平面连杆摆动机构的运动特征探讨

图 1 位移示意图
用 x 表示位移，位移的正向与 x 轴的正向一致，且规定在 O 处时 x 0 ，设 如下几个向量： OQ ， QP ， RP ， OR 易知有下式成立 (1) OR RP OQ QP 分别在 x和y轴 上分解
PR QP sin OQ sin OR QP cos OQ cos
由示意图知
h l sin r sin x l cos r cos
(2)
(3)
于是
x r cos l 2 (h r sin ) 2
(4)
由 式 (3)(4) 可 以 看 出 l 2 (h r sin ) 2 l cos ， 于 是 可 知
2 模型假设
1 连杆机构在运行过程中不受摩擦力的作用，即机构的运动周期行变化； 2 连杆和摆杆在运动过程中不会阻碍彼此相互运动， 即两杆运动到同一直线上时 不会发生摩擦； 3 摆角的变化是均匀的； 4 滑块运动的初始位置取摆角为最大值时的位置； 5 摆杆运动发生变化时，摆角的变化只有方向，但维持原来变化的速度继续均匀 变化。
3
5 模型建立与求解
5.1 问题一 以摆杆转动中心 O 点为原点，以直线 OO 为 y 轴，以过 O 且垂直于 OO 的直 线为 x 轴，建立坐标系，且正方向同一般坐标系。同时分别作过点 Q 的直线 QQ 垂直于直线 OO 并交直线 OO 于点 Q ，过点 P 的直线 PR 垂直于 x 轴并交 x 轴于 点 R ，具体见示意图
0, 2
(9)
⑵ 满足条件 l h 当 l h 条件成立时，摆杆 OQ 不能摆到圆 O 的下半部分，而只能在上半圆内 摆动。则根据上述摆杆转动反向的证明得到，连杆垂直于 x ' 轴时，为摆角 的取 值范围。令点 C 为摆角 取初始角时，滑块 P 的位置，点 C1 为摆角 达到最大 时，滑块 P 的位置，则此时 CQ x ' 轴，C1Q1 x' 轴。O ' 为 O 点投影到 x ' 轴的点。 根据上述约束条件，画出图形如下：
平面连杆摆动机构的运动特征探讨
摘要
平面连杆摆动机构在现实生活中运用广泛， 本文运用几何学知识对平面连杆 摆动机构进行了讨论，对其运动学的各项特征进行刻画。 对于问题一，经过分析，首先建立了合适的坐标系，并在示意图中做出必要 的辅助线。然后考虑到该机构可能出现的状态存在多种形式，为避免进行分类讨 论，于是引入向量等式，并将各向量在各坐标轴上进行分解，进而得出了位移与 各机构要素及摆角的关系。最终得到的了滑块位移与摆角的函数，该函数不是唯 一的，与滑块的具体位置有关。 对于问题二，首先通过几何关系分析得出摆杆转动过程中变向的条件，即摆 角的极限值在连杆与 PO 垂直时取得。然后就 l , r , h 三者之间的三种不同关系分 别进行讨论，最终得到了摆角在不同条件下的范围。 对于问题三，首先通过几何关系分析得出滑块在运动过程中位移的极限位 置，得出了滑块最大或者最小位移在摆杆与连杆摆至共线时取得的结论。然后将 前面分析得到的结论进行运用，将三种不同条件下滑块的行程进行了求解，并对 各条件下的临界情况进行了相应的分析。 对于问题四， 首先将问题一中得到的位移与摆角关系的函数求一阶和二阶导 数，从而得出滑块速度及加速度的表达式。在此基础上，将第二问和第三问中确 定的摆角范围和行程大小作为约束， 得出机构三种不同条件下的速度和加速度的 具体取值函数。最后运用 matlab 编写程序，对摆杆角速率固定与滑块速率固定 两种情况进行仿真。从分析结果看，摆杆角速率固定，滑块作变加速运动，滑块 速率固定，摆杆作变加速运动。 最后， 本文对所建模型进行了客观评价。 同时结合实际滑块机构的设计目的， 根据相关文献，对满足给定的滑块行程 S 和行程速度变化系数 K，使传动角达到 最优为目的，对本文建立的模型进行了相应的推广。
2
3 符号说明
符号 说明 连杆的长度 摆杆的长度 摆角中心 O 到滑轨 PO 的距离 位移 摆杆与 x 正向的夹角，即摆角 摆杆与 PO 正向的夹角 速度 加速度
l
r
hபைடு நூலகம்
x


