浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及试

考点分析1、掌握等腰三角形的性质及判定定理2、掌握直角三角形的性质3、特殊三角形在全等证明中的运用4、掌握勾股定理的计算方法知识点概要1、图形的轴对称性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

PS:等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

4、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

《特殊三角形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．认识轴对称图形的基本特征；掌握判断轴对称图形的方法，并能正确画出简单的轴对称图形；2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；3．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；4．了解尺规作图的常用工具；理解并掌握线段垂直平分线定理的逆定理、角平分线性质的第二个定理，并能够熟练地应用它们；5．理解直角三角形的概念及性质的广泛应用，掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．6．掌握勾股定理及其勾股定理的逆定理的内容及应用，学会用勾股定理解决简单的几何问题，应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形．7.理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL”）判定两个直角三角形全等；【知识网络】【要点梳理】要点一、图形的轴对称1.图形轴对称的定义及其性质如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这两个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段.图形的轴对称：一般的，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形是全等形.2.利用轴对称的性质求两点之间的最短距离已知点A,B（A,B）在直线的同侧，和直线a,在直线上求作一点C，使AC+BC的距离和最小.作法：1.作点A关于直线a的对称点A′；2.连接A′B,交直线a与点C;3.连接AC.点C就是所求作的点.下面给出证明：设P是直线a上任意一点，连结AP，A′P．由作图知，直线a垂直平分AA′，则AC=A′C，AP=A′P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．．．．AP+BP=A′P+BP≥A′B，A′B=A ′C+BC=AC+BC，即AP十BP≥AC+BC，所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短．要点诠释：1.轴对称图形与图形的轴对称是两个不同的概念，轴对称图形是指一个图形的两个部分，也就是说，一条直线把一个图形（一个等腰三角形）分成两个部分，这两个部分之间的关系；而图形的轴对称是指两个图形之间的关系，比如两个全等的等腰直角三角形.2.对称轴的实质是一条直线，向两方无限延伸的.3.两点之间的最短距离要分情况讨论，看这两点是否在某一条直线的同侧还是异侧. 要点二、等腰三角形及等边三角形的性质与判定1.等腰三角形的定义及其对称性有相等两边的三角形叫做等腰三角形.三边相等的三角形叫做等边三角形.等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，就是顶角的平分线或是底边的高、中线.等边三角形也是轴对称图形，对称轴有三条，等边三角形是特殊的等腰三角形.2.等腰三角形的性质与判定定理性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“在同一三角形中，等边对等角”）．推论：等边三角形的各个内角都等于60°；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角（简称“在同一三角形中，等角对等边”）.等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：等腰三角形的性质与判定定理是三角形中边与角之间相互转化的重要依据，性质定理是由边的相等得出角的相等，判定定理是由角的相等得出边的相等..等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.3.定理与逆定理如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.要点诠释：一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.4.角平分线性质的第二个定理角的内部,到角两边的距离相等的点,在这个角平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；第二个性质定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.5.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理的逆定理逆定理：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点四、直角三角形性质及判定直角三角形的性质性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.性质定理2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.性质定理2的逆命题也同样正确，在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点五、勾股定理及其逆定理1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系；（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.2.勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点六、判定直角三角形全等的一般方法和全等的特殊方法——斜边，直角边定理由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。

浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》分节知识点一、轴对称要点一、轴对称图形1、轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.要点二、轴对称1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.要点诠释：（1）轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2、轴对称与轴对称图形的区别与联系（1）轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质1、轴对称、轴对称图形的性质（1）在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等要点诠释：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二、等腰三角形性质定理要点一、等腰三角形的定义1、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.（2）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2、等腰三角形的作法（1）已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1、作线段BC=a；2、分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3、连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3、等腰三角形的对称性（1）等腰三角形是轴对称图形；（2）∠B＝∠C；（3）BD＝CD，AD为底边上的中线.（4）∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4、等边三角形（1）三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.（3）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.（4）等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是.要点二、等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．（2）推论：等边三角形的各个内角都等于60°.（3）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2、等腰三角形的性质的作用（1）证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3、尺规作图：已知底边和底边上的高（1）已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1、作线段BC=a.2、作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3、在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.三、等腰三角形的判定定理要点一、等腰三角形的判定定理1、等腰三角形的判定定理（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.2、等边三角形的判定定理（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．（3）等边三角形是中考中常考的知识点，需要记住一下数据：边长为a的等边三角形它的高是，面积是.要点二、命题与逆命题，定理与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．（2）如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.要点诠释：（1）每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.要点三、线段垂直平分线定理的逆定理（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：（1）当点P在线段AB上时，结论显然成立．（2）当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O．PA=PB，PO⊥AB，∵OA=OB，∴PC是AB的垂直平分线．∴点P在线段AB的垂直平分线上．四、直角三角形要点一、直角三角形的概念（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点诠释：（1）三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.要点二、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余.（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.（2）含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.要点三、直角三角形判定（1）两个角互余的三角形是直角三角形.（2）在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．同理∠2=∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．五、勾股定理要点一、勾股定理（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；（2）用于解决带有平方关系的证明问题；（3）利用勾股定理，作出长为的线段.六、勾股定理的逆定理要点一、勾股定理的逆定理（1）如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：（1）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、互逆命题（1）如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：（1）原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数（1）满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.（1）熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；七、直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件.要点三、角平分线的第二个性质定理（1）角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.要点诠释：（1）这个性质定理和“角平分线上的点到角两边的距离相等”是互逆定理.它们的题设和结论交换了位置，运用的时候，一定要分清题设是什么，求证的结论又是什么.切不可发生混淆.。

数学八年级上册知识点及典型例题第一章平行线1.1同位角、内错角、同旁内角所截，构成了八个角。

如图：直线l , l被直线l321L3 a3L1 14a12358L2 a267的同旁，并且分别位于直线l , ll 的相同一侧，这样的一51. 观察∠1与∠的位置：它们都在第三条直线231对角叫做“同位角”。

2. 观察∠3与∠5的位置：它们都在第三条直线l的异侧，并且都位于两条直线l , l 之间，这样的一对213角叫做“内错角”。

3. 观察∠2与∠5的位置：它们都在第三条直线l的同旁，并且都位于两条直线l , l之间，这样的一对角231叫做“同旁内角”。

想一想问题1.你觉得应该按怎样的步骤在“三线八角”中确定关系角？确定前提（三线）寻找构成的角（八角）确定构成角中的关系角问题2：在上面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。

1．2 平行线的判定（1）复习画两条平行线的方法：A A L12L1o抽象成几何图形（图形的平移变换）L1oL B2B．21）怎样用语言叙述上面的图形？提问：（1 被AB所截）（直线l，l 21（2）画图过程中，什么角始终保持相等？2）（同位角相等，即∠1＝∠位置关系如何？，3）直线ll （21）l∥l （21（4）可以叙述为：2∵∠1＝∠）（∥∴ll ？ 1 2。

语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单地说：同位角相等，两直线平行。

21＝∠几何叙述：∵∠l∥l（同位角相等，两直线平行）∴ 2 1想一想c a21b若a⊥b,b⊥c则a c2在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

平行线判定方法的特殊情形：2）1．2 平行线的判定（CDAB与＝180°，则AB与CD平行吗？②若∠2+∠4图中，直线AB 与CD被直线EF所截，①若∠3＝∠4，则平行吗？E1A B432 C DF°42+∠＝180°，∠2+∠3＝180 ，∠①∵∠3＝∠41＝∠4 ②∵∠＝∠4 ∴∠3 1∴∠＝∠3）（）∴AB∥CD （∥∴ABCD内错角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行。

八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形の轴对称[轴对称图形]1.如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁の部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它の对称轴．2.有の轴对称图形の对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．3.折叠后重合の点是对应点，叫做对称点。

