高二代数数列与极限 数学归纳法试

数列、极限、数学归纳法1．等差数列d a a d a +-,,的通项公式是（ ）（A ）()d n a a n 1-+=； （B ）()d n a a n 2-+=； （C ）nd a a n +=； （D ）()d n a a n 3-+=2．若非零实数c b a 、、成等比数列，那么函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点的个数是（ ）（A ）2； （B ）1； （C ）0； （D ）无法确定3．一个等比数列的第三、四项分别为4和8，那么它的第一、五项分别是（ ） （A ）1，12； （B ）2，12； （C ）2，16； （D ）1，164．若c b a 、、成等比数列，m 是b a 、的等差中项，n 是c b 、的等差中项，则nc m a +等于（ ）（A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）15．首项为24的等差数列，从第十项起开始为负数，则公差d 的取值范围是（ ） （A ）38-<d ； （B ）3->d ； （C ）383-≤<-d ； （D ）383-<≤-d 6．某人从1993年孩子上初中起每年的9月1日到银行新存入a 元一年定期，若年利率保持不变，且每年到期存款均自动转存为新的一年定期，到孩子上大学的1999年9月1日将所有存款及利息取回，他可取回的钱数（元）为（ ） （A ）()61r a +； （B ）()71r a +； （C ）()51r a +； （D ）()()[]r r ra +-+1177．已知{}n a 是等差数列，则正确的是（ ）（A ）5463a a a a ⋅<⋅；（B ）5463a a a a ⋅≤⋅；（C ）5463a a a a ⋅>⋅；（D ）5463a a a a ⋅≥⋅ 8．在等差数列{}n a 中，已知19,1074==a a ，则12a 的值是（ ） （A ）34； （B ）37； （C ）31； （D ）339．在等差数列{}n a 中，14,241==a a ，那么前6项和6S 等于（ ）（A ）36； （B ）72； （C ）78； （D ）144 10．在数列{}n a 中，甲：b kn a n +=（b k 、为常数），乙：{}n a 是等差数列，则甲是乙的（ ）条件（A ）充要； （B ）充分； （C ）必要； （D ）既不充分也不必要11．无穷等比数列的前n 项和为nn S ⎪⎭⎫⎝⎛-=211，则所有项的和为（ ）（A ）21-； （B ）1； （C ）21； （D ）任意实数12．设{}n a 与{}n b 都是公差不为零的等差数列，且21lim =∞→nn n b a ，则n n n na b b b 321lim +++∞→ 等于（ ）（A ）41； （B ）31； （C ）21； （D ）1 13．若{}n a 是等比数列，31=a ，公比31=q ，前n 项和为n S ，则n n S ∞→lim 等于（ ）（A ）29； （B ）49； （C ）41； （D ）414．等比数列{}n a 中，70,1002-==m m S S （m 是给定自然数），则m S 3等于（ ）（A ）-240； （B ）184； （C ）219； （D ）4915．数列{}n a 中，12+=n n S ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→14332211111lim n n n a a a a a a a a 等于（ ） （A ）31； （B ）125； （C ）65； （D ）2316．已知3>a ，则1133lim ++∞→+-n n nn n a a 的值等于（ ）（A ）0； （B ）31； （C ）a ； （D ）a1-17．若b b a b a n n nn n -=-+--∞→11lim ，则正实数（常数）b a 、的关系是（ ） （A ）b a >； （B ）b a =； （C ）b a <； （D ）b a 、大小不能确定 18．当∞→n 时，n a 的极限不存在的是（ ）（A ）n n a n 1+=； （B ）nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21； （C ）()n n a 1-=； （D ）7-=n a19．