第10讲 平面向量

平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,A B a B C b ==，则a +b =AB BC + =A C（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC C D PQ Q R AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a的终点的向量（a、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =aλ6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e aλλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±±(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa=(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ⇔-=(5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥ ，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a与b 的数量积（或内积）规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅ ∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=- ； ()222a ba ab ±=±⋅+ 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a bR λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅ ()c a b =⋅±7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作O A =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a ba b a b∙<>=∙当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800， 9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a·b ＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质例1 给出下列命题：① 若|a |＝|b |，则a =b ； ②若a //b ，b //c ，则a //c，③ 若a =b ，b =c ，则a =c ，④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a//b ；⑤若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；其中正确的序号是例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：①AB BC CD ++ ，②DB AC BD ++ ③OA OC OB CO --+-例3 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =- ，且//u v ，求实数x 的值例4已知两单位向量a 与b 的夹角为0120，若2,3c a b d b a =-=- ，试求c 与d 的夹角例5已知4||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为120°求⑴)()2(b a b a +∙-； ⑵|2|b a -； ⑶a 与b a +的夹角。

平面向量的概念教案一、教学目标：1. 知识与技能：学生能够理解平面向量的概念，掌握平面向量的基本运算法则，并能够熟练进行向量的相加、相减、数量乘法等运算。

2. 过程与方法：通过例题演练，培养学生独立思考、分析问题、解决问题的能力；通过实际应用，加深学生对平面向量概念的理解和运用。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，形成积极的学习态度，提高解决实际问题的能力。

二、教学重点和难点：重点：平面向量的概念及基本运算法则。

难点：向量的数量乘法及在平面向量应用中的解决问题。

三、教学步骤：1. 导入新课：通过提问和引导学生联想等方式，引出向量的概念。

例如：什么是向量？向量有哪些性质？向量在生活中的应用等。

2. 确定学习目标：向学生解释接下来我们要学习平面向量，所以我们需要了解什么是平面向量及其基本性质，以及平面向量的加法、减法和数量乘法等基本运算，掌握这些内容。

3. 学习新知识：向学生详细讲解平面向量的定义、表示方法、平行向量、零向量、共线向量等基本概念和性质。

并讲解平面向量的基本运算法则，如向量的加法、减法、数量乘法等。

4. 练习与巩固：布置练习题，让学生积极参与，巩固学习内容。

5. 拓展应用：引导学生通过实际问题，运用平面向量的概念进行解决问题，提高学生的综合运用能力。

6. 总结归纳：通过本节课学习，对平面向量的概念和基本运算法则进行归纳总结，巩固所学知识。

四、教学手段：1. 教师讲解2. 学生讨论3. 课堂练习4. 实例演练五、教学资源：1. 教科书2. 多媒体课件3. 平面向量的实际应用例题材料六、教学反馈：1. 教师在学习过程中及时纠正学生的错误认识和解题方法。

2. 布置练习题，检验学生学习效果，及时发现学生的问题。

七、教学设计理念：通过让学生参与讨论和思考，培养其分析问题、解决问题的思维能力；通过实例演练，加深学生对平面向量概念的理解和运用；通过应用实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题的能力。

第10向量复习一、知识回顾 设a=（21a a ，），b =（21b b ，）1. a b ±=( 2211a a b b ±±，),a λ=(21,a a λλ),b a ⋅=2211b a b a +2.模: |a |=2221a a + 3.平行的充要条件: a //b ⇔a =b λ ⇔1221b a b a = 4.垂直的充要条件: a⊥b ⇔b a ⋅=0⇔2211b a b a +=0 5.两向量夹角: cos<a ,b 222122212211b b a a b a b a +⋅++二.基本题型例1.向量a =(3,-4).求: (1)与向量a 平行的单位向量b ； (2)与向量a 垂直的单位向量c.例2.已知向量a=(1,2), b =(-3,2),当k 为何值时(1)k a +b 与a -3b 垂直；(2) k a +b 与a-3b 平行,平行时是同向还是反向?例3.已知向量1e =(1,0),2e =(0,1).设a =21e e -,b =2134e e +. (1)计算b a ⋅及|a +b |;(2)求向量a ,b 的夹角<a ,b >.练习1.已知点A(2,1),B(3,-1)则向量OA 与OB 的夹角是 . 2.若向量a =(2,3), b =(4,x)且a //b ,则x= .3.已知向量a =(cos75o,sin750), b =(cos150, sin150),则|a -b |是 . 4.若向量a =(n,1), b =(4,n)共线且方向相反,则n= . 5.已知向量a =(8,21x), b =(x,1)且x>0,若(a -2b )//(2a +b ),则x= .6.已知向量a =(-2,-1), b =(λ,1)，若a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为 .7.已知向量a 与b 同向, b =(1,2), b a ⋅=10.(1)求向量a 的坐标; (2)若向量c =(2,-1),求(c b ⋅)a ⋅.8.已知向量a =(sin θ,1), b =(1, cos θ),其中22πθπ<<-.(1)若a ⊥b ,求θ. (2)求|a +b |的最大值.高考再现:1.(09年广东文)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b （ ） A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线2.（09浙江文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--3.（09北京文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么 A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向4. （09全国Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a ·b = 10，︱a + b ︱= b ︱= ． 5. （09湖北）向量a =（1，1），b =（-1,1），c =（4，2），则c =A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b6.（2009江西卷文）已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ， (,2)c k = ，若()a c b -⊥则k = ．7.（09辽宁文）平面向量a 与b 的夹角为060，a ＝(2,0), |b |＝1，则 |a ＋2b |＝。