v a
4 问题分析
从题目可以看出，此题的目的是在已知摆杆、连杆长度情况下，对机构的运 动学特征进行分析。可以从几何的角度出发对相关问题进行分析。 对于问题一， 首先要建立合适的坐标系， 然后才进行相关的分析。 可以看出， Q 的位置在以 O 为圆心，摆杆长为半径的圆上，同时摆杆、连杆的相对位置是不 确定的，示意图中只给出了某一个时刻的状态，所以不能直接就用到图中的各项 几何关系，而引入位移等向量来处理就可以避免错误的发生。从而可以引入向量 得出位移与摆角之间的函数关系。 对于问题二，要求摆角的变化范围，实质上就是求摆角取最大最小时的值， 而对于摆杆来说，当摆角达到最大最小的时刻就是摆动方向改变的时刻，于是首 先要要把摆杆转向的条件确定出来。在此基础上，由于摆杆、连杆与 h 的关系是 不定的，所以需要进行相应的分类讨论。 对于问题三， 滑块的形成， 即是滑块滑动时最大位移与最小位移之间的距离， 同问题二一样， 首先要得出滑块滑动时最大位移与最小位移状态时摆杆与连杆的 关系，然后针对各种不同的情形，进行分别的考虑，最后得出滑块行程的具体表 达式，从而圆满的解决问题。 对于问题四，要讨论速度的均匀性，那么速度的表达式必须求出来，同时也 有必要对加速度进行分析。在问题一中已经求出了位移的表达式，于是很容易求 出速度和加速度的表达式，且很容易看出二者与摆角有关，而不同情况下摆角的 范围是不相同的，所以也应该分类讨论。最后要讨论速度的均匀性，得根据相应 的表达式代入对应的值来具体分析，画出仿真图是一个直观的选择。

h l sin 的值达到最小） r
图 3 摆角范围在第一种关系下的示意图
通过对上图的分析，当摆杆 r 在圆的底部，即点 O '' 时，摆杆与连杆重合， 达到摆杆能转满一周的最短长度，即为 l h r 。当 l h r 时，P 的滑动只能在 A 到 O ' 之间往返滑动。当 l h r 时，P 的滑动则不能达到 O ' ，而只能在 O ' 的左 边往返滑动。 根据上述可知，条件 l h r ，摆杆能够转过一圈，即摆角 的取值范围是
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图 4 摆角范围在第二种关系下的示意图
分别作 CQ ， C1Q1 的延长线，交 x 轴于点 M 和点 M 1 ，可得到 QM OM 即 OQM 为 Rt ，在此三角形中，可计算出 角： QM sin OQ QM arcsin OQ 根据题目中所给的已知条件，x 轴到 x ' 轴的距离为 h ，CQ l ，则由此条件， 可计算出 QM 的值： QM CM CQ hl (10) 又 OQ r ，代入到式（10）中，计算出 为
5.2 问题二
(5)
本题给出的机构的摆动形式是不确定的，要确定其摆角的变化范围，首先要 给出摆杆摆动时其方向改变时的摆角大小， 即必须先给出摆杆摆动方向改变的条 件。然后再针对不同的情形下给出摆角的范围。下面通过几何关系确定摆杆摆动 方向改变的条件，同时对不同情况分别讨论。 5.2.1 摆杆摆动方向改变条件的确定[1] 经过分析，摆杆转动方向改变的时刻，摆杆所在的位置为摆角 的边界值即 极大或者极小的情况，下面我们以 极小情况作为讨论对象进行分析， 极大 情 况 证明 方法 相同 。 首先 给出 以下 示意 图， 坐 标系 的建 立同 前几 问 ， 图中为任意时刻P和Q的位置 ，同时作过 Q 的直线 NR 垂直于 x 轴且交 x 轴于 R 点，交 PO 于 N 点。
⑶ 满足条件 h l h r
(13)
由此条件可看出，它是在两个临界条件之间，则摆杆的摆动可以达到圆 O 的 下半部分，但是，摆杆不能转动一圈，即它转动不到 O '' 处。则根据上述摆杆转 动反向的证明得到，连杆垂直于 x ' 轴时，为摆角 的取值范围。 C , Q, C1 , Q1 符号 的含义同上一条件的相同。点 M 式 CQ 交于 x 轴的点，M 1 是 C1Q1 交于 x 轴的点。
关键词：摆角范围 滑块行程 速度均匀性讨论 几何学知识
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1 问题重述
平面连杆摆动机构在实现在水平方向上的高强度碰撞、 打击等工程任务以及 石油开采、采矿业、建筑等领域发挥重要作用，此外可以利用平面连杆摆动机构 完成在某些山体、悬崖的中间部位进行的水平勘探、运输工作， 某种平面连杆摆动机构的结构和某时刻的位置如图 1 所示，摆杆 OQ 绕 O 点 摆动，通过连杆 PQ 带动滑块 P 水平往复运动，设摆杆长 OQ＝r，连杆长 PQ＝l， 摆角中心 O 到滑轨 O ' P 的距离为 h，且 r<h<l+r. 根据这个摆动机构使用的一般要求，作出适当的假设，解决以下问题： 1）P 的位移 x 与摆角 的函数关系； 2）摆角 的变化范围； 3）滑块 P 的行程（即滑动的最大距离） ； 4）讨论滑块 P 运动速度的均匀性。 示意图如下
l 2 (h r sin ) 2 与 cos 的符号相同，又 ，所以 l 2 (h r sin ) 2 与
cos 的符号相反。
4
于是位移 x 与摆角 的函数关系如下
cos 0, 即 [0, ]时，x r cos l 2 (h r sin ) 2 2 cos 0, 即 [ , ]时，x r cos + l 2 (h r sin ) 2 2
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根据上述约束条件和说明，画出图形如下：
图 5 摆角范围在第三种关系下的示意图
根据上述可得
QM OM 即 OQM 为 Rt ，在此三角形中，可计算出 角 QM sin OQ QM arcsin OQ 根据题目中所给的已知条件， x 轴到 x ' 轴的距离为 h ，CQ l ，则由此条件， 可计算出 QM 的值： QM CM CQ hl (14) 又 OQ r ，代入到式(14)中，计算出 为