2018-2019学年人教B版必修4三角函数的积化和差与和差化积作业

一、选择题1．sin 37.5°cos 7.5°＝()A.22 B.24C.2＋14 D.2＋24【解析】原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×(22＋12)＝2＋14.【答案】C2．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝()A．sin 10° B．tan 10°C．sin 20° D．tan 20°【解析】原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°.【答案】D3．函数f(x)＝sin(2x－π3)cos(2x＋π3)的周期是()A.π2B．πC．2π D．4π【解析】∵f(x)＝12[sin 4x＋sin(－2π3)]＝12sin 4x－34，∴T＝2π4＝π2.【答案】A4．(2019·临沂高一检测)求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝()A.12B.22C.32 D ．1【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝2sin 30°cos(－10°)＋sin 60°－sin 80°＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】 C5．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A.29B ．－29 C.79 D ．－79【解析】 ∵cos α＋cos β＝13，∴2cos α＋β2cos α－β2＝13，∵α－β＝23π，∴cos α－β2＝12.∴cos α＋β2＝13则cos(α＋β)＝2cos 2(α＋β2)－1＝－79.【答案】 D二、填空题6．函数y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )的最大值是________． 【解析】 y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )＝12 c cos[(π3＋2x )＋(π3－2x )]＋cos[(π3＋2x )－(π3－2x )]}＝12(cos 2π3＋cos 4x )＝12cos 4x －14.∴y max ＝14.【答案】 147．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )，又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.1sin 40°＋cos 80°sin 80°＝________.【解析】 原式＝2cos 40°＋cos 80°sin 80°＝cos 40°＋2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°＋cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝ 3. 【答案】3 三、解答题9．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A 2＋2cos A 2sin A 2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论．【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，∴A ＋B ＋C ＝π，A 2＝π2－B＋C 2.∴y＝tan A2＋2sinB＋C2cosB＋C2＋cosB－C2＝tan A2＋2(sinB2cosC2＋cosB2sinC2)2cosB2cosC2＝tan A2＋tanB2＋tanC2.因此，任意交换两个角的位置，y的值不变．10．求函数f(x)＝sin x[sin x－sin(x＋π3)]的最小正周期与最值．【解】f(x)＝sin x[sin x－sin(x＋π3)]＝sin x·2cos(x＋π6)sin(－π6)＝－sin x cos(x＋π6)＝－12[sin(2x＋π6)＋sin(－π6)]＝－12sin(2x＋π6)＋14.∴最小正周期为T＝2π2＝π.∵sin(2x＋π6)∈[－1,1]，∴f(x)max＝34，f(x)min＝－14.11．已知3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，求证：sin 2α＝1.【证明】∵3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，∴3sin(α－π12)cos(α－π12)＝sin(α＋π12)cos(α＋π12).∴3sin(α－π12)cos(α＋π12)＝sin(α＋π12)cos(α－π12)．∴32(sin 2α－sin π6)＝12(sin 2α＋sin π6)．∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12，∴sin 2α＝1.。

3.3 三角函数的积化和差与和差化积5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列等式错误的是（ ）A.sin （A+B ）+sin （A-B ）=2sinAcosBB.sin （A+B ）-sin （A-B ）=2cosAsinBC.cos （A+B ）+cos （A-B ）=2cosAcosBD.cos （A+B ）-cos （A-B ）=2sinAcosB 提示：由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确.答案:D2.sin20°cos70°+sin10°sin50°的值为( ) A.41 B.23 C.21 D.43 解析：sin20°cos70°+sin10°sin50° =21（sin90°-sin50°)21-（cos60°-cos40°) =2121-sin50°-41+21cos40°=41. 答案:A3.函数ｙ=sin （x+3π）-sin ｘ(x ∈［0，π］)的值域是（ ） A.［-2，2］ B.［21-，23］ C.［21，1］ D.［21，23］ 解析：由和差化积公式可得y=cos(x+6π)，再由x ∈［0，π］，可得6π≤x+6π≤32π，y ∈［21-,23］. 答案:B4.2sin55°cos35°=_________________；sin75°-sin15°=___________________.解析：2sin55°cos35°=sin （55°+35°)+sin （55°-35°)=1+sin20°,sin75°-sin15°=2cos 21575sin 21575︒-︒︒+︒ =2cos45°sin30°=22. 答案:1+sin20°22 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.