北京市师大附中2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文

北京师大附中高二数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分为100分，考试时间为1。

卷Ⅰ一、选择题（每小题4分，共32分。

）1. 若集合，，则（）A. B.C. D.2. 给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A. B.C. D.3. 函数的值域为（）A. B.C. D.4. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的为A. B.C. D.5. 求导数运算正确的是（）A. B.C. D.6. 在点处的切线与直线垂直，则（）A. 2B.C.D.7. 函数①，②，③，④，其中在上单调递减的函数序号是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④8. 函数在上的最大值为1，求的取值范围（）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，共24分）9. 条件，条件，则是的______________条件。

10. 已知定义在R上的函数是周期函数，且满足，函数的最小正周期为______________。

11. 函数则______________。

12. 函数的定义域为______________。

13. 函数的单调递减区间是______________。

14. 下列命题中：①若函数的定义域为R，则一定是偶函数；②若是定义域为R的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称；③已知，是函数定义域内的两个值，且，若，则是减函数；④若是定义在R上的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数。

其中正确的命题序号是___________________。

卷Ⅱ三、解答题（共5个小题，共44分）15. 已知函数是定义在上的偶函数，且时，。

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的值域；（Ⅲ）设函数的定义域为集合，若，求实数的取值范围。

16. 已知函数，其中实数。

（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，试求的单调区间。

17. 已知函数的定义域为对定义域内的任意、，都有，且当时，。

（1）求证：是偶函数；（2）求证：在上是增函数；（3）解不等式。

绝密★启用前北京师范大学附属中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学（理科）试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根据除法运算将复数化为代数形式，得到复数对应的点后可得结论．详解：，所以复数对应的点为，位于第一象限．故选A．点睛：由复数的几何意义可得，复数、复平面内的点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可根据向量的知识来理解复数运算的几何意义．2．若直线（t为参数）的倾斜角为α，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由直线的参数方程中参数的系数的意义可得，进而可得的值．详解：∵直线的参数方程为（t为参数）∴，∴．故选C ．点睛：本题考查直线的参数方程中参数系数的意义，主要考查学生的理解能力，属于容易题．3．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为近线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. 2y x =± D. 12y x =±【答案】C【解析】由题意知∴2=c 2-b 2∴渐近线方程为y=±ba 2x.故选C.视频 4．计算定积分()12xex dx +=⎰ ( )A. 1B. e-1C. eD. e+1【答案】C【解析】试题分析： ()()121002|11xx ex dx e x e e +=+=+-=⎰，故选：C ．考点：定积分． 5．下面为函数的递增区间的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出导函数，根据导函数的符号判断即可． 详解：∵， ∴，∴当时，单调递增，∴函数的递增区间的是．故选B ．点睛：解题时注意单调性与导函数符号间的关系，即当时，函数在相应区间上单调递增（减），但反之不成立．同时解题时还要注意三角函数值的符号，可借助三角函数的图象来判定．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．142 C ．2 D ．22 【答案】D【解析】试题分析：直线的普通方程为40x y --=，圆的直角坐标方程为()2224x y -+=，圆心到直线的距离d ==2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：1．参数方程化普通方程；2．极坐标与直角坐标的转化；3．直线与圆相交的弦长问题7．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：建立空间直角坐标系，设出点F,D 的坐标，求出向量,，利用GD ⊥EF求得关系式，然后可得到DF 长度的表达式，最后利用二次函数求最值．详解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0),E (0,2,1),G (1,0,2),F (x ,0,0),D (0,y ,0)，则,，由于GD⊥EF，所以，所以，故，所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．故选A．点睛：建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．8．已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a【答案】B【解析】分析：令，则，可得在(∞，0)上单调递增．由函数的图象关于点(1，0)对称，可得函数的图象关于点(，0)对称，故函数为奇函数，所以函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．由于，可得．详解：令，则，∴当x∈(∞，0)时，函数单调递增．∵函数的图象关于点(1，0)对称，∴函数的图象关于点(，0)对称，∴函数为奇函数，∴函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．又，，∴．故选B．点睛：（1）本题考查函数性质的综合运用，解题时要认真分析题意，从中得到函数的相关性质．（2）解题时注意偶函数性质的运用，即若函数为偶函数，则，运用这一性质可将问题转化到同一单调区间上研究．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=____________．【答案】【解析】分析：先求得复数z，再求|z|．详解：∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的乘法运算和复数的模，解题的关键是正确得到复数，然后再根据模的定义求解．10．在极坐标系中，极点到直线的距离是________．【答案】【解析】分析：将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点到直线的距离公式求解．详解：由题意得，整理得，把代入上式可得，故直线的直角坐标方程为，所以所求距离为．故极点到直线的距离是．点睛：解题的关键是把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，其中要注意转化公式的合理利用．11．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______________．【答案】π34【解析】3003y sinx x M S 2sinxdx 2cosx |4O A A M P 4/B ππππ==⎰=-==解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线与轴围成的区域记为，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率故选．12．设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．【答案】【解析】试题分析：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)． 考点：导数的几何意义．视频 13．已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。

2017-2018学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合要求的一项。

）1．（5分）已知集合M＝{x|x≤a}，N＝{x|﹣2＜x＜0}，若M∩N＝∅，则a的取值范围为（）A．a＞0B．a≥0C．a≤﹣2D．a＜﹣2 2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝x+1B．y＝﹣x2C．D．y＝x33．（5分）函数y＝lg（x2﹣x）的定义域为（）A．{x|x≤0，或x≥1}B．{x|x＜0，或x＞1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}4．（5分）三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 5．（5分）“t＞1”是“”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）设函数f（x）＝xlnx，则f（x）的极小值点为（）A．x＝e B．x＝ln2C．x＝e2D．x＝8．（5分）8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14B．13C．12D．11二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知：命题p：∀x＞1，有x2＞1，则命题¬p为：．10．（5分）log2+log39＝．11．（5分）已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣2，则f（﹣1）＝．12．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是．13．（5分）已知是R上的减函数，那么a的取值范围是．14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．三、解答题（本大题共6小题，共计80分。

