天津市第一中学2020-2021学年高三上学期月考(一)数学试题(解析版)

2020-2021学年天津市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1. 集合{x∈N|x−3<2}，用列举法表示是()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3, 4}C.{0, 1, 2, 3, 4, 5}D.{1, 2, 3, 4, 5}【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】化简集合，将元素一一列举出来．【解答】解：集合{x∈N|x−3<2}={x∈N|x<5}={0, 1, 2, 3, 4}．故选A．2. 设全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则A∩(∁U B)＝（）A.{−3, 3}B.{0, 2}C.{−1, 1}D.{−3, −2, −1, 1, 3 }【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行补集、交集的运算即可．【解答】全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则∁U B＝{−2, −1, 1}，∴A∩(∁U B)＝{−1, 1}，3. 若2∈{1, a2+1, a+1}，则a＝（）A.2B.1或−1C.1D.−1【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，再根据元素的互异性进行检验即可．【解答】若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，所以a＝1或−1，当a＝1时，a2+1＝a+1，与元素互异性相矛盾，舍去；当a＝−1时，a+1＝0，a2+1＝2，合题意，故a＝−1．4. “x>2”是“x>1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由x>1，我们不一定能得出x>2；x>2时，必然有x>1，故可得结论【解答】解：由x>1，我们不一定能得出x>2，比如x=1.5，所以x>1不是x>2的充分条件；∵x>2>1，∴由x>2，能得出x>1，∴x>1是x>2的必要条件,∴x>2是x>1的充分不必要条件.故选A．5. 设命题p:∃n∈N，n2>2n，则￢p为()A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2=2n【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，故命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n.故选C.6. 下列不等式中成立的是（）A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2C.若a<b<0，则a2<ab<b2D.若a>b，则a3>b3【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】对于选项ABC，直接利用不等式的基本性质的应用进行判断，对于选项D利用配方法判断结果．【解答】对于选项A：当c＝0时，由于a>b，所以c2(a−b)＝0，故选项A错误．对于选项B：由于a>b，当a与b互为相反数时，a2−b2＝(a+b)(a−b)＝0，故选项B错误．对于选项C:a<b<0，所以a2>ab>b2，故选项C错误．对于选项D：由于a>b，所以a3−b3＝(a−b)(a2+ab+b2)＝(a−b)[(a+b2)2+34b2]>0，故选项D正确．故选：D．7. 下列表示图中的阴影部分的是（）A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)8. 下列不等式中，正确的是( )A.a+4a ≥4 B.a2+b2≥4ab C.√ab≥a+b2D.x2+3x2≥2√3【答案】D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．【解答】解：当a<0时，则a+4a≥4不成立，故A错误；当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；当a=4，b=16时，则√ab<a+b2，故C错误；由均值不等式可知D项正确．故选D.9. 一元二次方程ax2+4x+3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.a<0B.a>0C.a<−1D.a>1【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先由已知条件得到{△=16−12a>03a<0，解得a<0，而a<−1能得到a<0，a<0得不到a<−1，所以a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件．【解答】若一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根，则：{a≠016−12a>03 a <0，解得a<0；∴a<−1时，能得到a<0，而a<0，得不到a<−1；∴a<−1是a<0的充分不必要条件，即a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件；10. 已知实数a>0，b>0，+＝1，则a+2b的最小值是（）A. B. C.3 D.2【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填在相应横线上）已知命题p:∃x∈R，x2−1>0，那么￢p是________．【答案】∀x∈R，x2−1≤0【考点】命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】命题为特称命题，则命题的否定为：∀x∈R，x2−1≤0，已知a，b，c均为非零实数，集合A={x|x=|a|a +b|b|+ab|ab|}，则集合A的元素的个数有________个．【答案】2【考点】元素与集合关系的判断【解析】通过对a，b的正负的分类讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值的符号然后进行运算，求出集合中的元素．【解答】当a>0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1+1+1＝3，当a>0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1−1−1＝−1，当a<0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1+1−1＝−1，当a<0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1−1+1＝−1，故x的所有值组成的集合为{−1, 3}设集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，则实数m＝________．【答案】【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由真子集的定义得m2＝m，再利用集合中元素的互异性能求出实数m．【解答】∵集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，∴m2＝m，解得m＝0或m＝1（舍），故实数m＝0．设集合A={x|0≤x≤3}，B={x|1≤x≤5, x∈Z}，则A∩B非空真子集个数为________．【答案】6【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算得出A∩B={1, 2, 3}，然后根据非空真子集个数的计算公式即可求出A∩B的非空真子集的个数．【解答】∵A={x|0≤x≤3}，B={1, 2, 3, 4, 5}，∴A∩B={1, 2, 3}，∴A∩B非空真子集个数为：23−2=6．给出下列条件p与q：①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0；②p:x2−1＝0，q:x−1＝0；③p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．其中p是q的必要不充分条件的序号为________．【答案】②【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】直接利用方程的解法和充分条件和必要条件的应用判断①、②、③的结论．【解答】①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0，解得x＝1或x＝2；，故p＝q，所以p为q的充要条件；②p:x2−1＝0，解得x＝±1，q:x−1＝0；解得x＝1，所以q是p的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件，③p：一个四边形是矩形；则对角线相等，q：四边形的对角线相等．但是该四边形不一定为矩形，故p是q的充分不必要条件．已知全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}，若A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，则集合A＝________，B＝________．【答案】{2, 4, 8},{3, 4, 7}【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出A∩B＝{4}，由此能求出集合A，B．【解答】全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，∴A∩B＝{4}，集合A＝{2, 4, 8}，B＝{3, 4, 7}．已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则实教a的取值范围是________．【答案】[1, 2]【考点】集合的包含关系判断及应用并集及其运算【解析】根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，再求出a的取值范围．【解答】因为A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则B⊆A，则{a≥12a≤4，解得1≤a≤2，所以a的取值范围为[1, 2]．设n∈N∗，一元二次方程x2−4x+n＝0有整数根的充要条件是n＝________．【答案】3或4【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△≥0，n∈N∗，解得n．经过验证即可得出．【解答】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△＝16−4n≥0，n∈N∗，解得1≤n≤4．经过验证n＝3，4时满足条件．若x<53，y＝3x+13x−5，当x＝________43时，y的最大值为________．【答案】,3【考点】基本不等式及其应用【解析】y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由x<53得3x−5<0，y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5≤−2√(5−3x)⋅15−3x+5＝3，当且仅当5−3x=15−3x ，即x=43时取等号，此时y＝3x+13x−5取得最大值3．已知正实数a，b满足a+b＝1，则1a (b+1b)的最小值是________．【答案】2+2√2【考点】基本不等式及其应用【解析】由1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2，然后结合基本不等式即可求解．【解答】∵正实数a，b满足a+b＝1，∴1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2≥2√2ba⋅ab+2=2+2√2，当且仅当2ba =ab且a+b＝1，即a＝2−2√2，b=√2−1时取等号，则1a (b+1b)的最小值2+2√2．三、解答题：（本大题共2个小题，共20分，请用黑色水笔将答案写在规定区域内，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）设集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．（1）若a＝1时，求P∪Q；P∩(∁R Q)；（2）若P∩Q＝⌀，求实数a的取值范围；（3）若P∩Q＝{x|0≤x<3}，求实数a的值．【答案】a＝1时，集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2≤x≤4}．∴P∪Q＝{x|−2<x≤4}，∁R Q＝{x|x<2或x>4}，P∩(∁R Q)＝{x|−2<x<2}．∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝⌀，∴当Q＝⌀时，2a>a+3，解得a>3，当Q≠⌀时，{2a≤a+3a+3≤−2或{2a≤a+32a≥3，解得a≤−5或32≤a≤3，∴实数a的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝{x|0≤x<3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）a ＝1时，求出集合Q ．由此能求出P ∪Q ，求出∁R Q ，由此能求出P ∩(∁R Q)．（2）当Q ＝⌀时，2a >a +3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3，由此能求出实数a 的取值范围．（3）推导出P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，由此能求出实数a ．【解答】a ＝1时，集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2≤x ≤4}．∴ P ∪Q ＝{x|−2<x ≤4}，∁R Q ＝{x|x <2或x >4}，P ∩(∁R Q)＝{x|−2<x <2}．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝⌀， ∴ 当Q ＝⌀时，2a >a +3，解得a >3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3， 解得a ≤−5或32≤a ≤3，∴ 实数a 的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝{x|0≤x <3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．已知集合A ＝{x|2−a ≤x ≤2+a}，B ={x|x ≤1或x ≥4}．(1)当a =3时，求A ∩B ；(2)若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}，B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题补集及其运算交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）a ＝3时化简集合A ，根据交集的定义写出A ∩B ；（2）根据若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈∁R B ”的充分不必要条件，得出关于a 的不等式，求出a 的取值范围即可【解答】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}， B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件， ∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．。

