最新全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学二汇总

考研数学二考纲考研数学二是考研数学中的一门重要课程，其考纲也是考生备考的重要参考资料。

本文将以《考研数学二考纲》为标题，从考试内容、考试形式、考试难度等方面详细介绍考研数学二的考纲。

一、考试内容考研数学二主要考察以下几个方面的内容：1.高等数学高等数学是考研数学二的重点内容，包括微积分、数学分析、线性代数、概率论等方面的知识。

考生需要掌握这些知识的基本概念、定理、公式，以及其应用方法。

2.离散数学离散数学是考研数学二的另一重点内容，包括图论、组合数学、离散函数、数论等方面的知识。

考生需要掌握这些知识的基本概念、定理、公式，以及其应用方法。

3.数值分析数值分析是考研数学二的较为细节的内容，包括插值法、数值微积分、数值代数、数值解微分方程等方面的知识。

考生需要掌握这些知识的基本概念、定理、公式，以及其应用方法。

4.优化方法优化方法是考研数学二的另一较为细节的内容，包括线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划等方面的知识。

考生需要掌握这些知识的基本概念、定理、公式，以及其应用方法。

考研数学二的考试形式主要有两种，即机试和笔试。

1.机试机试是目前大多数高校采用的考试形式，其考试时间为3小时，共计120道选择题。

考生需要在规定时间内完成所有题目，并提交答案。

2.笔试笔试是一些高校采用的考试形式，其考试时间为3小时，共计10道大题。

考生需要在规定时间内完成所有大题，并提交答案。

三、考试难度考研数学二的考试难度较大，主要是因为其考察内容较为广泛、细节较多，并且需要考生具备较强的数学思维能力和解题能力。

因此，考生在备考过程中需要注重以下几点：1.建立数学知识体系考生需要建立一个完整的数学知识体系，包括高等数学、离散数学、数值分析、优化方法等方面的知识。

在学习的过程中，需要注重理解概念、掌握定理、记忆公式，并能够将所学知识应用到实际问题中。

2.提高解题能力考研数学二主要考察考生的解题能力，因此，考生需要注重练习解题。

2020年数学二考试大纲考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等数学 约78%线性代数 约22%四、试卷题型结构单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理和泰勒（Taylor ）定理，了解并会用柯西(Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数的最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(),a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数平均值．考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：()(),(,)n y f x y f x y '''== 和 (,)y f y y '''=．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．。

全国硕士研究生入学统一考试数学(二)模拟真题（江南博哥）1 [单选题]A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小正确答案：C参考解析：2 [单选题]A.x=0必是g(x)的第一类间断点B.x=0必是g(x)的第二类间断点C.x=0必是g(x)的连续点D.g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关正确答案：D参考解析：所给问题为函数g(x)在点x=0的连续性及间断点的类型判定问题．3 [单选题]于( )．A.1B.-1C.D.正确答案：C 参考解析：4 [单选题]A.B.C.D.正确答案：A 参考解析：5 [单选题]设函数f(x)可导，y=f(x3)，当自变量x在x=-1处取得增量△x=-0.1时，相应的函数增量△y的线性主部为0.3，则f'(-1)=( )．A.-1B.0.1C.1D.0.3正确答案：A参考解析：6 [单选题]用铁锤将一铁钉打击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击人木板的深度成正比．在铁锤击第一次时能把铁钉击入1 cm，如果铁锤每次打击做的功相等，则第二次能把铁钉击入______cm．A.+1．B.C.-1．D.-．正确答案：C参考解析：7 [单选题]对二元函数z=f(x，y)，下列结论正确的是( )．A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若z=f(x，y)可微，则z=f(x，y)的偏导数连续C.若z=f(x，y)偏导数连续，则z=f(x，y)一定可微D.若z=f(x，y)的偏导数不连续，则z=f(x，y)一定不可微正确答案：C参考解析：因为若函数f(x，y)一阶连续可偏导，则f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)．8 [单选题]设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，则齐次线性方程组Bx=0和ABx=0是同解方程组的一个充分条件是( )．A.r(A)=mB.r(A)=sC.r(B)=sD.r(B)=n正确答案：B参考解析：9 [单选题]A.B.C.D.正确答案：C参考解析：对于A，由|λE-A|=0可得特征值λ1=0，λ2=1，λ3=-1，故A与相似(因10 [单选题]二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2的标准形为（）．A.B.C.D.正确答案：B 参考解析：用配方法，11 [填空题]参考解析：2【解析】12 [填空题]参考解析：4-π【解析】13 [填空题]参考解析：e【解析】14 [填空题]参考解析：【解析】15 [填空题]参考解析：【解析】16 [填空题]参考解析：【解析】17 [简答题]参考解析：【证明】18 [简答题]参考解析：19 [简答题]参考解析：20 [简答题](Ⅰ)求曲线L的方程；(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围的面积最小．参考解析：(I)(Ⅱ)21 [简答题]参考解析：22 [简答题]参考解析：。

