江苏省江都区高三数学12月自主学习诊断试题(无答案) 苏教版

f (x) 2cos( 2 x )
【题文】 2.函数
4 的最小正周期为 _________.
【知识点】三角函数的周期 .C3
【答案】【解析】
2p 2p
T = = =p
解析： 由正余弦函数的周期公式
|w | | - 2 | ，故答案为 。
【思路点拨】直接利用函数周期公式即可。
1 ai
(a R)
【题文】 3.复数 z 1 i ，且 z
AC =
=
BC = AC
sin A
2 ，∴由正弦定理 sin A sin B 得：
2
1 ′
2 =1
2
2
．
故答案为： 1 【思路点拨】由 A 与 C的度数，利用三角形内角和定理求出 的长，利用正弦定理即可求出 AC的长．
B 的度数，再由 sinA， sinB 及 BC
【题文】 6.“ M N ”是“ log 2 M log 2 N ”成立的 ________条件 .(填“充分不必要” “必
推出前者，得到结论．
【题文】 7.若 Sn 为等差数列 { an } 的前 n 项和 , S9
36, S13
104, 则 a5 与 a7 的等比中项为
_______. 【知识点】等比数列的性质；等差数列的前
n 项和． D2 D3
【答案】【解析】 4 2 解析：∵ Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和 , S9 36, S13 104,
是纯虚数，则实数 a 的值为 _________.
【知识点】复数的概念及运算 .L4
【答案】【解析】 1
1- ai 1 - ai 1- a 1 +a
=
=
-
i

江苏省扬州市江都高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数（A）在上递增（B）在上递增，在上递减（C）在上递减（D）在上递减，在上递增参考答案：2. 已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣1008 B．﹣1008i C．1008 D．2016参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1008﹣1008i的虚部是﹣1008．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 如图，平面内的两个单位向量，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为，且||=，若，则值为（）A．2 B．4 C．D．参考答案：B4. 曲线y＝在点（2,4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为A、1B、2C、D、参考答案：D5. 若关于x的方程2x3﹣3x2+a=0在区间[﹣2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣4，0]∪[1，28）B．[﹣4，28] C．[﹣4，0）∪（1，28] D．（﹣4，28）参考答案：C【考点】二分法的定义．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用导数求得函数的增区间为[﹣2 0）、（1，2]，减区间为（0，1），根据f（x）在区间[﹣2，2]上仅有一个零点可得f（0）≠0，故①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：设f（x）=2x3﹣3x2+a，则f′（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），x∈[﹣2，2]，令f′（x）≥0，求得﹣2≤x≤0，1≤x≤2 令f′（x）＜0，求得 0＜x＜1，故函数的增区间为[﹣2 0）、（1，2]，减区间为（0，1），根据f（x）在区间[﹣2，2]上仅有一个零点，f（﹣2）=a﹣28，f（0）=a，f（1）=a﹣1，f（2）=a+4，若f（0）=a=0，则f（x）=x2（2x﹣3），显然不满足条件，故f（0）≠0．∴①，或②．解①求得1＜a≤28，解②求得﹣4≤a＜0，故选：C．【点评】本题主要考查方程的根与函数的零点间的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．6. 已知实数x，y满足，则|3x+y|的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解表达式的最大值即可．【解答】解：实数x，y满足的可行域如图：则|3x+y|的最大值就是平移图中的两条虚线，可知B是最优解，由：，解得B（2，1），则|3x+y|的最大值为：3×2+1=7．故选：C．7. 已知x=log23﹣log2，y=log0.5π，z=0.9﹣1.1，则( )A．x＜y＜z B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．y＜x＜z参考答案：D【考点】对数的运算性质；对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数函数和指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵y=log0.5π＜log0.51=0，0＜=＜1，z=0.9﹣1.1＞0.90=1．∴y＜x＜z．故选：D．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，属于基础题．8. 设均为正实数，且，则的最小值为▲．参考答案：16略9. 在区间[-3，3]上任取两数x，y，使成立的概率为A．B．C ．D．参考答案：A10. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（A）（ B）（C）（D）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出下面四个函数：①y=cos|2x|；②y=|sin x|；③y=cos(2x+)；④y=tan(2x－)．其中最小正周期为π的有（）A．①②③B．②③④C．②③D．①④参考答案：A【分析】利用三角函数的周期性求得每个函数的周期，从而得出结论．【解答】解：由于：①y=cos|2x|的最小正周期为=π；②y=|sinx|的最小正周期为=π；③的最小正周期为=π；④的最小正周期为，故选：A．12. 如图，在Rt△ABC中，AC⊥B C，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．参考答案：5考点：解三角形．【名师点睛】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．13. 下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是.（将你认为正确的都填上）参考答案：略14.复数________.参考答案：-1【答案】15.参考答案：i16. 执行如图的程序框图，如果输入的x，y，N的值分别为1，2，3，则输出的S=（）A．27 B．81 C．99 D．577参考答案：略17. 从抛物线的准线上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为,则P点的横坐标为_.参考答案：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，-1），则,又，∴,∴由，得，∴∴切线PA的方程为y﹣y1=（x﹣x1），切线PB的方程为y﹣y2=（x﹣x2），即切线PA的方程为y﹣=（x﹣x1），即切线PB的方程为y﹣=（x﹣x2），即，，，.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省扬州中学2021届上学期高三年级12月月考数学试卷一、单选题（每小题5分，计40分）1已知集合{}2230A x x x =-++≥，{}20B x x =-<，则A B =（ ）A ．[]3,2-B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-2已知直线l 经过点(0,4)A ，且与直线230x y --=垂直，则l 的方程是（ ） A ．280x y +-= B ．280x y ++= C ．240x y +-=D ．240x y -+=3欧拉公式i e cos isin ()x x x x =+∈R 是由瑞士数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”。

特别是当x π=时，得到一个令人着迷的优美恒等式i e 10π+=，这个恒等式将数学中五个重要的数联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”。

根据欧拉公式，若复数z =3i 4e π的共轭复数为z ，则z =（ ）A ．B ．C D 4设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45 B ．50 C ．60 D ．805已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．2()x f x =B ．()2xx x f =⋅C ．()1()x f x x =-D ．212()x f x x -=⋅6幂函数2()(22)a f x a a x =--⋅在()0,+∞上单调递增，则函数()()11x ag x b b +=+>过定点（ ）A ．()1,1B ．()1,2C ．()3,1-D ．()3,2-7已知3π2πcos 263m αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3π2πcos 263m ββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则()cos αβ+=（ ）A ．BC ．12-D ．128若ABC ∆的外接圆半径为2，且2AB =，则AB AC ⋅的取值范围是（ ） A ．[]2,6-B ．[]2,6C ．[]2,2-D ．[]2,4二、多选题（每小题5分，计20分，多选得0分，少选得3分）9已知函数cos in ()f x x x =-，()()x x g f '=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 的图象关于点(,0)6π对称 B ．()g x 的图象的一条对称轴是6x π=C ．()g x 在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减D ．()g x 在(,)33ππ-值域为(0,1) 10已知0a >，0b >，且141a b+=，则下列结论正确的是（ ） A ．1a >B ．ab 的最小值为16C ．a b +的最小值为8D ．191a b+-的最小值为2 11数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”。

