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第三章一元函数微分学的应用本节主要内容：1、罗尔中值定理2、拉格朗日中值定理3、柯西中值定理4、泰勒中值定理一、罗尔定理1、费马引理：设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意x∈U(x0),有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),那么f'(x0)=0.2、罗尔定理：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且有f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少在一点ξ,使得f'(ξ)=0.3、罗尔定理的几何意义：在定理的条件下，区间(,)a b内至少存在一点ξ，使得曲线在点(,())ξξ处具有水平切线.f例1（1）试证方程12cos cos 2cos 0n a x a x a nx ++= 在()0,π内至少有一实根.（2）设函数:[0,1],f R →在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，并且(1)0f =，则(0,1)c ∃∈，使()()f c f c c '=-.二、拉格朗日中值定理1、拉格朗日中值定理：如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导,那么在(a ,b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ),使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )或者f '(ξ)=a b a f b f --)()(成立.2、拉格朗日中值定理的几何意义：在定理的条件下，区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得曲线在点(,())f ξξ处的切线平行于弦AB .3、拉格朗日中值公式的其它形式：设x 为区间[a ,b ]内一点,x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0),则在[x ,x +∆x ](∆x >0)或[x +∆x ,x ](∆x <0)应用拉格朗日中值公式,得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y ,则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较：d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式；f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.（有限增量公式）4、拉格朗日中值定理的推论:推论1若()0f x '=，则()f x c =（常量）推论2若()()f x g x ''=，则()()f x g x c -=（常量）例2（1）证明2arccos arcsin π=+x x .（2）试证y x y x -≤-sin sin .（3）证明当x >0时,x x x x <+<+)1ln(1.三、柯西中值定理1、柯西中值定理：如果函数f (x )及F (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导,且F '(x )在(a ,b )内的每一点处均不为零,那么在(a ,b )内至少有一点ξ ,使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--成立.显然,如果取F (x )=x ,那么F (b )-F (a )=b -a ,F '(x )=1,因而柯西中值公式就可以写成f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )(a <ξ<b ),这样就变成了拉格朗日中值公式了.2、柯西中值定理的几何意义：用参数方程表示曲线上至少有一点，其切线平行于两端点所在的弦.(参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式)设曲线弧C 由参数方程⎩⎨⎧==)()(x f Y x F X (a ≤x ≤b )表示,其中x 为参数.如果曲线C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么在曲线C 上必有一点x =ξ ,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB ,曲线C 上点x =ξ 处的切线的斜率为)()(ξξF f dX dY ''=,弦AB 的斜率为)()()()(a F b F a f b f --.于是)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--.三个定理的关系：Cauchy 中值定理()g x x =−−−→Lagrange 中值定理()()f a f b =−−−−→Rolle 定理小结：中值定理的本质是建立了导数值与函数值的关系，即建立了局部与整体的关系.基础是罗尔定理.例3（1）设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-（2）设函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明,(,)a b ξη∃∈，使()()2a bf f ξηη+''=.