天津一中2019-2020 高三年级一月考数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利!一、选择题：1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|l og1 x ≥﹣1}，则A∪B＝（）2A．（﹣1，2）B．（﹣1，2]C．（0，1）D．（0，2）12．对一切θ∈R，3m2﹣2m＞s i nθc o sθ恒成立，则实数m 的取值范围是（）11 A．（﹣，321）B．（﹣∞，﹣31）∪（2，+∞）1 C．（﹣211，）D．（﹣∞，﹣321）∪（3，+∞）13．把函数f（x）＝s i n x图象上所有点的横坐标缩短到原来的2π 倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．x =-π12B．x =π12C．x =π3D．x =7π124．已知a＝30.1，b＝l og32，c＝c o s4，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜aπ1 5．若s i n（α﹣）＝42π，则c o s（2+2α）＝（）3211 A．-B．-C．﹣D．- 43236．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，若f（2+x）＝f（﹣x），f（1）＝3，则f（2018）+f（2019）的值为（）A．﹣3 B．0 C．3 D．67．用边长为18cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm⎧⎪x(e x -e-x ), 8．设函数f（x）＝⎨⎪⎩-x2 -2x -4,x ≥0x <0，若函数g（x）＝f（x）﹣ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）9．已知函数f（x）＝s i n（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，π），其图象关于直线x＝π对2π称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝2π6，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）6A．[kπ-π,kπ+π]（k∈Z）B．[kπ,kπ+π]（k∈Z）622C．[kπ+ π,kπ+5π]（k∈Z）D．[kπ+π,kπ+7π]（k∈Z）361212二、填空题：10．已知复数z＝ai2-i（a∈R）的实部为﹣1，则|z|＝111．已知s i nα-c o sα=(0 <α<π)，则cos4 α+sin4 α的值是．312．已知函数f (x) =(bx -1)e x +a(a,b ∈R)．若曲线y =f (x) 在点(0 ，f (0)) 处的切线方程为y =x ，则a ，b 的值分别为a= ，b= ．13．已知函数f（x）＝|l og3x|，实数m，n 满足0＜m＜n，且f（m）＝f（n），若f（x）在[m2，n]的最大值为2，则n＝．m14．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3 个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i （i＝1，2）个球放在甲盒中，放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数ξi（i＝1，2），则E（ξ1）+E（ξ2）的值为15．已知函数f（x）＝s i n2x﹣2c o s2x+1，有以下结论：①若f（x1）＝f（x2），则x1﹣x2＝kπ（k∈Z）：②f（x）在区间[﹣7π 3π，﹣84]上是增函数：③f（x）的图象与g（x）＝﹣2c o s（2x﹣2π ）图象关于x 轴对称：3π ④设函数h（x）＝f（x）﹣2x，当θ＝12π时，h（θ﹣2）+h（θ）+h（θ+2）＝﹣．2其中正确的结论为．])三、解答题：16．已知 0 < α < π ， cos(α+ π=2 45（1）求 t a n(α+ π) 的值；4（2）求 s i n(2α+ π) 的值．317．已知函数 f (x ) = 2 s in x - x c os x - x ， f '(x ) 为 f (x ) 的导数．（Ⅰ）求曲线 y = f (x ) 在点 A (0 ， f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）证明： f '(x ) 在区间 (0,π) 上存在唯一零点；（ Ⅲ ） 设 g (x ) = x 2 - 2x + a (a ∈ R ) ， 若 对 任 意 x ∈ [0 ， π] ， 均 存 在 x ∈ [1 ， 2] ， 使 得12f (x 1 ) >g (x 2 ) ，求实数 a 的取值范围．π π18．已知函数 f (x ) = sin(2ωx + ) + sin(2ωx - 3 3) + 2 cos 2 ωx ，其中ω> 0 ，且函数 f (x ) 的最小正周期为π （1）求ω的值；（2）求 f (x ) 的单调增区间（3）若函数 g (x ) = f (x ) - a 在区间 [- π ， π上有两个零点，求实数 a 的取值范围． 4 4x 19．设椭圆 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的右顶点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的离心率为 ，a 2b 2 3| AB |=（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的 3 倍，求的值.20．已知函数 f (x ) = lnx ， g (x ) = a x 2+ bx - 1 ， (a , b ∈ R )（Ⅰ）当 a = -1 ， b = 0 时，求曲线 y = f (x ) - g (x ) 在 x = 1 处的切线方程；（Ⅱ）当 b = 0 时，若对任意的 x ∈ [1 ， 2] ， f (x ) + g (x ) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（Ⅲ）当 a = 0 ， b > 0 时，若方程 f (x ) = g (x ) 有两个不同的实数解 x 1 ， x 2 (x 1 < x 2 ) ，求证：x 1 + x 2 > 2 ．参考答案：一．选择题（共9 小题）1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|l og x≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故选：B．2．【解答】解：对一切θ∈R，3m2﹣m＞s i nθc osθ恒成立，转化为：3m2﹣m＞s i nθc osθ的最大值，又θ∈R 知s i nθc osθ∈[﹣，]，s i nθc osθ的最大值为；所以3m2﹣m＞；可得m＜﹣或m＞．故选：B．3．【解答】解：函数f（x）＝s i n x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y＝s i n2x，再把所得曲线向右平移个单位长度，可得y＝s i n2（x）＝s i n（2x﹣）由对称轴方程2x﹣＝，k∈Z当k＝﹣1 时，可得一条对称轴x＝故选：A．4．【解答】解：∵30.1＞30＝1，0＝log31＜log32＜log33＝1，，c os4＜0；∴c＜b＜a．故选：C．5．【解答】解：∵s i n（α﹣）＝，则c os（+2α）＝﹣c os[π﹣（+2α）]＝﹣c os（﹣2α）＝﹣c os（2α﹣）＝﹣1+2＝﹣1+2×＝﹣，故选：C．6．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），又f（2+x）＝f（﹣x），∴f（2+x）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，∴f（2018）+f（2019）＝f（4×504+2）+f（4×504+3）＝f（2）+f（3），又f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，∴f（2018）+f（2019）＝﹣3．故选：A．7．【解答】解：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意得，V＝x（18﹣2x）2（0＜x＜9），V′＝12（3﹣x）（9﹣x），令V′＝0，则在（0，9）内有x＝3．故当x＝3 时，V 有最大值；故选：C．8．【解答】解：由y＝f（x）﹣ax 恰有两个零点，而当x＝0 时，y＝f（0）﹣0＝0，即x＝0 是函数的一个零点，故当x≠0 时，必有一个零点，即函数与函数y＝a 必有一个交点，作出函数h（x）图象如下所示，由图可知，要使函数h（x）与函数y＝a 有一个交点，只需0＜a＜2 即可．故实数a 的取值范围是（0，2）．故选：A．9．【解答】解：已知函数f（x）＝s i n（ωx+θ），其中ω＞0，0∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|m in＝＝•，∴ω＝2．再根据其图象关于直线x＝对称，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝s i n（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝s i n（2x++）＝cos2x 的图象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则函数g（x）的单调递减区间是[kπ，kπ+]，k∈Z，故选：B．二．填空题（共6 小题）10．【解答】解：∵z＝＝，∴，即a＝5．∴z＝﹣1+2i，则|z|＝．故答案为：．11．【解答】解：把s i nα+c osα＝，两边平方得：（s i nα+c osα）2＝1+2s i nαc osα＝，即2sinαcosα＝﹣，则s i nαc osα＝﹣，则c os4α+s i n4α＝（s i n2α+c os2α）2﹣2s i n2αc os2α＝1﹣2（）2＝．故答案为：．12．【解答】解：f (x) =(bx -1)e x +a 得f '(x) =e x (bx +b -1)，曲线y =f (x) 在点(0 ，f (0)) 处的切线方程为y =x ．f '(0) =1，f (0) =0，即b -1=1，-1+a =0，解得a =1，b =2 ，故答案为：1，2．13．【解答】解：∵f（x）＝|l og3x|，正实数m，n 满足m＜n，且f（m）＝f（n），∴﹣log3m＝log3n，∴mn＝1．∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f（x）在[m2，1）上是减函数，在（1，n]上是增函数，∴﹣log3m2＝2，或log3n＝2．若﹣log3m2＝2 是最大值，得m＝，则n＝3，此时log3n＝1，满足题意条件．那么：同理：若log3n＝2 是最大值，得n＝9，则m＝，此时﹣log3m2＝4，不满足题意条件．综合可得m＝，n＝3，故，故答案为9．14．【解答】解：甲盒中含有红球的个数ξ1 的取值为1，2，则P（ξ1＝1）＝，P（ξ1＝2）＝．则E（ξ1）＝；甲盒中含有红球的个数ξ2 的取值为1，2，3，则P（ξ2＝1）＝＝，P（ξ2＝2）＝＝，P（ξ2＝3）＝＝．则E（ξ2）＝．∴E（ξ1）+E（ξ2）＝．故答案为：．15．【解答】解：函数化简可得f（x）＝s i n2x﹣2c os2x+1＝2s i n（2x﹣），对于①：若f（x1）＝f（x2），可知x1，x2 关于对称轴是对称的，即x1+x2＝，∴①不对；对于②：令2x﹣，可得；∴f（x）在区间[﹣，﹣]上是增函数：②正确；对于③：f （x ）的图象关于 x 轴对称，可得 y ＝﹣2s i n （2x ﹣）＝﹣2c o s （2x ﹣) ))）；∴③对；对于④：设函数 h （x ）＝f （x ）﹣2x ＝2s i n （2x ﹣）﹣2x当θ＝时，h （θ﹣2）＝2s i n （2（θ﹣2）﹣）﹣2（θ﹣2）＝2s i n （2θ﹣4﹣）﹣（2θ﹣4）h （θ）＝2s i n （2θ﹣）﹣2θh （θ+2）＝2s i n （2θ+4﹣）﹣（2θ+4）∴h （θ﹣2）+h （θ）+h （θ+2）＝﹣． 故答案为：②③④三．解答题（共 5 小题）16 ．【 分 析 】（ 1 ） 由 题 意 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 求 得 ， s i n(α+ π) 的 值 ， 可 得4t a n(α+ π ) 的值． 4（2）先求得 t a n α 的值，再利用二倍角公式求得 s i n 2α 、 c o s 2α的值，再利用两角和的正弦公式求得 s i n(2α+ π) 的值．3【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 已 知 0 < α < π， cos(α+ π =， 2 45π ∴ s i n(α+ ) ==，4∴ tan(α+ π = s i n(α+ π 4 π= 2 ． 4 cos(α+ )4对于③：f（x）的图象关于x 轴对称，可得y＝﹣2s i n（2x﹣）＝﹣2c o s（2x﹣) ( ( ) π α+ 1（2） t a n(α+ ) = tan 1= 2 ，∴ t a n α = ，4 1 - tan α 3∴ s i n 2α = 2 s i n αc o s α = 2 t a n α 3c o s =2 α- s i n =2 α 1 - t a n =2α 4 = ， c o s 2α= = = ，sin 2 α+ cos 2 α t a n 2 α+ 1 5 s i n 2 α+ cos 2 α tan 2 α+ 1 5π + s i n(2α+ ) = 3 ． 3 1017．【分析】（Ⅰ）求出 f '(x ) ，推出 f '(0) = 0 ， f (0) = 0 ，然后求解曲线 y = f (x ) 在点 A (0 ，f (0)) 处的切线方程．（Ⅱ）设g (x ) = f '(x ) ，则 g (x ) = c os x + x sin x - 1 ， g '(x ) = x c os x ．求出函数的导数，得到函数的单调区间，然后转化求解函数的零点．（ Ⅲ ） 由 已 知 ， 转 化 为 f (x )min > g (x )min ， 求 出 g (x )min = g （ 1 ） = a - 1 ． 设 为 x 0 ， 且 当x ∈ (0, x 0 ) 时， f '(x ) > 0 ；当 x ∈ (x 0 ，π) 时， f '(x ) < 0 ，求出函数的最小值，然后求解 a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ） f '(x ) = c os x + x sin x - 1 ，所以 f '(0) = 0 ， f (0) = 0 ， 从而曲线 y = f (x ) 在点 A (0 ， f (0)) 处的切线方程为 y = 0 ． （Ⅱ）设 g (x ) = f '(x ) ，则 g (x ) = c os x + x sin x - 1 ， g '(x ) = x c os x ．当 x ∈ (0,π时， g '(x ) > 0 ；2当 x ∈ π,π) 时， g '(x ) < 0 ，2π π所以 g (x ) 在 (0, ) 单调递增，在 ( ,π) 单调递减．2 2又 g (0) = 0, g π> 0, g (π) = -2 ，2故 g (x ) 在 (0,π) 存在唯一零点．所以 f '(x ) 在 (0,π) 存在唯一零点．（Ⅲ）由已知，转化为 f (x )min > g (x )min ，且 g (x )min = g （1） = a - 1 ．由（Ⅱ）知， f '(x ) 在 (0,π) 只有一个零点，设为 x 0 ，且当 x ∈ (0, x 0 ) 时， f '(x ) > 0 ； 当 x ∈ (x 0 ，π) 时， f '(x ) < 0 ，所以 f (x ) 在 (0, x 0 ) 单调递增，在 (x 0 ，π) 单调递减．] ( )] 又 f (0) = 0 ， f (π) = 0 ，所以当 x ∈ [0 ，π] 时， f (x )min = 0 ． 所以 0 > a - 1 ，即 a < 1 ， 因此， a 的取值范围是 (-∞,1) ．18 ．【 分 析 】（ 1 ） 利 用 三 角 函 数 恒 等 变 换 的 应 用 化 简 函 数 解 析 式 可 得f (x ) ωx + π ) + 1 ，利用三角函数周期公式可求 ω的值．4（2）由正弦函数的单调性可求 f (x ) 的单调增区间．（ 3 ） 作 出 函 数 y = f (x ) 在 [- π ， π 上 的 图 象 ， 从 图 象 可 看 出 f (0) = f π= 2 ， 4 4 4π π π f ( ) =+ 1 ， 可 求 当 曲 线 y = f (x ) 与 y = a 在 x ∈ [- ， ] 上 有 两 个 交 点 时 ，8 4 42 a < 1 ，即可得解实数 a 的取值范围．【解答】（本题满分为 12 分）π π 解：（1） f (x ) = sin(2ωx + ) + sin(2ωx - 3 3) + 2 cos 2 ωx= 1 s i n 2ωx + o s 2ωx + 1 s i n 2ωx - o s 2ωx + 1 + c o s 2ωx 2 2 = s i n 2ωx + c o s 2ωx + 1π=ωx + ) + 1 ， ⋯3 分 4T = 2π= π ，2ω∴ω= 1⋯ 4 分（2）由 2k π - π 2x + π 2k π + π， k ∈ Z ， ⋯6 分2 4 2解得： - 3π + k π x π+ k π ， k ∈ Z ， ⋯7 分8 8可得 f (x ) 的单调增区间为： [- 3π + k π， π+ k π] ， k ∈ Z ， ⋯8 分8 8（3）作出函数 y = f (x ) 在 [- π ， π 上的图象如右： 4 4]函数 g (x ) 有两个零点，即方程 f (x ) - a = 0 有两解，亦即曲线 y = f (x ) 与 y = a 在 x ∈ [- π，4π ] 上有两个交点， 4π π从图象可看出 f (0) = f ( ) = 2 ， f ( ) = 1 ，4 8所以当曲线 y = f (x ) 与 y = a 在 x ∈ [- π ， π 上有两个交点时， 4 4则 2 a < 1 ，即实数 a 的取值范围是 [2 ， 1) ． ⋯12 分19．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为 ，由已知得∴ ， ，所以，椭圆的方程为． （II ）设点，，由题意，且由的面积是面积的 3 倍，可得，所以，从而，所以，即．易知直线 的方程为 ，由消去 ，可得由方程组消去 ，可得．由，可得，整理得，解得 ，或 ．当时， ，符合题意；当时， ，不符合题意，舍去． 所以， 的值为．20．【分析】（Ⅰ）求出 y = f (x ) - g (x ) 的导函数，求出函数在 x = 1 时的导数得到切线的斜率， 然后用一般式写出切线的方程；（ Ⅱ） 对 ∀x ∈ [1 ， 2] ， f (x ) + g (x ) 0 都 成 立 ， 则 对 ∀x ∈ [1 ， 2] ， a - x 2lnx + x 2 ， 恒 成 立，构造函数 h (x ) = - x 2lnx + x 2 (1 x 2) ，求出 h (x ) 的最大值可得 a 的范围；（Ⅲ）由 f (x ) = g (x ) ，得 lnx - bx + 1 = 0 ，构造函数 F (x ) = lnx - bx + 1(x > 0) ，将问题转化为证明 F ( 2b 2 - x 1 ) > 0 = F (x 1 ) ，然后构造函数证明 F ( b - x 1 ) > F (x 1 ) = 0 = F (x 2 ) 即可．【解答】解：（Ⅰ）当 a = -1 时， b = 0 时， y = lnx + 1 x 2 + 1 ，∴ 当 x = 1 时， y = 2 ，∴ y ' = 1 - 2，∴ 当 x = 1 时， y ' = -1 ，x x 3∴ 曲线 y = f (x ) - g (x ) 在 x = 1 处的切线方程为 x + y - 3 = 0 ；（ Ⅱ ） 当 b = 0 时 ， 对 ∀x ∈ [1 ， 2] ， f (x ) + g (x ) 0 都 成 立 ， 则 对 ∀x ∈ [1 ， 2] ， a - x 2lnx + x 2 恒成立，令 h (x ) = - x 2lnx + x 2 (1 x 2) ，则 h '(x ) = -2xlnx + x ．令 h '(x ) = 0 ，则 x =∴ 当 1 < x <， h '(x ) > 0 ，此时 h (x ) 单调递增；当< x < 2 时， h '(x ) < 0 ，此时 h (x ) 单调递减，∴ h (x )= h= e，∴ a e ， max22∴ a 的取值范围为 [ e, +∞) ；2（Ⅲ）当 a = 0 ， b > 0 时，由 f (x ) = g (x ) ，得 lnx - bx + 1 = 0 ，方程 f (x ) = g (x ) 有两个不同的实数解 x 1 ， x 2 (x 1 < x 2 ) ，1 1 令 F (x ) = lnx - bx + 1(x > 0) ，则 F (x 1 ) = F (x2 ) = 0 ， F '(x ) = - b ，令 F '(x ) = 0 ，则 x = ，x b∴ 当 0 < x < 1时， F '(x ) > 0 ，此时 F (x ) 单调递增；当 x > 1 时， F '(x ) < 0 ，此时 F (x ) 单调b b递减，∴ F (x )= F (1 ) > 0 ，∴ 0 < b < 1 ，又 F (1) = - b < 0 ， F （1） = 1 - b > 0 ，max bee1 12 1 ∴ < x 1 < 1 < ，∴ - x 1 > ，e b bb2 2 2∴ 只要证明 x 2 > - x 1 ，就能得到 x 1 + x 2 > > 2 ，即只要证明 F ( - x 1 ) > 0 = F (x 1 ) ， b b b2b (x - 1)2令 G (x ) = F ( 2 - x ) - F (x ) = ln ( 2 - x ) - lnx + 2bx - 2(0 < x 1 ) ，则 G '(x ) = b b b∴ G (x ) 在 (0, 1 ) 上单调递减，则 G (x ) > G (1 ) = F ( 2 - 1 ) - F (1) = 0 ，b x (x - 2)b< 0 ， b b b b bG (x ) = F ( 2 - x ) - F (x ) > 0 ，∴ F ( 2- x ) > F (x ) = 0 = F (x ) ， ∴ 1 b 1 1 b 1 1 2x > 2- x ，∴ x + x > 2 > 2 ，即 x + x > 2 ，证毕． ∴ 2 b 11 2 b 1 2。

