2013届人教A版理科数学课时试题及解析(22)正、余弦定理和三角形

2013年高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选B．2．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．3．（5分）（2013•新课标Ⅰ）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．4．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．（5分）（2013•新课标Ⅰ）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选A．6．（5分）（2013•新课标Ⅰ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C． D．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．7．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6与a m，进而得到公差d，由前n项和公式【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，故选C．8．（5分）（2013•新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选A．9．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．10．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（）A．B．C．D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．11．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D12．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n 的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，∴b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．14．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣115．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣16．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．18．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．19．（12分）（2013•新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：故EX=400×+500×+800×=506.2520．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．21．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．23．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．24．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a ﹣2，由此解得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。

课时作业 (二十三 ) [第 23 讲解三角形的应用][时间：45 分钟分值： 100 分]基础热身1．已知两座灯塔A、B 与大海察看站 C 的距离相等，灯塔灯塔 B 在察看站 C 的南偏东60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的 (A ．北偏东10°B ．北偏西10°C．南偏东10° D ．南偏西10°2．已知 A、B 两地的距离为10 km ， B、C 两地的距离为则 A、 C 两地的距离为()A 在察看站 C 的北偏东 40°，)20 km ，观察得∠ ABC＝ 120 °，A ． 10 km B. 3 kmC．10 5 km D． 10 7 km3．有一长为 1 的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A ． 1 B． 2sin10 °C．2cos10 ° D． cos20 °4．如图K23－1，一艘船上午8：00 在 A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，以后它持续沿正北方向匀速航行，上午8： 30 抵达 B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距 4 2 n mile ，则此船的航行速度是________ n mile/h.图 K23－1能力提高5．如图 K23 －2，设 A、B 两点在河的两岸，一丈量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为50 m，∠ ACB＝ 45°，∠ CAB＝ 105°后，就能够计算出A、B点的距离为 ()两图 K23－2A．50 2 m B ．50 3 mC．25 2 m D.2522m6．两座灯塔 A 和 B 与大海察看站 C 的距离都等于 a km ，灯塔 A 在察看站 C 的北偏东20°，灯塔 B 在察看站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ()A ． a km B.2a kmC．2a km D.3a km7．据新华社报导，强台风“珍珠”在广东饶平登岸．台风中心最狂风力达到12 级以上，狂风降雨给灾区带来严重的灾祸，许多大树被狂风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成 45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m，则折断点与树干底部的距离是 ()20 6A.m B ． 10 6 m 3C.1063m D ． 20 2 m8．海事救护船 A 在基地的北偏东60°，与基地相距 100 3 n mile ，渔船 B 被困海面，已知 B 距离基地100 n mile ，并且在救护船 A 的正西方，则渔船 B 与救护船 A 的距离是 ()A ． 100 n mileB．200 n mileC．100 n mile 或 200 n mileD． 100 3 n mile9．某人在 C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为 45°，这人沿南偏东40°方向行进 10 m 到 D ，测得塔顶 A 的仰角为30°，则塔高为 ()A ． 15 mB ．5 m C．10 m D． 12 m10．已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处，且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km ， B 船在灯塔C 北偏西 40°处， A、 B 两船间的距离为 3 km，则 B 船到灯塔 C 的距离为 ________ km.11．如图K23 － 3，在坡角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和 30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________ m.图 K23－312．如图K23－4，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选用一点的正东方向上，测得点 A 的仰角为60°，再由点 C 沿北偏东15°方向走得∠ BDC ＝45°，则塔 AB 的高是 ________ m.C，使C 在塔底B 10 m 到地点 D，测图 K23－413．△ ABC中，AB＝22， BC＝5， A＝ 45°，∠ B 为△ ABC 中最大角， D 为 AC 上1一点， AD＝2DC，则 BD ＝ ________.14． (10 分)以 40 km/h 向北偏东30°航行的科学探测船上开释了一个探测气球，气球顺风向正东飘去， 3 min 后气球上涨到 1000 m 处，从探测船上察看气球，仰角为 30°，求气球的水平飘移速度．15．(13 分 ) 如图 K23 － 5 所示，甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向作匀速直线航行，速度为 15 2 n mile/h ，在甲船从 A 岛出发的同时，乙船从 A 岛正南 40 n mile 处的 B 岛出发，1朝北偏东θtanθ＝2的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.(1)若两船能相遇，求m.(2)当 m＝10 5时，求两船出发后多长时间距离近来，近来距离为多少n mile?图 K23－5难点打破16． (12 分)某海岛上有一座海拔点为 A)，测得一游艇在海岛南偏西俯角为 45°的旅行景点C 处，如图1 km 的山，山顶上有一察看站P(P 在海平面上的射影30°，俯角为 45°的 B 处，该游艇准备前去海岛正东方向，K23 － 6 所示．(1)设游艇从 B 处直线航行到 C 处时，距离察看站P 近来的点为 D 处．(i) 求证： BC⊥平面 PAD；(ii) 计算 B、 D 两点间的距离．(2)海水退潮后，在(1)中的点 D 处四周 0.25 km 内有暗礁，航道变窄，为了有序观光景点，要求游艇从 B 处直线航行到 A 的正东方向某点 E 处后，再沿正东方向持续驶向 C 处．为使游艇不会触礁，试求AE 的最大值．图 K23－6课时作业 (二十三 )【基础热身】11． B [ 分析 ] 如图，∠ CBA ＝2(180 °－ 80°)＝ 50°， α＝ 60°－ 50°＝ 10°，应选 B.2． D [分析 ] 如图，△ ABC 中， AB ＝ 10，BC ＝20，∠ B ＝ 120 °. 由余弦定理得，AC 2＝ AB 2＋ BC 2－ 2AB ·BC ·cos120°，＝ 102＋ 202－2× 10× 20× － 12 ＝700， ∴ AC ＝ 10 7 km ，应选 D.3． C [ 分析 ] 如图，在△ ACD 中，由正弦定理，有AD ＝CD ，sin ∠ ACD sin ∠ CAD∴AD ＝ sin 180 °－ 20°sin 20°－ 10°2sin10 cos10° °＝＝ 2cos10°，应选sin10 °C.4． 16 [分析 ] 如图，在△ ABS 中，由正弦定理，有 AB ＝ BS ，∴ AB ＝ 42sin 75°－ 30°＝8， sin ∠ ASB sinA sin30 °故此船的航行速度是 18÷ ＝ 16(n mile/h) ．2【能力提高】ABAC AC ·sin ∠ ACB5．A [分析 ] 由题意，得 B ＝ 30°.由正弦定理， 得 sin ∠ ACB ＝ sinB ，∴ AB ＝sinB50× 22 ＝ 50 2(m)．