[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合の点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．[图形轴对称の性质]①关于某直线对称の两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。

③轴对称图形の对称轴，是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。

④如果两个图形の对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

[轴对称与轴对称图形の区别][线段の垂直平分线]（1）经过线段の中点并且垂直于这条线段の直线，叫做这条线段の垂直平分线．（2）线段の垂直平分线上の点与这条线段两个端点の距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等の点在这条线段の垂直平分线上．因此线段の垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等の所有点の集合．2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形性质定理+2.4等腰三角形判定定理[等腰三角形]★1. 有两条边相等の三角形是等腰三角形。

★2. 在等腰三角形中，相等の两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹の角叫做顶角，腰与底边の夹角叫做底角．[等腰三角形の性质]★性质1：等腰三角形の两个底角相等（简写成“等边对等角”）★性质2：等腰三角形の顶角平分线、底边上の中线、底边上の高互相重合（三线合一）．特别の：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上の中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形の判定定理]★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对の边也相等（简写成“等角对等边”）．特别の：（1）有一边上の角平分线、中线、高线互相重合の三角形是等腰三角形．（2）有两边上の角平分线对应相等の三角形是等腰三角形．（3）有两边上の中线对应相等の三角形是等腰三角形．（4）有两边上の高线对应相等の三角形是等腰三角形．[等边三角形]三条边都相等の三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．[等边三角形の性质]★等边三角形の三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形の判定方法]★（1）三条边都相等の三角形是等边三角形；★（2）三个角都相等の三角形是等边三角形；★（3）有一个角是60°の等腰三角形是等边三角形．2.5 逆命题和逆定理[逆命题和逆定理]命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确の判断の句子叫做命题。

浙教版八年级上数学知识点第一章 三角形的初步知识 复习总目1、掌握三角形的角平分线、中线和高线2、理解三角形的两边之和大于第三边的性质3、掌握三角形全等的判定方法 知识点概要1、 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC，三角形ABC 的边AB可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．2、 三角形的分类： (1)按角分类： (2)按边分类：三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形_C_B _A 三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形21DC BAD CB ADC BA3、 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：是△ABC 的BC 上的中线.=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：是△ABC 的BC 上的高线.⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．4、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．5、三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180?;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.6、三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.7、全等三角形（1）全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

新浙教版八年级上册数学第二章《特殊三角形》第三节 等腰三角形的性质【课本相关知识点】1、等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角 ，这个定理也可以说成，在同一个三角形中，2、推论：等边三角形的每个内角都等于3、等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的 、底边上的中线和高线互相 ，简称等腰三角形的【典型例题】【题型一】利用等腰三角形的性质求角度例1、（1）在△ABC 中，AB=AC ，若∠A=50°，则∠B=（2）若等腰三角形的一个角为80°，则顶角为（3）若等腰三角形的一个角为90°，则顶角为（4）若等腰三角形的一个底角为40°，则顶角为温馨提醒：一定要看清题目，是否要分类讨论。

多画图，有助于解题。

例2、如图所示，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，分别以两腰为边向外作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ，已知∠DAE=∠DBC ，求△ABC 的三个内角的度数。

【题型二】三线合一中，知“一线”推“二线”（前提一定要在等腰三角形中） 例1、如图，已知△ABC（1）若AB=AC ，∠1=∠2，则 ，（2）若AB=AC ，AD ⊥BC ，则 ，（3）若AB=AC ，BD=DC ，则 ， 【题型三】运用等腰三角形的性质证明线段相等、垂直、角度相等例1、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是△ABC 的高，求证：∠BCE=∠CBD例2、如图所示，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点。

（1）试说明AF ⊥CD（2）在（1）中的结论说明完毕后，还能得出什么新的结论？请你写出三个（不必说明理由）例3、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，E 在CA 的延长线上，∠AEF=∠AFE ，试说明EF ⊥BC 。