2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。

天津一中2019-2020高三年级一月考数学试卷（理）本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利!一、选择题：1．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |12log x ≥﹣1}，则A ∪B ＝（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．（0，1）D ．（0，2）2．对一切θ∈R ，3m 2﹣12m ＞sinθcosθ恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．（﹣13，12）B ．（﹣∞，﹣13）∪（12，+∞）C ．（﹣12，13）D ．（﹣∞，﹣12）∪（13，+∞）3．把函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．712x π=4．已知a ＝30.1，b ＝log 32，c ＝cos4，则（）A ．c ＜a ＜bB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a5．若sin （α﹣4π）＝12，则cos （2π+2α）＝（）A ．34-B ．23-C ．﹣12D ．13-天津一中2019-2020高三年级一月考数学试卷6．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若f （2+x ）＝f （﹣x ），f （1）＝3，则f （2018）+f （2019）的值为（）A ．﹣3B ．0C ．3D ．67．用边长为18cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm8．设函数f （x ）＝2(),024,0x xx e e x x x x -⎧-≥⎪⎨---<⎪⎩，若函数g （x ）＝f （x ）﹣ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．（0，2）B ．（0，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）9．已知函数f （x ）＝sin （ωx +θ），其中ω＞0，θ∈（0，2π），其图象关于直线x ＝6π对称，对满足|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2的x 1，x 2，有|x 1﹣x 2|min ＝2π，将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）的单调递减区间是（）A ．[,62k k ππππ-+]（k ∈Z ）B ．[,2k k πππ+]（k ∈Z ）C ．[5,36k k ππππ++]（k ∈Z ）D ．[7,1212k k ππππ++]（k ∈Z ）二、填空题：10．已知复数z ＝2aii-（a ∈R ）的实部为﹣1，则|z |＝11．已知1sin cos 3αα-=(0)απ<<，则44cos sin αα+的值是．12．已知函数()(1)(,)x f x bx e a a b R =-+∈．若曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为y x =，则a ，b 的值分别为a =，b =．13．已知函数f （x ）＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f （m ）＝f （n ），若f （x ）在[m 2，n ]的最大值为2，则n m＝．14．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i （i ＝1，2）个球放在甲盒中，放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数ξi （i ＝1，2），则E （ξ1）+E （ξ2）的值为15．已知函数f （x ）＝sin2x ﹣2cos 2x +1，有以下结论：①若f （x 1）＝f （x 2），则x 1﹣x 2＝k π（k ∈Z ）：②f （x ）在区间[﹣78π，﹣34π]上是增函数：③f （x ）的图象与g （x ）＝﹣2cos （2x ﹣23π）图象关于x 轴对称：④设函数h （x ）＝f （x ）﹣2x ，当θ＝12π时，h （θ﹣2）+h （θ）+h （θ+2）＝﹣2π．其中正确的结论为．三、解答题：16．已知02πα<<，5cos()45πα+=．（1）求tan()4πα+的值；（2）求sin(23πα+的值．17．已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：()f x '在区间(0,)π上存在唯一零点；（Ⅲ）设2()2()g x x x a a R =-+∈，若对任意1[0x ∈，]π，均存在2[1x ∈，2]，使得12()()f x g x >，求实数a 的取值范围．18．已知函数2()sin(2sin(22cos 33f x x x x ππωωω=++-+，其中0ω>，且函数()f x 的最小正周期为π（1）求ω的值；（2）求()f x 的单调增区间（3）若函数()()g x f x a =-在区间[4π-，]4π上有两个零点，求实数a 的取值范围．19．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为3，||AB =（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.20．已知函数()f x lnx =，2()1ag x bx x =+-，(,)a b R ∈（Ⅰ）当1a =-，0b =时，求曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程；（Ⅱ）当0b =时，若对任意的[1x ∈，2]，()()0f x g x + 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当0a =，0b >时，若方程()()f x g x =有两个不同的实数解1x ，212()x x x <，求证：122x x +>．一．选择题（共9小题）1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|log x≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故选：B．2．【解答】解：对一切θ∈R，3m2﹣m＞sinθcosθ恒成立，转化为：3m2﹣m＞sinθcosθ的最大值，又θ∈R知sinθcosθ∈[﹣，]，sinθcosθ的最大值为；所以3m2﹣m＞；可得m＜﹣或m＞．故选：B．3．【解答】解：函数f（x）＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y＝sin2x，再把所得曲线向右平移个单位长度，可得y＝sin2（x）＝sin（2x﹣）由对称轴方程2x﹣＝，k∈Z当k＝﹣1时，可得一条对称轴x＝4．【解答】解：∵30.1＞30＝1，0＝log31＜log32＜log33＝1，，cos4＜0；∴c＜b＜a．故选：C．5．【解答】解：∵sin（α﹣）＝，则cos（+2α）＝﹣cos[π﹣（+2α）]＝﹣cos（﹣2α）＝﹣cos（2α﹣）＝﹣1+2＝﹣1+2×＝﹣，故选：C．6．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），又f（2+x）＝f（﹣x），∴f（2+x）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，∴f（2018）+f（2019）＝f（4×504+2）+f（4×504+3）＝f（2）+f（3），又f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，∴f（2018）+f（2019）＝﹣3．故选：A．7．【解答】解：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意得，V＝x（18﹣2x）2（0＜x＜9），V′＝12（3﹣x）（9﹣x），令V′＝0，则在（0，9）内有x＝3．故当x＝3时，V有最大值；故选：C．8．【解答】解：由y＝f（x）﹣ax恰有两个零点，而当x＝0时，y＝f（0）﹣0＝0，即x＝0是函数的一个零点，故当x≠0时，必有一个零点，即函数与函数y＝a必有一个交点，作出函数h（x）图象如下所示，由图可知，要使函数h（x）与函数y＝a有一个交点，只需0＜a＜2即可．故实数a的取值范围是（0，2）．故选：A．9．【解答】解：已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，0∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝＝•，∴ω＝2．再根据其图象关于直线x＝对称，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（2x++）＝cos2x的图象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则函数g（x）的单调递减区间是[kπ，kπ+]，k∈Z，故选：B．二．填空题（共6小题）10．【解答】解：∵z＝＝，∴，即a＝5．∴z＝﹣1+2i，则|z|＝．故答案为：．11．【解答】解：把sinα+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝﹣，则sinαcosα＝﹣，则cos 4α+sin 4α＝（sin 2α+cos 2α）2﹣2sin 2αcos 2α＝1﹣2（）2＝．故答案为：．12．【解答】解：()(1)x f x bx e a =-+得()(1)x f x e bx b '=+-，曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为y x =．(0)1f '=，(0)0f =，即11b -=，10a -+=，解得1a =，2b =，故答案为：1，2．13．【解答】解：∵f （x ）＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f （m ）＝f （n ），∴﹣log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1．∵f （x ）在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f （x ）在[m 2，1）上是减函数，在（1，n ]上是增函数，∴﹣log 3m 2＝2，或log 3n ＝2．若﹣log 3m 2＝2是最大值，得m ＝，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意条件．那么：同理：若log 3n ＝2是最大值，得n ＝9，则m ＝，此时﹣log 3m 2＝4，不满足题意条件．综合可得m＝，n＝3，故，故答案为9．14．【解答】解：甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1，2，则P（ξ1＝1）＝，P（ξ1＝2）＝．则E（ξ1）＝；甲盒中含有红球的个数ξ2的取值为1，2，3，则P（ξ2＝1）＝＝，P（ξ2＝2）＝＝，P（ξ2＝3）＝＝．则E（ξ2）＝．∴E（ξ1）+E（ξ2）＝．故答案为：．15．【解答】解：函数化简可得f（x）＝sin2x﹣2cos2x+1＝2sin（2x﹣），对于①：若f（x1）＝f（x2），可知x1，x2关于对称轴是对称的，即x1+x2＝，∴①不对；对于②：令2x﹣，可得；∴f（x）在区间[﹣，﹣]上是增函数：②正确；对于③：f （x ）的图象关于x 轴对称，可得y ＝﹣2sin （2x ﹣）＝﹣2cos （2x﹣）；∴③对；对于④：设函数h （x ）＝f （x ）﹣2x ＝2sin （2x ﹣）﹣2x当θ＝时，h （θ﹣2）＝2sin （2（θ﹣2）﹣）﹣2（θ﹣2）＝2sin （2θ﹣4﹣）﹣（2θ﹣4）h （θ）＝2sin （2θ﹣）﹣2θh （θ+2）＝2sin （2θ+4﹣）﹣（2θ+4）∴h （θ﹣2）+h （θ）+h （θ+2）＝﹣．故答案为：②③④三．解答题（共5小题）16．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得，sin()4πα+的值，可得tan()4πα+的值．（2）先求得tan α的值，再利用二倍角公式求得sin 2α、cos 2α的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(23πα+的值．【解答】解：（1）已知02πα<<，cos()45πα+=，25sin()45πα∴+==，sin(4tan(24cos()4παπαπα+∴+==+．（2）tan 1tan()241tan πααα++==- ，1tan 3α∴=，2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 15ααααααα∴===++，222222cos sin 1tan 4cos2sin cos tan 15ααααααα--===++，343sin(2)310πα++=．17．【分析】（Ⅰ）求出()f x '，推出(0)0f '=，(0)0f =，然后求解曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程．（Ⅱ）设()()g x f x '=，则()cos sin 1g x x x x =+-，()cos g x x x '=．求出函数的导数，得到函数的单调区间，然后转化求解函数的零点．（Ⅲ）由已知，转化为()()min min f x g x >，求出()min g x g =（1）1a =-．设为0x ，且当0(0,)x x ∈时，()0f x '>；当0(x x ∈，)π时，()0f x '<，求出函数的最小值，然后求解a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）()cos sin 1f x x x x '=+-，所以(0)0f '=，(0)0f =，从而曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程为0y =．（Ⅱ）设()()g x f x '=，则()cos sin 1g x x x x =+-，()cos g x x x '=．当(0,)2x π∈时，()0g x '>；当(,)2x ππ∈时，()0g x '<，所以()g x 在(0,2π单调递增，在(,)2ππ单调递减．又(0)0,()0,()22g g g ππ=>=-，故()g x 在(0,)π存在唯一零点．所以()f x '在(0,)π存在唯一零点．（Ⅲ）由已知，转化为()()min min f x g x >，且()min g x g =（1）1a =-．由（Ⅱ）知，()f x '在(0,)π只有一个零点，设为0x ，且当0(0,)x x ∈时，()0f x '>；当0(x x ∈，)π时，()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 单调递增，在0(x ，)π单调递减．又(0)0f =，()0f π=，所以当[0x ∈，]π时，()0min f x =．所以01a >-，即1a <，因此，a 的取值范围是(,1)-∞．18．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得())14f x x πω=++，利用三角函数周期公式可求ω的值．（2）由正弦函数的单调性可求()f x 的单调增区间．（3）作出函数()y f x =在[4π-，4π上的图象，从图象可看出(0)()24f f π==，()18f π=+，可求当曲线()y f x =与y a =在[4x π∈-，]4π上有两个交点时，21a < ，即可得解实数a 的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）2()sin(2)sin(22cos 33f x x x x ππωωω=++-+ 11sin 22221cos 222x x x x x ωωωωω=++-++sin 2cos 21x x ωω=++)14x πω=++，3⋯分22T ππω== ，14ω∴=⋯分（2）由222242k x k πππππ-++ ，k Z ∈，6⋯分解得：388k x k ππππ-++ ，k Z ∈，7⋯分可得()f x 的单调增区间为：3[8k ππ-+，]8k ππ+，k Z ∈，8⋯分（3）作出函数()y f x =在[4π-，4π上的图象如右：函数()g x 有两个零点，即方程()0f x a -=有两解，亦即曲线()y f x =与y a =在[4x π∈-，]4π上有两个交点，从图象可看出(0)(24f f π==，()18f π=，所以当曲线()y f x =与y a =在[4x π∈-，]4π上有两个交点时，则21a < ，即实数a 的取值范围是[21)．12⋯分19．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知得∴，，所以，椭圆的方程为．（II ）设点，，由题意，且由的面积是面积的3倍，可得，所以，从而，所以，即．易知直线的方程为，由消去，可得由方程组消去，可得．由，可得，整理得，解得，或．当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．所以，的值为．20．【分析】（Ⅰ）求出()()y f x g x =-的导函数，求出函数在1x =时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；（Ⅱ）对[1x ∀∈，2]，()()0f x g x + 都成立，则对[1x ∀∈，2]，22a x lnx x -+ ，恒成立，构造函数22()(12)h x x lnx x x =-+ ，求出()h x 的最大值可得a 的范围；（Ⅲ）由()()f x g x =，得10lnx bx -+=，构造函数()1(0)F x lnx bx x =-+>，将问题转化为证明112()0()F x F x b ->=，然后构造函数证明1122()()0()F x F x F x b->==即可．【解答】解：（Ⅰ）当1a =-时，0b =时，211y lnx x=++，∴当1x =时，2y =，312y x x '∴=-，∴当1x =时，1y '=-，∴曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程为30x y +-=；（Ⅱ）当0b =时，对[1x ∀∈，2]，()()0f x g x + 都成立，则对[1x ∀∈，2]，22a x lnx x -+ 恒成立，令22()(12)h x x lnx x x =-+ ，则()2h x xlnx x '=-+．令()0h x '=，则x =∴当1x <<，()0h x '>，此时()h x 2x <<时，()0h x '<，此时()h x 单调递减，∴()2max e h x h ==，2e a ∴ ，a ∴的取值范围为[,)2e+∞；（Ⅲ）当0a =，0b >时，由()()f x g x =，得10lnx bx -+=，方程()()f x g x =有两个不同的实数解1x ，212()x x x <，令()1(0)F x lnx bx x =-+>，则12()()0F x F x ==，1()F x b x '=-，令()0F x '=，则1x b=，∴当10x b <<时，()0F x '>，此时()F x 单调递增；当1x b>时，()0F x '<，此时()F x 单调递减，∴1()()0max F x F b =>，01b ∴<<，又1(0bF e e =-<，F （1）10b =->，∴1111x e b <<<，∴121x b b->，∴只要证明212x x b >-，就能得到1222x x b +>>，即只要证明112()0()F x F x b->=，令221()()()()22(0)G x F x F x ln x lnx bx x b b b =--=--+-< ，则212()()02()b x b G x x x b -'=<-，()G x ∴在1(0,b 上单调递减，则1211()((()0G x G F F b b b b >=--=，∴1112()()()0G x F x F x b =-->，∴1122()()0()F x F x F x b ->==，∴212x x b >-，∴1222x x b+>>，即122x x +>，证毕．。

