八年级数学平面向量新课讲义完整版(全8讲)

新人教版八年级下册平面向量知识点
本文档旨在介绍新人教版八年级下册平面向量的相关知识点。

以下是平面向量的主要内容：
1. 平面向量的定义
平面向量是指在平面内具有大小和方向的量。

平面向量通常用箭头来表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。

2. 平面向量的表示方法
平面向量可以用坐标表示，也可以用向量的始点和终点表示。

用坐标表示时，通常将向量的始点放在坐标原点，向量的终点的坐标表示向量的坐标。

用始点和终点表示向量时，通常用大写字母表示向量，如AB表示由点A指向点B的向量。

3. 平面向量的运算
平面向量之间可以进行加法、减法和数量乘法运算。

加法运算的结果是两个向量的位移的和，减法运算的结果是两个向量的位移的差，数量乘法运算的结果是一个向量的大小乘以一个数的倍数。

4. 平面向量的性质
平面向量具有平行四边形法则、三角形法则和共线性等重要性质。

平行四边形法则说明两个向量和的向量等于它们的两个边所构
成的平行四边形的对角线向量，三角形法则说明两个向量和的向量
等于这两个向量所共同的起点与终点之间的向量，共线性则说明两
个向量如果有相同的或相反的方向，那么它们共线。

5. 平面向量的模
平面向量的模是指向量的长度。

通过利用勾股定理，可以计算
出一个平面向量的模。

向量的模也可以用距离的概念来理解，即向
量的模等于它的始点和终点之间的距离。

本文档简要介绍了新人教版八年级下册平面向量的主要知识点，希望能对学生掌握平面向量有所帮助。

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算（1）向量的基本看法：①向量：既有大小又有方向的量向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur（2）向量的加法：设AB a, BC b ，则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a （6）平面向量的基本定理：若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页（1） 平面向量的坐标表示 ：平面内的任向来量rr r rr 。

a 可表示成 axi yj ，记作 a =(x,y) （2）平面向量的坐标运算：rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ，则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ，则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ，则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）r r规定 0 arr rrr= a b（2）向量的投影： ︱ b ︱ cosr ∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称| a |为射影（3）数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2 a a a | a |（5）乘法公式成立：r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ； a ba 2ab ba2a b b（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：rrr r a bb a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意：（ 1）结合律不成立：r r r r r r ab c a b c ；r rrrr r （ 2）消去律不成立 a ba c 不能够获取b c（rr=0r r r r3） a b 不能够获取 a =0 或 b=0（7）两个向量的数量积的坐标运算：rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r （ 8 ） 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= （0 0180 0 ） 叫做 向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时， θ =0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ，同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r （9）垂直 ：若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b（ 10）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ ba ·b ＝ Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；rr r r ②若 a b ，则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ；ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ，则 m p ； ⑤若 a // b ， b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ，且 a b 0 ，则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与 b 方向相同，且 a b ，则 ab ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； 其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b10 ；求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 ， b 3 ， a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a ， b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ，求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o ， |a| 3， | b |2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 ， b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【 变 式】 设 x, y R, 向 量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______（）A ． 5B ． 10C ． 2 5D ． 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ，则以下结论必然正确的选项是（ ）r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . （）A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD ．若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2， a,sin ，b,22r r r r （1）证明 a b a b ；（2）r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b）【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是（| a ||b |r r r r r r r rr r A．a b B．a // b C．a 2b D．a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中， A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ，uuur1uuurRuuur uuur2 ，则AQ AC ，BQ CP=（）A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形，设 P、Q满足AP AB AQ 1AC，，uuur uuur 3，则R BQ CP=（）2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .（）A．3B．7C．2 2D．23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC（）A．2, 4B．2,4C．6,10D．6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ，平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD（）A．1r1rB．2r2rC．3r3rD．4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ，则点 Q 的坐标是（）A．( 7 2,2) B． (72,2)C．( 4 6, 2)D．( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ，BC2，点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中，AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点，则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图，在VABC中，AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中，AB = DC =（ 1，1），uuur BA uuur BC uuur BD ，BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中，若AB2,3 , AC 6, 4 ，则 VABC 面积为【例 14】（ 2012 年河北二模）在VABC中，AB 边上的中线CD=6 ，点 P 为 CD 上（与 C,D ）uuur uuur uuur不重合的一个动点，则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。

平面向量
主讲教师：周沛耕 全国著名数学特级教师
考查方向
● 既是学习与研究的对象，又是解平面几何的工具
● 既有方向，又有大小的自由向量
● 既有整体运算，又有坐标运算
金题精讲
题一：△ABC 的三边长为a ，b ，c ，证明：222222()AB BC BC CA CA AB a b c ⋅+⋅+⋅=-++．
题二：已知O 为△ABC 的外心，且3450OA OB OC ++=，求∠ACB 的度数．
题三：在△ABC 中，BC 边的中点为O ，直线l 过点O 且与直线AB ，AC 分别交于M ，N 点，求证：2AB AC AM AN
+=．
题四
题面：如图△ABC 和△AEF ，EF 中点为B ，|AB |=|EF |=1，|BC |=6，|CA |=33，2AB AE AC AF ⋅+⋅=，求∠ABE 的余弦值．
题五
题面：平面几何中的欧拉定理是：△ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则O ，G ，H 三点共线，且满足2|OG |=|GH |．试证明这个定理．
平面向量
讲义参考答案
金题精讲
题一：证明略 题二：45° 题三：证明略
题四：21)9 题五：证明略。