2024年全国硕士研究生（数学二）招生考试大纲主要包括以下内容：
一、数学分析：
1. 数列的极限及其性质；
2. 函数的极限与连续性；
3. 导数与微分；
4. 高阶微分方程；
5. 定积分与定积分的应用；
6. 二重积分与三重积分；
7. 曲线的切线与法线；
8. 空间曲面的方程与投影；
9. 复数与复变函数。

二、线性代数：
1.向量与空间；
2.行列式；
3.矩阵；
4.线性方程组；
5.二次型与二次齐次式；
6.特征值与特征向量；
7.线性变换；
8.内积与正交补。

三、概率论与数理统计：
1.随机事件与概率；
2.随机变量及其分布；
3.多维随机变量及其分布函数；
4.数字特征；
5.大数定律与中心极限定理；
6.抽样分布；
7.参数估计；
8.假设检验。

请注意，这只是一个大致的框架，具体的内容可能会根据每年的考试大纲有所不同，建议您查阅最新的考研数学二考试指南以获取准确的考试信息。

全国硕士研究生入学统一考试数学二考试大纲考试形式和试卷结构（一）试卷满分为150分，考试时间为180分钟.（二）内容结构高等教学约80％线性代数约20%（三）题型结构单选题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题 (包括证明题) 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3. 理解复合函数及分段函数的概念了解反函数及隐函数的概念4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6. 掌握极限的性质及四则运算法则7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10. 了解连续函数的性质和初等函数一的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试要求1. 理解导数和微分的概念,理解导数和微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5. 理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．6. 掌握用洛必达法刚求未定式极限的方法．7. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8. 会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间（a,b）内，设函数f(x)具有二阶导数。

