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4-4 交通流理论-流体理论

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4交通流理论

4交通流理论

第四章交通流理论交通流理论（Traffic Flow Theory）是研究交通流随时间和空间变化规律的模型和方法体系，被广泛应用于交通系统规划与控制的各个方面。

第一节交通流理论的发展历程在本节中，我们一起回顾交通流理论的发展历程。

交通流理论的兴起大致在20世纪30年代，在20世纪50年代到60年代经历了繁荣和快速发展，70年代以后，主要是对既有理论的发展完善和应用拓展。

一、交通流理论的萌芽期萌芽期从20世纪30年代到第二次世界大战结束。

由于发达国家汽车使用和道路建设的发展，需要探索道路交通流的基本规律，产生了研究交通流理论的初步需求。

Adams在1936发表的论文中将概率论用于描述道路交通流，格林息尔治（Greenshields）在1935年开创性提出了流量和速度关系式（也就是格林息尔治关系），并调查了交叉口的交通状态。

二、交通流理论的繁荣期繁荣期从第二次世界大战结束到20世纪50年代末。

汽车使用显著增长和道路交通系统建设加快，应用层面对交通特性和交通流理论的研究提出了急切需求。

此阶段是交通流理论最为辉煌的时期，经典交通流理论和模型几乎全部出自这一时期。

交通流理论中的经典方法、理论和模型相继涌现，如车辆跟驰（Car-following）模型、车流波动（Kinematic Wave）理论和排队论（Queuing Theory）。

这一时期群星闪耀，许多在自然科学其他领域中的大师级人物（如数学家、物理学家、力学家、经济学家）都投入到交通流理论的研究中，其中不乏诺贝尔奖金的获得者，如1977年的诺贝尔化学奖获得者伊利亚•普列高津（Ilya Prigogine）。

著名人物有赫曼（Herman）、鲁切尔（Reuschel）、沃德卢普（Wardrop）、派普斯（Pipes）、莱特希尔（Lighthill）、惠特汉（Whitham）、纽维尔（Newell）、盖热斯（Gazis）、韦伯斯特（Webster）、伊迪（Edie）、福特（Foote）和钱德勒（Chandler）。

交通流理论-流体理论

交通流理论-流体理论

（5 - 8 ）
在流量—密度相关曲线上， 在流量—密度相关曲线上，集 散波的波速就是割线的斜率、微弱波 散波的波速就是割线的斜率、 流量和密度非常接近） （流量和密度非常接近）的波速就是 切线的斜率。如图所示， 切线的斜率。如图所示，当车流从低 密度低流量的A 密度低流量的A状态转变的高密度高 流量的B状态时， 流量的B状态时，集散波的波速是正 的，即波沿道路前进。当车流从低流 即波沿道路前进。 量高密度的C 量高密度的C状态转变到高流量而密 度较低的B状态时， 度较低的B状态时，集散波的波速是 负的，即波沿道路后退。 负的，即波沿道路后退。从A状态到 状态的波是集结波。而从B状态到A B状态的波是集结波。而从B状态到A 状态的波是消散波，两者都是前进波。 状态的波是消散波，两者都是前进波。 状态到C状态的波是集结波， 从B状态到C状态的波是集结波，从C 状态到B状态的波为消散波， 状态到B状态的波为消散波，两者都 是后退波。 是后退波。
（5-3）
q = ku
∂k ∂ ( ku ) + = 0 ∂t ∂x
（5-4）
上式表明，当车流量随距离而降低时， 上式表明，当车流量随距离而降低时，车流密度则随 时间而增大。 时间而增大。
二、车流波动理论 交通车流和一般的流体一样， 交通车流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形 式路段，车流发生紊乱拥挤现象， 式路段，车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流 方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样， 方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样， 阻止车流前进，降低车速。如图5 阻止车流前进，降低车速。如图5-1。
第五节
交通流的流体力学模拟理论
2、车流连续性方程的建立 假设车辆顺次通过断面I II的时间间隔为 的时间间隔为Δ 假设车辆顺次通过断面I和II的时间间隔为Δt，两断 面的间距为Δ 面的间距为Δx。