有下列关系式：①sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ；②cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ；③sin 3θ-sin 5θ=21-cos 4θcos θ；④sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ；⑤sinxsiny=21［cos （x-y ）-cos （x+y ）］. 其中正确等式的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：①②③④均不正确，⑤正确.答案:B2.若cos （α+β）cos （α-β）=31，则cos 2α-sin 2β等于( ) A.32- B.31- C.31 D.32 解析：cos （α+β)cos （α-β)=21（cos2α+cos2β) =21［（2cos 2α-1)+（1-2sin 2β)］=cos 2α-sin 2β，∴cos 2α-sin 2β=31.答案:C3.化简：)4sin()4cos()4sin()4cos(x x x x ++++-+ππππ的结果为( ) A.tan 2xB.tan2xC.tanxD.-tanx 解析：原式=)cos(4sin 2)sin(4cos 2)4sin()4sin()4sin()4sin(x xx x x x --=++-+--ππππππ=-tanx.答案:D4.函数y=sin （x-6π）cosx 的最小值是_____________.解析：y=sin （x 6π-)cosx =21［sin （2x 6π-)+sin （6π-)］ =21［sin （2x 6π-)21-］ =21sin （2x 6π-)-41，当sin （2x 6π-)=-1时，y 取得最小值43-.答案: 43-5.化简：A A A AA A 7sin 5sin 23sin 5sin 3sin 2sin ++++.解：原式=AA A A A A A A A A A A 5sin 22cos 5sin 23sin 22cos 3sin 25sin 2)7sin 3(sin 3sin 2)5sin (sin ++=++++ AA A A A A 5sin 3sin )12(cos 5sin 2)12(cos 3sin 2=++==csc5Asin3A. 6.求sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°的值.解：原式=2100cos 1240cos 1︒++︒-+sin20°cos50° =121-（cos40°-cos100°)+21［sin70°+sin （-30°)］ =121-·（-2)sin70°sin （-30°)+21sin70°-41 =121-sin70°+21sin70°-41=43. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.(2006山东济南统考，2)（sin75°-sin15°）（cos15°+cos75°）的值是（ ） A.21 B.23 C.22 D.1 提示：利用和差化积公式；还可利用诱导公式及二倍角余弦公式等.答案:B2.如果n m =-+)sin()sin(βαβα，那么αβtan tan 等于（ ） A.n m n m +- B.n m n m -+ C.n m m n +- D.mn n m -+ 解析：nm n m -+=--+-++==•=)]sin()[sin(21)]sin()[sin(21sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan αββααββααβαβααββαβ. 答案:B3.直角三角形中两锐角为A 和B ，则sinAsinB （ ）A.有最大值21和最小值0B.有最大值21但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1但无最小值 解析：因为A+B=2π，sinAsinB=21［cos （A-B)-cos （A+B)］=21cos （A-B). 又2π-＜A-B ＜2π，而0＜cos （A-B)≤1， 故sinAsinB 有最大值无最小值.答案:B4.化简cos 72π+cos 74π+cos 76π所得结果为（ ）A.sin7π B.21sin 7π C.21- D.7cos 21π- 解析：原式=7sin 7sin )7cos 74cos 72(cos πππππ6++ =217sin 7sin 217sin )75sin sin 73sin 75sin 7sin 73(sin 21-=-=-+-+-πππππππππ. 答案:C5.已知α-β=3π且cos α-cos β=31，则cos （α+β）等于（ ） A.31 B.32 C.97 D.98 解析：由cosα-cosβ=31，得 -2sin 2βα+·sin 2βα-=31， 即sin 2βα+=31-， ∴cos （α+β)=1-2sin 2 2βα+=1-2×（31-)2=97. 答案:C6.cos20°+cos60°+cos100°+cos140°的值为_________________.解析：cos20°+cos60°+cos100°+cos140°=cos20°+21+2cos120°cos20° =cos20°+21-cos20°=21. 答案: 21 7.若cos 2α-cos 2β=m ，则sin （α+β）·sin （α-β）=________________.解析：sin （α+β)·sin （α-β)=21-［cos2α-cos2β］ =21-［（2cos 2α-1)-（2cos 2β-1)］=cos 2β-cos 2α=-m. 答案:-m8.若x 为锐角三角形的内角，则函数y=sin(x+3π)+sinx 的值域为______________. 解析：y=2sin(x+6π)cos 6π=3sin(x+6π)， 由条件知6π＜x+6π＜32π，所以21＜sin(x+6π)≤1. 所以y ∈(23,3］. 答案:(23,3］ 9.已知cos α=cos β·cosA ，求证：tan 22A =tan 2βα+·tan 2βα-. 证法一：欲证tan 2 2A =tan 2βα+·tan 2βα-， 只需证2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 22βαβαβαβα-+-+=A A αβαββαβαcos cos cos cos cos 1cos 1)cos (cos 21)cos (cos 212cos 12cos 1+-=+-⇔+--=+-⇔A A A A ⇔cosA=βαcos cos ⇔cosAcosβ=cosα.故原式成立.证法二：∵tan 2βα+·tan 2βα- =A A A A cos 1cos 1cos cos cos )cos cos (cos )cos (cos 21)cos (cos 212cos 2cos 2sin 2sin +-=+--=+--=-•+-•+βββββαβαβαβαβαβα 2tan 2cos 22sin 2222A A A ==，∴原式成立. 10.化简:cos 2α+cos 2（α+β）-2cos α cos β cos （α+β）-sin 2β.解：原式=cos 2α+cos （α+β)［cos （α+β)-2cosαcosβ］-sin 2β=cos 2α+cos （α+β)（-cosαcosβ-sinαsinβ)-sin 2β =22cos 1α+-cos （α+β)cos （α-β)- 22cos 1β- =21（cos2α+cos2β) 21-（cos2α+cos2β)=0.。