考研数学2大纲考研数学2大纲涵盖了线性代数、概率统计、实变函数与简单的数学分析题型。

这篇文章将会全面解析各个部分的考点，并给出相应的指导意义，帮助考生备考。

首先，线性代数部分是数学2大纲的重点内容之一。

重点考察的知识包括线性方程组、矩阵、行列式、向量空间、线性变换等。

在备考过程中，考生应通过理解概念、熟悉性质和掌握解题方法来提高自己的解题能力。

建议考生多做相关的例题和习题，加深对知识点的理解，同时也能迅速熟悉考试的出题规律。

其次，概率统计是考研数学2大纲另一个不容忽视的部分。

主要考查的知识包括随机事件与概率、随机变量及其分布、独立性与相关性、参数估计与假设检验等。

对于这部分内容，考生需要掌握基本概率理论和概率分布的特性，掌握参数估计的方法和假设检验的原理。

同时，建议考生通过做大量的习题来提高解题能力，并注意总结归纳解题的方法。

最后，实变函数与简单的数学分析是考研数学2大纲的第三个部分。

主要包括实数、极限、连续、导数、微分、积分等知识点。

对于这部分内容，考生需要熟悉实数的性质和基本的极限定理，理解连续性和导数的定义及性质，掌握微分和积分的计算方法。

在备考过程中，考生应注重对基本定义和公式的记忆与理解，并能熟练运用相关的技巧解题。

总之，考研数学2大纲的内容涵盖了线性代数、概率统计、实变函数与简单的数学分析，对考生来说是一项艰巨而全面的考试任务。

通过掌握各个知识点的基本原理和解题方法，并通过大量的练习来熟悉考试出题规律，考生可以提高自己的解题能力和应试水平。

希望本文所提供的指导意义能够帮助考生在备考过程中更好地掌握数学2的知识，取得优异的考试成绩。

数学二考研大纲2021一、考试背景和目的考研是中国高校研究生招生的一种重要的选拔方法，是许多大学毕业生追求进一步学习和深造的途径之一。

数学二是考研数学科目中的一部分，旨在考察考生的数学基础知识和解题能力。

掌握数学二的知识和技巧是考生取得高分的关键。

二、考试内容概述数学二考试的内容主要包括线性代数和概率统计两个部分。

线性代数部分包括向量空间、线性变换、矩阵、特征值和特征向量等内容；概率统计部分包括概率、随机变量、概率分布、参数估计和假设检验等内容。

三、考试大纲详解1. 线性代数线性代数是数学的一个重要分支，也是许多学科的基础。

考生需要掌握以下内容：•向量和矩阵的基本概念和运算；•向量空间和子空间的性质；•线性变换的定义和性质；•矩阵的特征值和特征向量；•对角化和相似变换。

2. 概率统计概率统计是应用数学的一部分，通过概率论和统计学的方法，研究和分析随机现象的规律。

考生需要掌握以下内容：•概率与随机事件的基本概念；•随机变量和概率分布；•多维随机变量和边缘分布；•参数估计和假设检验。

四、备考建议考生在备考数学二考试时，可以参考以下建议：1.制定合理的备考计划，合理安排学习时间，并坚持执行。

2.系统学习线性代数和概率统计的基本概念和重要定理。

3.多做题，通过做题提高解题能力和应试能力。

4.注重总结，将每次做题的经验和方法总结归纳，便于复习和应用。

5.注意查漏补缺，及时发现自己的薄弱环节，并有针对性地进行学习和练习。

五、考试注意事项考生在参加数学二考试时，应注意以下事项：1.注意考试时间，并合理安排答题顺序。

2.仔细审题，理清思路，避免马虎和粗心导致的错误。

3.在解题过程中，注意逻辑性和条理性，清晰地表达自己的思想。

4.确保答案的准确性和清晰度，避免涂改过程中出现模糊、混乱或错误的情况。

六、总结数学二考研大纲2021是考生备考数学二考试的重要参考依据，内容包括线性代数和概率统计两部分。

考生需要系统学习和掌握相关知识，并通过多做题提升解题能力。

考研数学二大纲
考研数学二大纲是研究生入学考试的数学科目中的一部分。

本科毕业生可以通过参加考研数学二来提高自己的数学素质以便能够顺利进入研究生院深造。

考研数学二的大纲内容主要包括数学分析、高等代数、概率论与数理统计三个主要方向。

数学分析是考研数学二大纲中的重中之重。

数学分析是
研究数变化规律的一门学科，主要包括实数和数列的收敛性、连续性和一致连续性、函数的极限、连续性和可导性等内容。

在考研数学二的大纲中，数学分析占据了较大的比重，准备考研的同学需要全面掌握数学分析的相关知识。

高等代数也是考研数学二大纲中非常重要的一部分。

高
等代数是研究线性代数和群论的一门学科，主要包括向量空间、线性方程组、矩阵、特征值和特征向量等内容。

在考研数学二的大纲中，高等代数的内容占有一定的比重，考生需要熟悉高等代数的基本概念和定理，并能够运用这些知识解决实际问题。

概率论与数理统计是考研数学二大纲中的另一个重要部分。

概率论与数理统计是研究随机现象和统计规律的一门学科，主要包括概率论、随机变量、随机过程以及抽样与估计等内容。

在考研数学二的大纲中，概率论与数理统计的内容占有一定的比重，考生需要熟悉概率论与数理统计的基本概念和定理，并能够应用这些知识解决实际问题。

总的来说，考研数学二大纲内容较为广泛，涵盖了数学
分析、高等代数和概率论与数理统计三个主要方向。

考生在备考过程中需要全面复习相关知识，并进行题目的练习和归纳总
结，以提高自己的数学素养和解决问题的能力。

通过认真学习和准备，考生有望在考研数学二中取得优异的成绩，为自己的研究生生涯铺平道路。

考研-数学考试大纲考研数学考试大纲一、考试性质全国硕士研究生入学数学考试是为招收工学、经济学、管理学硕士研究生而实施的具有选拔功能的考试。

它的指导思想是既要有利于国家对高层次人才的选拔，也要有利于促进高等学校各类数学课程教学质量的提高。

考试对象为2001年参加全国硕士研究生入学数学考试的考生。

二、考试的基本要求要求考生比较系统的理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、考试的方法和考试时间全国硕士研究生入学数学考试为笔试，考试时间为3小时。

四、试卷分类及适用专业根据工学、经济学、管理学各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的要求不同，将数学统考试卷分为数学一、数学二、数学三、和数学四。

每种试卷按适用的招生专业如下：数学一适用的招生专业：1、工学门类的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等一级学科中所有的二级学科、专业。

