人教版八年级上册数学三角形讲义(wrod版)

(人教版)八年级数学上册《三角形》
《三角形》是人教版八年级数学上册的一个单元，主要内容包括三角形的性质、三角形的分类、三角形的面积等。

该单元主要包含以下几个知识点：
1. 三角形的性质：
- 三角形的定义：三条线段两两相交于三个不同的点，就构成一个三角形。

- 三角形的元素：顶点、边、角。

- 三角形的内角和公式：三角形的内角和等于180度。

- 三角形的外角和公式：三角形的外角等于其对应内角的补角。

2. 三角形的分类：
- 三角形的根据边长分类：
* 等边三角形：三边相等。

* 等腰三角形：两边相等。

* 普通三角形：三边都不相等。

- 三角形的根据角度分类：
* 直角三角形：一个角为90度。

* 钝角三角形：一个角大于90度。

* 锐角三角形：三个角都小于90度。

3. 三角形的判定：
- 判断三边能否构成三角形的条件：三边的任意两边之和大于第三边的长度。

- 判断三角形的种类：根据边长和角度的条件，可以判断三角形的种类。

4. 三角形的面积：
- 三角形的面积计算公式：面积等于底边长度乘以高的一半。

- 海伦公式：根据三角形的三边长度，可以通过海伦公式计算三角形的面积。

通过学习《三角形》这个单元，学生将能够掌握三角形的基本概念、性质和分类，了解三角形的三个重要元素，能够判断三边是否构成三角形，能够计算三角形的面积。

同时，还能够通过解决生活中的实际问题，运用所学知识解决问题，培养逻辑思维和解决问题的能力。

等边三角形知识点一、等边三角形的性质和判定知识概念：1、至少有两边相等的三角形，叫做等腰三角形2、三边相等的三角形，叫做等边三角形思考：下列两个说法是正确的还是错误的？（1）等边三角形是等腰三角形（）（2）等腰三角形是等边三角形（）所以，等边三角形_______等腰三角形，但等腰三角形_______等边三角形等边三角形的性质：1、三边相等2、三个内角都是60°3、三线合一等边三角形的判定：1、三边相等2、三个内角都是60°3、两边相等，一个角60°知识点二、含30°的直角三角形定理：30°所对直角边为斜边的一半例1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE 的长.1、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（）A、等腰直角三角形B、一般的等腰三角形C、等边三角形D、等腰钝角三角形2、如图，是屋架设计图的一部分。

点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°，则BC= cm 、DE= cm3、如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______cm4、如图，∠AOB= 30°，P是角平分线上的点，PM⊥OB于M，PN//OB交OA于N，PM=1cm，则PN=________.5、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为6、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，则此三角形的三个角的度数分别是__________7、等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数是________.8、如图在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高，求CD的长9、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D。

第7讲 全等三角形的综合、角平分线⑴平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAABOP角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．考点1、三角形全等综合1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（）A. SASB. ASAC. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ B ）A．PO B．PQ C．MO D．MQ（1）（2）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B= ∠E,AF ⊥CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF．求证：BF=DE．3、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。

第2讲与三角形有关的角三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°。

①如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，②过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.(3)理解与延伸：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°．(4)作用：求角度，尤其是三角形中的角度计算。

【例1－1】填空：(1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝________°，∠C＝_________°.【例1－2】如图，在△ABC中，∠CAB=∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线，求∠ADC 的度数.【例1－3】如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向,C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数。

【例1－4】若等腰三角形的一内角为40°，则顶角为（ ）A. 40°B. 100°C. 70°或40°D.40°或100°直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示，在Rt △ABC 中，如果∠C ＝90°，那么∠A ＋∠B ＝90°.【例2－1】 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是 ( )． A ．43° B ．47° C ．30° D ．60°【例2－2】 如图所示，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，求证：△EPF 是直角三角形．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。

人教版八年级上册数学三角形一、三角形的基本概念。

1. 定义。

- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

- 三角形有三个顶点、三条边和三个角。

例如，在△ABC中，A、B、C是顶点，AB、BC、AC是边，∠A、∠B、∠C是角。

2. 三角形的表示方法。

- 三角形用符号“△”表示，记作△ABC，读作“三角形ABC”。

3. 三角形的分类。

- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角是直角的三角形，直角三角形可以用“Rt△”表示，如Rt△ABC，其中直角所对的边称为斜边，夹直角的两条边称为直角边。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