江苏省G4（苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学）2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知复数z 满足()12i z i -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．2C ．1D ．42．若集合{}2370,A x x x x Z =+≤∈，且B A ⊆，则满足条件的集合B 的个数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．若{}n a 为等比数列，则“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+（s ，t ，p ，*N q ∈）”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．若()*12nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．12C ．24D ．485．已知平面向量a ，b 满足2a =，2b =，a 与b 的夹角为45°，()b a a λ-⊥，则实数λ的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．已知cos()sin()6παπα-+-=cos()3πα-的值（ ）A ．B ．15-C ．15D 7．已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A．B ．C ．5+D ．3+8．若不等式()()2e 2ln 12xa x a x ->-+++对()0,x ∈+∞恒成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞二、多选题9．已知定义在R 上的函数()4,Z4,Z x f x x -∈⎧=⎨∉⎩，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．对任意R x ∈，()()4f f x =-D ．()f x 的图象关于直线12x =对称10．已知函数()sin 2f x x x =，则下列说法正确的有（ ） A ．点,03π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心B ．对任意x ∈R ，函数()f x 满足66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．函数()f x 在区间()0,π上有且仅有1个零点D ．存在512πθ>-，使得()f x 在()5,Z 12k k k πππθ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上单调递增 11．已知两个变量y 与x 线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次实验．实验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的线性回归方程为3 4.5y x =+，且4x =，又增加了2次实验，得到2个数据点()2,11，()6,22，根据这10个数据点重新求得线性回归方程为y mx n =+（其中m ，R n ∈），则（ ） A ．变量y 与x 正相关 B ．3m <C ． 4.5n <D ．回归直线y mx n =+经过点()4,16.512．已知实数a ，b 满足等式()2e e 22a bb a -=-，则下列不等式中可能成立的有（ ） A ．0a b << B ．0b a << C ．0a b << D ．0b a <<三、填空题13．双曲线22194x y -=的焦点到渐近线的距离为_____________．14．若数列{}n a 满足12a =，23a =，()*21n n n a a a n +++=∈N ，则2021a 的值为__________．15．在如图所示的四边形区域ABCD 中，1AB BC ==，2CD =，120B C ∠=∠=︒，现园林绿化师计划在区域外以AD 为边增加景观区域ADM ，当135AMD ∠=︒时，景观区域ADM 面积的最大值为__________．四、双空题16．已知在四棱锥S -ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是等腰梯形，//BC AD ，若8SD AD ==，6BC =，AB CD ==S -ABCD 的体积为__________；它的外接球的半径为__________五、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足()12n n n s s a n N *+=++∈，()54623s a a =+．(1)求数列的通{}n a 项公式：(2)若12na n nb a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．(1)求证：1BD ∥平面EAC ；(2)求直线1AB 与平面EAC 所成角的正弦值．19．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos sin B A C >． (1)求证：B 为钝角；(2)若△ABC 同时满足下列4个条件中的3个：△cos A △sin C =△2a =；△c =△ABC 存在的这3个条件仅有一组，写出这组条件并求b 的值． 20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点()2,3．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为1k ，2k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 21．AMC 是美国数学竞赛（American Mathematics Competitions ）的简称，其中AMC10是面向世界范围内10年级（相当于高一年级）及以下的学生的数学竞赛，AMC10试卷由25道选择题构成，每道选择题均有5个选项，只有1个是正确的，试卷满分150分，每道题答对得6分，未作答得1.5分，答错得0分．考生甲、乙都已答对前20道题，对后5道题（依次记为1T ，2T ，3T ，4T ，5T ）均没有把握确定正确选项．两人在这5道题中选择若干道作答，作答时，若能排除某些错误选项，则在剩余的选项中随机地选择1个，否则就在5个选项中随机地选择1个．(1)已知甲只能排除1T ，2T ，3T 中每道题的1个错误选项，若甲决定作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，求甲的总分不低于135的概率；(2)已知乙能排除1T ，2T ，3T 中每道题的2个错误选项，但无法排除剩余2道题中的任一错误选项．△问乙采用怎样的作答策略（即依次确定后5道题是否作答）可使其总分的数学期望最大，并说明理由；△在△的作答策略下，求乙的总分的概率分布列．22．已知函数()cos xf x e ax x =--，()()g x f x x =-，a R ∈．(1)若()f x 在[)0,∞+上单调递增，求a 的最大值；(2)当a 取（1）中所求的最大值时，讨论()g x 在R 上的零点个数，并证明()g x >参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得复数1z i =-+，再根据复数的模长公式可得结果. 【详解】由()12i z i -=得2i2i(1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以|||1|z i =-+= 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合A ，并列举出A 中元素，再由包含关系求集合B 的个数. 【详解】由题设，{}70,2,1,03A x x x Z ⎧⎫=-≤≤∈=--⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，所以集合B 有328=个. 故选：D ． 3．C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，分别从充分性、必要性两方面判断题设条件间的推出关系，进而确定它们充分、必要关系. 【详解】充分性：若s t p q a a a a =，当1q =时，21s t a a a =，21p q a a a =，此时s t +与p q +不一定相等，不充分．必要性：若s t p q +=+，则2112211s t s t s t a a a qa q -+-+-==，2112211p q p q p q a a a q a q -+-+-==，所以s t p q a a a a =，综上，“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+”的必要不充分条件． 故选：C 4．C 【解析】 【分析】由题知4n =，进而得其展开式的通项公式44214C 2rrr r T x --+=，进而2r =时324T =为常数项.【详解】解：△二项式系数最大的项只有第三项， △展开式中共有5项，△4n =．△41122n x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式第1r +项为()44421441C 2C 2rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，△当2r =时，2234C 26424T ==⨯=为常数项.故选：C ． 5．A 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得λ的值. 【详解】()0b a a λ-=⊥，20ab a λ⋅-=，40λ⋅=，△2λ=. 故选：A 6．C 【解析】 【分析】利用差角公式和诱导公式将题中所给的条件化简，求得11cos 25αα=，利用辅助角公式得到结果. 【详解】cos()sin()6παπα-+-=3sin 2αα+=，即11cos 25αα=1cos()35πα∴-= 1cos()35πα∴-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关三角变换的问题，涉及到的知识点有余弦差角公式、诱导公式和辅助角公式，属于基础题目. 7．C 【解析】求出点A 的轨迹方程，确定A 点轨迹，然后通过几何意义求得最大值． 【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --5CD ，△AB 的最大值为5CD =+ 故选：C. 【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和． 8．B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，在利用导数研究函数单调性得当2a ≤时，()g x 在[)0,∞+单调递增，()()00g x g >=满足条件；当2a >时，存在0x ，使得()g x 在[)00,x 上单调递减，进而()()00g x g <=得矛盾，进而得答案.【详解】解： 因为()2e 2ln 12xa x ax x ->-+++对()0,x ∀∈+∞恒成立，所以()2e 22ln 10xx a x x --++->⎡⎤⎣⎦对()0,x ∀∈+∞恒成立， 故令()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，()00g =，()'12e 212e 211x x x g a a x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪++⎝⎭2e 21x ax x =--+，()'00g =，()()''2e 12x g x ax -+=，()''02g a =-，()()()2''212e 11x g x a x x ⎡⎤=+-⎣⎦+， 当20a -≥时，即2a ≤时，()''0g x ≥，则()'g x 在[)0,∞+单调递增，()()''00g g x ≥=，△()g x 在[)0,∞+单调递增，△()()0g x g ≥.0x >时，()()00g x g >=，满足条件．2a >时，()''00g =，x 趋近于+∞时，()''g x 趋近于+∞， △()''g x 在[)0,∞+有解，设为0x ．[)00,x x ∈时，()''0g x <，()'g x 在[)00,x 上单调递减，()()''00g x g <=，△()g x 在[)00,x 上单调递减，△()()00g x g <=，矛盾 综上：2a ≤， 故选：B ． 9．BCD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断选项A ，B ，根据对称性的定义判断D ，由解析式判断C. 【详解】解：x ∈Z 时，x -∈Z ，()()4f x f x -=-=．x ∉Z 时，x -∉Z ，()()4f x f x -==．△()()f x f x -=，即()f x 为偶函数，A 错，B 对． x ∈Z 时，()4f x =-，4-∈Z ，()()()44f f x f =-=-．x ∉Z 时，()4f x =，4∈Z ，()()()44f f x f ==-．△()()4f f x =-，C 对．x ∈Z 时，1x -∈Z ，此时()()1f x f x =-．x ∉Z 时，1x -∉Z ，此时()()1f x f x =-．综上：()()1f x f x =-，则()f x 关于12x =对称，D 对． 故选：BCD ． 10．AD 【解析】 【分析】化简函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；在()0,x π∈时，解方程()0f x =，可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】解：()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2Z 3x k k ππ+=∈，则()26k x k ππ=-∈Z ， 当1k =时，3x π=，所以，()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 对；由()2Z 32x k k πππ+=+∈得1226k x πππ=+=，则16k =∉Z ．所以，直线6x π=不是()f x 的对称轴，B 错； 当0πx <<时，72333x πππ<+<，由()2sin 203f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得23x ππ+=或2π，解得3x π=或56π，所以，函数()f x 在区间()0,π上有且仅有2个零点，C 错； 对于D 选项，由()222Z 232k x k k πππππ-+<+<+∈，则()5Z 1212k x k k ππππ-+<<+∈，所以，当51212ππθ-<≤时，()f x 在5,12k k πππθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，D 对．故选：AD. 11．ABD 【解析】 【分析】结合回归直线方程、样本中心点等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】设()2,11A ，()6,22B ，由1134AB k =<， 而8个数据点的回归方程3b =，△03m <<，A ，B 正确． 而10个数据点的4826410x ⨯++==，16.58112216.510y ⨯++==，样品中心()4,16.5，则16.54,16.54m n n m =+=-，03,0412,1240,4.516.5416.5m m m m <<<<-<-<<-<，即4.516.5n <<△D 正确，C 错． 故选：ABD 12．ACD 【解析】 【分析】将已知条件转化为2e 2e 4a b a b +=+，通过构造函数法，结合导数判断出当0b <时，0a b <<，由此判断AB 选项的正确性.当0b >时，对b 取特殊值来判断CD 选项的正确性.【详解】()2e e 22a b b a -=-，2e 42e a b b a -=-，2e 2e 4a b a b +=+，构造()22e 2e 4e e 2b b b bf b b b b =+--=--，()'22e e 2b b f b =--，当0b <时，()'0f b <，f b 在(),0∞-上递减， ()()00f b f >=，此时2e 2e 4b b b b +>+，△22e 2e 2b a b a +>+，构造()2e 2xg x x =+，()g x 在R 上递增，△()()0g b g a a b >⇒<<，A 正确，B 错．当0b >时，()'f b 先负后正，△f b 先减后增，f b 有正有负，取21e 2e 4a b a =⇒+=+，此时()()21e 2e 41g g a a b =+>+=⇒<=，△0a b <<有可能，C 正确．取14b =，124e 2e 1a a +=+，()1124111e e 1424g g a a b ⎛⎫=+<+=⇒>= ⎪⎝⎭，△0a b >>也有可能，D 正确． 故选：ACD 13．2 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，双曲线的右焦点0)F ，其中一条渐近线的方程为22303y x x y =⇒-=，所以焦点到渐近线的距离为2d ==． 考点：点到直线的距离公式及双曲线的性质． 14．3- 【解析】 【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定2021a . 【详解】 解：132a a a +=，则3211a a a =-=，243a a a +=，则4322a a a =-=-， 354a a a +=，则5433a a a =-=-，6541a a a =-=-， 7652a a a =-=，8763a a a =-=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅△数列{}n a 为周期数列，且周期6T =， 又202163365=⨯+，△202153a a ==-． 故答案为：-3.15．)714【解析】 【分析】连AC ，根据已知条件可得90ACD ∠=︒、AC =AD ，再由余弦定理、基本不等式求MA MD ⋅的范围，最后应用面积公式求区域ADM 面积的最大值. 【详解】连AC ，BA BC =，120B ∠=︒，△30ACB ∠=︒，则90ACD ∠=︒，AC =△AD =在△ADM 中，2227MA MD MA MD ⎛+-⋅⋅= ⎝⎭，△2272MA MD MD MAMD MD =+⋅⋅≥△(722MA MD ⋅≤=，当且仅当MA MD =时等号成立， (())727271122284MADS≤⋅⨯==．故答案为：)714.16． 563【解析】 【分析】根据锥体体积公式即可计算第一空；结合几何关系得底面ABCD 的外接圆的半径为5，进而根据空间几何体的外接球问题求解即可． 【详解】 解： ()168172ABCD S =+⨯=， 115678333S ABCD ABCD V S SD -=⋅=⨯⨯=，AC =△BCD 外接圆半径为r 圆为设为M ，则2r =，△=5r ， 设外接球的球心为O ，半径为R ，则()222225825OM R OM R ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，△221641OM R ⎧=⎨=⎩，△R = 17．(1)2n a n = (2)211334nn n ++-⋅【解析】 【分析】（1）根据11n n n a S S ++=-化简条件可得数列为等差数列，再由()54623s a a =+求出首项即可得出等差数列的通项公式；（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解. (1)()12n n n s s a n N *+=++∈ 12n n a a +∴-=，{}n a ∴是以2为公差的等差数列，()54623s a a =+352532a a ∴⨯=⨯，即1110(4)6(8)a a +=+， 解得12a =，2(1)22n a n n ∴=+-⨯=(2)11224na nn n b a n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2231111111442(123)++++1444414n n n T n n n⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=+++++=++ ⎪⎝⎭-211334nn n ++-⋅=.18．(1)证明见解析 【解析】 【分析】小问1：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，推导出1//OE BD ，由此能证明1//BD 平面EAC . 小问2：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线1AB 与平面EAC 所成角的大小． (1)证明：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，△在正方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是正方形，△O 是BD 中点， △E 为棱1DD 的中点，△1//OE BD ， △1BD ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， △1//BD 平面EAC . (2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则()2,0,0A ，()12,2,2B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()10,2,2AB =，()2,0,1AE =-，()2,2,0AC =-， 设平面EAC 的法向量(),,n x y z =，则20220n AE x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,1,2n =， 设直线1AB 与平面EAC 所成角的大小为θ，则116sin 8AB n AB nθ⋅===⋅⋅， △直线1AB 与平面EAC19．(1)证明见解析(2)证明见解析，△△△，1b = 【解析】 【分析】（1）变形()sin cos sin B A A B >+，整理可得cos 0B <，则可得答案；（2）分析可得△△不可能都成立，则△△均成立，再根据条件利用余弦定理计算可得答案. (1)△sin cos sin B A C >，△()sin cos sin sin cos cos sin B A A B A B A B >+=+， △sin cos 0A B <，即cos 0B <， △B 为钝角； (2)△B 为钝角，△2A C π+<，即A ，C 均为锐角，则4A π=，3C π=，若△△均成立，则4A π=，3C π=，此时5122B ππ=<与B 为钝角矛盾， △△△不可能都成立，△△△均成立，△a c >，△A C >，只能选△△△．在△ABC 中，由余弦定理得2224b b +-=由0b >，解得1b =． 20．(1)2211612x y +=(2)是定值，定值为127- 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，由此求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得,M N 两点的坐标，由此计算出12127k k =-为定值. (1)由题意知22222124491c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩△椭圆C 的方程为：2211612x y +=.(2)设直线l 的方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()4,0A -，()22223334483448x my my y x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩， △()223418210m y my ++-=，1212221821,3434m y y y y m m --+=⋅=++， 直线AP 方程为：()1144y y x x =++， 令163x =得()112834y y x =+，△()112816,334y M x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()222816,334y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， △()()()()()()121212121212122828161633347374477y y y y y y k k x x y x x my my =⋅⋅==++++++()2221212222116213421187497493434m m m y y m y y m m m m -⋅-+==--+++⋅+⋅+++()22248127318734m m m -==---++为定值．21．(1)532(2)△选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，理由见解析；△答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意得甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题，分类讨论即可求解结果；（2）△1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=>，4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=<，即可采用策略作答；△结合二项分布求解即可．(1)前20道题和最后两道共可得分1203123+=分， 故1T ，2T ，3T 得分不低于13512312-=分． △甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题．△若甲只答两题，2213139C 4464P ⎛⎫=⋅⨯= ⎪⎝⎭． △若甲答对三题，3211464P ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故甲的总分不低于135分的概率915646432P =+=． (2)△△1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=>4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=<故要使乙总分的数学期望最大，应选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ． △前20道题和最后两道乙共可得分：1203123+=分． △乙的总分的所有可能取值为123，129，135，141 ()328123327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213124129C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ ()223122135C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()311141327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， △乙总分的概率分布列为22．(1)1；(2)2个，证明见解析.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，转化为导函数()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立，再求导求其最小值即可；（2）利用导数分析函数在0,0x x ≤>上的单调性，根据两点的存在性定理可确定出2个零点，再由导数求出函数的最小值，求出最小值的范围即可得证. (1)由题意可知，()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立， 因为()cos 1cos 0x f x e x x ''=+≥+≥，所以()'f x 单调递增， 所以(0)10'=-≥f a ，解得a ≤1，所以a 的最大值为1. (2)易知a =1，所以()2cos x g x e x x =--,当x ≤0时，()2sin 1sin 0x g x e x x '=-+≤-+≤，所以g (x )单调递减，当x >0时，()2sin x g x e x '=-+，则()cos 1cos 0x g x e x x ''=+≥+≥，所以()g x '单调递增, 因为(0)10,(1)2sin10g g e ''=-<=-+>，所以存在0(0,1)x ∈，使得00()g x '=，()g x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，又(0)0g =，所以0()0g x ,因为2(2)4cos 20g e =-->，所以存在10(,2)x x ∈，使得1()0g x =， 所以()g x 有两个零点，又因为002sin 0xe x -+=，所以00000m 0in 0()()2cos 22sin cos xg x g x e x x x x x ==--=---，因为01x <，所以0000()sin cos )4g x x x x >--=+≥π故()g x >. 【点睛】关键点点睛：求函数零点时，注意利用导数研究出函数的单调性后，根据零点存在性定理可确定出函数的隐零点，求最小值时，要注意对隐零点的使用，才能化简求值，属于难题.答案第16页，共16页。

