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第8课时对数与对数函数[考试要求]1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3．了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x ＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，log10N记为lg_N．以e为底的对数叫做自然对数，log e N记为ln_N．2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a1＝0，log a a＝1(a＞0，且a≠1)．(2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．(3)对数恒等式：a log a N＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(4)换底公式：log a b＝log log>0，且≠1；>0；>0，且≠1.3．对数函数(1)一般地，函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[常用结论]1．换底公式的三个重要结论(1)log a b ＝1log；(2)log am b n ＝log a b ；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1；c ＞0，且c ≠1；d ＞0)2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log 2x 2＝2log 2x ．()(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．()(3)函数y ＝ln1+1−与y ＝ln (1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．()(4)函数y ＝log 2x 与y ＝log 121的图象重合．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材经典衍生1．(人教A 版必修第一册P 140习题4.4T 1改编)函数y ________．[由log 23(2x －1)≥0，得0＜2x －1≤1，12＜x ≤1.所以函数y 1.]2．(人教A 版必修第一册P 135练习T 2改编)比较下列两个值的大小：(1)log 0.56________log 0.54；(2)log 213________log 123.[答案](1)<(2)＝3．(人教A 版必修第一册P 126练习T 3(2)改编)(log 43＋log 83)·log 32＝________．[(log 43＋log 83)×log 32+×lg 2lg 3＝56.]4．(人教A 版必修第一册P 141习题4.4T 12改编)若log a 23＜1，则实数a 的取值范围是________．(1，＋∞)[当a >1时，满足条件；当0<a <1时，由0<<1，23<log ，得0<a <23.综上，a ∈0(1，＋∞)．]考点一对数的运算[典例1](1)(2023·山东济宁嘉祥一中三模)若2m ＝3n ＝k 且1+1＝2，则k ＝()A．5B．6C．5D．6(2)化简：(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝________．(1)B(2)－log62[(1)因为2m＝3n＝k且1+1＝2，所以m≠0且n≠0，所以k＞0且k≠1，且有m＝log2k，n＝log3k，所以1＝log k2，1＝log k3，1+1＝log k2＋log k3＝log k6＝2，则k2＝6.又因为k＞0且k≠1，解得k＝6.故选B.(2)(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62＝log62×(log62＋log63)＋2log63－2＝log62＋2log63－2＝2(log62＋log63)－log62－2＝2－log62－2＝－log62．]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．[跟进训练]1．(1)(2023·山东威海二模)已知2a＝9，log83＝b＝() A．23B．2C．6D．9(2)计算：lg25＋lg50＋lg2×lg500＋(lg2)2＝________．(1)C(2)4[(1)因为2a＝9，所以a＝log29＝log232＝2log23，又b＝log83＝log233＝13log23，所以＝2log2313log23＝6.故选C.(2)原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2×lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2×(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2×lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4．]考点二对数函数的图象及应用[典例2](1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a-1<b<1B．0<b<a-1<1C．0<b-1<a<1D．0<a-1<b-1<1(2)当0＜x≤1时，4x＜log a x，则a的取值范围是()A．02B21C．(1，2)D．(2，2)(1)A(2)B[(1)由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，解得1<b<1.综上，0<a-1<b<1.(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝log a x，当a＞1时，不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数大致的图象，如图所示，由题意可知f2＜log a12，则a a1.]的图象和函数y＝log＜a≤22.]对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[跟进训练]2．