2、工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科、专业。

3、管理学门类中的管理科学与工程一级学科。

数学二适用的招生专业：1、工学门类的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。

2、工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较低的二级学科、专业。

数学三适用的招生专业：1、经济学门类的应用经济学一级学科中统计学、数量经济学二级学科、专业。

数学2考研大纲
数学2是考研数学的一部分，它主要包括线性代数和概率论两个内容。

以下是数学2考研的大纲概述：
1. 线性代数：
- 矩阵与行列式：矩阵运算、逆矩阵、特征值和特征向量、对角化与相似矩阵、矩阵的分块等。

- 线性方程组：线性方程组的解集、线性方程组的性质、向量空间、线性相关性等。

- 向量空间：子空间、基与维数、坐标与过渡矩阵、线性变换与矩阵表示等。

- 线性算子：线性算子的定义、线性算子的矩阵表示、线性算子的特征值与特征向量等。

2. 概率论：
- 随机事件与概率：随机试验、样本空间、事件及其概率、事件的运算等。

- 随机变量与分布：随机变量的概念、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的分布函数等。

- 数理统计：抽样分布、参数估计、假设检验等。

- 大数定律与中心极限定理：大数定律、切比雪夫不等式、中心极限定理等。

以上只是数学2考研大纲的一个概述，具体的内容和要求还需要参考教材和考研辅导资料。

在备考过程中，建议结合真
题进行练习和复习，同时注意理解概念、掌握基本方法和技巧，加强数学推理和问题解决能力的培养。

2023 考研数学二真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．曲线1ln e 1y x x=+ −的斜渐近线方程为（ ）. （A ）ey x =+（B ）1ey x =+（C ）yx = （D ）1ey x =−【答案】（B ）【解析】方法1. 1ln e 11limlim x x y k x x →∞→∞=+==− ()()11lim lim ln e 1lim ln e ln 111e 1x x x b y x x x x x →∞→∞→∞=−=+−=++− −−()11lim e 1ex xx →∞=−故曲线的斜渐近线方程为1ey x =+．故选（B ） 方法2. ()()11ln e 11ln 1e 1e 1y x x x x=+=++−−()11ln 1e 1e x x x x α =++=++ −，其中lim 0x α→∞=，故1e y x =+为曲线的斜渐近线. 【评注】由()11lim ln 1e 1e x x x →∞+= − ，知()11ln 1e 1ex x α +=+ − 【评注】1.由()11lim ln 1e 1e x x x →∞ += − ，知()11ln 1e 1e x x α +=+ −2.本题属于常规题：《基础班》《强化班》的例子不再对应列举，《答题模版班》思维定势19【例13】2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A) ), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤= +−>(C) ), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤= ++>【答案】 (D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C ==++∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫ 由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续 因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln ,1.x x f x x x −< = ≥ 则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<=−≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= +−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3.设数列{}{},n n x y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====()1,2,n = ，则当n →∞时（ ） （A ）n x 是n y 的高阶无穷小（B ）n y 是n x 的高阶无穷小（C ）n x 是n y 的等阶无穷小 （D ）n x 是n y 的同阶但不等价无穷小 【答案】（B ）【解析】由2111,,2n n y y y +==知2112nn y + =，则有112n n y y +< 利用12sin n n n x x x π+=>，则1112n nx x π+<故21111111224444n n nn nn n n n n y y y y y x x x x x πππππ+−+− ≤=≤≤≤= 于是1110lim lim 04nn n n n y x +→∞→∞+ ≤≤= ，由夹逼准则lim 0nn ny x →∞=，选（B ） 【评注】本题属于今年难度较大的题，涉及到两个递推数列确定的无穷小的比较，涉及到不等式的放缩，有一定的综合性.4．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A ）00a b <>， （B ）00a b >>， （C ）00a b =>， （D ）00a b =<， 【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin ax y x c x c x ββ−=+．只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.5.