2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（4分）在△ABC中，已知A=60°，a=，b=，则B等于（）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°2．（4分）复数（1﹣2i）（m﹣2i）（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（4分）已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥，则实数k=（）A．B．﹣2C．﹣7D．34．（4分）在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④5．（4分）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cos∠ABC=（）A．B．C．D．6．（4分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形7．（4分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/小时B．20（﹣）海里/小时C．20（+）海里/小时D．20（﹣）海里/小时8．（4分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t4二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）复数z=的共轭复数为．10．（4分）已知向量=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上正射影的数量是．11．（4分）已知向量与的夹角为，则|5|=．12．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＞B，给出下列四个结论：①a＞b；②sinA＞sinB；③cosA＜cosB；④tanA＞tanB．其中所有正确结论的序号是．13．（4分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x在区间（0，1）上为减函数，在区间（2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．14．（4分）定义在R上的函数f（x）满足；f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（9分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；（2）求函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程．16．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知b=5，，△ABC的面积S△ABC=（I）求边c的值；（II）求sinC的值．17．（13分）已知函数（a≠0，a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的值域；（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣a）e x，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（4分）在△ABC中，已知A=60°，a=，b=，则B等于（）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°【解答】解：由正弦定理知：sinB===．∵0＜B＜π∴B=45°或135°又∵a=＞b=，∴B＜A，∴B∴B=45°故选：C．2．（4分）复数（1﹣2i）（m﹣2i）（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵（1﹣2i）（m﹣2i）=（m﹣4）﹣（2m+2）i，∴复数（1﹣2i）（m﹣2i）在复平面上对应的点的坐标为（m﹣4，﹣2m﹣2）．当m＞4时，m﹣4＞0，此时﹣2m﹣2＜0，∴复数（1﹣2i）（m﹣2i）在复平面上对应的点不可能是第一象限．故选：A．3．（4分）已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥，则实数k=（）A．B．﹣2C．﹣7D．3【解答】解：∵=（2，1），+=（1，k），∴=（﹣1，k﹣1），又⊥，∴2×（﹣1）+（k﹣1）=0∴k=3故选：D．4．（4分）在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④【解答】解：由向量的运算法则知；故①错②对又∵∴即AB=AC∴△ABC为等腰三角形故③对∵∴∠A为锐角但三角形不是锐角三角形故选：C．5．（4分）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cos∠ABC=（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知AB=，BC==2，AC==，由余弦定理得cos∠ABC==．6．（4分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形【解答】解：在△ABC中，∵a=2bcosC，由余弦定理可得a=2b•，化简可得b2=c2，b=c，故三角形为等腰三角形，故选：A．7．（4分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/小时B．20（﹣）海里/小时C．20（+）海里/小时D．20（﹣）海里/小时【解答】解：由题意知SM=20，∠NMS=45°，∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为60°∴∠SNM=105°∴∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得，．MN=∴货轮航行的速度v=海里/小时8．（4分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t4【解答】解：平均融化速度为=，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速速一致，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）复数z=的共轭复数为．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．10．（4分）已知向量=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上正射影的数量是．【解答】解：设向量与的夹角为θ，则在方向上正射影为：cosθ=•====故答案为：11．（4分）已知向量与的夹角为，则|5|=7．【解答】解：由题意可得=1×3cos120°=﹣，∴|5|=====7．故答案为：7．12．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＞B，给出下列四个结论：①a＞b；②sinA＞sinB；③cosA＜cosB；④tanA＞tanB．其中所有正确结论的序号是①②③．【解答】解：①利用三角形中大角对大边，可得A＞B 等价于a＞b，故正确；②利用正弦定理，a＞b等价于sinA＞sinB，故正确；③由cosA＜cosB，利用余弦函数的单调性可得A＞B，sinA＞sinB，故正确；④取A=120°，B=30°，可验证A＞B，不能得到tanA＞tanB，故不正确．∴正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．13．（4分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x在区间（0，1）上为减函数，在区间（2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]∪[3，6] ．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2﹣a2x的导数为f′（x）=3x2+2ax﹣a2，在区间（0，1）上为减函数，可得f′（x）≤0在（0，1）恒成立，即有﹣a2≤0，3+2a﹣a2≤0，解得a≥3或a≤﹣1；在区间（2，+∞）上为增函数，即f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，可得3x2+2ax﹣a2≥0，即（3x﹣a）（x+a）≥0在（2，+∞）上恒成立，若a≤﹣1，可得2≥﹣a，即有﹣2≤a≤﹣1；若a≥3，可得2≥a，解得3≤a≤6，综上可得a的范围是[﹣2，﹣1]∪[3，6]，故答案为：[﹣2，﹣1]∪[3，6]．14．（4分）定义在R上的函数f（x）满足；f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故答案为：（0，+∞）．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（9分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；（2）求函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程．【解答】解：（1）由f（x）=ax3+bx2﹣3x，得f′（x）=3ax2+2bx﹣3，∴，解得．∴f（x）=x3﹣3x．则f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．∴当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；单调减区间为（﹣1，1）．∴f（﹣1）为函数的极大值，f（1）为函数的极小值；（2）由（1）得，f′（x）=3x2﹣3，则f′（﹣2）=9，∴函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程为y﹣（﹣2）=9（x+2），即9x﹣y+16=0．16．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知b=5，，△ABC的面积S△ABC=（I）求边c的值；（II）求sinC的值．【解答】解：（I）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知b=5，，由，解得，c=6．（II）由锐角△ABC中，可得，由余弦定理可得：，解得：a=4．由正弦定理：，即．17．（13分）已知函数（a≠0，a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的值域；（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣+=，当a=1，f′（x）=（x＞0），当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]上为增函数，∴x=1时，f（x）有最小值为1，当x=e时，f（x）有最大值为．∴函数f（x）在[1，e]上的值域为[1，]；（2）∵f′（x）=﹣+=，且a≠0，令f'（x）=0，得到x=，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a，由+a＜0，得a＜﹣，即a∈（﹣∞，﹣）；当a＞0时，①若e≤，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，∴f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a＞0，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立；②若1＜＜e，即1＞a＞时，则有），∴f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（）=a+aln，由f（）=a+aln=a（1﹣lna）＜0，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．18．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣a）e x，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x2e x，f′（x）=e x（x2+2x），由e x（2x2+2x）=0，解得：x=0，x=﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；（Ⅱ）依题意即求使函数f（x）=e x（x2﹣a）在（1，2）上不为单调函数的a的取值范围，而f′（x）=e x（x2+2x﹣a），设g（x）=x2+2x﹣a，则g（1）=3﹣a，g（2）=8﹣a，因为g（x）在（1，2）上为增函数．当，即当3＜a＜8时，函数g（x）在（1，2）上有且只有一个零点，设为x0，当x∈（1，x0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（x0，2）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）为增函数，满足在（1，2）上不为单调函数．当a≤3时，g（1）≥0，g（2）≥0，所以在（1，2）上g（x）＞0成立（因g （x）在（1，2）上为增函数），所以在（1，2）上f′（x）＞0成立，即f（x）在（1，2）上为增函数，不合题意．同理a≥8时，可判断f（x）在（1，2）为减函数，不合题意．综上：3＜a＜8．（Ⅲ）f′（x）=e x（x2+2x﹣a）．因为函数f（x）有两个不同的零点，即f′（x）有两个不同的零点，即方程x2+2x﹣a=0的判别式△=4+4a＞0，解得：a＞﹣1，由x2+2x﹣a=0，解得x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．此时x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣a，随着x变化，f（x）和f′（x）的变化情况如下：所以x1是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，所以f（x1）是极大值，f （x2）是极小值，∴f（x1）f（x2）=（﹣a）•（﹣a）==e﹣2[a2﹣a（4+2a）+a2]=﹣4ae﹣2，因为a＞﹣1，所以﹣4ae﹣2＜4e﹣2，所以f（x1）f（x2）＜4e﹣2．。