2022年高考数学之平面向量专题突破专题十平面向量与三角形的四心三角形四心的向量式三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0．(2)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A⇔sin 2A ·OA →＋sin 2B ·OB →＋sin 2C ·OC →＝0．(3)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0⇔sin A ·OA →＋sin B ·OB →＋sin C ·OC →＝0．(4)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →⇔tan A ·OA →＋tan B ·OB →＋tan C ·OC →＝0．关于四心的概念及性质：(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G 为△ABC 的重心，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外．(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ．②2=S r a b c ++，特别地，在Rt △ABC 中，∠C =90°，=2a b cr +-．(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．性质：外心到三角形各顶点的距离相等．考点一三角形四心的判断【例题选讲】[例1](1)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过()A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点答案C解析取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2(1－λ)3OD →＋1＋2λ3OC →，而2(1－λ)3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________．答案内心解析由条件，得OP→－OA →＝AP →＝，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．(3)在△ABC 中，设AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，那么动点M 的轨迹必经过△ABC 的()A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心答案C解析设BC 边中点为D ，∵AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，∴(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2AM →·BC →，即AD →·BC →＝AM →·BC →，∴MD →·BC →＝0，则MD →⊥BC →，即MD ⊥BC ，∴MD 为BC 的垂直平分线，∴动点M 的轨迹必经过△ABC 的外心，故选C ．(4)已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B＋AC →|AC →|cos C)，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心答案B 解析因为OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，所以AP →＝OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C)，所以BC →·AP →＝BC →·λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．(5)已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件：①aOA bOB cOC ++=0 ，②tan tan tan A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=0，③sin 2sin 2sin 2A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=0 ，④OA OB OC ++=0则点O 分别为ABC ∆的()A ．外心、内心、垂心、重心B ．内心、外心、垂心、重心C ．垂心、内心、重心、外心D ．内心、垂心、外心、重心答案D(6)下列叙述正确的是________．①1()3PG PA PB PC G =++⇔为ABC ∆的重心．②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心．③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的外心．④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA O +⋅=+⋅=+⋅=⇔为ABC ∆的内心．答案①②解析①G为ABC∆的重心⇔GA GB GC ++=0 ⇔PA PG PB PG PC PG -+-+-=0 ⇔1()3PG PA PB PC =++，①正确；②由PA PB PB PC ⋅=⋅ ⇔()0PA PC PB -⋅=⇔0CA PB AC ⋅=⇔⊥ PB ，同理AB PC ⊥，BC PA ⊥，②正确；③||||||AB PC BC PA CA PB ++=0 ⇔||||()AB PC BC PC CA ++ ||()CA PC CB ++=0(||||||)||||AB BC CA PC BC CA CA CB ⇔++++=0 ． ||||||||BC CA CA CB = ，∴||BC CA ||CA CB + 与角C 的平分线平行，P ∴必然落在角C 的角平分线上，③错误；④()OA OB AB +⋅= (OB222)()0||||||OC BC OC OA CA OA OB OC OA OB OC O +⋅=+⋅=⇔==⇔==⇔ 为ABC ∆的外心，④错误．∴正确的叙述是①②．故答案为：①②．【对点训练】1．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心2．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2OB OC OP AP λ+=+，且1λ≠，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．已知O 是△ABC 所在平面上的一定点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心4．O 为ABC ∆所在平面内一点，A ，B ，C 为ABC ∆的角，若sin sin sin A OA B OB C OC O ⋅+⋅+⋅=，则点O 为ABC ∆的()A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心5．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，1324AD AB AC =+，则直线AD 通过ABC ∆的()A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心6．已知ABC ∆所在的平面上的动点M 满足||||AP AB AC AC AB =+，则直线AP 一定经过ABC ∆的()A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心7．设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，P 是ABC ∆所在平面上的一点，c PA PB PA PCb⋅=⋅ +22b c c a c PA PB PC PB b a a--=⋅+，则点P 是ABC ∆的()A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心8．已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的()．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心9．P 是△ABC 所在平面内一点，若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 是△ABC 的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心10．若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+，则点(O )A ．在AB 边的高所在的直线上B ．在C ∠平分线所在的直线上C ．在AB 边的中线所在的直线上D ．是ABC ∆的外心12．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，则O 点的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心13．已知O ，N ，P 在所在ABC ∆的平面内，且||||||, OA OB OC NA NB NC ==++=0，且PA PB ⋅= PB PC⋅ =PA PC ⋅，则O ，N ，P 分别是ABC ∆的()A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心14．点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC ∆的三个顶点，以下命题正确的是________．（把你认为正确的序号全部写上）．①②③④⑤①动点P 满足OP OA PB PC =++，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足(0)||||AB ACOP OA AB AC λλ=++>，则ABC ∆的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足(0)||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC C λλ=++>，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>，则ABC ∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλλ+=++> ，则ABC ∆的外心一定在满足条件的P 点集合中．考点二三角形四心的应用【例题选讲】[例2](1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A ＝__________．答案π6解析由G 为△ABC 的重心知GA →＋GB →＋GC →＝0，则GC →＝－GA →－GB →，因此a GA →＋b GB →＋33c (－GA →－GB →)－33c －33c →＝0，又GA →，GB →不共线，所以a －33c ＝b －33c ＝0，即a＝b ＝33c ．由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22×33c 2＝32，又0<A <π，所以A ＝π6．(2)在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，AC ＝3，设O 是△ABC 的内心．若AO →＝pAB →＋qAC →，则pq＝________．答案32解析如图，O 为△ABC 的内心，D 为AC 中点，则O 在线段BD 上，cos ∠DAO ＝12|AC→||AO →|＝32|AO →|，根据余弦定理cos ∠BAC ＝4＋9－42×2×3＝34；由AO →＝pAB →＋q AC →得AO →·AB →＝pAB →2＋qAB →·AC →，所以|AO ，→||AB ，→|cos ∠BAO ＝pAB →2＋q |AB →||AC →|cos ∠BAC ，所以3＝4p ＋92q ①；同理AO →·AC →＝pAB →·AC →＋qAC →2，所以可以得到92＝92p ＋9q ②．①②联立可求得p ＝37，q ＝27，所以p q ＝32．(3)已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为()ABC －45，D －35，答案A解析取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →，OM →＝AM→－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC→)－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)－xAB →．由OM →⊥AB →，得2－yAC →·AB →＝0，①，由ON →⊥AC →，得2－xAC →·AB →＝0，②，又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC →22＝－12，③，把③代入①、②得－2x ＋y ＝0，＋x －8y ＝0，解得x＝45，y ＝35．故实数对(x ，y )(4)在△ABC 中，O 是△ABC 的垂心，点P 满足：3OP →＝12OA →＋12OB →＋2OC →，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比是________．答案23解析如图，设AB 的中点为M ，设12OA →＋12OB →＝ON →，则N 是AB 的中点，点N 与M 重合，故由3OP →＝12OA →＋12OB →＋2OC →，可得2OP →＝OM →－OP →＋2OC →，即2OP →－2OC →＝OM →－OP →，也即PM →＝2CP →，由向量的共线定理可得C 、P 、M 共线，且MP ＝23MC ，所以结合图形可得△ABP 的面积与△ABC 的面积之比是23．(5)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是ABC ∆的外心、垂心，且M 为BC 中点，则()A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO+=- C ．24AB AC HM MO +=+ D ．24AB AC HM MO+=- 答案D解析如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM = ，M 为BC 中点，∴AB AC +22()2(2)4224AM AH HM OM HM OM HM HM MO ==+=+=+=-．故选D ．【对点训练】1．在△ABC 中，O 为△ABC 的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO →·AC →＝________．2．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA ＋sin B ·GB ＋sin C ·GC＝0，则B 的大小为________．3．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，则cos B ＝________．4．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________．5．过△ABC 重心O 的直线PQ 交AC 于点P ，交BC 于点Q ，PC →＝34AC →，QC →＝nBC →，则n 的值为____．6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝m AM →成立，则m 等于()A ．2B ．3C ．4D ．57．已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60˚，则△OBC 的面积为()A ．33B ．3C ．32D ．238．已知在△ABC 中，点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．9．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋OC＝0，则△ABC 的内角A 等于()A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°10．已知O 是△ABC 的外心，|AB →|＝4，|AC →|＝2，则AO →·(AB →＋AC →)＝()A ．10B ．9C ．8D ．611．若点P 是△ABC 的外心，且PA →＋PB →＋λPC →＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为()A ．12B ．－12C ．－1D ．112．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于()A ．32B ．3C ．3D ．2313．若△ABC 的面积为3，AB →·AC →＝2，则△ABC 外接圆面积的最小值为()A ．πB ．4π3C ．2πD ．8π314．已知O 为锐角△ABC 的外心，|AB →|＝3，|AC →|＝23，若AO →＝xAB →＋yAC →，且9x ＋12y ＝8，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OA →·OC →，则()A ．I 2<I 1<I 3B ．I 3<I 2<I 1C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 3<I 115．已知O 是△ABC 的外心，∠C ＝45°，则OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是()A ．[－2，2]B ．[－2，1)C ．[－2，－1]D ．(1，2]16．已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，如图所示，点O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．417．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．18．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则|PA →＋PB →＋2PC →|的最大值为()A ．23B ．33C ．43D ．5319．已知O 是锐角三角形ABC ∆的外接圆的圆心，且A θ∠=，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B += ，则m ＝()A ．sin θB ．cos θC ．tan θD ．不能确定20．在ABC ∆中，5BC =，G ，O 分别为ABC ∆的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC ∆的形状是()A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能21．在ABC ∆中，3AB=，BC =，2AC =，若点O 为ABC ∆的内心，则AO AC ⋅的值为()A ．2B ．73C ．3D ．522．设O 是△ABC 的内心，AB ＝c ，AC ＝b ，若AO →＝λ1AB →＋λ2AC →，则()A ．λ1λ2＝b cB ．λ21λ22＝b cC ．λ1λ2＝c 2b2D ．λ21λ22＝c b23．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为()A ．1063B ．1463C ．43D ．6224．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形25．ABC ∆外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m 的值()A ．12B ．2C ．1D ．34专题十平面向量与三角形的四心三角形四心的向量式三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0．(2)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A⇔sin 2A ·OA →＋sin 2B ·OB →＋sin 2C ·OC →＝0．(3)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0⇔sin A ·OA →＋sin B ·OB →＋sin C ·OC →＝0．(4)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →⇔tan A ·OA →＋tan B ·OB →＋tan C ·OC →＝0．关于四心的概念及性质：(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G 为△ABC 的重心，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外．(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ．②2=S r a b c ++，特别地，在Rt △ABC 中，∠C =90°，=2a b cr +-．(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．性质：外心到三角形各顶点的距离相等．考点一三角形四心的判断【例题选讲】[例1](1)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过()A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点答案C解析取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2(1－λ)3OD →＋1＋2λ3OC →，而2(1－λ)3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________．答案内心解析由条件，得OP →－OA →＝AP →＝，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．(3)在△ABC 中，设AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，那么动点M 的轨迹必经过△ABC 的()A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心答案C解析设BC 边中点为D ，∵AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，∴(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2AM →·BC →，即AD →·BC →＝AM →·BC →，∴MD →·BC →＝0，则MD →⊥BC →，即MD ⊥BC ，∴MD 为BC 的垂直平分线，∴动点M 的轨迹必经过△ABC 的外心，故选C ．(4)已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B＋AC →|AC →|cos C)，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心答案B 解析因为OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，所以AP →＝OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C)，所以BC →·AP →＝BC →·λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．(5)已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件：①aOA bOB cOC ++=0 ，②tan tan tan A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=0，③sin 2sin 2sin 2A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=0 ，④OA OB OC ++=0则点O 分别为ABC ∆的()A ．外心、内心、垂心、重心B ．内心、外心、垂心、重心C ．垂心、内心、重心、外心D ．内心、垂心、外心、重心答案D(6)下列叙述正确的是________．①1()3PG PA PB PC G =++⇔为ABC ∆的重心．②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心．③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的外心．④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA O +⋅=+⋅=+⋅=⇔为ABC ∆的内心．答案①②解析①G为ABC ∆的重心⇔GA GB GC ++=0 ⇔PA PG PB PG PC PG -+-+-=0 ⇔1()3PG PA PB PC =++，①正确；②由PA PB PB PC ⋅=⋅ ⇔()0PA PC PB -⋅=⇔0CA PB AC ⋅=⇔⊥ PB ，同理AB PC ⊥，BC PA ⊥，②正确；③||||||AB PC BC PA CA PB ++=0 ⇔||||()AB PC BC PC CA ++ ||()CA PC CB ++=0(||||||)||||AB BC CA PC BC CA CA CB ⇔++++=0 ． ||||||||BC CA CA CB = ，∴||BC CA ||CA CB + 与角C 的平分线平行，P ∴必然落在角C 的角平分线上，③错误；④()OA OB AB +⋅= (OB222)()0||||||OC BC OC OA CA OA OB OC OA OB OC O +⋅=+⋅=⇔==⇔==⇔ 为ABC ∆的外心，④错误．∴正确的叙述是①②．故答案为：①②．【对点训练】1．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心1．答案C解析由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．2．