(1)(多选)若函数f(x)＝a x-2，g(x)＝log a|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A BC D(2)已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．(1)AD(2)(3，＋∞)[(1)易知g(x)＝log a|x|为偶函数．当0＜a＜1时，f(x)＝a x-2单调递减，g(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a＞1时，f(x)＝a x-2单调递增，g(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD.(2)f(x)＝|ln x|的图象如图，因为f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|，因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0，所以0<a<1，b>1，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，所以ab＝1，则b1，所以a＋2b＝a＋2，令g(x)＝x＋2(0<x<1)，则g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．]考点三对数函数的性质及应用比较大小[典例3](1)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b(2)若实数a，b，c满足log a2<log b2<log c2<0，则下列关系中正确的是() A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b(1)D(2)C[(1)法一(中间量法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln2∈(0，1)，c＝log1213＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b.法二(图象法)：log1213＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝lnx的图象，如图，由图可知c＞a＞b.(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2<1log2<1log2<0，即log2c<log2b<log2a<0，可得c<b<a<1.故选C.]解与对数有关的不等式[典例4](1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1，2]B．012C122D．(0，2](2)设函数f(x)＝log2，＞0，log12(−p，＜0.若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是() A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)(1)C(2)C[(1)因为log12a＝－log2a，所以f(log2a)＋f(log12a)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得12≤a≤2，故选C.(2)由题意可得＞0，log2＞−log2或＜0，log12(−p＞log2(−p，解得a>1或－1<a<0.故选C.]对数函数性质的综合应用[典例5](1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为()A．[1，2)B．[1，2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)(2)(多选)已知函数f(x)＝ln2r12K1，下列说法正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)+∞上单调递减D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)(3)已知函数f(x)＝ln e B+1－x是偶函数，则实数a的值为________．(1)A(2)ACD(3)2[(1)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，则图象的对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有1＞0，≥1，即2−>0，≥1，解得1≤a<2，即a∈[1，2)．(2)令2r12K1>0，解得x>12或x<－1，∴f(x)的定义域为−∞，−∪+∞，又f(－x)＝ln−2r1−2K1＝ln2K12r1＝ln＝－ln2r12K1＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误．又f(x)＝ln2r12K1＝ln1+令t＝1＋22K1，t>0且t≠1，则y＝ln t，又t＝1＋2在+∞上单调递减，且y＝ln t为增函数，∴f(x)+∞上单调递减，故C正确；由C分析可得f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．(3)由题意知f(x)的定义域为R，函数f(x)＝ln e B+1－x是偶函数，则f(－x)＝ln e−B+1＋x＝f(x)＝ln e B+1－x，即ln e B+1e−B＝2x，化简得ln e ax＝2x，解得a＝2．]题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．[跟进训练]3．(1)(多选)(2024·忻州模拟)已知x＞0，y＞0，且x－y＞ln，则() A．x＞y B．x＋1＞y＋1C．ln(x－y)＜0D．12＜2－y(2)(多选)(2024·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，则() A．当m>14时，f(x)的定义域为RB．f(x)一定存在最小值C．f(x)的图象关于直线x12对称D．当m≥1时，f(x)的值域为R(3)已知函数f(x)＝ln(1+2－x)＋2，则f(lg3)＋f________．