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二次函数第一节课件

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《二次函数》课件

《二次函数》课件
3 经济模型
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。

高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt

高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
翻折变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行翻转。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。

1.1二次函数PPT课件15张

1.1二次函数PPT课件15张

化规律有如下关系式：
（1）讲课开始后第5分 钟时与讲课开始后第25 分钟时比较，何时学生 的注意力更集中？
y
t2 24t 100 240 7t 380
0 t 10 10 t 20 20 t 40
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意 力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲授24分钟，为了效果较 好，要求学生的注意力最低到达180，那么经过适当 安排，老师能否在学生注意力到达所需的状态下讲 授完这道题目？
想一想:
函数y ax2 bxc(其中a,b,c是常数)，当a,b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
解：（1）a 0
(2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
知识拓展：
心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师讲
课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力y随时间t的变
第一章 二次函数
问题情 请境用：适当的函数解析式表示下列问题情境中
的两个变量 y 与 X 之间的关系·
(1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( Cm )
y =πx2
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期， 一年后银行将本息自动转存为又一个一年定 期,设一年定期的年存款利率为 x ,两年后王先 生共得本息y元;
y = 2(1+x)2
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外 围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸 如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)·
1
y = (60-x-4)(x-2) 1
xБайду номын сангаас
3

二次函数第一课时PPT教学课件

二次函数第一课时PPT教学课件

富阳永兴中6学
练一练：
考考你
1、说出下列二次函数的二次项系数、
一次项系数和常数项。
(1)y1x22x (2)sr2 2
(3)yx215 (4)y4(x21)
(5)y1(x2)21 4
2020/12/12
九年级 数学
富阳m2m1 是二次函数，
则m的值是
3、k取何值时，y ( k 2 3 k 2 ) x 2 ( k 2 ) x k 1 分
剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设
AE=BF=CG=DH=x（cm），四边形EFGH的面积为
y（cm2），求y关于x的函数解析式和自变量x的取值
范围。
D
GC
解：由题意，0＜ｘ＜2 ，
H
y 2 2 4 1 x (2 x ) 2 x 2 4 x 4
F
2 即所求函数解析式为
A E
B
y2x24x4（0＜ｘ＜2 ）
1、已知二次函数y＝ax2+bx，当x=-1时， 函数值y为10；当x=1时，函数值y为4； 求这个二次函数的解析式。
2、已知二次函数y＝x2+px+q，当x=-1时， y=0；当x=2时，y=9,求这个二次函数的 解析式。
待定系数法 关键是列出方程组
2020/12/12
九年级 数学
富阳永兴中10学
(1)yax2 (2)ya2xc
(3)ya2 xbx
（其中a、b、c是常数，a ≠０ ）
2020/12/12
九年级 数学
富阳永兴中5学
辨一辨
下列函数关系式中，哪些是二次函数？
(1)y3x22x1 (2)yxx2
(3)sr2
(5)y4x22

二次函数(一)PPT教学课件

二次函数(一)PPT教学课件
(3)将抛物线y=2x2向左平移4个单位，再向下平移1个 单位，得到新的抛物线的解析式是_y_=_2_(_x_+_4_)_2_-1______。
(4).请你写出一个图象与x轴没有公共点的二次函数的 解析式_______________。
2021/01/21
3
(5).抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-1，-9)，与y轴交 于点(0，-8)，求这条抛物线的解析式__y_=_(_x_+_1_)_2-_9_____
4a
2.二次函数解析式有三种形式：
(1).一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) (2).顶点式：y=a(x-m)2+k(a≠0)，顶点坐标(m，k) (3).两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1，x2为方程 ax2+bx+c=0的两根)
2021/01/21
2
二.知识运用： 例1. 填空： (1)抛物线y=x2-2x+3的对称轴是__直__线__x_=__1 __，顶 点坐标_____(1_,_2_) ______。 (2)如果 抛物线y=-x2+2x+m与x轴只有一个公共点， 则m=__-_1_______。
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在这条抛物线上是否存在点P，使 A0P45
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
2021/01/21
7
例4.请研究二次函数y=x2+4x+3的图象及其性质， 并尽可能多地写出结论。
(1).图象开口方向：向上 (2)对称轴：直线x=2 (3).顶点坐标：(-2，-1) (4)与x轴交点坐标(-3,0)，(-1,0)
(5)图象与y轴交点坐标(0，3)

二次函数(1)PPT课件(人教版)

二次函数(1)PPT课件(人教版)
九年级上册人教版数学
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．

15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．

高一二次函数课件ppt课件ppt课件


04
二次函数的解析方法
配方法
总结词
详细描述
计算步骤
适用范围
通过配方将二次函数转化为 顶点式，便于研究函数的开 口方向、对称轴和顶点。
将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为 $f(x) = a(x -
h)^2 + k$ 的形式，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点。
将 $f(x)$ 转化为 $f(x) = a(x^2 + 2hx + h^2) + k ah^2$，然后完成平方项的
计算步骤
适用范围
利用十字相乘法或其他方法，将 $f(x)$ 分 解为两个一次函数的乘积。
适用于需要研究二次函数的零点和单调性 时，特别是当 $a neq 0$ 时。
05
二次函数的习题与解析
基础题目解析
总结词
考察基础概念和性质
详细描述
包括二次函数的定义、开口方向、顶点坐标、对称轴等基础概念，以及如何判断二次函 数的开口方向、顶点坐标和对称轴。
详细描述
二次函数的图像是二维平面上的 一个抛物线。根据系数a的正负， 抛物线会有不同的开口方向。当 a>0时，抛物线开口向上；当 a<0时，抛物线开口向下。同时 ，b和c的值决定了抛物线的位置 。
0
由二次函数的一般形式$f(x) = ax^2 + bx + c$决定，开口方向由系数$a$的 正负决定。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的标准形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数 ，且a≠0。
详细描述
二次函数的表达式是数学表示二次函数的基本方式，通过这 个表达式可以计算出任意x值对应的y值。同时，通过系数a、 b、c可以判断抛物线的形状和位置。