三角函数的积化和差与和差化积练习1．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝( ) A ．23- B ．13- C ．13 D ．23 2．直角三角形的两个锐角分别为A 和B ，则sin A sin B ( )A ．有最大值12和最小值0 B ．有最大值12，但无最小值 C ．既无最大值，也无最小值D ．有最大值1，但无最小值3．化简2π4π6πcoscos cos 777++的结果为( ) A ．πsin 7B ．1πsin 27C ．12- D ．1πcos 27- 4．已知α－β＝π3，且cos α－cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A ．13 B ．23 C ．79D ．89 5．如果sin(+)sin()m nαβαβ=-，那么tan tan βα等于( ) A ．m n m n -+ B ．m n m n+- C ．n m m n -+ D ．m n n m +- 6．cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°的值为________．7．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.8．若x 为锐角三角形的内角，则函数y ＝πsin 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin x 的值域为________． 9．求2cos10sin20cos20︒-︒︒的值．10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足A ＋C ＝2B ，11cos cos cos A C B +=-，求cos 2A C -的值．参考答案1．解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝12 (cos 2α＋cos 2β) ＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β， ∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 答案：C2．解析：因为A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )， 又π2-＜A －B ＜π2，则0＜cos(A －B )≤1， 故0＜12cos(A －B )≤12，即sin A sin B 有最大值12，无最小值． 答案：B3．解析：2π4π6ππcos cos cos sin 7777πsin 7⎛⎫++ ⎪⎝⎭=原式 ＝13ππ5π3π5πsin sin sin sin sin πsin 277777πsin 7⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ ＝1πsin 127π2sin 7-=-. 答案：C4．解析：由cos α－cos β＝13得 12sin sin 223αβαβ+--=，又α－β＝π3， ∴+1sin 23αβ=-， ∴cos(α＋β)＝1－2 2+sin2αβ＝1－2×213⎛⎫- ⎪⎝⎭＝79. 答案：C5．解析：tan sin cos sin cos =tan cos sin cos sin ββαβααβαβα⋅=＝1[sin(+)sin()]21[sin(+)sin()]2m nm n αββααββα+-+=---.答案：B6．解析：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12.答案：1 27．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝12-(cos 2α－cos 2β)＝12-[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝cos2β－cos2α＝－m.答案：－m8．解析：y＝πsin3x⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin x＝2ππsin cos66x⎛⎫+⎪⎝⎭π6x⎛⎫+⎪⎝⎭，由已知得ππ2π663x<+<，所以12＜πsin6x⎛⎫+⎪⎝⎭≤1.所以y∈⎝.答案：⎝9．解：2cos10sin202cos10(1sin10)cos20cos20︒-︒︒-︒=︒︒＝2cos10(sin90sin10)4cos10cos50sin40cos20cos20︒︒-︒︒︒︒=︒︒＝8cos10cos50sin20cos20cos20︒︒︒︒︒＝8cos 10°sin 20°sin 40°＝4(sin 30°＋sin 10°)sin 40°＝2sin 40°＋4sin 40°sin 10°10．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，∴==-，∴11cos cosA C+=-将上式化简为cos A＋cos C＝-cos A cos C，则2cos cos22A C A C+-＝A＋C)＋cos(A－C)]．将cos2A C +＝cos 60°＝12，cos(A ＋C )＝cos 120°＝12-代入上式，得cos 2A C -＝2A －C )． 将cos(A －C )＝22cos 2A C -⎛⎫ ⎪⎝⎭－1代入上式并整理，得22cos 022A C A C --⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即2cos 3022A C A C --⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵2A C -＋3≠0，∴2cos 02A C -=.∴cos 22A C -=.。