(4)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min ＝________．(1)ABD(2)AC(3)4(4)5[(1)因为x－y＞ln，所以x－y＞ln y－ln x，所以ln x＋x＞ln y＋y.对于A，设f(x)＝ln x＋x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为ln x＋x＞ln y＋y，所以f(x)＞f(y)，所以x＞y，故A正确；对于B，因为x＞0，y＞0，且x＞y，1＜1，所以x＋1＞y＋1，故B正确；对于C，当x－y＝e时，ln(x－y)＝1，故C错误；对于D，因为x＞y，所以－x＜－y，所以2－x＜2－y，即12＜2－y，故D正确．故选ABD.(2)对于A，若m>14，则Δ＝1－4m<0，则x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，故A正确；对于B，若m＝0，则f(x)＝ln(x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误；对于C，由于函数y＝ln2+−y轴对称，将该函数的图象向左平移12个单位长度即可得到函数f(x)＝ln++−14＝ln(x2＋x＋m)的图象，此时f(x)的图象对称轴为直线x＝－12，故C正确；对于D，若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝+＋m－14≥34，故f(x)的值域不是R，故D错误．故选AC.(3)设g(x)＝ln(1+2－x)，则f(x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f(lg3)＋f lg f(lg3)＋f(－lg3)＝g(lg3)＋2＋g(－lg3)＋2＝4.(4)由题意得1≤≤9，1≤2≤9，∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2，设t＝log3x，则0≤t≤1，则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增，∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝g(1)＝2，当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝g(3)＝7，∴g(x)max－g(x)min＝5．]点拨：易忽视g(x)的定义域．课时分层作业(十三)对数与对数函数一、单项选择题1．若x log34＝1，则4x＋4－x的值为()A．103B．3C．4D．13A[∵x log34＝1，∴log34x＝1，∴4x＝3，∴4x＋4－x＝3＋3-1＝103.故选A.]2．已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x)＝lo g1x 的图象可能是()A BC DB[∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，∴ab＝1，∴a1，∴g(x)＝lo g1x＝log a x，函数f(x)＝a x与函数g(x)＝lo g1互为反函数，∴函数f(x)＝a x与g(x)＝lo g1x的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．故选B.]3．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则()A．1+1＝1B．2+2＝1C．1+1＝2D．2+1＝2A[由已知2a＝3b＝6c＝k，得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，1＝log k2，1＝log k3，1＝log k6，1+1＝1.]4．(2024·陕西师大附中模拟)已知a＝log23，b＝log34，c＝32，则()A．c＜b＜a B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜bB[因为32＞23，则3＞232，故log23＞log2232＝32，所以a＞c；因为42＜33，则4＜332，故log34＜log3332＝32，所以b＜c.则有b＜c＜a.故选B.]5．(2024·福建龙岩期中)推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是()(参考数据：ln3≈1.10，ln10≈2.30，ln11≈2.40)A．2033年B．2034年C．2035年D．2036年C[设经过n年之后，每年度平均每户收入增加y元，由题得y＝4000·(1＋10%)n>12000，即1.1n>3，则n ln1.1>ln3，n>ln3ln1.1＝ln3ln11−ln10≈11，又n∈N*，则n＝12．所以所求年份大约是2035年．故选C.]6．(2024·安徽安庆模拟)已知f(x)＝log1(x2－ax＋a)的值域为R，且f(x)在(－3，2－1)上单调递增，则实数a的取值范围是() A．[－2，0]B．−12，0∪[4，＋∞)C．[－2，0]∪[4，＋∞)D．[0，4]B[因为函数f(x)＝log12x2－ax＋a)的值域为R，所以x2－ax＋a取得一切正数，即方程x2－ax＋a＝0有实数解，得Δ＝a2－4a≥0，解得a≤0或a≥4.又函数f(x)＝log12(x2－ax＋a)在(－3，－1)上单调递增，所以函数y＝x2－ax＋a在(－3，－1)上单调递减，且x2－ax＋a＞0在(－3，－1)上恒成立，−1，++≥0，解得a≥－12，综上，实数a12≤a≤0或a≥4.故选B.]二、多项选择题7．(2023·河北邯郸一模)已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则()A．f(x)的定义域是(－6，4)B．f(x)有最大值C．不等式f(x)＜4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)D．f(x)在[0，4]上单调递增AB[由题意可得+6＞0，4−＞0，解得－6＜x＜4，即f(x)的定义域是(－6，4)，则A 正确；f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确；因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)＜4的解集是(－6，－4)∪(2，4)，则C错误；因为f(x)在(－1，4)上单调递减，所以D错误．