[工学]交通流理论

[工学]交通流理论
Fi 为理论上观测数值出现在第i组的频数。
且有：∑fi =N，∑Fi =N
3、确定统计量的临界值χ2a
χ2a值与置信水平α和自由度DF有关，α通常取0.05 。
DF=g-q-1，式中，q为约束数，指原假设中需确定的未知数的个 数，对泊松分布q=1（只有m需确定），对二项分布和负二项分布 q=2（需确定P、n两个参数）。
N1=λ·P(h≥a1)= λe-λa1 主要道路车流中车头时距大于a2的数目：N2= λe-λa2
…… 则，主要道路车流中允许一辆车穿过的车头间隔数目为：N1-N2
主要道路车流中允许二辆车穿过的车头间隔数目为：N2-N3 主要道路车流中允许三辆车穿过的车头间隔数目为：N3N4
……
15
∴到达率为λ的车流允许穿越的车辆数总和为： Q次=1（N1-N2）+2（N2-N3）+3（N3-N4）+… =N1+N2+N3+N4+…=λ[e-λa1 + e-λa2 + e-λa3 +…] =λ[e-λa + e-λ(a+a0) + e-λ(a+2a0) +…]
P(h≥t) =e-λ（t-τ） t≥τ 其概率密度函数为： λe-λ（t-τ） t≥τ
P(t) =
0
t＜τ
1
1
移位负指数分布的均值M= +τ ，方差D= 2
用样本的均值（平均车头时距）m和方差S2代替M、D，即可求
得λ和τ。
17
2、适用条件 用于描述不能超车的单列车流和车流量低的车流的车头时距分布。 3、移位负指数分布的局限性
2
第一节 离散型概率统计模型
我们在观测交通量或车辆的车头时距时，会发现在固定的计 数时间间隔内，每个间隔内查到的车辆数是变化的，所观测到 的连续车头时距也是不同的，这说明车辆的到达是有一定随即 性的，为了描述这种随机性而采用的概率统计方法可分为两种： 离散型和连续型。

交通工程学 第4章 交通流理论

交通工程学 第4章 交通流理论

k
j 1
g
j
fj
k
j 1
g
j
fj
fj
N
式中：g——观测数据分组数； fj——计算间隔t内到达kj辆车(人)这一事件发生的次(频)数； kj——计数间隔t内的到达数或各组的中值； N——观测的总计间隔数。
(2)递推公式
P(0) e m P(k 1) P(k ) k 1
(3)应用条件
• 在第一个环节上，重点研究设计什么样的模型才能对所 关心的交通流现象有一个很好的描述，此环节的关键是 对系统的识别，也即对所研究对象的充分认识。这种认 识越深刻，所建立的模型就越符合实际； • 在第二个环节上，重点研究如何确定模型中的参数使模 型得以具体应用，参数的确定是一项非常具体、细致的 工作，其好坏直接决定了模型的应用效果。优秀的交通 流模型应该只包含若干个有现实的变量和参数，而且它 们是容易测量的。 • 此外，一个好的模型还应在理论上前后一致，便于进行 数值模拟且能做出新的预测，简单而言，优秀的交通流 模型必须有鲁棒性、现实性、一致性和简单性。 • 无论是模型结构的建立还是模型参数的标定，简单和适 用是第一原则 ，但随着计算手段的改善和交通工程技 术人员素质的提高，复杂交通流模型推广和应用的也日 益广泛了。
§4－2 概率统计模型
本节内容
• • • • 离散型分布特征、分布函数 排队论模型的基本概念 M/M/N与N个M/M/1的指标计算与比较 流体模拟理论及实例分析
问题的提出
一个实际问题及其解决方法的思路分析
1.某随机车流，求30秒内平均到达的车辆数（均值）、方差（参考p74 4-8 4-10 ） 2.假定该车流服从泊松分布，求没有车到达的概率、到达四辆车的概率、到达 大于四辆车的概率分别是多少 ）

