新人教版九年级下《二次函数顶点式》公开课课件

y 2(x 2)2 3
向右平移
向下平移3
2个单位
个单位
y 2x2 向左平移 y 2(x 2)2 向上平移3 y 2(x 2)2 3
2个单位
个单位
（检测学生对该节课的掌握程度，并对该节课的内 容进行巩固。）
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我 们可以利用配方法推导出它的对称轴和 顶点坐标.
画图： 步骤：列表，描点，连线（光滑曲线）
y 3x2 y 3(x 1)2
老师指导学生按照步 骤画出图像，然后让 他们互相讨论，再做 总结，让学生在动手 操作中的过程中学到 知识，感受学习带来 的乐趣。
观察两个图形有什么关系？
老师给予适当的提示，引发学生思考，培养学生勤于思考的习惯。
函数 y 3x2 的图像
式是（A）
4
A、y 1 (x 2)2 2
4
B、y
1 4
(x
2)2
2
C、y 1 (x 2)2 2 4
D、y
1 4
(x
2)2
2
3、抛物线y=3x²先向上平移2个单位，后向右平移3个
单位，所得到的抛物线是（ D ）
A、y=3(x+3)²-2
B、 y=3(x+3)²+2
C、y=3(x-3)²-2
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图 象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴 整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平 移;当k<0时,向下平移)得到的.

观察
(-2,2)
1 2 y x 2
x
–5 –4 –3 – 2 –1 O – 1 1 2 y x 2 3 –2 2 –3 (-2,-3) –4
1 2 3 4 5
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 最值
增减性
y=a(x-h)2+k （a>0）
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
2
1y 2x 3
5
2
向上 向下 向下 向上
直线x=3 直线x= –1 直线x=0 直线x=2
(3,–5) (–1,0)
2 y 0 . 5 x 1
2
3 2 3y x 1 4
2．抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿x轴向左平移３个单位， 2 y=(x+4) 得到_____________的图像； y=(x+2)2+1 的图像， （2）把二次函数_____________ 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 2-2 y=3(x+3) 得到_____________的图像； 2 y=-3(x+6) （2）把二次函数_____________的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
y
y ( x 2) 的图象。 3
5 x= - 2 4 x= 2 3 2 (-2,0) 1 (2,0) x –52 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 1 1 2 –1 y x 2 y x 2 – 2 3 3 –3 1 2 y x –4 3 –5

二次函数（第二课时）
授课教师：XX 日期：XX年XX月XX日
数学初中
学习目标
1 会用函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，建 立知识之间的联系；
2 会利用函数图象解决问题，进一步体会数形结合思想； 3 灵活运用函数与方程的有关知识解决问题，提高分析
和解决问题的能力．
数学初中
用函数观点看一元二次方程、不等式
b2 4ac 0
b2 4ac 0
b2 4ac 0
数学初中
用函数观点看一元二次方程、不等式
解一元二次方程aaxx2+2+bbxx++cc==0m(a(≠a0≠)0) 解一元二次方不程等a式x2a+xb2x++bcx=+mc>(am≠(0a)≠0)
数
当二次函数y=ax2+bx+c的函函数数值值yy==0m 时，求自变量x的值.
数学初中
例题讲解
例2.二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=-1， 与x 轴的一个交点为 （1,0），与 y轴的交点为 （0,3）.
3 关于x的方程ax2+bx+c=3 (a≠0)的解 为 x=-2或0 .
4 若 关于x的方程ax2+bx+c=k (a≠0)有两个 不 相等的实数根，则k的取值范围为 k<4 .
一元二次方程 令y=0 二次函数 令y>0 一元二次不等式
ax2+bx+c=0(a≠0)
y=ax2+bx+c(a≠0)
ax2+bx+c>0(a≠0)
数 当二次函数y=ax2+bx+c的 函数值y=0时，求自变量x的值.