四、泰勒中值定理1、泰勒中值定理：如果函数f (x )在含有x 0的某个开区间(a ,b )内具有直到(n +1)的阶导数,则当x 在(a ,b )内时,f (x )可以表示为(x -x 0)的一个n 次多项式与一个余项R n (x )之和：)())((!1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+⋅⋅⋅+-''+-'+=其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ 介于x 0与x 之间).2、几个名词：a 多项式n n n x x x f n x x x f x x x f x f x p ))((!1 ))((!21))(()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+=称为f (x )按(x -x 0)的幂展开的n 次近似多项式；b 公式200000))((!21))(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+=+⋅⋅⋅)())((!100)(x R x x x f n nn n +-+,称为f (x )按(x -x 0)的幂展开的n 阶泰勒公式；c 表达式10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ介于x 与x 0之间)称为拉格朗日型余项；d 表达式R n (x )=o [(x -x 0)n ]称为佩亚诺型余项；e 公式)(!)0( !2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n n n ++⋅⋅⋅+''+'+=称为n 阶麦克劳林公式.（即x 0=0时的泰勒公式）如果对于某个固定的n ,当x 在区间(a ,b )内变动时,|f (n +1)(x )|总不超过一个常数M ,则有估计式1010)1(||)!1( |)()!1()(| |)(|+++-+≤-+=n n n n x x n M x x n f x R ξ及0)(lim 0)(0=-→n x n x x x x R ，可见,当x →x 0时,误差|R n (x )|是比(x -x 0)n 高阶的无穷小,即R n (x )=o [(x -x 0)n ].3、与拉格朗日中值定理的关系当n=0时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式：f(x)=f(x0)+f'(ξ)(x-x0)(ξ在x0与x之间).即泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.前三个中值定理建立函数f(x)与一阶导数的关系；泰勒中值定理建立函数f(x)与高阶导数之间的关系.4、常用初等函数的麦克劳林公式例4计算e 的近似值，使得误差不超过510-.例5求极限.（1）4202cos lim x ex x x -→-（2）已知1)0(,1)(lim 0=''=→f xx f x ，求极限x x x x f x sin )(lim 0-→例6设0)(>''x f ，当0→x 时，)(x f 与x 是等价无穷小，证明当0≠x 时，x x f >)(。
六年级上册数学教案数学好玩3 比赛场次（4）北师大版教案：六年级上册数学教案数学好玩3 比赛场次（4）北师大版一、教学内容今天我们要学习的是北师大版六年级上册数学教材中的“数学好玩”部分，具体是第三章“比赛场次”的第四个小节。
这部分内容主要让学生理解比赛场次安排的方法，学会如何合理地安排比赛时间，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学目标通过本节课的学习，学生能够理解比赛场次安排的原则，学会如何合理地安排比赛时间，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点重点：理解比赛场次安排的原则，学会如何合理地安排比赛时间。
难点：如何将比赛场次安排的原则运用到实际问题中，解决问题。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、教学课件学具：练习本、笔五、教学过程1. 引入：上课之初，我会给学生讲一个关于比赛场次的实际例子，让学生初步了解比赛场次安排的重要性。
2. 新课导入：接着，我会通过教学课件，向学生讲解比赛场次安排的原则，以及如何合理地安排比赛时间。
3. 例题讲解：我会选取一些典型的例题，让学生直观地感受比赛场次安排的方法，并引导学生思考如何将原则应用到实际问题中。
4. 随堂练习：讲解完例题后，我会设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
六、板书设计板书内容主要包括比赛场次安排的原则和步骤，以及一些关键的要点，如比赛时间、比赛场次等。
七、作业设计作业题目：1. 请根据比赛场次安排的原则，帮助学校安排一场篮球比赛，写出比赛的时间和场次安排。
答案：（答案略）八、课后反思及拓展延伸课后，我会反思本节课的教学效果，看学生是否掌握了比赛场次安排的方法，并对教学方法进行调整。
同时，我会设计一些拓展延伸的任务，让学生在课后进行探索，提高学生的实践能力。
重点和难点解析一、引入环节的实际例子在引入环节，我选择了讲解一个关于比赛场次的实际例子。
这个例子非常重要，因为它可以帮助学生理解比赛场次安排的重要性，以及如何将抽象的数学知识应用到实际问题中。
Bézier曲线曲面的扩展研究中文摘要Bézier曲线和曲面广泛应用于CAGD(计算机辅助几何设计)和计算机图形学,对Bézier 曲线或者曲面的设计和形状修改是一个重要的问题。
给定了控制顶点及相应的Bernstein 基以后，Bézier 曲线就确定了；若要修改曲线的形状，必须调整控制顶点。