交通流理论4流体力学模拟理论

交通流理论4流体力学模拟理论
车流波动理论。
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流体流与交通流的比较
第八章 交通流理论
物理意 义
离散元 素
运动方 向
连续体 形态
变量
流体特性
交通流特 物理意
性
义
流体特 性
交通流 特性
流体分子 一向性
车辆 单向
变量
流速v 车速v 压力P 流量Q
可压缩或 不可压缩
流体
不可压缩 交通流
动量
Mv
Kv
质量(密 度)m
密度K
状态方 程
• 当Q2<Q1 、K2<K1时，产生一个消散波，
w为正值，消散波在波动产生的那一点，沿
着与车流相同的方向，以相对路面为w的速
度移动。Q
(K1,Q1)
(K2,Q2)
K
• 当Q2>Q1 、K2>K1时，产生一个集结波，
w为正值，集结波在波动产生的那一点，沿
着与车流相同的方向，以相对路面为w的速
度移动。Q
dk dq 0 dt dx
车流连续 性方程
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第八章 交通流理论
车流波动理论
集结波 车流波由低密度状态向高密度状态转变的界面 移动，车流在交叉口遇红灯，车流通过瓶颈路段、桥梁 等都会产生集结波。
疏散波 车流波由高密度状态向低密度状态转变的界面 移动，交叉路口进口引道上红灯期间的排队车辆绿灯时 开始驶离，车流从瓶颈路段驶出等都会产生疏散波。
车流的波动：车流中两种不同密度部分的分界面经过一 辆辆 车向车队后部传播的现象。
波速：车流波动沿道路移动的速度。
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虚线代表车流密度变 化的分界线，虚线AB是 低密度状态向高密度状态 转变的分界，它体现的车 流波为集结波；而虚线 AC是高密度状态向低密 度状态转变的分界，它体 现的车流波为疏散波。虚 线的斜率就是波速。

第八章交通流理论

第八章交通流理论
第八章 交通流理论(lǐlùn)
主要内容 交通流的统计分布特性 排队论的应用 跟驰理论简介(jiǎn jiè) 流体动力学模拟理论
精品资料
第八章 交通流理论(lǐlùn)
一、概述(ɡài shù) 交通流理论是运用物理学与数学的定律来描
述交通特征的一门科学，是交通工程学的基 础理论。它用分析的方法阐述交通现象及其 机理，从而使我们能更好地掌握交通现象及 其本质，并使城市道路与公路的规划设计和 营运管理发挥最大的功效。
distribution)
1、负指数分布（Exponential Distribution）
基本公式(gōngshì)：到达的车头时距h大于t秒的概
率
P(h＞t) et
1 平均车头时距
泊松分布t 内无车P辆0 到e达的t 概率
适用条件：用于描述有充分超车机会的单列车流和密 度不大的多列车流的车头时距分布
先分析发生两次排队的条件
即一个周期内到达的车辆数大于有效绿灯时间 内通过(tōngguò)交叉口的车辆数；
再求发生两次排队的概率
精品资料
第八章 交通流理论(lǐlùn)
说明 本例中虽然在每个信号周期中平均到车数只有9.9辆小于
一个(yī ɡè)信号周期有效绿灯时间内的通过的车辆 数11辆，但仍有可能出现车辆两次排队的现象，因 为平均到车数并不表示车流是均匀到达的，可能会 出现某一周期到达的车辆数很少（小于10），使绿 灯时间不能充分利用，当某些周期到达的车辆数很 大（大于11）时就出现了二次排队。
精品资料
第八章 交通流理论(lǐlùn)
2、二项分布（Binomial distribution） ：
基本公式：在计数间隔t内
到达k辆车的概率P(gk àilǜC)nk