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2OB OC OP AP λ+=+，且1λ≠，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心2．答案C 解析设BC 的中点为M ．由已知原式可化为2PA OB OP OC OP λ=-+- ．即2PA PBλ=2PC PM += ，所以PM PA λ=，所以P ，A ，M 三点共线．所以P 点在边BC 的中线AM 上．故P 点的轨迹一定过ABC ∆的重心．3．已知O 是△ABC 所在平面上的一定点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．答案C解析∵|AB |sin B ＝|AC |sin C ，设它们等于t ，∴OP →＝OA →＋λ·1t(AB →＋AC →)，设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，λ·1t (AB →＋AC →)表示与AD →共线的向量AP →，而点D 是BC 的中点，即AD 是△ABC 的中线，∴点P 的轨迹一定通过三角形的重心．故选C ．4．O 为ABC ∆所在平面内一点，A ，B ，C 为ABC ∆的角，若sin sin sin A OA B OB C OC O ⋅+⋅+⋅=，则点O 为ABC ∆的()A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心4．答案C 解析由正弦定理得2sin 2sin 2sin 0R AOA R BOB R COC ++= ，即0aOA bOB cOC ++=，由上式可得()()cOC aOA bOB a OC CA b OC CB =--=-+-+ ，所以()a b c OC aCA bCB ++=--=ab -(||||CA CB CA CB +，所以OC 与C ∠的平分线共线，即O 在C ∠的平分线上，同理可证，O 也在A ∠，B ∠的平分线上，故O 是ABC ∆的内心．5．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，1324AD AB AC =+，则直线AD 通过ABC ∆的()A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心5．答案C 解析3AB = ，2AC =，13||22AB ∴= ，33||42AC = ．即133||||242AB AC ==，设12AE AB = ，34AF AC = ，则||||AE AF =，∴1324AD AB AC AE AF =+=+ ．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF 为菱形．AD ∴为菱形的对角线，AD ∴平分EAF ∠．∴直线AD 通过ABC ∆的内心．故选C ．6．已知ABC ∆所在的平面上的动点M 满足||||AP AB AC AC AB =+，则直线AP 一定经过ABC ∆的()A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心6．答案C解析||||AP AB AC AC AB =+ ∴11||||()||||AP AB AC AC AB AC AB =+，∴根据平行四边形法则知11||||AC AB AC AB +表示的向量在三角形角A 的平分线上，而向量AP 与11||||AC AB AC AB +共线，P ∴点的轨迹过ABC ∆的内心，故选C ．7．设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，P 是ABC ∆所在平面上的一点，c PA PB PA PCb⋅=⋅+22b c c a c PA PB PC PB b a a--=⋅+，则点P 是ABC ∆的()A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心7．答案C 解析因为22c b c c a c PA PB PA PC PA PB PC PB b b a a--⋅=⋅+=⋅+ ，所以2PA PB PA ⋅-=()c PA PC PA b ⋅-，2()c PA PB PB PB PC PB a ⋅-=⋅- ，所以c PA AB PA AC b ⋅=⋅ ，c BA PB PB BC a⋅=⋅ ，所以||cos ||cos c PA c PAB PA b PAC b ⋅∠=∠ ，||cos ||cos c PB c PBA PB a PBC a⋅∠=∠ ，所以PAB PAC ∠=∠，PBA PBC ∠=∠，所以AP 是BAC ∠的平分线，BP 是ABC ∠的平分线，所以点P 是ABC ∆的内心，故选C ．8．已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的()．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心8．答案B解析9．P 是△ABC 所在平面内一点，若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 是△ABC 的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心9．答案D解析由PA →·PB →＝PB →·PC →，可得PB →·(PA →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB →⊥CA →，同理可证PC →⊥AB →，PA →⊥BC →．∴P 是△ABC 的垂心．10．若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心10．答案D解析11．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ ，则点(O )A ．在AB 边的高所在的直线上B ．在C ∠平分线所在的直线上C ．在AB 边的中线所在的直线上D ．是ABC ∆的外心11．答案A 解析取AB 的中点D ，则 22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ ，∴2()||BA OA OB BC ⋅+=-+2||AC ，∴2(2)BA OD AB CD ⋅=⋅-，∴20BA OC = ，∴BA OC ⊥ ，∴点O 在AB 边的高所在的直线上，故选A ．12．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，则O 点的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心12．答案D 解析 BC OC OB =- ，CA OA OC =- 、AB OB OA =- ，∴由22222OA BC OB CA OC+=+= 2AB + ，得222222()()()OA OC OB OB OA OC OC OB OA +-=+-=+- ，∴OB OC OA OC OA OB ⋅=⋅=⋅ ，即()()()OC OB OA OA OC OB OB OC OA ⋅-=⋅-=⋅-，∴OC AB OA BC OB AC ⋅=⋅=⋅ ，则OC AB ⊥，OA BC ⊥，OB AC ⊥．O ∴是ABC ∆的垂心．故选D ．13．已知O ，N ，P 在所在ABC ∆的平面内，且||||||, OA OB OC NA NB NC ==++=0，且PA PB ⋅= PB PC⋅ =PA PC ⋅，则O ，N ，P 分别是ABC ∆的()A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心13．答案C14．点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC ∆的三个顶点，以下命题正确的是________．（把你认为正确的序号全部写上）．①②③④⑤①动点P 满足OP OA PB PC =++，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足(0)||||AB ACOP OA AB AC λλ=++>，则ABC ∆的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足(0)||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC C λλ=++>，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>，则ABC ∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλλ+=++> ，则ABC ∆的外心一定在满足条件的P 点集合中．14．答案①②③④⑤解析对于①， 动点P 满足OP OA PB PC =++ ，∴AP PB PC =+，则点P 是ABC ∆的心，故①正确；对于②， 动点P 满足()(0)||||AB AC OP OA AB AC λλ=++>，∴(||ABAP AB λ=+||AC AC (0)λ>，又||||AB ACAB AC +在BAC ∠的平分线上，∴AP 与BAC ∠的平分线所在向量共线，ABC ∴∆的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++(0)λ>，∴()||sin ||sin AB ACAP AB B AC C λ=+，(0)λ>，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，则||sin AB B = ||sin AC C AD =，()AP AB AC ADλ=+，向量AB AC + 与BC 边的中线共线，因此ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；对于④，动点P 满足()(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>，(AP λ= ∴)(0)||cos ||cos AB AC AB B AC C λ+> ，∴()(||||cos ||cos AB ACAP BC BC BC AB B AC Cλλ=+=-||)0BC =，∴AP BC ⊥ ，ABC ∴∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足OP = ()(0)2||cos ||cos OB OC AB AC AB B AC C λλ+++> ，设2OB OC OE += ，则(||cos ABEP AB Bλ=+)||cos AC AC C ，由④知(0||cos ||cos AB ACBC AB B AC C+=，∴0EP BC = ，∴EP BC ⊥ ，P ∴点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线；ABC ∴∆的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．考点二三角形四心的应用【例题选讲】[例2](1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A ＝__________．答案π6解析由G 为△ABC 的重心知GA →＋GB →＋GC →＝0，则GC →＝－GA →－GB →，因此a GA →＋b GB →＋33c (－GA →－GB →)－33c－33c →＝0，又GA →，GB →不共线，所以a －33c ＝b －33c ＝0，即a ＝b ＝33c ．由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22×33c 2＝32，又0<A <π，所以A ＝π6．(2)在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，AC ＝3，设O 是△ABC 的内心．若AO →＝pAB →＋qAC →，则pq＝________．答案32解析如图，O 为△ABC 的内心，D 为AC 中点，则O 在线段BD 上，cos ∠DAO ＝12|AC→||AO →|＝32|AO →|，根据余弦定理cos ∠BAC ＝4＋9－42×2×3＝34；由AO →＝pAB →＋q AC →得AO →·AB →＝pAB →2＋qAB →·AC →，所以|AO ，→||AB ，→|cos ∠BAO ＝pAB →2＋q |AB →||AC →|cos ∠BAC ，所以3＝4p ＋92q ①；同理AO →·AC →＝pAB →·AC →＋qAC →2，所以可以得到92＝92p ＋9q ②．①②联立可求得p ＝37，q ＝27，所以p q ＝32．(3)已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为()A B C －45，D －35，答案A解析取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →，OM →＝AM→－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)－xAB →．由OM →⊥AB →，得2－yAC →·AB →＝0，①，由ON →⊥AC →，得2－xAC →·AB →＝0，②，又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC →22＝－12，③，把③代入①、②得－2x ＋y ＝0，＋x －8y ＝0，解得x＝45，y ＝35．故实数对(x ，y )(4)在△ABC 中，O 是△ABC 的垂心，点P 满足：3OP →＝12OA →＋12OB →＋2OC →，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比是________．答案23解析如图，设AB 的中点为M ，设12OA →＋12OB →＝ON →，则N 是AB 的中点，点N 与M 重合，故由3OP →＝12OA →＋12OB →＋2OC →，可得2OP →＝OM →－OP →＋2OC →，即2OP →－2OC →＝OM →－OP →，也即PM →＝2CP →，由向量的共线定理可得C 、P 、M 共线，且MP ＝23MC ，所以结合图形可得△ABP 的面积与△ABC 的面积之比是23．(5)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是ABC ∆的外心、垂心，且M 为BC 中点，则()A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO+=- C ．24AB AC HM MO +=+ D ．24AB AC HM MO+=- 答案D解析如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM = ，M 为BC 中点，∴AB AC +22()2(2)4224AM AH HM OM HM OM HM HM MO ==+=+=+=-．故选D ．【对点训练】1．在△ABC 中，O 为△ABC 的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO →·AC →＝________．1．答案4解析设BC 边中点为D ，则AO →＝23AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13(3×2×cos 60°＋32)＝4．2．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA ＋sin B ·GB ＋sin C ·GC＝0，则B 的大小为________．2．答案60°解析∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA→＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0．又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴三角形ABC 是等边三角形，则角B ＝60°．秒杀∵G 为△ABC 的重心，∴OA →＋OB →＋OC →＝0，又∵sin A ·GA ＋sin B ·GB ＋sin C ·GC ＝0，∴sin A ＝sin B ＝sin C ，∴三角形ABC 是等边三角形，则角B ＝60°．3．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，则cos B ＝________．3．答案112解析设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2a ·GA →＋3b ·GB →＋3c ·GC →＝0，则2a ·GA →＋3b ·GB →＝－3c ·GC →＝－3c (－GA →－GB →)，即(2a －3c )GA →＋(3b －3c )GB →＝0．又GA →，GB →不共3c ＝0，－3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112．秒杀∵G 为△ABC 的重心，∴OA →＋OB →＋OC →＝0，又∵2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，∴2sin A＝3sin B ＝3sin C ，∴2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112．4．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________．4．答案5解析如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴C (a ，0)．∵AC →·AB →＝－1－12，－－12，－＋34＝－1，解得a ＝4．∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12(BA →＋BC →)(4，0)＝BO →·AC →5．5．过△ABC 重心O 的直线PQ 交AC 于点P ，交BC 于点Q ，PC →＝34AC →，QC →＝nBC →，则n 的值为____．5．答案35解析因为O 是重心，所以OA →＋OB →＋OC →＝0，即OA →＝－OB →－OC →，PC →＝34AC →⇒OC →－OP →＝34(OC →－OA →)⇒OP →＝34OA →＋14OC →＝－34OB →－12OC →，QC →＝nBC →⇒OC →－OQ →＝n (OC →－OB →)⇒OQ →＝nOB →＋(1－n )OC →，因为P ，O ，Q 三点共线，所以OP →∥OQ →，所以－34(1－n )＝－12n ，解得n ＝35．6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝m AM →成立，则m 等于()A ．2B ．3C ．4D ．56．答案B解析∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →．又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB→＋AC →＝3AM →，∴m ＝3，故选B ．7．已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60˚，则△OBC 的面积为()A ．33B ．3C ．32D ．237．答案A解析∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，于是S △OBC ＝13S △ABC ．∵AB →·AC →＝2，∴|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2，∵∠BAC ＝60˚，∴|AB →|·|AC →|＝4．又S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC的面积为33，故选A ．8．已知在△ABC 中，点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．8．答案(－2，0)解析依题意，设OP →＝λOC →(0<λ<1)，由OA →＋OB →＋OC →＝0，知OC →＝－(OA →＋OB →)，所以OP →＝－λOA →－λOB →，由平面向量基本定理可知，m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2，0)．9．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋OC＝0，则△ABC 的内角A 等于()A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°9．答案B 解析由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°．10．已知O 是△ABC 的外心，|AB →|＝4，|AC →|＝2，则AO →·(AB →＋AC →)＝()A ．10B ．9C ．8D ．610．答案A解析作OS ⊥AB ，OT ⊥AC ∵O 为△ABC 的外接圆圆心．∴S 、T 为AB ，AC 的中点，且AS →·SO→＝0，AT →·TO →＝0，AO →＝AS →＋SO →，AO →＝AT →＋TO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝AO →·AB →＋AO →·AC →＝(AS →＋SO →)·AB →＋(AT →＋TO →)·AC →＝AS →·AB →＋SO →·AB →＋AT →·AC →＋TO →·AC →＝12AB →·AB →＋12AC →·AC →＝12|AB →|2＋12|AC →|2＝8＋2＝10．故选A ．优解：不妨设∠A ＝90°，建立如图所示平面直角坐标系．设B (4，0)，C (0，2)，则O 为BC 的中点O (2，1)，∴AB →＋AC →＝2AO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝2|AO →|2＝2(4＋1)＝10．故选A ．11．若点P 是△ABC 的外心，且PA →＋PB →＋λPC →＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为()A ．12B ．－12C ．－1D ．111．答案C 解析设AB 的中点为D ，则PA →＋PB →＝2PD →．因为PA →＋PB →＋λPC →＝0，所以2PD →＋λPC →＝0，所以向量PD →，PC →共线．又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB ．因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而PA →＋PB →＝2PD →＝PC →，所以2PD →＋λPC →＝PC →＋λPC →＝0，所以λ＝－1，故选C ．12．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于()A ．32B ．3C ．3D ．2312．答案C解析∵OA →＋AB →＋OC →＝0，∴OB →＝－OC →，故点O 是BC 的中点，且△ABC 为直角三角形，又△ABC 的外接圆的半径为1，|OA →|＝|AB →|，∴BC ＝2，AB ＝1，CA ＝3，∠BCA ＝30°，∴CA →·CB →＝|CA →||CB →|·cos 30°＝3×2×32＝3．13．若△ABC 的面积为3，AB →·AC →＝2，则△ABC 外接圆面积的最小值为()A ．πB ．4π3C ．2πD ．8π313．答案B 解析设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由题意可得12bc sin A ＝3，bc cos A＝2，∴tan A ＝3．又A ∈(0，π)，∴A ＝π3．∴bc cos π3＝2，即bc ＝4．由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝4，即a ≥2．又由正弦定理得asin A＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴2R sin A ＝a ≥2，即3R ≥2，∴R 2≥43，∴三角形外接圆面积的最小值为4π3．14．已知O 为锐角△ABC 的外心，|AB →|＝3，|AC →|＝23，若AO →＝xAB →＋yAC →，且9x ＋12y ＝8，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OA →·OC →，则()A ．I 2<I 1<I 3B ．I 3<I 2<I 1C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 3<I 114．解析：选D如图，分别取AB ，AC 的中点，为D ，E ，并连接OD ，OE ，根据条件有OD ⊥AB ，OE⊥AC ，∴AO →·AB →＝12|AB ―→|2＝92，AO →·AC →＝12|AC ―→|2＝6，∴AO →·AB →＝(xAB →＋yAC →)·AB →＝9x ＋63y ·cos ∠BAC ＝92，①，AO →·AC →＝(xAB →＋yAC →)·AC →＝63x cos ∠BAC＋12y ＝6，②，又9x ＋12y ＝8，③，∴由①②③解得cos ∠BAC ＝33－78．由余弦定理得，BC ＝9＋12－2×3×23×33－78＝15＋3212．∴BC >AC >AB ．在△ABC 中，由大边对大角得，∠BAC >∠ABC >∠ACB ，∴∠BOC >∠AOC >∠AOB ，∵|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，且余弦函数在(0，π)上为减函数，∴OB →·OC →<OA →·OC →<OA →·OB →，即I 2<I 3<I 1．15．已知O 是△ABC 的外心，∠C ＝45°，则OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是()A ．[－2，2]B ．[－2，1)C ．[－2，－1]D ．(1，2]15．答案B解析由题意∠C ＝45°，所以∠AOB ＝90°，以OA ，OB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设A (1,0)，B (0,1)，则C 在圆O 的优弧AB 上，设C (cos α，sin α)，则α显然OC →＝cos αOA →＋sin αOB →，即m ＝cos α，n ＝sin α，m ＋n ＝cos α＋sin α＝2sinαα＋π4∈∈－1m ＋n ∈[－2，1)，故选B ．16．已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，如图所示，点O 是坐标原点，则|OA →|的最大。