设()y f x =由2,sin ,x t t y t t =+=确定，则（ ） （A ）()f x 连续，(0)f ′不存在 （B ）(0)f ′存在，()f x ′在0x =不连续 （C ）()f x ′连续，(0)f ′′不存在 （D ）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =不连续 【答案】（C ） 【解析】0t ≥时3,sin ,x t y t t == ，即有sin 33x xy =.0t <时,sin ,x t y t t = =−，即有sin y x x =−.sin ,033sin ,0x x x y x x x ≥= −< ,显然有()f x 在0x =不连续，且(0)0f = 0x >时，sin cos 33(3)9x x x xf x =+′；0x <时，sin ()cos x f x x x ′=−−， 利用导数定义可得()0sin 0330lim 0x x xf x ++→−′==，()0sin 0lim 0x x x f x+−→−′==，即得(0)0f ′= 易验证()0lim ()lim ()00x x f x f x f +−→→′′===，即()f x ′在0x =连续()01sin cos 233930lim 9x x x xf x ++→+′′=，()0sin cos 0lim 2x x x x f x+−→−−′′==−，故(0)f ′′不存在 ，选（C ） 【评注】此题考查参数方程确定的分段函数，只要在参数方程中去掉绝对值的过程，就成了我们常规的分段函数求导的问题，无论是《基础班》第二讲例24，《强化班》第二讲例17. 6.若函数()()121d ln f x x x αα+∞+=∫在0αα=处取得最小值，则0α=（ ）（A ）()1ln ln 2−（B ）()ln ln 2−（C ）1ln 2−（D ）ln 2【答案】（A ）【解析】反常积分的判别规律知11α+>，即0α>时反常积分()121d ln x x x α+∞+∫收敛此时()()()212111d ln ln f x x x x αααα+∞+∞+==−∫()11ln 2αα=令()()()2111ln ln 2ln 2ln 2f ααααα′=−−()2111ln ln 20ln 2ααα =−+= 得唯一驻点()1ln ln 2α=−，故选（A ）【评注】此题是属于由反常积分确定的函数求最值的问题，积分本身不难，积分结果再求导，找驻点得结果.难度不大，只要基本计算能力过关，可轻松应对.《基础班》《强化班》相应问题得组合而已. 7.设函数()()2e xf x xa =+，若()f x 没有极值点，但曲线()f x 有拐点，则a 的取值范围是（ ）（A ）[)0,1（B ）[)1,+∞ （C ）[)1,2 （D ）[)2,+∞【答案】（C ）【解析】()()2e xf x xa =+，()()22e x f x xa x ′=++，()()242e x f x xa x ′′=+++由()()211e x f x x a ′=++−，知10a −≥时，()0f x ′≥，此时()f x 无极值点.由()()222e x f x x a ′′=++−，知20a −<时，()f x ′′在2x =±的左右两侧变号，依题意有[)1,2a ∈，选（C ）【评注】本题考查了极值点、拐点的必要条件与判定，题目本身是常规的，分开对这两个考点出题，在《基础班》和《强化班》都讲过，但这种问法有些学生可能会觉得很别扭.8．设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（ ） （A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B O B A（C ）****−B A B A O A B （D ）**** −B A A B O A B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− − ==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B ，选（D ） 【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B9.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）. （A ）2212y y +（B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ） 【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143=− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+− ()22231237222x x x x x + =+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−，故选（B ）【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型 123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )． (A)21y (B)2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++10．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（ ）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ） 【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可 即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β = − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出， 又可21,ββ线性表出的向量。