故选AB.]8．已知函数f(x)＝|log a(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象恒过定点(0，0)B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减C．函数f(x)在区间−12，1上的最小值为0D．若对任意x∈[1，2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1，2]ACD[当x＋1＝1，即x＝0时，f(x)＝0，即图象恒过定点(0，0)，故A正确；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|log a(x＋1)|＝log a(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log a(x＋1)|＝log a(x＋1)单调递增，故B错误；当x∈−12，1时，x＋12，所以f(x)＝|log a(x＋1)|≥log a1＝0，故C正确；当x∈[1，2]时，f(x)＝|log a(x＋1)|＝log a(x＋1)≥1恒成立，所以由函数f(x)在[1，2]上单调递增知log a2≥1，解得1<a≤2，故D正确．]三、填空题9．若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________．(－∞，0)[因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以f(x)＝log5x，则f(x2－2x)＝log5(x2－2x)．设μ＝x2－2x，则f(μ)＝log5μ，由x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2，因为f(μ)＝log5μ在其定义域上单调递增，又μ＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0)．]10．函数f(x)＝log2·lo g2(2x)的最小值为________．[依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝log2+－14≥－14，当且仅当log2x＝－12，即x f(x)的最小值为－14.]四、解答题11．设f(x)＝log2(a x－b x)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)当x∈[1，2]时，求f(x)的最大值．[解](1)因为f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以log 2−=1，log 22−2=log 212，即−=2，2−2=12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )，令t ＝4x －2x ，则t ＝4x－2x＝2−－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4，94≤2−≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2，12]上单调递增，所以y max ＝log 212＝2＋log 23，即函数f (x )的最大值为2＋log 23.12．已知函数f (x )＝log +.(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围．[解](1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，所以log 2(1＋a )＝0，所以a＝0.经检验，当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数．所以a ＝0.(2)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log +.由题意得log 2(1＋a )－log +≥2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2)．所以1+≥4+2，4+2＞0，解得－12＜a ≤－13.故实数a 的取值范围是−12，−13．(2024·湖北宜昌协作体期中)已知函数f(x)＝log2(2x＋1)＋ax是偶函数．(1)求a的值；(2)设g(x)＝f(x)＋x，h(x)＝x2－2x＋m，若对任意的x1∈[0，4]，存在x2∈[0，5]，使得g(x1)≥h(x2)，求m的取值范围．[解](1)因为f(x)＝log2(2x＋1)＋ax是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即log2(2－x＋1)－ax＝log2(2x＋1)＋ax，log2(2x＋1)－log2(2－x＋1)＋2ax＝0，log2(2x＋1)－log1＋2ax＝0，log2(2x＋1)－log2ax＝0，log22+11+22＋2ax＝0，log22x＋2ax＝0，x＋2ax＝0，(1＋2a)x＝0，所以1＋2a＝0，即a12.(2)g(x)＝log2(2x＋1)＋12，因为对任意的x1∈0，4，存在x2∈0，5，使得g(x1)≥h(x2)，所以g(x)在0，4上的最小值不小于h(x)在0，5上的最小值，因为g(x)＝log2(2x＋1)＋12在0，4上单调递增，所以g(x)min＝g(0)＝1，因为h(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，所以h(x)在0，1上单调递减，在1，5上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝m－1，所以1≥m－1，解得m≤2，所以m的取值范围为(－∞，2]。
