上海九年级数学-圆复习课(一)知识讲解

上海九年级圆的知识点总结圆是几何学中的基本图形之一，具有广泛的应用和深刻的数学内涵。

本文将对上海九年级学生学习过程中所涉及的圆的相关知识点进行全面总结。

一、圆的定义与性质圆是平面上一组与一个确定点的距离相等的所有点的集合。

圆由圆心、半径和圆周组成。

圆心到圆周的距离称为半径，记为r。

所有半径都相等的圆称为等半径圆。

二、圆的要素1. 圆心：圆心是圆的核心，用字母O表示。

2. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，用字母r表示。

3. 圆周：由一系列点组成，这些点到圆心的距离等于半径的长度。

三、圆的重要公式1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径，π是一个常数，约等于3.14。

2. 圆的面积公式：S = πr^2，其中S表示圆的面积。

四、圆的相关性质1. 弧长：圆上任意两点之间的弧长可以通过以下公式计算：L = 2πr * (θ/360)，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示所对应的圆心角的度数。

2. 扇形的面积：扇形是圆心和圆周上两点之间的区域。

扇形的面积可以通过以下公式计算：A = πr^2 * (θ/360)，其中A表示扇形的面积，r表示半径，θ表示中心角的度数。

3. 弦的性质：弦是圆上任何两点之间的线段，弦的中点位于圆的直径上。

4. 切线的性质：切线是与圆只有一个交点的直线，切线与半径垂直。

五、判断题1. 当两个圆的半径相等时，它们是相似的。

（×）2. 圆与圆之间可以有四个交点。

（√）3. 半径相等的圆周长相等。

（√）4. 圆与圆之间可以相互内含和相互外切。

（√）六、解答题1. 若两条半径分别为r1和r2的圆内外切，那么这两个圆的半径之间的关系是什么？解：两个圆内外切意味着它们只有一个交点，此时两个圆的半径满足r1 + r2 = √2 * r1。

2. 若一个圆的直径是另一个圆的半径的3倍，那么这两个圆的面积之比为多少？解：设小圆的半径为r，那么大圆的直径是小圆的3倍，即2r * 3 = 6r。

圆的基本性质【知识点】1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角： （3）圆周角： （4）弧： （5）弦： 2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径． 3．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【例题】例题1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 （ ） A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米例题2.如图⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例题1图 例题2图 例题3图 例题4图例题3.如图⊙O 弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 半径为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2例题4.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆周角的度数为（ ）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【检测】1.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为 9，则弦AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．92.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ） A ．28° B ．56° C ．60° D ．62°第1题图 第2题图 第3题图3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ．3cm 2B ．3cmC ．23cmD ．9cm4.⊙O 的半径为10cm ，弦AB ＝12cm ，则圆心到AB 的距离为（ ） A ． 2cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm直线与圆、圆与圆的位置关系【知识点】5=R60%1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ） 相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算． 【例题】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含 例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为DEF ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，， 则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例4．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 【检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．内切 D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ） A ．10cm B ．6cm C ．10cm 或6cm D ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15 B. 30C. 45 D. 60圆的有关计算【知识梳理】1. 圆周长公式：2. n°的圆心角所对的弧长公式：3. 圆心角为n°的扇形面积公式： 、 ．4. 圆锥的侧面展开图是 ；底面半径为r ，母线长为l 的圆锥的侧面积公式为： ；圆锥的表面积的计算方法是：5.圆柱的侧面展开图是： ；底面半径为r ，高为h 的圆柱的侧面积公式是： ；圆柱的表面积的计算方法是： 【例题】【例1】如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，OF ⊥AC 于点F ． （1）请写出三条与BC 有关的正确结论；（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．D O A FE 例题2图 C B A OF D E【例2】如图，小明从半径为5cm 的圆形纸片中剪下40%圆周的 一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ） A.3cm B.4cm C.21cm D.62cm【检测】1．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ） A ．6π2cm B ．9π2cm C ．12 π2cm D ．27π2cm2．圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ） A ．38 cm B ．316cm C ．3cm D ．34cm 3．已知圆锥的底面半径是2㎝，母线长是4㎝，则圆锥的侧面积是 ㎝2. 4．如图，两个同心圆的半径分别为2和1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为圆的综合【例题】1．如图，已知圆心角78BOC ∠=，则圆周角BAC ∠的度数是（ ） A ．156 B ．78C ．39D ．122．如图2所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB （ ） A ．是正方形 B ． 是长方形 C ． 是菱形 D ．以上答案都不对 3．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．6π2cmB ．9π2cmC ．12 π2cmD ．27π2cm4.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，则该半圆的半径为（ ）A ．(45)+ cm B ．9 cm C ． 45cm D ． 62cm ．【检测】1．下列命题中，真命题的个数为（ ）①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，圆O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253．如图，圆O 的半径为1，AB 与圆O 相切于点A ，OB 与圆O 交于点C ，OD OA ⊥，垂足为D ，则cos AOB ∠的AO B 120o 120°OAB第1题图 第2题图第3题图 第4题图值等于（ ） A ．OD B ．OAC ．CD D ．AB4．如图，AB 是圆O 的弦，半径2OA =，2sin 3A =，则弦AB 的长为（ ） A．3B．3C ．4D．35.如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为（ ）A．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫⎝⎛-5954, D ．()31,- 6.如图4，⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ）A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.57.高速公路的隧道和桥梁最多,如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA 为（ ）A ．5B ．7C ．375 D ．3778．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ）A ．25πB ．65πC ．90πD ．130π9.如图，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆0上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．第3题图 第9题图第7题图 第6题图第5题图 第4题图。