第四章 交通流理论ppt课件

度的时间内到达某场所交通的间隔时间的统计分布； 4) 研究交通分布的意义：预测交通流的到达规律（到达数及到
达时间间隔），为确定设施规模、信号配时、安全对策提供依 据；
.
4.2.1 离散型分布
车辆的到达具有随机性
描述对象：
在一定的时间间隔内到达的车辆数, 在一定长度的路段上分布的车辆数
4.2 概率统计模型
.
4.2 概率统计模型
4.2.1 离散型分布
2. 二项分布：
适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流 基本模型：计数间隔t内到达k辆车的概率
P (k)C n k n t k 1 n t nk,k1 ,2,.n ..
λ：平均到达率（辆或人/秒） 令：p＝λt/n， 0 <p <1
出分布参数 p 和 n；
.
4.2 概率统计模型
4.2.1 离散型分布
3. 负二项分布：
适用条件：到达的车流波动性很大时适用。 典型：信号交叉口下游的车流到达。
4. 离散型分布拟合优度检验——χ2检验
用于根据现场实测数据来判断交通流服从何种分布 原理和方法：
1) 建立原假设：随机变量X服从某给定的分布 2) 选择合适的统计量 3) 确定统计量的临界值 4) 判断检验结果
.
4.2 概率统计模型
4.2.1 离散型分布
1. 泊松分布：
递推公式：由参数m及数量k可递推出Pk+1；
P0 em
Pk1
m k 1Pk
分布的均值M与方差D皆等于λt，这是判断交通流到达规律是否 服从泊松分布的依据。
运用模型时的留意点：关于参数m＝λt可理解为时间间隔 t 内的 平均到达车辆数。
4. 有效性指标——延误

第四章交通流理论(详细版)

34
二、排队论的基本原理
幻灯片 35§4-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这是最通常的
36
二、排队论的基本原理
幻灯片 37-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (3) 服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以成批接待，例如公
7.5m
Q=360辆/h
Qt
3607.5
P(h7.5) e 3600 e 3600 0.4724
360 0.4724 170
（次）
幻灯片 27 当 Q = 900 辆/h 时，车头时距大于 7.5s 的概率为：
26 §4-2 交通流的统计分布特性
1h 内车头时距次数为 900，其中 h≥7.5s 的车头时距为可以安全横穿的次数：
33
二、排队论的基本原理
幻灯片 34§4-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
p m s2 m
m
1 N
N
i
i 1
n
m2 m s2
s 2
1 N 1
N i 1
(i
m)2
14 幻灯片 15 【例 4-2】：在一交叉口，设置左转弯信号相，经研究来车符合二项分布，每一周期平均来车 30 辆，其中有 30%

交通流理论


4-2 交通流的统计分布特性
（二）二项分布 （1）适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。 （2）基本公式：
P(k) Cnk pk ((14-1p0))nk
式中：P(k)——在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率； λ——平均到达率(辆/s或人/s)； t——每个计数间隔持续的时间(s)或距离(m)；
递推公式：
p0
em ,
p(k4-13)
m k 1
pk
分布的均值M和方差D都等于m
4-2 交通流的统计分布特性
① 到达数小于k辆车(人)的概率：
P( k ) k 1 miem
i 0(4-4i)! ② 到达数小于等于k的概率：
P( k ) k miem
i 0(4-5i)! ③ 到达数大于k的概率：
的平均车辆数。
P(0) em e6 0.0025
P( 2 )
m 2
P(1)
0.0446
m P(4) 4 P(3) 0.1338
P(6)
m 6
P(6)
0.1606
P(1)
m 1
P(0)
0.0149
P( 3ห้องสมุดไป่ตู้)
m 3
P( 2 )
0.0892
m P(5) 5 P(4) 0.1606
4-2 交通流的统计分布特性
一、含义与作用
随机变量：对随机试验来说，每次试验的结果可能不止一种情 况。如果我们将试验的结果用一个实数X来表示，那么对于试验 结果的不同情况，X将取不同的值，所以X是一个变量。这种随 着随机试验结果的情况不同而取不同值的变量，称为随机变量。
离散型随机变量： 如果一个随机变量只可能取数轴上有限个或 可数个孤立的值，并且对应于这些值有确定的概率，则称这个 随机变量为离散型随机变量。

