最新北师大版九年级数学下册圆复习教学课件

根据圆的定义，“圆”指 的是“ 圆周 ”，而不 是“圆面”。
O
A
确定一个圆的要素:
一是圆心， 二是半径， 圆心确定其位置， 半径确定其大小．
O
A
如图，连接圆上任意两点的线段 叫做弦，如AB； 经过圆心弦叫做直径， 如直径CD. 我们知道，圆上任意 两点的部分叫做圆弧, 简称弧. 圆的任意一条直径的两个 端点分圆成两条弧,每一 弧都叫做半圆. 弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧叫做优弧,小于 半圆的弧叫做劣弧. 如图中，以A,D为端点的弧有两条：优弧ACD（记 作ACD），劣弧ABD（记作AD或ABD）.
B
C
已知圆P的半径为3，点Q在圆P外，点R在圆P上，点 H在圆P内，则PQ___3 = ＜ ＞ ，PR____3,PH_____3. 如图， △ ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6， CD
3 5 为中线，以C为圆心,以 2 为半径作圆，则点A、
B 、 D 与圆 C 的关系如何？ 点A在圆外，点B在圆内， 点D在圆上.
解（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=220， ∴AD=110（km），110÷20=5.5,12-5.5=6.5＞4， ∴A城市受这次台风影响； A （2）在BD及BD的延长线上分别取E，F D 两点，使AE=AF=160千米.由于当A点距 台风中心不超过160千米时，将会受到 台风的影响.所以当台风中心从E点移到 B F点时，该城市都会到这次台风的影响. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE= 30 15 所以EF=2DE=60 15 （3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的 风力最大，其最大风马牛不相及力为12110/20=6.5级
（1）分别以点A、点B为圆心，以2cm的长为半径 画圆，两圆的交点即为所求。 P

A
C
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是AF .
知识要点
1.根据圆的定义,“圆”指的是“圆周”,而不是“圆面”. 2.直径是圆中最长的弦.
附图解释：
连接OC, 在△AOC中，根据三角形三边关 系有AO+OC>AC, 而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC.
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在 点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置 关系呢？
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外
d ＜r d= r d＞r
练一练：
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离 分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
·O
C
B
注意 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的
弦，但弦不一定是直径.
弧: ➢半圆
B ·O
A
C
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每 一条弧都叫做半圆．
➢劣弧与优弧
B
((
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
·O
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC. A
数形结合：位置关系
数量关系
例4：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与
⊙A的位置关系如何？
A
D
解：AD=4=r，故D点在⊙A上

1.看图判断直线l与⊙O的位置关系？
(1)
(2)
.O
.O
(3) .O
相离 (4) .O
相交
相交 (5)
? .O
相交
相切 注意：直线是可 以无限延伸的．
2．直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（ ）
A. r < 5 B. r > 5 CB. r = 5 D. r ≥ 5
3. ⊙O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与
O
应用格式
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
A
l
∴直线l ⊥OA.
切线性质的证明
证法1：反证法.
小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条
直径垂直于CD,垂足为M,
B
（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距离
O
小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这
2
∴AC=OC= OB.
(2)解：由(1)可知OA=OC=AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴在Rt△OAB中， ∠B=90°-60°=30°.
拓展提升
已知⊙O的半径r =7cm,直线l1 // l2,且l1与⊙O相切,
圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离. 解：设 l2与l1的距离为m，
填写d的范围:
d > 5cm
(1)若AB和⊙O相离, 则 d = 5cm ;
((23))若若AABB和和⊙⊙OO相相切交,,则则 0cm≤d < 5cm ; .
典例精析 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm.

解：如图，连接 BO，CO，GO，FO. 由(1)可知 AD⊥BC，又∵点 E 是 OA 的中点， ∴BA＝OB＝AC＝OC＝OA.∴∠BOA＝∠AOC＝60°. ∵B︵D＝C︵D，∴∠BOD＝∠COD＝180°－∠AOC＝120°.
又∵点 F 是C︵D的中点，∴∠COF＝∠FOD＝1∠COD＝60°. 2
__各__边__相__等___，_各___角__也__相__等___的多边形叫做正多边形.
正n边形：
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
新课导入
【想一想】 菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
各角不相等 思考：正五边形的对角线相等吗？
相等 提示：利用边角边定理证明两个三角形全等 .
(1) 如果∠AOB=∠COD，那么 AB=CD ，
;
⌒⌒ （2）如果AB=CD，那么∠AOB=∠COD，AB=CD ；
（3）如果AB=CD，那么 ∠AOB=∠COD ，
。
典例精析
例 如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且 AD=CE . BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE. 理由是 ∵ ∠AOD=∠BOE, ∴ AD=BE . 又∵ AD=CE， ∴ BE=CE . ∴ BE=CE.
∴∠BOF＝180°.∴BF 是⊙O 的直径． 又∵点 G 是B︵F的中点，∴∠FOG＝90°. ∵⊙O 的半径是 1，∴GF＝ 2OF＝ 2.
作业布置
1.课本习题3.2第1、2题
2.如图，在 O中，AB =AC，A=40，求ABC的度数。
课堂小结
1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系： （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等. （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