2017-2018学年北京师大二附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题1．若复数2﹣bi（b∈R）的实部与虚部之和为零，则b的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣22．用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．3．已知＝2﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．按数列的排列规律猜想数列，﹣，，﹣，…的第10项是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣5．由曲线f（x）＝与y轴及直线y＝m（m＞0）围成的图形面积为，则m ＝（）A．2B．3C．1D．86．我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到平面x+2y+2z+3＝0的距离为（）A．3B．5C．D．7．函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f （x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20B．18C．3D．08．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题9．若函数f（x）＝e x﹣ax（x＞0）有极值，则实数a的取值范围是．10．如图所示，在正△ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I分别为DE、FC、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，BG与IH 所成的角的余弦值为．11．设函数f1（x）＝x4+ae x（其中a是非零常数，e是自然对数的底数），记f n（x）＝f n﹣1′（x）（n≥2，n∈N*），则满足对任意的实数x，都有f n（x）＝f n﹣1（x）的最小整数n的值（n≥2，n∈N*）为．12．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为cm．13．每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动．活动将65个家庭分成A，B两组，A组负责种植150棵银杏树苗，B组负责种植160棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时，种植一棵紫薇树苗用时．假定A，B两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则A组的家庭数为，此时活动持续的时间为h．14．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过点M的直线l′与抛物线C的交点为P，Q，延长PF交抛物线C于点A，延长QF交抛物线C于点B，若+＝22，则直线l′的方程为．三、解答题15．已知函数f（x）＝x3﹣12x．（1）求这个函数在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求这个函数的极值．16．已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．17．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB＝∠DBF＝60°，且F A＝FC，AC、BD交于点O．（I）求证：FC∥平面EAD；（II）求证：AC⊥平面BDEF．（III）求二面角F﹣AB﹣C（锐角）的余弦值．18．已知函数f（x）＝﹣ax+b在点（e，f（e））处的切线方程为y＝﹣ax+2e．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）若存在x∈[e，e2]，满足f（x）≤+e，求实数a的取值范围．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF＝2FP，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+ax）﹣．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．2017-2018学年北京师大二附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．若复数2﹣bi（b∈R）的实部与虚部之和为零，则b的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣2【解答】解：由复数2﹣bi（b∈R）的实部与虚部之和为零，得2﹣b＝0，即b＝2．故选：A．2．用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．【解答】解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：；故选：B．3．已知＝2﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝2﹣i，∴＝（1﹣i）（2﹣i）＝1﹣3i∴z＝1+3i∴复数z对应点（1，3）在第一象限．故选：A．4．按数列的排列规律猜想数列，﹣，，﹣，…的第10项是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由数列，﹣，，﹣，…．可知：奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n（n为项数），分母为奇数2n+1或分母比分子大1．故可得通项公式．∴＝﹣．故选：C．5．由曲线f（x）＝与y轴及直线y＝m（m＞0）围成的图形面积为，则m ＝（）A．2B．3C．1D．8【解答】解：由题意，由曲线f（x）＝与y轴及直线y＝m（m＞0）围成的图形面积为，即，整理得m3＝8，解得m＝2；故选：A．6．我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到平面x+2y+2z+3＝0的距离为（）A．3B．5C．D．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离d＝，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到直线Ax+By+Cz+D＝0的距离d＝点（2，4，1）到平面x+2y+2z+3＝0的距离d＝＝5．故选：B．7．函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f （x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20B．18C．3D．0【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）＝x3﹣3x﹣1，∴f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减∴f（x）max＝f（2）＝f（﹣1）＝1，f（x）min＝f（﹣3）＝﹣19∴f（x）max﹣f（x）min＝20，∴t≥20∴实数t的最小值是20，故选：A．8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：A．二、填空题9．若函数f（x）＝e x﹣ax（x＞0）有极值，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：∵y＝e x﹣ax，∴y'＝e x﹣a．由题意知e x﹣a＝0有大于0的实根，由e x＝a，得a＝e x，∵x＞0，∴e x＞1．∴a＞1．故答案为：（1，+∞）．10．如图所示，在正△ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I分别为DE、FC、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，BG与IH所成的角的余弦值为．【解答】解：如图，△ABC折成三棱锥后，A，B，C重合与B，∵BE∥IH，∴∠GBE为BG与IH所成角，为，其余弦值为．故答案为：．11．设函数f1（x）＝x4+ae x（其中a是非零常数，e是自然对数的底数），记f n（x）＝f n﹣1′（x）（n≥2，n∈N*），则满足对任意的实数x，都有f n（x）＝f n﹣1（x）的最小整数n的值（n≥2，n∈N*）为7．【解答】解：f1（x）＝x4+ae x（其中a是非零常数，e是自然对数的底数），记f n（x）＝f n′（x）（n≥2，n∈N*），﹣1则f2（x）＝+ae x，f3（x）＝x2+ae x，f4（x）＝2x+ae x，f5（x）＝2+ae x，f6（x）＝ae x，∴n≥6时，f n（x）＝ae x，∴满足对任意的实数x，都有f n（x）＝f n（x）的最小整数n的值为7．﹣1故答案为：7．12．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为8cm．【解答】解：设小正方形边长为x，铁盒体积为y．y＝（48﹣2x）2•x＝4x3﹣192x2+2304x．y′＝12x2﹣384x+2304＝12（x﹣8）（x﹣24）．∵48﹣2x＞0，∴0＜x＜24．∴x＝8时，y max＝8192．