江苏省江都中学2011—2012高三数学第一次调研考试(总分160分,考试时间120分钟)参考公式：线性回归方程的系数公式为1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑.一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知角α的终边过点P (－5,12),则cos α=____▲____. 2.设(3)10i z i +=(i 为虚数单位),则||z =____▲____.3.如图,一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形,其俯视图是直径为2的圆,则该几何体的表面积为____▲____.4.设不等式组0,022x y x y ≥≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩所表示的区域为A ,现在区域A 中任意丢进一个粒子,则该粒子落在直线12y x =上方的概率为____▲____.5. 某单位为了了解用电量y 度与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程a bx yˆ+=中2b -=，预测当气温为04C - 时，用电量的度数约为____▲____.6.设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为____▲____.7.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a 是这8个数据的平均数),则输出的S 的值是____▲____.8.设P 为曲线2:1C yx x =-+上一点,曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围俯视图左视图主视图第3题第7题是[1,3]-,则点P 纵坐标的取值范围是____▲____.9.已知{}n a 是等比数列,242,8a a ==,则1223341n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=____▲____. 10.在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线xy k =（0k >）上任意一点P ,若点P 在x 轴、y 轴上的射影分别为M 、N ，则PM PN ⋅必为定值k ”.类比于此，对于双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）上任意一点P ,类似的命题为:____▲____.11.现有下列命题:①命题“2,10x R x x ∃∈++=”的否定是“2,10x R x x ∃∈++≠”；② 若{}|0A x x =>,{}|1B x x =≤-,则()A B R ð=A ；③函数()sin()(0)f x x ωφω=+>是偶函数的充要条件是()2k k Z πφπ=+∈；④若非零向量,a b 满足||||||a b a b ==-,则()b a b -与的夹角为 60º.其中正确命题的序号有____▲____.(写出所有你认为真命题的序号)12.设,A F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点P ,使得线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆的离心率的取值范围是____▲____.13.如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积.若1()(,,)2f M x y =,且18ax y+≥恒成立,则正实数a 的最小值为____▲____.14.若关于x 的不等式22x x t <--至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是____▲____.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分) 已知在ABC ∆中,cos 3A =,,,a b c 分别是角,,ABC 所对的边. (Ⅰ)求tan 2A ； (Ⅱ)若sin()23B π+=,c =求ABC ∆的面积.16. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,侧棱PA PD ⊥,底面A B C 是直角梯形,其中//BC AD ,090BAD ∠=,3AD BC =,O 是AD 上一点.OPDA第13题MCBAP(Ⅰ)若//CD PBO 平面,试指出点O 的位置； (Ⅱ)求证:PAB PCD ⊥平面平面.17. (本小题满分15分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”,其中AB 长为定值a ,BD 长可根据需要进行调节(BC 足够长).现规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S 与种花的面积2S 的比值12S S 称为“草花比y ”. (Ⅰ)设DAB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式； (Ⅱ)当BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?18. (本小题满分15分) 已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程； (Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.19. (本小题满分16分)已知函数2()(33)xf x x x e =-+⋅定义域为[]t ,2-(2t >-),设n t f m f ==-)(,)2(.(Ⅰ)试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数； (Ⅱ)求证:n m >；(Ⅲ)求证:对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.20. (本小题满分16分) 在正项数列{}n a 中,令1nn i S ==.第17题GFEDC BA（Ⅰ）若{}n a 是首项为25,公差为2的等差数列,求100S ；（Ⅱ）若n S =p 为正常数）对正整数n 恒成立,求证{}n a 为等差数列；（Ⅲ）给定正整数k ,正实数M ,对于满足2211k a a M++≤的所有等差数列{}n a , 求1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+的最大值.江苏省江都中学2011—2012高三第一次调研考试数学附加题(总分40分,考试时间30分钟)21.[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，是ABC ∆⊙O 的内接三角形，是PA ⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，若PE PA =， 6018ABC PD BD BC ∠===，，，求的长.B.（选修4—2：矩阵与变换）二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2). (Ⅰ)求矩阵M 的逆矩阵1M -；(Ⅱ)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y=4，求l 的方程．C.（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中,设圆3ρ=上的点到直线()cos 2ρθθ=的距离为d ,求d 的最大值.D.（选修4—5：不等式选讲）设,,a b c 为正数且1a b c ++=，求证:222111100()()()3a b c a b c +++++≥.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）如图，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD =2，∠BAD=60°. （Ⅰ）求点A 到平面PBD 的距离； （Ⅱ）求二面角A —PB —D 的余弦值.23. (本小题满分10分)第21题(A)第22题O袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为27.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．(Ⅰ)求袋中原有白球的个数；(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；(Ⅲ)求甲取到白球的概率．江苏省江都中学2011—2012高三第一次调研考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 513-6π 4. 34 5.68 6. 4 7. 7 8.3[,3]4 9.2(14)3n±- 10. 若点P 在两渐近线上的射影分别为M 、N ，则PM PN ⋅必为定值2222a b a b+ 11.②③ 12.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 13.1 14.9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭二、解答题：本大题共6小题，计90分.15.解:(Ⅰ)因为co A =,∴sin A =,则tan 2A =…………………………………………(4分) ∴22tan tan 21tan AA A==-………(7分)(Ⅱ)由sin()2B π+=,得cos B =,∴1sin 3B =…………………………………………(9分) 则sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………………………………(11分) 由正弦定理,得sin 2sin c Aa C==,∴ABC∆的面积为12s i 2S ac B ==(14分) 16. (Ⅰ)解:因为//CD PBO 平面,CD ABCD ⊂平面,且ABCD PBO BO =平面平面, 所以//BO CD ……………………………………………………………………………………………(4分)又//BC AD ,所以四边形BCDO 为平行四边形,则BC DO =……………………………………(6分) 而3AD BC =,故点O 的位置满足2AO OD =………………………………………………………(7分)(Ⅱ)证: 因为侧面PAD ⊥底面ABCD ,AB ABCD ⊂底面,且AB AD ⊥交线, 所以AB PAD ⊥平面,则AB PD ⊥…………………………………………………………………(10分) 又PA PD ⊥,且,,PA PAB AB PAB AB PA A ⊂⊂=面面,所以PD PAB ⊥平面 …………(13分) 而PD PCD ⊂平面,所以PAB PCD ⊥平面平面…………………………………………………(14分)17. 解:(Ⅰ)因为t n B Da θ=,所以ABD ∆的面积为21tan 2a θ((0,)2πθ∈)………………………(2分) 设正方形BEFG 的边长为t ,则由FG DG AB DB =,得tan tan t a ta a θθ-=, 解得t a n 1t ana t θθ=+,则2222tan (1tan )a S θθ=+…………………………………………………………………(6分) 所以222212211tan tan tan 22(1tan )a S a S a θθθθ=-=-+,则212(1tan )12tan S y S θθ+==- ………………(9分)(Ⅱ)因为t an θ∈+∞,所以1111(ta n 2)1(t a n2t an 2t a ny θθθθ=++-=+1≥……………(13分)当且仅当tan 1θ=时取等号,此时2a BE =.所以当BE 长为2a时,y 有最小值1…………………(15分)18. 解:(Ⅰ)设圆心C(,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得a b =⎧⎨=⎩…………………………………(3分) 则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=………(5分)(Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++…………………………(7分)=224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= ………(11分)因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+………………………………(13分)同理,22211B k k x k+-=+,所以(1)(1)21B A B A BAAB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OPk 所以,直线AB 和OP 一定平行…………………………………………………………………………(15分)19. (Ⅰ)解:因为2()(33)(23)(1)x x x f x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅…………………………………(2分)由()010f x x x '>⇒><或；由()001f x x '<⇒<<,所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减 …………………………………………………………………………………………(4分)欲)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤………………………………………………………(5分)(Ⅱ)证:因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减,所以()f x 在1x =处取得极小值e (7分) 又213(2)f e e-=<,所以()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f - …………………………………(9分) 从而当2t >-时,(2)()f f t -<,即m n <…………………………………………………………(10分)(Ⅲ)证:因为0'2000()x f x x x e=-,所以0'20()2(1)3x f x t e =-即为22002(1)3x x t -=-, 令222()(1)3g x x x t =---,从而问题转化为证明方程222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上有解,并讨论解的个数……………………………………………………………………(12分) 因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-,221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-,所以①当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -⋅<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解 ……(13分) ②当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22(0)(1)03g t =--<, 所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解 …………………………………………………………(14分)③当1t =时,2()001g x x x x x =-=⇒==或,所以()0g x =在(2,)t -上有且只有一解；当4t =时,2()6023g x x x x x =--=⇒=-=或, 所以()0g x =在(2,4)-上也有且只有一解…………………………………………………………(15分)综上所述, 对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-, 且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意；当14t <<时,有两个0x 适合题意…………(16分)(说明:第(Ⅱ)题也可以令2()x x x ϕ=-,(2,)x t ∈-,然后分情况证明22(1)3t -在其值域内,并讨论直线22(1)3y t =-与函数()x ϕ的图象的交点个数即可得到相应的0x 的个数)20.（Ⅰ）解：由题意得,=,所以100S5=……………………(4分) （Ⅱ）证:令1n =,=,则p =1………………………………………………(5分)所以1nn i S ===（1）,111n n i S ++===（2）,（2）—（1）,化简得1(1)n n n a na a n +++-=≥（3）……………………………………………………………(7分)231(2)(1)(1)n n n a n a a n +++-+=≥（4）,（4）—（3）得1322(1)n n n a a a n ++++=≥ …………(9分) 在（3）中令1n =,得1322a a a +=,从而{}n a 为等差数列 …………………………………………(10分)（Ⅲ）记1k t a +=,公差为d,则1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+=(1)(1)2k k k t d +++…………………(12分) 则12T kd t k =++,222211()k M a a t t kd +≥+=+- 222414()(43)()10210102kd kd t t kd t =++-≥+22()51T k =+…………………………………………(14分)则(2k T +≤,当且仅当2432()52t kdkd M t =⎧⎪⎨=+⎪⎩,即1k a t d +⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立……………(16分)数学附加题部分21.A ．（几何证明选讲选做题）解：因为PB=PD+BD=1+8=9,2PA =PD ·BD=9,PA=3,AE=PA=3,连结AD,在ADE ∆中,得AD =(5分)又AED BEC ∆∆,所以BC =…………………………………………………………………(10分)B ．（矩阵与变换选做题）解: (Ⅰ)设b d a c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则有b d ac ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,b d ac ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦, 所以12,122a b a b c d cd-=--+=⎧⎧⎨⎨-=--+=-⎩⎩且,解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ …………………………………………………………(4分) 所以M=12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦,从而1M -=21 31-22-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦………………………………………………………………(7分)(Ⅱ)因为122 3434x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦且m ：24x y ''-=， 所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,这就是直线l 的方程 ………………………………………(10分) C ．（坐标系与参数方程选做题）解：将极坐标方程3ρ=转化为普通方程：229x y +=……………………………………………(2分)()cos 2ρθθ=可化为2x =…………………………………………………………(5分)在229x y +=上任取一点A ()3cos ,3sin αα,则点A 到直线的距离为06sin(30)22d α+-==,它的最大值为4 ……………………………(10分)D ．（不等式选讲选做题） 证:左=2222221111(111)[()()()]3a b c a b c +++++++21111[1()1()1()]3a b c a b c≥⨯++⨯++⨯+…(5分)2211111111[1()][1()()]33a b c a b c a b c =+++=+++++21100(19)33≥+=……………………(10分)22．解:以OA 、OB 所在直线分别x 轴，y 轴,以过O 且垂直平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则)2,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(P D C B A --，(0,2,0),(0,0,2)DB AP ==…(2分)（Ⅰ）设平面PDB 的法向量为),,(1111z y x n =,,)0,2,0(),2,1,3(==由1111111102021,(200n DP y z z n y n DB ⎧⋅=++=⎪==-⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩,得.令得,(3,1,0),DA =所以11||||n DA A PDB d n ⋅=点到平面的距离=7212…………………………………………………(5分)（Ⅱ）设平面ABP 的法向量),,(2222z yx n =，)0,1,3(),2,0,0(-==AB AP ，22222222232001,1000x x AP n y y y AB n z ⎧=⎪⎪=⎧⎧⋅=⎪⎪⎪==⎨⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎪⎩⎩=⎪⎪⎩由,得.令得,)0,1,33(2=∴n ， 121212cos ,||||n n n n n n ⋅∴<>==-,而所求的二面角与12,n n <>互补, 所以二面角A —PB —D 的余弦值为77…………………………………………………………………(10分) 23．解：(Ⅰ)设袋中原有n 个白球,由题意知：227(1)2(1)2767762n n n C n n C --===⨯⨯，所以(1)n n -=12，解得n=4(舍去3n =-),即袋中原有4个白球……………………………………………………………(3分)(Ⅱ)由题意,ξ的可能取值为1，2，3，4………………………………………………………………(4分)4342324432141(1);(2);(3);(4)776776535765435P P P P ξξξξ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===========⨯⨯⨯⨯⨯⨯,所以，取球次数ξ的分布列为：………(6分)85E ξ=…………………………………………………………………………………………………(8分)(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A ，则()("1"P A P ξ==或 “ξ=3”）,所以24()(1)(3)35P A P P ξξ==+==………………………(10分)。