＝ 1 26． D [ 分析 ] 依题意得∠ ACB ＝ 120 °，由余弦定理，得cos120 °＝ AC 2＋ BC 2－ AB 22AC ·BC.∴ AB 2＝ AC 2 ＋BC 2－2AC ·BCcos120°＝a2＋ a2－ 2a2× －1＝ 3a2，2∴AB＝ 3a，应选 D.7． A[ 分析 ] 如下图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ ABO＝ 45°，∠ AOB ＝ 75°，∴∠OAB＝ 60°.由正弦定理知，AOsin45＝20 °sin60，∴ AO＝ 206 °3m，故选 A.8．C [分析 ] 如图，设基地的地点为O，在△ OAB 中， OA＝ 1003，OB＝ 100，∠ OAB ＝30°，由余弦定理，有OB2＝ AB2＋ OA2－2AB ·OAcos∠OAB，即 AB2－ 300AB＋ 2×1002＝ 0，解得 AB ＝ 100，或 AB＝ 200，应选 C.9． C [ 分析 ] 如图，设塔高为h，在 Rt△ AOC 中，∠ ACO＝ 45°，则 OC＝ OA＝ h.在 Rt△AOD 中，∠ ADO ＝ 30°，则 OD＝ 3h.在△ OCD 中，∠ OCD ＝ 120°， CD ＝10.由余弦定理得， OD2＝ OC2＋ CD 2－ 2OC·CDcos∠OCD ，即 ( 3h)2＝ h2＋102－ 2h× 10× cos120°，∴h2－ 5h－50＝ 0，解得 h＝ 10，或 h＝－ 5(舍 )，应选 C.10.6－ 1 [ 分析 ] 如图，由题意可得，∠ ACB ＝120 °， AC＝ 2， AB＝ 3，设 BC＝ x，则由余弦定理可得，222·ACcos120°，AB＝BC ＋ AC － 2BC即 32＝ x2＋ 22－ 2× 2xcos120°，整理得 x2＋2x＝ 5，解得 x＝ 6－ 1.11． 30 [ 分析 ] 设旗杆高为h 米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，h 2 3则 BC＝＝h.sin60 °3在△ ABC 中， AB＝ 106，∠ CAB＝ 45°，∠ ABC＝ 105°，23h1063因此∠ ACB＝ 30°，由正弦定理得，＝，sin30 °sin45 °故 h＝30.12． 10 6 [分析 ] 在△ BCD 中， CD ＝10，∠ BDC ＝ 45°，∠ BCD ＝ 90°＋ 15°＝ 105°，∠ CBD ＝ 180°－ 105°－ 45°＝30°，CDBC由正弦定理，有＝ ，2则 BC ＝10×2 ＝10 2， 1 2在 Rt △ABC 中， AB ＝ BCtan60 °＝ 10 6. 13. 5 [分析 ] 在△ ABC 中，由正弦定理，有AB ＝ BC ，即 sinC ＝ 2 2sin45 ° 2，sinC sinA 5 ＝ 5∴ cosC ＝ 1－sin 2C ＝ 1， 5sinB ＝ sin(A ＋ C)＝sinAcosC ＋ cosAsinC＝2×1＋2×2＝3 2，252525由正弦定理，有 AC ＝ BC ，sinB sinA3 25×5＝ 3.得 AC ＝2221∵ AD ＝ 2DC ，∴ AD ＝ 1，DC ＝ 2，在△ ABD 中， BD 2＝ AB 2＋ AD 2－ 2AB ·AD cos45°＝ (2 2)2 ＋12－2× 2 2× 1× 2＝5， 2∴ BD ＝ 5.14． [解答 ] 如图，船从 A 航行到 C 处，气球飘到 D 处．由题知， BD ＝ 1 000 m ＝ 1 km ， AC ＝ 2 km ，∵∠ BCD ＝ 30°，∴ BC ＝ 3 km. 设 AB ＝ x km ，在△ ABC 中，∵∠ BAC ＝ 90°－ 30°＝60°，222∴ x 2－ 2x ＋ 1＝ 0，∴ x ＝ 1.∴气球水平飘移速度为 1＝ 20(km/h) ．1 20 15． [解答 ] (1) 设 t 小时后，两船在M 处相遇，由 tan θ＝1，得 sin θ＝ 5， cos θ＝2 5，2 5 5因此 sin ∠ AMB ＝ sin(45 °－θ)＝ 10由正弦定理，AM＝AB 10 .，∴ AM ＝40 2，sin θ sin ∠ AMB同理得 BM ＝ 40 5.∴ t ＝ 40 2＝ 8，m ＝40 5＝ 15 5.381523(2)以 A 为原点， BA 所在直线为 y 轴成立如下图的平面直角坐标系，设在t 时辰甲、乙两船分别在 P(x 1， y 1) ，Q(x 2， y 2)处，则 |AP|＝ 15 2t ， |BQ|＝ 10 5t.由随意角三角函数的定义，可得x 1＝ 15 2tcos45°＝ 15t ， y 1＝ 15 2tsin45 °＝ 15t ， 即点 P 的坐标是 (15t,15t)， x 2＝ 10 5tsin θ＝ 10t ，y 2＝ 10 5tcos θ－ 40＝ 20t － 40， 即点 Q 的坐标是 (10t,20t － 40)，∴ |PQ|＝ － 5t 2＋ 5t － 40 2＝ 50t 2－ 400t ＋ 1600＝ 50 t － 4 2＋ 800≥202， 当且仅当 t ＝ 4 时， |PQ|获得最小值 20 2，即两船出发 4 小不时，距离近来，近来距离为 20 2 n mile.【难点打破】16． [解答 ] (1)(i) 连结 PD ， AD ，∵游艇距离察看站 P 近来的点为 D 处，∴ PD ⊥ BC. 又依题意可知 PA ⊥平面 ABC ，∴ PA ⊥ BC. 又 PA ∩ PD ＝P ，∴ BC ⊥平面 PAD.(ii) 依题意知 PA ⊥AB ，∠ PBA ＝ 45°，PA ＝1，∴ AB ＝ 1，同理 AC ＝1，且∠ BAC ＝ 120°，∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝ 30°.又 BC ⊥ AD ，∴ D 为 BC 的中点，且BD ＝ 23.(2)解法一：依题意过点 B 作圆 D 的切线交 AC 于点 E ，切点为 G ，则 AE 获得最大值．设 AE ＝ x ，则 CE ＝ 1－ x ，过点 E 作 EF ⊥ BC 于 F ，1－ x则EF ＝ 2 .连结 DG ，则 DG ⊥ BE ，∴ Rt △ BGD ∽ Rt △BFE ， ∴ BE ＝ 3(1－ x)．在△ ABE 中， BE 2＝ AB 2＋AE 2－ 2AB ·AE ·cos ∠BAC ， 即 3(1－ x)2＝ 1＋x 2 ＋ x ，化简得 2x 2 －7x ＋ 2＝ 0，解得 x 1＝7＋ 33， x 2＝ 7－ 33.4 4又∵ 0<x<1，∴ x ＝7－ 33，4答： BD 的长为 37－ 33 2 km ， AE 的最大值为 4 km.解法二：在平面 ABC 内，以 A 为坐标原点， AC 为 x 轴，成立直角坐标系，依题意，当直线 BE 与圆 D 相切时 AE 最长．由已知 AB ＝1 得 B －12，－ 23 ，31可设直线 BE ： y ＋ 2 ＝ k x ＋2 ，即 kx － y ＋2k － 23＝ 0，由 (1)知 D 为 BC 的中点，由C(1,0)知 D 134，－4.3k － 3则 D 到直线 BE 距离为 1，即44 ＝ 1，1＋ k 24 4得 4k 2－ 3 3k ＋ 1＝ 0，即 k ＝3 3± 11 k ＝3 3－ 11 舍去 ，8 8∴直线 BE 的方程： y ＋ 3 33＋11 1 2 ＝8 x ＋2 ，令 y ＝ 0 时，得 x ＝7－33，即 AE ＝ 7－33， 44 37－ 33答： BD 的长为 2 km ， AE 的最大值为4 km.。

2013年全国高考理科数学试题（带答案）三角函数一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x 的最大值为2(D)()f x 既奇函数,又是周期函数 【答案】C2．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】D3 ．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π【答案】A4．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43C.43-D.34-【答案】C5 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 【答案】B6．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-【答案】B8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56π【答案】A9 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( ) (A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =【答案】B10．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））04cos50tan 40-= ( )21 【答案】C11．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A.12π B.6π C.4π D.3π 【答案】D12．（2013年高考湖北卷（理））将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12πB.6π C.3π D.56π【答案】B 二、填空题13．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.【答案】314．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】. 15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________16．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周期是_____________【答案】2π17．（2013年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.【答案】18．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=【答案】2sin()3x y +=. 19．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)【答案】1arccos3C π=- 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.【答案】21．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.【答案】π22．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B ===，，,则b=_______【答案】723．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【答案】π3224．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.【答案】25．（2013年高考江西卷（理））函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________.