故答案为：8．13．每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动．活动将65个家庭分成A，B两组，A组负责种植150棵银杏树苗，B组负责种植160棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时，种植一棵紫薇树苗用时．假定A，B两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则A组的家庭数为25，此时活动持续的时间为h．【解答】解：若使植树活动持续时间最短，则两种树苗种植的时间和人数应该对应成比例，150棵银杏树，一个家庭种植完需要的时间为150×＝60h，160棵紫薇树苗，一个家庭种植完需要的时间为160×＝96h，对应的时间比为60：96＝5：8，则65个家庭分成这个比例进行分配，则A组的家庭数为＝25，活动持续的时间为＝h，故答案为：25，14．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过点M的直线l′与抛物线C的交点为P，Q，延长PF交抛物线C于点A，延长QF交抛物线C于点B，若+＝22，则直线l′的方程为y＝±（x+2）．【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），设直线l′的方程x＝my﹣2，则，整理得：y2﹣8my+16＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△＝64m2﹣64＞0，即m2＞1，∴y1+y2＝8m，y1y2＝16，由抛物线的对称性可知：+＝+＝4m2﹣2＝22，解得：m2＝6，故m＝±，∴直线l′的方程为y＝±（x+2），故答案为：y＝±（x+2）．三、解答题15．已知函数f（x）＝x3﹣12x．（1）求这个函数在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求这个函数的极值．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣12x，∴f（1）＝﹣11，f′（x）＝3x2﹣12，f′（1）＝﹣9，故函数f（x）在（1，﹣11）处的切线方程是：y+11＝﹣9（x﹣1），即9x+y+2＝0；（2）∵f（x）＝x3﹣12x，∴f′（x）＝3x2﹣12，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递增，在（﹣2，2）递减，∴f（x）极大值＝f（﹣2）＝16，f（x）极小值＝f（2）＝﹣16．16．已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解：因为是奇函数．所以f（﹣x）＝﹣f（x），其中x∈R且x≠0．…（2分）即，其中x∈R且x≠0．所以a＝0．…（6分）（Ⅱ）解：．…（8分）因为f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，所以在[2，+∞）上恒成立，…（9分）即在[2，+∞）上恒成立，因为在[2，+∞）上的最小值y min＝4，所以a≤4，验证知当a≤4时，f（x）在区间[2，+∞）上单调递增．…（13分）17．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB＝∠DBF＝60°，且F A＝FC，AC、BD交于点O．（I）求证：FC∥平面EAD；（II）求证：AC⊥平面BDEF．（III）求二面角F﹣AB﹣C（锐角）的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF．因为AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，所以AD∥平面FBC，DE∥平面FBC又AD∩DE＝D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，所以平面FBC∥平面EAD又FC⊂平面FBC，所以FC∥平面EAD（Ⅱ）证明：连接FO，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又O为AC中点，且F A＝FC，所以AC⊥FO，因为FO∩BD＝O，所以AC⊥平面BDEF．（Ⅲ）连接FO、FD，则因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，所以△DBF为等边三角形，因为O为BD中点．所以FO⊥BD，又因为O为AC中点，且F A＝FC，所以AC ⊥FO又AC∩BD＝O，所以FO⊥平面ABCD．过O作OH垂直AB于H，连结FH，则∠FHO就是二面角F﹣AB﹣C（锐角）的平面角．设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，则BD＝2，OB＝1，FO ＝，OH＝，tan∠FHO＝，∴，二面角F﹣AB﹣C（锐角）的余弦值为．18．已知函数f（x）＝﹣ax+b在点（e，f（e））处的切线方程为y＝﹣ax+2e．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）若存在x∈[e，e2]，满足f（x）≤+e，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝﹣ax+b，x∈（0，1）∪（1，+∞），求导，f′（x）＝﹣a，则函数f（x）在点（e，f（e））处切线方程y﹣（e﹣ex+b）＝﹣a（x﹣e），即y＝﹣ax+e+b，由函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y＝﹣ax+2e，比较可得b＝e，实数b的值e；（Ⅱ）由f（x）≤+e，即﹣ax+e≤+e，则a≥﹣在[e，e2]，上有解，设h（x）＝﹣，x∈[e，e2]，求导h′（x）＝﹣＝＝，令p（x）＝lnx﹣2，∴x在[e，e2]时，p′（x）＝﹣＝＜0，则函数p（x）在[e，e2]上单调递减，∴p（x）＜p（e）＝lne﹣2＜0，则h′（x）＜0，及h（x）在区间[e，e2]单调递减，h（x）≥h（e2）＝﹣＝﹣，∴实数a的取值范围[﹣，+∞）．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF＝2FP，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为a2＝4，b2＝3，所以c＝＝1，所以F的坐标为（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x＝my+1，代入椭圆方程+＝1，得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，则y1＝，y2＝．若QF＝2FP，即＝2，则+2•＝0，解得m＝，故直线l的方程为x﹣2y﹣＝0．（2）由（1）知，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以my1y2＝﹣＝（y1+y2），由A（﹣2，0），B（2，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），x1＝my1+1，x2＝my2+1，所以＝•＝＝＝，故存在常数λ＝，使得k1＝k2．20．已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+ax）﹣．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝ln（1+ax）﹣，x∈（0，+∞），∴f′（x）＝﹣＝，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′（x）＝0得x＝±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由（1）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1＝，x2＝﹣，且由f（x）的定义域可知x＞﹣且x≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a≠，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，∴f（x1）+f（x2）＝ln[1+ax1]﹣+ln（1+ax2）﹣＝ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣＝ln（2a﹣1）2﹣＝ln（2a﹣1）2+﹣2．令2a﹣1＝x，由0＜a＜1且a≠得，当0＜a＜时，﹣1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1．令g（x）＝lnx2+﹣2．（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）＝2ln（﹣x）+﹣2，∴g′（x）＝﹣＝＜0，故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）＝﹣4＜0，∴当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）＝2lnx+﹣2，g′（x）＝﹣＝＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）＝0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。