全国硕士研究生入学统一考试数学二考试大纲一、考试目标全国硕士研究生入学统一考试数学二科的考试目标主要有以下几点：1. 考察考生的数学基本知识和基本技能。

2. 考察考生的数学分析和解决实际问题的能力。

3. 考察考生的数学建模和探索新问题的能力。

4. 考察考生的数学应用和综合运用数学知识解决实际问题的能力。

5. 考察考生的数学思维逻辑和问题解决能力。

二、考试内容数学二科的考试内容主要包括以下几个方面：1. 微积分考察微分学和积分学的基本概念、基本原理和基本方法。

包括函数的极限与连续性、导数与微分、微分中值定理、不定积分、定积分、积分中值定理等内容。

2. 线性代数考察线性代数的基本概念、基本原理和基本方法。

包括向量的基本运算、矩阵的基本运算、线性方程组的解法、特征值和特征向量等内容。

3. 概率论与数理统计考察概率论和数理统计的基本概念、基本原理和基本方法。

包括随机事件和概率、随机变量和概率分布、数理统计的基本思想与方法等内容。

4. 离散数学考察离散数学的基本概念、基本原理和基本方法。

包括集合论、图论、组合数学等内容。

5. 数学建模考察数学建模的基本概念、基本原理和基本方法。

包括数学模型的建立、求解与分析等内容。

三、考试形式数学二科的考试形式主要包括两个部分：1. 选择题选择题占考试总分的50%。

选择题主要考察考生的基本知识和基本技能，要求考生能准确快速地解答问题。

2. 解答题解答题占考试总分的50%。

解答题主要考察考生的解决实际问题的能力和综合运用数学知识的能力，要求考生能独立地分析问题、建立模型、进行推理和计算，并给出合理的结论。

四、考试评分数学二科的考试评分主要根据考生的答题情况来确定。

评分标准主要包括以下几个方面：1. 答案的准确性考生的答案是否准确无误是评分的基本要求，答案错误的不得分。

2. 解答步骤的完整性考生的解答步骤是否完整清晰也是评分的重要因素，要求考生能清楚地展示出解题过程。

3. 解答方法的合理性考生的解答方法是否合理，是否能达到解决实际问题的目的也是评分的一项关键指标。

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题（数学二）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的斜渐近线方程是()(A)y x e =+(B)1y x e =+(C)yx=(D)1y x e=-(2)函数0()(1)cos ,0x f x x x x≤=+>⎩的原函数为()(A))ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧-≤⎪=⎨⎪+->⎩(B))ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩(C))ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩(D))ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩(3)设数列{}n x ,{}n y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时()(A)n x 是n y 的高阶无穷小(B)n y 是n x 的高阶无穷小(C)n x 是n y 的等价无穷小(D)n x 是n y 的同阶但非等价无穷小(4)已知微分方程0y ay by '''++=的解在(,)-∞+∞上有界，则,a b 的取值范围为()(A)0,0a b <>(B)0,0a b >>(C)0,0a b =>(D)0,0a b =<(5)设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则()(A)()f x 连续，'(0)f 不存在(B)'(0)f 不存在，()f x 在0x =处不连续(C)'()f x 连续，(0)f "不存在(D)(0)f "存在，()f x "在0x =处不连续(6)若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α()(A)1ln(ln 2)-(B)ln(ln 2)-(C)1ln 2-(D)ln 2(7)设函数2()()xf x x a e =+，若()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则a 的取值范围是()(A)[)0,1(B)[)1,+∞(C)[)1,2(D)[)2,+∞(8)设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭()(A)*****0A B B A A B ⎛⎫-⎪⎝⎭(B)****0A B A B B A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(C)****0B A B A A B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(D)****0B A A B A B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(9)二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为()(A)2212y y +(B)2212y y -(C)2221234y y y +-(D)222123y y y +-(10)已知向量12121221=2=1=5=03191ααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，若γ既可由12αα，线性表示，也可由12ββ，线性表示，则γ=()(A)33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(B)35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(C)11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(D)15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)当0x →时，函数2()ln(1)=+++f x ax bx x 与2()cos x g x ex =-是等价无穷小，则ab =_______.(12)曲线y =⎰的弧长为________.(13)设函数(,)=z z x y 由2ze xz x y +=-确定，则22(1,1)zx ∂=∂________.(14)曲线35332=+x y y 在1x =对应点处的法线斜率为________.(15)设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +-=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰________.(16)已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其,a b 为常数，若0111412a a a=则，11120a a ab =________.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设曲线L ：()()y x x e y =>经过点2(,0)e ，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x .(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.(18)(本题满分12分)求函数2cos (,)2yx f x y xe=+的极值.(19)(本题满分12分)已知平面区域(,)01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭，(Ⅰ)求D 的面积.(Ⅱ)求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.(20)(本题满分12分)设平面有界区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线y =，0y =围成，计算2213Ddxdy x y +⎰⎰.