若914141414lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-+-∞→a a a a a a a n n ，则实数a 的值为（ ） （A ）35； （B ）31； （C ）35或31； （D ）31-20．已知等差数列{}n a 的公差m S d a d 10,,0201=≠≠，则m 等于（ ）（A ）155a a +； （B ）1022a a +； （C ）da +20； （D ）912a a +21．设122,62,32===c b a ，则数列c b a 、、（ ）（A ）是等差数列，但不是等比数列； （B ）是等比数列，但不是等差数列； （C ）既是等差数列，又是等比数列； （D ）既不是等差数列，又不是等比数列 22．已知100个连续整数的和为100S ，且1350013400100<<S ，则此连续整数中最小的一个是（ ）（A ）84； （B ）85； （C ）86； （D ）8723．在等比数列{}n a 中，11=a ，公比R q ∈，且1≠q ，若54321a a a a a a m =，则m 等于（ ）（A ）9； （B ）10； （C ）11； （D ）1224．在A B C ∆中，三内角A 、B 、C 所对的边分别是c b a 、、，且C B A s i n lg sin lg sin lg 、、成等差数列，那么直线a A y A x =+sin sin 2与直线c C y B x =+sin sin 2的位置关系是（ ）（A ）平行； （B ）垂直； （C ）重合； （D ）相交不垂直 25．等差数列{}n a 中，公差2,0≥<n d ，则有（ ）（A ）1na S n ≥； （B ）1na S n ≤； （C ）1na S na n n <<； （D ）n n na S na <<1 26．一个等差数列的首项为4，它的第1项、第7项、第10项成等比数列，这个等差数列的一个通项公式为（ ）（A ）()1314--n 或4；（B ）()1314-+n ；（C ）()1314-+n 或4；（D ）()1314--n 27．若8723lim =+∞→nn n a a ，且n a 存在极限，则n n a ∞→lim 为（ ）（A ）87； （B ）4； （C ）1； （D ）78 28．无穷等比数列{}n a 各项和为3，第二项为34-，则此数列奇数项的和为（ ）（A ）3； （B ）29-； （C ）29； （D ）1629．()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→!1!43!32!21lim n n n 等于（ ） （A ）1； （B ）21； （C ）0； （D ）3130．已知数列通项()nn ctgx a 1-=，n n a ∞→lim 存在，则x 的取值范围是（ ）（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2πarcctg ； （B ）Z k k arcctg k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡++,2,2πππ； （C ）Z k k arcctg k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,22,22πππ；（D ）[)Z k k arcctg k ∈++,,2πππ31．一个无穷等比数列的公比1<q ，首项为1，且每一项都等于它以后各项和的k 倍，则k 的范围是（ ） （A ）0≥k ；（B ）2-≤k ；（C ）0>k 或2-<k ；（D ）02<<-k32．设n n n A 212432323132313231-++-+-=- ，则n n A ∞→lim 的值为（ ）（A ）81； （B ）41； （C ）0； （D ）21-33．若()nn x 21lim -∞→存在，则x 的取值范围是（ ）（A ）10<<x ； （B ）10<≤x ； （C ）10≤≤x ； （D ）1≥x 或0<x 34．下列式子中正确的是（ ）（A ）19.0≈。