江苏省数学高三上学期理数12月阶段性考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高三上·合肥月考) 若复数满足，其中是虚数单位，则复数的模为（）A .B .C .D . 32. （2分） (2020高一下·山西月考) 已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C 关系是（）A .B .C .D .3. （2分）从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二上·湖南月考) 已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·滨州模拟) 设，，，则a，b，c的大小关系是（）A .B .C .D .6. （2分）已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB=（）A .B .C . -D . -7. （2分） (2020高二下·温州期中) 函数的图像不可能是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·安徽月考) 执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）A .B .C .D .9. （2分）若函数f（x）=|mx2﹣（2m+1）x+m+3|恰有4个单调区间，则实数m的取值范围为（）A . （﹣∞，）B . （﹣∞，0）∪（0，）C . （0， ]D . （，1]10. （2分）等差数列前n项和为，且下列错误的是（）A .B .C .D . n=10时，最大11. （2分）已知向量=(3,4)，=（2，﹣1），如果向量+x与垂直，则x的值为（）A .B .C . 2D . -12. （2分） (2015高三上·秦安期末) 已知a，b是实数，则“ ”是“log3a＞log3b”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·通辽期末) 定积分的值为________.14. （1分）某中学为了解学生的数学学习情况，在1000名学生中随机抽取100名，并统计这100名学生的某次数学考试成绩，得到了如图所示的样本的频率分布直方图，根据频率分布直方图，推测这1000名学生在该次数学考试中成绩低于60分的学生数是________．15. （1分）已知α∈（0，），β∈（0，），且cosα=， cos（α+β）=﹣，则sinβ=________16. （1分） (2017高二上·如东月考) 在等比数列中，，则能使不等式成立的最大正整数是________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分） (2019高二下·四川月考) 已知“直线与圆相交”；“ 有一正根和一负根”，若为真，为真，求的取值范围．18. （10分） (2020高三上·库车月考) 已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求函数在上的单调递增区间.19. （10分） (2019高三上·武清月考) 在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足, .（1）求角A的值；（2）求周长的取值范围.20. （10分）(2020·随县模拟) 已知函数 .（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，已知，且，求的最小值.21. （10分）(2017·江西模拟) 已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1 ，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．22. （10分） (2018·虹口模拟) 已知中，角所对应的边分别为，（是虚数单位）是方程的根， .（1）若，求边长的值；（2）求面积的最大值.23. （10分） (2019高一上·海林期中) 已知函数（1）若的定义域为 ,求实数的取值范围.（2）若其中 =1,求函数f(x)的单调区间.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共65分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