【答案】π26．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_______________【答案】5 三、解答题27．（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.【答案】解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△AB C 中,由正弦定理得3sin sin 2A A=.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3A =.(II)由(I)知cos A =,所以s i n A ==.又因为∠B=2∠A,所以21c o s 2c o s 13B A =-=.所以sin B ==.在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a Cc A==.28．（2013年高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】解:(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x .最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f . 所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且222a b c +=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos cos A B A B ααα++==求tan α的值. 【答案】由题意得30．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】31．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值【答案】32．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.【答案】(1)因为0ω>,根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =,()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈,即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π,故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=. 33．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B(II)若sin sin A C =,求C . 【答案】34．（2013年高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为cos 2BA B =35．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC中,sin B ==,由正弦定理得sin sin a B A b ==,因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.36．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.【答案】解: (Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f (Ⅱ) ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x 所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =37．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像.(1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点.【答案】解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π,0ω>,得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π,(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=,得2πϕ=,所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =(Ⅱ)当(,)64x ππ∈时,1sin 2x <<10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<,()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ,即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0h x '=,得2x π=或32x π= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=⨯,所以67121342n =⨯= 综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,παβ<<<0. (1)若||2a b -=,求证:a b ⊥;(2)设(0,1)c =,若a b c +=,求βα,的值.【答案】解:(1)∵2||=- ∴2||2=- 即()22222=+-=-,又∵1sin cos ||2222=+==αα,1sin cos ||2222=+==ββ∴222=-∴0=∴⊥(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65==39．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()5f α=求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【答案】解: (I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ41．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C . (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据sinB sinC AC AB =得m C ACAB 1040sin sinB== (2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d ∴)507037(20022+-=t t d∵13010400≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由正弦定理sinBsinA ACBC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内 法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D ,设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m.(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),CBA由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000, 其中0≤x ≤8,当x =3537 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050 =1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) .此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043m/min.若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) .此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514 m/min.故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514]范围内.42．（2013年高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos 23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴==43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））△ABC 在内角,,A B C的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.CBADMN【答案】44．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA[【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o 60,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74;(Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得,o sin sin(30)αα=-,化简得4sin αα=, ∴tan αtan PBA ∠. 45．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列,记1n n n P AP θ+∠=,n N *∈. (1)若31arctan3θ=,求点A 的坐标; (2)若点A的坐标为(0,求n θ的最大值及相应n 的值.[解](1) (2)【答案】[解](1)设(0 )A t ，,根据题意,12n n x -=.由31arctan 3θ=,知31tan 3θ=,而3443343223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅, 所以241323t t =+,解得4t =或8t =. 故点A 的坐标为(0 4)，或(0 8)，. (2)由题意,点n P 的坐标为1(20)n -，,1tan n n OAP -∠=. 111212tan tan()1n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===.n+≥,所以tan nθ≤=当且仅当2nn=,即4n =时等号成立. 易知0 tan 2n y x πθ<<=，在(0 )2π，上为增函数,因此,当4n =时,n θ最大,其最大值为arctan4. 46．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B =因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3B π=.(2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-.因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.。