巩 固 练 习1、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是2、若等腰三角形的顶角等于50°，则一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A 25°B 30°C 45°D 65°注意：记住结论：等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半3、如图所示，已知P 、Q 是△ABC 上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，则∠BAC=4、在△ABC 中，∠ACB=100°，AC=AE ，BC=BD ，求∠DCE 的度数5、如图所示，AB=AC ，D 是BC 边上的一点，AD=AE ，∠BAD=40°，求∠CDE 的度数6、如图所示，∠AOB 是一个钢架，且∠AOB ＝10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF ，FG ，GH ，…，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管________根 7、如图，在△ABC 中，PM 、QN 分别是AB 、AC 的垂直平分线，如果∠BAC=110°，那么∠PAQ=8、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的BC 边上的高为h 。

浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形一、选择题1．下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（ ）A．B．C．D．2．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）A．∠A＝∠C－∠B B．a2＝b2－c2C．a：b：c＝2：3：4D．a＝34，b＝54，c＝13．等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）A．50°B．65°或50°C．65°D．80°4．在锐角△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长度为（ ）A．16B．15C．14D．135．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A．直角都相等B．全等三角形的对应角相等C．在Rt△ABC中，30°角所对的边是斜边的一半D．在△ABC中，a、b、c为三角形三边的长，若a2=(b+c)(b―c)，则△ABC是直角三角形6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）A．5B．4C．3D．27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）A ．1cmB ．43cmC ．53cmD ．2cm8．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x 尺，根据题意，可列方程为（ ）A ．x 2+42=102B ．(10―x)2+42=102C ．(10―x)2+42=x 2D ．x 2+42=(10―x)29．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ：S △ABC =1：3.A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在△ABC 中，AB =2，∠B =60°，∠A =45°，点D 为BC 上一点，点P 、Q 分别是点D 关于AB 、AC 的对称点，则PQ 的最小值是（ ）A．6B．8C．4D．2二、填空题11．在三角形ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则AC的长为 .12．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．13．小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ．14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC= °．15．如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H 为BC中点．若BC=5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为 ．16．如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D为BF上一动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，则∠CFE的大小是 ．三、解答题17．如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，BC=DC．求证：∠1=∠2．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AC=5，BC=9，AD=4，求AB的长．19．如图，△ABC中，CA=CB，D是AB的中点，∠B=42°，求∠ACD的度数．20．如图所示，若MP和NQ 分别垂直平分AB和AC．（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；（2）∠BAC=105°，求∠PAQ 的度数．21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．22．（1）如图1，点D、E分别是等边△ABC边AC、AB上的点，连接BD、CE，若AE=CD，求证：BD=CE （2）如图2，在（1）问的条件下，点H在BA的延长线上，连接CH交BD延长线于点F，．若BF=BC，求证：EH=EC．23．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接AP．（1）当t=3秒时，求AP的长度；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】D10．【答案】A11．【答案】2612．【答案】同位角相等，两直线平行13．【答案】∠A=60°（答案不唯一）14．【答案】3015．【答案】1216．【答案】90°17．【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC∴∠B=∠D=90°又∵在Rt△ABC和Rt△ADC中AC=AC BC=DC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)．∴∠1=∠2．18．【答案】21319．【答案】48°20．【答案】（1）12；（2）30°．21．【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴M 是BC 的中点，∵AB ＝5，BC ＝6，∴BM ＝CM ＝3，∴AM ＝AB 2―BM 2=52―32＝4，∴△ABC 的面积＝12BC•AM ＝12×6×4＝12；（2）解：过点B 作BN ⊥AC 于点N ，如图所示：∵BD ＝AB ，∴AN ＝DN ＝12AD ，∵△ABC 的面积＝12AC•BN ＝12×5•BN ＝12；∴BN ＝245，AN ＝AB 2―BN 2=75∴AD ＝2AN ＝145．22．【答案】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠A=∠ABC=∠BCA.∴在△AEC 和△CDB 中AE =CD ∠EAC =∠DCB AC =CB∴△AEC ≌△CDB （SAS ）∴BD=CE.（2）证明：如图：由（1）△AEC≌△CDB，∴∠ACE=∠CBD.∴60°－∠ACE=60°－∠CBD，即∠ABD=∠ECB.∵BC=CF，∴∠BCF=∠BFC，又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H，∴∠ECH=∠H，∴EH=EC.23．【答案】（1）241（2）当△ABP为等腰三角形时，t的值为45、16、5；（3）当t的值为5或11时，PD平分∠APC．。