6. 为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，则分配方案共有 .A. 264种B. 224种C. 250种D. 236 种7. 已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++，则不等式f(2x+3)- f(1)<0的解集为（ ） A. (-2，+∞) B. (-1，+∞) C. (-2，-1) D. (-∞，-1)8. 设函数212()52x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ）A. ()16,32B. (18，34)C. (17，35)D. (6，7)9. 已知函数(](]13,1,01(),0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪+=⎨⎪∈⎩，且()()g x f x mx m =---在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 91,20,42⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B. 111,20,42⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C. 92,20,43⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D. 112,20,43⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦二、填空题10. 设复数z 满足：(2)5z i +=，则z i -=11. 已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中x 的值为12. 命题“x R ∀∈，2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是13. 已知1cos 4α=，则sin(2)2πα-= 14. 在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 15. 设函数2172()2,04(),0k x x f x x x ⎧+-+≤⎪=⎨⎪>⎩，4()()(0)3g x k x k =->，若存在唯一的整数使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是 .17. 随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加。

天津一中2020 高三年级第三次月考数学试卷（理）一、选择题：1.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由，解得集合，集合，故.考点：集合的运算.2.已知实数满足约束条件，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】如图，作出不等式组表示的平面区域，由z＝x+4y可得：，平移直线，由图像可知：当直线过点B时，直线的截距最小，此时z最小。

将代入目标函数得：，故选：C。

【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．3.执行如图所示的程序框图,则输出的n值是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】执行程序框图，时，；时，；时，；时，，，满足循环终止条件，退出循环，输出的值是9，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.下列判断正确的是（）A. “”是“” 的充分不必要条件B. 函数的最小值为2C. 当时，命题“若，则”的逆否命题为真命题D. 命题“”的否定是“”【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判断；利用基本不等式的条件“一正二定三相等”判断，利用原命题与逆否命题的等价性判断；利用全称命题的否定判断.【详解】当时，成立，不成立，所以不正确；对，当，即时等号成立，而，所以,即的最小值不为2，所以不正确；由三角函数的性质得“若,则”正确，故其逆否命题为真命题，所以正确；命题“,”的否定是“,”，所以不正确，故选C.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要考查充分条件与必要条件、基本不等式的性质、原命题与逆否命题的等价性、全称命题的否定，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己掌握熟练的知识点入手、结合特殊值的应用，最后集中精力突破较难的命题.5.已知函数，图象相邻两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】【分析】由函数y=f（x）的图象与性质求出T、ω和φ，写出函数y=f（x）的解析式，再求f（x）的对称轴和对称中心．【详解】由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为4π，所以ω==，所以f（x）=sin（x+φ）；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[（x+）+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，k∈Z；又|φ|＜，所以φ=，所以f（x）=sin（x+），令x+=kπ，k∈Z，解得x=2k﹣，k∈Z；令k=0时，得f（x）的图象关于点（-，0）对称．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，是基础题．6.已知抛物线，直线倾斜角是且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的焦点为,由弦长计算公式有,所以抛物线的标线方程为,准线方程为,故双曲线的一个焦点坐标为,即,所以,渐近线方程为,直线方程为,所以点,点P到双曲线的一条渐近线的距离为,选D.点睛: 本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质, 属于中档题. 先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出的值,根据双曲线中的关系求出,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点P到双曲线的一条渐近线的距离.7.已知函数对于任意的满足，其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即；故选B.点睛：处理本题的关键是合理利用的形式，恰当构造，这是导数在函数中应用中的常见题型，要在学习过程中积累构造方法.8.已知是半径为的圆上的三点，若且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据向量加法几何意义以及向量垂直确定四边形形状，再根据向量数量积定义求结果. 【详解】因为，，所以平行四边形的对角线相互垂直，即四边形为菱形，因为，所以∠,因此选C.【点睛】本题考查向量加法几何意义以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题：9.已知为虚数单位，复数，则________.【答案】【解析】【分析】根据复数模的性质与定义求解.【详解】.【点睛】本题考查复数模的性质与定义，考查基本分析求解能力，属基础题.10.在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.【答案】2【解析】试题分析：直线过圆的圆心，因此【考点】极坐标方程【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程时，要灵活运用以及，，同时要掌握必要的技巧.【此处有视频，请去附件查看】11.已知，且，则的最小值是________【答案】【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12.如图，有个白色正方形方块排成一列，现将其中块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有 ________ 种【答案】【解析】【分析】用黑白两种颜色随机地涂如图所示表格中7个格子，每个格子都有2种染色方法，利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子个数。

C．)天津一中 2020-2021 高三年级第二次月考数学试卷本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。