2017-2018学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）xdx＝（）A．0B．C．1D．﹣2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1B．﹣C．D．或﹣4．（5分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（5分）函数y＝2x•e x的大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列结果正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数有极大值且有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）8．（5分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）＝f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有两个极大值点，无极小值点B ．无极大值点，只有两个极小值点C ．有一个极大值点，无极小值点D ．有一个极大值点，一个极小值点二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分，将正确答案填在答题纸上） 9．（4分）已知函数f （x ）＝x 2，则＝ ．10．（4分）已知复数z 满足|z |≤2，则复数z 在复平面内对应的点Z 的集合构成的图形的面积是 ． 11．（4分）观察下列等式： 1﹣＝1﹣+﹣＝+1﹣+﹣+﹣＝++ …据此规律，第n 个等式可为 ． 12．（4分）若函数在区间（0，1）内为增函数，则实数a的取值范围是 ．13．（4分）如图是函数y ＝f （x ）的导函数y ＝f ′（x ）的图象，给出下列命题： ①﹣2是函数y ＝f （x ）的极值点； ②1是函数y ＝f （x ）的最小值点； ③y ＝f （x ）在x ＝0处切线的斜率小于零； ④y ＝f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增． 则正确命题的序号是 ．14．（4分）对于函数y ＝f （x ），若在其定义域内存在x 0，使得x 0f （x 0）＝1成立，则称函数f （x ）具有性质P ．（1）下列函数中具有性质P 的有 ． ①f （x ）＝﹣2x +2；②f（x）＝sin x（x∈[0，2π]）；③f（x）＝x+，（x∈（0，+∞））；④f（x）＝ln（x+1）．（2）若函数f（x）＝alnx具有性质P，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共36分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）15．（12分）已知数列{a n}满足，且（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4，并猜想数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．16．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3．（Ⅰ）在所给的坐标系中画出函数f（x）在区间[0，3]的图象；（Ⅱ）若直线y＝6x+b是函数f（x）的一条切线，求b的值．17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸横线上）18．（5分）若对任意，不等式ln（2x﹣1）≤x2+a恒成立，则a的取值范围是．19．（5分）在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长为．20．（5分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在区间上恰有两个零点，则a 的取值范围是．21．（5分）已知集合{a，b，c}＝{1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3，②b ＝3，③c≠1，有且只有一个正确，则100a+10b+c＝．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），⊙C的参数方程是为参数）．（I）写出⊙C的直角坐标方程（即普通方程）；（II）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标．23．（10分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）若x＝2为函数f（x）的极值点，求a的值．（II）讨论函数f（x）在区间（0，2）内的单调性．24．（10分）已知函数f（x）＝x•e2﹣x，g（x）＝f（2﹣x）．（Ⅰ）求函数g（x）的极大值点；（Ⅱ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），求证：函数F（x）无极值；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）为函数f（x）图象上的两点，且满足x1≠x2，y1＝y2．若M（x0，y0）为线段AB的中点，求x0的取值范围．2017-2018学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）xdx＝（）A．0B．C．1D．﹣【解答】解：xdx＝x2|＝，故选：B．2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝﹣i∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）∴它对应的点在第四象限，故选：D．3．（5分）函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1B．﹣C．D．或﹣【解答】解：由题意，f′（x）＝，g′（x）＝2ax，∵函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1＝2a，∴a＝，故选：C．4．（5分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个【解答】解：假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+＝（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2＝6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B．5．（5分）函数y＝2x•e x的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）＝2（x+1）e x，令f′（x）＝0，得x ＝﹣1，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，此时，函数f（x）单调递减；当x＞﹣1时，f′（x）＞0，此时，函数f（x）单调递增．故选：A．6．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列结果正确的是（）A．B．C．D．【解答】由图可知，所给的函数是上凸函数，其上的任意一点的切线的斜率从左到右是由大到小变化的，其中f'（x1）是函数在点（x1，f（x1））处的切线的斜率，f'（x2）是函数在点（x2，f（x2））处的切线的斜率，是两点（x1，f（x1））和（x2，f（x2））连线的斜率，故由图能直观的看出来，，故选：B．7．（5分）已知函数有极大值且有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）【解答】解：函数，在（﹣∞，+∞）上连续，x＞0时，f（x）＝x3﹣ax2+1，可得f′（x）＝3x2﹣2ax，函数的极值点为x＝0和x＝，函数有极大值且有极小值，可得，所以a∈（0，+∞）函数有极大值f（0），极小值f（）．综上所述实数a的取值范围是（0，+∞）．故选：A．8．（5分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）＝f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有两个极大值点，无极小值点B．无极大值点，只有两个极小值点C．有一个极大值点，无极小值点D．有一个极大值点，一个极小值点【解答】解：F′（x）＝f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有2个交点，从左到右分分别令为a，b，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递减，故函数F（x）有一个极大值点，一个极小值点，故选：D．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分，将正确答案填在答题纸上）9．（4分）已知函数f（x）＝x2，则＝2．【解答】解：∵f′（x）＝2x，∴＝f′（1），∴f′（1）＝2，故答案为：210．（4分）已知复数z满足|z|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形的面积是4π．【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），由|z|≤2，得，即x2+y2≤4．∴复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形是半径为2的圆．其面积为4π．故答案为：4π．11．（4分）观察下列等式：1﹣＝1﹣+﹣＝+1﹣+﹣+﹣＝++…据此规律，第n个等式可为+…+＝+…+．【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．∴第n个等式为：+…+＝+…+．12．（4分）若函数在区间（0，1）内为增函数，则实数a 的取值范围是（﹣∞，2]．【解答】解：由于函数f（x）在区间（0，1）内为增函数，则导函数f'（x）≥0在区间（0，1）内恒成立，即f'（x）＝x2﹣ax+1≥0在区间（0，1）内恒成立，分离参数得到，令，在x∈（0，1）恒成立，故函数g（x）在区间x∈（0，1）上单调递减，即g（x）＞g（1）＝2，故a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．13．（4分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y＝f（x）的极值点；②1是函数y＝f（x）的最小值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是①④．【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0则函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确而在x＝﹣2处左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y＝f（x）的极小值点，故①正确∵函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增∴当x＝﹣2处函数取最小值，1不是函数y＝f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0∴y＝f（x）在x＝0处切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④14．（4分）对于函数y＝f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0f（x0）＝1成立，则称函数f（x）具有性质P．