平面向量的垂直性判定平面向量是数学中非常重要的概念，在各个领域中都有广泛的应用。

而判定平面向量是否垂直则是解决很多问题的关键步骤之一。

本文将介绍平面向量的垂直性判定方法，并提供相应的例题来加深理解。

一、平面向量的定义与表示在二维平面中，平面向量可以通过两个有序实数的有序对(a, b)来表示，记作向量a，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。

向量的模可以使用勾股定理计算，即|a| = √(a² + b²)。

二、平面向量的垂直性判定方法1. 向量垂直的性质若向量a = (a₁, a₂)和向量b = (b₁, b₂)垂直，根据向量的内积性质可得：a·b = 0。

所以，垂直性判定的关键是计算向量的内积，若内积等于0，则两个向量垂直。

2. 利用内积判定垂直性设有两个向量a = (a₁, a₂)和向量b = (b₁, b₂)，判定它们是否垂直，可以通过计算它们的内积来判断。

内积公式为：a·b = a₁b₁ + a₂b₂如果a·b = 0，则向量a和向量b垂直；如果a·b ≠ 0，则向量a和向量b不垂直。

三、应用与例题实践1. 判断向量垂直性的应用平面向量的垂直性判定在几何题和物理题中都有广泛的应用，例如：判断两个直线是否垂直、判断两个力是否垂直等。

2. 例题实践例题1：已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, -2)，判断向量a和向量b的垂直性。