交通流理论


用样本的均值m代替M、样本的方差S2代替D，即可算出负指数分布
的参数λ。 此外，也可用概率密度函数来计算。负指数分布的概率密度函数为：
P(t )
d d P(h t ) [1 P(h t )] e t dt dt

P(h t ) p(t )dt et dt et
跟驰条件（车速条件、间距条件）
2. 延迟性 (也称滞后性)
3. 传递性
二. 线性跟驰模型
s(t ) d1 d2 L - d3

假定d2＝d3，要使在时刻t两车的间距能 保证在突然剥车事件中不发生幢碰，则应 有：
对于跟驰车辆的反应，一般指加速、减速，因此，将 上式微分，得到 ：
. . ( t T ) X ( t ) X ( t ) n n 1 X n1 ..

道路上一辆跟踪另一辆车的追随现象是很多的， 前一辆车行驶速度的变化，影响后一辆车行驶，后 一辆车为了与前车保持具有最小安全间隔距离。需 要调整车速，这种前后车辆运动过程可以应用动力 学跟踪理论，建立道路上行驶车辆流动线性微分方 程式来分析车辆行驶情况和变化规律。这种研究方 法称为交通跟驰理论。

(3)应用条件
1 N 1 g 2 2 S ( k m ) ( k m ) fj i j N 1 i 1 N 1 j 1
2
2. 二项分布
(1)基本公式
k P ( k ) Cn (
t
n
) k (1
t
n
) nk ,
k 0,1,2, , n
式中：P(k)——在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率； λ——平均到达率(辆/s或人/s)； t——每个计数间隔持续的时间(s)或距离(m)；
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车辆运行时间-空间轨迹图
14/27
又：
x B w1 (t A t s ) 2 w2 t s
解得：
ts 2 W1t A 2 2.5 0.167 0.186h W1 W2 2.5 (6)
所以：
t j t A ts 0.353h
车辆运行时间-空间轨迹图
集结波波速：
1950 3880 w2 7.283( Km / h) 33 298
22/27
根据时间-空间轨迹图可获得如下方程组：
t R (t E t R ) 1.69 t R (W1 ) (t E t R )V1 x R x F
将 W1 1.495, V1 50带入方程组，解得： t R 1.641小时，t E t R 0.049小时， x R x F t R (W1 ) 1.641 1.495 2.453Km
20/27
车辆运行时间-空间轨迹图
21/27
这是一后退波，表示居住区路段入口处向上游形成一列密 度为298 辆／Km的拥挤车流队列 。图中tF-tH=tE-t0=1.69，则 tE=1.69小时，OF为W1的轨迹。在F处高峰流消失，出现流量为 1950辆／小时，速度为59Km/h的低峰流。
1950 K3 33辆 / km 59
第四章 交通流理论
第五节 流体力学理论
1/27
一、引言
1、流体动力学理论建立 1955年，英国学者莱脱希尔和惠特汉将交通流比拟为一种流 体，对一条很长的公路隧道，研究了在车流密度高的情况下的 交通流规律，提出了流体动力学模拟理论。 该理论运用流体动力学的基本原理，模拟流体的连续性方 程，建立车流的连续性方程。把车流密度的变化，比拟成水波 的起伏而抽象为车流波。当车流因道路或交通状况的改变而引 起密度的改变时，在车流中产生车流波的传播，通过分析车流 波的传播速度，以寻求车流流量和密度、速度之间的关系，并 描述车流的拥挤—消散过程。因此，该理论又可称为车流波动 理论。
w1 Q2 Q1 1200 1000 2.5( Km / h) K 2 K1 100 20
由状态2转变到状态3形成消散波，记其波速为w2
Q3 Q2 1500 1200 w2 6( Km / h) K3 K 2 50 100
13/27
