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点E ．若∠ABC =63°，则∠E 等于°．5(2023·河南周口·周口恒大中学校考三模)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 为⊙O 上两点，且点D 为BC 的中点，连接AC 、CD 、BD ．过点D 作DF ⊥AB 于点F ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DE ⊥AE ；(2)若BD =10，DF =8，求CE 的长．6(2023·辽宁沈阳·校考一模)如图，AB为⊙O的直径，半径OD⊥AB，⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，⊙O的弦CD与AB相交于点F．(1)求证：EF=EC；(2)若OE=10，且B为EF的中点，求⊙O的半径长．7(2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l于点D．(1)求证：BC平分∠ABD；(2)连接OD，若∠ABD=60°，CD=3，求OD的长．8(2023·广东惠州·校考二模)如图1，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点(不与点A ，B 重合)，连接AC ，BC ．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出AB 的中点．(点C ，D 在线段AB 异侧)；(保留作图痕迹，不写作法)(2)如图2，在(1)的条件下，过点D 作⊙O 的切线，分别交CA ，CB 的延长线于点E ，F ．①求证：∠F =∠CBA ；②过C 作CM ⊥EF 于M ，CM 交AB 于点N ，若AC =3，BC =4，求CM 的长．解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【类型一遇弦作弦心距或半径】【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】【类型三遇切线连接圆心和切点】【典型例题】【类型一遇弦作弦心距或半径】1(2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末)如图，⊙O的半径为6cm，AB是弦，OC⊥AB 于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠，交OC于点D，若D是OC的中点，则AB的长为．【答案】45cm/45厘米【分析】连接BO，延长OC交弧AB于E，可证CE=CD=OD，从而可求OC=23OE=4，由BC=OB2-OC2，即可求解．【详解】解：如图，连接BO，延长OC交弧AB于E，由折叠得：CD=CE，∵D是OC的中点，∴CD=OD，∴CE=CD=OD，∴OC=23OE=4，∵OC⊥AB，∴AB=2BC，在Rt△OCB中BC=OB2-OC2=62-42=25，∴AB=45cm．故答案：45cm．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，掌握相关的性质，构建出由弦、弦心距、半径组成的直角三角形是解题的关键．【变式训练】1(2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末)如图，把一个宽度为2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm )，那么光盘的半径是cm ．【答案】5【分析】设光盘的圆心为O ，过点O 作OA 垂直直尺于点A ，连接OB ，再设OB =x ，利用勾股定理求出x 的值即可．【详解】解：设光盘的圆心为O ，如图所示：过点O 作OA 垂直直尺于点A ，连接OB ，再设OB =x ，∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，∴AB =12×10-2 =4，∵刻度尺宽2cm ，∴OA =x -2，在Rt △OAB 中，OA 2+AB 2=OB 2，即x -2 2+42=x 2，解得：x =5．故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2(2023·湖南永州·统考中考真题)如图，⊙O 是一个盛有水的容器的横截面，⊙O 的半径为10cm ．水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，则水面AB 的宽度为cm ．【答案】16【分析】过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，则AD =DB =12AB ，依题意，得出OD =6，进而在Rt △AOD 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，则AD =DB =12AB ，∵水的最深处到水面AB的距离为4cm，⊙O的半径为10cm．∴OD=10-4=6cm，在Rt△AOD中，AD=AO2-OD2=102-62=8cm∴AB=2AD=16cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3(2023·甘肃庆阳·统考一模)如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD=5m，则圆形拱门所在圆的半径为m．【答案】2.6【分析】如图所示，连接OA，设⊙O的半径为r，则OA=OC=rm，利用垂径定理得到AD=1m，再利用勾股定理建立方程r2=12+5-r，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OA，设⊙O的半径为r，则OA=OC=rm，∵CD⊥AB，AB=1m，∴AD=12由勾股定理，得：OA2=AD2+OD2，即：r2=12+5-r，解得r=2.6，∴圆拱形门所在圆的半径为2.6m，故答案为：2.6．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【类型二遇直径构造直径所对的圆周角】1(2023·江苏·九年级假期作业)如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC=CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证∠A =∠D ；(2)若AE的度数为108°，求∠E 的度数．