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

知识精要1. 实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作k a 。

如果k ≠0，且≠0，那么k 的长度|k |=|k|||；k 的方向：当k ＞0时，k 与同方向；当k ＜0时k 与反方向，如果k=0或=0，那么k =。

2. 实数与向量相乘满足的运算律：设m ，n 为实数，则 （1） 实数与向量相乘的结合律：m(n )=(mn)；（2） 实数与向量相乘对于实数加法的分配律：（m+n ）=m +n ； （3） 实数与向量相乘对于向量加法的分配律：m(a +b )=m a +m 。

3. 平行向量定理如果向量与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使=m a 。

4. 单位向量长度为1的向量叫单位向量。

设e 为单位向量，则|e |=1。

单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。

对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作0。

由实数与向量的乘积可知：a =|a |a 0 ，a 0a 。

5. 向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。

一般来说，如果a 、b 是两个不平行的向量，c 是平面内的一个向量，那么 c可以用a 、b表示，并且通常将其表达式整理成b y a xc +=的形式，其中x 、y 是实数。

6. 向量的合成与分解如果a、b是两个不平行的向量，b n a m c+=（m ，n 是实数），那么向量c 就是a m与b n 的合成；也可以说向量c 分解为a m 、b n 两个向量，这时向量a m、与b n 是向量c分别在a 、b 方向上的分向量，a m +b n是向量c 关于a 、b 的分解式。

注：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上进行分解。

热身练习1、 若是非零向量，则k 的方向是：当0<k 时，k 与_______方向2、 设k 是非零实数，是非零向量，用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：_______________________________________3、 如果是两个不平行的向量，那么52--叫做的______________________4、 对于非零向量，它的长度为5，如果把与它同向的单位向量记作0，那么向量可以记作____________5、 设是单位向量，若与方向相同，23=，请用表示：________________ 6、 已知ABC ∆的重心是点G ，则=++GC GB GA _______________ 二、选择题（每题3分，共计15分） 7、 下列式子中，错误的是（ ）A. 2=+B. ()0=-+a aC.()b a b a --=+- D. -=-8、 给出下列3个命题，其中真命题的个数是( )个（1）单位向量都相等 （2）单位向量都平行 （3）平行的单位向量必相等 A.0 B.1 C.2 D.39、 已知一个单位向量e ，设b a 、是非零向量，则下列等式中正确的是（ ）a =B. b =C. e =D.=10、 已知向量关系式(),x b a 062=-+，试用向量表示（满分5分）精解名题例1、下列语句中，错误的是（ A ） A. 单位向量与任何向量都平行B. 已知a 、、是非零向量，如果a ∥，∥，那么a ∥C. 已知a 、、是非零向量，如果a +=2，a -=3，那么a 与是平行向量D. 对于非零向量，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0，由实数与向量的乘积，可知0=51例2、若k 为任意实数，则下列语句中，不正确的是（ C ）A. b k a k b a k+=+)(；B. b k a k b a k-=-)(C. 如果a b//，那么存在唯一实数k ，使得a k b=；D. 如果a k b=,k 为实数，那么a b //例3、若0 表示零向量，e表示单位向量，下列结论中，哪些是正确的？（1）若b a =，则b a=； （2）若b a=，则b a =； （3）0)(=-+a a；（4）若0=a，则0=a ； （5）若e a //，则e a a=；（6）若b a,是非零向量，则b ba a 11=解：（2）和（4）是对的；其余都是错的。

板块一：平面向量基础概念1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段。

2.向量：既有大小、又有方向的量叫做向量。

向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）。

如向量AB的长度记作AB ，它是一个数量。

向量有两种表示方法：○1有向线段表示，如“有向线段AB ”以A 为起点、B 为中点，用符号表示为“AB ”。

○2应用小写英文字母表示，如a 。

3.相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。

相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。

平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。

【例题1】 【基础】如图，已知四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形. （1）写出与ED 相等的向量；与ED 相反的向量；与ED 平行的向量； （2）若5AB =，求ED 的模.EDCBA【提高】如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AB 、DC 上，EF 过点P 且EF //AD .下列等式正确的是（ ） ....A AD BC B AC BD C PE PF D EP PF====第六讲 平面向量PFEDB A【尖子】如图，将一个向量AB 放在平面直角坐标系内，若它的起点A 在原点，终点B 在直线y ＝x ， y ＝－x +2的交点上，则（1）求出它的终点B 的坐标；（2）求出AB ；（3）在平面直角坐标系中分别画出一个与AB 相等、相反、模相等的向量，并标出它们起点、终点所在的坐标.板块二：平面向量的加法1. 向量的加法：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。

2.向量加法的三角形法则：一般地，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。

这样的规定叫做向量加法的三角形法则。

图示：3. 向量加法的平行四边形法则：如果a 、b 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与a 、b 相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a 与b 的和向量。