（1）下列函数中具有性质P的有①②④．①f（x）＝﹣2x+2；②f（x）＝sin x（x∈[0，2π]）；③f（x）＝x+，（x∈（0，+∞））；④f（x）＝ln（x+1）．（2）若函数f（x）＝alnx具有性质P，则实数a的取值范围是a＞0或a≤﹣e．【解答】解：（1）在x≠0时，f（x）＝有解，即函数具有性质P，①令﹣2x+2＝，即﹣2x2+2x﹣1＝0，∵△＝8﹣8＝0，故方程有一个非0实根，故f（x）＝﹣2x+2具有性质P；②f（x）＝sin x（x∈[0，2π]）的图象与y＝有交点，故sin x＝有解，故f（x）＝sin x（x∈[0，2π]）具有性质P；③令x+＝，此方程无解，故f（x）＝x+，（x∈（0，+∞））不具有性质P；④f（x）＝ln（x+1）的图象与y＝有交点，故ln（x+1）＝有解，故f（x）＝ln（x+1）具有性质P；综上所述，具有性质P的函数有：①②④，（2）f（x）＝alnx具有性质P，显然a≠0，方程xlnx＝有根，∵g（x）＝xlnx的值域为[﹣，+∞），∴≥﹣，解之可得：a＞0或a≤﹣e．故答案为：①②④；（2）a＞0或a≤﹣e三、解答题（本大题共3小题，共36分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）15．（12分）已知数列{a n}满足，且（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4，并猜想数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）解：，，，猜想（n∈N*）．…………（5分）（Ⅱ）证明：（1）当n＝1时，左边＝，右边＝，左边＝右边，猜想成立．（2）假设n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即．则当n＝k+1时，a k+1＝＝＝＝．所以当n＝k+1时，猜想仍然成立．由（1）（2）可知，对于任意n∈N*猜想都成立．……（12分）16．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3．（Ⅰ）在所给的坐标系中画出函数f（x）在区间[0，3]的图象；（Ⅱ）若直线y＝6x+b是函数f（x）的一条切线，求b的值．【解答】解：（I）函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3，f'（x）＝3（x2﹣3x+2），令f'（x）＝3（x2﹣3x+2）＝0，解可得x＝1或2，f（x）的图象如图所示：（II）函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3，则f'（x）＝3（x2﹣3x+2），直线y＝6x+b是f（x）的切线，设切点为（x0，f（x0）），则解得x0＝0或x0＝3当x0＝0时，f（x0）＝﹣3，代入直线方程得到b＝﹣3当x0＝3时，，代入直线方程得到．17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为，所以f'（0）＝0，且f（0）＝0，所以切线为y＝0…………（5分）（Ⅱ）因为，x∈[0，π]．当x∈（0，π）时，cos x＜1，e x＞1，所以cos x﹣e x＜0，且﹣sin x＜0，于是f'（x）＜0，所以f（x）在（0，π）上单调递减，f（x）max＝f（0）＝0，f（x）min＝f（π）＝﹣π．…………（12分）四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸横线上）18．（5分）若对任意，不等式ln（2x﹣1）≤x2+a恒成立，则a的取值范围是[﹣1，+∞）．【解答】解：对任意，不等式ln（2x﹣1）≤x2+a恒成立，可得a≥ln（2x﹣1）﹣x2的最大值，设f（x）＝ln（2x﹣1）﹣x2，导数为f′（x）＝﹣2x＝，可得x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有f（x）在x＝1处取得极大值，且为最大值﹣1，则a≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）．19．（5分）在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长为．【解答】解：∵直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线的直角坐标坐标方程为x﹣y+1＝0，∵曲线ρ＝1，∴ρ2＝1，∴曲线的方程为x2+y2＝1，圆心（0，0）到直线x﹣y+1＝0的距离：d＝＝，∴直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长为：|AB|＝＝2＝．故答案为：．20．（5分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在区间上恰有两个零点，则a 的取值范围是（，]．【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1，∴f′（x）＝6x2﹣2ax，由f′（x）＝6x2﹣2ax＝0，得x＝0或x＝，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在区间上是增函数，不合题意；当a＞0时，由f′（x）＜0得0＜x＜，由f′（x）＞0，得x＜0或x＞，∴f（x）的增区间为（﹣∞，0），（，+∞），减区间为（0，），∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在区间上恰有两个零点，∴，解得．∴a的取值范围是（，]．故答案为：（，]．21．（5分）已知集合{a，b，c}＝{1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3，②b ＝3，③c≠1，有且只有一个正确，则100a+10b+c＝312．【解答】解：已知集合{a，b，c}＝{1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b ＝3；③c≠1有且只有一个正确，若①正确，则c＝1，a＝2，b＝2不成立，若②正确，则b＝3，c＝1，a＝3不成立，若③正确，则a＝3，b＝1，c＝2，即有100a+10b+c＝312．故答案为：312．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），⊙C的参数方程是为参数）．（I）写出⊙C的直角坐标方程（即普通方程）；（II）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标．【解答】解：（I）∵⊙C的参数方程是为参数）．∴圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣）2＝3．（II）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l参数方程消去θ，可得……………………（4分）∵P为直线l上一动点，∴设，，∴，故当t＝0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）．……………………（10分）23．（10分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）若x＝2为函数f（x）的极值点，求a的值．（II）讨论函数f（x）在区间（0，2）内的单调性．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝alnx+x2﹣（a+1）x，∴f′（x）＝，又x＝2为函数f（x）的极值点，∴，解得a＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）＝＝（0＜x＜2）．令g（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣1）（x﹣a）．当a＝1时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，2）内单调递增；当a≤0时，g（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，即f′（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增；当0＜a＜1时，g（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，即f′（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，∴f（x）在（0，a），（1，2）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当1＜a＜2时，g（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，即f′（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，∴f（x）在（0，1），（a，2）上单调递增，在（1，a）上单调递减；当a≥2时，g（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，即f′（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，∴f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，2）内单调递减．24．（10分）已知函数f（x）＝x•e2﹣x，g（x）＝f（2﹣x）．（Ⅰ）求函数g（x）的极大值点；（Ⅱ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），求证：函数F（x）无极值；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）为函数f（x）图象上的两点，且满足x1≠x2，y1＝y2．若M（x0，y0）为线段AB的中点，求x0的取值范围．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）g（x）＝f（2﹣x）＝（2﹣x）e x因为g'（x）＝e x（1﹣x），所以g'（x）及g（x）符号变化如下，所以函数g（x）的极大值点为x＝1．……………………（3分）证明：（Ⅱ）F（x）＝x•e2﹣x﹣（2﹣x）•e x，F'（x）＝（x﹣1）（e x﹣e2﹣x）＝（x ﹣1）e2﹣x（e2x﹣2﹣1）．当x＞1时，x﹣1＞0，e2x﹣2﹣1＞0，此时F'（x）＞0；当x＜1时，x﹣1＜0，e2x﹣2﹣1＜0，此时F'（x）＞0，即F'（x）≥0在R上恒成立，所以F（x）在R上单调递增，所以函数F（x）无极值．…………………（6分）解：（Ⅲ）（1）若x1，x2有一个数为1，由函数f（x）的单调性和x1≠x2，显然不合题意．（2）若x1，x2∈（﹣∞，1）或x1，x2∈（1，+∞），由函数f（x）的单调性和x1≠x2，也不合题意．（3）当x1，x2一个在区间（﹣∞，1），另一个在区间（1，+∞）时，不妨设x1＜1，x2＞1．由（Ⅱ）可得，F（x）＝f（x）﹣g（x）在R上单调递增，而F（1）＝0，则当x＞1时，F（x）＞0，即当x2＞1时，f（x2）＞g（x2）．因为f（x1）＝f（x2），则f（x1）＞g（x2）．由g（x2）＝f（2﹣x2），得f（x1）＞f（2﹣x2）．而2﹣x2∈（﹣∞，1），由f'（x）＝e2﹣x﹣x•e2﹣x可知，函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，所以x1＞2﹣x2，所以x1+x2＞2，即x0∈（1，+∞）．……………………（10分）。