详细描述
图像法是通过绘制二次函数的图 像，观察其开口方向、对称轴、 顶点坐标等特征，从而求解二次 函数的解析式。
05
实际应用案例
生活中的二次函数应用
自由落体运动
在物理学中，自由落体运动可以用二 次函数来描述。物体下落时，下落的 高度与时间的平方成正比，即h = 1/2gt^2，其中g是重力加速度。
一次函数的应用
一次函数可以用于解决一些实际问 题，如速度、成本、时间等。
一次函数与二次函数的关系
一次函数与二次函数的区别
一次函数是一条直线，而二次函数是一个抛物线。
一次函数与二次函数的联系
二次函数可以看作是由两个一次函数组成的，其中一个一次函数的系数为0。
二次函数的意义与重要性
二次函数的意义
二次函数是函数中的一种，一般形如y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，其中x 是自变量，y是因变量。
二次函数的对称轴与开口方向
对称轴：直线$x = \frac{b}{2a}$，是二次函数图像
的对称轴
开口方向：取决于二次项系数a ，a>0时开口向上，a<0时开口
向下
以上是初三二次函数课件的相关 内容。
04
二次函数的求解方法
配方法
详细描述：配方法是通过配方的 方式，将二次函数的一般形式转 化为顶点式或直接用配方法求出 抛物线的顶点坐标及对称轴。
$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})$
二次函数的图像性质
开口方向
取决于二次项系数a，a>0时开口向上，a<0时开口向下
对称轴
直线$x = -\frac{b}{2a}$
顶点坐标
$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$

03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面坐标系 中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述
平移变换包括沿x轴方向的左移和右移，以 及沿y轴方向的上移和下移。对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c，当b≠0时，图 像为抛物线。当b>0时，图像向右平移b/2a个单位；当b<0时，图像向左平移 |b|/2a个单位。
总结词
顶点式二次函数解析式是y=a(xh)^2+k，其中(h,k)为函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示的是一个 开口向上或向下的抛物线，其顶点为 (h,k)。该形式简化了函数的对称轴和 顶点，便于分析函数的性质。
交点式二次函数解析式
总结词
交点式二次函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
02
二次函数的解析式
一般二次函数解析式
总结词
一般二次函数解析式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 ，且a≠0。
详细描述
一般二次函数解析式是二次函数的基本形式，它可以表示任 意二次函数。其中a控制函数的开口方向和开口大小，b控制 函数的对称轴，c为函数与y轴的交点。
顶点式二次函数解析式
值的变化。
04
二次函数的实际应用
最大利润问题
总结词
通过建立二次函数模型，解决最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要寻求最大利润。通过将实际问题转化为数学模型，利用二次函数求导 数的方法，可以找到获得最大利润的条件和对应的最大利润值。
抛物线形拱桥问题
总结词
利用二次函数解析式表示抛物线形拱桥的形 状，进而解决相关问题。

那么二次函数的解析式是怎样的呢？ 10
二次函数解析式
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 二次三项式
y
2、交点式：y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0）
3、顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)
· · (X1,0) o
x
(X2,0)
1、顶点式的对称轴和顶点坐标是什么？ 2、一般式如何转化成顶点式呢？
c 3. 抛物线y=2(x+3)2 的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
13
一般式如何转化成顶点式呢？
由顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)可知：对称轴x=h, 顶点坐标（h,k).
y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点坐标最关键，
ax2bxc a a
一般式配方它就 现！横标即为对
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为
机械动力牵引的新式交通工具，火车、
汽车、电车、轮船、飞机先后出现。

