一道课本例题的探究与应用

让学生思维的火花绽放——一道课本例题的探究式教学实践与思考引言传统的教学模式通常是老师讲，学生听，而探究式教学则是以学生为中心的教学模式，通过让学生探究问题，发现问题，解决问题，培养学生的思维能力和独立思考能力。

本文旨在通过一道课本例题的探究式教学实践，探索探究式教学的优势及如何落实到课堂教学中，从而让学生的思维火花绽放。

实践过程我们选取了《数学（七年级上册）》中的一道例题作为探究式教学的实践案例，该例题如下：计算 $(0.25 \\div 0.5) \\times 2$ 的值。

为了能够让学生更深入地理解该例题，我们采用了如下的教学方式：第一步：引导学生提出问题在学生还没有开始思考之前，我们先引导学生提出问题。

通过问学生“这道题目让你思考了什么问题？”来引导学生思考。

第二步：学生自主探究接下来，老师启发学生，让学生自主探究问题，让学生先自己试着去解决问题，教师只是起到引导作用。

这样能够增加学生思考题目、解决问题的兴趣，同时也增强了学生的自信心。

第三步：分组交流学生自探究过程中产生了大量的思维火花，而我们就是要激发这些思维火花，让学生对解决问题时的思考进行比较和交流，进一步加深学生的认识。

我们将全班分成小组，由小组成员交流归纳各自的探究思路，思考受到什么影响，有什么体会，进而分享自己的解题方法，最后让小组代表报告，形成大家共同思考的氛围。

第四步：整理答案学生自行思考、小组交流后，学生的答案有什么共同点？有什么不同的点？在老师的引导下，让同学们进行比较答案，找出自己的错误，进一步深入思考解题思路。

第五步：再次交流在学生自行整理完答案后，老师会再次约请同学之间交流。

通过这个环节带领学生成果评价和解题方法讲解，更直接地突出知识点、强化学生对问题的印象。

比如这题入手容易出错的原因是什么，些许不同的解法背后的共性，等等。

第六步：讲解通过整理答案，引领学生理解知识点，归纳方法和步骤，落实定理，强化学习效果。

总结通过以上实践，我们发现探究式教学以学生为中心，能更好地引导学生自主思考，激发学生的探究兴趣，增强学生的自信心，提升学生的思维能力和独立思考能力。

2019年12月1日理科考试研究•数学版•31•小题目大应用——以一道课本练习题为例郭兴甫（会泽县东陆高级中学校云南曲靖654200）摘要:课本是高考命题的依据，很多高考试题是由课本习题改编而成的.本文以一道课本练习题为例，通过多种证明，例举实例说明其结论、思想方法的应用.关键词：课本练习题；多证;应用结论高考试题来源于课本中的例题和习题，是近年高考命题的一个亮点，体现了考试说明中的源于教材又略高于教材的思想•本文以普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5第18页练习第3题为例进行说明. 1试题呈现题目在“ABC中，求证:a=bcosC+ccosB,b= ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.该习题的结论表明：A在三角形中任何一边等于其它两边与这边所夹角的i V余弦值之积的和•这是数b上d___L\c学中十分著名的三角形射。