第八节 对数函数教 材 面 面 观1．对数的概念及运算性质(1)对数的概念如果ab ＝N(a ＞0，且a≠1)，那么b 叫做________的对数，记作________．以10为底的对数叫做________，记作________．以无理数e ＝2.71828…为底的对数叫做________，记作________．(2)对数的性质(a ＞0，a≠1)①________没有对数；②loga1＝________；③logaa ＝________.(3)积、商、幂、方根的对数(M 、N 都是正数，a ＞0，a ≠1，n≠0)①loga(M·N)＝________；②loga M N＝________； ③logaMn ＝________.(4)对数的换底公式及对数恒等式①alogaN ＝________(对数恒等式)；②logaan ＝________；③________(换底公式)；④________＝1logba； ⑤n mlogaM ＝________. 答案 以a 为底N logaN ＝b(a ＞0，a≠1) 常用对数 lgN 自然对数 lnN 零与负数 01 logaM ＋logaN logaM －logaN nlogaM N n logaN ＝logbN logbalogab logamMn2．对数函数的图象与性质(1)对数函数y ＝logax(a ＞0且a≠1)与________互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．答案指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1,0)x＞10＜x＜1增函数减函数非奇非偶函数3．对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程．解对数方程的基本思路是转化为代数方程，常见的可解类型有：(1)形如logaf(x)＝logag(x)(a＞0且a≠1)的方程，化成________求解；(2)形如f(logax)＝0的方程，用________解；(3)形如logf(x)g(x)＝c的方程，化成指数式________求解．答案f(x)＝g(x)换元法[f(x)]c＝g(x)考点串串讲1．对数的概念公式及运算性质(1)对数的定义若ab＝N(a＞0，且a≠1)，则数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫做底数，N是这个对数的真数．(2)对数式、指数式与根式我们说指数式ab＝N，根式bN＝a和对数式logaN＝b(N＞0，a＞0，且a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式.由上表可以看出：开方运算与对数运算都是乘方运算的逆运算，且指数式ab＝N⇔对数式logaN＝b(a＞0且a≠1)．(3)常用对数与自然对数对数logaN(a ＞0，且a≠1)，当底数a ＝10时，叫做常用对数，记作lgN ；当底数a ＝e 时，叫做自然对数，记作lnN ，在这两种对数中我们省去了底数不写，但要明确它们各自的底数．如lg10＝log1010＝1，ln2＝loge2，lg2＝log102.(4)对数的运算性质几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且a ，b≠1)．①alogaN ＝N ；②logaaN ＝N ；③logaN ＝logbN logba(换底公式)； ④logab ＝1logba； ⑤logambn ＝n mlogab. 对数的运算法则①loga(MN)＝logaM ＋logaN ；②loga M N＝logaM －logaN ； ③logaMn ＝nlogaM ；④loga n M ＝1nlogaM. (5)活用两个特殊的对数值①loga1＝0；②logaa ＝1(a ＞0且a≠1)．这两个特殊的对数值，地位非常重要，常常在对数式的化简求值的运算以及在有关对数函数问题的研究中，给我们带来方便，应用非常广泛．(6)利用等价转换解决指数、对数问题注重逆向思维，提高思维的灵活性．如在进行指数式与对数式的互化时，既要知道指数式可化为对数式，即ab ＝N ⇒logaN ＝b ，又要知道对数式可以化为指数式，即logaN ＝b ⇒ab ＝N ，亦即ab ＝N ⇔logaN ＝b.又如在利用对数的运算法则时，即要晓得loga(M·N)＝logaM ＋logaN ，又要会用logaM ＋logaN ＝loga(M·N)等等．(7)注意lg2＋lg5＝1的应用．2．对数函数的定义、图象与性质(1)定义一般地，函数y ＝logax(a ＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，对数函数的定义域是R ＋.①对数函数y ＝logax(a ＞0且a≠1)是指数函数y ＝ax(a ＞0且a≠1)的反函数，即y ＝logax(a ＞0且a≠1)与y ＝ax(a ＞0且a≠1)是一对互反函数．因此，对于对数函数的概念、图象与性质的理解和认识，应牢固树立在此基础上．②注意对数函数的结构特点，形如y ＝logax(a ＞0且a≠1)这样的函数才是对数函数．即在函数式中，对数的底数是大于0且不等于1的常数，而真数x 为自变量，与此结构不同的就不是对数函数．如y ＝log 12x ，y ＝lgx ，y ＝lnx ，这些函数都是对数函数． 而像y ＝log2(ax)，y ＝log2(x ＋1)，这些就不是对数函数．因为y ＝log2(ax)的真数是一个常数a 与x 的积，y ＝log2(x ＋1)是x ＋1，不是x.像y ＝log(2a －1)x 也不一定是对数函数，只有当底数2a －1＞0且2a －1≠1，即当a ＞12且a≠1时，它才是对数函数．因为对数函数y ＝logax(a ＞0且a≠1)是指数函数y ＝ax(a ＞0且a≠1)的反函数，而指数函数中底数a 不能为负数、0和1，必须是大于0且不等于1的数时，指数函数才是单调函数，才具有反函数，所以对数函数的底数的限定和指数函数一样，都是a ＞0且a≠1.(2)图象与性质一般地，对数函数y ＝logax(a ＞1且a≠1)在底数a ＞1和0＜a ＜1两种情况下的图象和性质如下表所示：说明 ①从图象上还可以看出：1°若a ＞1，则当＋∞时，＋∞；当时，－∞；当x ＝1时，y ＝0；当x ＞1时y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0.2°若0＜a ＜1，则当＋∞时－∞；当时＋∞；当x ＝1时，y ＝0；当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0.②对数函数的图象都在y 轴的右侧，而且当a ＞1时，随着底数a 值的增大函数y ＝logax 的图象从左到右越来越平坦，而当0＜a ＜1时，随着底数a 值的增大，图象是越来越陡峭，如图所示．