光栅衍射光栅方程

λ

d
P ·
sin α E E m α
sin α I I m α
2
f
π a sin φ α λ
单缝衍射振幅曲线
相邻两缝发出的光在 P 点引起的光振动相位差为
2π δ d sin φ λ δ π d sin φ 取 β 由几何关系可得: 2 λ E φ 2 R s in β E P 2 R s in N β
(2) 主极大光强是相应位置处单缝引起光强的 52 倍。
6
2. N 缝干涉 对N 缝干涉两主极大间 有N - 1个极小， N - 2 个次极大。 衍射屏上总能量
m 1
4I 强度分布
25 I 0
I
EN
m 1
主极大的强度 I N 2 由能量守恒，主极大的
π π ( ) 最多明条纹数 2 2
B
k max
d π (sin sin ) 2
k max
d π (sin - sin ) 2
18
N k m ax k m ax 1
d cos φ1,k Δφ1,2, k kΔλ
其中 Δφ1,2,k φ2, k
kΔλ φ1,k = d cos φ1,k
...(1)
λ 波长 1 第 k 级 Δφ1,k 主极大半角宽度 Nd cos φ1,k
根据瑞利判据： 当 1, 2 , k 1, k 时刚好能分辨 由(1) 、(2) 得 讨论
N δ 2m π
2π d sin 为相邻缝光振动矢量夹角 其中 δ
N d sin m
m 1, 2 , , N 2 , N 1, N 1, N 2
9
暗纹条件 ( a b ) sin m N m 1, 2 , 3 , N 1, N 1, N 2 , 2 N 1, 2 N 1,
d (sin sin ) k a (sin sin ) k '
d k k k 1, 2 ,3 , a
20
10 5 3 7 6 4.8 10
k m ax d
o d (sin sin 3 0 ) k (2)
当 = 90o 时
k m ax 5
19
当 = -90o 时 k m ax 1
说明 (1) 斜入射级次分布不对称
13
例如：a b 4a
4a sin φ kλ
sin I p I m单
2
sin N sin
2
各级主极大光强不同， 特别是刚好遇上单缝衍射 因子零点的那几级主极大 消失了——missing order (单缝衍射) 强度分布
2. 缺级条件分析
k 0 ,1, 2 ,3 ,
— 光栅方程
多缝干涉主极大光强受单缝衍射光强调制，使得主极大光 强大小不同，在单缝衍射光强极小处的光栅主极大缺矢。
d sin k a sin k
缺级条件
sin k a k d
如
d k 1, 2 ,3 , k k a d a2 k 2, 4, 6 k 3, 6 , 9 d a3 2
例 一束波长为 480 nm 的单色平行光，照射在每毫米内有600 条刻痕的平面透射光栅上。 求 (1) 光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱？
(2) 光线以 30o入射角入射时，最多能看到第几级光谱？
解 (1) d sin k
1 1 5 d 10 m 3 600 10 6
暗纹条件 5 δ 2mπ 5 d sin m m 1, 2 , , 4 ,6 , ,9 ,11,
I/I
暗纹条件
A4
A3
A2

A5
A1

-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 k
结论
(1) 对五缝干涉，相邻两主极大间有4个极小，3个次极大。
-3级 白光的光栅光谱 3级
-2级 2. 光栅的色分辨本领
-1级
0级
1级
2级
( 将波长相差很小的两个波长 和 + 分开的能力 ) 色谱仪的色分辨率
R
16
光栅的色分辨率
设两波长 1 和 2 = 1+ 在第 k 级能被光栅分辨，则有
d sin 1, k k 1 d sin 2 , k k 2
R
N
EP
δ δ
δ
E E δ
11
sin N β E P Eφ sin β 讨论
sin α sin N β I0 Im α sin β
2
2
2

sin α 单缝衍射因子 α 主极大位置及光强
若 δ 2 β 2kπ

(1)
同时
sin N sin
N
2 kπ
2π d sin
(2)
即 d sin k (1)、 (2)联立得 k
k 0 ,1, 2 , 3
d k ' (k 取 非 零 整 数 ) a
k 4, 8, 12
出现缺级
缺级
缺级
8
3. 暗纹条件 光栅衍射中，两主极大条纹之间分布着一些暗纹，这是 缝间干涉相消而成。 设光栅总缝数为 N，各缝在观察屏上某点 P 引起的光振动矢 量为
A1 , A2 , , Ai , , A N
当这些振动矢量组成的多边形封闭时，合矢量为零，对应点 为暗纹，则 暗纹条件
o
f
ab
d sin
相邻两缝在 P 点引起的光振动相位差为
d sin δ 2π 2 kπ

主极大强度 A
5 A A
A 为主极大条件下每个单缝在
P 点引起光振动矢量的振幅
2 I A 5 2 I
5

各缝光振幅矢量: A1 , A2 , A3 ..., A5 2π d sin 相邻矢量相位差: δ
Eo
Ep
δ

sin α I p I Io α
2
2
光学仪器的分辨本领 - 圆孔的夫琅禾费衍射
衍射屏
L
0
相对光强曲线
经圆孔衍射后, 一个点光源对 应一个艾里斑

中央亮斑 (艾里斑)
孔径为D
f
瑞利判据 对于两个等光强的 非相干物点：如果一个像 斑中心恰好落在另一像斑的边缘(第一暗纹处 )，则此两像被认为是刚好能分辨。此时两像 斑中心角距离为最小分辨角
大学物理
1
单缝衍射强度 (振幅矢量法)
x
N
B
·
C
P
0
2π β a sin φ λ N
A
f
0
β 0
E o E m ax
δ
E0
N E0 Eo

Ep
E0
δ
β
E0
Eo

2

sin
2
δ

Eo β sin α E p 2 sin Eo β 2 α
Nd cos k
主极大的半角宽度与
k 越小， 越大， 这意味着主 极大的锐度越大（条纹越细）
Nd
成反比，
Nd
在给定光栅常数之后，主极大的位置就被确定 单缝衍射因子不改变主极大的位置和半角宽度
其作用仅在于影响强度在各级主极大间的分配
15
光栅光谱及分辨本领
1. 光栅光谱
(2) 斜入射时，可得到更高级次的光谱，提高分辨率。
(3) 垂直入射和斜入射相比，完整级次数不变。 上题中垂直入射级数 k 3 , 2 , 1, 0 , 1, 2 , 3 斜入射级数 k 1, 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 (4) 垂直入射和斜入射相比，缺级级次相同。
两个明纹之间有N - 1条暗纹， 相邻暗纹之间有 1 条次级明纹， 两个明纹之间共有N - 2条次级明纹。
结果：缝数 N 增大
明纹变细， 暗纹增多
暗区扩大
强调： m 的取值及与主极大级次 k 的关系
k级主极大
kN 1
k N 1 级极小
k 1 级主极大
10
4. 光栅衍射光强分布公式 单缝衍射的振幅分布 和强度分布为
...(2)
R kN
( 光栅的色分辨本领 )
增大主极大级次 k 和总缝数 N ，可提高光栅的分辨率。
17
斜入射的光栅方程
主极大条件
d (sin sin ) k
k = 0, 1, 2, 3… 缺级条件

N
A
p
a (sin sin ) k ' d (sin sin ) k
δ 0 1 .22 D
3
光栅的夫琅禾费衍射
L
P

a
透光 宽度

o
b
d ab
不透光 宽度
ab
d sin
L

d
a
I f 总强度的分布？
4
光栅衍射 - 缝间干涉
1. 五缝干涉例子

L
P