【答案】(1)见解析(2)27°【分析】(1)连接BC ，首先证明AB =BD ，即可求解；(2)根据AE 的度数为108°，可得到∠EBA ，根据∠EBA =∠A +∠D ，且∠A =∠D ，即可求解．【详解】(1)如图：连接BC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB =90°，即AD ⊥BC又∵AC =CD∴AB =BD∴∠A =∠D ．(2)∵AE 的度数为108°∴∠EBA =54°又∵∠EBA =∠A +∠D ，且∠A =∠D∴∠A =12∠EBA =27°∴∠E =∠A =27°．【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．【变式训练】1(2023·黑龙江佳木斯·校联考二模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC =2，∠BAC =30°，则⊙O 的直径等于．【答案】4【分析】连接BO 并延长交⊙O 于D ，连接CD ，得到∠BCD =90°，根据圆周角定理得到∠D =∠BAC =30°，根据含30°角直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接BO 并延长交⊙O 于D ，连接CD ，则∠BCD =90°，∵∠BAC =30°，∴∠D =∠BAC =30°，∵BC =2，∴BD =2BC =4，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2(2023春·九年级校考阶段练习)如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，若∠ABD =60°，∠AED =100°，则∠ABC =．【答案】50°/50度【分析】连接AC ，利用三角形外角的性质即可求出∠D ，即可求出答案．【详解】解：连接AC ，如图所示，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵∠AED =100°，∠ABD =60°，∴∠D =40°，∴∠A =40°，∴∠ABC =50°，故答案为：50°．【点睛】本题考查圆与三角形的性质，正确作出辅助线是关键．3(2023·江苏徐州·统考一模)如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC ，BC ，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ．(1)求证：OE ∥AC ；(2)若AC =1，AB =4，求AE 的长度．【答案】(1)见解(2)10【分析】(1)首先根据直径的性质得到AC ⊥BC ，然后结合OD ⊥BC 即可证明出OE ∥AC ；(2)连接BE ，首先根据勾股定理求出BC =AB 2-AC 2=42-12=15，然后根据垂径定理得到CD =BD =152，利用三角形中位线的性质得到OD =12AC =12，最后利用勾股定理求解即可．【详解】(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∴AC ⊥BC ．∵OD ⊥BC ．∴OE ∥AC ；(2)解：如图，连接BE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∠AEB =90°．∴在Rt △ABC 中，BC =AB 2-AC 2=42-12=15．∵OD ⊥BC ，OE 是⊙O 的半径，∴CD =BD =152．∴OD 为△ABC 的中位线．∴OD =12AC =12．∴DE =OE -OD =2-12=32．∴BE =BD 2+DE 2=152 2+32 2=6．∴AE =AB 2-BE 2=42-6 2=10；【点睛】此题考查了垂径定理的运用，勾股定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．4(2023秋·辽宁大连·九年级统考期末)如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交AC 于D 且OD ∥BC ，⊙O 交BC 于点E ．(1)求证：CD =DE ；(2)若AB =12，AD =4，求CE 的长度．【答案】(1)证明见解析(2)83【分析】(1)由四边形ABED 内接于⊙O ，得出∠DEC =∠A ，根据已知OD ∥BC ，得出∠C =∠ADO ，又OA =OD ，得出∠A =∠ADO ，等量代换得出∠C =∠DEC ，根据等角对等边，即可得证；(2)根据AB 为直径，得出∠AEB =90°，根据已知以及(1)的结论，得出AC =2AD =8，AB =BC =12，设CE =x ，则BE =12-x ，在Rt △ACE ,Rt △ABE 中，根据AE 相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】(1)证明：∵四边形ABED 内接于⊙O ，∴∠DEB +∠A =180°，又∠DEB +∠DEC =180°∴∠DEC =∠A ，∵OD ∥BC ，∴∠C=∠ADO，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠C=∠DEC，∴CD=DE；(2)解：如图所示，连接AE，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∴∠CAE+∠C=90°，∠AED+∠DEC=90°，由(1)CD=DE，∠C=∠DEC，∴∠CAE=∠AED，∴AD=DE，∴AD=DC，∴AC=2AD=8，由(1)可得∠BAC=∠ADO，∠C=∠ADO，则∠C=∠BAC，∴AB=BC=12，设CE=x，则BE=12-x，∵AC2-CE2=AB2-BE2，∴82-x2=122-(12-x)2，解得：x=8 3，∴CE=83．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．5(2023·浙江·模拟预测)如图，在半径为6的⊙O中，AB是直径．已知：∠BFC=75°，点D是弧AB 的中点，连接CD交AB与点F，作AE⊥CD．