(3)对数函数y ＝logax 与y ＝log 1ax 的图象关于x 轴对称． (4)对数函数y ＝logax 与指数函数y ＝ax(a ＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.典 例 对 对 碰题型一 对数的运算例1求下列各式的值． (1)log 2(6＋42＋6－42)；(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．解析 (1)原式＝log 2(2＋2＋2－2)＝log 24＝log 2(2)4＝4. (2)原式＝(lg2lg3＋lg2lg9)(lg3lg4＋lg3lg8) ＝(lg2lg3＋lg22lg3)(lg32lg2＋lg33lg2) ＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.变式迁移1求下列各式的值．(1)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64；(2)(lg5)2＋lg50·lg2.解析 (1)原式＝[1－2log63＋(log63)2＋log663·log6(6×3)]÷log64＝ [1－2log63＋(log63)2＋(1－log63)(1＋log63)]÷log64＝[1－2log63＋(log63)2＋1－(log63)2]÷log64 ＝－2log62 ＝log66－log63log62＝log62log62＝1. (2)原式＝(lg5)2＋lg(10×5)lg105＝(lg5)2＋(1＋lg5)(1－lg5)＝(lg5)2＋1－(lg5)2＝1.题型二 与对数函数有关的定义域问题例2函数f(x)＝1－x2＋4x －的定义域为( )A ．(1,2)∪(2,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,3)D ．[1,3]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ －x2＋4x －3＞0－x2＋4x －3≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x2－4x ＋3＜0x2－4x ＋4≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，x≠2， ∴x ∈(1,2)∪(2,3)．故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．答案 A变式迁移2求下列函数的定义域：(1)y ＝6－5x －x2＋； (2)y ＝log0.8x －12x －1. 解析 (1)要使函数有意义，必须且只须⎩⎪⎨⎪⎧ 6－5x －x2≥0，x ＋3＞0，x ＋3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x≤1，x ＞－3，x≠－2. ∴－3＜x ＜－2或－2＜x≤1. 因此函数的定义域为 (－3，－2)∪(－2,1]． (2)要使函数有意义，必须且只须 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，log0.8x －1≥0，2x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，x≤0.8，x≠12.∴0＜x≤45且x≠12.因此函数的定义域是 (0，12)∪(12，45].题型三 对数函数的单调性例3若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a ＞0，a≠1)在区间(0，12)内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间为( )A ．(－∞，－14)B ．(－14，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，－12) 解析 令u ＝2x2＋x ＝2(x ＋14)2－18， 当x ∈(0，12)时，u ∈(0,1)． 由f(x)＞0知0＜a ＜1.又由u ＞0知，x ＞0或x ＜－12. ∴u ＝2x2＋x 在(－∞，－12)递减， 此时y ＝logau 递增，而(－∞，－12)为原函数的递增区间． 答案 D变式迁移3求f(x)＝log 12(3－2x －x2)的单调区间． 解析 函数f(x)＝log 12(3－2x －x2)的定义域为 {x|－3＜x ＜1}．令μ＝3－2x －x2，x ∈(－3,1)．则y ＝log 12μ. 因为y ＝log 12μ在定义域内是减函数， 当x ∈(－3，－1]时，μ(x)＝－(x ＋1)2＋4是增函数，所以f(x)在(－3，－1]上是减函数．同理，f(x)在(－1,1)上是增函数.题型四 利用对数函数的单调性比较大小例4比较下列各组数的大小．(1)log32与log23；(2)log1.10.7与log1.20.7.解析 (1)∵log32＜log33＝1，log23＞log22＝1.∴log32＜log23.(2)两个对数的真数相同，可先比较log0.71.1与log0.71.2的大小．∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2，∴由对数函数的单调性，得0＞log0.71.1＞log0.71.2.∴1log0.71.1＜1log0.71.2，即log1.10.7＜log1.20.7. 点评 对于第(2)小题，也可以利用对数函数的图象．当底数大于1时，底数越大，在直线x ＝1左侧图象越靠近x 轴而得.变式迁移4比较log323与log565的大小． 解析 ∵log323＜log31＝0，log565＞log51＝0， ∴log323＜log565.题型五 含参数的对数问题例5对于函数f(x)＝log 12(x2－2ax ＋3) (1)若函数的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．(2)若函数的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．(3)若函数在[－1，＋∞)上有意义，则实数a 的取值范围是________．(4)若函数的值域为(－∞，－1]，则实数a 的所有取值是________．