数列、极限、数学归纳法考试内容数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 数列的极限及其四则运算． 数学归纳法及其应用． 考试要求（1）理解数列的有关概念．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． （2）理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题． （3）理解等比数列的概念．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．（4）了解数列极限的意义．掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项和的极限． （5）了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题． 复习建议本讲内容包括数列、极限与数学归纳法三个部分 1．数列的知识要点：（1）理解数列的定义、表示法、数列的分类．理解数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N （或它的有限子集｛1，2，3，…，n ，…｝）上的函数f （n ），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f （1），f （2），f （3），…，f （n ），…．数列的图象是由一群孤立的点构成的．（2）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本章内容一个重点，要认真掌握之．即a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n ．特别要注意的是，若a 1 适合由a n ＝S n －S n －1（n ≥2）可得到的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．2．等差数列的知识要点：（1）掌握等差数列定义a n ＋1－a n ＝d （常数）（n ∈N ），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a 3－a 2＝a 2－a 1＝d （常数）就说｛a n ｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列．还可由a n ＋a n ＋2＝2 a n ＋1 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n 来判断．（2）等差数列的通项为a n ＝a 1＋（n －1）d ．可整理成a n ＝a n ＋（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上，那么n 为自然数的点的集合．（3）对于A 是a 、b 的等差中项，可以表示成2 A ＝a ＋b ．（4）等差数列的前n 项和公式S n ＝21n a a +·n －na 1＋2)1(-n n d ，可以整理成 S n ＝2d n 2＋n da )2(1-．当d ≠0时是n 的一个常数项为0的二次式．3．等比数列的知识要点：（可类比等差数列学习） （1）掌握等比数列定义nn a a 1+＝q （常数）（n ∈N ），同样是证明一个数列是等比数列的依据．也可由a n ·a n ＋2＝21+n a 来判断． （2）等比数列的通项公式为a n ＝a 1·q n －1．（3）对于G 是a 、b 的等差中项，则G 2＝ab ，G ＝±ab ．（4）特别要注意等比数列前n 项和公式应分为q ＝1与q ≠1两类．当q ＝1时，S n ＝na 1．当q ≠1时，S n ＝qq a n --⋅1)1(1，S n ＝q q a a n -⋅-11．（5）对于数列求和．主要掌握以下几种方法：① 直接运用公式求和法；② 折项分组求和法；③ 倒序相加求和法；④ 错项相减求和法；⑤ 折项相消求和法． 4．数列极限知识要点：（1）应掌握数列极限的定义：对于数列｛a n ｝，如果存在一个常数A ，无论预先指定多么小的正数，都能在数列找到一项a n ，使得n ＞N 时，|a n －A |＜恒成立，则∞→n lim a n ＝A ，会用此定义证明简单数列的极限．（2）应掌握极限的运算法则．如果∞→n lim a n ＝A ，∞→n lim b n ＝B ，那么∞→n lim (a n ±b n )＝A ±B ；∞→n lim (a n b n )＝A ·B ；∞→n limnnb a ＝B A （B ≠0）． （3）当|q |＜1时，无穷等比数列多项和S ＝∞→n lim S n ＝qa -11． 5．数学归纳法知识要点：应理解数学归纳法是一种递推方法，它称两个步骤进行．第一步是递推的基础，第二步是递推的根据．二步缺一不可．关键是第二步推证必须合理使用归纳假设．应重点掌握猜证法，猜想是用不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法给予证明，形成一个完整的创造过程．数列极限数学归纳法综合练习题一、选择题（1）设2a ＝3，2b ＝6，2c＝12，则数列a ，b ，c （ ）A ．是等差数列而非等比数列B ．是等比数列而非等差数列C ．既是等差数列又等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列（2）等比数列{a n }，首项a 1＝1，公比q ≠1．若其中a 1，a 2，a 3依次是某等差数列的第1，2，5项，则它的公比q ＝（ ） A ．2 B ．3 C ．－3 D ．－2 （3）{a n }是等差数列，则下列关系式中正确的是（ ）A ．a 3·a 6≥a 4·a 5B ．a 3·a 6＞a 4·a 5C ．a 3·a 6≤a 4·a 5D ．a 3·a 6＜a 4·a 5（4）一个等比数列共有3n 项，公比q ≠1，它的前n 项的和记为S ，第二个n 项的和记为P ，第三个n 项的和记为Q ，则S ，P ，Q 间的关系是（ ）A ．