解：计算向量a和向量b的内积：a·b = 2×4 + 3×(-2) = 8 - 6 = 2由于a·b ≠ 0，所以向量a和向量b不垂直。

例题2：设向量c = (3, 5)，求与向量c垂直的单位向量d。

解：设向量d = (x, y)为与向量c垂直的单位向量，即向量c·d = 0。

则有：3x + 5y = 0由于向量d为单位向量，所以|x|² + |y|² = 1。

平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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第10讲用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见方法归类1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.知识点1空间中点、直线和平面的向量表示1．空间直线的向量表示式设A 是直线上一点，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，设P 是直线l 上任意一点，(1)点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使AP →＝ta ，即AP →＝tAB →.(2)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t .使OP →＝OA →＋ta .(3)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →.注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l 的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l 平行或重合．(2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．(3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．2．空间平面的向量表示式①如图，设两条直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a 和b ，P 为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使得OP →＝xa ＋yb.②如图，取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．如图，直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量．给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P |a ·AP →＝0}．注意点：(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．易错辨析：（1）空间中给定一个点A 和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？答案：能（2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？答案：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定．（3）由空间点A 和直线l 的方向向量能表示直线上的任意一点？答案：能知识点2空间平行、垂直关系的向量表示1、理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．2、利用待定系数法求法向量的步骤3、求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为04、用空间向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．②证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．③先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．在证明线面平行时，需注意说明直线不在平面内．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．5、用空间向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零．(2)线面垂直：①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．考点一：求直线的方向向量例1．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD PC 的一个方向向量．【答案】1)-【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A －xyz ，则(0,0,1)P ，C ，所以1)PC =-即为直线PC 的一个方向向量.变式1．（2023春·高二课时练习）已知直线1l 的一个方向向量为()5,3,2-，另一个方向向量为(),,8x y ，则x =________，y =________.【答案】－2012【分析】由直线的方向向量平行的性质即可求解.【详解】∵直线的方向向量平行，∴8532x y ==-，∴20,12x y =-=，故答案为：20-；12.变式2．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知直线l 的一个法向量是)n =，则l 的倾斜角的大小是（）A ．π3B ．2π3C ．π6D ．π2【答案】A【分析】设直线l 的倾斜角为θ，[)0,πθ∈，直线l 的方向向量为(),u x y =，根据直线方向向量与法向量的关系得到得到y =，即可求解.【详解】设直线l 的倾斜角为θ，[)0,πθ∈，直线l 的方向向量为(),u x y =.则0u n y ⋅=-=，即y =，则tan y xθ==又[)0,πθ∈，解得π3θ=，故选：A.变式3．【多选】（2022秋·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上不与1C ，C 重合的任意一点，则能作为直线1AA 的方向向量的是（）A ．1AA B ．1C EC ．ABD ．1A A【答案】ABD【分析】结合立体图形，得到平行关系，从而确定答案.【详解】因为111////C E AA A A ，所以1AA ，1C E ，1A A都可作为直线1AA 的方向向量.故选：ABD.变式4．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】根据//m AB求解即可.【详解】由题知：()1,2,3AB y z =---，因为//m AB ，所以213123y z -==---，解得33,22y z ==，所以0y z -=.故选：A考点二：求平面的法向量例2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)C ，则平面ABC 的一个法向量可以是（）A ．(1,1,1)---B ．(1,1,1)-C ．(1,1,1)-D ．(1,1,1)-【答案】A【分析】代入法向量的计算公式，即可求解.【详解】(2,2,0)AB =- ，(2,0,2)AC =- ，令法向量为(,,)m x y z = ，则220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，y z x ∴==，可取(1,1,1)m =---.故选：A.变式1．（2023春·高二课时练习）已知()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1A B C ，则平面ABC 的一个单位法向量是（）A ．()1,1,1B．C ．111(,,)333D．(,)333-【答案】B【分析】待定系数法设平面ABC 的一个法向量为n，由法向量的性质建立方程组解出分析即可.【详解】设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =，又()()0,1,1,1,1,0AB BC =-=- ，由0000AB n AB n y z x y BC n BC n ⎧⎧⊥⋅=-+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ ，即x y z ==，又因为单位向量的模为1，所以B 选项正确，故选：B.变式2．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，=90BDC ∠︒，BD AB CD ==.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面ACD 的一个法向量为（）A ．()0,1,0B ．()0,1,1C ．()1,1,1D ．()1,1,0【答案】B【分析】根据题意，设1BD AB CD ===，可得A 、C 、D 的坐标，由此可得向量DC 、AD的坐标，由此可得关于x 、y 、z 的方程组，利用特殊值求出x 、y 、z 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设1BD AB CD ===，则()0,1,0D ，()1,1,0C ，()0,0,1A ，则()1,0,0DC = ，()0,1,1AD =- ，设平面ACD 的一个法向量为(),,m x y z=，则有00DC m x AD m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，可得1z =，则()0,1,1m = .故选：B ．变式3．（2023秋·高二课时练习）在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义判断可得答案.【详解】设正方体的棱长为a ，则(0,,0)D a ，1(0,,)D a a ，1(0,0,)DD a = ，则1DD与(0,0,1)平行，故直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)，故①正确；因为(,0,0)B a ，1(,,)C a a a ，所以1(0,,)BC a a = ，因为1BC与(0,1,1)平行，所以直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)，故②正确；因为(0,0,0)A ，(0,,0)D a ，所以(0,,0)AD a = ，因为AD 是平面11ABB A 的一个法向量，且AD与(0,1,0)平行，所以平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)，故③正确；因为(,,0)C a a ，(0,,0)D a ，所以(,0,0)CD a =-，因为(1,1,1)(,0,0)(1,1,1)0CD a a ⋅=-⋅=-≠ ，所以CD与(1,1,1)不垂直，所以(1,1,1)不是平面1B CD 的一个法向量，故④不正确.故选：C变式4．（2023·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ⊥平面ABC ，写出：平面BHD 的一个法向量___________；【答案】()（答案不唯一）【分析】利用向量法得出平面BHD的一个法向量.【详解】由题意可知23CH OC DH===，则(),0,1,0,0,,333H B D⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,0,3HD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,1,3BH⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭.设(),,n x y z=为平面BHD的一个法向量，则3n HD zn BH x y⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，不妨设1x=，则()n=.故平面BHD的一个法向量为().故答案为：()（答案不唯一）变式5．（2023春·高二课时练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E，F分别为棱1111,A D A B的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面11BDD B的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量.【答案】(1)(2,2,0)=-AC(答案不唯一)(2)(2,2,1)n=--(答案不唯一)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量；（2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量.【详解】（1）由题意，可得()()()()()0,0,0,2,2,0,2,0,0,0,2,0,1,0,2D B A C E ,连接AC ，因为底面为正方形，所以AC BD ⊥,又因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，且1BD DD D = ，则AC ⊥平面11BDD B ，∴(2,2,0)=-AC 为平面11BDD B 的一个法向量.(答案不唯一).（2）(2,2,0),(1,0,2).DB DE ==设平面BDEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则,0220,,120,.02y x n DB x y x z z x n DE =-⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪∴∴⎨⎨⎨+=-⋅=⎩⎪⎪⎩⎩令2x =，得2, 1.y z =-=-∴(2,2,1)n =--即为平面BDEF 的一个法向量.(答案不唯一).变式6．【多选】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量()2,1,0AB = ，()1,2,1AC =- ，()3,1,1BC =-，则下列说法正确的是（）A ．AB与AC 是共线向量B ．与AB同向的单位向量是,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．BC 在AB方向上的投影向量是()2,1,0--D ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】BCD【分析】A ：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在R λ∈使AB AC λ= ；B ：与AB同向的单位向量是||ABAB 即可判断；C ：由投影向量的定义可解；D ：应用平面法向量的求法求平面ABC 的一个法向量，即可判断.【详解】A ：若AB与AC 共线，存在R λ∈使AB AC λ= ，则2120λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩无解，故不共线，错误；B ：与AB同向的单位向量是||AB AB ==，正确；C：由cos ,11||||AB BCAB BC AB BC ⋅==-，则BC 在AB方向上的投影向量是()cos ,2,1,0AB BC AB BC AB ⎛=⨯-- ⎝⎭，正确；D ：若(,,)m x y z = 是面ABC 的一个法向量，则2020m AB x y m AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令=2y -，则(1,2,5)m =- ，正确.故选：BCD变式7．（2023春·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知()2,0,2a =，()3,0,0= b 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是（）A ．()1,0,0B ．()0,1,0C ．()0,0,1D ．()1,1,1【答案】B【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解.【详解】因为四个选项中，只有()()()0,1,02,0,20,1,00⋅=⋅=a ，()()()0,1,03,0,00,1,00⋅=⋅=b ，所以平面α，β交线的方向向量可以是()0,1,0故选：B变式8．（2023秋·福建南平·高二统考期末）已知四面体ABCD 的顶点坐标分别为()0,0,2A ，()2,2,0B ，()1,2,1C ，()2,2,2D ．(1)若M 是BD 的中点，求直线CM 与平面ACD 所成的角的正弦值；(2)若P ，A ，C ，D 四点共面，且BP ⊥平面ACD ，求点P 的坐标．【答案】3(2)482,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意分别求出向量()1,0,0CM = 和平面ACD 的一个法向量()1,1,1n =--，再用直线与平面所成的角的正弦值公式代入计算即可；（2）由题意，(),,BP n λλλλ==--，于是点P 的坐标为()2,2,λλλ+--，由P ，A ，C ，D 四点共面，可设AP xAD y AC =+ ，将,AP AD AC ,坐标分别代入即可解得23λ=-，从而求得点P 的坐标.【详解】（1）由题意，()1,2,1AC =- ，()2,2,0AD = ，()2,2,1M ，()1,0,0CM =，可设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x y z x y +-=⎧⎨+=⎩，化简得z xy x=-⎧⎨=-⎩．令1x =，则1y =-，1z =-，可得平面ACD 的一个法向量()1,1,1n =--，设直线CM 与平面ACD ，则sin 3CM n CM n θ⋅===⋅ ，即直线CM 与平面ACD（2）由题意，(),,BP n λλλλ==-- ，于是点P 的坐标为()2,2,λλλ+--，又P ，A ，C ，D 四点共面，可设AP xAD y AC =+，即()()()2,2,22,2,01,2,1x y λλλ+---=+-，即222222x y x y y λλλ+=+⎧⎪-=+⎨⎪--=-⎩，解得23λ=-，所以所求点P 的坐标为482,,333⎛⎫⎪⎝⎭．变式9．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知点()2,6,2A -在平面α内，()3,1,2=n 是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是（）A ．()1,1,1P -B ．31,3,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,4P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据每个选项中P 点的坐标，求出AP的坐标，计算AP n ⋅ ，根据结果是否等于0，结合线面垂直的性质，即可判断点P 是否在平面α内.【详解】对于选项A ，()1,5,1AP =-- ，所以1351120AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯= ，根据线面垂直的性质可知AP α⊂,故()1,1,1P -在平面α内；对于选项B ，11,9,2AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则11391202AP n ⋅=-⨯+⨯+⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭不在平面α内；对于选项C ，11,3,2AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则11331202AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭不在平面α内；对于选项D ，113,3,4AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则113331204AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,4P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭不在平面α内；故选：A变式10．（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知点()01,2,3P -在平面α内，平面{}00P n P P α=⋅= ∣，其中()1,1,1n =-是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是（）A ．()2,4,8-B ．()3,8,5C ．()2,3,4-D ．()3,4,1-【答案】B【分析】由法向量的定义结合数量积运算确定y =x+z ，再判断选项.【详解】设(),,P x y z 是平面α内的一点，则()01,2,3P P x y z =+--，所以()()()1230x y z +--+-=，即y =x+z ，选项B 满足．故选：B考点三：用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系例3．（2023秋·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，则（）A ．l ∥α或l ⊂αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交【答案】A【分析】直线的一个方向向量()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，计算数量积，即可判断出结论．【详解】 直线的一个方向向量为()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，2570a u →→∴⋅=+-=，∴a u →→⊥，l α∴∥或l ⊂α，故选：A变式1．（2023春·高二单元测试）若平面α与β的法向量分别是()1,0,2a =-，()1,0,2b =-r，则平面α与β的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断【答案】A【分析】利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系.【详解】因为()1,0,2a =- ，()1,0,2b =-r是平面α与β的法向量，则a b =-，所以两法向量平行，则平面α与β平行.故选：A变式2．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）已知平面α与平面ABC 是不重合的两个平面，若平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，则平面α与平面ABC 的位置关系是________.【答案】平行【分析】分别计算AB m ⋅ ，AC m ⋅ ，可得0m AB ⋅= ，0m AC =⋅ ，从而可知m AB ⊥ ，m AC ⊥ ，m ⊥平面ABC ，所以可得平面α与平面ABC 平行.【详解】平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，()220410AB m =⨯⨯=⋅++- ，()2116410AC m =⨯+-⨯+⨯=⋅，所以m AB ⊥ ，m AC ⊥ ，m ⊥平面ABC ，平面ABC 的一个法向量为(2,1,4)m =-，又因为平面α与平面ABC 是不重合的两个平面所以平面α与平面ABC 平行.故答案为：平行.变式3．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体ABCD A B C D -''''中，222AA AB AD '===，以点D 为坐标原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设对角面ACD '所在法向量为(,,)x y z ，则::x y z =__________．【答案】2:2:1【分析】利用法向量的求法进行求解即可【详解】由题意得()1,0,0A ，()0,1,0C ，()0,0,2D '，()1,1,0AC =- ，()1,0,2AD '=-，因为平面ACD '的法向量为(),,n x y z = ，则00AC n AD n '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()20x k k =≠，则2,y k z k ==，故::2:2:1x y z =故答案为：2:2:1变式4．