双基达标(限时20分钟)1．化简(cos47°30′－sin47°30′)(sin 23°cos 8°－sin 67°sin 8°)＝()．A.14B．－14C．1 D．－1解析原式＝(cos27°30′＋sin27°30′)(cos27°30′－sin27°30′)(sin 23°cos 8°－cos 23°sin 8°)＝cos 15°sin 15°＝12sin 30°＝14，故选A.答案A2．若cos 2α＝23，则sin4α＋cos4α＝()．A．1 B.7 9C.1118 D.1318解析sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－12s in22α＝1－12(1－cos22α)＝1－12⎝⎛⎭⎪⎫1－29＝1118，故选C.答案C3．如果|cos θ|＝15，52π<θ<3π，则sinθ2＝()．A．－105 B.105C．－155 D.155解析∵52π<θ<3π，∴θ是第二象限角．∵|cos θ|＝15，∴cos θ＝－15.∵54π<θ2<3π2，∴θ2是第三象限角．由cos θ＝1－2sin2θ2，得－15＝1－2sin2θ2，∴sin θ2＝－155，故选C.答案C4．sin π4＋αcosπ4＋β化成和差为()．A.12sin(α＋β)＋12cos(α－β)B.12cos(α＋β)＋12sin(α－β)C.12sin(α＋β)＋12sin(α－β)D.12cos(α＋β)＋12cos(α－β)解析原式＝12sinπ4＋α＋π4＋β＋sinπ4＋α－π4－β＝12sinπ2＋α＋β＋sin(α－β)＝12[cos(α＋β)＋sin(α－β)]．答案B5．已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期为________．解析f(x)＝sin2x－sin x cos x＝1－cos 2x2－12sin 2x＝－22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4＋12.故函数的最小正周期T＝2π2＝π.答案π6．已知cos θ＝－23，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，求2sin 2θ－cos θsin θ的值．解∵cos θ＝－23，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ＝1－cos2θ＝7 3.法一∴2sin 2θ－cos θsin θ＝22sin θcos θ－cos θsin θ＝22×73×⎝⎛⎭⎪⎫－23－－2373＝－914＋214＝－714＝－142.法二∴2sin 2θ－cos θsin θ＝22sin θcos θ－2cos2θ2sin θcos θ＝2(1－cos2θ)2sin θcos θ＝2×sin2θ2sin θcos θ＝tan θ＝－142.综合提高(限时25分钟)7．在△ABC中，若sin C＝2cos A sin B，则此三角形必是()．A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析因为sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以已知方程可化为sin A cos B－cos A sin B＝0，即sin(A－B)＝0.又－π<A－B<π，∴A＝B，故选A.答案A8．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于()．A．－12 B.12C．2 D．－2解析∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tanα21－tanα2＝1＋sinα2cosα21－sinα2cosα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2·cosα2＋sinα2cosα2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案 A 9．化简sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝________.解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝tan x2.答案 tan x 210．如果a ＝(cos α＋sin α，2 008)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos 2α＋tan 2α＋1的值是________．解析 由a ∥b ，得cos α＋sin α＝2 008(cos α－sin α)，∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008.1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008. ∴1cos 2α＋tan 2α＋1＝2 008＋1＝2 009. 答案 2 00911．已知函数f (x )＝ 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 12．(创新拓展)已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8的值．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2 ＝4＋22(cos θ－sin θ)＝ 4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝21＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝725.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8－1，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝－45.。

第三章 3.3一、选择题1．sin75°－sin15°的值为( ) A ．12B ．22C ．32D ．－12Bsin75°－sin15°＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B ．2．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β的值为( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23C由已知得cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13，∴cos 2α(1－sin 2β)－sin 2αsin 2β＝13，即cos 2α－sin 2β＝13.3．化简cos α－cos3αsin3α－sin α的结果为( )A ．tan αB ．tan2αC ．cot αD ．cot2α B原式＝－2sin2αsin (－α)2cos2αsin α＝2sin2αsin α2cos2αsin α＝tan2α.4．函数f (x )＝2sin x 2sin(π3－x2)的最大值是( )A ．12B ．32C ．－12D ．－23Af (x )＝2sin x 2sin(π3－x2)＝－＝－cos π3＋cos(x －π3)＝cos(x －π3)－12.f (x )max ＝1－12＝12.5．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsin θ；③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcos θ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcos θ.