第 I 卷 1 页，第 II 卷至 2 页。

考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

一．选择题1．已知集合A ={x x - 2 ≤1}，B ={-3, -1, 0,1, 3}，则A B =（）A．{-3,-1} B．{-1, 0,1} C．{0,1} D．{1, 3}2、(x +2y)(x +y)5 的展开式中x3 y3 的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．403、函数() (2)的单调递减区间是（）f x⎛-∞,5 ⎫= log2x - 5x - 6(-∞, -1)⎛5,+∞⎫ (6, +∞)A． ⎪ B． ⎪D．⎝ 2 ⎭x2 y2⎝2 ⎭4．椭圆C : +a2 b2=1(a >b >0)的左、右焦点为F1 ，F2 ，过F2 垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若△AF1B 为等边三角形，则椭圆C的离心率为（）1 1A．B．C．2 2 3e x ln xD．35、函数f (x) =的图象可能是（）x2A．B．C．D．6．将函数y =sin(x- π) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不3π变），再将所得图象向左平移3个单位，则所得函数图象对应的解析式为( ) A．y =sin(1πx -)B．y =sin(2x-π C．y = sin 1 x D．y = sin( 1πx - )2 3 6 2 2 6⎧⎪x3 +1, x ≥ 0 17、已知f (x)=⎨⎪⎩-x2 , x < 0，a = 21.2 ，b = ( )-0.8 ，2c =2log52，则f (a ),f (b),f (c )的大小关系为（）A．f (c )<f (b)<f (a )C．f (b)<f (a )<f (c )B．f (c )<f (a )<f (b)D．f (b)<f (c )<f (a )⎧a >-38．已知p : ⎨⎩b >-3⎧a +b >-6，q : ⎨⎩ab > 9，则p 是q 的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件1 ⎪ ⎧⎪ x2 + 4x + 5 - a , -5 < x ≤ 09、已知函数 f ( x ) = ⎨ ⎪⎩e x+ a + 1, x > 0三个不同的实数根，则 a 的取值范围是( )，若关于 x 的方程 f ( x ) = ax + 1 恰有 A. ⎡- 9 , - 1 ⎫ (e 2 , +∞ ) B. ⎡- 9 , - 1 ⎤ ⎡e 2, +∞ ) ⎣⎢ 4 2 ⎪ ⎢ 4 2 ⎥ ⎣ ⎭ ⎣ ⎦C. ⎛ - 9 , - ⎤ (e 2, +∞ ) D. ⎛ - 9 , -1⎫ ⎡e 2 , +∞ ) 4 ⎥ 4 ⎣ ⎝ ⎦ 二．填空题10．若 i 为虚数单位，复数 z =1 - 7i1 + i⎝ ⎭，则 | z |= . 11、已知 sin α= ， cos (α+ β) = - 1 ，且α, β∈ ⎛ 0, π ⎫ ，则sin β = .33 2 ⎪ ⎝ ⎭12．某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千 克）情况，从中随机抽测了 100 名女生的体重，所得数 据均在区间 [48, 58] 中，其频率分布直方图如图所示，则 在抽测的 100 名女生中，体重在区间 [50, 56] 的女生数为 ．13．已知直线 ax + y - 2 = 0 与圆心为 C 的圆 ( x - 1)2+ ( y - a )2= 4 相交于 A , B 两点，且 ∆ABC 为等边三角形，则实数 a = ．b 2 + a + 114、已知 a > 0, b > 0, a + 2b = 1, 则 ab的最小值为15、如图，在已知的四边形 ABCD 中， AD ⊥ CD ,AD = 3, AB ∠BDA = 60 , ∠BCD = 135 ，点 E 为 AD 边上的动点，则 EB ⋅ EC 的最小值为三．解答题Bπ16．已知函数 f ( x ) = s i n( x - ) cos x +，x ∈R34（1）求 f ( x ) 的单调递增区间；A （2）在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ， f () ， 2 4b = 3,c = 2 ，求 a17．甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的 10 道题中，甲答对其中每道题的概率都2是 ，乙能答对其中的 8 道题，规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 4 道题 3进行测试，只有选中的 4 个题目均答对才能入选. （1）求甲恰有 2 个题目答对的概率；a（2）求乙答对的题目数 X 的分布列与期望18、如图所示的几何体 P - ABCDE 中， PA ⊥ 平面 ABCDE ， AB ⊥ AE ，AB = AE ， AB / /CE ， AE / /CD ， CD = CE = 2 A B = 4 ， M 为 PD 的中点.（1）求证： CE ⊥ PE ； （2）若 PA = AE①求直线 CM 与平面 PBC 所成角的正弦值②二面角 P - CM - E 的平面角的余弦值；x 2 y 2⎛ 3 ⎫ 19、如图，已知椭圆 E : + a 2 b 2= 1(a > b > 0 ) 的左顶点 A (-2, 0) ，且点 -1, ⎪ 在椭 ⎝ 2 ⎭ 圆上， F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点．过 A 作斜率为 k (k > 0) 的直线交椭圆 E 于另一点 B ，直线 BF 2 交椭圆 E 于点 C . （1）求椭圆 E 的标准方程；8（2）若点 B 的横坐标为 5，求 AF 2 B 与 CF 1F 2 面积的比值（3）若 F 1C ⊥ AB ，求 k 的值.20、已知函数 f ( x ) = x (ln x - 1), g ( x ) = ax + b (a , b ∈ R ) .（1）若 a = 1 时，直线 y = g ( x ) 是曲线 f ( x ) 的一条切线，求 b 的值；（2）令ϕ( x ) = f ( x ) - g ( x ) b ① 若 = -e ，讨论ϕ( x ) 在 ⎡⎣e , e 2⎤⎦ 的最大值 ② 若ϕ( x ) 在区间 ⎡⎣e , e 2 ⎤⎦ 上有零点，求 a 2 + 4b 的最小值.) 参考答案：1.D2.C3.B4.D5.C6.D7.A 8.B 9.C10. 511.912.7513. 4 ±14. 6 +15. 11-16.(1)解：（1）f (x )=cos x ( 1 sin x - cos x )+ 2 2 4= 1 sin x cos x - cos 2 x + 2 2 4 = 1 sin 2 x⋅ 1+ c os 2 x +4 2 2 4= 1 sin 2 x - cos 2 x 4 4 π= 1sin(2 x - ) 2 3 ∴ - π + 2k π ≤ 2 x - π ≤ π+ 2k π2 3 2 ∴ - π + 2k π ≤ 2 x ≤ 5π+ 2k π6 6 - π + k π ≤ x ≤5π+ 2k π 12 12 ∴单增 (- π +k π, 5π+ k π) k ∈ z12 12(2) 1 sin( A + π =2 3 4π ∴ sin( A - ) =3 2 ∴ A = 2 π3∴ a 2 = b 2 + c 2 - 2b cos A = 9 + 4 - 2⋅ 3⋅ 2⋅ (- 1) = 192∴ a =17. C 8 2 C = C C 10 4解：（1）设A 为“甲恰有两个题目答对”∴ P （A ）=C 2 （⋅ 2 ）2 （⋅1 ）2 43 3 = 6 ⋅4 ⋅ 1 = 89 9 27（2）X 取值为Q R 2、 3、 4P ( X = 2) =C 2 ⋅ C 2410C 3 ⋅ C 1= 28210112 P ( X = 3) = 8 242104 P ( X = 4) = 8 10= 70 210 X 234P28 112 70 210 210 210 ∴ EX = 16= 3.2518.解：如图建立依题意 A（0，0，0）B（2，0，0）C（4，2,0）D（4，6，0）E-2=-32=5（0，2，0）uuu r uuu r（1）令P（0，0，m），CE =(-4,0,0),uuu r uuu rPE =(0,-2,m)∴CE ⋅PE = 0 ∴C E ⊥PEuuu r(2)P(0,0,2)M(2,3,1), CMr=(-2,1,1)设平面PBC的法向量是n =(x, y,z)r uuu r⎧⎪n ⊥PB⎨r uuu r⎪⎩n ⊥BC⎧x =z⎧(x,y,z)⋅(2,0,-2) =0<=>⎨⎩(x, y, z)⋅(2, 2,0) = 0r∴⎨⎩x +y = 0令x = 1 ∴n =(1,-1,1)r uuu r∴cos <n,CM >=∴直线CM与平面PBC所成角的正弦值是uu r3（3）设平面PCM的法向量为m1=(x,y,z)⎧(x, y, z)⋅(4, 2, -2) = 0⎨⎩(x, y, z)⋅(0, 4,0) = 0uu r∴m1=(1,0,2)⎧4x- 2z = 0⇔⎨⎩y = 0uu r设平面CME的法向量是m2=(x, y,z)⎧(x, y, z)⋅(4,0,0) = 0⎨⎩(x, y, z)⋅(2,1,1) = 0uu r∴m2=(0,-1,1)uu r uu r⎧x = 0<=>⎨⎩y +z = 0∴cos <m1m2>=∴二面角P -CM -E的余弦值为5y y 1 219.x 2 y 2 3(1)a=2(2)B ( 8 5 1 64 + = 1过(-1, )4 3 2, y 0 )y 2∴ ⋅ + 0 = 1 4 25 3∴ 16 + 20 = 1 25 329 0 = 3 25y 0 =5∴ B ( 8 , 5 5F (1, 0)∴ k BF =5 =8 - 1 5∴ BF : y x - 1)⎧⎪ y =∴ ⎨x - 1) ⎪⎩3 x 2 + 4 y 2= 12 ∴ 3 x 2 + 12( x - 1)2 = 12 15 x 2 - 24 x = 0 ∴ x c = 0∴ c (0,1S ⋅ AF 2 ⋅ | y B | ∴ ΛABF 2 = S ΛCF F 2 1 ⋅ F F ⋅ | y | 2 1 2 C3 ⋅=9 =102 （3）设AB:y=k(x+2)⎧ y = k ( x + 2) ⎨ ⎩3 x 2 + 4 y 2= 12(4k 2 + 3) x 2 + 16k 2 x + 16k 2 - 12 = 016k 2 - 12 ∴ x A x B =4k 2 + 3 6 - 8k 2∴ x B = 4k 2+ 3∴ y B = 12k 4k 2 + 3 6 - 8k 212k 4k ∴ B ( ) 4k 2 + 3 4k 2+ 3 k BF 2 = 1 - 4k 2 BF 2：⎧ y = 4k ( x - 1) ⎪ - 2∴ F 1C⎨ 1 4k ∴ C (8k 2 - 1, -8k ) ⎪ y = - 1 ( x + 1) ⎪⎩∴ 代入 x k y 2 + = 14 3 (8k 2 - 1)2 ∴ 64k 2 + = 14 3∴192k 4 - 208k 2 - 9 = 0 (24k 2 - 1)(8k 2 + 9) = 0∴ k 2 = 1k =24 1220.解：（1）f(x)=xlnx-x 设切点P （x 0 , y 0） f /(x)=1+lnx-1=lnx∴ f / ( x ) = ln x = 1⇒ x = e∴ g ( x ) = x + b ⇒ g ( x 0 ) = x 0 + b ⇒ g (e ) = e + b = ∴ b = -ef (e ) = 0 (2)ϕ( x ) = x ln x - x - ax - b ①ϕ( x ) = x ln x - x - ax + aeϕ/ ( x ) = 1 + ln x - 1 - a = ln x - a 令ϕ/ ( x ) = 0 ⇒ ln x = a ⇒ x = e a 当e a ≤ e ⇒ a ≤ 1 ϕ( x )在[e , e 2 ] ↑∴ϕ( x ) max = ϕ(e 2 ) = e 2 - ae 2 + ae 当e a ≥ e 2 ⇒ a ≥ 2 ϕ( x )在[e , e 2 ] ↓ϕ( x )max = ϕ(e ) = 0当1 < a < 2 ϕ( x )在(e , e a ) ↓ (e a , e 2 ) ↑ ∴ϕ( x ) max = max{ϕ(e )ϕ(e 2 )} ϕ(e ) > ϕ(e 2 ) ⇒ 0 > e 2 - ae 2 + ae⇒ a (e 2 - e ) > e 2⇒ a >e e - 1∴1 < a < e e - 1ϕ( x ) max = ϕ(e 2 ) = e 2 - ae 2 + ae e e - 1 ≤ a < 2 ϕ( x ) max= ϕ(e ) = 0∴ϕ( x )max⎧e 2 - ae 2 + ae a < ⎪ = ⎨ e e - 1 e ⎪0 a ≥ ⎩⎪e - 1②方法一：由①a ≤ 1 ϕ(x)在[e,e2 ]↑⎧ϕ(e) ≤ 0∴⎨⎩ϕ(e2 ) ≥ 0⎧-ae -b ≤ 0⇒⎨⎩e2 -ae2 -b ≥ 0∴-ae ≤b ≤e2 -ae2∴a2 + 4b ≥a2 - 4ae =(a -2e)2 -4e2 ≥ 1- 4e 1<a < 2 ϕ(x)在[e,e a )↓(e a ,e2) ↑⎧ϕ(e a ) ≤ 0∴⎨⎩ϕ(e) ≥ 0⎧⎪ϕ(e a ) ≤ 0或⎨⎪⎩ϕ(e2 ) ≥ 0ϕ(e a ) =ae a -e a -ae a -b =-e a -b⎧-e a -b ≤ 0∴⎨⎩-ae -b ≥ 0⎧⎪-e a -b ≤ 0或⎨⎪⎩e2 -ae2 -b ≥ 0⇒-e a ≤b ≤-ae或-e a ≤b ≤e 2 -ae 2∴b ≥-e a ⇒a2 + 4b ≥a2 -4e ap(a)=a2 -4e a p/ (a)= 2a -4e a p/ / (a)=2-4e a < 0 ∴p/ (a)在(1, 2) ↓ p/ (a)=a - 4e < 0∴p/ (a)< 0 ∴p(a)在(1, 2) ↓∴a2 + 4b ≥a2 -4e a >4-4e2a ≥ 2 ϕ(x)在[e,e2 ]↓⎧ϕ(e) ≥0∴⎨⎩ϕ(e2 ) ≤0∴b ≥e2 -ae2⎧-ae -b ≥ 0⇒⎨⎩e2 -ae2 -b ≤ 0∴a2 + 4b ≥a2 -4ae2 +4e2 =(a -2e2 )2 +4e2 -4e4≥4e2 -4e4∴(a2 + 4b)max =4e2 -4e4⎧⎪a =2e2⎨⎪⎩b =e2 -2e4方法二：。