作 (五十七 )A [第 57摆列、合][： 35 分分：80分]基身1． a∈N*，且 a<20 ， (27－ a)(28－ a)⋯ (34－ a)等于 ()827－ a78A ． A 27－aB ．A 34－a C． A 34－a D． A34－a2．从 20 名男同学， 10 名女同学中任 3 名参加体能，到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不一样法的种数()A．1 260B．4 060C．1 140D．2 8003．某位有 7 个在一同的位，有 3 不一样型的需停放，假如要求节余的 4 个位在一同，不一样的停放方法的种数()A．16B． 18 C． 24 D ．324．一天有文、数学、英、物理、化学、生物、体育七，体育不在第一上，数学不在第六、七上，天表的不一样排法种数()7525A．A7－A5B．A4A5C．A 51A 61A 55D． A 66＋ A 41A 51A 55能力提高5．用 1、2、3、4、 5、6 成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、 5 有且只有两个相，不一样的排法种数()A．18 B．108C． 216D． 4326．从 10 名大学生中 3 个人担当村助理，甲、乙起码有 1 人入，而丙没有入的不一样法的种数()A．85B． 56 C． 49 D ．287．用 0到910个数字，能够成没有重复数字的三位偶数的个数()A ． 324 B． 328C． 360D． 6488．研究性学小有 4 名同学要在同一天上、下午到室做A，B， C，D， E 五个操作，每个同学上、下午各做一个，且不重复，若上午不可以做 D ，下午不可以做 E ，不一样的安排方式共有()A．144 种B．192 种C．216 种D．264 种9． 2010 年上海世博会某国将展出 5 件作品，此中不一样法作品 2 件、不一样画作品 2 件、志性建筑 1 件，在展台大将 5 件作品排成一排，要求 2 件法作品必相， 2 件画作品不可以相，国展出5件作品不一样的方案有________种(用数字作答) ．10．从 5 名男医生、 4 名女医生中 3 名医生成一个医小分，要求男、女医生都有，不一样的方案共有 ________种 (数字回答 )．11．由 0,1,2，⋯， 9 十个数字成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的等于 8 的个数 ________个．12． (13 分)有六名同学按以下方法和要求分，各有不一样的分方法多少种？(1)分红三个，各人数分1、 2、 3；(2)分红三个去参加三不一样的，各人数分1、 2、 3；(3)分红三个，各人数分2、 2、 2；(4)分红三个去参加三不一样的，各人数分2、 2、 2；(5)分红四个，各人数分1,1,2,2；(6)分红四个去参加四不一样的活，各人数分1、 1、 2、 2.难点打破13． (12分 )从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的北京奥运冠军中选出10 名作“夺冠之路”的励志报告．(1)若每个大项中起码选派两人，则名额分派有几种状况？(2)若将 10 名冠军分派到11 个院校中的9 个院校作报告，每个院校起码一名冠军，则有多少种不一样的分派方法？作 (五十七 )A【基身】1． D[ 分析 ] A 348－a＝ (27－ a)(28－ a)⋯ (34－a)．2．D[分析 ]基本领件数是C303，此中不切合要求的基本领件个数是C203＋ C103，故所求的种数 C3－ (C3＋ C3＝ 2 800.3020103 的全摆列，即 4× A 33＝ 24.3． C[分析 ]四个位在一同有四种可能，再乘以4．D[分析]若数学在第一，有排法 A 66种；若数学不在第一，数学排法有 A11A5115 4，体育排法有 A5，其他排法有5，依据乘法原理此的排法是 A 4A 5A5.依据加法原理，的排法种数 A 66＋A 41A51 A 55.【能力提高】C32A 22种方法；第二步，将5． D[分析 ]第一步，先将1、3、 5 分红两，共2、4、6排成一排，共 A 33种方法；第三步：将两奇数插入三个偶数形成的四个空位，共 A 42种方法．由乘法原理，共有 C32A 22A 33A 42＝ 3× 2× 6× 12＝ 432 种排法．6． C[分析 ]方法1：由条件可分两：一是甲、乙两人只有一个入，法有C21·C72＝ 42；另一是甲、乙都入，法有C22·C71＝ 7.因此共有 42＋7＝ 49 种法．故C.方法 2：甲、乙均不入的有C3种，数是 C3，故甲、乙起码一人入的方法数是C3－C73＝799 84－ 35＝ 49.A 92＝ 9× 8＝ 72 个； 0 不排在个位，有 A 41·A81·A 81＝7．B[分析]当 0 排在个位，有4× 8× 8＝ 256 个．由分数原理，得切合意的偶数共有72＋ 256＝ 328 个．故 B.8．D[分析 ]依据意得，上午要做的是A，B，C，E，下午要做的是 A，B，C，D ，且上午做了A，B，C 的同学下午不再做同样的．先安排上午，从 4 位同学中任一人做 E ，其他三人分做A， B， C ，有 C41·A 33＝ 24 种安排方式．再安排下午，分两：①上午就 E 的同学下午 D ，另三位同学A， B，C 位摆列，有 2 种方法，不一样的安排方式有N1＝ 1× 2＝ 2 种；②上午 E 的同学下午A，B，C 之一，此外三位从剩下的两和 D 一共三中，但必与上午的目开，有 3种方法，不一样的安排方式有N2＝C31·3＝ 9 种．于是，不一样的安排方式共有N＝ 24× (2＋9) ＝ 264 种．故 D.9．24[分析 ]把需要相的两个元素看做一个整体，而后与不相的元素外的元素行摆列，在隔出的空位上安排需要不相的元素.2 件法作做看作一个整体，方法数是 A 22＝2，把个整体与志性建筑作品摆列，有A22种摆列方法，此中分开了三个空位，在此中插入 2 件画作品，有方法数 A 32＝ 6.依据乘法原理，共有方法数2×2× 6＝ 24(种) ．10．70[分析 ] 分 1 名男医生 2 名女医生、 2 名男医生 1 名女医生两种状况，或许用接法．直接法： C51C42＋C52C41＝ 70.接法： C93－ C53－ C43＝ 70.2211．210[分析 ] 假如个位数和百位数是0,8，方法数是 A2A 8＝ 112；假如个位数和百位数是 1,9，因为首位不可以排 0，方法数是 A 22C71C71＝ 98.故数是 112＋ 98＝ 210.12． [解答123] (1) 即 C6C5C3＝ 60.(2)即 C61C52 C33A 33＝ 60× 6＝ 360.222C6C4C2＝15.(3)即3A 3222(4)即 C6C4 C2＝ 90.1122C6C5C4C2(5)即 A 22·A22＝ 45.1122(6)C 6C5C4C2＝ 180.【点打破】13． [解答 ] (1) 名分派只与人数相关，与不一样的人没关．每大中派两人，节余两个名，C41＝ 4 种，当节余两人出自同一大，名分派状况有当节余两人出自不一样大，名分派状况有C2＝ 6 种．4∴有 C14＋ C24＝10 种．929(2)从 11 个院校中选9 个，再从 10 个冠军中任取 2 个组合，再进行摆列，有 C11C10A 9＝898 128 000.。

课时作业 (四 ) [第 4 讲 函数及其表示 ][时间： 45 分钟 分值： 100 分]基础热身1．以下各组函数中表示同样函数的是( )552A ． y ＝ x 与 y ＝ xx － 1x ＋3C ．y ＝与 y ＝ x ＋ 31D ． y ＝ x 与 y ＝ x 02．已知 f ：x →sinx 是会合 A(A? [0,2π]) 到会合 B ＝0，1的一个映照，则会合A 中的元2素最多有 ( )A ．4个B ．5 个C ．6 个D ．7 个2111x3．已知 f(x)＝ 1＋x 2，那么 f(1) ＋f(2)＋ f 2 ＋ f(3) ＋f 3 ＋ f(4) ＋ f 4＝()7 9 A ． 3 B.2 C ．4 D. 24． 某学校展开研究性学习活动，一组同学获取了下边的一组实验数据：x 1.99 3 4 5.1 6.12y 1.5 4.04 7.5 12 18.01现准备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，此中最靠近的一个是 ()A ． y ＝ 2x － 2B ． y ＝1 x2 C ．y ＝ log 2x D ．y ＝ 12(x 2－1)能力提高15． 函数 y ＝log 2 3x －2 的定义域是 ()A ． [1，＋∞ )2，＋∞B. 32 2 C. 3，1 D.3， 126． 函数 f( x)＝ 2x － 2的值域是 ()A ． (－∞，－ 1)B ． (－ 1,0)∪ (0，＋∞ )C ．( －1，＋∞ )D ． (－∞，－ 1)∪ (0，＋∞ )x 2＋ 2x － 1， x ≥ 0， 7． 已知函数 f(x)＝ 则对随意 x 1，x 2∈ R ，若 0<|x 1|<|x 2|，以下不等x 2－ 2x － 1， x<0 ， 式恒建立的是 ( )A ． f(x 1)－ f(x 2)>0B ． f( x 1)－ f(x 2 )<0C ．f(x 1)＋ f(x 2)<0D ． f( x 1)＋ f(x 2 )>08． 定义在实数集上的函数 f(x)，假如存在函数 g(x)＝ Ax ＋ B(A ，B 为常数 )，使得 f( x)≥ g(x)对于一确实数 x 都建立，那么称 g(x)为函数 f( x)的一个承托函数．给出以下命题：①对给定的函数 f(x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是R 的函数 f(x)不存在承托函数；x12的一个承托函数．④ g(x)＝ x 为函数 f( x)＝ x2( )此中，正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ． 39．图 K4 － 1 中的图象所表示的函数的分析式为( )图 K4－13A ． y ＝ 2|x － 1|(0≤ x ≤2)B ．y ＝ 332 － |x －1|(0≤x ≤ 2)2C ．y ＝ 3－ |x －1|(0≤x ≤2)2D ． y ＝ 1－ |x －1|(0≤x ≤ 2)10．已知 f2＋ 1＝ lgx ，则 f(x)＝ ________. x－ log 3 x ＋ 1 x>6 ，8，11． 设 f(x)＝ 3x －6－ 1 x ≤ 6 知足 f(n)＝－ ， 9则 f(n ＋ 4)＝ ________.12． 设 f(x)的定义域为 D ，若 f(x)知足下边两个条件，则称 f(x)为闭函数．① f(x)在 D 内是单一函数；②存在 [a ，b]? D ，使 f(x)在 [a ， b]上的值域为 [ a ，b]．假如 f(x)＝ 2x ＋1＋ k 为闭函数，那么 k 的取值范围是 ________．13．已知函数 f(x)＝ x 2， g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f[g(x)] ＝4x 2－ 20x ＋ 25，则函数 g(x)＝ ________.14．