- 按边分类：- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都是60°。

二、三角形的三边关系。

1. 定理。

- 三角形两边的和大于第三边。

例如，在△ABC中，AB + BC>AC，AB+AC > BC，BC + AC>AB。

2. 推论。

- 三角形两边的差小于第三边。

即AC - AB < BC，AC - BC < AB，BC - AB < AC。

- 作用：判断三条线段能否组成三角形。

例如，三条线段的长分别为3cm、4cm、5cm，因为3 + 4>5，3+5>4，4 + 5>3，同时5 - 3<4，5 - 4<3，4 - 3<5，所以这三条线段能组成三角形。

三、三角形的高、中线与角平分线。

1. 三角形的高。

- 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

- 性质：- 三角形有三条高。

- 锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边是它的两条高，另一条高在三角形内部；钝角三角形的高，一条在三角形内部，另外两条在三角形外部。

人教版八年级上册 第八讲 等边三角形的性质与判定 讲义（Word 版，无答案）1 / 7第八讲 等边三角形的性质与判定一、知识精讲1.等边三角形性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°．2.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．3.在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．二、典例解析构造 30°的直角三角形【例 1】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC = 120°，AC 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 E ，交 BC 于点 F .求证：BF =2CF .【练 1】 如图，在等边△ABC 中，D 、E 分别是 BC 、AC 上的点，且 AE =CD ，AD与 BE 相交于点 F ，CF ⊥BE .求 AF ：BF 的值.人教版八年级上册 第八讲 等边三角形的性质与判定 讲义（Word 版，无答案）2 / 7【练 2】 如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，D 为三角形内一点，AB =AC =BD ，∠ABD = 30°，求证：AD =CD.120°角常补形构造等边三角形【例 2】 如图，∠BAD =120°，BD =DC ，AB +AD =AC .求证：AC 平分∠BAD .【练 3】 如图，O 是等边△ABC 内一点，已知∠AOB =115°，∠BOC =125°，求 以 OA 、OB 、OC 为边所构成三角形各内角的度数.【练 4】 如图，在四边形 ABCD 中，AD =4，BC =1，∠A =30°，∠B =90°，∠ADC =120°. 求 CD 的长.人教版八年级上册 第八讲 等边三角形的性质与判定 讲义（Word 版，无答案）3 / 7作平行线构造等边三角形【例 3】 如图，△ABC 为等边三角形，D 为 BC 上任一点，∠ADE =60°，边 DE 与∠ACB 的外角平分线相交于点 E .（1）求证：AD =DE.（2）若点 D 在 CB 的延长线上，(1)的结论是否仍然成立？若成立请给予证 明；若不成立，请说明理由.【练 5】 （1）如图，在等边△ABC 中，在 BC 边上任取一点 P ．过点 P 作 AC 的平行线，过点 C 作 AB 的平行线，两线交于点 Q ，求证：AP =BQ .（2）在上面的条件下，点 P 在 BC 边上任意运动，延长 AP 交 BQ 于 D ，请画 出图形．问 AD 与 BD +CD 之间是否存在确定关系？若存在，请指明这个关系，并 证明你的结论，若不存在，请说明理由．【练 6】如图，△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，点E坐标为(3，0)，点C(5，0).（1）如图①，求BD的长；（2）如图②，设BD交x轴于F点，求证：∠OFA=∠DFA;（3）如图③，若点P为OB上一个动点（不与 0、B重合），PM⊥OA于M，PN⊥AB于N.当P在OB上运动时，下列两个结论：①PM+PN的值不变；②PM-PN 的值不变．其中只有一个是正确的，请找出这个结论，并求出其值.共顶点的等边三角形与全等【例 4】如图，已知C点为线段AB上一点，△ACM和△BCN都为等边三角形.（1）求证：AN=BM.（2）求∠NOB的度数.4 / 7【练 7】如图，已知C点为线段AB上一点，△ACM和△BCN为等边三角形.（1）连接ED，证明△CDE是等边三角形.（2）若点P为AN的中点，点Q为BM的中点，求∠CQP的度数.三、课后练习.1.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D,求证:BC=3AD2.已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，且AB=1，BC=CD=DE=9．求这个六边形的周长.5 / 76 / 73.如图，△ABC 中，AB =7，AC =11，点 M 是 BC 中点，AD 平分∠BAC ，MF ∥AD 交AC 于 F ．求 FC 的长.4.如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在 BA 、BC 的延长线上，且 AD =BE ，求证：DC =DE .E5.如图，点 E 是等边△ABC 内一点，且 EA =EB ，△ABC 外一点 D 满足 BD =AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接 CE ）7 / 76.如图，△ABC 是边长为 1 的等边三角形，BD =CD ，∠BDC =120°，E 、F 分别在AB 、AC 上，且∠EDF =60°，求△AEF 的周长．7.如图，D 是等边△ABC 内一点，DB =DA ，BP =AB ，∠P = 30°． 求证：BD 平分∠PBC .8.如图△ABC 、△CDE 、△EHK 都是等边三角形，且 A 、D 、K 在一条直线上，AD =DK ． 求证：△HBD 也是等边三角形。