(21)(本题满分12分)设函数()f x 在[],a a -上具有2阶连续导数，证明：(Ⅰ)若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈-，使得[]21()()()ξ''=+-f f a f a a .(Ⅱ)若()f x 在(,)a a -内取得极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a aη''≥--.(22)(本题满分12分)设矩阵A 满足：对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1-=ΛP AP .2023年答案及解析（数学二）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)【答案】(B)【解析】1ln()11limlim limln()11→∞→∞→∞+-===+=-x x x x e yx k e x x x 11lim()lim[ln()]lim [ln()1]11→∞→∞→∞=-=+-=+---x x x b y kx x e x x e x x 11lim ln[1lim .(1)(1)→∞→∞=+==--x x x x e x e x e所以斜渐近线方程为1.=+y x e(2)【答案】(D)【解析】当0≤x 时，1()ln(==++⎰f x dx x C当0>x时，()(1)cos(1)sin(1)sin sin=+=+=+-⎰⎰⎰⎰f x dx x xdx x d x x x xdx2(1)sin cos=+++x x x C原函数在(,)-∞+∞内连续，则在0=x处11lim ln(-→+=xx C C，22lim(1)sin cos1+→+++=+xx x x C C所以121=+C C，令2=C C，则11=+C C，故ln(1,0()(1)sin cos,0⎧⎪++≤=⎨+++>⎪⎩⎰x C xf x dxx x x C x，结合选项，令=C，则()f x的一个原函数为)1,0().(1)sin cos,0⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩x xF xx x x x(3)【答案】(B)【解析】在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，2sinx xπ<故12sinn n nx x xπ+=>112n ny y+<1111122444n nn n nn n ny y y yx x x xππππ++⎛⎫⎛⎫⇒<⋅=⋅===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Llim0nnnyx→∞⇒=.故n y是n x的高阶无穷小.(4)【答案】(C)【解析】微分方程0'''++=y ay by的特征方程为20++=a bλλ，当240∆=->a b时，特征方程有两个不同的实根12,λλ，则12,λλ至少有一个不等于零，若12,C C都不为零，则微分方程的解1212--=+x xy C e C eλλ在(,)-∞+∞无界；当240∆=-=a b时，特征方程有两个相同的实根，1,22=-aλ，若20≠C ，则微分方程的解2212--=+a x a x y C eC xe 在(,)-∞+∞无界；当240∆=-<a b 时，特征方程的根为1,222=-±a b a i λ，则通解为212(cos sin )22-=+ax y eC x C x ，此时，要使微分方程的解在(,)-∞+∞有界，则0=a ，再由240∆=-<a b ，知0.>b (5)【答案】(C)【解析】1)当0t >时，3sin cos ,sin 3x t dy t t ty t t dx =⎧+=⎨=⎩；当0t <时，sin cos ,sin 1x t dy t t ty t t dx =⎧--=⎨=-⎩；当0t =时，因为()()()000sin '0lim lim 03x t f x f t tf x t+++→→-===；()()()000sin '0lim lim 0x t f x f t tf x t---→→--===所以()'00f =.2)()()()()000sin cos sin cos lim 'lim 0'0;lim 'lim 0'0;33x t x t t t t t t t f x f f x f ++--→→→→+--======所以()()0lim ''00x f x f →==，即()'f x 在0x =连续.3)当0t =时，因为()()()00''0sin cos 2''0lim lim 339x t f x f t t t f x t +++→→-+===⋅；()()()00''0sin cos ''0lim lim 2x t f x f t t tf x t---→→---===-所以()''0f 不存在.(6)【答案】(A)【解析】当0α>时()()()12211111()ln ln ln 2f dx x x x αααααα+∞+∞+==-⋅=⋅⎰所以()()()211ln ln 21111'()ln ln 20ln 2ln 2ln 2f αααααααα⎛⎫=-⋅-⋅=-⋅+= ⎪⎝⎭，即01ln ln 2α=-.(7)【答案】(C)【解析】()()()222(),'()2'()42xxxf x x a e f x x a x e f x x x a e =+=++=+++，，由于()f x 无极值点，所以440a -≤，即1a ≥；由于()f x 有拐点，所以()16420a -+>，即2a <；综上所述[)1,2a ∈.(8)【答案】(D)【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(D)计算知*********A EB A A B B AA AA B A B O B OA B O A BB ⎛⎫⎛⎫--+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭**2⎛⎫⎛⎫-+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n B A EOB A E A B A B A B E OA B E O A B E ，故(D)正确.(9)【答案】(B)【解析】由已知()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =--+++，则其对应的矩阵211134143A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭由()()211134730143E A λλλλλλλ----=-+-=+-=--+,得A 的特征值为3,7,0-故选(B).(10)【答案】(D)【解析】设11221122r x x y y ααββ=+=+则112211220x x y y ααββ+--=又()121212211003,,,2150010131910011ααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故()()1212,,,3,1,1,1,TTx x y y c c R=--∈所以()()()121,5,81,5,81,5,8,TTTr c c c c k k R ββ=-+=---=-=∈.二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)【答案】2-【解析】由2200()ln(1)lim lim ()cos x x x f x ax bx x g x e x →→+++=-22222221()211()1()2ax bx x x x x x x x οοο++-+=⎡⎤++--+⎢⎥⎣⎦1=可得10a +=，1322b -=，即1,2a b =-=,2ab =-.(12)43π【解析】y '=由弧长公式可得l ==2sin x t =23024cos tdtπ⎰30441cos 23ππ=+=⎰tdt .