P ＝SQB ．2P ＝S ＋QC ．P 2＝SQ D ．P ＝S ＋Q（5）在3和9之间插入两个数a ，b ，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则|a ＋b |的最小值是（ ）A ．445B ．6C ．2D ．0（6）∞→n limM a a n n=+-+111，当a ＞1时，M 的值是P ，当0＜a ＜1时，M 的值为Q ，则P ＋Q 的值是（ ）3A ．1＋a 1B ．1－a1 C ．1＋a D ．1－a（7）∞→n lim )11)(1(2)12(4321+---++-+-nn nn 的值是（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．不存在（8）若f (n )＝1＋21＋31＋41＋…＋n1(n ∈N )，则代数式f (2n ＋1)－f (2n)（在不合并的情况下）共有 A ．1项 B ．n 项 C ．2n项 D ．2n －1项（9）∞→n lim （1－221）（1－231）（1－241）…（1－21n ）的值是（ ） A ．0B ．21C ．1D ．非以上答案（10）等比数列{a n }，a n ＞0，若a 3·a 9＝2，则a 1·a 2·a 3·…·a 11的值是（ ） A ．322 B ．32C ．64D ．非以上答案（11）若数列{a n }满足，a 1＝5，a n ＋1＝2221n n n aa a ++（n ∈N ），则其前10项的和S 10的值是（ ）A ．50B ．100C ．150D ．120（12）极限∞→n lim nn n )2()2(8421)2(11-+-++-+---+ 的值是（ ）A ．－6B ．6C ．3D ．－3二、填空题（13）等比数列{a n }，公比q ＞1，a 1＝b (b ≠0)，则∞→n limnna a a a a a a a +++++++876321＝____________．（14）等差数列{a n }，公差d ＞0，首项a 1＞0，若S ＝∑=+ni i i aa 111，则∞→n lim S ＝____________．（15）平面内有n （n ∈N ）条直线，它们两两相交但无三条直线交于一点，若其中k 条（1≤k ＜n ）直线将平面分为f (k )个区域，则f (k ＋1)－f (k )＝__________________．（16）若f (n )＝1＋2＋3＋…＋n （n ∈N ），则∞→n lim 22)]([)(n f n f ＝__________________．三、解答题（17）一个等差数列和一个等比数列，它们第一项之和等于－3，第三项之和等于1，第5项之和等于5，求等差数列的公差和等比数列的公比．（18）数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·2n＋b (n ∈N )，其中a 、b 是常数且a ≠0. （Ⅰ）若{a n }是等比数列，求a 、b 应满足的条件；（Ⅱ）当{a n }是等比数列时，求∞→n lim1+n nS S 的值． （19）数列{a n }的前n 项的和记为A n ，数列{b n }是首项b 1＝9，公差d ＝－2的等差数列，其前n 项的和记为B n ，且有b n ＝4+n A n. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）比较A n 与B n 的大小并说明理由． （20）等比数列{a n }，a n ＞0（n ∈N ），它的前n 项的和S n ＝80，a 1，a 2…，a n 中，最大的一项是54，且前2n 项的和S 2n ＝6 560， （Ⅰ）求数列的通项a n ＝f (n )； （Ⅱ）求∞→n limnnS a ． （21）{a n }是等差数列且它的公差d ≠0，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ， （Ⅰ）求证点列：P 1（1，S 1），P 2（2，22S ），P 3（3，33S ）…，P n (n ，nS n )都在直线l 1上； （Ⅱ）过点Q 1（1，a 1），Q 2 (2，a 2)作直线l 2，l 2与l 1的夹角为θ，求证ta n θ≤42. （22）已知f (n )＝1＋21＋31＋…＋n1， （Ⅰ）若n ，m ∈N 且n ＞m ，求证f (n )－f (m )≥n mn -; （Ⅱ）用数学归纳法证明，当n ∈N 时，f (2n)＞2n ．5数列极限数学归纳法综合练习题答案一、（1）A （2）B （3）C （4）C （5）D （6）B （7）C （8）C （9）B （10）A （11）A （12）D 二、（13）1 （14）da 11（15）k ＋1 （16）2 三、（17）设等差数列的首项为a ，公差为d ；等比数列的首项为b 1，公比为q∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+5412341121111q b d a q b d a b a∵12)3(5=-+ ∴ ①＋③－2×②得b 1(q 4－2q 2＋1)=0，即b 1(q 2－1)2=0∵ b 1≠0，则q 2=1 ∴ q ±1将q =±1代入方程②得a 1＋2d ＋b 1=1 ④ ④－①得2d =4，则d =2 （18）（Ⅰ）a 1=S 1=2a ＋b∵ S n =a ·2n ＋b S n －1=a · 2n －1＋b (n ≥2) a n =S n －S n －1=a ·2n －1∵ {a n }是等比数列，首项为a ，公比为2∴ a 1=a 21－1=2a ＋b即 a ＋b =0⇒b =－a ≠0（Ⅱ）∵ S n =a · 2n －a ，S n ＋1=a · 2n ＋1－a∴ 1212lim )12()12(lim lim 111--=--=+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n a a S S 21212211lim =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→n nn（19）（Ⅰ）b n =b 1＋(n －1)d =9＋(n －1)(－2) ∴ b n =－2n ＋11 ∵ 4+=n A b nn ，则A n =(n ＋4)b n∴ A n =(n ＋4)(－2n ＋11)=－2n 2＋3n ＋44. ∵ a 1=A 1=－2×1＋3×1＋44=45 当n ≥2时，a n =A n －A n －1=(－2n 2＋3n ＋44)－[－2(n －1)2＋3(n －1)＋44] =－4n ＋5 ∴ ⎩⎨⎧≥+-==)2(54)1(45时时n n n a n①② ③（Ⅱ）B 1=b 1=9，a 1=45，a 1＞b 1 B n =b 1＋b 2＋…＋b n =n n n n 102)1129(2+-=+-A n =a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n=45＋(－4)×2＋5＋(－4)×3＋5＋…＋(－4)n ＋5 =45＋(－4)(2＋3＋4＋…＋n )＋5(n －1)=－2n 2＋3n ＋44A n －B n =－2n 2＋3n ＋44－(－n 2＋10n )=－n 2－7n ＋44 =－(n －4)(n ＋11) ∵ n ∈N ，n +11＞0∴ n ＜4时，A n －B n ＞0，A n ＞B n n =4时，A n －B n =0，A n =B n n ＞4时，A n －B n ＜0，A n ＜B n （20）（Ⅰ）∵ a n ＞0，∴ a 1＞0且q ＞0，当0＜q ＜1时，数列是递减数列，a 1，a 2，a 3，…，a n 中，a 1=54最大.∵ S 2n =a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n +1＋a n +2＋…＋a 2n=S n ＋q n S n =80(1＋q n)=6560∴ 1＋q n =82，q n=81∴ q ＞1与0＜q ＜1矛盾 ∴ q ≥1当q =1时，na 1=82，2na 1=160≠6560 ∴ q ≠1∴ q ＞1，a 1，a 2，…，a n 中最大项a n∴ a n =a 1q n －1=54.∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==--=65601801211211q q a a S q q a a S nn nn ②÷①得，1＋q n=82，q n=81 ∴ a 1q n=81a 1⇒54q =81a 1 ③∴ 801548011111=--⇒=-⋅--qq a q q q a a n ④③与④联立解得：q =3，a 1=2∴ a n =2 · 3n －1（Ⅱ）S n =a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n=1331)31(2-=--n n ∴ 321332lim lim 1=-⨯=-∞→∞→n n n nn n S a① ②7（21）（Ⅰ）S 1=a 1，S 2=a 1＋a 2=2a 1＋d ∴ P 1(1，a 1)，P 2⎪⎭⎫⎝⎛+222,21d a ,021221121≠=--+=d a d a k p p则l 1的方程为y －a 1=)1(2-x d任取3≤k ≤n ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛kS k P k k ,∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=d k k ka S k 2)1(1，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+d k a k P k 21,1 代入l 1的方程，左d k a d k a 212111-=--+= 右=-=-=d k k d 21)1(2左 ∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛k S k P k k ,（3≤k ≤n ）在直线l 1上. ∴ 点列P 1，P 2，…，P n 都在直线l 1上. （Ⅱ）设2,1211222121dk k d a a k k P P Q Q ===--== ∵ l 1与l 2的夹角是∴ d dd d d d d d d dd k k k k +=+=+=+=+-=+-=212222121tan 22222112θ∵22222=⋅≥+d dd d （等号在2=d 时成立） ∴ 42221tan =≤θ （22）（Ⅰ）f (n )－f (m ) ⎪⎭⎫⎝⎛++++-++++++=m n m 1312111131211 nm m 12111+++++=（共n －m 项）≥nm n n n n -=+++111 （等号在n =m ＋1时成立） （Ⅱ）证明：①n =1时，f (21)=1＋2321=＞21∴ n =1时，f (21) ＞21不等式成立. ②设n =k 时不等式成立，即f (2k) ＞2k ∵ 11211212131211)2(++++++++++=k kk k f ，比f (2k ) 多2k 项 ∴ 上述不等式两边加上kk k k 221221121++++++ ≥++++++++++++1121121221221121)2(k k k k kkk f项k k k k k 21112121212+++++++∴ 2121222221121)2(11+=+=+++++++k k k f k k k k k∴ 1211212131211+++++++++k k k ＞21+k 即 )2(1+k f ＞21+k∴ n =k ＋1时不等式也成立.由①②可知对任何自然数n ，f (2n)＞2n 说明：这个命题说明，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的极限是0，但其前n 项的和S n =1+n 13121+++ 都没有极限，因为n →∞时，2n→∞，n S n 2lim ∞→≥nn 2lim∞→→∞。