江苏省扬州市江都区大桥高级中学20xx届高三下学期学情调研(二)数学试题(wd无答案)江苏省扬州市江都区大桥高级中学20xx届高三下学期学情调研(二)数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合，集合，则 ______.(★) 2. 已知复数 z满足，为虚数单位，则复数 _________(★) 3. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．(★★) 4.在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组数据的频数为25，则样本容量为__________.(★★) 5. 如图是一个算法的流程图，则输出的的值为__________.(★★★) 6. 如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．(★★★) 7. 将函数（）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为______.(★★★) 8. 已知是定义在上的偶函数.当时，，则不等式的解集为_______.(★★★) 9. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，若成等比数列，则的值为______．(★★★) 10. 若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是(★★★) 11. 已知函数图像与函数图像在交点处切线方程相同，则的值为_________(★★★★) 12. 在平面直角坐标系中，已知直线：与曲线从左至右依次交于、、三点，若直线：上存在满足，则实数的取值范围是_______． (★★★) 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，圆C：，动点P 在直线上的两点E，F之间，过点P分別作圆O，C的切线，切点为A，B，若满足PB≥2PA，则线段EF的长度为_______．(★★★★) 14. 若中，，，，为所在平面内一点且满足，则长度1的最小值为______．二、解答题(★★) 15. 如图，在△ ABC中，为所对的边，CD⊥ AB于 D，且．（1）求证：；（2）若，求的值．(★★★) 16. 如图，在三棱柱中，已知，分别为线段，的中点，，且．求证：（1）平面平面；（2）平面．(★★★) 17. 已知点O为坐标原点，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，△IOJ 的边IJ上的中线长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点H（－2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF 1⊥BF 1，求直线AB的方程．(★★★★) 18. 某校有一块圆心，半径为200米，圆心角为的扇形绿地，半径的中点分别为，为弧上的一点，设，如下图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用.（1）方案一：将四边形绿地建成观赏鱼池，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式，并求为何值时，取得最大？（2）方案二：将弧和线段围成区域建成活动场地，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式；并求为何值时，取得最大？(★★★) 19. 已知正项数列，其前项和为，满足， .（1）求数列的通项公式；（2）如果对任意正整数，不等式都成立，求证：实数的最大值为1. (★★★★) 20. 已知函数（其中）.（1）当时，若函数在上单调递减，求的取值范围；（2）当，时，①求函数的极值；2②设函数图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围. (★★) 21. 已知矩阵的逆矩阵 .求矩阵的特征值和相应的特征向量. (★★) 22. 在极坐标系中，已知圆的圆心极坐标为，且圆经过极点，求圆的极坐标方程.(★★★) 23. 把编号为1，2，3，4的四个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子里．每个盒子里放入一个小球．（1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；（2）设小球的编号与盒子编号相同的情况有种，求随机变量的分布列与期望．(★★★★) 24. 设，，其中．（1）当时，求的值；（2）对，证明：恒为定值．3。