第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

人教版八年级数学上册全等三角形（篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）∥，1．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC++=____cm．∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PFPF AC【答案】4【解析】【分析】先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．【详解】∥解：∵PD AB，PE BC∴四边形HBDP是平行四边形∴PD=HB∵ABC为等边三角形,周长为12cm∴∠B=∠A=60°,AB=4∥∵PE BC∴∠AHE=∠B=60°∴∠AHE=∠A=60°∴△AHE是等边三角形∴HE=AH∵∠HFP=∠A=60°∴∠HFP=∠AHE=60°∴△AHE是等边三角形，∴FP=PH∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm故答案为4cm．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．2．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在ABC ∆中，25,105A ABC ∠=︒∠=︒，过B 作一直线交AC 于D ，若BD 把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______．（2）已知在ABC ∆中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________．【答案】130︒ 1807︒⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得：DA=DB ，结合25A ∠=︒，即可得到答案；（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD ，CD=AD ，②当AD=BD ，AC=CD ，③AB=AC ，当AD=BD=BC ，④当AD=BD ，CD=BC ，分别求出A ∠的度数，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：当DA=BA ，BD=BA 时，不符合题意，当DA=DB 时，则∠ABD=∠A=25°，∴∠BDA=180°-25°×2=130°．故答案为：130°；（2）①如图1，∵AB=AC ，当BD=AD ，CD=AD ，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②如图2，∵AB=AC ，当AD=BD ，AC=CD ，∴∠B=∠C=∠BAD ，∠CAD=∠CDA ，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B ，∴∠BAC=3∠B ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．③如图3，∵AB=AC ，当AD=BD=BC ，∴∠ABC=∠C ，∠BAC=∠ABD ，∠BDC=∠C ，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC ，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=3∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°，∴∠BAC=180 ()7︒．综上所述，∠A的最小度数为：180 ()7︒．故答案是：180 ()7︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．3．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，3，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为_____．【答案】53 【解析】试题分析：如图所示，由△ABC 是等边三角形，BC=43，得到AD=BE=3BC=6，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4．由GE 为边作等边三角形GEF ，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE 是等边三角形；S △ABC =12AC•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN =223314231442⨯-⨯-⨯⨯=53，故答案为53．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．4．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5，M ，N 分别是射线OA 和OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值为5，则∠AOB 的度数为_____．【答案】30°．【解析】【分析】如图：分别作点P 关于OB 、AO 的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB 、OA 于M 、N ，则可证明此时△PMN 周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB=12∠P'O P''=30°. 【详解】解：如图：分别作点P 关于OB 、AO 的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB 、OA 于M 、N ，由轴对称△PMN 周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN 周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB ，∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°. 故答案为30°.【点睛】 本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.5．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=︒，50DAC ∠=︒ 则EBD ∠的度数为______．【答案】10︒【解析】【分析】延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ≅，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．【详解】如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：∵D 是BC 的中点∴BD CD =又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =∴ACD FDB ≅∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠∵AC BE =， 70C ︒∠=， 50CAD ︒∠=∴BE BF =， 70DBF ︒∠=∴50BEF F ︒∠=∠=∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=故答案为：10︒【点睛】本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．6．△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为_____．【答案】117°或108°或84°．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质进行分割，写出△ABC中的最大内角的所有可能值.【详解】①∠BAD＝∠BDA＝12（180°﹣24°）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝12∠BDA＝39°，如图1所示：∴∠BAC＝78°+39°＝117°；②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°，如图2所示：∴∠DAC＝180°﹣2×48°＝84°，∴∠BAC＝24°+84°＝108°；③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°，如图3所示：∴∠BAC ＝24°+48°＝72°，∠C ＝180°﹣2×48°＝84°；∴其它分割法中，△ABC 中的最大内角度数为117°或108°或84°，故答案为：117°或108°或84°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分割找出所有情况.7．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒∠343A A B =3702︒ ……. 以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】 本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..8．如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AD 是 BC 边上的高，E 是 AD 上的一点。