A O M B D
直径AB 弦CD 1 CM DM CD 2 , AC AD BC BD
C
推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦， 并且平分这条弦所对的两条弧。
四、综合问题
• 例1：已知，如图，△ABC内接于⊙O， • AB为直径，弦CD⊥AB，是弧AH的中点， • 连接AH，BH。 • （1）求证：F是△ACG的外心。 • （2）请你围绕“F是AG中点”再设计一个问题，并解答。
圆的总复习（1）
基础知识：
• 1.圆心角、弦、弧之间的关系 • 2.圆周角定理及其推论 • 3.垂径定理及其推论
复习思路：融合“基础知识”，设计问题并解答。
一、圆心角、弦、弧之间的关系
• 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 相等，那么它们所对应的的其余各组量也相等
AOB COD AB CD AB CD
小结：
二、圆周角定理及其推论
• 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半 • 推论： • 1.同弧或等弧所对的圆周角相等； • 2.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； • 3.圆内接四边形内对角互补

三、垂径定理及其推论
垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分这条弦所对的两条弧。

C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，过点M的⊙O最长的弦为10 cm，
最短的弦长为8 cm，那么OM= _____3cm.
得到右端，也 可以从右端得
dp
点P在⊙O内
d＜到左r 端。 r
点P在⊙O上 点P在⊙O外
d=r
d
r
p
d＞r P d
r
探究与实践
1、平面上有一点A，经过A点的圆有几个？ 圆心在哪里？
●
●O
● ●A O O
●O
●
O
无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这 点与点A的距离
探究与实践
2、平面上有两点A、B，经过点A、B的圆 有几个？它们的圆心分布有什么特点？
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂径定理的推论
❖ 如图,在以下五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
AB的垂直平分线上. 经过A,B,C三点的圆的圆心应该这 ●B
┏ ●O
●C
两条垂直平分线的交点O的位置.
归纳结论：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分
别是方程x －2 6x＋8＝0的两根，那么点A与⊙O的位置关系是
〔D〕
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
❖ 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 ❖ 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任
意一个角度α，都能与原来的图形重合。

1.教材第66页随堂练习第1，2题. 2.教材第68页习题3.1第1，2，3题.
巩固练习，形成技能
2.设AB=3 cm，画图说明具有下列性质的点的集合 是怎样的图形.
（1）和点A的距离等于2 cm的点的集合；
以点A为圆心，半径为ห้องสมุดไป่ตู้ cm的圆
A
B
巩固练习，形成技能
2.设AB=3 cm，画图说明具有下列性质的点的集合 是怎样的图形.
（2）和点B的距离等于2 cm的点的集合；
以点B为圆心，半径为2 cm的圆
第3章 圆
3.1 圆
创设情境
问题导入
车轮是什么形状的？ 圆形 车轮能不能做成三角形、四边形？能做成椭圆形吗？ 为什么？ 不能，因为以上三种形状，不能安稳前进，忽高忽 低的.
探索新知，培养能力
自行车的车轴安装在什么地方？为什么？
探索新知，培养能力
自行车的车轴安装在什么地方？为什么？
活动：分组制作一个车轮模型，然后讨论交流前面 的问题.
探索新知，培养能力
O 圆心
车轴安装在圆的哪里？ 圆心 换个位置行不行？ 不行，车轴安装在圆心，行驶起来才安稳.
探索新知，培养能力
健身球经过的路线是什么图形？
探索新知，培养能力
定点即是圆的__圆__心__，定长即是圆的__半__径__. 注意：要在同一平面内.
圆上各点到定点的 距离有什么共同的 特征？
操作步骤： A.用身边的圆形物体或工具在纸上画一个圆，并用 剪刀剪下； B.找到车轴安装的位置.你是怎样找的？为什么？ C.滚动一遍，你的感觉是什么？
探索新知，培养能力
O 圆心
车轴安装在什么地方？你是怎样找到的？ 对折、折痕相交于一点 这一点一定是圆的中心吗？谁来验证？ 测量，发现这一点到圆上的距离处处相等，所以这 一点就是这个圆的中心. 把这一点叫做圆的圆心.