天一中学2021届高三数学上学期12月份调研考试试题〔含解析〕一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．请把答案填写上在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1. 设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，那么()U C A B =_____. 答案：{2}，分析：由全集{|5,*}U x x x N =<∈，可得{1U =，2，3，4}，然后根据集合混合运算的法那么即可求解． 解：{1A =，3}，{3B =，4}， {1AB ∴=，3，4}，{|5,*}{1U x x x N =<∈=，2，3，4}，(){2}U C AB ∴=2. i 是虚数单位，假设复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，那么实数a 的值是 ． 答案：3-分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a 值． 解：(12)()(2)(21)z i a i a a i =++=-++，且z 的实部与虚部相等，221a a ∴-=+，即3a =-．故答案为：3-．3. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为_____. 答案：[0,1)分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解. 解：由题意得010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<故函数()f x 的定义域为[0,1)4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，那么甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为 ． 答案：23分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，一共有〔甲乙〕，〔甲丙〕，〔甲丁〕，〔乙丙〕， 〔乙丁〕，〔丙丁〕六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，那么〔甲丙〕，〔甲丁〕，〔乙丙〕， 〔乙丁〕，一共4种，故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为4263=，故答案为：235. 对一批产品的质量〔单位：克〕进展抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如下图．根据HY ，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．那么样本中次品件数为 ．答案：200分析：结合频数分布直方图确定落在[10，15，)、[15，20)、[35，40]的人数由容量⨯⨯频率组距组距求出．解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如下图．根据HY ，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．其件数为：800(0.01250.02500.0125)5200⨯++⨯= 故答案为：2006. 如图是一个算法流程图，那么输出的b 的值是 ． 答案：8分析：根据程序框图进展模拟运算即可． 解：1a =，1b =，10a >否，2a =，1b =，10a >否，123a =+=，211b =-=， 10a >否，314a =+=，312b =-=， 10a >否，426a =+=，422b =-=， 10a >否，628a =+=，624b =-=， 10a >否，8412a =+=，1248b =-=， 10a >是，输出8b =，故答案为：87.假设抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y-=的右焦点，那么p =____． 分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p ．解：双曲线22451x y -=的右焦点是(3，0)， ∴抛物线22y px =的焦点为(3，0)，∴32p =，6p ∴=故答案为：68. 函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，那么()8f π-的值是 ．答案：分析：利用辅助角公式进展化简，结合三角函数奇偶性的性质进展求解即可． 解：())cos(2)2sin(2)6f x x x x πϕϕϕ+-+=+-，()f x 是奇函数，6k πϕπ∴-=，即6k πϕπ=+，k Z ∈，0ϕπ<<，0k ∴=时，6πϕ=，即()2sin 2f x x =，那么2()2sin()22842f ππ-=-=-⨯=-， 故答案为：2-．9. 数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，那么10a = ．答案：20分析：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，可得222(2)2(22)2213d d ++⨯=+，解得d ，即可得出．解：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，222(2)2(22)2213d d ++∴⨯=+，解得2d =．那么1029220a =+⨯=． 故答案为：20．10. 如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，假设134DE DF =，那么线段BD 的长为 ．3 分析：先由平面向量数量积的运算可得：4AB AC =， 再由余弦定理可得：23BC =然后设(01)BD BC λλ=，结合平面向量的线性运算可得：213()()121874DE DF BE BD DC CF λλ=-+=-+=，解得：14λ=，即可得解．解：因为在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒， 所以4AB AC =，又在ABC ∆中，由余弦定理可得：2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠，又4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，得BC = 设(01)BD BC λλ=，那么()()DE DF BE BD DC CF =-+11()[(1))22AB BC BC AC λλ=---- 11[()][()(1)]22AB AC AC AB λλλλ=-----222111()(1)()(22)224AB AC AB AC λλλλλλ=------+212187λλ=-+134=， 解得：14λ=， 即14BD BC =，即线段BD ，故答案为：2． 11. 点(3,0)A -，(1,2)B --，假设圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，那么r 的取值范围是 ．答案：分析：求得||AB 的值，得出两点M ，N 到直线AB 的间隔 相等，写出AB 的直线方程， 根据圆上的点到直线AB 的间隔 求出r 的取值范围．解：由题意可得||AB = 根据MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，可得两点M ，N 到直线AB 的间隔 为 由于AB 的方程为032013y x -+=---+，即30x y ++=；假设圆上只有一个点到直线AB 的间隔 为那么有圆心(2,0)到直线AB 的间隔 为r =+r =；假设圆上只有3个点到直线AB 的间隔 为那么有圆心(2,0)到直线AB 的间隔 为r =-r =；综上，r 的取值范围是2，2．故答案为：． 12. 函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，假设存在实数0x 使0()3f x =成立，那么实数a 的值是 ．答案：12ln -分析：令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，求出()g x 与()h x 的值域即可判断0x 的值，从而得出a 的值．解：令()3f x =可得：22334x a a x x x lnx e e -----=--， 令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，那么21431()43x x g x x x x--'=--=，令()0g x '=可得24310x x --=，即1x =或者14x =-〔舍)，∴当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()g x g ∴〔1〕4=-，()4(4)244x a a x x a a x x a a x h x e e e e e e ------=--=-+-=-〔当且仅当4x a a x e e --=即2x a ln =+时取等号〕， 0()3f x =，即00()()g x h x =， 012x a ln ∴==+，12a ln ∴=-．故答案为：12ln -．32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，假设函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，那么实数a 的取值范围是_____. 答案：(0,1){2}-解：当0x ≤时，由()0g x =得，320x ax x -+=，∴0x =或者210x ax -+=① ∴当2a <-时，在(,0]-∞上有三个根，当2a =-时，在(,0]-∞上有两个根，当2a >-时，在(,0]-∞上有一根当0x >时，由()0g x =得22ln 0e x ax -=，那么22ln e xa x =②， 设22ln ()e x h x x =〔0x >〕，32(12ln )'()e x h x x-=∴当x ∈时, '()0h x >，函数单调递增，当)x ∈+∞时, '()0h x <，函数单调递减可结合图像可知，0()1a h e <<=时，方程②有两个根；当1a =或者0a ≤时，方程②有一个根；当1a >时，方程②没有实根，综上：当01a <<或者2a =-时，()g x 有三个零点.14. 在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，那么111tan tan tan AB C++的最小值为 ． 答案：132分析：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，那么tan 2B h =，2tan 3C h =，再根据正切值求出tan A ，然后用根本不等式可求得．解：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，那么tan 2B h =，2tan 3C h =，从而tan tan 2tan tan()3tan tan 114B C A B C B C h+=-+==--，所以1111313132tan tan tan 28282h h A B C h h ++=+⨯=， 〔当且仅当1328h h=，即132h =时，取等〕 故答案为：132．二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内答题．解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤 15. 〔本小题满分是14分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 10．〔1〕求3cos()4πα-的值；〔2〕假设以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为55-，求αβ+的值．分析：〔1〕直接利用三角函数的定义的应用求出结果． 〔2〕利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果． 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 10， 所以由任意角的三角函数的定义可知sin 10α= 从而cos 3101sin 2αα=-． 〔1〕3cos()cos4πα-= cos α 3sin 4π+ sin α34π， 31021025()==． 〔2〕因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是5， 所以cos 5β=sin 251cos2ββ=-=．于是sin()sin αβ+= cos α cos β+ sin α 105310252(2β==． 因为α为锐角，β为钝角，所以(2παβ+∈，3)2π，从而34παβ+=．16. 〔本小题满分是14分〕如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点．〔1〕求证：D 为BC 的中点； 〔2〕求证：//EF 平面1ADC ．分析：〔1〕推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC 的中点．〔2〕连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ．证明：〔1〕在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥， 1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，111C D CC C =，AD ∴⊥平面11BCC B ，AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．〔2〕连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点， 1//OD A B ∴，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴，//EF OD ∴，EF ⊂/平面1ADC ，DO ⊂平面1ADC ．//EF ∴平面1ADC ．17. 〔本小题满分是14分〕某有一特色酒店由10座完全一样的帐篷构成〔如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r 〔单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体〔如图2)．经测算，上层半球体局部每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个局部平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元． 〔1〕求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；〔2〕当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.分析:〔1〕由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543r r h πππ+=，表示出h ，那么22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r r π=+；再由254203r r ->，那么3133r <，所以定义域为3{|133}r r <，〔2〕254()f r r r=+，3133r <，根据导函数求出其最小值即可．解：〔1〕由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r =-， 所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r rπππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+-，即25460()y r rπ=⨯+； 因为1r ，0h >，所以254203r r ->，那么3133r <，所以定义域为3{|133}r r <， 〔2〕设254()f r r r=+，3133r <，那么254()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =，当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，333)时，()0f r '>，()f r 单调递增，所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=． 答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 18．〔本小题满分是16分〕如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，假设椭圆C 经过点(0,3)，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕假设点N 为△12F AF 的内心〔三角形三条内角平分线的交点〕，求△12F NF 与△12F AF 面积的比值；〔3〕设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？假设是，恳求出定点T 的坐标；假设不是，请说明理由．分析：〔1〕由题意知3b =12c a=，可得3b a =，解得a 即可得出椭圆C 的方程． 〔2〕由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，可得12121212121||21(||||||)2F NF F AF F F r S SAF AF F F r =++．〔3〕假设直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ． 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，那么直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时21215(4)42y y y y x -=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．即可得出结论．解：〔1〕由题意知b =12c a=，所以2b a =，解得2a =， 所以椭圆C 的方程为：22143x y +=． 〔2〕因为点N 为△12F AF 的内心，所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，那么12121212121||2121223(||||||)2F NF F AF F F r S c c Sa c a c AF AF F F r ====++++．〔3〕假设直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形， 此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，那么2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，那么直线AE 的方程为2121(4)4y yy y x x --=--．令52x =，此时2112212112(4)3()5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=-- 12211212112(4)(1)3()825()2(4)2(4)x k x k x x k kx x k x x x x --+-+-+==--22221412882534342(4)k k k k k k k x -+-++=- 3332124328244002(4)(34)k k k k k x k ++--==-+，所以点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．19. 〔本小题满分是16分〕设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． 〔1〕11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；〔2〕22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，假设数列{}n b 唯一，求1b 的值.〔3〕数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式〔用含n ，d 的式子表达〕； 〔1〕解：设{}n b 的公比为q ，那么有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=； 解得2q =-；∴1(2)3n n S --=；〔2〕∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a = ∴7321a =，77a =，那么公差1d=，那么n a n =数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠ 那么2111+=b b q ，21110b qb --=∵数列{}n b 唯一确定， ∴1104(1)0b b ∆=++= 解得：11b =-或者10b =〔舍〕 即11b =- 〔3〕解：11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+⋯①112211(2)22n n n a b a b a b n --++⋯+=-+⋯②∴①-②，得2(2)n n n a b n n =；112a b =；∴*2()n n n a b n n N =∈⋯③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋯④令③÷④，得12(2)1n n a nq n a n -=⋯-⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴122(1)(3)2n n a n q n a n ---=⋯-⑥ 令⑤÷⑥，得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-； ∴31234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+； 解得1a d =或者13a d =-；假设13a d =-，那么40a =，有444420a b ⨯==，矛盾；1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2nn b d=； 20. 〔本小题满分是16分〕设a 为实数，函数()x f x axe =()a R ∈．〔1〕当0a <时，求函数()f x 的单调区间；〔2〕设b 为实数，假设不等式2()2f x x bx +对任意的1a 及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围；〔3〕假设函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围． 分析：〔1〕根据导数和函数单调性的关系即可求出，〔2〕别离参数，可得2x e x b -对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围，〔3〕先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围． 解：〔1〕当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞． 〔2〕由2()2f x x bx +，得22x axe x bx +，由于0x >， 所以2x ae x b +对任意的1a 及任意的0x >恒成立．由于0x e >，所以x x ae e ，所以2x e x b -对任意的0x >恒成立． 设()2x x e x ϕ=-，0x >，那么()2x x e ϕ'=-，所以函数()x ϕ在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增， 所以()(min x ln ϕϕ=2)22ln =-2， 所以22b ln -2．〔3〕由()ln xg x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1x xx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >．①假设0a 时，那么()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；②假设0a <时，令()0g x '=，得10x xe a=->．由第〔2〕小题知，当0x >时，()222x x e x ln ϕ=-- 20>，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞．所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =- ①，且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减． 因为函数有两个零点1x ，2x ，所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x > ②．设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，那么1()10x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．由于(1)ϕ0=，所以当1x >时，()0x ϕ>，所以②式中的01x >． 又由①式，得001x ex a=-．由第〔1〕小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a->，即1(a e∈-，0)．()i 由于111()(1)0eae g e e e =+-<，所以01()()0g g x e<． 因为011x e<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不连续，所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；()ii 由于1111()()g e ln aaaa-=---+-，令1t e a=->，设()t F t e t ln =-++t ，t e >，由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0g a-<．由①式，得当01x >时，0001x ex x a-=>，且01()()0g g x a-<，同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点． 综上，1(a e∈-，0)．2021年天一中学十二月份调研考试高三数学〔Ⅱ〕试题21．此题一共2小题，每一小题10分，一共计20分，请在答题卡指定区域内答题，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦〔1〕求矩阵A ；〔2〕设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程． 分析：〔1〕由111211a A b αλα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即可求出a ，b ； 〔2〕设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得2,3.6x y x x y y '-'⎧=⎪⎪⎨'+'⎪=⎪⎩进而得到l 的方程；． 解：〔1〕1122112a a A b b α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，124212λα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩解得2,4,a b =⎧⎨=⎩故1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦； 〔2〕1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，121331166A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''， 那么2121333311116666x y x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴21,3311,66x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩∴2,4.x x y y x y ''=+⎧⎨''=-⎩ 4x y -=，23y ∴'=， ∴直线l 的方程为23y =． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数〕，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案．解：直线l 的直角坐标方程为y x =．由方程4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩，可得22212cos 2()48x y x α===， 又1cos 1α-，44x ∴-．∴曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-． 将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或者8x =〔舍去〕． ∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．第22题、第23题，每一小题10分，一共计20分，请在答题卡指定区域内答题，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．22．〔本小题满分是10分〕如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3ABC π∠=，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．〔1〕求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；〔2〕点M 在线段1A D 上，11A M A Dλ=．假设//CM 平面AEF ，务实数λ的值．分析：〔1〕建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；〔2〕点M 在线段1A D 上，11A M A Dλ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可务实数λ的值．解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1A A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥．在菱形ABCD 中3ABC π∠=，那么ABC ∆是等边三角形． 因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥．因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．建立空间直角坐标系．那么(0A ，0，0)，(3C 1，0)，(0D ，2，0)，1(0A ，0，2)，(3E ，0，0)，3(2F ，12，1)． 〔1〕(0AD =，2，0)，3(2EF =-，12，1)， 所以异面直线EF ，AD 所成角的余弦值为124211=+． 〔2〕设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A Dλ=， 那么(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-．那么(0M ，2λ，22)λ-，(3CM =-，21λ-，22)λ-．设平面AEF 的法向量为0(n x =，0y ，0)z ．因为(3AE =，0，0)，3(2AF =，12，1)， 由00003031022x x y z ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，得00x =，00102y z +=． 取02y =，那么01z =-，那么平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-．由于//CM 平面AEF ，那么0n CM =，即2(21)(22)0λλ---=，解得23λ=．23．〔本小题满分是10分〕袋中装有大小一样的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(*)n N ∈的情况就算游戏过关，同时游戏完毕，假设四局过后仍未过关，游戏也完毕．〔1〕求在一局游戏中得3分的概率；〔2〕求游戏完毕时局数X 的分布列和数学期望()E X ．分析：〔1〕根据互相HY 事件的概率公式求出对应的概率值；〔2〕由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值， 求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．解：〔1〕设在一局游戏中得3分为事件A ，那么P 〔A 〕1112213525C C C C ==； 〔2〕由题意随机变量X 的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C C C +=； 那么2122351(1)5C C P X C ===， 436(2)51025P X ==⨯=， 43228(3)(1)5105125P X ==⨯-⨯=， 43342(4)(1)5105125P X ==⨯-⨯=， X ∴的分布列为：162842337()1234525125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