回答下列问题：(1)求证：点C是弧AB的三等分点．(2)求AE的长．【答案】(1)证明见解析(2)36【分析】(1)如图所示，连接OD，OC，BC，由AB是直径，点D是弧AB的中点，得到∠AOD=∠BOD= 90°，再由圆周角定理得到∠BCD=45°，利用三角形内角和定理求出∠FBC=60°，即可证明△BOC是等边三角形，得到∠BOC =60°，再由AB 是直径，即可证明点C 是弧AB 的三等分点；(2)先由直径所对的圆周角是直角得到∠ACB =90°，再由等边三角形的性质得到BC =OA =6，利用勾股定理求出AC =63，由圆周角定理得到∠ACD =45°，即可推出∠CAE =45°=∠ACE ，则AE =CE =22AC =36．【详解】(1)证明：如图所示，连接OD ，OC ，BC ，∵AB 是直径，点D 是弧AB 的中点，∴∠AOD =∠BOD =90°，∴∠BCD =12∠BOD =45°，∵∠BFC =75°，∴∠FBC =180°-∠FCB -∠BFC =60°，∵OB =OC ，∴△BOC 是等边三角形，∴∠BOC =60°，又∵AB 是直径，∴点C 是弧AB 的三等分点；(2)∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∵△BOC 是等边三角形，∴BC =OA =6，∴AC =AB 2-BC 2=63，∵∠ACD =12∠AOD =45°，AE ⊥CD ，∴∠CAE =45°=∠ACE ，∴AE =CE =22AC =36．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．6(2022秋·浙江杭州·九年级统考期末)如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，且点E 是CD的中点，连接DE ．(1)求证：△ABC 是等腰三角形．(2)若BC =10，CE =6，求线段AD 的长．【答案】(1)证明见解析(2)AD =365【分析】(1)连接BE ，根据直径所对的圆周角为直角，得出BE ⊥AC ，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出BE 是∠ABC 的角平分线，然后再根据等腰三角形的判定定理，即可得出结论；(2)连接CD ，根据勾股定理，得出BE =8，再根据三角形的面积公式，结合等腰三角形的性质，得出S △ABC =2S △BCE =48，再根据三角形的面积公式，得出S △ABC =12AB ⋅CD =12×10×CD =48，解得CD =485，再根据勾股定理，得出BD =145，然后根据线段之间的数量关系，即可得出答案．【详解】(1)证明：如图，连接BE ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BEC =90°，∴BE ⊥AC ，∵点E 是CD的中点，∴DE =CE ，∴∠DBE =∠CBE ，∴BE 是∠ABC 的角平分线，∴△ABC 是等腰三角形；(2)解：如图，连接CD ，在Rt △BCE 中，∵BC =10，CE =6，∴BE =BC 2-CE 2=8，∴S △BCE =12CE ⋅BE =12×6×8=24，又∵BE ⊥AC ，△ABC 是等腰三角形，∴BE 是△ABC 的中线，AB =BC =10，∴S △ABC =2S △BCE =48，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC =90°，∴CD ⊥AB ，∴S △ABC =12AB ⋅CD =12×10×CD =48，解得：CD =485，∴BD =BC 2-CD 2=145，∴AD =AB -BD =10-145=365．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和等面积法．【类型三遇切线连接圆心和切点】1(2023秋·河南·九年级校联考期末)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，E 是⊙O 上不同于A ，B 的两点，过点C 的切线垂直于AE 交AE 的延长线于点D ，连接AC ．(1)求证：EC =BC ；(2)若AC =43，CE =33，则CD 的长为．【答案】(1)见解析(2)1235【分析】(1)连接CO ，可证AD ∥OC ，从而可证∠DAC =∠CAB ，即可求证．(2)过C 作CF ⊥AB 交AB 于F ，可求BC =33，AB =AC 2+BC 2，12AC ⋅BC =12AB ⋅CF ，接可求解．【详解】(1)证明：如图，连接CO ，∵CD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，∴AD ∥OC ，∴∠DAC =∠ACO ，∵AO =CO ，∴∠CAB =∠ACO ，∴∠DAC =∠CAB ，∴EC =BC ．(2)解：过C 作CF ⊥AB 交AB 于F ，由(1)得：∠DAC =∠CAB ，∴CE =BC =33，∵CD ⊥AE ，∴CD =CF ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，AB =AC 2+BC 2=43 2+33 2=53，∵12AC ⋅BC =12AB ⋅CF ，∴43×33=53CF ，解得：CF =1253，∴CD =1253；故答案：1253．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理等，作出适当的辅助线，掌握相关的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC=PC，则∠P的度数是()A.15°B.20°C.30°D.45°【答案】C【分析】连结OC，根据切线的性质得到∠PCO=90°，根据OC=OA，得到∠A=∠OCA，根据AC=PC，得到∠P=∠A，在△APC中，根据三角形内角和定理可求得∠P=30°．【详解】解：如图，连结OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∵OC=OA，∴∠A=∠OCA，∵AC=PC，∴∠P=∠A，设∠A=∠OCA=∠P=x°，在△APC中，∠A+∠P+∠PCA=180°，∴x+x+90+x=180，∴x=30，∴∠P=30°．