(10 分 )已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和－ 2，且 f(x)最小值是－ 1，函数 g(x)与 f(x)的图象对于原点对称．(1) 求 f(x)和 g(x)的分析式；(2) 若 h(x)＝f(x)－ λg (x)在区间 [ － 1,1]上是增函数，务实数 λ的取值范围．15． (13 分)解答以下问题：(1)若 f(x ＋ 1)＝2x 2＋1，求 f(x)；(2)若 2f( x)－ f(－ x)＝ x ＋ 1，求 f(x)；x(3)若函数 f(x)＝， f(2)＝ 1，且方程 f(x)＝ x 有独一解，求 f(x)．ax ＋ b难点打破16． (12 分 )设 f( x)＝ax2＋ bx，则能否存在实数a，使得起码有一个正实数b，使函数f(x)的定义域和值域同样？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明原因．课时作业 ( 四)【基础热身】1． D [ 分析 ] 对于 A ，两函数的对应法例不一样； 对于 B ，两函数的定义域不一样； 对于 C ，两函数的定义域不一样； 对于 D ，两函数的定义域都为{ x|x ∈ R ， x ≠ 0} ，对应法例都可化为 y ＝ 1(x ≠ 0)．2． B [ 分析 ] 当 sinx ＝ 0 时， x ＝ 0， π， 2π；1 π 5π 当 sinx ＝ 2时， x ＝ 6， 6 .所以，会合 A 中的元素最多有5 个．x 21 ＝ 1 3． B [分析 ] 2可得 f x 2， 由 f(x) ＝1＋ x1＋ x 1 1所以 f(x)＋ f x＝ 1，又∵ f(1) ＝ 2，f(2) ＋ f 1＝1，2f(3) ＋ f 1 ＝1， f(4)＋ f 1＝ 1，3 4∴ f(1) ＋ f(2)＋ f 1 ＋ f(3) ＋f 1 ＋ f(4) ＋ f 1 ＝7.2 3 4 21 x是单一递减的，也不4．D [分析 ] 直线是平均的，应选项 A 不是；指数函数 y ＝ 2 切合要求；对数函数 y ＝ log 2x 的增加是迟缓的，也不切合要求；将表中数据代当选项D 中， 基本切合要求．【能力提高】115．D [分析 ]由题知 log 2(3x － 2)≥ 0＝log 21，又知对数函数的真数大于零，所以0<3x－ 2≤ 1，解得 2<x ≤ 1.31 x －1－ 1>－ 1，联合反比率函数的图象可知f(x)∈ (－∞，－ 1)∪ (0， 6． D [分析 ] f x ＝ 2＋∞ )，应选 D. x 2＋ 2x －1， x ≥ 0，7．B[ 分析 ] f(x)＝ 为偶函数，在区间 (0，＋∞ )上单一递加，所以x 2 －2x － 1， x<0，f(x 1)－f(x 2)<0.8． C [分析 ] ①正确，②错误；③正确；④错误． 9． B [分析 ] 从图象上看出 x ＝0 时 y ＝ 0，代入各个选项就能够清除 A 、 C ，x ＝ 1 时 y＝ 3，代当选项， D 就能够清除． 222＋ 1＝ t(t ＞ 1)，则 x ＝ 2 ，10． lg x － 1(x ＞1)[ 分析 ] 令 x t － 1∴ f(t)＝ lg 2，即 f(x)＝ lg 2(x ＞ 1)．t － 1x － 111．－ 2 [分析 ]因为 x>6 时函数的值域为 (－∞，－ log 37)，－ 8不在 (－∞，－ log 37)内，9n －68所以 n ≤ 6，由 3－1＝－ ，解得 n ＝ 4，所以 f(n ＋ 4)＝ f(8)＝－ 2.1 92x ＋ 1＋ k 为 － 1，＋∞ 上的增函数，又[分析 ] f(x)＝ f(x)在 [a ， b]12．－ 1<k ≤－ 2 2上的值域为 [a ，b]，∴ f a ＝ a ，2x ＋ 1＝即 f(x)＝ x 在 －1，＋∞ 上有两个不等实根，即f b ＝ b ， 2x －k 在 － 1，＋∞ 上有两个不等实根．21，＋∞方法一：问题可化为 y ＝ 2x ＋ 1和 y ＝x － k 的图象在－ 上有两个不一样交点． 对2于临界直线 m ，应有－ k ≥ 1，即 k ≤－ 1 .对于临界直线n ， y ′＝ ( 2x ＋ 1)′＝1 ，令2 22x ＋ 11＝1，得切点 P 横坐标为 0，∴ P(0,1)．2x ＋ 1∴直线 n ： y ＝ x ＋1，令 x ＝ 0，得 y ＝ 1，1∴－ k ＜ 1，即 k>－1.综上，－ 1< k ≤－.方法二：化简方程2x ＋1＝ x － k ，得 x 2－ (2k ＋ 2)x ＋ k 2－ 1＝ 0.g －1≥ 0，2令 g(x) ＝ x 2－ (2k＋ 2)x ＋ k 2－ 1 ， 则 由 根 的 分 布 可 得1 ， 即k ＋ 1>－2>0，1 2≥0，k ＋ 2 k>－ 3， 2 k>－ 1，解得 k>－1.又 2x ＋ 1＝ x －k ，∴ x ≥ k ，∴ k ≤－112.综上，－ 1<k ≤－ .213． 2x － 5 [分析 ] 由 g(x)为一次函数，设 g(x)＝ax ＋ b(a>0)． 因为 f[g(x)] ＝ 4x 2 － 20x ＋ 25， 所以 (ax ＋ b)2＝ 4x 2－ 20x ＋ 25，2 222即 a x ＋ 2abx ＋ b ＝ 4x － 20x ＋ 25，解得 a ＝ 2， b ＝－ 5，故 g(x)＝ 2x － 5.214． [解答 ] (1) 依题意，设 f(x)＝ ax(x ＋ 2)＝ ax ＋ 2ax(a>0)．∴ f(－ 1)＝－ 1，即 a － 2a ＝－ 1，得 a ＝ 1.∴ f(x)＝x 2＋ 2x.由函数 g(x)的图象与 f(x)的图象对于原点对称，∴ g(x)＝－ f(－ x)＝－ x 2＋ 2x.(2)由 (1) 得 h( x)＝x 2 ＋ 2x － λ(－ x 2＋ 2x)＝ (λ＋ 1)x 2＋ 2(1－λ)x. ①当 λ＝－ 1 时， h(x)＝4x 知足在区间 [ － 1,1] 上是增函数；②当 λ<－ 1 时， h( x)图象的对称轴是 x ＝ λ－ 1，λ＋ 1 λ－ 1则≥ 1，又 λ<－ 1，解得 λ<－1；λ－ 1③当 λ>－ 1 时，同理则需 ≤－ 1，又 λ>－ 1，解得－ 1< λ≤ 0.综上，知足条件的实数 λ的取值范围是 (－∞， 0] ．15． [解答 ] (1) 令 t ＝ x ＋ 1，则 x ＝ t － 1，22所以 f(t)＝ 2(t － 1) ＋ 1＝ 2t － 4t ＋ 3.(2)因为 2f(x)－ f(－ x)＝ x ＋ 1， 用－ x 去替代等式中的 x ， 得 2f(－ x)－ f(x)＝－ x ＋ 1，2f x － f － x ＝ x ＋ 1， 即有2f － x －f x ＝－ x ＋ 1，解方程组消去f(－ x)，得 f(x)＝ x3＋ 1.2＝1，即 2a ＋ b ＝ 2.(3)由 f(2)＝ 1 得 2a ＋ bx11－ b由 f(x) ＝x 得 ax ＋ b ＝x ，变形得 xax ＋ b － 1 ＝ 0，解此方程得： x ＝ 0 或 x ＝ a .又因为方程有独一解，所以 1－ b＝ 0，解得 b ＝ 1， a代入 2a ＋ b ＝ 2 得 a ＝ 1，2所以所求分析式为f(x)＝ 2x.x ＋ 2【难点打破】16． [解答 ] 要使分析式 f(x)＝ ax 2 ＋bx 存心义， 则 ax 2＋ bx ＝x(ax ＋ b)≥ 0.当 a>0 时，函数的定义域为 －∞，－b∪ [0，＋∞ )，因为函数的值域为非负数，所以a a>0 不切合题意；当 a ＝0 时， f(x)＝ bx ，此时函数的定义域为 [0，＋∞ )，函数的值域也为 [0 ，＋∞ )，切合题意；bb222 b当 a<0 时，函数的定义域为0，－ a ，又 f(x)＝ax ＋ bx ＝a x ＋2a－ 4a ，∵ 0<－ b <－ b ，∴当 x ＝－ b时，函数 f(x)有最大值－ b 2，由题意有－b 2＝ －b2，2aa2a4a4aa即 a 2＝－ 4a ，解得 a ＝－ 4.综上，存在切合题意的实数 a ， a 的值为 0 或－ 4.。

课时作业 (一 ) [第 1 讲会合及其运算][时间：45 分钟分值： 100 分]基础热身1．已知会合M＝{0,1,2,3,4} ，N＝ {1,3,5} ， P＝M∩ N，则 P 的子集共有 ( A．2个B．4 个C．6 个D．8 个2．已知全集是实数集R ，M＝{ x|x≤1}，N＝{1,2,3,4}，则(?R M)∩N等于(A ． {4}B ．{3,4}C．{2,3,4}D． {1,2,3,4}3．已知会合A＝ { y|y＝ lgx，x>1} ，B＝{ x|0<|x|≤ 2，x∈Z } ，则以下结论正确的选项是A ． A∩ B＝ { －2，－ 1}B． A∪ B＝ { x|x<0}C．A∪ B＝ { x|x≥ 0}D． A∩ B＝ {1,2}))()4．对于平面上的点集上的凸集，给出平面上Ω，假如连结Ω 中随意两点的线段必然包括于4 个点集的图形如图 K1 － 1(暗影地区及其界限Ω，则称Ω为平面)，此中为凸集的是()图 K1－1A ．①③B．②③C．③④ D ．①④能力提高5．已知会合M＝ { － 4，－ 3，－ 2，－ 1，0,1,4} ，N＝ { － 3，－ 2，－ 1,0,1,2,3} ，且 M，N 都是全集I 的子集，则图K1 － 2 中暗影部分表示的会合为()图 K1－2A ． { － 1，－ 2，－ 3}B ． {0,1,2,3}C．{2,3}D． {0 ，－ 1，－ 2，－ 3}6．若全集 U＝ {1,2,3,4,5,6} ， M＝ {2,3} ，N＝{1,4} ，则会合 {5,6} 等于 ()A．M∪ N B． M∩ NC．( ?U M)∪ (?U N) D ． (?U M)∩( ?U N)7．已知会合A＝ { x|－2≤ x≤ 7} ，B＝ { x|m＋1<x<2m－ 1} 且 B≠ ?，若 A∪ B＝ A，则 m 的取值范围是 ()A ．－ 3≤ m≤ 4B ．－ 3<m<4C．2< m<4D． 2<m≤ 48．设全集 U ＝ {( x，y)|x∈R，y∈R} ，A＝ {( x，y)|2x－ y＋ m>0} ，B＝ {( x，y)|x＋ y－ n≤0} ，那么点 P(2,3)∈A∩ (?U B)的充要条件是 ()A ． m>－1 且 n<5B ．m<－ 1 且 n<5C．m>－1 且 n>5 D ．m<－ 1 且 n>512，则A∩B＝() 9．设会合 A＝{ x|y＝ ln(x－ 3)} ， B＝ xy＝－ 4＋5x－ xA ． ?B． (3,4)C ．( －2,1)D ． (4，＋∞ )10．设会合 A ＝ { －1,1,3} ，B ＝ { a ＋ 2，a 2＋ 4} ，A ∩ B ＝ {3} ，则实数 a 的值为 ________． 11．若全集 U ＝ {0,1,2,4,16} ，会合 A ＝ {0,2 ，a} ，?U A ＝ {1 ， a 2} ，则 a 的值为 ________． 12．设数集 M ＝ x m ≤ x ≤ m ＋3，N ＝ x n － 1≤ x ≤ n ，且 M 、N 都是会合 { x|0≤x ≤ 1}4 3的子集，假如把 b － a 叫做会合 { x|a ≤ x ≤ b} 的“长度”，那么会合 M ∩N 的“长度”的最小值是 ________．13．已知会合 A ＝ { x|1≤log 2x ≤ 2} ， B ＝ [a ， b] ，若 A? B ，则实数 a － b 的取值范围是________．已知会合 A ＝ { x||x － 1|<2} ， B ＝ { x|x 2＋ ax － 6<0} ， C ＝ { x|x 2－ 2x －15<0} ． 14． (10 分) (1)若 A ∪ B ＝ B ，求 a 的取值范围；(2)能否存在 a 的值使得 A ∪ B ＝ B ∩C ？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明原因．