受拥挤的N辆车的时间— 空间运行轨迹线如图中的N条 折线所示。虚线OB的斜率等于 w1，虚线AB的斜率等于w2，以 xB、tB表示图中B点的空间坐标 和时间坐标，其它各点亦然。 从图看出，从t0到tA，拥挤车 队愈来愈长，最长时占路长度 等于xA-xc，过了时刻tA，拥挤 车队愈来愈短，到时刻tB拥挤 完全消除，很自然应把时段 tB-tA称为消散时间ts.由于N条 折线的斜率表示车速，易得 x 2 tA A 0 . 167 h v 2 12
10/27
在流量—密度相关曲线上，集散波 的波速就是割线的斜率、微弱波（流量 和密度非常接近）的波速就是切线的斜 率。如图所示，当车流从低密度低流量 的A状态转变的高密度高流量的B状态 时，集散波的波速是正的，即波沿道路 前进。当车流从低流量高密度的C状态 转变到高流量而密度较低的B状态时， 集散波的波速是负的，即波沿道路后退。 从A状态到B状态的波是集结波。而从B 状态到A状态的波是消散波，两者都是 前进波。从B状态到C状态的波是集结 波，从C状态到B状态的波为消散波，两 者都是后退波。
图 交通流回波现象
6/27
1、集散波的定义 列队行驶的车辆在信号灯交叉口遇到红灯后，即陆续停 车排队而集结成密度高的队列；绿灯启亮后，排队的车辆又 陆续起动而疏散成一列具有适当密度的车队。 车流中密度经过了由低到高，再由高到低两个过程，车 流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队后部传 播的现象，称为车流的波动。车流波动沿道路移动的速度， 称为波速。
车辆运行时间-空间轨迹图
16/27
w1掠过的车辆总数就是拥 挤过的车辆总数N。
N Qw1 (t B t0 ) Qw1t B Qw1t j V2 V1 t j 1 1 K 2 K1
12 50 0.353 335辆 1 1 100 20
车辆运行时间-空间轨迹图
2/27
流体动力学模拟理论是一种宏观模型，它假定车流中各个车 辆的行驶状态与它前面的车辆完全一样，这与实际是不相符。 尽管如此，该理论在分析交通流流体状态比较明显的场合，比 如在分析瓶颈路段的车辆拥挤问题时，还比较实用。
3/27
2、车流连续性方程的建立 假设车辆顺次通过断面I和II的时间间隔为Δt，两断 面的间距为Δx。
如果车流前后两行驶状态的流量和密度非常接近，则： dQ W dk 集散波总是从前车向后车传播的，把单位时间内集散波所 掠过的车辆数称为波流量。
Qw 3600 3600 3600 ( v 2 v1 ) V V1 2 l 2 l1 1 1 t l 2 l1 v 2 v1 k 2 k1
车辆波动图
11/27
三、车流波动理论的应用
例1：知某快速干道上车流速度(KM/h)与密度(辆/KM)具有： 之关系。现知一列u1=50KM/h的车流 中插入一u2=12KM/h的低速车，并不能超车而集结形成速度为u2 拥挤车流。此低速车在行驶2KM后离去，拥挤车队随之离散形成 具有速度u3=30KM/h的状态。试求: 1．拥挤车队消散的时间ts； 2．拥挤车队持续的时间tj； 3．拥挤车队最长时的车辆数Nm； 4．拥挤车辆的总数N； 5．拥挤车辆所占用过的道路总长度L； 6．车流速度从Vl降低至V2而延误的总时间T。
q k Δx I II
车流在断面I的流入量为q，密度为k。车流在断面II 的流出量为(q+Δq)，密度为(k-Δk)。 Δk前面加一负 号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量的增加而减小。
4/27
根据物质守恒定律：流入量-流出量＝Δx内车辆数的变 化，即：
[q (q q )]t [ k (k k )]x
7/27
车队运行状态变化图为在时间-空 间坐标系下表示的一队n辆车的运行状 态变化图。在区域I内，车速最高而密 度最低。进入区域II后，车速明显降低 而密度明显升高。进入区域III后，速 度有所回升而密度有所下降。虚线与运 行轨迹的交点就是车队密度不同的两部 分的分界线(对某一确定时刻而言)，而 虚线则表示此分界线既沿车队向后一辆 辆地传播下去，又沿着道路而移动，虚 线的斜率就是波速。虚线AB是低密度状 态向高密度状态转变的分界，它所体现 的车流波称为集结波；而AC是高密度状 态向低密度状态转变的分界，它所体现 的车流波称为疏(消)散波，两种不同的 车流波可统称为集散波。