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，体现了方程思想，在△APC中，根据三角形内角和定理求∠P是解题的关键．2(2023·山东临沂·统考一模)如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D，若⊙O的半径为1，则BD的长为()A.1B.2C.2D.3【答案】D【分析】连接OB，根据菱形的性质得到OA=AB，求得∠AOB=60°，根据切线的性质得到∠DBO=90°，即可得到结论．【详解】解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB，∵OA=OB，∴OA=AB=OB，∴∠AOB=60°，∵BD是⊙O的切线，∴∠DBO=90°，∵OB=1，∴BD=3OB=3，故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练切线的性质定理是解题的关键．3(2023·浙江衢州·统考二模)如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P= 30°，⊙O的半径为3，则PB的长为．【答案】3【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCP=90°，再根据30°所对的直角边是斜边的一半计算即可；【详解】如图，连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥CP，即∠OCP=90°，又∠P=30°，⊙O的半径为3，∴OP=2CO=6，∴PB=6-3=3．故答案是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．4(2023·海南省直辖县级单位·校考三模)如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD垂直AB于点P，过点D 作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E．若∠ABC=63°，则∠E等于°．【答案】36【分析】连接OD ，根据直角三角形的性质求出∠PCB ，根据切线的性质得到∠ODE =90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接OD ，∵弦AB ⊥CD ，∴∠CPB =90°．∵∠ABC =63°，∴∠PCB =90°-63°=27°，由圆周角定理得，∠EOD =2∠PCB =54°，∵DE 是⊙O 的切线，∴∠ODE =90°，∴∠E =90°-54°=36°；故答案为：36．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．5(2023·河南周口·周口恒大中学校考三模)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 为⊙O 上两点，且点D 为BC 的中点，连接AC 、CD 、BD ．过点D 作DF ⊥AB 于点F ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DE ⊥AE ；(2)若BD =10，DF =8，求CE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】(1)连接OD 、AD ，由点D 为BC的中点可得∠BAD =∠CAD ，BD =CD ，再根据同圆的半径相等得∠BAD =∠ODA ，进而得到OD ∥AE ，然后再根据切线的性质得到结论；(2)根据勾股定理求出BF 的长，再根据圆内接四边形的性质得到∠B =∠DCE ，即可得到△DCE ≌△DBF AAS ，从而得出结果．【详解】(1)证明：连接OD 、AD ，∵点D 为BC 弧的中点，∴BD =CD ，∴∠BAD =∠CAD ，BD =CD ，∵OA =OD ，∴∠BAD =∠ODA ，∴∠CAD =∠ODA ，∴OD ∥AE ，∵OD 为⊙O 的半径，DE 为⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ，即：OD ⊥DE ，∴DE ⊥AE ．(2)解：∵DF ⊥AB ，BD =10，DF =8，由勾股定理得：BF =BD 2-DF 2=102-82=6，∵四边形ABDC 内接于⊙O ，∴∠B =∠DCE ，由(1)可知：∠E =90°，∴∠E =∠DFB =90°，在△DCE 和△DBF 中，∠E =∠DFB =90°∠DCE =∠BDC =DB∴△DCE ≌△DBF AAS ，∴CE =BF =6【点睛】本题考查圆的切线性质，圆内接四边形的性质，弦、弧、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的有关性质．6(2023·辽宁沈阳·校考一模)如图，AB 为⊙O 的直径，半径OD ⊥AB ，⊙O 的切线CE 交AB 的延长线于点E ，⊙O 的弦CD 与AB 相交于点F ．(1)求证：EF =EC ；(2)若OE =10，且B 为EF 的中点，求⊙O 的半径长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)连接OC ，根据切线的性质得到OC ⊥CE ，求得∠OCF +∠ECF =90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCF =∠ODF ，求得∠ODF +∠OFD =90°，得到∠ECF =∠OFD ，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；(2)设⊙O 的半径为r ，则OB =OC =r ，求得BE =BF =10-r ，根据勾股定理即可得到结论．【详解】(1)证明：连接OC ，，∵⊙O 的切线CE 交AB 的延长线于点E ，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，即∠OCF+∠ECF=90°，∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∵OD⊥AB，∴∠DOF=90°，∴∠ODF+∠OFD=90°，∴∠ECF=∠OFD，∵∠OFD=∠EFC，∴∠ECF=∠EFC，∴EF=EC；(2)解：设⊙O的半径为r，则OB=OC=r，∵OE=10，B为EF的中点，∴BE=BF=10-r，EC=EF=20-2r，在Rt△OCE中，OC2+CE2=OE2，∴r2+20-2r2=102，解得：r=6或r=10(舍去)，∴⊙O的半径长为6．