2－ 1 的定义域为会合A ，函数 g(x)＝1－ a 2－ 2ax － x 2的15．(13 分 )设函数 f(x)＝ lg x ＋ 1定义域为会合 B.(1)求证：函数 f(x)的图象对于原点成中心对称；(2)a ≥ 2 是 A ∩ B ＝?的什么条件 (充足不用要条件、必需不充足条件、充要条件、既不充足也不用要条件 )？并证明你的结论．难点打破16． (12 分)会合 A ＝{ x|－ 2≤ x ≤5} ， B ＝ { x|m ＋ 1≤ x ≤ 2m － 1} ． (1)若 B? A ，务实数 m 的取值范围；(2)当 x ∈ Z 时，求 A 的非空真子集的个数；(3)当 x ∈ R 时，若 A ∩ B ＝ ?，务实数 m 的取值范围．作业手册课时作业 ( 一)【基础热身】1． B [ 分析 ] 由于 M＝ {0,1,2,3,4} ， N＝ {1,3,5} ，因此 P＝ M∩ N＝ {1,3} ，因此会合 P 的子集共有 ?， {1} ， {3} ， {1,3}4 个．2． C[ 分析 ] 由于 ?R M＝ { x|x>1} ，因此 (?R M)∩ N＝ {2,3,4} ．3． D[ 分析 ] A＝ { y|y>0} ， B＝ { － 1，－ 2,1,2} ，故 A∩ B＝{1,2} ．4． B[ 分析 ] 只有②③两个图形内随意两点所连线段仍在图形内．【能力提高】5． C [ 分析 ] 依据补集和交集的运算，把N 中属于 M 的元素去掉即可．6． D[ 分析 ] 方法一：∵ M∪ N＝ {1,2,3,4} ，∴(?U M)∩ (?U N)＝ ?U(M∪ N)＝ {5,6} ．应选 D.方法二：∵ ?U M＝ {1,4,5,6} ，?U N＝ {2,3,5,6} ，∴(?U M)∩ (?U N)＝ {5,6} ．应选 D.7． D [分析 ] ∵A∪ B＝ A，∴ B? A，又 B≠ ?，m＋ 1≥－ 2，∴ 2m－ 1≤ 7，解得 2＜ m≤ 4.m＋1<2m－ 1，8． A [ 分析 ] ∵P∈ A，∴ m>－ 1，又 ?U B＝{( x， y)|x＋ y－ n>0} ，∵ P∈ (?U B)，∴ n<5 ，应选 A.9． B [ 分析 ] 会合 A， B 均是函数的定义域，求出定义域后计算即可．22，即得会合 A＝ (3，＋∞ ) ，会合 B 中的 x 知足－ 4＋ 5x－x >0，即 x － 5x＋4<0即会合 B＝ (1,4)，故 A∩ B＝ (3,4) ．应选 B.10． 1[ 分析 ] ∵ A＝{ － 1,1,3} ，B＝ { a＋ 2， a2＋ 4} ， A∩ B＝ {3} ，∴ a＋ 2＝ 3＝3，又∵ a2＋ 4＝ 3 不切合题意，无解．∴ a＝ 1，经查验，切合题意．11． 4[分析 ] a 只可能等于 4.1<x<4 ，或 a2＋ 413112.12[ 分析 ] 由题意，知会合M 的“长度”是4，会合 N 的“长度”是3，由会合 M、N 是 { x|0≤ x≤ 1} 的子集，知当且仅当M∪ N＝ { x|0≤x≤ 1} 时，会合 M∩N 的“长度”最小，311最小值是4＋3－ 1＝12.13．(－∞，－ 2][ 分析 ] 会合 A 是不等式 1≤ log2x≤ 2 的解集，求出这个会合，依据集合之间的关系得a，b知足的条件，即可求出 a－ b 的取值范围．由题意，会合A＝ [2,4] ，因为 A? B，故 a≤ 2， b≥ 4，故 a－ b≤ 2－ 4＝－ 2，即 a－b 的取值范围是(－∞，－ 2]．14． [解答 ] A＝ { x|－ 1< x<3} ， C＝ { x|－ 3<x<5} ．f － 1 ＝－ 1 2－ a－ 6≤0，(1)由A∪B＝B知，A? B，令f(x)＝x2＋ax－6，则f 3＝32＋3a－6≤0，解得－ 5≤ a≤－ 1，即 a 的取值范围是 [－ 5，－ 1]．(2)假定存在 a 的值使得A∪ B＝ B∩C，由 A∪ B＝ B∩C? B 知 A? B，由 A∪B＝B∩ C? C 知 B? C，于是 A? B? C，由 (1)知若 A? B，则 a∈ [－ 5，－ 1]，当 B? C 时，由＝a2＋24>0，知B不行能是空集，f － 3 ＝－ 3 2－3a－ 6≥ 0，f 5 ＝52＋5a－ 6≥0，于是－3<－a<5，2解得 a∈ －19， 1 ，519综合 a∈ [－ 5，－ 1]知存在 a∈ －5，－ 1 知足条件．15． [解答 ] (1) 证明： A＝ x2－1>0，x＋ 1由2－1>0?x－ 1x＋1<0 ? (x＋ 1)(x－ 1)<0，x＋ 1∴－ 1<x<1，∴ A＝ (－ 1,1)，故 f(x)的定义域对于原点对称．1－ x 1＋ x 1－ x 又 f(x) ＝lg x＋1，则 f(－ x)＝ lg－x＋1＝ lg x＋1－1＝－ lg1－x＝－ f(x)，x＋1∴ f(x)是奇函数．即函数 f(x)的图象对于原点成中心对称．(2)B＝ { x|x2＋2ax－ 1＋ a2≤0} ，得－ 1－ a≤ x≤ 1－ a，即 B＝ [ － 1－ a,1－a]．若 A∩ B＝ ?，则只要要－ 1－ a≥1 或许 1－ a≤－ 1，解得 a≤－ 2 或许 a≥ 2，故 A∩ B＝ ?等价于 a≤－ 2 或许 a≥ 2，而 { a|a≥a|a≤－ 2 或 a≥ 2} ．因此， a≥ 2 是 A∩ B＝?的充足不用要条件．【难点打破】16． [解答 ] (1) ①当 m＋ 1>2m－1，即 m<2 时， B＝ ?知足 B? A.②当 m＋ 1≤2m－1，即 m≥ 2 时，要使 B? A 建立，m＋ 1≥－ 2，需可得 2≤m≤3.2m－ 1≤5，综上， m 的取值范围是m≤3.(2)当 x∈Z时， A＝ { － 2，－ 1,0,1,2,3,4,5} ，8(3)由于 x∈R，且 A＝ { x|－ 2≤ x≤ 5} ， B＝{ x|m＋ 1≤ x≤2m－ 1} ，又 A∩ B＝ ?，则①若 B＝ ?，即 m＋ 1>2m－ 1，得 m<2，知足条件．②若 B≠ ?，则要知足的条件是m＋ 1≤ 2m－ 1，m＋1≤ 2m－ 1，或m＋ 1>52m－ 1<－ 2，解得 m>4.综上， m 的取值范围是m<2 或 m>4.。

作 (二十八 )B [ 第 28 等差数列 ][ ： 35 分分 ： 80 分]基 身1． 数列 { a n } 随意 n ∈ N *， 足 a n ＋ 1＝ a n ＋ 3，且 a 3＝ 8， S 10 等于 ( )A ． 155B ． 160C ．172D ． 2402． 等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 a 1＋ a 9＋ a 11＝ 30，那么 S 13 的 是 ( )A ．65B ．70C ．130D ． 2603． 在等差数列 { a n } 中， a 1＝ 0，公差 d ≠ 0，若 a k ＝a 1＋ a 2＋ a 3＋⋯＋ a 7， k ＝ ( )A ．21B ．22C ．23D ． 24 4． S n 等差数列 { a n } 的前 n 和， S 2＝ S 6， a 4＝ 1， a 5＝ ________.能力提高5． 已知等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，且 足 S 3－S 2＝1， 数列 { a n } 的公差 d 是 ()132A. 2 B ．1C ．2D ． 3b n ＝ a 3n ， 数列 { b n } 的一个通 公式6． { a n } 是首 1，公差 2 的等差数列，令是( )A ． b n ＝ 3n ＋ 2B ． b n ＝4n ＋ 1C ．b n ＝ 6n － 1D ． b n ＝8n － 37．{ a n } 等差数列，公差 d ＝－ 2， S n 其前 n 和．若 S 10＝S 11， a 1＝ ()A ．18B ．20C ． 22D ．248． 等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ，已知 a 1＝ 13，S 3＝ S 11，当 S n 最大 ， n 的 是 ( )A ．5B ．6C ．7D ． 89． 已知数列 { a n } 于随意 p ，q ∈ N *，有 a p ＋ a q ＝ a p ＋q ，若 a 1＝ 1， a 36＝________.910．若数列 { a n } 足1－ 1＝ d(n ∈N * ，d 常数 )， 称数列 { a n } 和数列． 数a n ＋ 1a n列1和数列，且x ＋ x ＋⋯＋ x ＝ 200， x ＋ x ＝ ________.x n1220516已知数列 { a n } 足 a 1＝ t ，a n ＋ 1－ a n ＋2＝ 0(t ∈ N * ，n ∈N *)， 数列 { a n } 的前 n 和11． 的最大 f(t)， f(t)＝ ________.12． (13 分) 已知等差数列 { a n } 足： a 3＝ 7， a 5＋ a 7＝ 26， { a n } 的前 n 和 S n .(1)求 a n 及 S n ；(2)令 b n ＝ 21(n ∈ N * )，求数列 { b n } 的前 n 和 T n .a n － 1点打破13． (12 分) 数列 { a n } 足 a 1 ＝0 且1 －1＝1.1－ a n ＋1 1－a n(1)求 { a n } 的通 公式；(2)设 b n＝1－an＋1，记S n＝n b k，证明：S n＜1.n k＝ 1作 (二十八 )B【基 身】1． A [ 分析 ] 由 a n ＋ 1＝ a n ＋ 3，得 a n ＋1－ a n ＝ 3， 数列 { a n } 是公差 d ＝ 3 的等差数列，由 a 3＝ 8，得 a 1＋2d ＝ 8， a 1＝2，因此 S 10＝ 10× 2＋10×9× 3＝ 155，故 A. 22． C [ 分析 ] 等差数列 { a n } 的公差 d ，由 a 1＋ a 9＋ a 11＝ 30，得a 1＋ a 1＋ 8d ＋a 1＋ 10d ＝ 30，即 a 1＋ 6d ＝10，∴ S 13＝ 13a 1＋13× 12d ＝ 13(a 1＋ 6d)＝ 130，故C. 27× 63． B[ 分析 ] 由已知，有a 1＋ (k － 1)d ＝ 7a 1＋2 d ，把 a 1＝ 0 代入，得k ＝ 22，故B.6× 54．－ 1 [ 分析 ] 由 S 2＝ S 6，得 2a 1＋ d ＝6a 1＋ 2 d 解得 4(a 1＋ 3d)＋ 2d ＝ 0，即 2a 4＋ d＝ 0，因此 a 4 ＋(a 4＋d)＝0，即 a 5＝－ a 4＝－ 1.【能力提高】5． C[ 分析 ] 由S 3－S 2＝1，得 1(3a 1＋ 3d)－1(2a 1 ＋d)＝1，解得 d ＝ 2，故 C.3 2 3 26．C [分析 ] 由已知，得 { a n } 的通 公式 a n ＝ 2n －1， 数列 { b n } 的前 45,11,17,23，即数列 { b n } 是首 b 1＝ 5，公差 6 的等差数列，它的一个通 公式 b n ＝ 6n － 1，故 C.7． B [ 分析 ] 由 S 10＝ S 11，得 a 11＝ S 11－ S 10＝ 0，∴ a 1＝ a 11＋ (1－11)d ＝ 0＋ (－ 10)(－ 2)＝ 20.故 B.8．C [ 分析 ] 方法 1：S 3＝S 11 得 a 4＋ a 5＋⋯＋ a 11＝ 0，依据等差数列性 可得 a 7＋ a 8＝0，依据首 等于 13 可推知 个数列 减，进而获得 a 7>0， a 8<0 ，故 n ＝ 7 ， S n 最大．方法 2：由 S 3＝ S 11 可得 3a 1＋ 3d ＝ 11a 1＋ 55d ，把 a 1＝ 13 代入得 d ＝－ 2，故 S n ＝ 13n －n(n －1) ＝－ n 2＋ 14n ，依据二次函数性 ，当 n ＝7 S n 最大．