D bcosC 影定理，这与三角形各边图1在其它边的射影有关，如图1,在中，边b,c在a 上的射影分别是bcosC,ccosB.由此结论显而易见，这有助于我们理解习题性质的内涵，拓展知识视野,感受数学的自然之美,记忆十分方便•殊不知，该题虽是一道小小的练习题,确有不俗的大应用.该习题的证明方法灵活多样，可借助正弦定理化边为角，再用两角和的正弦公式获证;可借助余弦定理化角为边获证;也可转化为直角三角形进行证明•2试题解析证法1由三角形内角和定理有A=it-(B+ C)，所以sia4=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB.①由正弦定理有sinA=a.r-.b.“c代入①整理得,a=bcosC+ccosB.同理可证,b=ccos4+acosC,c=acosB+bcosA.证法2由余弦定理的推论有,bcosC+ccosB=b a2+62-c a2+c1-b22a1-------------+c•--------------=——=a.2ab2ac2a所以a二bcosC+ccosB.同理可证,6=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.证法3由余弦定理有,b2=a+c2-2accosB,①c2=a2+62-2a6cosC.②由①+②得，2a2=2a（bcosC+ccosB）・所以a二 bcosC+ccosB.同理可证，6=ccosA+acosC,c=acosB+6cosA.证法4（平面向量法）由平面向量知识有乔+荒+刁=6,所以炭=页+花所以|荒|2=BC-BA+BC-AC.即a2=accosfi+abcosC.因为a#0,所以a=ccosB+bcosC.同理可证,6=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.评注证法1的方法及逆用是高考试题及模拟题命题者常用的方法，要用到两角和的正弦公式及变形，学生易错;证法2,化角为边,利用余弦定理的推论可得结论;证法3体现整体相加思想，应该掌握;证法4利用向量思想，向量数量积，转化思想，值得学习•体现思维的灵活性.特别地，逆用课本习题结论可以简化解题过程,迅速正确求解问题.3结论应用例1（2018年泉州市高中数学学科竞赛试题）已知AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+75"asinC-b—c=0.（1）求角4的大小；（2）若AABC内接于单位圆，求边BC上的中线AM的最大值.解析（1）由acosC+-fi asinC-6-c=0得acosC+v^"asinC=b+c.作者简介：郭兴甫（1970-）,男，云南会泽人，本科，中学高级教师，研究方向：高中数学教学.・32・理科考试研究・数学版2019年12月1日又b=ccosA+acosC,所以^/3asinC=c+ccosA.由正弦定理得TTsirvl-cosA二1,即sin（4-乎）=oy.又因为4为三角形的内角，故A=寺.（2）因为AABC内接于单位圆，由正弦定理得士sirvl =2x1,所以a=2sinA=73~-由余弦定理得a2=b2+c2-2be c os A.所以3=62+c2-be.由b2+c2=bc+3M2bc可得bcW3,当且仅当b=c '时取等号.由中线长定理可得，仙2=2沪+了一°2=26^+3Q QW计，所以AM的最大值为寺评注问题（1）标准答案是利用正弦定理化边为角，诱导公式，两角和正弦公式，辅助角公式求解，过程复杂，易错•利用课本习题结论，可以简化过程，迅速求解；问题（2）也是利用课本20页习题4组第13题的结论直接进行求解，同时也可以利用余弦定理及其逆定理求得中线AM的表达式，再利用不等式思想求最值•本题的命制体现了源于教材又高于教材的思想，是一道好的竞赛试题.例2（2016年全国高考理科I卷）AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC（acosB+ 5cos4）=c.⑴求C；（2）若c=打，/\ABC的面积为叩，求△佃C的周长.解析（1）由已知及课本习题结论可得,2ccosC =c.因为cMO,所以cosC=*所以C=寺（2）由（1）及已知可得,*absinC=攀.又因为C=~,所以ab=6.由已知及余弦定理得,/+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而（a+6）2=25.所以ZUBC的周长为5+存.评注课本中的习题结论可以当做公式应用，问题（1）直接利用课本习题结论可使问题迅速获解；问题（2）体现整体思想的灵活运用，整体配凑和的完全平方,简化解方程组带来的麻烦.例3(2016年全国高考四川文科)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,K—+^=-.a b c(1)证明：sinAsinB=sinC；(2)若b? +c2-a2=求tanB.证明（1）由泌+響=泌两边同时乘以a%a b c得c（bcosA+acosB）=absinC.所以由课本习题结论可得c?=absinC.利用正弦定理可得sir?C=sinAsinBsinC.又A,B,C是三角形的内角，所以sinAsinBsinCH 0.所以sinAsinB=sinC.（2）由已知,b2+c2-a2=^-bc,根据余弦定理，有所以si n A=a/1-cos24二由(1),sin4sinB=sinC=sin(4+B)=sinAcosB+4 4 3cosAsinB，所以—sinB=—cosB+—sinB.故tanB=sinB.^B=4-评注本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查学生的分析问题的能力和计算能力.第（1）问，直接去分母，利用习题结论及正弦定理简洁证明;第（2）问，利用余弦定理解岀cosA=丰,再根据平方关系解出sinA,结合（1）可解出tanB的值.在解三角形时,凡是遇到等式中有边又有角，可用正弦定理进行边角互化:一种是化为三角函数问题;一种是化为代数式的变形问题•在角的变化过程中注意三角形的内角和为180。