(5)若函数在(－∞，1]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析 设u ＝g(x)＝x2－2ax ＋3＝(x －a)2＋3－a2.(1)∵u ＞0，对x ∈R 恒成立，∴umin ＝3－a2＞0.故答案为(－3，3)．(2)log 12u 的值域为R ⇔u ＝g(x)能取遍(0，＋∞)的一切值，因此umin ＝3－a2≤0，故答案为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(3)函数f(x)在[－1，＋∞)上有意义⇔u ＝g(x)＞0对x ∈[－1，＋∞)恒成立，因此应按g(x)的对称轴x ＝a 分类，则得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜－1－＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a≥－1Δ＝4a2－12＜0 解这两个不等式组得a ∈(－2，3)．(4)∵函数f(x)的值域为(－∞，－1]，∴g(x)的值域是[2，＋∞)，因此要求g(x)能取遍[2，＋∞)的一切值(而且不能多取)，由于g(x)是连续函数，所以命题等价于[g(x)]min ＝3－a2＝2，故a ＝±1.(5)函数在(－∞，1]上是增函数⇔g(x)在(－∞，1]上是减函数，且g(x)＞0对x ∈(－∞，1]恒成立，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a≥1＞0，故答案为[1,2)．答案 (1)(－3，3) (2)(－∞，－3]∪[3，＋∞)(3)(－2，3) (4){－1,1} (5)[1,2)变式迁移5已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x ＋1)．(1)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解析 (1)若f(x)的值域为R ，所以要求u ＝ax2＋2x ＋1的值域包括(0，＋∞)．当a ＜0时，这不可能；当a ＝0时，u ＝2x ＋1∈R 成立；当a ＞0时，u ＝ax2＋2x ＋1要包括(0，＋∞)，须⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a≥0⇒0＜a≤1. 综上所述知0≤a≤1.(2)要使f(x)的定义域为R ，只要使u ＝ax2＋2x ＋1的值域为正值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0，⇒a ＞1. 所以当a ＞1时，f(x)的定义域为R.题型六 对数函数性质的综合应用例6已知函数f(x)＝loga x －3x ＋3的定义域为[α，β)，值域为(logaa(β－1)，logaa(α－1)]． (1)求证：α＞3.(2)若函数f(x)为[α，β)上的减函数，求a 的取值范围．解析 (1)证明：由x －3x ＋3＞0，解得x ＜－3或x ＞3. 又a(α－1)＞0且a ＞0，则α＞1.又已知函数的定义域为[α，β)，∴β＞α＞3.(2)设函数g(x)＝x －3x ＋3＝1－6x ＋3，在其定义域上为增函数，又f(x)在[α，β)上为减函数， ∴0＜a ＜1.又f(x)的定义域[α，β)，值域为(logaa(β－1)，logaa(α－1)]，则loga α－3α＋3＝logaa(α－1)， loga β－3β＋3＝logaa(β－1)． 即α、β是方程loga x －3x ＋3＝logaa(x －1)的两相异实根且β＞α＞3.由上述方程可得x －3x ＋3＝a(x －1)，整理得ax2＋(2a －1)x ＋3－3a ＝0.依题意⎩⎨⎧ Δ＝－－－＞0，－＋－＝1－2a a －6＞0，－－＝3－3a a －3·1－2a a ＋9＞0.⇒0＜a ＜2－34. 又∵0＜a ＜1，∴0＜a ＜2－34为所求.变式迁移6已知函数f(x)＝loga x ＋b x －b(a ＞0，b ＞0，a≠1)． (1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性．解析 (1)令x ＋b x －b＞0， 解得f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b ，＋∞)．(2)因f(－x)＝loga －x ＋b －x －b ＝loga(x ＋b x －b)－1 ＝－loga x ＋b x －b＝－f(x)， 故f(x)是奇函数．(3)令u(x)＝x ＋b x －b ，则函数u(x)＝1＋2b x －b在(－∞，－b)和(b ，＋∞)上是减函数，所以当0＜a ＜1时，f(x)在(－∞，－b)和(b ，＋∞)上是增函数；当a ＞1时，f(x)在(－∞，－b)和(b ，＋∞)上是减函数．【教师备课资源】题型七 指数与对数的互化例7已知x 、y 、z 为正数，且3x ＝4y ＝6z ，(1)求使2x ＝py 的p 的值；(2)求与(1)中所求的p 的差最小的整数；(3)求证：12y ＝1z －1x； (4)比较3x,4y,6z 的大小．解析 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k(显然k≠1)，则x ＝log3k ，y ＝log4k ，z ＝log6k.由2x ＝py 得2log3k ＝plog4k ＝p·log3k log34， ∵log3k≠0，∴p ＝2log34.(2)p ＝2log34＝log316，∴2＜p ＜3.∴p －2＝log3169，3－p ＝log32716. ∵169＞2716，∴p －2＞3－p ，故与p 的差最小的整数是3. (3)证明：1z －1x ＝1log6k －1log3k＝logk6－logk3＝logk2＝12logk4＝12log4k ＝12y. (4)∵k ＞1，∴lgk ＞0.3x －4y ＝lgk lg3·lg4(lg64－lg81)＜0， 4y －6z ＝lgk lg2·lg6(lg36－lg64)＜0，∴3x ＜4y ＜6z.变式迁移7已知log23＝a,3b ＝7，求：log37221的表达式．解析 由3b ＝7⇒log37＝b ，得： log37221＝log 6384＝log284log263 ＝＝2＋log23＋log23·log372log23＋log23·log37＝2＋a ＋ab 2a ＋ab. 