其中正确等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3A①②③④均不正确，故选A ．6．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于( ) A ．－m B ．m C ．－m 2D ．m2Asin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β) ＝cos 2β－cos 2αcos 2β－cos 2α＋cos 2αcos 2β ＝cos 2β－cos 2α＝－m . 二、填空题7．求值：sin10°＋cos70°sin80°＋cos20°＝________.2－ 3sin10°＋cos70°sin80°＋cos20°＝cos80°＋cos70°sin80°＋sin70°＝2cos75°cos5°2sin75°cos5°＝1tan75°＝1tan (30°＋45°) ＝1－tan30°tan45°tan30°＋tan45°＝1－33×133＋1＝2－ 3. 8．cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°＝________. 12原式＝cos40°＋cos80°＋cos60°－cos20° ＝2cos60°·cos(－20°)＋cos60°－cos20° ＝cos60°＝12.三、解答题9．求证：sin(α＋β)cos α－12＝sin β.解法一：左边＝sin(α＋β)cos α－12＝sin(α＋β)cos α－12＋12sin β＝12＋12sin β＝12sin ＋12sin β＝sin β＝右边． 解法二：左边＝sin(α＋β)cos α－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α＋β＋β2sin 2α＋β－β2 ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin ＝sin β＝右边．一、选择题1．已知sin(α－β)·cos α－cos(α－β)·sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β等于( )A ．1－m 2B ．－1－m 2C ．1＋m 2D ．－m 2－1Bsin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(－β)＝－sin β， ∴sin β＝－m .又β为第三象限角， ∴cos β＝－1－m 2.2．若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( ) A ．－2π3B ．－π3C ．π3D ．2π3D∵α、β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0. ∴cos β－cos α>0，∴cos β>cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数． ∴β<α∴0<α－β<π，由原式可知：2sin α＋β2·cos α－β2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2·sin β－α2， ∴tan α－β2＝3∴α－β2＝π3∴α－β＝2π3.3．在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．Ccos A sin C ＝12＝14－12sin(A －C )，∵－1≤sin(A －C )≤1， ∴cos A sin C ∈⎣⎡⎦⎤－14，34. 4．tan70°cos10°(3tan20°－1)等于( ) A ．1B ．－1C ．12D ．－12B原式＝cot20°cos10°(3tan20°－1) ＝cot20°cos10°3sin20°－cos20°cos20°＝cot20°cos10°2sin (20°－30°)cos20°＝－2sin10°cos10°cot20°cos20°＝－1.二、填空题5．sin 220°＋cos 280°＋3sin20°·cos80°＝________. 14原式＝1－cos40°2＋1＋cos160°2＋32sin100°－32sin60°＝14－12cos40°－12cos20°＋32sin100° ＝14－12×2cos30°cos10°＋32cos10° ＝14－32cos10°＋32cos10°＝14. 6．计算1tan10°－4cos10°＝________.31tan10°－4cos10°＝cos10°－2sin20°sin10° ＝cos10°－2sin (30°－10°)sin10°＝2cos30°sin10°sin10°＝ 3.三、解答题7．求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在上的递增区间．y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋3sin2x ＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 故该函数的最小正周期是π；最小值是－2. 递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤5π6，π. 8．在△ABC 中，求证：(1)sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝2sin A sin B cos C ； (2)sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C2.(1)左边＝sin 2A ＋1－cos2B 2－1－cos2C2＝sin 2A ＋12(cos2C －cos2B )＝sin 2(B ＋C )＋sin(B ＋C )sin(B －C ) ＝sin(B ＋C )＝sin(B ＋C )2sin B cos C ＝2sin A sin B cos C ＝右边， ∴等式成立．(2)左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C 2cos B ＋C2＝2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B －C 2cos B ＋C2＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2 ＝4sin A 2sin B 2cos C2＝右边，∴原等式成立．9．讨论函数f (x )＝12cos(2x －2α)＋cos 2α－2cos(x －α)·cos x ·cos α的周期、最值、奇偶性及单调区间．