卜人入州八九几市潮王学校、、江都2021届高三数学12月联考试题〔含解析〕一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分.请把答案填写上在答题卡相应位置上.(1,3]A =-，{2,3,4}B =那么A B 的子集个数为_______________.【答案】4 【解析】 【分析】可根据交集定义和子集个数进展求解 【详解】(1,3]A =-，{2,3,4}B =，那么{}2,3A B =，那么A B 的子集个数为224=个故答案为：4【点睛】此题考察集合的交集运算和子集个数的求法，属于根底题 x 2-2y 2=1的渐近线方程为______．【答案】2y x =±【解析】由双曲线的方程知1,2a b ==，所以双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=±． 考点：双曲线的几何性质．2()cos 2f x x x =+，假设(2)(1)f a f a =-，那么实数a 的值是____________.【答案】1-或者13【解析】 【分析】 根据()f x 表达式可判断为偶函数，再结合偶函数性质即可求解【详解】由2()cos 2f x x x =+可判断函数为偶函数，又(2)(1)f a f a =-，故21a a =-或者()210a a +-=，解得1a =-或者13故答案为：1-或者13【点睛】此题考察由偶函数的性质求解参数，属于根底题{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，448a b ==，那么33a b +=________．【答案】293【解析】 【分析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得33a b +即可.【详解】由4137173733a a d d a -==⇒=⇒=,34182b q q b ==⇒=,34b =,那么331729433a b +=+=． 故答案为：293【点睛】此题主要考察了等差等比数列的根本性质与运用,属于根底题型.0x R ∃∈，使得201k x >+k 的取值范围是________．【答案】(,1]-∞ 【解析】 【分析】x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立〞,再求21x +的最小值即可.【详解】“0x R ∃∈,使得201k x >+x R ∀∈,都有21k x ≤+211x +≥,即21x +的最小值为1,要使“21kx ≤+恒成立〞,只需()2min1k x ≤+,即1k ≤．故答案为：(,1]-∞ ,属于简单题型.log (1)2a y x =++的图像必过定点_____________.【答案】()0,2【解析】 【分析】根据函数图像平移法那么即可求解 【详解】由log a y x =根据平移法那么向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到log (1)2a y x =++，log ay x =经过()1,0，那么log (1)2a y x =++经过()02,故答案为：()02,【点睛】此题考察对数函数过定点问题，属于根底题A ，F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右顶点和右焦点，1B ，2B 为椭圆C 短轴的两个端点，假设点F 恰为12AB B ∆的重心，那么椭圆C 的离心率的值是__________. 【答案】13【解析】 【分析】结合题意表示出四点坐标，再由重心坐标公式即可求解 【详解】如图：由题可知，()()()120,,0,,,0B b B b A a -，(),0F c ，那么3a c =，即13c e a ==， 故答案为：13【点睛】此题考察椭圆的根本性质，重心坐标公式的应用，属于根底题 8.圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，那么该圆柱的外表积为． 【答案】6.π 【解析】试题分析：因为圆柱的外表积为222,1,2r rl r l ππ+==，所以圆柱的外表积为6.π考点：圆柱的侧面积ABC ∆的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，sin()sin sin a c A C b c A C-+=-+，那么角A 为___________. 【答案】3π 【解析】 【分析】结合正弦定理的角化边和余弦定理的代换即可求解 【详解】222sin sin sin a c B ba cb bc b c A C a c-==⇒-=-⇒-++ 故答案为：3π 【点睛】此题考察三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考察转化才能和运算求解才能，一般的，在关系式中，假设既含有边又含有角，通常的思路是将角都化成边或者将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角，属于中档题,,a b c 满足0a b c ++=且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，||2b =，那么a c ⋅的值是___________.【答案】45【解析】 【分析】 可设,,AB a BC b CA c===，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的根本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===，由题意可得11tan ,tan 23BC ==， 那么11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯，即为135A ︒=， 又,B C 为锐角，22sin 1sincos 1,cos 2B B B B +==，可得5sin 5B =，同理可得10sin 10C=，由正弦定理可得2||||sin135510510c a ︒==，即有21025,55c a ==，那么2102524||||cos 455525a cc a ︒⋅=⋅⋅=⋅⋅=． 故答案为：45． 【点睛】此题考察向量的数量积的定义，考察正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解才能，属于中档题．11.定义：曲线C 上的点到直线l 的间隔的最小值称为曲线C 到直线l 的间隔．曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的间隔等于C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的间隔，那么实数a ＝______________． 【答案】94【解析】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，圆的圆心到直线的间隔为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的间隔为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的间隔为，那么有，解得或者，当时，直线与曲线相交，不符合题意；当时，直线与曲线相离，符合题意.综上所述，.a ，b 满足0b >，||1a b +=，那么120192019||a a b++的最小值为__________.【答案】2021 【解析】 【分析】可采用“1〞的代换，将12019||a a +中的“1〞代换成||a b +，同时2019b 可代换成()2019||a b b⋅+，再结合根本不等式特征求解【详解】||1a b +=，()12019||2019||2019||2019||a a a b a b a b a b+++∴+⇔+⋅+，即20191120192201920192019201920192019a a b a a ab a ⎛⎫++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当222019b a =时取到等号， 又111220192201920212019201920192019a a +++≥-+++=所以120192019||a a b++的最小值为：2021故答案为：2021【点睛】此题考察根本不等式最值的求解，“1〞的代换是关键，属于中档题13.数列{}n a 满足13a =，且对任意的*,m n ∈N ，都有n mn ma a a +=，假设数列{}nb 满足23log ()1n n b a =+，那么数列21{}n n b b +的前n 项和n T 的取值范围是_______. 【答案】12[,)2115【解析】 【分析】由任意的m ，n∈N *，都有n m ma a +=a n ，令m=1，可得113n na a q a +===，可得a n =3n，求解b n =2n+1，数列{21n n b b +}的通项c n =()()12125n n ++，利用裂项相消求解T n ，即可求解取值范围．【详解】由题意m ，n∈N *，都有n mma a +=a n ，令m=1，可得：113n na a q a +===， 可得a n =3n， ∵b n =log 3〔a n 〕2+1， ∴b n =2n+1，那么数列{21n n b b +}的通项c n =()()12125n n ++=11121254n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．那么：T n =c 1+c 2+……c n =14〔1137-+1159-+11711-+……112123n n --++112125n n -++〕=111113523245n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭ =181********154n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭＜， 当n=1时，可得T 1=121， 故得T n的取值范围为[121，215〕，故答案为[121，215〕．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，打破这一难点的方法是根据式子的构造特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；〔21k=；〔3〕()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；〔4〕()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或者多项的问题，导致计算结果错误.R 的函数2log (1),1()1,12,1x x f x x x +>-⎧⎪==-⎨⎪<-⎩假设关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞，那么()123f x x x b c ++++=____________.【答案】2log 5 【解析】 【分析】 由题可知，1x =-必为其中一个解，当1x <-时，()2f x =也一定满足方程2()()0f x bf x c --=，可联立求解得3,2b c ==-，那么当1x >-时，可解得对应的23,x x ，进而得解【详解】由题可知，当1x >-时，函数()f x 单调递增，那么关于2()()0f x bf x c --=在()1,-+∞至多两解，故1x =-必为其中一个解，即11x =-，即当11x =-时，2()()0f x bf x c --=，此时由()1f x =可得10b c --=①，又关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，那么当1x <-时，()2f x =也一定满足方程2()()0f x bf x c --=，即420b c --=②， 联立①②得3,2b c ==-，那么当1x >-时，22()()0()3()20f x bf x c f x f x --=⇔-+=，解得()2221log (1)x x f =+=，此时21x =，()3232log (1)x x f =+=，此时33x =，那么故答案为：2log 5【点睛】此题考察分段函数分类讨论的思想，运算及推导才能，分析解决问题的才能，函数与方程的转化思想，属于中档题二、解答题：本大题一一共6小题，一共90分.请在答题卡指定区域内答题.解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足sin 3sin B C =，||5AB AC -=52AB AC ⋅=. 〔1〕求22b c +的值；〔2〕求sin()A B -的值.【答案】 【解析】 【分析】 〔1〕联立||5AB AC -=52AB AC ⋅=化简即可求得22b c +； 〔2〕由sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-可知，需分别求出sin cos sin cos A A B B ，，，，先由余弦定理可得a 的值，再由三边关系求出cos B ，进而推出sin B ，即可求解【详解】〔1〕因为5AB AC -=，所以2225b c AB AC +-⋅=，又52AB AC ⋅=，所以2210b c +=. 〔2〕因为sin 3sin B C =，由正弦定理，得3b c =， 又2210b c +=，所以3b =，1c =.由〔1〕552cos 36AB AC A bc ⋅===，sin A ==， 由余弦定理知222cos2a c b B ac +-==.从而sinB ==〔也可由正弦定理求sin B 〕所以sin()sin cos cos sin 15A B A B A B --=-=【点睛】此题考察正弦定理，余弦定理解三角形，同角三角函数的根本关系，运算才能，熟悉公式运用是解题关键，属于中档题16.如图，在四棱锥S ABCD -中，SA SB =，四边形ABCD 是平行四边形，且平面SAB ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别是SC ，AB 的中点.〔1〕求证：//MN 平面SAD ；〔2〕求证：SNAC ⊥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕可作SD 的中点E ，连EM ,EA ，通过中位线定理证明四边形EMNA 是平行四边形，即可得证； 〔2〕要证SNAC ⊥，即证SN ⊥平面ABCD ，即证SN AB ⊥，由题设条件平面SAB ⊥平面ABCD 即可求证，按照合理顺序整理思路即可求证【详解】〔1〕取SD 的中点E ，连EM ,EAM 是中点，//EM CD ∴，且12EMCD = 底面ABCD 是矩形，N 为AB 中点//AN CD ∴，且12AN CD =，//,EM AN EM AN ∴=∴四边形EMNA 是平行四边形MN ⊄平面SAD ，AE ⊂平面SAD ，所以//MN 平面SAD .〔2〕SA SB =，N 是AB 中点平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB平面ABCD AB =，SN ⊂平面SABSN ∴⊥平面ABCD AC ⊂平面ABCD【点睛】此题考察线面平行的证明，线面垂直的性质定理和断定定理，属于中档题17.如图，三个校区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，点Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P 〔不与点O ，Q 重合〕，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，OA ＝2千米，∠AOB＝3π，记∠APQ ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y 千米． 〔1〕将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；〔2〕请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．【答案】〔1〕7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭〔2〕P 与O 的间隔为3时，地下电缆管线的总长度最小【解析】 【分析】〔1〕首先根据Q 为弧AB 的中点，得到知PA ＝PB ，∠AOP ＝∠BOP ＝6π，利用正弦定理得到()sin sinsin 66PA OAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据OA ＝2，得到PA ＝1sin θ，OP ＝2sin 6sin πθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得到y ＝PA+PB+OP ＝2PA+OP ＝22sin 6sin πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝，根据题意确定出7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；〔2〕对函数求导，令导数等于零，求得3πθ=，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最值.【详解】〔1〕因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP＝∠BOP＝6π， 又∠APO＝πθ-，∠OAP＝6πθ-，由正弦定理，得：()sin sinsin 66PAOAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，又OA ＝2， 所以，PA ＝1sin θ，OP ＝2sin 6sin πθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，y ＝PA+PB+OP ＝2PA+OP ＝22sin 6sin πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∠APQ＞∠AOP，所以，6πθ>，∠OAQ＝∠OQA＝152612πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 〔2〕令()f θ=，7,612ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭()212cos '0sin f θθθ-==，得：3πθ=，()f θ在,63ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭上递减，在7,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增所以，当3πθ=，即OP ()f θ有唯一的极小值，即是最小值：()min f θ＝答：当工作坑P 与O 时，地下电缆管线的总长度最小．【点睛】该题考察的是应用题，涉及到的知识点有圆的相关性质，正弦定理，应用导数研究函数的最值问题，属于较难题目.18.如图，椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的1F ，2F ，过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时，2F AB ∆的周长为8. 〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕当2PB AP =时，求直线l 方程；〔3〕点()0,2Q ，直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k .问是否存在实数λ，使得120k k λ+=恒成立？【答案】(1)2214x y +=(2)1102y x =±+(3)存在，1λ=【解析】 【分析】〔1〕由焦点三角形的周长特点可求出a 值，再结合椭圆离心率是2，可求出c ，进而求得椭圆HY 方程；〔2〕，设直线方程为1:2l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，可联立直线方程和椭圆HY 方程，得出两根和与积的表达式，再结合2PBAP =，代换出1x 与k 的关系式；〔3〕先用必要性探路，找特殊情况，当//AB x 轴可知120k k +=，此时存在1λ=使得120k k λ+=成立，根据题意和斜率定义表示出12k k +，结合〔2〕中韦达定理即可得证【详解】〔1〕由椭圆定义知2F AB ∆的周长为4a ， 所以48a =，所以2a=又离心率c a =c =1b = 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.〔2〕当lx ⊥轴，2PB AP ≠ 所以可设1:2l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y 那么221214y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()2214430k x kx ++-=所以122122414314k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(*) 因为2PB AP =，所以2102x x -=-，即212x x =-代入(*)化简得122124143214k x k x k -⎧-=⎪⎪+⎨-⎪-=⎪+⎩所以22231424114k k k ⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭解得10k=±所以直线l方程为：1102y x =±+， 〔3〕当//AB x 轴可知120k k +=，此时存在1λ=使得120k k λ+=成立，下面证明当1λ=时120k k λ+=恒成立因为()12122233343226402142142k kx x x x k k k k k --⎛⎫⎛⎫-+=-=---= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以120k k +=恒成立即存在1λ=，使得120k k λ+=恒成立.【点睛】此题考察椭圆HY 方程的求法，椭圆中的直线满足某条件求直线方程，椭圆中的直线斜率满足某条件的求法，韦达定理在解析几何中的应用，对运算才能要求高，属于难题()ln f x x =，()bg x ax c x=+-〔,,a b c ∈R 〕. 〔1〕当0c时，假设函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有一样的切线，求,a b 的值；〔2〕当3b a =-时，假设对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；〔3〕当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.【答案】〔1〕1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩〔2〕3〔3〕见解析【解析】试题分析：〔1〕由导数几何意义可得()()111g f ''==，又()()11f g =，解方程组可得,a b 的值；〔2〕先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得c 的最小值；(3)先根据零点表示b ，代入要证不等式化简得1222111ln 1x x xx x x -<<-.再构造函数()1ln 1t t tϕ=+-，以及()ln 1m t t t =-+，结合导数研究其单调性，即证得结论试题解析：解：〔1〕由()ln f x x =，得()10f =，又()1f x x'=，所以()11f '=，. 当0c =时，()bg x ax x=+，所以()2b g x a x -'=，所以()1g a b '=-.因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有一样的切线，所以()()()()1111f g f g ⎧==''⎪⎨⎪⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.〔2〕当01x >时，那么()00f x >，又3b a =-，设()0t f x =，那么题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ． 即关于x 的方程()()230(0)axc t x a t -++-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ．所以()()212120343030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得()()203430a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩， 所以()23ca a t >--对()()0,,0,3t a ∈+∞∈恒成立．因为03a <<，所以〔当且仅当32a=时取等号〕， 又0t -<，所以的取值范围是(),3-∞，所以3c．故c 的最小值为3. 〔3〕当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222b lnx x c x b lnx x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln 1x x b x x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭.要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln 1x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--<-<- ⎪-⎝⎭，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. 令21x t x =，那么1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-．令()1ln 1t t t ϕ=+-，所以()221110t t t t tϕ'-=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增． 又()10ϕ=，所以()1ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以()1110tm t t t-=-=<'，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又()10m=，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.〔2〕根据条件，寻找目的函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或者利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足213(1)n n S S n ++=+()*n ∈N .〔1〕用a 表示2a 的值； 〔2〕求数列{}n a 的通项公式；〔3〕当32a =时，证明：对任意*n N ∈，都有2222232121111112n na a a a -++++<. 【答案】(1)2122a a =-(2)2,13(62)(1),2n n a n a n a n -=⎧=⎨+--≥⎩(3)证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕令1n =即可求解；〔2〕当2n ≥时，通过作差法可求得163n n a a n ++=+，再书写一项2169n n a a n +++=+，通过两式作差可得26n n a a +-=()2n ≥，分类讨论n 的奇偶，即可求解；〔3〕可结合放缩法公式22111n n <-，()2111nn n <-，分别对化简后的表达式22222211111111935(21)3612(1)n n ⎡⎤⎡⎤=⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦进展放缩，再结合裂项公式()()21111212n n n =⋅-+-，()11111n n n n=---的特点即可进一步求解 【详解】〔1〕由条件1n =得12112a a a ++=，2122a a =-.〔2〕由条件213(1)n n S S n ++=+得，213n n S S n -+=()2n ≥两式相减得163n n a a n ++=+()2n ≥，故2169n n a a n +++=+，两式再相减得26n n a a +-=()2n ≥，246,,a a a ∴构成以2a 为首项，公差为6的等差数列； 357,,,a a a 构成以3a 为首项，公差为6的等差数列；由〔1〕得2662na n a =+-；由条件2n =得1231227a a a a a ++++=，得332a a =+，从而21632n a n a +=-+，解法2：设()1(1)n n a x n y a xn y ++++=-++，即122n n a a xn y x +=----那么263230x x y x y ⎧-==-⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩∴有()13(1)3n n a n a n +-+=-- 2n ∴≥时，()2236(1)n n a n a --=-⋅-，即23(62)(1)n na n a -=+-⋅-〔3〕证明：当32a=时，且2n ≥，由〔2〕可知3(1)nn a n ⎡⎤=+-⎣⎦ ①当1n =时，222111912a =< ②当2n ≥时，216(1)n a n -=-，23(21)n a n =+ 1111112361112n n ⎛⎫=--< ⎪+-⎝⎭. 【点睛】此题主要考察分组讨论法求数列通项公式，放缩法和裂项相消法求证不等式恒成立，对于运算才能，分析转化才能有较高要求，属于难题数学Ⅱ附加题局部〔本局部总分值是40分，时间是30分钟〕解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤 21.[选修42：矩阵与变换]矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 假设x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值．【答案】x ，y 的值分别为0，1．【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法那么列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1．试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422a b +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，所以24,{22,a b +=-+=解得2,{ 4.a b ==所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 那么][][][12221444xx x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+=解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线2sin()()4l m m R πρθ-=∈，圆C的参数方程为13cos 23sin x ty t =+⎧⎨=-+⎩〔t 为参数〕．当圆心C 到直线l 2时，求m 的值。