第十一章三角形讲义题型一、三角形的三边关系例1、下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（）A．2 cm，2 cm，4 cm B．3 cm，4 cm，3 cmC．4 cm，4 cm，9 cm D．3 cm，4 cm，5 cm例2、若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是（）A．a＋b＋c B．－a＋3b－c C．a＋b－c D．2b－2c变式1、下列每组数据分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是( )A．2 cm,5 cm,8 cm B．13 cm,12 cm,25 cm C．3 cm,3 cm,6 cm D．13 cm,12 cm,20 cm变式2、已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a，b，c|，|b，a，c|，__________.变式3、如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是题型二、三角形的稳定性例1、下列选项中，有稳定性的图形是（）A．B．C．D．变式1、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是．题型三、三角形中的线段例1、下列叙述正确的是（）①三角形的中线、角平分线都是射线②三角形的三条高线交于一点③三角形的中线就是经过一边中点的线段④三角形的三条角平分线交于一点⑤三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形．A．④⑤B．①②④C．②④D．④例2、如图3，AD 是△ABC 的角平分线，已知△C ＝80°，△B ＝40°，则△ADC 的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°例3、如图4，已知CD 是△ABC 的中线，E 为CD 的中点，若△ABC 的面积为1，则△ACE 的面积为（ ）A．21 B ．31 C ．41 D ．51变式1、如图，在△ABC 中，∠1=∠2，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于点Ｅ，Ｆ为AB 上一点，CF AD ⊥于Ｈ．下面判断正确的有 （1）AD 是ABC ∆的角平分线 （2）BE 是ABD ∆的AD 边上的中线 （3）CH 为ACD ∆边AD 上的高线 （4）AH 是ACF ∆的角平分线和高线变式2、如图，AD 是△ABE 边BE 上的中线，AE 是△ACD 边CD 上的中线，则图中面积相等的三角形有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对变式3、如图，在△ABC 中，∠ABC =56º△∠ACB =44º△AD 是BC 边上的高，AE 是△ABC 的角平分线，求出∠DAE 的度数。

八年级数学讲义第11章三角形一、三角形的概念1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．顶点：A，B，C ．内角：∠A ，∠B ，∠C．．二、三角形的边1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.1.2 确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和.2.三角形的主要线段2.1三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三条角平分线交于三角形内部一点.2.3三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。

AC BAD三角形的三条中线交于三角形内部一点.三、三角形的角1 三角形内角和定理结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数2三角形外角和定理2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角．2.2性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补2.3外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角四、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形(2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形五多边形及其内角1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

第一讲三角形一、知识精讲三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用.本节知识包含：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算、图形的计数，基本模型的变式等.二、典型例题【例1】已知△ABC中，∠CAB＞∠CBA，CD平分∠ACB，E为直线AB上一点，过E作E D垂直于C D，垂足为D．（1）当E与A重合时，如图 1，求证：∠BED=12(∠CAB－∠CBA)（2）当E在A B延长线上时，如图 2，（1）中的结论是否仍成立，写出证明过程．【练1】如图，∠D=40°，∠C=30°，A E、B E平分∠D A C、∠C B D，求∠A E B的度数.第 1 页例2：如图已知点P为△ABC内任意一点，证明：PA+PB+PC＞12（AB+BC+AC)【练2】P是△ABC内一点，连接BP，PC延长BP交AC与点D .求证：AB+AC> PB+PC.图形归纳：【例3】如图，P A、P B分别平分△A O B的两个外角，A E⊥P B，求∠P A E.第 2 页【练3】如图x轴、y轴分别平分∠DBC、∠EAD，求∠AED+∠BCD的值.【例4】如图1，△ABC中AD、AE分别为高、角平分线，F在BC的延长线上，过F作FG⊥AE于G且交AB于H.（1）求证：∠DAE=∠F；（2）求证：2∠DAE=∠ACB－∠B；（3）△ABC中，若∠ACB为钝角，其它条件不变，如图2，请画出图形并直接写出∠DAE、∠ACB、∠B之间的数量关系.【练4】已知在平面直角坐标系中，M、N分别为x轴、y轴上的两个动点，M在原点的左侧，N在原点的上方．(1)如图1，射线MO、NO平分∠BMC、∠DNC，∠BMC 与∠DNC的各边分别交于A、B、C、D，试判断∠BAD、∠C之间有何确定的数量关系？证明你的结论.（2）如图 2，ND平分∠MNO，ND交x轴于E，∠ FEO =13∠ NEF，且∠FMO =1n∠ NMF，∠MFE= 11.25°，求n的值．【例5】已知P为第四象限一动点，Q为x轴负半轴上一动点，R在P Q下方且为y轴负半轴上一动点．（1）如图 1，若P（2，－1），Q（－3，0），R（0，－5），求S△P Q R。