2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（4分）若（m2﹣m）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，则实数m的值为（）A．0B．1或2C．1D．0或12．（4分）下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy=1所表示的曲线完全一致的是（）A．B．C．D．3．（4分）极坐标方程的图形是（）A．B．C．D．4．（4分）函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．5．（4分）已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．6．（4分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，则a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．C．D．[e2，+∞）7．（4分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）8．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），则下面结论正确的是（）①若f′（x）＞g′（x），则函数f（x）的图象在函数g（x）的图象上方；②若函数f′（x）与g′（x）的图象关于直线x=a对称，则函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）对称；③函数f（x）=f（a﹣x），则f′（x）=﹣f′（a﹣x）；④若f′（x）是增函数，则f（）≤．A．①②B．①②③C．③④D．②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）=．10．（4分）=．11．（4分）|sinx|dx等于．12．（4分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为，（θ为参数）．设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l 的距离是最小值为．13．（4分）若P（x，y）在椭圆上，则2x+y的最大值等于．14．（4分）定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果∃ξ∈[a，b]，使得f （b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：①f（x）=3x+2；②f（x）=x2﹣x+1；③f（x）=ln（x+1）；④f（x）=（x﹣）3，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为．（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题（本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；（2）求函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程．16．（14分）已知函数f（x）=x2e ax，其中a≤0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．17．（16分）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，求实数a值．2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（4分）若（m2﹣m）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，则实数m的值为（）A．0B．1或2C．1D．0或1【解答】解：∵（m2﹣m）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，∴，解得：m=0．故选：A．2．（4分）下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy=1所表示的曲线完全一致的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，t＞0，在xy=1时，x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），故A 错误；在B中，t≠0，在xy=1时，x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），故B正确；在C中，t的终边不能在y轴上，x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），故C错误；在D中，t的终边不能在y轴上，x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），故D错误．故选：B．3．（4分）极坐标方程的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：将原极坐标方程，化为：ρ=sinθ+cosθρ2=ρsinθ+ρcosθ化成直角坐标方程为：x2+y2﹣y﹣x=0，它表示圆心在第一象限，半径为1的圆．故选：C．4．（4分）函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．故选：B．5．（4分）已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由图象看出，﹣1＜x＜0，和x＞1时xf′（x）＞0；x≤﹣1，和0≤x≤1时xf′（x）≤0；∴﹣1＜x≤1时，f′（x）≤0；x＞1，或x≤﹣1时，f′（x）≥0；∴f（x）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增；∴f（x）的大致图象应是B．故选：B．6．（4分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，则a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．C．D．[e2，+∞）【解答】解：若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣bx2≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥bx2对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥0对x∈（e，e2]都成立，即对x∈（e，e2]都成立，即a大于等于在区间（e，e2]上的最大值，令，则，当x∈（e，e2]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以，x∈（e，e2]的最大值为，即，所以a的取值范围为．故选：B．7．（4分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．8．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），则下面结论正确的是（）①若f′（x）＞g′（x），则函数f（x）的图象在函数g（x）的图象上方；②若函数f′（x）与g′（x）的图象关于直线x=a对称，则函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）对称；③函数f（x）=f（a﹣x），则f′（x）=﹣f′（a﹣x）；④若f′（x）是增函数，则f（）≤．A．①②B．①②③C．③④D．②③④【解答】解：①由f′（x）＞g′（x），说明函数f（x）比g（x）增加的快，而函数f（x）的图象不一定在函数g（x）的图象上方，因此不正确；②由函数f′（x）与g′（x）的图象关于直线x=a对称，可得f′（x）=﹣g′（2a﹣x）．假设函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）不对称，则g（2a﹣x）≠f（x），∴g′（2a﹣x）≠﹣f′（x），这与f′（x）=g′（2a﹣x）相矛盾，因此假设不成立．∴函数f（x）与g（x）的图象关于点（a，0）对称，正确．③函数f（x）=f（a﹣x），由复合函数的导数运算法则可得：f′（x）=﹣f′（a﹣x），故正确；④由f′（x）是增函数，可得f（）≤正确．综上可知：②③④正确．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）=i．【解答】解：∵，∴=i2017=（i4）504•i=i．故答案为：i．10．（4分）=2π．【解答】解：，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积，故其值是2π故答案为：2π．11．（4分）|sinx|dx等于4．【解答】解：∫02π|sinx|dx=2∫0πsinxdx=2（﹣cosx）|0π=2（1+1）=4．故答案为：412．（4分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为，（θ为参数）．设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l的距离是最小值为+．【解答】解：由直线l的参数方程为（t为参数），得y=x+1，由曲线C的参数方程为，（θ为参数），则（x﹣2）2+y2=1．所以曲线C为以（2，0）为圆心，以1为半径的圆，则圆心C到直线l的距离为d==+，所以曲线C上的一个动点Q到直线l的距离的最小值为：+．故答案为：+．13．（4分）若P（x，y）在椭圆上，则2x+y的最大值等于．【解答】解：化椭圆为参数方程，∴2x+y=4cosθ+sinθ=sin（θ+φ），其中tanφ=4，∴2x+y的最大值等于．故答案为：．14．（4分）定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果∃ξ∈[a，b]，使得f （b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：①f（x）=3x+2；②f（x）=x2﹣x+1；③f（x）=ln（x+1）；④f（x）=（x﹣）3，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为①④．（写出所有满足条件的函数的序号）【解答】解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图．对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确；对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确；对于④，根据对称性，函数在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确．故答案为：①④．三、解答题（本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；（2）求函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程．【解答】解：（1）由f（x）=ax3+bx2﹣3x，得f′（x）=3ax2+2bx﹣3，∴，解得．∴f（x）=x3﹣3x．则f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．∴当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；单调减区间为（﹣1，1）．∴f（﹣1）为函数的极大值，f（1）为函数的极小值；（2）由（1）得，f′（x）=3x2﹣3，则f′（﹣2）=9，∴函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程为y﹣（﹣2）=9（x+2），即9x﹣y+16=0．16．（14分）已知函数f（x）=x2e ax，其中a≤0，e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=x（ax+2）e ax．（i）当a=0时，令f'（x）=0，得x=0．若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．（ii）当a＜0时，令．若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；若上单调递增；若，上单调递减．（Ⅱ）（i）当a=0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=1．（ii）当﹣2＜a＜0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=e a．（iii）当a≤﹣2时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是．17．（16分）已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，求实数a值．【解答】解：（Ⅰ），当a＜0时，对∀x∈（0，+∞），f′（x）＜0，所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a，因为x∈（0，a）时，f′（x）＞0；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，a），单调递减区间为（a，+∞）．（Ⅱ）用f（x）max，f（x）min分别表示函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值，当a≤1且a≠0时，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（1）=1；因为对任意的x1∈[1，e]，x2∈[1，e]，f（x1）+f（x2）≤2f（1）=2＜4，所以对任意的x1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当1＜a＜e时，由（Ⅰ）知：在[1，a]上，f（x）是增函数，在[a，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（a）=alna﹣a+2；因为对x1=1，∀x2∈[1，e]，f（1）+f（x2）≤f（1）+f（a）=1+alna﹣a+2=a（lna ﹣1）+3＜3，所以对x1=1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当a≥e时，令g（x）=4﹣f（x）（x∈[1，e]），由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是增函数，进而知g（x）是减函数，所以f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（e）=a﹣e+2，g（x）max=g（1）=4﹣f（1），g（x）min=g（e）=4﹣f（e）；因为对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，即f （x1）=g（x2），所以即，所以f（1）+f（e）=a﹣e+3=4，解得a=e+1，综上所述，实数a的值为e+1．。