数列、极限和数学归纳法一、基础篇一、考试内容1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。

对数列的考查，客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.数列推理题是新出现的命题热点.2.数列的极限及其四则运算。

数列极限是高等数学在高考中的应用,高考命题对其要求不高,仅要求会利用四则运算法则求得极限即可.3.数学归纳法及其应用。

数学归纳法作为一种重要的推理方法,是高考重点考查内容.极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.二、考试要求1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。

3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。

5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。

三、考点简析1.数列及相关知识关系表2.内容与意义分析（1）数列是函数概念的继续和延伸，对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n 项和是自然数n 的“二次函数”。

等比数列可看作自然数n 的“指数函数”。

应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的.（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。

（3）数学归纳法是一种数学论证方法，同时又是一种数学思想。

高二数学数学归纳法试题答案及解析1.若，则对于，．【答案】【解析】【考点】数学归纳法2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋＋a n＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.考点:数学归纳法3.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为【答案】【解析】观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为，故答案为【考点】归纳推理.4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.5.利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是．【答案】【解析】用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.【考点】数学归纳法.6.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)能被9整除”，要利7.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.8.用数学归纳法证明：【答案】通过两步（n=1，n=k+1）证明即可得出结论。

【解析】解：当n=1时，等式左边为2，右边为2，左边等于右边，当n=k时，假设成立，可以得到（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项，由题意，n=k时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1），比较可得n=k+1时等式左边等于右边，进而综上可知，满足题意的所有正整数都成立，故证明。

【考点梳理】一、考试内容1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。

2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。

3.数列的极限及其四则运算。

4.数学归纳法及其应用。

二、考试要求1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。

3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。

5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。

三、考点简析1.数列及相关知识关系表2.作用地位（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。

对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。

等比数列可看作自然数n的“指数函数”。

因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。

（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。

另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法，同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。