挖掘本源 渗透方法-------对两道高中数学课本习题的拓展应用的案例剖析高中教材中的习题都是经过编者认真筛选而精心设计的，其中不少习题蕴含着丰富的数学思想方法，具有较大的反思、拓展和“再创造”的空间，也是高考命题和备考复习最直接的素材来源，教师必须要回归教材、重视教材通过对课本例题的挖掘、演变，做到以点带线、以线及面，从而达到巩固知识、培养能力的目的，发挥教材的引领作用。

下面是对教材习题挖掘的两个案例：一、对课本习题利用类比的方式进行变式拓展，并在拓展的过程中挖掘蕴含其中的丰富的思想方法。

1. 对课本习题进行类比、延申拓展案例一：课本习题 若点),(00y x M 在圆222r y x =+上，则过点M 的切线方程为200r y y x x =+。

课本中的这个习题很基础，学生也很容易理解，但如果我们只让学生做了这个题而没有做如何的反思、挖掘，那么课本对此题的设置的意义和引领作用就就会被极大的弱化。

此习题中有两个可变点可引发我们的进一步思考，一是点M 在圆“上”这个“上”字，由此条件不难设想点M 在圆“内”、点M 在圆“外”时，有类似的结论吗?另一可变点是点“圆”上这个圆字，点在圆上有这一结果，那么点在其他圆锥曲线上（椭圆、双曲线、抛物线）又会怎么样呢？变式1.若点),(00y x M 在圆外，过点 M 的圆的两条切线为MA 、MB ，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在的直线方程为： 200r y y x x =+证明：由案例一易知切线MA 的方程为2A A r y y x x =+，切线MB 的方程为2B B r y y x x =+， 因为),(00y x M 在MA 、MB 上，所以20A 0A r y y x x =+且20B 0r y y x =+x B ，根据方程思想A 、B 两点都在直线200r y y x x =+上，所以切点弦AB 所在的直线方程为： 200r y y x x =+ 变式2.若点),(00y x M 在圆内，过点M 的任一直线交圆于A 、B ，过A 、B 分别作圆的两条切线，这两切线交点的轨迹方程为：200r y y x x =+证明：设两切线的交点为N （m 、n ），由变式一易得切点弦AB 所在的直线方程为：2r ny mx =+，又AB 过点),(00y x M ，所以有200r ny mx =+，所以所求轨迹方程为200r y y x x =+。