【多选】（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（）A ．若两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，则12//l l B ．若直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=-，则l //αC ．若两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则//αβD ．若平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()11,,n u t =是平面α的法向量，则1u t +=【答案】ACD【分析】利用空间向量共线定理判断A 即可；由,a μ的关系式即可判断B ；由12,n n 的关系即可判断选项C,利用平面内法向量的性质即可判断D.【详解】因为两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，所以a b =-，所以,a b 共线，又直线1l ，2l 不重合，所以12//l l ，故A 正确；因为直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=-且53a μ=-，所以l α⊥，故B 不正确；两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则有212n n =-，所以//αβ，故C 正确；平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，所以()(),,1,1,11,1,0B B A C --==又向量()11,,n u t = 是平面α的法向量，所以1111010100AB n AB n u t u BC n BC n ⎧⎧⊥⋅=-++=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=⊥⊥=⎩⎪⎪⎩⎩则1u t +=，故D 正确，故选：ACD.（二）已知直线、平面的平行关系求参数例4．（2022秋·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线l 的方向向量是()1,1,1s =- ，平面α的法向量()222,,n x x x =+-，若直线//l 平面α，则x =______．【答案】2【分析】线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即它们的数量积为零，根据数量积的坐标表示列出方程求解即可.【详解】解：若直线//l 平面α，则0s n ⋅=，22220x x x x ∴-++-=-=，解得2x =，故答案为：2.变式1．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线l 的一个方向向量为(1,2,1)d =-，平面α的一个法向量(,4,2)n x =-，若//l α，则实数x =_______．【答案】10【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出x 的值.【详解】因为//l α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，即(,4,2)(1,2,1)820n d x x ⋅=-⋅-=--=，解得：10x =.故答案为：10变式2．（2022秋·天津蓟州·高二校考期中）直线l 的方向向量是()1,1,1s →=，平面α的法向量()21,,n x x x →=--，若直线l α∥，则x =___________.【答案】1【分析】结合已知条件可得s n →→⊥，然后利用垂直向量的数量积为0即可求解.【详解】由题意可知，s n →→⊥，因为()1,1,1s →=，()21,,n x x x →=--，从而210s n x x x →→⋅=+--=，解得1x =.故答案为：1.变式3．（2023春·上海·高二校联考阶段练习）已知平面α的一个法向量为()11,2,3n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，若//αβ，则k 的值为______【答案】6【分析】因为法向量定义，把//αβ转化为12//n n，可得k 的值.【详解】因为平面α的一个法向量为()11,2,3n =- ，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，又因为//αβ，所以12//n n，可得()()342k -⨯-=，即得6k =.故答案为：6.（三）证明直线、平面的平行问题例5．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱11ABC AB C -中侧棱与底面垂直，且AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，AB ⊥AC ，M ，N ，P ，D 分别为CC 1，BC ，AB ，11B C 的中点．求证：PN ∥面ACC 1A 1；【解析】以点A 为坐标原点，AB ､AC ､1AA 所在直线分别为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,4A ，()2,0,0B ，()0,2,2M ，()1,1,0N ，()1,0,4P ．取向量()2,0,0AB = 为平面11ACC A 的一个法向量，()0,1,4PN =-，∴()0210400PN AB ⋅=⨯++-=⨯⨯，∴PN AB ⊥ ．又∵PN ⊄平面11ACC A ，∴PN ∥平面11ACC A ．变式1．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，线段AD 的中点为O 且PO ⊥底面ABCD ，112AB BC AD ===，π2BAD ABC ∠==∠，E 是PD 的中点．证明：CE ∥平面PAB ；【解析】连接OC ，因为//,AO BC AO BC =，所以四边形OABC 为平行四边形，所以//AB OC ，所以OC AD ⊥，以OC ，OD ，OP 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，则(P ，()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C．11,22CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,1,PA =-，(1,1,PB =- ，设平面PAB 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100PA n y PB n x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，则0x =，令1z =-，y =平面PAB的一个法向量()11n =-，1022CE n ⋅== ，则1CE n ⊥ ，又CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．变式2．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为棱AB ，11B C 的中点，2BC =，AB =114AC =.证明：//DE 平面11ACC A ；【解析】证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，2BC =，AB =114AC =.所以114AC AC ==，则222AC AB BC =+，则AB BC ⊥，则如下图，以B 为原点，1BC BA BB ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，设1BB h =，则()()()00000200A B C ,,,,,,,,()()()()()111000200010A h B h C h D E h ,,,,,,,,,,,,所以()1DE h =，()()12000AC AA h =-=，，，，，设平面11ACC A 的一个法向量为()n x y z =，，，所以1200AC n x AA n hz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =，则0x z ==，即)0n =，，所以())1000DE n h ⋅=⋅==，，得DE n ⊥，又DE ⊄平面11ACC A ，所以//DE 平面11ACC A ；变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，2PA AC ==，1AB =．求证：//MN 平面BDE ；【解析】因为PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，建立空间直角坐标系如图所示，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,0,),(,1,0),(0,0,2)22A B C D E M N P ，所以(0,1,0),(1,0,1)DE DB ==-，设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量，则0n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y x z =⎧⎨-=⎩，不妨设1z =，可得(1,0,1)n = ，又11,1,22MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，可得0MN n ⋅=，因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ，变式4．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，四边形ABCD 是直角梯形，且AB AD ⊥，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且1BE =.求证：//DM 平面PAB ；【解析】证明：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()002P ,,，()2,4,0C ，()1,2,1M ，()2,1,0E ，()1,0,1DM =，易知平面PAB 的一个法向量为()0,2,0AD = ，故0DM AD ⋅=，则DM AD ⊥ ，又DM ⊂/平面PAB ，故//DM 平面PAB ．变式5．（2023·四川成都·校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD MN ⊥，2AB =，4AD AP ==，M ，N 分别是BC ，PD 的中点.求证：MN ∥平面PAB ；【解析】（1）由题意，在矩形ABCD 中，2AB =，4AD AP ==，AB AD ⊥,M ，N 分别是BC ，PD 的中点，∴11222BM CM BC AD ====，2AB CD ==，在四棱锥P ABCD -中，面PAD ⊥平面ABCD ，面PAD ⋂面ABCD AD =，AB AD ⊥，∴AB ⊥面PAD ，PA ⊂面PAD ，∴PA AB ⊥，取AP 中点E ，连接BE ，由几何知识得BE MN ∥，∵AD MN ⊥，∴AD BE ⊥，AD AB⊥∵BE ⊂面PAB ，AB ⊂面PAB ，AB BE B = ∴AD ⊥面PAB ，∴PA AD⊥以AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如下图所示，∴()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,0,4,0,0,0,4,2,2,0,0,2,2A B C D P M N ，∴()2,0,2MN =- ，面PAB 的一个法向量为()0,4,0AD =，∵2004200MN AD ⋅=-⨯+⨯+⨯=，∴MN ∥平面PAB .变式6．（2021·高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别在棱1A A ，11A B ，11A D 上，1111A E A F AG ===；点P ，Q ，R 分别在棱1CC ，CD ，CB 上，1CP CQ CR ===．求证：平面//EFG 平面PQR ．【答案】证明见解析【分析】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，令1,,AB a BC b BB c ===写出EF 、EG uu ur 、PQ 、PR ，进而求面EFG 、面PQR 的法向量m 、n ，根据所得法向量的关系即可证结论.【详解】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，设1,,AB a BC b BB c ===(,,1)a b c >，又1111A E A F AG ===，1CP CQ CR ===，∴(,0,1)E b c -，(,1,)F b c ，(1,0,)G b c -，(0,,1)P a ，(0,1,0)Q a -，(1,,0)R a ，∴(0,1,1)EF = ，(1,0,1)EG =- ，(0,1,1)PQ =--，(1,0,1)PR =- ，设(,,)m x y z = 是面EFG 的一个法向量，则00EF m y z EG m z x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，(1,1,1)m =- ，设(,,)n i j k = 是面PQR 的一个法向量，则00PQ n j k PR n i k ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1i =，(1,1,1)n =- ，∴面EFG 、面PQR 的法向量共线，故平面//EFG 平面PQR ，得证.变式7．（2023·上海普陀·ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长1，侧棱长4，AA 1中点为E ，CC 1中点为F．求证：平面BDE ∥平面B 1D 1F ；【解析】（1）以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则B （1，0，0），D （0，1，0），E （0，0，2），B 1（1，0，4），D 1（0，1，4），F （1，1，2），∵()10,1,2DE FB ==-，∴DE ∥FB 1，1//,DE FB DE ⊄ 平面11B D F ，1FB ⊂平面11B D F ，//DE ∴平面11B D F ，同理//BD 平面11B D F ，∵BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，BD DE D ⋂=平面BDE ，∴平面//BDE 平面11B D F ．考点四：利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系例6．（2021秋·北京·高二校考期中）直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--=，则（）A ．12l l ⊥B ．1l ∥2l C ．1l 与2l 相交不平行D ．1l 与2l 重合【答案】A【分析】由题意可得0a b ⋅= ，即得a b ⊥，从而得12l l ⊥，即得答案.【详解】解：因为直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--=，(1,3,1)(8,2,2)8620a b ⋅=--⋅=--=所以a b ⊥ ，即12l l ⊥.故选：A.变式1．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）若直线l 的方向向量为e (2,3,1)=-，平面α的法向量为311,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则直线l 和平面α位置关系是（）A ．l α⊥B ．//l αC ．l α⊂D ．不确定【答案】A【分析】根据题意判断直线l 的方向向量和平面α的法向量的关系，即可判断直线l 和平面α位置关系.【详解】由题意直线l 的方向向量为e (2,3,1)=- ，平面α的法向量为311,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,可知e 2n =-，故l α⊥,故选：A变式2．【多选】（2022秋·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知v为直线l 的方向向量,12,n n 分别为平面α,β的法向量（α,β不重合）,那么下列说法中正确的有（）．A ．12n n αβ⇔∥∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．1v n l ⇔ α∥∥D ．1v n l ⊥⇔⊥ α【答案】AB【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.【详解】解:若12n n∥,因为α,β不重合,所以αβ∥,若αβ∥,则12,n n 共线,即12n n∥,故选项A 正确;若12n n ⊥,则平面α与平面β所成角为直角,故αβ⊥,若αβ⊥,则有12n n ⊥,故选项B 正确;若1v n ∥,则l α⊥,故选项C 错误;若1v n ⊥,则l α∥或l ⊂α,故选项D 错误.故选:AB变式3．（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=--，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则l α∥【答案】AC【分析】根据条件，利用方向向量､法向量的定义与性质，结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】解：对于A ，两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是(2,3,1),(2,3,1)a b =-=--，则b a =-，所以//a b ，即12l l //，故A 正确；对于C ，两个不同的平面α，β的法向量分别是(2,2,1),(3,4,2)u v =-=-，则0u v =⋅，所以αβ⊥，故C 正确；对于B ，直线l 的方向向量(1,1,2)a =- ，平面α的法向量是(6,4,1)u =-，则16142(1)0a u ⋅=⨯-⨯+⨯-= ，所以a u ⊥，即//l α或l ⊂α，故B 错误；对于D ，直线l 的方向向量(0,3,0)a = ，平面a 的法向量是(0,5,0)u =-，则53u a =-，所以//μα ，即l α⊥，故D 错误．故选：AC ．变式4．【多选】（2022·高二课时练习）下列命题是真命题的有()A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 为，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，平面α的法向量为10,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则l ⊥αD ．平面α经过三点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --，()1,,=rn u t 是平面α的法向量，则u +t ＝1【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可．【详解】解：对于A ，A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一个基底，则,,BA BM BN共面，可得A ，B ，M ，N 共面，故A 正确；对于B ，2110a b ⋅=--=，故a ⊥ ，可得l 与m 垂直，故B 正确；对于C ，0110a n ⋅=-+= ，故a n ⊥，可得在α内或l ∥α，故C 错误；对于D ，()1,1,1AB =- ，易知AB n ⊥，故﹣1+u +t ＝0，故u +t ＝1，故D 正确．故选：ABD ．（二）已知直线、平面的垂直关系求参数例7．（2023春·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面α的法向量为()1,2,0n = ，直线l 的方向向量为v，则下列选项中使得l α⊥的是（）A ．()2,1,0v =-B ．()2,1,0v =C ．()2,4,0v =D ．()1,2,0v =-【答案】C【分析】根据法向量与方向向量的定义，即可求得本题答案.【详解】若l α⊥，则直线l 的方向向量v垂直于平面α，所以v与平面α的法向量()1,2,0n = 平行，显然只有选项C 中2v n = 满足.故选：C变式1．（江苏省扬州市2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线l 的方向向量为()2,1,2e =-，平面α的法向量为()()2,,,n a b a b a b =--+∈R.若l α⊥，则3a b +的值为（）A ．5-B ．2-C ．1D ．4【答案】A【分析】根据题意得到//e n ，进而得到方程组12a b a b -=⎧⎨+=-⎩，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由直线l 的方向向量为()2,1,2e =-，平面α的法向量为()2,,n a b a b =--+ ，因为l α⊥，可得//e n ，所以2212a b a b--+==-，即12a b a b -=⎧⎨+=-⎩，解得13,22a b =-=-，所以193522a b +=--=-.故选：A.变式2．（2023春·高二课时练习）已知()()3,,,R u a b a b a b =-+∈ 是直线l 的方向向量，()1,2,4n =r是平面α的法向量．若l α⊥，则ab =______．【答案】27【分析】根据线面垂直的概念，结合法向量的性质可得u n ∥，进而求得,a b ，即得.【详解】∵l α⊥，∴//u n ，∴3124a b a b-+==，故612a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得93a b =⎧⎨=⎩，∴27ab =．故答案为：27.变式3．（2022秋·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l 方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，则m 为（）A ．1B ．2C ．4D ．54-【答案】C【分析】由l α⊥可知l 的方向向量为与平面α的法向量平行，再利用向量共线定理即可得出．【详解】l α⊥ ，l ∴的方向向量为()2,1,m 与平面α的法向量11,,22⎛⎫⎪⎝⎭平行，∴1(2,1,)(1,,2)2m λ=．∴21122m λλλ=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得4m =．故选：C ．变式4．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D -ABC中，AB =，2DA =，O 为底面ABC 的中心，点P 在线段DO 上，且PO DO λ=uu u r uuu r，若PA ⊥平面PBC ，则实数λ=（）A ．12B ．13-C．4D．6【答案】D【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC 的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数λ即可.【详解】由题设，△ABC2DA DB DC ===，等边△ABC32=，在正棱锥中，以O 为原点，平行CB 为x 轴，垂直CB 为y 轴，OD 为z 轴，如上图示，则11(0,1,0),(,,0),(,,0),2222A B C D --，且)P ，所以)AP =，1,)2PB =，CB = ，若(,,)m x y z = 为面PBC的法向量，则1020PB m y z CB m ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令1z =，则(0,,1)m = ，又PA ⊥平面PBC ，则AP km = 且k为实数，101k k λ⎧=⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩，故λ=.故选：D（三）证明直线、平面的垂直问题例8．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明AM ⊥平面BMC .。