方法 3：依据 a 1＝ 13，S 3＝ S 11， 个数列的公差不等于零， 明 个数列的和先是增的， 而后 减， 依据公差不 零的等差数列的前n 和是对于 n 的二次函数， 以及 二次函数 象的 称性，当S ＝ S ，只有 n ＝3＋11＝ 7 ， S 获得最大 ．311 2n9． 4 [分析 ] 因 于随意p ， q ∈ N *，有 a p ＋ a q ＝ a p ＋q ，因此 a n ＋ 1－ a n ＝ a 1＝1，数列{ a n } 是以 a 1＝ 1 首 ，公差 1的等差数列，故 a 36＝ 1＋(36－ 1)× 1＝ 4. 99 9 9 910． 20 [ 分析 ] 由 和数列的定 ，得 x n ＋ 1－ x n ＝ d ，即数列 { x n } 是等差数列， x 1＋ x 20＝ x 2＋ x 19＝⋯＝ x 10＋ x 11，∴ x 1＋ x 2＋⋯＋ x 20＝ 10(x 1＋ x 20)＝ 200，故 x 5＋ x 16＝ x 1＋ x 20＝20.t 2＋ 2t， t 偶数 ，11.4[ 分析 ] 由已知 a n ＋ 1－ a n ＝－ 2， 数列 { a n } 是公差 － 2 的2t ＋ 1 ， t 奇数4等差数列，数列 { a n } 的前 n 和 S n ＝nt ＋n n － 1×(－2)＝－ n 2＋ (t ＋ 1)n2t ＋ 1 2t ＋ 1 2＝－n － 2＋4 .2若 t 奇数，t ＋ 1n ＝t ＋ 1 t ＋ 12 是整数， 当 ， S n 有最大4；22＋ 2t若 t 偶数，t ＋1不是整数， 当n ＝ t 或 n ＝ t ＋ 1 ， S n 有最大 t4.22 2t 2＋2t4t 偶数 ，故 f(t)＝t ＋1 24t 奇数 .12．[解答 ](1) 等差数 列 { a n } 的公差 d ，因a 3 ＝ 7 ， a 5 ＋ a 7 ＝ 26 ，因此有a 1＋ 2d ＝ 7，解得 a 1＝ 3， d ＝ 2，2a 1＋ 10d ＝ 26，因此 a n ＝3＋ 2(n － 1)＝ 2n ＋ 1，n n － 12S n ＝ 3n ＋× 2＝ n ＋ 2n.(2)由 (1) 知 a n ＝ 2n ＋ 1，因此 b n ＝ 2 1 ＝ 11 1 1 1 1， 2＝ · ＝ · －n ＋ 1 a n － 1 2n ＋ 1 － 1 4 n n ＋ 1 4 n 因此 T n ＝1·1－ 1＋1－1＋⋯＋ 1－ 14 2 2 3 n n ＋ 1＝11－1 4·n ＋ 1n＝，4 n ＋ 1即数列 { b n } 的前 n 和 T n ＝n .4 n ＋ 1【 点打破】13． [解答 ] (1) 由1 － 1 ＝ 1，1－ a n ＋1 1－ a n即 1 是公差1 的等差数列．1－a n又 1 ＝ 1，故 1 ＝ n.1－ a 1 1－a n 1因此 a n ＝1－ n . (2) 明：由 (1)得b n ＝ 1－ a n ＋1＝ n ＋ 1－ n ＝ 1 －1 ， nn ＋ 1· nnn ＋ 1n n1 －11∴ S n ＝∑ b k ＝∑＝ 1－ <1.k ＋ 1k ＝1k ＝1 kn ＋1。

课时作业 (二十二 )A [第 22 讲 正、余弦定理和三角形面积公式 ][时间： 35 分钟分值： 80 分]基础热身1．在△ ABC 中， a ＝ 15， b ＝ 10， A ＝ 60°，则 cosB ＝ ()A ．－23 2 B. 2 3 266C ．－3 D.32．在△ ABC 中，若 ( b ＋ c)∶ (c ＋ a)∶ (a ＋ b)＝ 5∶ 6∶ 7，则 cosB 的值为 ()11 11 9 7A. 16B.14C.11D. 8π)3．，则△ ABC 的周长为 (已知△ ABC 中， AB ＝ 2，C ＝ 3A ． 4 3sin A ＋ π＋ 2B ． 4 3sin A ＋π＋ 23 6 C ．4sin A ＋ π＋ 2 D ．8sin A ＋ π＋26 34． 已知△ ABC 的一个内角为 120 °，而且三边长组成公差为4 的等差数列，则△ ABC的面积为 ________．能力提高5．在△ ABC 中，三内角 A 、 B 、 C 分别对三边4，c ＝ 8，则△ ABC 外a 、b 、c ， tanC ＝ 3接圆半径 R 为( )A ．10B ．8C ．6D ． 56．在△ ABC 中， a ，b ， c 分别为角 A ， B ， C 所对的边，若a ＝ 2bcosC ，则此三角形一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形a ，b ，c.若 a 2－ b 2＝ 3bc ，sinC ＝ 2 3sinB ，7．在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别是则 A ＝( )A ． 30°B ．60°C ．120 °D ． 150 °8．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 c ＝ 4 2，B ＝ 45°，面积 S＝2，则 b 等于 ()113A ．5 B. 2C. 41D ．259．△ ABC 的内角 A 、B 、 C 的对边分别为a ，b ，c ，若 c ＝ 2， b ＝6， B ＝ 120 °，则 a＝ ________.10．在△ ABC 中， a 、 b 、c 分别为角 A 、B 、 C 的对边，若 a ＋ c ＝4，当△2b 且 sinB ＝53ABC 的面积为 2时， b ＝________.b atanC11．在锐角△ ABC 中，角 A 、B 、 C 的对边分别为a 、b 、c ，若 a ＋ b ＝ 6cosC，则tanA ＋tanC的值是 ________．tanB12． (13 分 )在△ ABC 中， a、 b、c 分别为角A、B、 C 的对边，△ ABC 的面积 S 知足 S 3＝2 bccosA.(1)求角 A 的值；(2)若 a＝3，设角 B 的大小为x，用 x 表示 c，并求 c 的最大值．难点打破13．(12 分 )在锐角△ ABC中，三个内角A、B、C1sinA)，n＝ (cosA，－ sinA)，a＝ 23，且m·n＝－ 2.所对的边挨次为a、b、c.设m＝(cosA，(1)若(2)求b＝ 2 2，求△ ABCb＋ c 的最大值．的面积；课时作业 (二十二)A 【基础热身】1．D [分析 ]依题意，得a>b ，则A>B,0°<B<60°，由正弦定理，有a ＝ sinAb ，得 sinB sinB ＝ bsinA ＝ a3， 3∴ cosB ＝ 1－sin 2B ＝ 36，应选 D.2． A [ 分析 ] 令 b ＋ c ＝ 5k ，c ＋ a ＝ 6k ，a ＋ b ＝ 7k(k>0) ，则 a ＋ b ＋ c ＝ 9k ，得 a ＝ 4k ， b＝ 3k ， c ＝ 2k ，222a ＋c － b113． C[分析 ]BC ＝AB ＝AC ，得由正弦定理，有 sinAsinC sinB4 3 4 34 3 π－ π ，BC ＝ 3 sinA ， AC ＝ 3 sinB ＝ 3 sin － A3则△ ABC 的周长为 l ＝4 3 4 3 2π ＋ 2，3 － A3 sinA ＋ 3 sinπ＝ 2 3sinA ＋ 2cosA ＋ 2＝ 4sin A ＋6 ＋ 2，应选 C. 4． 15 3 [分析] 不如设∠ A ＝ 120 °， c<b ，则 a ＝ b ＋ 4， c ＝ b － 4，于是 cos120 °＝ b 2＋ b －4 2－ b ＋4 23. 2b b － 4 ＝－ 1，解得 b ＝ 10，因此 c ＝ 6.因此 S ＝1bcsin120 ＝°152 2 【能力提高】5． D [分析 ] 由同角三角函数的基本关系式，得cosC ＝1 2 ＝ 3， sinC ＝cosCtanC ＝4，1＋ tan C 5 5由正弦定理，有2R ＝ c ＝ 8＝ 10，故外接圆半径为5，应选 D.sinC 4 5a sinA ，又 a ＝ 2bcosC ，则6． C [分析 ] 由正弦定理，有 b ＝ sinB sinA ＝ 2sinBcosC ，即 sin(B ＋ C)＝2sinBcosC ，睁开，化简，得 sinBcosC － cosBsinC ＝ 0，即 sin(B － C)＝ 0， ∴ B ＝ C ，即△ ABC 是等腰三角形，应选 C.7． A [分析 ]c ＝ sinC ，又 sinC ＝2 3sinB ，可得 c ＝ 23b.由余弦定理由正弦定理，有 b sinB22223，于是 A ＝ 30°，应选 A.得 cosA ＝ b ＋ c － a＝－ 3bc ＋ c ＝2bc2bc128． A[分析 ] 由 S ＝ 2，得 2acsinB ＝ 2，解得 a ＝ 1，由余弦定理，得 b 2＝ c 2＋ a 2－ 2cacosB ＝ (42)2＋ 12－ 2× 4 2× 1× 22＝ 25，则 b ＝5，故选 A.3bc ，即 sinC ＝ csin120 °2×219. 2 [分析 ] 由正弦定理，有 sinB ＝ sinC b ＝6 ＝ 2，∴ C ＝ 30°，则 A ＝ 180°－ (B ＋C)＝ 30°，故 a ＝ c ＝ 2. 10． 2 [ 分析 ] ∵ a ＋ c ＝ 2b ，∴ a 2＋c 2＋ 2ac ＝ 4b 2(1)，∵ S 1 2 3 ，∴ ac ＝15 (2) ． ABC ＝ acsinB ＝ ac ＝△ 2 5 2 4∵ sinB ＝ 4，∴ cosB ＝3(由 a ＋ c ＝ 2b 知 B 为锐角 )，5 52013届人教A 版理科数学课时试题及解析(22)正、余弦定理和三角形面积公式 A∴a 2＋ c 2－b 2＝ 3，∴ a 2＋ c 2＝ 9＋ b 2(3)． 2ac 5 2由 (1)、 (2) 、 (3)，解得 b ＝2.b a111． 4 [分析 ] 解法一：取 a ＝ b ＝ 1，由 a ＋b ＝ 6cosC 得 cosC ＝ 3，由余弦定理，得 c 2 ＝a 2＋ b 2－ 2abcosC ＝ 4，323∴ c ＝3 .在如下图的等腰三角形 ABC 中，可得 tanA ＝ tanB ＝ 2，又 sinC ＝2 2， tanC ＝ 2 2，3 tanCtanC∴tanA ＋tanB ＝ 4.a 2＋ b2a 2＋b 2－ c2b a解法二：由 a ＋b ＝ 6cosC ，得ab ＝ 6·2ab，即 a 2＋ b 2＝3c 2，2∴ tanC ＋tanC ＝ tanCcosA ＋ cosB ＝sin 2CtanAtanB sinA sinBcosCsinAsinB＝ 2 2c22 2＝ 4.a ＋b － c3 112． [解答 ] (1) 在△ ABC 中，由 S ＝ 2 bccosA ＝ 2bcsinA ，得 tanA ＝ 3.π∵ 0<A<π，∴ A ＝.3π(2)由 a ＝及正弦定理得3， A ＝3a ＝ c＝ 3＝ 2， sinA sinC 32∴ c ＝ 2sinC.2π∵ A ＋ B ＋ C ＝ π，∴ C ＝ π－A － B ＝ 3 － x ，2π∴ c ＝ 2sin 3 － x .π 2π∵ A ＝ ，∴ 0<x<，33π∴当 x ＝ 时， c 获得最大值， c 的最大值为 2.6【难点打破】13． [解答 ] (1) 由 m ·n ＝－ 1得 cos 2A － sin 2A ＝－1，122即 cos2A ＝－ ππ，2，∵ 0<A< ，∴ 0<2A<22013届人教A 版理科数学课时试题及解析(22)正、余弦定理和三角形面积公式 A∴ 2A ＝2ππ，∴A ＝ .3 3设△ ABC 的外接圆半径为R ，由 a ＝2RsinA 得 2 3＝2R 3，∴ R ＝ 2. 2由 b ＝2RsinB ，得 sinB ＝ 22，π又 b<a ，∴ B ＝ ，4∴ sinC ＝ sin(A ＋ B)＝ sinAcosB ＋ cosAsinB ＝3× 2＋ 1× 2＝ 6＋ 2，22224∴△ ABC 的面积为 S ＝ 1 a bsinC ＝ 1× 2 3×2 2× 6＋ 2＝ 3＋ 3.2 2 4 (2)解法一：由 a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccosA 得 b 2＋ c 2－ bc ＝12，∴ (b ＋ c)2＝ 3bc ＋12≤ 3 b ＋ c 2＋ 12，∴ (b ＋ c)2≤ 48，2 b ＋ c ≤4 3，当且仅当 b ＝ c 时取等，∴ b ＋c 的最大值为 4 3.解法二：由正弦定理得：b ＝c ＝ a＝2 3＝4，sinB sinC sinAπsin 3又 B ＋ C ＝π－ A ＝2π，32π∴ b ＋ c ＝ 4sinB ＋ 4sinC ＝4sinB ＋ 4sin 3 － B ＝π 4 3sin B ＋ 6 ， π π 当 B ＋ 6＝ 2，即πB ＝ 3时， b ＋ c 取最大值4 3.。