f (x )＝12cos(2x －2α)＋1＋cos2α2－2cos(x －α)cos x ·cos α＝12＋12－cos x ＝12＋cos x ·cos(x －2α)－cos x＝12－cos 2x ＝12－1＋cos2x 2＝－12cos2x . ∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.f (x )max ＝12，此时cos2x ＝－1，即2x ＝2k π＋π，k ∈Z ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；f (x )min ＝－12，此时cos2x ＝1，即2x ＝2k π，k ∈Z ，x ＝k π，k ∈Z . f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．由2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，即k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z .∴函数f (x )的增区间为(k ∈Z )．由2k π＋π≤2x ≤2k π＋2π，k ∈Z ，即k π＋π2≤x ≤k π＋π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调减区间为，k ∈Z .。

三角函数的和差化积与积化和差练习题在学习三角函数的和差化积与积化和差之前，首先我们需要了解一些基本的三角函数的公式。

三角函数包括正弦函数(sin)，余弦函数(cos)，正切函数(tan)，它们在数学中有着重要的应用和意义。

接下来，我们将通过练习题来巩固和加深对三角函数的和差化积与积化和差的理解。

1. 把以下的和差化积公式填入空格：(1) sin(A + B) = ______(2) cos(A - B) = ______(3) tan(A + B) = ______[答案](1) sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB(2) cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB(3) tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)2. 利用和差化积公式化简以下三角函数：(1) sin(45° + 30°) = ______(2) cos(60° - 45°) = ______(3) tan(60° + 45°) = ______[答案](1) sin(45° + 30°) = sin45° * cos30° + cos45° * sin30° = (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * (1/2) = (√6 + √2) / 4(2) cos(60° - 45°) = cos60° * cos45° + sin60° * sin45° = (1/2) * (√2/2) + (√3/2) * (√2/2) = (√2 + √6) / 4(3) tan(60° + 45°) = (tan60° + tan45°) / (1 - tan60° * tan45°) = (√3 + 1) / (1 - √3)3. 将以下三角函数的积化和差，利用积化和差公式化简：(1) sin20° * cos40° = ______(2) cos60° * cos30° = ______(3) tan75° * tan15° = ______[答案](1) sin20° * cos40° = (1/2) * (sin(40° + 20°) + sin(40° - 20°)) = (1/2) * (sin60° + sin20°) = (1/2) * (√3/2 + sin20°)(2) cos60° * cos30° = (1/2) * (cos(60° + 30°) + cos(60° - 30°)) = (1/2) * (cos90° + cos30°) = (1/2) * (0 + √3/2) = √3/4(3) tan75° * tan15° = [(tan(75° - 15°) + tan(75° + 15°)) / (1 - tan75° * tan15°)] = [(tan60° + tan90°) / (1 - tan75° * tan15°)] = (√3 + ∞) / (1 - tan75°* tan15°)通过以上练习题，我们可以加深对三角函数的和差化积与积化和差的理解和掌握。

3.3三角函数的积化和差与和差化积1．积化和差公式cos αcos β12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．2．和差化积公式设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝x＋y2，β＝x－y2.这样，上面的四个式子可以写成，sin x＋sin y＝2sin x＋y2cosx－y2；sin x－sin y＝2cos x＋y2sinx－y2；cos x＋cos y＝2cos x＋y2cosx－y2；cos x－cos y＝－2sin x＋y2sinx－y2.思考：和差化积公式的适用条件是什么？[提示] 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．1．计算sin 105°cos 75°的值是( ) A ．12 B ．14 C ．－14D ．－12B [sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝14.] 2．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β化成和差的形式为( ) A.12sin ()α＋β＋12cos ()α－β B.12cos ()α＋β＋12sin ()α－β C.12sin ()α＋β＋12sin ()α－β D.12cos ()α＋β＋12cos ()α－β B [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋π4＋β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4－β ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＋sin (α－β) ＝12[cos(α＋β)＋sin(α－β)]． ＝12cos(α＋β)＋12sin(α－β)． 所以选B.]3．下列等式正确的是( )A．sin x＋sin y＝2sin x＋y2sinx－y2B．sin x－sin y＝2cos x＋y2cosx－y2C．cos x＋cos y＝2cos x＋y2cosx－y2D．cos x－cos y＝2sin x＋y2sinx－y2C[由和差化积公式知C正确．](2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.[思路探究]利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．