高三12月自主学习诊断数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1、复数1z i =-（i 是虚数单位），则22z z -= ▲ 。

2、、已知定义域为R 的函数121()2x x f x a+-+=+是奇函数，则a = ▲ 。

3、若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，则双曲线的标准方程为 ▲ 。

4、不等式(0x -的解集是 ▲ 。

5、设向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中πβα<<<0，若|2||2|a b a b +=-，则βα-= ▲ 。

6、如果圆22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是▲。

7、若A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则4A ＋1B C+的最小值为 ▲ 。

8、已知函数f (x )=2cos x x -，x ∈ππ[]22-，，则满足f (x 0)＞f (3π)的x 0的取值范围为 ▲ 。

9、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒ l ⊥m ， ②α⊥β⇒l ∥m ，③ l ∥m ⇒α⊥β， ④l ⊥m ⇒α∥β；其中正确命题是 ▲ 。

（写出所有你认为正确命题的序号）10、已知点O 为ABC ∆24==,则=∙ ▲ 。

11、若关于x 的不等式22||x x a <--至少一个负数解，则实数a 的取值范围是 ▲ 。

12、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆：2224a x y +=的切线，切点为E ，直线FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率 为 ▲ 。

13、已知函数)(111)(2R a x ax x x f ∈+++=，若对于任意的*∈N x ，3)(≥x f 恒成立，则a 的取值范围是 ▲ 。

江苏省扬州市（新版）2024高考数学苏教版考试(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．第(2)题已知复数满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(3)题已知，的终边与以原点为圆心，以2为半径的圆交于，则=（）A．B．C．D．第(4)题复数满足，则（）A．1B．C．D．第(5)题如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线相交，直线平面D．直线与直线异面，直线平面第(6)题已知点为锐角的外接圆上任意一点，，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题已知数列满足，且，则（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，且M，N都是全集U的子集，则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（）A．B．为奇函数C．的周期为6D．第(2)题函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（）A．的图象关于点对称B．8是的一个周期C．一定存在零点D．第(3)题若的三个内角的正弦值为，则（）A．一定能构成三角形的三条边B ．一定能构成三角形的三条边C．一定能构成三角形的三条边D．一定能构成三角形的三条边三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，且，则公比的值为_____.第(2)题已知抛物线上一点，且抛物线上两个动点满足，若直线过定点，则的坐标为 _________.第(3)题已知椭圆，经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于、、、四个点，若该两条直线的斜率分别为、，且，则的面积为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列的前项和为，，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，，记数列的前项和为，求．第(2)题如图，在三棱柱中，，，顶点在底面上的射影为的中点，为的中点，是线段上除端点以外的一点.（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积是三棱柱的体积的，求的值.第(3)题已知函数，m为的最小值．(1)求m的植，(2)已知实数n，p，q满足，，且，证明：．第(4)题椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．第(5)题过点作圆的切线，两切线分别与轴交于点，.以，为焦点的椭圆经过点.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆的另一个交点为，求直线被椭圆截得的线段长.。