课时作业(二十二)A 第22讲 正、余弦定理和三角形面积公式时间：35分钟 分值：80分基础热身1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223 B.223C ．－63 D.632．在△ABC 中，若(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝5∶6∶7，则cos B 的值为( ) A.1116 B.1114 C.911 D.783．2011·淮南一模 已知△ABC 中，AB ＝2，C ＝π3，则△ABC 的周长为( )A ．43sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋2B ．43sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋2C ．4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋2D ．8sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋24．2011·安徽卷 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．能力提升5．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．56．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．30° B．60° C ．120° D．150°8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝42，B ＝45°，面积S ＝2，则b 等于( ) A ．5 B.1132C.41 D ．259．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________________.10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＋c ＝2b 且sin B ＝45，当△ABC 的面积为32时，b＝________.11．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________．12．(13分)2011·揭阳二模 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，△ABC 的面积S 满足S ＝32bc cos A .(1)求角A 的值；(2)若a＝3，设角B的大小为x，用x表示c，并求c的最大值．难点突破13．(12分)2011·漳州质检在锐角△ABC中，三个内角A、B、C所对的边依次为a、b、c.设m＝(cos A，sin A)，n＝(cos A，－sin A)，a＝23，且m·n＝－12 .(1)若b＝22，求△ABC的面积；(2)求b＋c的最大值．课时作业(二十二)A【基础热身】1．D 解析 依题意，得a >b ，则A >B,0°<B <60°， 由正弦定理，有asin A＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝33， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝63. 2．A 解析 令b ＋c ＝5k ，c ＋a ＝6k ，a ＋b ＝7k (k >0)，则a ＋b ＋c ＝9k ，得a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1116.3．C 解析 由正弦定理，有BC sin A ＝AB sin C ＝ACsin B，得BC ＝433sin A ，AC ＝433sin B ＝433sin ⎝⎛⎭⎫π－π3－A ， 则△ABC 的周长为l ＝433sin A ＋433sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＋2， ＝23sin A ＋2cos A ＋2＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋2.4．15 3 解析 不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以c ＝6.所以S ＝12bc sin120°＝15 3. 【能力提升】5．D 解析 由同角三角函数的基本关系式，得cos C ＝11＋tan 2C ＝35，sin C ＝cos C tan C ＝45，由正弦定理，有2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.6．C 解析 由正弦定理，有a b ＝sin Asin B，又a ＝2b cos C ，则sin A ＝2sin B cos C ，即sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，展开，化简，得sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0， ∴B ＝C ，即△ABC 是等腰三角形．7．A 解析 由正弦定理，有c b ＝sin C sin B ，又sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°.8．A 解析 由S ＝2，得12ac sin B ＝2，解得a ＝1，由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ＝(42)2＋12－2×42×1×22＝25，则b ＝5. 9. 2 解析 由正弦定理，有b sin B ＝c sin C ，即sin C ＝c sin120°b ＝2×326＝12，∴C ＝30°，则A ＝180°－(B ＋C )＝30°，故a ＝c ＝ 2. 10．2 解析 ∵a ＋c ＝2b ，∴a 2＋c 2＋2ac ＝4b 2(1)，∵S △ABC ＝12ac sin B ＝25ac ＝32，∴ac ＝154(2)．∵sin B ＝45，∴cos B ＝35(由a ＋c ＝2b 知B 为锐角)，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝35，∴a 2＋c 2＝92＋b 2(3)．由(1)、(2)、(3)，解得b ＝2.11．4 解析 解法一：取a ＝b ＝1，由b a ＋a b ＝6cos C 得cos C ＝3，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233.在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2， 又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tan C tan B＝4. 解法二：由b a ＋a b ＝6cos C ，得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c22ab ，即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝⎛⎭⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B＝2c 2a 2＋b 2－c2＝4. 12．解答 (1)在△ABC 中，由S ＝32bc cos A ＝12bc sin A ， 得tan A ＝ 3.∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)由a ＝3，A ＝π3及正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝332＝2， ∴c ＝2sin C .∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－A －B ＝2π3－x ，∴c ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x .∵A ＝π3，∴0<x <2π3，∴当x ＝π6时，c 取得最大值，c 的最大值为2.【难点突破】13．解答 (1)由m ·n ＝－12得cos 2A －sin 2A ＝－12，即cos2A ＝－12，∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝2π3，∴A ＝π3.设△ABC 的外接圆半径为R ， 由a ＝2R sin A 得23＝2R 32，∴R ＝2. 由b ＝2R sin B ，得sin B ＝22， 又b <a ，∴B ＝π4， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×22＋12×22＝6＋24， ∴△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×23×22×6＋24＝3＋ 3.(2)解法一：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2＋c 2－bc ＝12，∴(b ＋c )2＝3bc ＋12≤3⎝⎛⎭b ＋c 22＋12，∴(b ＋c )2≤48，b ＋c ≤43，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴b ＋c 的最大值为4 3.解法二：由正弦定理得：b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝23sinπ3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝2π3， ∴b ＋c ＝4sin B ＋4sin C ＝4sin B ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6，当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，b ＋c 取最大值4 3.。