类型归纳 解：(1)∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°. ∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5. ∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∴AADB＝DBCB，即53＝B4C，∴BC＝230. (2)证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中， ∵E 是 BC 的中点，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE. 又 OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，
类型归纳
► 类型十 圆的切线的判定方法 例10 如图X3－11，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°， 以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD. (1)若AD＝3，BD＝4，求边BC的长； (2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．
类型归纳
[解析] 先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要证明OD⊥DE就能说 明ED与⊙O相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等 角，进而算出∠ODE是直角．
___4_4____°.
类型归纳
[解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°， 又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
类型归纳
方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90°的圆周角的 构造．
类型归纳
► 类型二 垂径定理及其推论 例2 如图X3－5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6 cm，OD
＝4 cm，则DC的长D 为( ) A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
类型归纳
[解析] D 连接AO，因为OC⊥AB，所以AD＝BD＝3 cm，因为OD＝4 cm， 在直角三角形ADO中，由勾股定理可以得到AO＝5 cm，所以OC＝5 cm，所以DC ＝1 cm.

2.如右图，⊙O中，∠ACB = 130º，
1
则∠AOB=_1_0_0_º__.
O B
A
C
3.求圆中 的度数.
O
C 70°
A
B
α 350
D
C 120°
1
O
A
B
α 1200
A
4.如图，OA BC，AOB 500
C
B
则 CDA = 25°
O
D
5.在半径为R的圆内，长为R的 弦所对的圆周角为 30°或 150°
2
2
\ACB 1 AOD - BOD
2
即
A C
B
1 2
A
OB
C
C
C
O
O
O
A
A
B
A
B
D
DB
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所
对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
C O
丙
A
甲
仅从射门角度 大小考虑，谁 相对于球门的 角度更好？
B乙
1.下列命题中是真命题的是（ D ） （A）顶点在圆周上的角叫做圆周角 （B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º （C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 （D）120º的弧所对的圆周角是60º
即 ACB 2BAC
A
O C
B
2.如图，点A，B，C，D，E均在⊙0上，则
A + B + C + D + E 等于多少度？
为什么？
B
分析：A,B,C,D,E这 五个圆周角所对的的弧之 A
C
和正好是一个圆，一个圆
所对的圆心角为 360°

条劣弧.
A.0
B.1 C.2
D.3
这个地方的设计意图是想通过跟踪练习及时了 解学生对新学知识的掌握和运用情况，及时发 现学生在学习新知识的过程中出现的新问题， 及时解决，防止错误累积和加深。
探究二
放寒假了,爱好运动的小明和小颖相邀搞一次掷飞镖比赛。 他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离中心越近， 谁就胜.如图①中就是他们两人掷镖的落点.我们不妨取其中的 一个圆和飞镖的落点来研究，如图② ：
所有点组成的图形.
这个题目的设计意图是考察学生对集合的理解和掌握程 度，这是本节课的难点，这个地方允许有不会的学生， 学生刚学用集合的观点去理解，还是得有一个过程。但 是那些数学素养比较好的学生要会做这个题目。这是给 那些课堂吃不饱的学生准备的。
布置作业：
A类：习题3.1；
这个B地类：方习的题设3.1，计新意课图堂本是课让时学. 生巩固所学知识， 分层布置的目的是让不同学生都有成绩感。既 照料到吃不饱，又照料到吃不了。
这个地方的设计意图是想让学生通过总结，梳理本节课的 知识体系，形成清楚的知识网，以便于前后知识的衔接， 形成整个大的知识体系。
达标检测
1． 下列说法错误的是（ B ）
A.直径是弦 B.长度相等的弧是等弧
C.半径相等的圆是等圆 D.圆上两点之间的
部分为弧
2.在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm,以C为
挑战自我：
3. 设AB＝３厘米，作图说明满足下
列要求的图形：
（1）到点A和点B的距离都等于２厘
米的所有点组成的图形.
A
B
这个地方的设计意图是检测学生对集合的理解和认识。 这个地方属于拔高题。
挑战自我：
（2）和点A、B的距离都小于２厘