i ，y 轴上单位向量j ，____,i i ⋅=_____j j ⋅=____,_____.i j j i ⋅=⋅=向量数量积的定义是什么？如何求向量夹角？平面向量的数量积有那些性质?4. 向量平行和垂直的条件：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，||________;______.a b a b a b a b ⇔⋅=⊥⇔⋅=若；二．建构知识．向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y ==，___________a b ⋅=．长度、夹角、平行、垂直的坐标表示：1）长度：(,)a x y =⇒ 2||________||_________.a a =⇒=；2）两点间的距离公式：22),(,)B x y ，则___________________AB =；cos ________________.||||a b a b θ⋅==⋅； 1122(,),(,)a x y b x y ==，||_______________.a b ⇔a 、b 都是非零向量，∵_________________.a b ⊥⇔（注意与向量共线的坐标表示的区别）设(5,7),(6,4)a b =-=--，则 ______a b ⋅=．(5,7),(10,),a b t =-=-||,____.a b t =若则在Rt ABC ∆中，90,(2,3)A AB ︒==，(1,AC k =三．典例探究 (1,2),(3,),,a m b m m R =-=∈//a b ，则m 的值是_____________________________.a b ⊥，则m 的值是_____________________________.已知a b 和的夹角为钝角，则m 的取值范围是a b 和的夹角为锐角，则（1）已知A （(2,3),(1,AB AC k ==中，设1331311231a b a b a b a b ==+-==-（）若（，），（，）则与的夹角为______.）若（，），（，）则与的夹角的余弦值为______.已知(1,8),OA =-|________.(2)AB AC +=ABC 的形状是__(1,1)a =-，(4,2)b =，|26a b +=，,a b 中，若(4,3)a =-，b ，且5a b ⋅=，则向量例6则实数为则实数为（1）已知a =（3，4），b =（2，-1），且（a +mb）⊥（a -b ），m 何值？（2）已知a =（1，2），b =（n，1），且（a +2b）//（2a -b），n 何值？设向量,m n 是两个非零向量，2)(4),(3)(75),m n m n m n m n -⊥-+⊥-,m n 的夹角的正切值为：已知平面向量(3,1)a =-b =(21,23不为零的实数k 和角α,使(sin 3)c a b α=+-,(sin )d k a b α=-+,且c d ⊥，试求实数k 的取值范围.。