【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．7(2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l于点D．(1)求证：BC平分∠ABD；(2)连接OD，若∠ABD=60°，CD=3，求OD的长．【答案】(1)证明见解析(2)7【分析】(1)连接OC，求得OC∥BD，得到∠OBC=∠CBD，即可求得BC平分∠ABD．(2)连接AC，求得∠ACB=90°，在Rt△BDC中，求得BC=23；在Rt△ACB中，AB=2AC，OC=2；在Rt△OCD中，利用勾股定理可求得OD=7．【详解】(1)证明：如图，连接OC．∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l于点C．∴∠OCD=90°．∵BD⊥l于点D，∴∠BDC =90°．∴∠OCD +∠BDC =180°．∴OC ∥BD ．∴∠OCB =∠CBD ．∵OC =OB ，∴∠OBC =∠OCB ．∴∠OBC =∠CBD ．∴BC 平分∠ABD ．(2)解：连接AC ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵∠ABD =60°，∴∠OBC =∠CBD =12∠ABD =30°．在Rt △BDC 中，∵∠CBD =30°，CD =3，∴BC =2CD =23．在Rt △ACB 中，∵∠ABC =30°，∴AB =2AC ．∵AC 2+BC 2=AB 2，∴AB =4．∴OC =12AB =2．在Rt △OCD 中，∵OC 2+CD 2=OD 2，∴OD =7．【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键8(2023·广东惠州·校考二模)如图1，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点(不与点A ，B 重合)，连接AC ，BC ．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出AB 的中点．(点C ，D 在线段AB 异侧)；(保留作图痕迹，不写作法)(2)如图2，在(1)的条件下，过点D 作⊙O 的切线，分别交CA ，CB 的延长线于点E ，F ．①求证：∠F =∠CBA ；②过C 作CM ⊥EF 于M ，CM 交AB 于点N ，若AC =3，BC =4，求CM 的长．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②CM =4910【分析】(1)根据角平分线的画法求解即可；(2)①连接OD ，由圆周角定理证出OD ⊥AB ，由切线的性质得出OD ⊥EF ，则可得出结论；②过点C 作CM ⊥EF 于M ，CM 交AB 于N ，证出四边形ONMD 是矩形，得出OD =MN ，求出CN 的长，则由CM =CN +MN 可得出答案．【详解】(1)解：如图1，(2)①证明：连接OD ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠BCD ，∴AD =BD，∴OD ⊥AB ，又∵EF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF ，∴EF ∥AB ，∴∠F =∠CBA ；②过点C 作CM ⊥EF 于M ，CM 交AB 于N ，∵OD ⊥EF ，CM ⊥EF ，∴OD ∥MN ，又∵AB ∥EF ，∴四边形ONMD 是矩形，∴OD =MN ，∵AB 是⊙O 的直径，AC =3，BC =4，∴∠ACB =90°，∴AB =AC 2+BC 2=5，∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CN ，∴CN =AC ⋅BC AB =3×45=125，∴CM =CN +MN =125+52=4910．【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积等知识，熟记掌握切线的性质是解题的关键．。

专题16 圆的有关性质常用的七种辅助线（原卷版）类型一连半径遇到弦时，连半径。

作用：①链接圆心和弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形。

②连接圆周上一点和弦的两个端点们根据圆周角的性质得到相等的圆周角。

1．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（）A．70°B．55°C．45°D．35°2．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√2倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°3．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，则α取值范围是（）A．36°≤α≤45°B．45°≤α≤54°C．54°≤α≤72°D．72°≤α≤90°4．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD 的长为（）A．1B．2√2C．√2D．√3二、见弦作弦心距解决有关弦的问题，长作弦心距，或者垂直于弦的半径，再连接过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦、弦心距的关系；③利用弦的一半，弦心距和半径组成的直角三角形，根据勾股定理求有关量。

5．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C 的纵坐标为．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心AC为半径作弧AD交AB于D，求AD的长．7．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5√3，求弦CD及圆O的半径长．类型三见直径构造直角，见直角连接直径遇到直径时，常添加直径所对的圆周角，遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点。