上海九年级圆知识点圆是几何学中的重要概念之一，它具有独特的性质和特点。

在上海九年级数学课程中，圆的知识点是必学内容。

本文将从圆的定义、圆的性质、圆的相关定理和应用等方面进行论述。

1. 圆的定义圆是由平面上任意一点到另一点距离都相等的点的集合。

其中，距离相等的那个固定点称为圆心，距离称为半径。

2. 圆的性质（1）圆上任意两点之间的距离等于圆的半径。

（2）圆的直径是任意两点的最远距离，且为两倍的半径。

（3）圆上的任意一条弦的长度不大于圆的直径。

（4）圆上的任意一条切线与半径垂直。

（5）圆的内接三角形的三个角是直角。

（6）相交于同一圆的两条弦互相垂直，且弦的垂直平分线通过圆心。

3. 圆的相关定理（1）相交弦的性质：两条相交弦的乘积等于它们所夹的角的正弦的2倍。

（2）弧与夹角的关系：两条弦所夹的圆心角等于它们所对应的弧所对的圆心角。

（3）切线与半径的关系：切线与半径的垂线平分切线所对应的弧。

4. 圆的应用（1）圆的测量：通过圆的直径或半径，可以计算出圆的周长和面积。

（2）圆的集合：通过圆的交集、并集和补集等操作，可以构成复杂的几何图形。

（3）圆在日常生活中的应用：如轮胎、钟表、圆桌等，都涉及到圆的概念和性质的应用。

总结：圆是几何学中的重要概念，具有独特的性质和特点。

掌握圆的定义、性质、相关定理和应用，对于理解和解决与圆相关的几何问题非常重要。

通过学习圆的知识，不仅可以提高数学能力，还可以培养逻辑思维和问题解决能力。

因此，上海九年级的学生应该认真学习圆的知识，并灵活应用于实际生活和数学解题中。

九年级下册沪科版数学圆知识点在九年级下册沪科版数学课程中，学生将进一步学习和探索圆的知识。

圆是几何学中的重要概念之一，具有许多独特的性质和特点。

本文将重点介绍九年级下册沪科版数学课程中关于圆的重要知识点。

通过学习这些知识点，学生将能够更好地理解圆的本质和应用。

1. 圆的定义和性质首先，我们来回顾圆的定义和性质。

圆是由平面上到一个固定点的距离始终相等的点的集合。

这个固定点叫做圆心，用字母O表示。

圆心到圆上任意一点的距离叫做圆的半径，用字母r表示。

圆的周长叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的面积叫做圆的面积，用字母A表示。

圆的周长和面积是圆的重要性质，需要学生掌握计算的方法和公式。

2. 圆的周长和面积计算接下来，我们来学习计算圆的周长和面积的方法。

圆的周长可以通过公式C=2πr来计算，其中π取值约为3.14。

圆的面积可以通过公式A=πr^2来计算。

学生需要了解这些公式的推导过程，并能够根据给定的半径计算圆的周长和面积。

3. 直径、弦、切线和弧在圆的研究中，直径、弦、切线和弧是关键概念。

直径是通过圆心的一条线段，它的长度是半径的两倍。

弦是圆上任意两点之间的线段。

切线是与圆仅有一个交点的直线，这个交点叫做切点。

弧是圆上的一段弯曲部分，它的度数用角度或弧度来表示。

学生需要理解这些概念之间的关系，并能够应用它们解决相关的问题。

4. 圆相关定理在圆的研究中，有一些定理是非常重要的。

例如，相交弦的性质定理表明，如果两条弦相交于圆内的一点，那么它们内部的每个锐角和外部的每个钝角都是相等的。

切线和半径的关系定理表明，如果一条切线与半径的末端相交，那么相交点到圆心的线段和切线的交点到圆心的线段垂直。

学生需要学习和理解这些定理，并能够应用它们解决与圆相关的问题。

5. 弧长和扇形面积弧长和扇形面积也是圆的重要性质。

弧长是圆上的一段弧的长度，可以通过弧长公式L=2πr(θ/360)来计算。

其中，θ是弧所对的圆心角的度数。

扇形是由圆心、圆周上的两点和圆弧所围成的图形，它的面积可以通过扇形面积公式A=πr^2(θ/360)来计算。