天津一中2022---2021高三班级月考数学试卷（理科）一、选择题：【题文】（1）i 是虚数单位，211i i -⎛⎫⎪+⎝⎭的值是 （ ）A.-1B.1C.-iD.i【学问点】复数的概念.L4【答案解析】A 解析：解：由题意可知()22111i i i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，所以正确选项为A. 【思路点拨】依据复数的化简可分母实数化，然后依据虚数的概念直接求解. 【题文】(2)在()61x x +的开放式中，含3x 项的系数是 （ ）A.30 B,20 C.15 D.10【学问点】二项式定理.J3【答案解析】C 解析：解：由题意可知()61x x +的开放式中，含3x 项的系数，即为()61x +的开放式中的2x项的系数，()61x +的开放式中的2x 项为44261C x ，所以它的系数为446115C =.【思路点拨】依据二项式开放式，可以求出与所求项有关的特定项的系数. 【题文】(3)如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A.16 B.2524 C.34 D.1112【学问点】程序框图；算法.L1【答案解析】解析：解：解：当n=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后12S =,n=4； 当n=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后34S =,n=6； 当n=6时，满足进行循环的条件，执行完循环体后1112S =,n=8；当n=8时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为：1112故选：D 【思路点拨】依据程序框图可以知道题意所蕴含的意义，依据算法可求出结果. 【题文】(4)若曲线()(),a f x x g x x ==，在点()1,1P 处的切线分别为12,l l ，且12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A.-2 B.2 C.12 D.12- 【学问点】导数的几何意义.B11【答案解析】A 解析：解：依据题意可知()f x 在()1,1P 处的导数为()()1211122f x x f -''=∴=，()g x 在()1,1P 处的导数为()()11a g x ax g a -''=∴=，121122l l a a ⊥∴⨯=-∴=-，所以正确选项为A.【思路点拨】依据函数的导数可以求出切线的斜率，再依据函数的几何关系可求出字母的值. 【题文】(5)数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是数列{}n a 为递增数列的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【学问点】充分必要条件.A2【答案解析】解析：解:若a 1＜0，q ＞1时，{a n }递减，∴数列{a n }单调递增不成立． 若数列{a n }单调递增，当a 1＜0，0＜q ＜1时，满足{a n }递增，但q ＞1不成立． ∴“公比q ＞1”是“数列{a n }单调递增”的既不充分也不必要条件． 故选：D【思路点拨】依据命题的关系可知结果. 【题文】（6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ） A.12 B,23 C. 34 D.35【学问点】概率,K1【答案解析】解析：解：解：甲要获得冠军共分为两个状况 一是第一场就取胜，这种状况的概率为12一是第一场失败，其次场取胜，这种状况的概率为111224⨯=则甲获得冠军的概率为113244+= 故答案为：34【思路点拨】甲队获冠军分为两种状况，概率是每种概率的和.【题文】(7)设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若cosC ccosB asinA b +=，则ABC 的外形为（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定 【学问点】正弦定理；两角和与差的公式.C5,C8 【答案解析】A 解析：解：由正弦定理可知22sin ,2sin ,2sin sin sin sin a b cR a R A b R B c R C A B C===∴===，cos cos sin sin cos sinCcosB sinAsinAb Cc B a A B C ∴+=∴+=()22sin sin sin sin sin 190B C A A A A A ∴+=⇒=∴=∴∠=︒所以三角形为直角三角形，A 正确.【思路点拨】依据正弦定理把边转化成角，然后依据两角和的开放式进行化简.【题文】（8）函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意()(),1x R f x f x '∈+>，则不等式()1x x e f x e ⋅>+的解集为（ ）A.{}|0x x >B.{}|0x x <C.{}|101x x x <-<<或D.{}|11x x x ><-或【学问点】导数，导数与函数的单调性.B11,B12【答案解析】解析：解：设h （x ）=e x f （x ）-e x-1，则不等式e x f （x ）＞e x+1的解集就是 h （x ）＞0 的解集． h （0）=1×2-1-1=0，h′（x ）=e x [f （x ）+f′（x ）]-e x， ∵[f （x ）+f′（x ）]＞1， ∴对于任意 x ∈R ， e x [f （x ）+f′（x ）]＞e x，∴h'（x ）=e x [f （x ）+f'（x ）]-e x＞0 即h （x ）在实数域内单调递增． ∵h （0）=0，∴当 x ＜0 时，f （x ）＜0；当 x ＞0 时，f （x ）＞0．∴不等式e x •f（x ）＞e x+1的解集为：{x|x ＞0}． 故答案为：{x|x ＞0}．【思路点拨】构造函数，利用导数争辩分析函数的单调性.二、填空题： 【题文】（9）以Rt ABC 的直角边AB 为径作圆O,圆O 与斜边AC 交于D ，过D 作圆O 的切线与BC 交于E ，若BC=3，AB=4，则OE=【学问点】直线与圆的关系；全等三角形的判定.H4【答案解析】解析：解：由题意，连接OD ，BD ，则OD ⊥ED ，BD ⊥AD∵OB=OD ，OE=OE ∴Rt △EBO ≌Rt △EDO ∴EB=ED ，∴∠EBD=∠EDB 又∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠EDC=90°∴∠C=∠EDC ，∴ED=EC∴EB=EC ∵O 是AB 的中点，∴12OE AC =∵直角边BC=3，AB=4，∴AC=5,52OE =故答案为：52【思路点拨】依据已知条件可求出O 点为AB 的中点，然后依据中位线的条件求出OE 的长.【题文】(10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【学问点】三视图；柱体体积公式.G2【答案解析】解析：解：由题意可知几何体为底面为等腰梯形的四棱柱，依据体积公式可知它的体积为()1284105002V Sh ==+⨯⨯= 【思路点拨】依据三视图得到几何体的图形，再利用体积公式可求出体积.【题文】（11）在直角坐标系xoy 中，已知曲线11:()12x t C t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与曲线2sin :()3cos x a C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,a>0有一个公式点在x 轴上，则a=【学问点】椭圆的参数方程；直线的参数方程.N3【答案解析】32a =解析：解：曲线11:()12x t C t y t =+⎧⎨=-⎩为参数化为一般方程为：230x y +-=令30,2y x ==，曲线2sin :()3cos x a C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,a>0化为一般方程为：22219x y a +=∵两曲线有一个公共点在x 轴上293412a a =∴= 【思路点拨】化参数方程为一般方程，利用两曲线有一个公共点在x 轴上，可得方程，即可求得结论.【题文】(12)某学校高一、高二、高三班级的同学人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个班级的同学中抽取容量为50的样本，则应从高二班级抽取 名同学. 【学问点】抽样方法；分层抽样的概念.I1∵用分层抽样的方法从该校高中三个班级的同学中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取501510⨯= 故答案为：15【思路点拨】依据分层抽样的概念，满足按比例安排的关系，可按比例求解.【题文】(13)若点O 、F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP PF ⋅的最大值为【学问点】向量的数量积；二次函数求最值问题.F3 【答案解析】解析：解：解：设则(,OP FP x y ⋅=又点P 在椭圆上，所以所以当x=2时，4OP OF ⋅的最大值为【思路点拨】设在椭圆上可把OP OF⋅ 表示为数性质可求其最大值【题文】(14)设函数()f x m=，若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 .【学问点】函数的最大最小值.B3【答案解析】解析：解：由题意可得()00021,22x k f x k k z m mπππ+==+∈=且，即x ，再由()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦可得当m 2最小时，|x 0|最小，而|x 0|最小为222113,4,24mm m m ∴>+∴>求得m>2或m<-2【思路点拨】依据导数与函数的关系，找到函数的最值，再由题意可求解. 三、解答题：【题文】（15）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c,且222tan A b c a=+-（I ）求角A 的大小：（II ）求cos cos B C +的取值范围.【学问点】余弦定理；两角和与差的开放式.C5,C8 【答案解析】解析：解：(1)tan tan sin3A A A A π====(2)21cos cos cos cos cos cos 32B B BB B B B π⎛⎫⎛⎫+=+-=+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos sin 26362B B B BC B ππππ⎛⎫==++=∴<< ⎪⎝⎭2,sin cos cos 633622B B B C ππππ⎤⎤⎡⎤⎛⎫∴+∈∴+∈∴+∈⎥⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦【思路点拨】依据余弦定理，找出角之间的关系，再利用两角和与差的公式确定三角函数值的范围.【题文】(16)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同 (I)从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率:(II)从盒中一次随机抽出4个球，其中红球，黄球，绿球的个数分别记为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布列和数学期望()E X .【学问点】概率；离散型随机变量的分布列与数学期望.K1,K8【答案解析】解析：解：224329163153618C C P C ++++=== (2)X 的可能取值为2，3，4()()31314536449911134,312663C C C C P x P x C C +======()113991112663126P x ==--=()198********1261269E x ++===【思路点拨】由题意找出所求大事的概率，依据变量的取值求出分布列与数学期望.【题文】(17)如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD PA ⊥底面.BC 2,4,3CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F为PC 的中点，AF PB ⊥.(I)求PA 的长：（II ）求二面角B AF D --的正弦值.【学问点】空间坐标系；空间向量；空间距离公式；法向量.F3,G9【答案解析】解析：解：2,3BC BD ACB ACD CA BD π==∠=∠=∴⊥∴如图建立空间坐标系()())()()0,0,0,0,1,0,3,0,0,3,0,0,3,0O C BD A ∴-()0,3,,0,1,2z P z F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭)2,00,2,3,3,060322z z AF PB AF PB z z ⎛⎫⊥∴⋅=∴⋅-=∴-=∴= ⎪⎝⎭(0,3,23P -()22323PA ∴==（2）设面AFD 的法向量()()0,,3,3,20n AD n x y z n n AF ⎧⋅==∴∴=-⎨⋅=⎩，设面ABF 的法向量()()0137,,3,3,2cos sin 80m AB m x y z m m AF θθ⎧⋅==∴∴=-∴=∴=⎨⋅=⎩【思路点拨】由题意可建立空间坐标系，再依据坐标求出距离；设定法向量，利用法向量的关系求出夹角的正弦值.【题文】(18)数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*n N ∈，总有2,S ,n n n a a 成等差数列(I)求数列{}n a 的通项公式：(II)设数列{}n b 前n 项和为n T ，且2ln n nxb a =，求证对任意的实数(1,]x e ∈和任意的正整数n ，总有2n T < 【学问点】数列的通项公式；特殊数列求和.D2,D3, D4 【答案解析】解析：解：(1)2,s ,n n n a a 成等差数列()222*11111112,12,122n n n n n n a a S n a a a a a S n n N ---∴+==+=∴=∴+=≥∈当时，a 且22221111121n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ------+-=∴-=+∴-={}n a ∴是等差数列11,d 1a n a n ==∴=（2）[]()222ln ln 11,1,0ln 121n n n x x b x e x n a n n n n ==∈∴<≤∴≥≤<-当时，b 11111111112212231n T n n n n n=-∴≤+-+-+-=-<-- 【思路点拨】(1)依据已知条件求出数列的通项公式；(2)依据通项之间的关系列出不等关系式，再利用裂项求和的方法求解.【题文】(19)已知椭圆()22221,0x y a b a b+=>>的离心率为22，且过点()2,2（I ）求椭圆的标准方程：（II ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若22AC BDb k k a⋅=-(i) 求OA OB ⋅的最值：(ii)求证：四边形ABCD 的面积为定值.【学问点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系.H5,H8【答案解析】解析：解：22222222222842(1)11844c aa x y ab b a bc ⎧=⎪⎪⎧=⎪+=∴∴+=⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎪⎩(2)设()()()22112222:,,,2828AB y kx m l y kx m A x y B x y x kx m x y =+⎧=+∴++=⎨+=⎩()2222121222428124280,1212km m k x kmx m x x x x k k --+++-=∴+==++()()2222212122222848121212m km m k y y kx m kx m k km m k k k ---⎛⎫=++=++= ⎪+++⎝⎭22222212222121812842212212OA OBy y b m k m k k m b a x x k k--⋅=-∴⋅=-∴=-⋅∴=+++ 222212122222288424212121212m m k k OA OB x x y y k k k k ---⋅=+=+==-++++，22OA OB=-2k AB x OA OB ∴-≤⋅<⋅⊥，当k=0时，当不存在即轴()22max 121221OA OB =2,S 41421ABCD AOBAOBm SSk x x x x k ⋅==⋅++-+222442282ABCD k m S =-+==【思路点拨】依据已知条件可直接求出椭圆的标准方程，由直线与椭圆的位置关系进行运算，找出所求项与已知条件联系.【题文】(20)设函数()()2ln 1f x x a x =++(I)若函数()y f x =在区间[1,)+∞上是单调递增函数，求实数a 的取值范围： (II)若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：()2110ln 22f x x <<-+ 【学问点】导数；利用导数证明不等式.B12【答案解析】解析：解：（1）()()2222,011a x x af x x f x x x ++''=+=≥++在[1,)+∞上恒成立2222212,4a x x a a ≥--∴≥-⋅-≥-（2）()()()22220221,1x x af xg x x x a x ++'==∴=++-+∞+令在上有解()480910102a a ⎧⎪∆=->⎪∴->⎨⎪⎪<<⎩2211121222220,1,220x x a x x x x x x a ∴++=<+=-++=且1221121121022222a a x x x --=--=-+<<()()()()()()2222222221222ln 122ln 11,0112x x x x x x x x f x x x x x x -++-++⎛⎫∴==∈- ⎪----⎝⎭令k ()()()()()222326212ln 1,4211x x x k x x k x k x x ++⎛⎫'''''=++=∴-=- ⎪⎝⎭++()()0102,002k x k x ⎛⎫''''=∴∈-= ⎪⎝⎭存在使()()1100,12ln 20-022k k k x ⎛⎫⎛⎫''=-=-<∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在，上递减()()()211100ln 222f x k k x k x ⎛⎫<<-∴<<-+ ⎪⎝⎭【思路点拨】依据条件求出函数的导数，再确定参数的取值范围；利用导数分析函数的单调性，结合条件证明不等式成立.。

2018-2019学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷(文科）一、选择题(本大题共8小题）1.已知集合，，则集合( ）A. B。

2, C. 1，D。

【答案】A【解析】【分析】先分别求出集合A和B，从而得到，由此能求出集合．【详解】集合，或，,集合．故选:A．【点睛】本题考查交集的求法,是基础题，解题时要认真审题,注意补集、交集定义的合理运用．2.执行如图所示的程序框图，则输出b的结果是A。