湘教版九年级数学下册《圆中常见辅助线的作法》课时达标试卷含答案小专题(五) 圆中常见辅助线的作法圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站．圆上若有一切线，切点圆心半径连．要想证明是切线，半径垂线仔细辨．是直径，成半圆，想成直角径连弦．弧有中点圆心连，垂径定理要记全．圆周角边两条弦，直径和弦端点连．还要作个内切圆，内角平分线梦圆．三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算．一、连半径——构造等腰三角形1．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C ，D 是直线AB 上的两点，且AC ＝BD.求证：△OCD 是等腰三角形．证明：连接OA ，OB.∵OA ，OB 是⊙O 的半径，∴OA ＝OB.∴∠OAB ＝∠OBA.∴∠OAC ＝∠OBD.在△AOC 和△BOD 中，⎩⎨⎧OA ＝OB ，∠OAC ＝∠OBD ，AC ＝BD ，∴△AOC ≌△BOD(SAS )．∴OC ＝OD ，即△OCD 是等腰三角形．二、半径与弦长计算，弦心距来中间站方法归纳：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，求排水管内水的深度．解：过O点作OC⊥AB，点C为垂足，交⊙O于点D，E，连接OA.OA＝0.5 m，AB＝0.8 m.∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝0.4 m.在Rt△AOC中，OA2＝AC2＋OC2，∴OC＝0.3 m，则CE＝0.3＋0.5＝0.8(m)．三、见到直径——构造直径所对的圆周角方法归纳：构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．解：连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ADC＝50°，∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝40°.∵∠CDB与∠CAB是同弧所对的圆周角，∴∠CDB＝∠CAB＝40°.∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°.四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径方法归纳：已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于点F.切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KE＝GE.证明：连接OG.∵FE切⊙O于点G，∴∠OGE＝90°.∴∠OGA＋∠AGE＝90°.∵CD⊥AB，∴∠OAK＋∠AKH＝90°.又∵∠AKH＝∠GKE，∴∠OAK＋∠GKE＝90°.∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠OAG.∴∠KGE＝∠GKE.∴KE＝GE.五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切方法归纳：证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．5．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD 延长线上的一点，且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线．证明：连接OA. ∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.又∵AC＝AP，∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP.∴AP是⊙O的切线．6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEC＝90°.∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB.∴∠ODB＝90°.∴∠ODB＝∠OEC.又∵O是BC的中点，∴OB＝OC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴△OBD≌△OCE(AAS)．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．∴AC与⊙O相切．六、内切圆，连接内角平分线把梦圆方法归纳：利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．7．如图，△ABC中，E是内心，AE延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：DE＝DB.证明：连接BE.∵E为△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC.∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠DBE.∴DE＝DB.七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积方法归纳：通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．8．如图，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连接AC ，求阴影部分的面积．解：连接OB ，OC.∵BC ∥OA ，∴△OBC 和△ABC 同底等高．∴S △ABC ＝S △OBC .∴S 阴影＝S 扇形OBC .∵AB 是⊙O 的切线，∴OB ⊥AB.∵OA ＝4，OB ＝2，∴∠AOB ＝60°.∵BC ∥OA ，∴∠AOB ＝∠OBC ＝60°.∵OB ＝OC ，∴△OBC 为正三角形．∴∠COB ＝60°.∴S 阴影＝S 扇形OBC ＝60π×22360＝2π3.。