典题精讲例1 在一次夏令营活动中，同学们在相距10海里的A 、B 两个小岛上活动结束后，有人提出到隔海相望的未知的C 岛上体验生活，为合理安排时间，他们需了解C 岛与B 岛或A 岛的距离.为此他们测得从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛之间的距离是多少海里？思路分析：根据题意不难将题意中所述的数据反映在图形上，结合图形分析不难得到结果. 解:如图1-2-3,在△ABC 中，由题意,知∠CAB=60°,∠ABC=75°，图1-2-3∴∠ACB=45°. 由正弦定理︒=︒60sin 45sin BC AB ，得BC=65海里. 绿色通道：根据题目的叙述正确画出示意图，然后在相应三角形中应用正弦定理就可以达到目的，真正把数学融入实际生活.变式训练 如图1-2-4所示，为了测量河对岸A 、B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD=a 和∠ACD=α，∠BCD=β，∠BDC=γ，∠ADC=δ，试求AB 的长.图1-2-4思路分析：对于AB ，可以在△ABC 中求解,也可以在△ABD 中求解，若在△ABC 中，需求出AC 、BC ，再利用余弦定理求解.而AC 可在△ACD 内利用正弦定理求解，BC 可在△BCD 内利用正弦定理求解.解：在△ACD 中，已知CD=a ，∠ACD=α，∠ADC=δ，由正弦定理,得 AC=)sin(sin )](180sin[sin δαδδδ+=+-︒a a a . 在△BCD 中，由正弦定理,得BC=)sin(sin )](180sin[sin γβγγβγ+=+-︒a a . 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB=α-β，所以用余弦定理.就可以求得AB=)cos(222βα-∙∙-+BC AC BC AC .例2 如图1-2-5所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.图1-2-5思路分析：本题主要问题可能会出现在题目中所述的角度不能正确的分辨上，从而导致出错.只要能正确根据题目的叙述，将问题转化为一个数学问题，从而容易将问题解决. 要测出高CD ，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可.解:根据已知条件，可以计算出BC 的长.在△ABC 中，∠A=15°，∠C=25°-15°=10°， 根据正弦定理，CAB A BC sin sin =， 得BC=︒︒=10sin 15sin 5sin sin C A AB ≈7.452 4 km. ∴CD=BC×tan ∠DBC≈BC×tan8°≈1 047 m.答：山的高度约为1 047米.绿色通道：此类问题主要容易错在角度的具体位置找不对，另外在具体问题中有时可能不知道采用什么定理以及在哪些三角形中应用相应定理去解决问题，这些都要根据具体题目的已知条件具体分析.变式训练 如图1-2-6所示，为了测量上海东方明珠塔的高度，测量人员站在A 处测得塔尖的仰角为75.5°，前进38.5 m 后，在B 处测得塔尖的仰角为80°，试计算塔的高度.图1-2-6思路分析：由于CD 难以直接求解，我们可借助解直角三角形求解，只要能计算出BC 的长，则在Rt △BCD 中，可得塔高CD ，而BC 的长可在△ABC 中利用正弦定理求得.解:∵∠CAD=75.5°,∠CBD=80°,∴∠ACB=4.5°.在△ABC 中，由BACBC ACB AB ∠=∠sin sin , 得BC=︒︒⨯=∠∠5.4sin 5.75sin 5.38sin sin ACB BAC AB ≈477 m. ∴CD=BC·sin80°≈470 m,即塔的高度为470 m.例3 如图1-2-7所示，自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵支点B 与车箱支点A 之间的距离为1.95 m ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1.40 m ，计算BC 的长.(保留三个有效数字)图1-2-7思路分析：求油泵顶杆BC 的长度也就是在△ABC 内，求边长BC 的问题，而根据已知条件，AC=1.40 m ，AB=1.95 m ，∠BAC=60°+6°20′=66°20′.相当于已知△ABC 的两边和它们的夹角，所以求解BC 可根据余弦定理.解:由余弦定理，得BC 2=AB 2+AC 2-2AB·ACcosA=1.952+1.402-2×1.95×1.40×cos66°20′=3.571.∴BC≈1.89 m.答：油泵顶杆BC 约长1.89 m.绿色通道：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目中准确地提炼出来.变式训练1 如图1-2-8所示,在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30 m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进310 m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高.图1-2-8思路分析：根据已知,结合图形,可以分析各边角的关系,最后会发现各已知聚集在△ACD 中,通过正弦定理可列出关于θ的方程,求出θ后,可求出AD,再在Rt △ADE 中,求AE.当然也可以通过方程求解.解法一:(用正弦定理求解)由已知,得在△ACD 中，AC=BC=30，AD=DC=310，∠ADC=180°-4θ， ∴)4180sin(302sin 310θθ-︒=. ∵sin 4θ=2sin 2θcos 2θ,∴cos 2θ=23,得2θ=30°.