2 B. 2 C. D。

100【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,从而计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，可得:．故选：B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论,考查了对数的运算,是基础题．3.在等比数列中，,则“，是方程的两根”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而充分不条件C。

充要条件D。

既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据韦达定理得，再根据等比数列性质求，最后确定充要关系.【详解】因为，是方程的两根,所以，因此,因为<0,所以从而“,是方程的两根"是“” 充分而不必要条件，选A。

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则"的真假．并注意和图示相结合,例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非,⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆,则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．4.对于任意，函数满足，且当时,函数,若，，则a，b，c大小关系是A. B. C。

D.【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增;再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称,当时，是单调增函数,∴在定义域上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选:A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题,涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．5.如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是A。

天津一中2021届高三〔上〕零月考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共8小题，每题3分，总分值24分〕1．〔3分〕假设=a+bi〔i是虚数单位，a、b∈R〕，那么ab为〔〕A．﹣1 B．1C．﹣2 D．﹣3 复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．考点：专计算题．题：分利用复数的代数形式的乘除运算，知==﹣1+3i=a+bi，由此析：能求出ab．解解：∵=答：===﹣1+3i=a+bi，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣3．应选D．此题考查复数的代数形式的乘除运算，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答．点评：2．〔3分〕几何体的三视图如图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．4C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据的三视图可判断出该几何体是一个正四棱锥，且可得底面棱长为2，侧面高为，由此求出底面面积和棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由可得该几何体是一个底面棱长为2 侧面高为的正四棱锥那么棱锥的高h==∴棱锥的高V=Sh=×2×2×=应选C点评：此题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据分析出几何体的形状是解答的关键．3．〔3分〕〔2021 •天津〕设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，那么m⊥β的一个充分条件是〔〕A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题；转化思想．分析：根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直那么垂直于另一个平面，可知选项D正确．解答：解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，那么m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，那么m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，那么m⊥β，故正确应选D点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于根底题．4．〔3分〕假设函数y=a1﹣x〔a＞0，a≠1〕的图象过定点A，点A在直线mx+ny=1〔m、n＞0〕上，那么的最小值为〔〕A．5B．2C．7D．4考点：根本不等式．专题：计算题．分析：函数y=a1﹣x〔a＞0，a≠1〕的图象恒过定点A，知A〔1，1〕，点A在直线mx+ny﹣1=0上，得m+n=1结合mn＞0，可得m＞0，n＞0，利用1的变换构造出可以用根本不等式求最值的形式求最值解答：解：由定点A坐标为〔1，1〕，由点A在直线mx+ny﹣1=0上，∴m+n=1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴=〔〕〔m+n〕=2当且仅当即m=n=时取等号应选D点评：此题主要考查了利用根本不等式求解最值，解题的关键是利用1的代换配凑根本不等式应用的条件5．〔3分〕在数列{a n}中，a1=2，a n+1=1﹣a n〔n∈N∗〕，S n为数列的前n项和，那么S2021 ﹣2S2021+S2021为〔〕A．5B．﹣1 C．﹣3 D．2考点：数列的求和；等差数列．专题：计算题．分析：依题意，可求得a1=a3=…=a2n﹣1=2，a2=a4=…=a2n=﹣1．从而可求得答案．解答：解：∵数列{a n}中，a n+1=1﹣a n〔n∈N∗〕，∴a n+a n+1=1．又a1=2，∴a2=﹣1，∴a3=2，同理可求，a4=﹣1，a5=﹣1，…∴a1=a3=…=a2n﹣1=2，a2=a4=…=a2n=﹣1．∴S2021 =1003；同理可求得S2021=1005，S2021=1004，∴S2021 ﹣2S2021+S2021=﹣3．应选C．点评：此题考查数列的求和，分析出a1=a3=…=a2n﹣1=2，a2=a4=…=a2n=﹣1是关键，考查分析与计算能力，属于中档题．6．〔3分〕函数y=2x﹣1+log2x的零点所在的区间为〔〕A．〔0.5，2〕B．〔0.5，1〕C．[0.5，1] D．[0.5，2]考点：函数的零点．专题：计算题．分析：判断函数在区间端点处函数值的符号，当它们异号时存在零点．解答：解：因为2×0.5﹣1+log20.5=log20.5＜0，2×1﹣1+log21=1＞0，又在〔0.5，1〕上函数y=2x﹣1+log2x的图象是连续不断的一条曲线，所以函数y=2x﹣1+log2x在区间〔0.5，1〕上存在零点．应选B．点评：此题考查函数零点存在的条件，须满足两条：①在区间上图象连续不断；②端点处函数值异号．7．〔3分〕过点M〔1，2〕的直线把圆x2+y2﹣4x=5分成两段弧，那么劣弧最短时直线方程为〔〕A．3x﹣2y+2=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣2y+3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：设圆的圆心为C，根据平面几何知识，得劣弧最短时相应的弦长也最短，所以求出过点M，且与CM垂直的直线l即可，根据垂直直线斜率之间的关系算出l的斜率，最后利用点斜式列式，再化成一般式方程，即得所求．解答：解：∵劣弧最短时，相应的弦长也最短∴过点M〔1，2〕的直线l截圆C：x2+y2﹣4x=5，所得短劣弧对应的直线与CM垂直∵圆x2+y2﹣4x=5的圆心C〔2，0〕∴CM的斜率k==﹣2，可得直线l的斜率k1=﹣=由此可得直线l方程为：y﹣2=〔x﹣1〕，整理得x﹣2y+3=0应选：D点评：此题给出圆内一点M，求经过点M且被圆截得最短弧的直线l的方程，着重考查了直线的位置关系和直线与圆相交的性质等知识，属于根底题．8．〔3分〕〔2021•甘肃三模〕执行如以下列图的程序框图，输出的S值为〔〕A．〔425﹣1〕B．〔426﹣1〕C．250﹣1 D．251﹣1考点：程序框图．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出等比数列的和．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=0+2+23+…+249==〔425﹣1〕应选A．点评：此题主要考查了直到型循环结构，直到型循环是先循环后判断．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．此题属于根底题二.填空题：9．〔3分〕的展开式中x2项的系数为60，那么实数a= ±2．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：在的通项公式中，令x的指数等于2，求得 r=2，从而得到展开式中x2项的系数为60=C62a2，解方程求得实数a的值．解答：解：的通项公式为 T r+1=C6r a r，令=2可得 r=2，展开式中x2项的系数为60=C62a2，∴a2=4，a=±2．故答案为：±2．点评：此题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，得到60=C62a2，是解题的关键，属于中档题．10．〔3分〕5cos〔45°+x〕=3，那么sin2x= ．考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得 cos〔45°+x〕=，再利用二倍角的余弦公式求得 sin2x=﹣cos〔90°+2x〕的值．解答：解：由题意可得 cos〔45°+x〕=，∴sin2x=﹣cos〔90°+2x〕=﹣cos[2〔45°+x〕]=﹣2cos2〔45°+x〕+1=﹣2×+1=，故答案为．点评：此题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于根底题．11．〔3分〕〔2021 •江苏〕在△ABC中，O为中线AM上一个动点，假设AM=2，那么的最小值是﹣2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的运算法那么：平行四边形法那么作出，判断出共线，得到的夹角，利用向量的数量积公式将转化成二次函数求出最小值，解答：解：以OB和OC做平行四边形OBNC．那么因为M为BC的中点所以且反向∴=，设OA=x，〔0≤x≤2〕OM=2﹣x，ON=4﹣2x∴=2x2﹣4x〔0≤x≤2〕其对称轴x=1所以当x=1时有最小值﹣2故答案为﹣2点评：此题考查向量的运算法那么、向量共线的充要条件、向量的数量积公式、二次函数最值的求法．12．〔3分〕〔2021•海南〕双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，那么该双曲线的离心率为3 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，根据比例线段的性质可知进而求得a和c的关系，那么离心率可得．解答：解：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，那么：故答案为3点评：此题主要考查了双曲线的简单性质．考查了比例线段的知识和双曲线的离心率问题．13．〔3分〕极坐标系中，曲线ρ=10cosθ和直线3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣30=0交于A、B两点，那么线段AB的长= 8 ．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：先把曲线和直线的极坐标方程化为普通方程，再利用|AB|=2〔d为圆心到直线的距离〕即可得出答案．解答：解：∵曲线ρ=10cosθ，∴ρ2=10ρcosθ，化为普通方程：x2+y2=10x，即〔x﹣5〕2+y2=25，∴圆心C〔5，0〕，半径r=5．∵直线3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣30=0，∴普通方程为3x﹣4y﹣30=0．圆心C〔5，0〕到直线的距离d==3，∴|AB|===8．故答案为8．点评：充分理解|AB|=2〔d为圆心到直线的距离〕是解题的关键．当然也可以先把交点A、B的坐标求出来，再利用两点间的距离公式即可求出．14．〔3分〕〔2021•怀柔区二模〕PA是圆O〔O为圆心〕的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，，那么线段PB的长为 1 ．考点：圆的切线方程．专题：压轴题．分析：利用直径上的圆周角是直角，切点与圆心连线与切线垂直，推出△OAB是正三角形，PB=AB=r〔半径〕，然后求出结果．解答：解：PA是圆O〔O为圆心〕的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，∠CAB=90°，又OA⊥AP，∠PAB=30°∴∠CAO=30°△OAB是正三角形，且∠ACO=30°，∠APO=30°∴AB=PB设圆的半径为r，那么；PB=1故答案为：1．点评：此题考查圆的切线方程，平面几何知识，是中档题．三.解答题：15．△AB C中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2〔sin2A﹣sin2C〕=〔a﹣b〕sinB，△ABC的外接圆半径为，〔1〕求角C；〔2〕求△ABC面积S的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：〔1〕利用正弦定理化简等式的右边，整理后再利用余弦定理变形，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；〔2〕由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，利用三角形的面积公式列出关系式，利用正弦定理化简后，将sinC的值及表示出的B代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可得出面积的最大值．解答：解：〔1〕利用正弦定理化简的等式得：2〔sin2A﹣sin2C〕=2sinB〔a﹣b〕，整理得：a2﹣c2=ab﹣b2，即a2+b2﹣c2=ab，∵c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣c2=2abcosC，∴2abcosC=ab，即cosC=，那么C=；〔2〕∵C=，∴A+B=，即B=﹣A，∵==2，即a=2sinA，b=2sinB，∴S△ABC=absinC=absin=×2sinA×2sinB×=2sinAsinB=2sinAsin〔﹣A〕=2sinA〔cosA+sinA〕=3sinAcosA+sin2A=sin2A+〔1﹣cos2A〕=sin2A﹣cos2A+=sin〔2A﹣〕+，那么当2A﹣=，即A=时，S△ABCmax=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解此题的关键．16．如图为一多面体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，CE∥DP，且PD=2CE．〔1〕求证：BE∥平面PDA；〔2〕假设N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；〔3〕假设PD=AD，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦值．考点：直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间角．分析：〔1〕取PD中点F，证明四边形EFAB为平行四边形，可得BE∥AF，利用线面平行的判定可得BE∥平面PDA；〔2〕设AC∩BD=O，证明CO∥EN，C0⊥平面PDB，即可得到NE⊥平面PDB；〔3〕设平面PBE与平面ABCD所夹角为α，利用即可求得结论．解答：〔1〕证明：取PD中点F，那么FD∥EC，FD=EC∴四边形EFDC为长方形∴EF∥CD∥AB∴四边形EFAB为平行四边形∴BE∥AF∵BE⊄面PDA，AF⊂面PDA∴BE∥平面PDA；〔2〕证明：设AC∩BD=O，那么NO∥CE，NO=CE∴四边形NOCE为长方形，∴CO∥EN∵PD⊥面ABCD，∴CO⊂面ABCD∴PD⊥CO，∵CO⊥BD，PD∩BD=D∴C0⊥平面PDB∴NE⊥平面PDB；〔3〕解：设平面PBE与平面ABCD所夹角为α∵PD⊥平面ABCD于D，CE⊥平面ABCD于C，∴在△PBE中，PB=2a，BE=，PE=，∴S△PBE=∵S△BDC=，∴点评：此题考查线面平行，线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．〔2021•深圳二模〕有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…n 的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，ξ=2时，共有6种坐法．〔1〕求n的值；〔2〕求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：〔1〕解题的关键是ξ=2时，共有6种坐法，写出关于n的表示式，解出未知量，把不合题意的舍去．〔2〕学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，理解变量对应的事件，写出分布列和期望．解答：解：〔1〕∵当ξ=2时，有C n2种坐法，∴C n2=6，即，n2﹣n﹣12=0，n=4或n=﹣3〔舍去〕，∴n=4．〔2〕∵学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，∴，，，，∴ξ的概率分布列为：∴．点评：培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的观点分析问题的能力，充分表达数学的化归思想．启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力．18．数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣3n〔n∈N*〕〔1〕假设数列{a n+c}成等比数列，求常数c值；〔2〕求数列{a n}的通项公式a n〔3〕数列{a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？假设存在，请求出一组适合条件的项；假设不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；压轴题．分析：〔1〕利用递推公式可得a n=s n﹣s n﹣1，利用等比数列的定义可求c〔2〕由递推公式a n=s n﹣s n﹣1〔n≥2〕，a1=s1求解〔3〕假设存在a s，a p，a r成等差数列，那么2a p=a s+a r，结合〔2〕中的通项公式进行推理．解答：解：〔1〕由S n=2a n﹣3n及S n+1=2a n+1﹣3〔n+1〕得a n+1=2a n+3∴，∴c=3〔2〕∵a1=S1=2a1﹣3，∴a1=3，a n+3=〔a1+3〕•2n﹣1∴a n n﹣3〔n∈N*〕〔3〕设存在S，P，r∈N*，且s＜p＜r使a s，a p，a r成等差数列∴2a p=a s+a r即2〔3•2p﹣3〕=〔3•2s﹣3〕+〔3•2r﹣3〕∴2p+1=2s+2r ∴2p﹣s+1=1+2r﹣s∵s，p，r∈N*且s＜p＜r∴2p﹣s+1、2r﹣s为偶数1+2r﹣s为奇数矛盾，不存在满足条件的三项点评：此题主要考查了数列的递推关系a n=s n﹣s n﹣1〔n≥2〕，a1=s1的应用及等比数列的定义，而对存在性问题，一般是先假设存在，然后由假设结合条件进行推理，看是否产生矛盾，从而判断存在性．19．〔2021•梅州二模〕椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．〔1〕求椭圆C1的方程；〔2〕设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；〔3〕设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足，求的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合；平面向量数量积的运算；轨迹方程；椭圆的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：〔1〕先由离心率为，求出a，b，c的关系，再利用直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆C1的方程；〔2〕把题中条件转化为动点M的轨迹是以l1：x=﹣1为准线，F2为焦点的抛物线，即可求点M的轨迹C2的方程；〔3〕先设出点R，S的坐标，利用求出点R，S的坐标之间的关系，再用点R，S的坐标表示出，利用函数求最值的方法即可求的取值范围．解答：解：〔1〕由得2a2=3b2，又由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，得，，∴椭圆C1的方程为：．〔4分〕〔2〕由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1：x=﹣1为准线，F2为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x．〔8分〕〔3〕Q〔0，0〕，设，∴，由，得，∵y1≠y2∴化简得，〔10分〕∴〔当且仅当y1=±4时等号成立〕，∵，又∵y22≥64，∴当y22=64，即y2=±8时，∴的取值范围是．〔13分〕点评：此题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．20．〔2021•重庆〕函数f〔x〕=ax4lnx+bx4﹣c〔x＞0〕在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．〔1〕试确定a，b的值；〔2〕讨论函数f〔x〕的单调区间；〔3〕假设对任意x＞0，不等式f〔x〕≥﹣2c2恒成立，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：〔1〕因为x=1时函数取得极值得f〔x〕=﹣3﹣c求出b，然后令导函数=0求出a即可；〔2〕解出导函数为0时x的值讨论x的取值范围时导函数的正负决定f〔x〕的单调区间；〔3〕不等式f〔x〕≥﹣2c2恒成立即f〔x〕的极小值≥﹣2c2，求出c的解集即可．解答：解：〔1〕由题意知f〔1〕=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，从而b=﹣3又对f〔x〕求导得=x3〔4alnx+a+4b〕由题意f'〔1〕=0，因此a+4b=0，解得a=12〔2〕由〔I〕知f'〔x〕=48x3lnx〔x＞0〕，令f'〔x〕=0，解得x=1当0＜x＜1时，f'〔x〕＜0，此时f〔x〕为减函数；当x＞1时，f'〔x〕＞0，此时f〔x〕为增函数因此f〔x〕的单调递减区间为〔0，1〕，而f〔x〕的单调递增区间为〔1，+∞〕〔3〕由〔II〕知，f〔x〕在x=1处取得极小值f〔1〕=﹣3﹣c，此极小值也是最小值，要使f〔x〕≥﹣2c2〔x＞0〕恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2即2c2﹣c﹣3≥0，从而〔2c﹣3〕〔c+1〕≥0，解得或c≤﹣1所以c的取值范围为〔﹣∞，﹣1]∪点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力．。