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例题2：一条单向道路的一端伸进学校与居住区中，在此 路段中车速限制为13Km/h，对应的通行能力为3880辆／小 时，高峰是从上游驶来的车流速度为50Km/h，流量为4200辆 ／小时，高峰持续了1.69小时，然后上游车流量降到1950辆 ／小时，速度为59Km/h。是估计此路段入口的上游拥挤长度 和拥挤持续时间。
根据题设条件计算上式中各个量：
Q m 3600 / 2 1800 辆 / h
K j 1000 / 8 125辆 / km
则： V f 4Qm / K j ( 4 1800) / 125 57.6km / h
所以K-V关系为： V V f
Vf Kj
K 57.6 0.4608K
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解：高峰时上游车流密度： K 4200 84 辆 / km 2 50 居住区路段上的密度： K 1
3880 298 辆 / km 13
在这两股车流之间形成了一集结波其波速为：
w1
Q2 Q1 4200 3880 1 .495 ( Km / h ) K 2 K1 84 298
l 2 v1t v 2 t l1
故集散波从第一辆车传到第二辆 车所需时间为:
l 2 l1 t v 2 v1
车队前三辆车运行轨迹
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又因x tv1 l1，于是有 l 2 v1 l1v 2 l1 l1 (v 2 v1 ) x v v W 波速: 1 1 l 2 l1 l 2 l1 t t v1 v 2 l l2 k v k 2 v 2 Q1 Q2 1 1 1 1 1 k1 k 2 k1 k 2 l1 l 2
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由已知条件，得：
t A 48 .1s 0 .013361 h
Qw1 V2 V1 0 V1 1 1 1 1 k 2 k1 k j k1
4Qm K )及V f Kj Kj 得
由Q KV f (1 求式中的K1、V1：
K K2 Q 4Qm ( 2) Kj Kj K2 K Q 即 2 0 K j K j 4Qm

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由图可知拥挤车辆所占用过的道路总长度L即AD长。 L＝LAD＝2Km 由于表示车辆行驶轨迹的各折线是分段等距平行的，不难 得知遭遇拥挤的那些辆车的延误构成等差级数，于是总延误D 的计算为:
DN t A tF 0.167 2 / 50 335 21.27辆 h 2 2
k q 或： 0 t x
取极限可得：
又： 故：
k q 0 t x
q ku
( ku ) k 0 t x
上式表明，当车流量随距离而降低时，车流密度则随时间 而增大。
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二、车流波动理论
交通流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形式路段， 车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流方向相反的 波，好像声波碰到障碍物时的反射一样，阻止车流前进， 降低车速。如图。
即拥挤流向上游延长的距离为2.453km，共包含车辆为： 2.453×298＝731辆。集结波W2推进到G的历时为：