[解](1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.(2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝32cos 10°cos 50°cos 70°＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(cos 60°＋cos 40°)·cos 70°＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70°＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°)＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316.积化和差公式的功能与关键(1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.(2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.1．求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50°的值．[解] 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14 ＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.【例2】 已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值． [思路探究] 利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解． [解] ∵cos α－cos β＝12， ∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①又∵sin α－sin β＝－13， ∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②∵sin α－β2≠0，∴由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.1．(变结论和差化积公式应用时的注意事项(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.(3)为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如12－cos α＝cosπ3－cos α.1．解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？[提示]注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等．2．在△ABC中有哪些重要的三角关系？[提示]在△ABC中的三角关系：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin A＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2，sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cos(2A＋2B)＝cos 2C. 【例3】在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sin A2sinB2cosC2.[思路探究]利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.[解]左边＝sin(B＋C)＋2sin B－C2·cosB＋C2＝2sin B＋C2cosB＋C2＋2sinB－C2cosB＋C2＝2cos B＋C2⎝⎛⎭⎪⎫sinB＋C2＋sinB－C2＝4sin A2sinB2cosC2＝右边，∴原等式成立．证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.2．在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos A2cosB2cosC2.[证明]由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，即C2＝90°－A＋B2，∴cosC2＝sinA＋B2.∴sin A＋sin B＋sin C＝2sin A＋B2·cosA－B2＋sin(A＋B)＝2sin A＋B2·cosA－B2＋2sinA＋B2·cosA＋B2＝2sin A＋B2⎝⎛⎭⎪⎫cosA－B2＋cosA＋B2＝2cos C2·2cosA2·cos⎝⎛⎭⎪⎫－B2＝4cos A2cosB2cosC2，∴原等式成立．(教师用书独具)1．公式的记忆和差化积公式记忆口诀：“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．”(正代表sin α，余代表cos α)2．公式的应用注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导．1．sin 75°－sin 15°的值为()A ．12B ．22C ．32D ．－12B [sin 75°－sin 15＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B.] 2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( )A ．12 B ．14 C ．1D ．22B [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14. ∴函数y 的取最大值为14.]3．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则sin αcos β＝________.1330 [sin αcos β＝12sin(α＋β)＋12sin(α－β)＝12×23＋12×15＝1330.] 4．化简下列各式：(1)cos A ＋cos (120°＋B )＋cos (120°－B )sin B ＋sin (120°＋A )－sin (120°－A )； (2)sin A ＋2sin 3A ＋sin 5A sin 3A ＋2sin 5A ＋sin 7A. [解] (1)原式＝cos A ＋2cos 120°cos Bsin B ＋2cos 120°sin A＝cos A －cos Bsin B －sin A ＝2sin A ＋B 2sin B －A 22cos A ＋B 2sin B －A2＝tan A ＋B2.(2)原式＝(sin A＋sin 5A)＋2sin 3A (sin 3A＋sin 7A)＋2sin 5A＝2sin 3A cos 2A＋2sin 3A 2sin 5A cos 2A＋2sin 5A＝2sin 3A(cos 2A＋1)2sin 5A(cos 2A＋1)＝sin 3Asin 5A.。