∴θ=15°. ∴在Rt △ADE 中，AD=310,∠ADE=4θ=60°,∴ AE= ADsin60°=15.解法二：(设方程来求解)设DE=x ，AE=h,在Rt △ACE 中,(103+x)2+h 2=302,在Rt △ADE 中,x 2+h 2=(310)2,两式相减，得x=35,h=15.∴在Rt △ACE 中,tan 2θ=33310=+x h. ∴2θ=30°,θ=15.解法三：(用倍角公式求解)设建筑物高为AE=x ，由题意，得∠BAC=θ，∠CAD=2θ， ∴AC=BC=30 m,AD=CD=310m.在Rt △ACE 中，sin 2θ=30x , ① 在Rt △ADE 中，sin 4θ=310x, ②②÷①,得cos 2θ=23.∴2θ=30°.∴θ=15°.AE=ADsin60°=15. 答：所求角θ为15°，建筑物高度为15 m.变式训练2 如图1-2-9，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(13-)海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以310海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.图1-2-9解:设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD=310t 海里，BD=10t 海里.∵BC 2=AB 2+AC 2-2AB·AC·cosA=(3-1)2+22-2(3-1)·2cos120°=6,∴BC=6. ∵ABCAC A BC ∠=sin sin , ∴sin ∠ABC=226120sin 2sin =︒=∙BC A AC . ∴∠ABC=45°.∴B 点在C 点的正东方向上.∴∠CBD=90°+30°=120°. ∵CBDCD BCD BD ∠=∠sin sin ,∴sin ∠BCD=21310120sin 10sin =︒∙=∠∙tt CD CBD BD . ∴∠BCD=30°.∴缉私船的方向为北偏东60°.由∠CBD=120°，∠BCD=30°,得∠D=30°.∴BD=BC ，即10t=6.∴t=106小时≈15分钟. 答：缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟.例 4 在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南θ(cos θ=102)方向300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受影响达多少小时？思路分析：设t 小时后台风中心在Q ，此时城市O 受到台风影响，即此时O 在台风侵袭的圆形区域内，注意台风在行进过程中，其半径在不断的增大，连结OQ ，把问题放到△OPQ 中，利用正弦、余弦定理解三角形即可.解:如图1-2-10，设在t 小时后台风中心在Q 点，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t+60) km. 若在此刻城市O 受到台风的影响，则OQ≤10t+60.图1-2-10由余弦定理,知OQ 2=PQ 2+PO 2-2PQ·POcos ∠OPQ.由PO=300,PQ=20t,cos ∠OPQ=cos (θ-45°)=cos θcos45°+sin θsin45° =54221021221022=⨯-+⨯， ∴OQ 2=(20t)2+3002-2×20t×300×54=202t 2-9 600t+3002.∴202t 2-9 600t+3002≤(10t+60)2.整理，得t 2-36t+288≤0.解得12≤t≤24.∴12小时后该城市开始受到台风的侵袭，受影响达12小时.绿色通道：本题关键是从示意图中抽象出三角形，建立数学模型，利用正弦、余弦定理解三角形，得到数学模型的解.变式训练 上例中，如果台风侵袭的圆形区域半径不变，那么该城市还会不会受到侵袭？如果会，几小时后受侵袭？如果不会，请说明理由.思路分析：假设该城市会受到侵袭，当台风到达Q 点时刚好侵袭该城市，仿例4构造△OPQ.则OQ=60，OP=300，∠OPQ=θ-45°，解三角形进行判断，若三角形有解，则会受到侵袭;无解，则不会受到侵袭.此问题还可以采用不等式的思想来解决，即OQ≤60时会受到侵袭.解不等式看是否有解.解：在△OPQ 中，∠OPQ=θ-45°，而cos θ=102, ∴sin θ=1027. ∵sin (θ-45°)=sin θcos45°-cos θsin45°=22(sin θ-cos θ)=53102622=⨯, 则OP·sin (θ-45°)=300×53=180.于是OQ=60＜OP·sin (θ-45°)，这样的三角形不存在.∴该城市不会受到台风的侵袭.问题探究问题 两千多年前，我国汉代的天文学家把商高的“测天量地”方法推广到计算太阳的高度.现在我们知道太阳离地球有1 460万千米之遥，可是古代人又能怎样测算呢?导思：把太阳看作一个固定不动的点，选择一根长度已知的标杆，某一时刻找到太阳直射的一个点，再在不同的两个地方把标杆竖起，测量其影子的长度，根据三角形计算就能估算出太阳的高度.探究：那时人们认为天是圆的，地是方的，太阳挂在天空中特定的地方，它的高度是可以测量的.于是，天文学家根据一根已知长度的标竿在不同地方的太阳的影子的长度不同来计算太阳的高度.汉代天文学家把这种计算方法称为“垂差术”.如图1-2-11，设太阳O 垂直照射到地面的C 点，高度为h ，标竿长为p ，在地方A 的影长为m ，在地方B 的影长为n ，A 到C 的距离为d ，则有图1-2-11 (1)mm d p h +=; (2)n AB n d p h ++=.解方程组，消去d ，得太阳离地面的高度h=mn AB p -∙+p. 请你们一起研究这个问题：这种测量方法的几何原理是什么?这种方法测量高度准不准，有什么局限性?你能结合本章知识来解决本题高度问题吗?。