2017-2018学年北京师大附中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4}，那么集合（?U A）∩（?U B）等于（）A．{2}B．{2，5}C．{3}D．{1，3，4} 2．（5分）设命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cos2x 为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）3．（5分）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（）A．6 B．12 C．24 D．364．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+4x+a在区间[﹣3，3]上存在2个零点，求实数a的取值范围（）A．（﹣4，21）B．[﹣4，21]C．（﹣4，﹣3]D．[﹣4，﹣3]5．（5分）甲、乙两人沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1，v2（v1＜v2）．甲一半路程使用速度v1，另一半路程使用速度v2，乙一半时间使用速度v1，另一半时间使用速度v2，甲、乙两人从A地到B地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析（其中横轴t表示时间，纵轴S表示路程），其中正确的图示分析为（）A．（1）B．（3）C．（1）或（4）D．（1）或（2）6．（5分）函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f （x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点7．（5分）设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g （x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）g（b）＞f（b）g（x）B．f（x）g（a）＞f（a）g （x）C．f（x）g（x）＞f（b）g（b）D．f（x）g（x）＞f（b）g （a）8．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A．[0，1]B．[，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）设复数z满足（1+i）z=i，则|z|=．10．（5分）设a=log32，b=log23，c=log20.3，那么实数a，b，c的大小关系是．11．（5分）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得函数解析式为．12．（5分）过点（﹣1，﹣2）的直线l被圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0截得的弦长为，则直线l的斜率为．13．（5分）已知双曲线﹣=1左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2=，则双曲线的渐近线方程为．14．（5分）定义方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”．（1）设f（x）=cosx，则f（x）在（0，π）上的“新驻点”为．（2）如果函数g（x）=x与h（x）=ln（x+1）的“新驻点”分别为α、β，那么α和β的大小关系是．三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知条件p：x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，条件q：x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}．（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（2）若￢p是q的必要条件，求实数m的取值范围．16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC，AC的中点，，，∠ASC=∠ACB=90°．（1）求证：OE∥平面SAB；（2）若F是线段BC上的任意一点，求证：OE⊥SF；（3）求三棱锥S﹣ABC的体积．17．（13分）已知函数．（Ⅰ）若a=0，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数的单调区间．18．（13分）已知抛物线W：y=ax2经过点A（2，1），过A作倾斜角互补的两条不同直线l1，l2．（Ⅰ）求抛物线W的方程及准线方程；（Ⅱ）设直线l1，l2分别交抛物线W于B，C两点（均不与A重合，如图），记直线AB的斜率为正数k，若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求k的值．19．（13分）已知函数，曲线y=f（x）在x=1处的切线经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．20．（14分）已知椭圆C：，F为右焦点，圆O：x2+y2=1，P为椭圆C 上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP的两侧．（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率；（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值．2017-2018学年北京师大附中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4}，那么集合（?U A）∩（?U B）等于（）A．{2}B．{2，5}C．{3}D．{1，3，4}【分析】根据补集的定义求得（?U A）和（?U B），再根据两个集合的并集的定义求得（?U A）∩（?U B）．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4}，则（?U A）={2，4，5}，（?U B）={1，2，5}，∴（?U A）∩（?U B）={2，5}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）设命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cos2x 为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧（￢q）【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：函数f（x）=e x﹣1在R上为增函数，正确；命题q：函数f（x）=cos2x为偶函数，因此不正确．可知：p∧￢q正确．故选：D．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（）A．6 B．12 C．24 D．36【分析】由已知中棱锥的三视图，我们可以判断出几何体的形状及长、宽、高等几何量，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3故棱锥的体积V=Sh=×3×4×3=12故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的长、宽、高是解答本题的关键．4．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+4x+a在区间[﹣3，3]上存在2个零点，求实数a的取值范围（）A．（﹣4，21）B．[﹣4，21]C．（﹣4，﹣3]D．[﹣4，﹣3]【分析】由题意可得a=x2﹣4x在区间[﹣3，3]上有两个不等实根，求得函数y=x2﹣4x在[﹣3，3]的值域，即可得到所求a的范围．【解答】解：函数f（x）=﹣x2+4x+a在区间[﹣3，3]上存在2个零点，可得a=x2﹣4x在区间[﹣3，3]上有两个不等实根，由y=x2﹣4x在[﹣3，2）递减，在（2，3]递增，可得y的最小值为4﹣8=﹣4，x=﹣3时，y=21；x=3时，y=﹣3，则﹣4＜a≤﹣3时，直线y=a与y=x2﹣4x有两个交点，即所求a的范围是（﹣4，﹣3]．故选：C．【点评】本题考查函数的零点问题解法，注意运用参数分离和二次函数的最值求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．5．（5分）甲、乙两人沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1，v2（v1＜v2）．甲一半路程使用速度v1，另一半路程使用速度v2，乙一半时间使用速度v1，另一半时间使用速度v2，甲、乙两人从A地到B地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中4个不同的图示分析（其中横轴t表示时间，纵轴S表示路程），其中正确的图示分析为（）A．（1）B．（3）C．（1）或（4）D．（1）或（2）【分析】甲一半路程使用速度v1，另一半路程使用速度v2，因为v1＜v2，所以走一半路程所用时间大于，同时，乙一半时间使用速度v1，另一半时间使用速度v2，在t1时间里所走的路程小于总路程是一半．【解答】解：根据题意，从A到B地，甲用的时间为t1=+=S，乙用的时间t2=，分析可得t1＞t2，即乙比甲先到B地，进而可排除图（3）、（4）；当甲前一半路程速度为V1，后一半路程为V2时，因为v1＜v2，所以走一半路程所用时间大于，图（2）正确，当甲前一半路程速度为V2，后一半路程为V1时，因为v1＜v2，所以走一半路程所用时间小于，图（1）正确，则图（1）、（2）都正确；故选：D．【点评】本题考查函数图象的变化趋势，是一道非常好的题目．6．（5分）函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f （x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可．【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）=0，f′（b）=0，f′（c）=0，f′（d）=0．x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．故选：C．【点评】本题考查函数的导数的应用，极值点的判断，考查数形结合以及函数思想的应用．7．（5分）设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g （x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）g（b）＞f（b）g（x）B．f（x）g（a）＞f（a）g （x）C．f（x）g（x）＞f（b）g（b）D．f（x）g（x）＞f（b）g （a）【分析】由f′（x）g（x）+f（x）g′（x）我们联想到[f（x）g（x）]′，由四个选项，我们很容易想到利用导数研究函数的单调性来解．【解答】解：令y=f（x）?g（x），（x）?g（x）+f（x）?g′（x），则y′=f′由于f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，所以y在R上单调递减，又x＜b，故f（x）g（x）＞f（b）g（b）．故选：C．第11页（共22页）【点评】主要考查利用导数研究函数的单调性问题．本题的突破口是把给定题目转换为我们熟悉的题目，此题比较新颖，是一道好题．8．（5分）如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设AE=x，B 1F=y ，若棱DD 1与平面BEF 有公共点，则x+y 的取值范围是（）A ．[0，1]B ．[，]C ．[1，2]D ．[，2]【分析】由题意，若x=y=1，则棱DD 1与平面BEF 交于点D ，若x=1，y=0，则棱DD 1与平面BEF 交于线段DD 1，即可得出结论．【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD 1与平面BEF 交于点D ，符合题意；若x=1，y=0，则棱DD 1与平面BEF 交于线段DD 1，符合题意．故选：C ．【点评】本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）设复数z 满足（1+i ）z=i ，则|z|=．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵（1+i ）z=i ，∴z=，则|z|=．。