（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想。

学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。

高考试题汇编——数列答案考试内容：数列.等差数列及其通项公式、前n项和的公式.等比数列及其通项公式、前n项和的公式. 数列的极限及其四则运算.数学归纳法及其应用.考试要求：(1)理解数列的有关概念.了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.(2)掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题.(3)了解数列极限的意义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限.(4)了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题.一、选择题1.给出20个数:87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.它们的和是(86(5)3分)A.1789B.1799C.1879D.1899B2.设命题甲:△ABC的一个内角为60°，命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么(88(11)3分)A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件C3.已知{a n}是等比数列，如果a1＋a2＋a3＝18，a2＋a3＋a4＝－9，S n＝a1＋a2＋……＋a n，S n的值等于(89(5)3分)那么limn→∞A.8B.16C.32D.48B4.设2a＝3，2b＝6，2c＝12，则数列a，b，c(90上海)A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列A5.已知等比数列的公比是2，且前四项的和为1，那么前八项的和为(90广东)A .15B .17C .19D .21 B6. 已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝(91(7)3分) A .5 B .10 C .15 D .20 A7. lim n →∞[n (1－13)(1－14)(1－15)……(1－1n ＋2)]的值等于(91(12)3分)A .0B .1C .2D .3C8. 在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝(91上海) A .45 B .75 C .180 D .300 C9. 一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么(91三南) A .它的首项是－2，公差是3 B .它的首项是2，公差是－3 C .它的首项是－3，公差是2 D .它的首项是3，公差是－2 A10. 设等差数列{a n }的公差为d ，如果它的前n 项和S n ＝－n 2，那么(92三南) A .a n ＝2n －1，d ＝－2 B .a n ＝2n －1，d ＝2 C .a n ＝－2n ＋1，d ＝－2 D .a n ＝－2n ＋1，d ＝2 C11. 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1a 2a 3……a 30＝230，则a 3a 6a 9……a 30＝(92三南)A .210B .220C .216D .215B12. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋……＋log 3a 10＝(93(7)3分) A .12 B .10 C .8 D .2＋log 35 B13. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌由一个可繁殖成(94(5)4分) A .511个 B .512个 C .1023个 D .1024个 B14. 某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N )时该命题成立，那么可以推得n ＝k ＋1时该命题成立，现已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得(94上海) A .当n ＝6时该命题不成立 B .当n ＝6时该命题成立 C .当n ＝4时该命题不成立 D .当n ＝4时该命题成立 C 15. 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则lim n →∞a nb n＝(95(12)5分)A .1B .63C .23D .49C16. 等比数列a n 的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，已知S 10S 5＝3132，则lim n →∞S n 等于(96(10)4分)A .23B .－23C .2D .－2B17. 等差数列{a n }的前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是(96(12)5分) A .130 B .170 C .210 D .260 C 18. 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋……＋12n(n ∈N )，那么f (n ＋1)－f (n )＝(97上海) A .12n ＋1 B .12n ＋2C .12n ＋1＋12n ＋2D .12n ＋1－12n ＋2D19. 在等比数列{a n }中，a 1＞1，且前n 项和S n 满足lim n →∞S n ＝1a 1，那么a 1的取值范围是(98(15)5分)A .(1，＋∞)B .(1，4)C .(1，2)D .(1，2)D20. 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有(2000春京、皖(13)5分) A .a 1＋a 101＞0 B .a 2＋a 100＜0 C .a 3＋a 99＝0 D .a 51＝51 C 21. lim n →∞C 2nn C 2n ＋2n ＋1＝(2001春京、皖、蒙(3)5分)A .0B .2C .12D .14D22. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足S n ＝n 90(21n －n 2－5)(n ＝1,2,……,12),按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是(2001春京、皖、蒙(12)5分) A .5月、6月 B .6月、7月 C .7月、8月 D .8月、9月 C23. 若数列{a n }前8项的值各异，且a n ＋8＝a n 对任意的n ∈N ＋都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为(2001年春上海(16)4分) A .{a 2k ＋1} B .{a 3k ＋1} C .{a 4k ＋1} D .{a 6k ＋1} B24. 设{a n }是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是(2001年(3)5分) A .4 B .2 C .1 D .6 B二、填空题1. lim n →∞3n －1＋(－2)n3n ＋(－2)n ＋1＝____________.(86(14)4分)答：132. lim n →∞(1n 2＋1＋2n 2＋1＋3n 2＋1＋ (2)n 2＋1)＝____________.(87(12)4分) 答：23. 已知等比数列{a n }的公比q ＞1，a 1＝b (b ≠0)，则lim n →∞a 1＋a 2＋a 3＋……＋a na 6＋a 7＋a 8＋……＋a n＝_________.(88(24)4分) 答：14. 已知{a n }是公差不为0的等差数列，如果S n 是{a n }的前n 项和，那么lim n →∞na nS n等于______. (90(18)3分) 答：25. 在无穷等比数列{a n }中，a 1＝33，a 3＝3，则lim n →∞(a 1＋a 3＋a 5＋……＋a 2n －1)＝______.(91上海) 答：9326. lim n →∞4n ·2n ＋1n ·3n－1＝___________(91三南) 答：07. 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是_______.(92(23)3分) 答：13168. lim n →∞[11×4＋14×7＋17×10+……＋1(3n －2)(3n ＋1)]＝__________(92三南) 答：139. 已知等差数列{a n }的公差d ＞0，首项a 1＞0，S n ＝∑ni ＝11a i a i ＋1，则lim n →∞S n ＝____.(93(24)3分)答：1a 1d10. 已知等比数列{a n }(a n ∈R )，a 1＋a 2＝9，a 1a 2a 3＝27。