天津市和平区第一中学2020届高三第一学期10月月考试题数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用120分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利! 一、选择题：1.已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |12log x ≥﹣1}，则A ∪B ＝（）A. （﹣1，2）B. （﹣1，2]C. （0，1）D. （0，2）【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∪B ．【详解】∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |12log x ≥﹣1}＝{x |0＜x ≤2}，∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤2}＝（﹣1，2]． 故选：B ．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.对一切R θ∈，213sin cos 2m m θθ->恒成立，则实数m 的取值范围是（） A. 11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 11,23⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先求得sin cos θθ的取值范围，根据恒成立问题的求解策略，将原不等式转化为211322m m ->，再解一元二次不等式求得m 的取值范围.【详解】解：对一切θ∈R ，213sin cos 2m m θθ->恒成立，转化为：213sin cos 2m mθθ->的最大值，又θ∈R 知111sin cos sin 2,222θθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，sin cos θθ的最大值为12；所以211322m m ->，解得13m <-或12m >.故选：B.【点睛】本小题主要考查恒成立问题的求解策略，考查三角函数求最值的方法，考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.3.把函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ） A. 12x π=-B. 12x π=C. 3x π=D. 712x π=【答案】A 【解析】 【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程. 【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=-=-， 令52,,32212k x k k Z x πππππ-=+∈∴=+， 令k=-1,所以12x π=-.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.已知0.13a =，3log 2b =，cos4c =，则（） A. c a b << B. a c b <<C. c b a <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】通过0,1分段法，根据指数函数、对数函数和三角函数的性质，判断出10a b c >>>>，由此选出正确结论.【详解】解：∵0.10331>=，3330log 1log 2log 31=<<=，342ππ<<，cos40<； ∴c b a <<.故选：C.【点睛】本小题主要考查利用对数函数、指数函数和三角函数的性质比较大小，考查0,1分段法比较大小，属于基础题.5.若1sin 42a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 22a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A. 34-B. 23-C. 12-D. 13-【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式以及二倍角公式，化简求得cos 22a π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】解：∵1sin 42a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2cos 222a a πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 22a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 22a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭212sin 4πα⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭111242=-+⨯=-,故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式和二倍角公式进行恒等变换，求表达式的值，属于基础题.6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若(2)()f x f x +=-，(1)3f =，则(2018)(2019)f f +的值为（ ） A. -3 B. 0C. 3D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，结合题中条件，求出函数()f x 的周期，即可求出结果. 【详解】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-.又(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，因此(4)(2)()f x f x f x +=-+=， ∴函数()f x 是周期为4的周期函数，所以(45042)(45043)(2)(3)(2018)(2019)f f f f f f ⨯++⨯+=++=. 又(2)(0)0f f ==，(3)(1)(1)3f f f =-=-=-， 因此(2018)(2019)3f f +=-. 故选A.【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，灵活运用函数奇偶性与周期性即可，属于常考题型.7.用边长为18cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm【答案】C 【解析】 【分析】设截去的小正方形的边长为x,求出铁盒的容积的解析式，再利用导数求函数的最值和此时x 的值得解. 【详解】设截去的小正方形的边长为x, 则铁盒的长和宽为18-2x,高为x,所以2(182)V x x =⋅-()249(09)x x x =-<<， 所以12(3)(9)V x x =--'，所以函数在（0,3）单调递增，在（3,9）单调递减， 所以当x=3时，函数取最大值. 故选:C【点睛】本题主要考查导数的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理应用能力.8.设函数()2,0()24,0x xx e e x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（） A. (0,2) B. (0,2]C. (2,)+∞D. [2,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】首先注意到()00g =，0x =是函数()g x 的一个零点.当0x ≠时，将()0g x =分离常数得到()f xa x=，构造函数()()f x h x x=，画出()h x 的图像，根据“函数()h x 与函数y a =有一个交点”结合图像，求得a 的取值范围.【详解】解：由()y f x ax =-恰有两个零点，而当0x =时，(0)00y f =-=，即0x =是函数()g x 的一个零点，故当0x ≠时，()f x a x =必有一个零点，即函数()()f x h x x =,042,0x x e e x x x x -⎧->⎪=⎨---<⎪⎩与函数y a =必有一个交点，利用单调性，作出函数()h x 图像如下所示，由图可知，要使函数()h x 与函数y a =有一个交点，只需02a <<即可. 故实数a 的取值范围是(0,2). 故选：A.【点睛】本小题主要考查已知函数零点个数，求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9.已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min 2x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（）A. ()2,6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. (),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C. ()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D. ()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得到函数()f x 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得ω的值，结合其对称轴，求得θ的值，进而求得()f x 解析式.根据图像变换的知识求得()g x 的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得()g x 的单调递减区间.【详解】解：已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，00,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图像关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min1222x x ππω-==⋅，∴2ω=. 再根据其图像关于直线6x π=对称，可得262k ππθπ⨯+=+，k ∈Z .∴6πθ=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度得到函数()sin 2cos 236g x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图像. 令222k x k πππ≤≤+，求得2k x k πππ≤≤+，则函数()g x 的单调递减区间是,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选：B.【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.二、填空题：10.已知复数()2aiz a i=∈-R 的实部为－1，则z =________ 5【解析】 【分析】化简z 为x yi +的形式，根据实部为1-求得a 的值，由此求得z ，进而求得z . 【详解】解：∵ (2)2(2)(2)ai ai i z i i i +==--+255a ai =-+， ∴15a-=-，即5a =. ∴12z i =-+，则5z =5【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数实部的概念和运算，考查复数模的求法，属于基础题.11.已知1sin cos (0)3αααπ-=<<，则44cos sin αα+值是________. 【答案】4981【解析】 【分析】先将已知条件1sin cos 3a a -=两边平方，求得4sin cos 9a a =，再根据44cos sin αα+()22222sin cos 2sin cos αααα=+-，求得44cos sin αα+的值.【详解】解：把1sin cos 3a a -=，两边平方得：2(sin cos )αα-112sin cos 9αα=-=，即82sin cos 9a a =，则4sin cos 9a a =，则44cos sin αα+()22222sin cos 2sin cos αααα=+-244912981⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 故答案为：4981. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式的运用，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.12.已知函数()(1)(,)xf x bx e a a b =-+∈R .若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，则a ，b 的值分别为a =________，b =________.【答案】 (1). 1 (2). 2 【解析】 【分析】先求得函数()f x 的导函数()'fx ，利用切点()00f =和斜率()'01f =列方程，解方程求得,a b 的值.【详解】解：()(1)x f x bx e a =-+得()(1)xf x e bx b '=+-，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =.(0)1f '=，(0)0f =，即11b -=，10a -+=，解得1a =，2b =，故答案为：（1）1；（2）2.【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关曲线的切线方程的问题，考查方程的思想，属于基础题.13.已知函数f (x )＝|3log x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________. 【答案】9. 【解析】 【分析】先分析得到f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再分析得到0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，再根据函数的单调性得到m,n 的值，即得解.【详解】因为f (x )＝|log 3x |＝33log ,01log ,1x x x x -<<⎧⎨≥⎩,所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得33011log log m n n m<<⎧⎪>⎨⎪=-⎩,则0111m n mn <<⎧⎪>⎨⎪=⎩,所以0＜m 2＜m ＜1， 则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以nm ＝9.故答案为：9【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的单调性的应用和最值的求法，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.14.已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放在甲盒中，放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数为i ξ(1,2)i =，则()()12E E ξξ+的值为________ 【答案】237【解析】 【分析】当抽取1个球时，1ξ的取值为1,2，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值.当抽取2个球时，2ξ的取值为1,2,3，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值. 【详解】解：甲盒中含有红球的个数1ξ的取值为1，2，则()14117417C P C ξ===，()13117327C P C ξ===.则()1431012777E ξ=⨯+⨯=； 甲盒中含有红球的个数2ξ的值为1，2，3，则()24227217C P C ξ===，()1134227427C C P C ξ===，()23227137C P C ξ===. 则()2241131237777E ξ=⨯+⨯+⨯=. ∴()()12101323777E E ξξ+=+=. 故答案为：237.【点睛】本小题主要考查随机变量期望值的计算方法，考查古典概型概率计算公式，考查组合数的计算，属于中档题.15.已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，有以下结论：①若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π-=∈； ②()f x 在区间73,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是增函数； ③()f x 的图象与()22cos 23g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象关于x 轴对称；④设函数()()2h x f x x =-，当12πθ=时，()()()222h h h πθθθ-+++=-。