题型八 与对数函数图象有关的问题例8已知α是方程x ＋lgx ＝3的根，β是方程x ＋10x ＝3的根，则α＋β＝________.解析 在同一坐标系中作出y ＝lgx 、y ＝10x 与y ＝3－x 的图象，如图所示，则可观察出y ＝lgx 与y ＝3－x 的图象的交点为(β，α)，y ＝10x 与y ＝3－x 的图象的交点为(α，β)，∴β＝3－α，即α＋β＝3.答案 3变式迁移8函数y ＝e|lnx|－|x －1|的图象大致是( )答案 D解析 先化简函数式．当x≥1时，y ＝elnx －x ＋1.由此可排除A 、C 两图象，当0＜x ＜1时，y ＝e －lnx ＋x －1＝1x ＋x －1，由0＜x ＜1知1x ＞1，∴1x－1＋x ＞0，排除B ，故选D.方 法 路 路 通1．对数函数与指数函数互为反函数，要注意它们图象、性质之间的区别和联系．2．比较指数函数、对数函数两种类型的数值间的大小关系是一种最基本的题型，要会用同底法和介值法来比较．3．要充分熟悉指数函数与对数函数的图象和性质，能熟练地运用图象和性质帮助分析和解决有关指数函数和对数函数的问题．4．掌握指数与对数的运算性质和公式，能够熟练运用这些性质、公式，尤其是换底公式与对数恒等式解题．5．指数函数、对数函数的复合函数的性质，指数函数、对数函数常常与二次函数复合，题型有求复合函数的单调区间、复合函数的最值等．6．熟练掌握指数式与对数式的互化是解决问题的一个有效途径．指数式与对数式的互化依据是对数的定义，可以把ab ＝N 写成logaN ＝b ，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题开辟了广阔的前景和提供了更多的解题途径．7．关于对数函数，其函数值的符号常受到底数和真数范围的制约，要特别注意对底数的分类讨论．在求函数的单调性时，不要忘记真数大于0.8．画对数函数y ＝logax(a ＞0，a≠1)的图象应抓住三个点(a,1)，(1,0)，(1a，－1)，要熟记y ＝lgx ，y ＝log2x ，y ＝log 12x ，y ＝log 110x 在同一坐标系中图象的相应位置，掌握对数函数图象的位置变化与底数大小的关系．9．对于函数y ＝logax 和区间(0,1)、(1，＋∞)，若a 和x 在同一区间，则函数值为正；若a 和x 不在同一区间，则函数值为负．10．注意函数与其反函数的图象关于直线y ＝x 对称的应用.正 误 题 题 辨例已知y ＝loga(2－ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)错解 y ＝loga(2－ax)是减函数．则a ＞0.在对数函数中底数a ∈(0,1)或a ∈(1，＋∞)∴0＜a ＜1.故选A.点击 本题解答时，易犯两个错误．①忽略真数为正这一条件．②其中含有字母，忘记对字母分类讨论．正解 解法一：由y ＝logau ，知a ＞0，因此u ＝2－ax 单调递减，要使复合函数y ＝loga(2－ax)递减，则y ＝logau 必递增，所以a ＞1，排除A 、C.又因为a ＝2时，y ＝log2(2－2x)在x ＝1时没有意义，但原函数x 的取值范围是[0,1]，所以a≠2，因此排除了D.∴选B.解法二：先求函数定义域，2－ax ＞0，ax ＜2，因a 是对数的底，故a ＞0，从而x ＜2a，递减区间[0,1]必须在其定义域内，故有1＜2a，a ＜2. 若0＜a ＜1，当x 在[0,1]上增大时，2－ax 减小，loga(2－ax)增大，故函数y ＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递增，与题设矛盾，故a ＞1.综上所述，1＜a ＜2，选B.答案 B知 能 层 层 练针对考点勤钻研 金榜题名不畏难1．log22的值为( )A ．－ 2 B. 2C ．－12 D.12答案 D解析 log22＝log2212＝12，故选D. 2．(2010·天津卷)设a ＝log54，b ＝(log53)2，c ＝log45，则( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c答案 D解析 由于b ＝(log53)2＝log53·log53＜log53＜a ＝log54＜1＜log45＝c ，故b ＜a ＜c ，选D.3．已知ab ＝1，函数f(x)＝ax 与函数g(x)＝－logbx 的图象可能是( )答案 B解析 依题意，得f(x)＝ax ＝(b －1)x ＝b －x.由y ＝b －x 得－x ＝logby ，x ＝－logby ，即函数y ＝f(x)的反函数是y ＝－logbx ，即函数f(x)、g(x)互为反函数，因此其图象关于直线y ＝x 对称，结合各选项，易知选B.4．设函数f(x)＝log2x ＋log2(1－x)，则f(x)的定义域是________；f(x)的最大值是________． 答案 (0,1) －2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞01－x ＞0得0＜x ＜1，函数f(x)的定义域是(0,1)．f(x)＝log2x ＋log2(1－x)＝log2[x(1－x)]＝log2[－(x －12)2＋14]≤log214＝－2，因此函数f(x)的最大值是－2. 5．设函数y ＝f(x)且lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)．(1)求f(x)的解析式及定义域；(2)求f(x)的值域；(3)讨论f(x)的单调性．解析 (1)lg(lgy)＝lg[3x·(3－x)]，∴lgy ＝3x·(3－x)．∴y ＝103x(3－x)且⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞03－x ＞0，解得0＜x ＜3. ∴f(x)＝103x(3－x)(0＜x ＜3)．(2)∵y ＝103x(3－x)，设u ＝3x(3－x)＝－3x2＋9x ＝－3⎝⎛⎭⎫x2－3x ＋94＋274 ＝－3⎝⎛⎭⎫x －322＋274， 则y ＝10u.当x ＝32∈(0,3)时，u 取最大值274，∴u ∈⎝⎛⎦⎤0，274.∴y ∈(1,10274]． (3)当0＜x≤32时，u ＝－3⎝⎛⎭⎫x －322＋274是增函数，而y ＝10u 是增函数，∴在⎝⎛⎦⎤0，32上，f(x)是增函数．当32≤x ＜3时，u 是减函数，y ＝10u 是增函数． ∴在⎣⎡⎭⎫32，3上，f(x)是减函数．。