【考点梳理】一、考试内容1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。

2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。

3.数列的极限及其四则运算。

4.数学归纳法及其应用。

二、考试要求1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。

3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。

5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。

三、考点简析1.数列及相关知识关系表2.作用地位（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。

对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。

等比数列可看作自然数n的“指数函数”。

因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。

（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。

另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法，同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。

（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想。

学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。

2n 12n 2,n € N*,那么 f(n+1) — f(n)等于(n nB.」［原创］高二数学周测数学归纳法与极限 doc 高中数学一、选择题〔4 10〕 1、假设 lim a n =3 且 lim b n =— 1,那么 lim (a n +b n )?等于()n n n A.4 B. — 4 C.16 D. —162、等差数列｛a n ｝、｛b n ｝的前n 项和分不为S n 和T n ,假设S 捫,那么n im g 的值等于() A.1 C.- 3 D.93、 假设lim kx 2 2 1 1 那么常数 k 的值为()x 2x x 1 4A.2 1B.-C. — 22 4、 3x 2 lim x 1 的值为 ()x 1 x 2A.3B. — 3C. — 2D. - 2D.不存在5、 lim[—— n 1 41 1 4 7 7 10 1(3n 2)(3 n 1)］等于(A.1B.1C .2D.16、一个数列的通项公式为 f(n),n € N*,假设7f(n)=f(n — 1)(n 》2)且f(1)=3,那么 lim : f(1)+f(2)+ …n+f(n)]等于() A. 72B .37 C. — 7 7、lim (2x+1)n =0成立的实数 nx 的范畴是( 1 A.x=—— 2 C. — 1 v x v 0 8、以下代数式能被A.6+6 7k1 门v x v 0 2 D. — 1 v x < 0 9整除(其中k € N*)的是B.2+7k — 1B.— )C.2(2+7k+1)kD.3(2+7 k )沁 1 9、设 f(n)=— n 1 1A.-11 1 1 1271+1 + 1 +…+ 二 > ―成立,那么n 取的第一个值应为（） 2 4 2n 6412. lim x ： x 2x 1x 4x 513、一个热气球在第一分钟时刻里上升了 25米高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度差不多上它在前一分钟里上升高度的80%,那个热气球最多能上升 ________________ 米•13 115111715、观看以下式子:1+ 2 v ,1+—2+ 2 v,1 + —2 + 2 + 2 v ，…,那么能够猜想其结2 2 2 2 2 323 2 2 3 24 24论为为 ______________ •以及在 x=2 处的极限为. _______________2x mx 217、 limx 2x 2、解答题〔〕19、（本小题总分值 10分）如图，Rt △ ABC 中,/ B=90 ° ,tanC=0.5,AB=1,在厶ABC 内有一系列正C.2n -+——1 2nD. ---------2n 12n 2 A.7B.8 二、填空题〔4 7〕 1 311、 lim (-^2 —nn 1 n 1 C.9 D.102n 1、 n 2 1).10、用数学归纳法证明不等式14、 limn 3n ( 2)n3n 1 (2)n1x, x 2 16、函数 f (x)2(x 2) ,x 在x=2处的左极限为 2___________________•、右极限n,那么m =18、（本小题总分值 10分)数列｛a n ｝中,a n =(2n)2(2n 1)(2 n 1)S n 为其前 n 项的和，求lim 色的值.n n方形,求所有这些正方形面积之和20、（本小题总分值12分）用数学归纳法证明1 + - w 1+丄+ 】+…+2 < - +n(n € N*)2 23 2n 2。