(13)【答案】23-【解析】两边同时对x 求导得：02e z-=∂∂⋅++∂∂⋅xzx z x z ①两边再同时对x 求导得：2222e e 0zz z z z z z z x x x x x x x∂∂∂∂∂∂⋅⋅+⋅+++⋅=∂∂∂∂∂∂②将1,1x y ==代入原方程得10ze z z +=⇒=，代入①式得1200=∂∂⇒=∂∂++∂∂⋅xz x z x z e .代入②式得2301112222220-=∂∂⇒=∂∂+++∂∂⋅+⋅x z x z x z e e .(14)【答案】119-【解析】两边对x 求导：242956''=⋅+⋅x y y y y ①当1=x 时，代入原方程得12335=⇒+=y y y 将1,1==x y 代入①式得(1,1)995y 6y y |11'''=+⇒=,所以曲线在1=x 处的法线斜率为119-.(15)【答案】21【解析】⎰⎰⎰+=312132)()()(dxx f dx x f dx x f ⎰⎰++=211)2()(dxx f dx x f⎰⎰++=211])([)(dxx x f dx x f ⎰⎰⎰++=21101)()(xdxdx x f dx x f ⎰⎰+=201)(xdxdx x f 210+=21=(16)【答案】8【解析】由已知()(),34r A r A b =≤<，故,0A b =即()()1444011110111110,1112211112240120012002a a a a a Ab a a a a a baa ba b++==⋅-+⋅-=-+⋅=故111280a a a b=.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)【解析】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为Y y xy '=-，则x y xy '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2()0y e =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32x e =.当32e x e <<时，()0S x '<；当32x e >时，()0S x '>，故()S x 在32x e =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332()S e e =.(18)【解析】cos cos 0(sin )0y x yy f e x f xe y '⎧=+=⎪⎨'=-=⎪⎩，得驻点为：1(,)e k π--，其中k 为奇数；(,)e k π-，其中k 为偶数.则cos cos 2cos 1(sin )sin (cos )xxy xyy y yy f f e y f xe y xe y ''⎧=⎪''=-⎨⎪''=+-⎩代入1(,)e k π--，其中k 为奇数，得210xxxyyyA fB fC f e -''⎧==⎪''==⎨⎪''==-⎩，20AC B -<，故1(,)e k π--不是极值点；代入(,)e k π-，其中k 为偶数，得210xxxyyy A f B f C f e ''⎧==⎪''==⎨⎪''==⎩，20AC B ->且0A >，故(,)e k π-是极小值点，2(,)2e f e k π-=-为极小值.(19)【解析】(Ⅰ)由题设条件可知：+++2111=1)(1)2tt S dt t t ∞∞∞===+-⎰⎰；(Ⅱ)旋转体体积22222111111(1(1)(1)4πππππ+∞+∞+∞⎡⎤====-⎢⎥++⎣⎦⎰⎰⎰V y dx dx dx x x x x .(20)【解析】本题目采用极坐标进行计算2ln 383tan arctan 312ln 21tan )ta 3(12ln cos )ta 3(12ln 212ln )sin cos 3(1ln )sin cos 3(11)sin cos 3(1)sin cos 3(131303023022302230cos sin 12cos sin 1122cos sin 12cos sin 112230cos sin 12cos sin 112223022πθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθσπππππθθθθθθθθπθθθθπ=⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------d n d n d d r d r d rd r d d y x D(21)【解析】(Ⅰ)证明:22()()()(0)(0)(0),02!2!f f f x f f x x f x x x ηηη''''''=++=+介于与之间，则211()()(0),02!f f a f a a a ηη'''=+<<①()222()()(0),02!f f a f a a a ηη'''-=-+-<<②①+②得：[]212()()()()2a f a f a f f ηη''''+-=+③又()f x ''在[]21,ηη上连续，则必有最大值M 与最小值m ，即()()12;;m f M m f M ηη''''≤≤≤≤从而()()12;2f f m M ηη''''+≤≤由介值定理得：存在[]()21,,ξηη∈⊂-a a ，有()()()122f f f ηηξ''''+''=，代入③得：()()22()()()(),f a f a f a f a a f f a ξξ+-''''+-==即(Ⅱ)证明：设()0(),f x x x a a =∈-在取极值，且0()f x x x =在可导，则0()0f x '=.又()()()22000000()()()()()(),02!2!f f f x f x f x x x x x f x x x x γγγ'''''=+-+-=+-介于与之间，则()21001()()(),02!f f a f x a x a γγ''-=+---<<()22002()()(),02!f f a f x a x a γγ''=+-<<从而()()()()22020111()()22f a f a a x f a x f γγ''''--=--+()()()()2202011122a x f a x f γγ''''≤-++又()f x ''连续，设(){}()12max,M f f γγ''''=，则()()()222200011()()22f a f a M a x M a x M a x --≤++-=+又()0,x a a ∈-，则()2220()()2f a f a M a x Ma --≤+≤，则21()()2M f a f a a ≥--，即存在()12,a a ηγηγ==∈-或，有()21()()2f f a f a aη''≥--(22)【解析】(I)因为112312123232331112211011x x x x x A x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的1x ，2x ，3x 均成立，所以111211011A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(II)1111111211(1)21111011E A λλλλλλλλ---+----=-+-=-⋅+⋅-+-+-+2(1)(2)2(2)(2)(2)(1)0λλλλλλλ=-+-+=+-+=.所以A 的特征值为1232,2,1λλλ=-==-.12λ=-时，1311100211011011000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，可得特征向量1(0,1,1)T α=-；22λ=时，2111104231013013000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量2(4,3,1)T α=；31λ=-时，3211201201010010000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量3(1,0,2)T α=-；令123041(,,)130112P ααα⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1200020001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.。