所以在本文第二章给出了Bézier 曲线的定义以及其相关性质，第三章讨论了吴晓勤,韩旭里等前辈给出的针对四次的Bézier曲线的扩展,得到带有参数λ的曲线,具有与四次Bézier曲线类似的性质；如端点性、对称性、凸包性等.在控制顶点不变的情况下,随着参数λ不同,曲线退化为四次Bézier曲线.在第四章给出了一组含有参数λ的六次多项式基函数,是五次Bernstein 基函数的扩展；分析了此组基的性质,基于该组基定义了带形状参数的多项式曲线.曲线不仅具有五次Bézier曲线的特性,而且具有形状的可调性和更好的逼近性.参数λ有明确的几何意义：λ越大,曲线越逼近控制多边形,当λ=0 时,曲线退化为五次Bézier曲线.实例表明,定义的曲线为曲线/曲面的设计提供了一种有效的方法.关键词：Bernstein基函数；Bézier曲线；形状参数；曲线设计Research on Extension of Bézier Curve and SurfaceABSTRACTBézier curve and surfaces are one kind of the most commonly used parametric curves in computer aided geometric design (CAGD) and computer graphics. Developing more convenient techniques for designing and modifying Bézier curve and surfaces are an important problem. Given the control vertex and the corresponding Bernstein, B e zier curve identified; if you want to modify the shape of curve, you must adjust the control vertexes. So in this paper, we give the definition of Bézier curve and its correlation properties in section 2. In section 3, the extension of quartic B e zier curve of Wu and Han are discussed and we get the quartic B e zier curve with shape parameterλ.This curve inherit the outstanding properties of quartic B e zier curve, such as symmetry, endpoint property, convex hull property. And this curve converge to quartic B e zier curve when λ=0.In this paper, a class of polynomial basis functions with an adjustable parameter λis presented. They are extensions of quintic Bernstein basis functions. Properties of this basis are analyzed and the corresponding polynomial curve with a shape parameterλis defined accordingly. This curve not only inherits the outstanding properties of quintic Bézier curve, but also is adjustable in shape and fit close to the control polygon. This curve converge to quintic Bézier curve whenλ=0. Some examples illustrate the variation curve shapes with different values ofλ.KEY WORD: Bernstein basis function; Bézier curve; shape parameter; curve design第一章 前言1.1 问题的提出曲线曲面表示是计算机辅助几何设计（CAGD ）中一个重要的研究课题,其中,以Bernstein 基构造的Bézier 曲线由于结构简单、直观而成为CAGD 中表示曲线和曲面的重要工具之一.然而给定控制顶点及相应的Bernstein 基以后,Bézier 曲线的形状就被唯一的确定了,若要修改Bézier 曲线的形状,必须调整控制多边形的顶点.有理Bézier 曲线通过引入了权因子,不改变 控制顶点,由权因子可调整曲线的形状；但有理Bézier 曲线还有一定的缺陷：如权因子的如何选取、权因子对曲线的形状影响还不是十分清楚,求导次数增加,求积分的不方便等.1.2 研究现状随着几何造型工业的发展,往往要求调整曲线的形状或改变曲线的位置；人们开始想法推广Bézier 曲线,在文献[1],[2]中给出了以Bernstein 基定义的Bézier 曲线以及其相关性质.齐从谦等[]3,讨论了一类可调控Bézier 曲线, 针对(1)n +个控制点,用Bernstein 基构造一类Bézier 曲线.该类曲线的参数几何意义不明显、曲线次数过高、增加了曲线的计算量.刘根洪等[]4,通过将参数t 重新参数化,提出了广义Bézier 曲线和曲面；其目的在于提高连接两端Bézier 曲线的连续阶.梁锡坤[]5,通过将参数t 有理参数化提出Bernstein －Bézier 类曲线,但曲线不具有对称性.而韩旭里 等[]67-提出了二次,三次，四次Bézier 曲线的扩展,其所用的方法是提高多项式次数以获得不同于Bernstein 基且含有参数λ的基函数,得到的曲线具有Bézier 曲线类似的性质.此外这种带一个形状参数的曲线还可以在三角多项式空间[10],[11]中生成，同样也是利用这一形状参数的不同取值可对曲线作整体调控。