人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质(共46张PPT)


1.y=x2 8x 7
2.y=-2x2 9x 17
3.y=mx2 kx-4k2
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =
b 2a
① a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
② b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
y
左同右异
o
x
练习：
1.若抛物线yax2 bxc的图象如图，说出a，b，
c的符号。
2.若抛物线yax2 bxc经过原点和第一二三
象限，则a，b，c的取值范围分别是
3.若抛物线yax2 bxc的图象
如图所示，则一次函数y=ax+bc
的图象不经过
。y
。 y ox
o 图1
x 图2
y abc 0 （ 4 ） 与 直 线 x1 交 点 y a b c 0
y a b c 0
方法归纳
1
配方法
2
公式法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
小结 拓展 回味无穷 驶向胜利 的彼岸
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4acb2 4a

二次函数(1)17页PPT

44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
x(26-x)
=-
1 2
x2+13x
它是一个关于x的二次函数。
４ 用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y与它的半径r之间的函 数关系式，这个函数是二次函数吗？
r
5、已知二次函数y=ax2+bx，当x=1 时，y=5当x= - 1时，y= - 1求a、b的 值
内容小结
请同学们思考一下，今天 学习了哪些内容。
2 当k为何值时，函数y=(k-1) xk2 数关系式，并说出是什么函数
（１）写出正方体的表面积Ｓ与正方体棱长a之间的
函数关系？
解：S=6a2 它是一个关于a的二次函数
（2）菱形的两条对角线的和为２６cm，求菱形 的面积Ｓ与一对角线x之间的函数的关系？
解：S=
1 2
（一）二次函数满足的条件 １自变量x的最高次数为二次 ２二次项系数不等于０ 3 函数的右边是一个整式
（二）列函数必须与生活实际相结合，自 变量的取值必须使实际问题有意义。
（三）用待定系数法求二次函数系数a、b、c的值
（四）运用类比思想解决实际问题。
（五）进一步发扬团结协作精神
下列函数中，哪些是二次函数？
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。

二次函数第一课时PPT课件

如果果园橙子的总产量为y，多种X棵 那么请你写出y与x之间的关系式．并写 出自变量x的取值范围。
.
11
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面 积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系，并 写出自变量a 的取值范围.
.
12
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x
(6)y=x2-x(1+x)
.
6
y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)，
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)圆的面积 y ( cm2)与圆的半径 x ( cm )
y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2
.
3
合作学习，探索新知 :
+(m-3)x+m 是二次函数？
.
8
例2. 已知二次函数 y=ax2+c(a≠0),当x=1时，y= -1
当x=2时，y=2,
求 二次函数的解析式。
.
9
已知二次函数y=ax2+bx，当x=1时， y=5当x= - 1时，y= - 1
求二次函数的解析式。
.
10
例3
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均 结600个橙子。现准备多种一些橙子树以 提高产量，但是如果多种树，那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳光就会 减少．根据经验估计，每多种一棵树， 平均每棵树就会少结5个橙子。
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二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
典例析解
例2:m取何值时，函数y= (m+1)x m2 2m1 +
(m-3)x+m 是二次函数？
注意：二次函数的二次项系数不能为零
关于X的函数 函数，求m的值。
是二次
函数y ax2 bx c(其中a,b,c是常数)， 当a,b,c满足什么条件时
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量
x的整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 ( 不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
(3)y=3x3+2x2 ( 不是 ) (4)y=2x2-2x+1( 是 )
以上答案都不对
4. 二次函数y=x2+2x+3的自变量的取值范围为（ B）
A. x＞0
B. x为一切实数
C. y＞2
D. y为一切实数
5.已知二次函数 y 2x2 x 3 （1）当x=1时，求它所对应的函数值y （2）当y=0时，求它所对应的自变量x的值。
已知函数
（1）k为何值时，y是x的二次函数？ （2） k为何值时，y是x的一次函数？
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C )
A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0
C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
3. 圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（ C ）
A. S是R的正比例函数 B. S是R的一次函数
C. S是R的二 次函数
温故知新 什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当 变量x在某个范围内取一个确定的值，另一 个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它 叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函 数。 x叫自变量， y叫因变量。
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它 会与某种函数有联系吗？
典例析解
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t² (5)y= _x1_²－x
(4) y=(x+3)²－x² (6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
（5）
(不是 ) (6)y=x2-x(1+x) (不是 )
(7)y=ax²+bx+c( 不是)
先化简后判断
归纳
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c（ a≠0 ） 当c＝0时， y＝ax2＋bx（ a≠0 ） 当b＝0，c＝0时， y＝ax2 （ a≠0 ）
奥运赛场腾空的篮球
学习目标
1、理解并掌握二次函数的概念，掌握 二次函数的一般形式。会判断一个函数 是否是二次函数。（重点） 2、会根据二次函数概念求解析式中的 未知参数（难点） 3、能根据实际问题中的条件确定简单 的二次函数解析式。
问题: 正方体的六个面是全等的正方形,设
正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关 系可以表示为
（1）它是二次函数？
（2）它是一次函数？
（3）它是正比例函数 ？
解：（1）a 0
( 2) a 0 ,b 0
( 3 ) a 0 ,b 0 ,c 0
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数
的有 B C 。
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2+1
观察： 函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
②
y 20 x2 40 x 20③
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
小结