平面向量的平行性判定平面向量的平行性判定是数学中的一个重要概念，它用于判断两个平面向量是否平行。

在本文中，我们将介绍平面向量的定义、平行性的判定方法以及具体的数学公式和示例。

一、平面向量的定义在二维笛卡尔坐标系中，平面向量是由两个实数组成的有序对，表示为(a, b)。

其中，a称为向量在x轴上的分量，b称为向量在y轴上的分量。

平面向量可以用有向线段来表示，箭头指向向量的方向，线段的长度表示向量的模。

二、平行向量的定义和性质两个非零向量a和b平行，当且仅当它们的对应分量成比例，即有以下条件成立：a = k *b 或 b = k * a其中，k为非零实数。

根据平行向量的定义，我们可以得出以下性质：1. 自身平行：任何向量与自身平行，即a // a。

2. 零向量平行：零向量与任何向量都平行，即0 // a。

3. 平行向量的加减：若a // b，则有a + c // b + c，a - c // b - c。

4. 平行向量的数量积：若a // b，则有a · b = |a| * |b|，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模。

三、平行向量的判定方法为了判定两个平面向量a和b是否平行，可以使用以下方法：1. 比较分量比例：计算a和b的对应分量之间的比值，若两个分量比值相等，则a和b平行。

2. 比较数量积：计算a和b的数量积，若a · b = |a| * |b|，则a和b 平行。

四、实例演示现在，我们通过几个实例来演示平行向量的判定方法。

实例1：已知向量a = (3, 2)和向量b = (6, 4)，判断向量a和b是否平行。

解：首先，可以计算a和b的对应分量之间的比值：a的x轴分量/ b的x轴分量 = 3/6 = 0.5a的y轴分量/ b的y轴分量 = 2/4 = 0.5由于两个比值相等，即0.5 = 0.5，所以向量a和b平行。

实例2：已知向量c = (2, -5)和向量d = (-4, 10)，判断向量c和d是否平行。