八年级上册三角形专题讲义知识点1：三角形的边1. 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边，三个内角，三个顶点。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示。

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。

例1.右图中三角形的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9⒉三角形的分类：(1)按边分类：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

(2)按角分类：例1．如果三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法判断_C_B_A三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形CDABEF3.三角形三边的关系：三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。

注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边。

用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a，已知三角形两边的长度分别为a，b，则第三边c的长度范围：|a－b|＜c＜a＋b。

例1．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，4cm，2cm C．1cm，2cm，3cm D．6cm，2cm，3cm练习1．在下列长度的四根木棒中，能与3cm，7cm两根木棒围成一个三角形的是（）A．7cm B．4cm C．3cm D．10cm练习2．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是( ) A．14 B．15 C．16 D．17例2．已知三角形的三边长分别是3，8，x，若x的值为偶数，则x的值有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个练习3．三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是________练习4.等腰三角形ABC的两边长为2，4，则三角形ABC的周长是________练习5.等腰三角形ABC的两边长为3，5，则三角形ABC的周长是________练习6.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法例3.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|知识点2：三角形的高、中线与角平分线1.三角形的高：从△ABC的顶点A向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。

人教版八年级数学（上册）第一章:三角形（一）、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段;②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中,连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意:①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．(3）三角形的高线:从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线,简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线,连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有:a+b>c，b+c〉a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边,故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a—c，c〉b-a．注意:判定这三条线段能否构成一个三角形,只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三)三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1)构造平角①可过A点作MN∥BC（如图）②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2)构造邻补角，可延长任一边得邻补角(如图）构造同旁内角,过任一顶点作射线平行于对边（如图)结论2：在直角三角形中,两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中,∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）2题图D C B A E E A C B A C B A B C A BC E E 注意：①在三角形中,已知两个内角可以求出第三个内角如:在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B ）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系,求各内角．如:△ABC 中,已知∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．（五）三角形的外角1．意义:三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． 如图，∠ACD 为△ABC 的一个外角，∠BCE 也是△ABC 的一个外角， 这两个角为对顶角，大小相等． 2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

第一讲 三角形与多边形的性质（基础）考试目标解读一、三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边只差小于第三边1：三边关系的依据是：两点之间线段是短2:判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.3:三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和例题1：已知三角形的两边是5cm 与7cm ，第三边是x cm ，则x 的取值范围是 ；该三角形的周长为lcm ，则l 的取值范围是 ；例题2：已知等腰三角形的两边分别是3 cm 与7cm ，求该等腰三角形的周长；考题训练：1、下列三条线段首位顺次相接，能组成三角形的是（ ）A 、1 cm 、2cm 、3cmB 、6cm 、10cm 、3cmC 、3cm 、4cm 、5cm cm cm cmD 1,21,31、 2、已知三角形的两边是4cm 、6cm ，则第三边可以是（ ）A 、1cm ；B 、3cm ；C 、10cm ；D 、12cm3、已知三角形的两边是6、 9，则第三边x 的取值范围是 ；4、已知三角形的两边是3、5，则周长 l 的取值范围是 ；5、=--∆c b a c b a ABC ，试化简：、、的三边分别是若 ；6、=--∆2）（，试化简：、、的三边分别是若c b a c b a ABC ；二、三角形的三条重要线段：高线、中线与角平分线（阅读课本上的定义）例题1：在下图中，正确画出AC 边上高的是（ ）．A B C D例题2、如图,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且△ABC 的面积是8cm 2,则阴影部分的面积 是 cm 2三、三角形的内角1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°如图:△ABC 中：∠A+∠B+∠C=180º【证明三角形内角和定理的方法: 添加辅助线,构造平角】 三角形的内角考题（1）、在△ABC 中， ∠A=80°∠B=50 °,则∠C= °；（2）、在△ABC 中， ∠A:∠B : ∠C=1 :2 :3，则A= ，∠B= ，∠C= ；（3）、在△ABC 中，∠A-∠C=25°,∠B-∠A=10°,求三个角的度数？2、三角形的外角 （1）三角形的外角的定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.（如图） （2）三角形的外角与内角的关系： 定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和；如图：∠1= ∠A+ ∠B推论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。