八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形的轴对称[轴对称图形]1.如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.2.有的轴对称图形的对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴.3.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称.ﻭ［图形轴对称的性质］①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.[轴对称与轴对称图形的区别][线段的垂直平分线]（1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.（2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．2。

2等腰三角形+2。

3等腰三角形性质定理＋2。

4等腰三角形判定定理［等腰三角形]★1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形。

★2。

在等腰三角形中,相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.[等腰三角形的性质]★性质1:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）★性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）.特别的:(1)等腰三角形是轴对称图形。

(2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形的判定定理］★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").特别的:（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形. (2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．(4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形.[等边三角形］三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形.[等边三角形的性质]★等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形的判定方法]★(1）三条边都相等的三角形是等边三角形；★(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；★(３)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.２。

2020学年浙教版第二章《特殊三角形》专题提升：直角三角形的判定与性质专题一：直角三角形的性质例1：如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是AB上的一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点F，交AC的延长线于点E，连结CD，∠DCA= ∠DAC.有下列结论:①∠DCB= ∠B；②CD= 12AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E= 30°，则DE= EF+ CF.其中正确的是 _________ （填序号）.变式1 - 1 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1= 6，S3= 15，则S2 = _________ .变式1 - 2 在△ABC中，AB =8，BC = 1，∠ABC = 45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD = 90°，连结CD，则线段CD的长为 _________ .专题二：直角三角形的判定例2：如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD相交于点E，∠1 = ∠2.求证:△ABC是直角三角形.变式2 - 1 有下列结论:①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC 的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+ AC2= AB2，则∠A= 90°；③在△ABC中，若∠A:∠B:∠C= 1:5:6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边之比为3:4:5，则该三角形是直角三角形.其中错误的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个变式2 - 2 在△ABC中，∠A:∠B:∠C = 2:1:1，则△ABC是 _________ 三角形.巩固练习1.（大连中考）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为D.若E是AB的中点，CD = DE = a，则AB的长为A.2aB.22aC.3aD.334a2.如图，在四边形ABCD中，∠B = 90°，AB = 4，BC = 3，CD = 13，AD = 12，则四边形ABCD 的面积为（）A.12B.24C.36D.483.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高度为 _________ m.4.在△ABC中，∠A= 50°，∠B= 30°，点D在AB边上，连结CD.若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 _________ .5.如图，以正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，且四边形EFGH为正方形，这样的图形我们称为弦图.将正方形ABCD放入右边每个小正方形的边长为1的网格中，若正方形的四个顶点A，B，C，D和四个直角顶点E，F，G，H都在格点上，我们把这样的图形称为格点弦图，问:当格点弦图中的正方形ABCD的边长为5时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_________ .6.如图，P是等边三角形ABC内一点，PA = 6，PB = 8，PC = 10，则∠APB = _________ .7.（温州中考）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.（1）求∠F的度数.（2）若CD = 2，求DF的长.8.（1）如图①，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论:在直角三角形中两直角边a，b与斜边c满足关系式a2 + b2 = c2.该结论也称为勾股定理.证明:∵大正方形的面积可表示为S = c2，又可表示为S = 4 ×12ab + （b-a）2，∴4 ×12ab + （b-a）2 = c2，∴a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形，如图②，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.（3）如图③，∠ABC = ∠ACE = 90°，请你添加适当的辅助线证明结论:a2 + b2 = c2.。