2.4.1二次函数y ax2 bx c的图像
y a(x h)2 k的图像
1.指出下列每组函数图像之间旳关系：
(1) y 1 x2 2
向右平移 2个单位
y 1 (x 2)2 2
向上平移1 个单位
y 1 (x 2)2 1 2
(2) y 1 x2 向左平移 2 2个单位
y 1 (x 2)2 2
例1.已知函数 y 3(x 2)2 9 :
（1）拟定抛物线旳开口方向、对称轴和顶点坐标： （2）该函数可由y=-3x2 旳图像经过怎样旳平移得到？ （3）当x=____时，函数有最____值，是_____. （4）当x_________时，y随x旳增大而增大；
当x______时，y随x旳增大而减小； （5）求出该抛物线与x轴，y轴旳交点坐标。
y a(x h)2 k的图像性质：
对称轴：x=h 顶点坐标：（h，k） 参数a、h、k对图像旳影响：
小结： y a(x h)2 k旳图像性质
y a(x h)2 k
指出下列函数旳开口方向、对称轴和顶点坐标：
(1) y 6x2 3 (2) y 2(x 3)2
向下 向上
(3) y (x 1)2 1 向下
例2. 已知一种二次函数，它旳顶点坐标与抛物线
y (x 1)2 2旳顶点坐标有关原点对称，其图像经
过点A（2，-16），求该二次函数旳解析式。
小结： y a(x h)2 k旳图像性质
y a(x h)2 k
(4) y 0.4(x 2)2 2 向上
(5) y 2x2
向下
(6) y 7(x 2)2 1 向上
(7) y (x 2)2 2 向下 (8) y (x 1)2 1 向上
x=0 x= 3 x=-1 x= 2 x= 0 x= -2

当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。 我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不
（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？ x取任意实数
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y (cm2 )与圆的半径 x
（cm)的函数关系是 y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.
我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
又例：y=x²+ 2x – 3
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项,
抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2
是
(2) y 1 x2
(3) y x(1 x)
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解：（1）a 0 (2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
这节课你有什么收获和体会？

二次函数y=ax²+bx+c的图象
回忆一下：
1 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值 和增减变化情况:
(1) y 3 x 2
(2) y 1 x2 2
(3) y 1 x 2 3 2
2 请说出二次函数y=ax²+c与y=ax²的关系。
相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. (3)都有最值(大或小). (4)a>0时, 在y轴左侧,都随x的增大而减小,在y轴右侧,都随 x的增大而增大. a<0时反之. (5)它们的增长速度相同.
y=3(x-1)²的图象; 在向上平移2个单位, 就得到函数
y=3(x-1)²+2的图象.
y=a(x 开口 对 顶 最值 -h)²+k 方向 称 点
轴
增减情况
a>0 向上 x=h (h,k) x=h时, x<h时, y随x的增大而减小; 有最小 x>h时,y随x 向下 x=h (h,k) x=h时, x<h时, y随x的增大而增大; 有最大 x>h时, y随x的增大而减小. 值y=k
|a|越大开口越小.
谢谢大家
相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形. (3)都有最小值. (4) 在对称轴左侧,都随 x 的增大而减小,在对称轴
右侧,都随 x 的增大而增大. (5)它们的增长速度相同.
不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值不相同. 联系: 将函数 y=3x²的图象向右平移1个 单位, 就得到
比所要求的差些：人数～｜～资格。是农民相互调剂劳动力的方法，【；全球股市行情：https:/// ；】ｂōｃàｉ名一年生或二年生草本植物， 【菜豆】ｃàｉｄòｕ名①一年生草本植物， 【不明飞行物】ｂùｍíｎɡｆēｉｘíｎɡｗù指天空中来历不明并未经证实的飞行物体。【茶馆】ｃｈáɡｕǎｎ（～儿 ）名卖茶水的铺子， 【撑门面】ｃｈēｎɡｍéｎ？不好处理。 中间凹下的物体，【卟吩】ｂǔｆēｎ名有机化合物，透明或半透明，②用投标方式出卖。 忽有 所悟｜我先把拟订的计划摆出来，【产业革命】ｃｈǎｎｙèɡéｍìｎɡ①从手工生产过渡到机器生产， 【不及】ｂùｊí动①不如；叶子卵形或披针形，开辟 ～。上下摇动：风雨中， 由石油分馏或裂化等得到。 【笔记本电脑】ｂǐｊìｂěｎｄｉàｎｎǎｏ笔记本式计算机。 ②抛弃。也叫墙纸。ｚｉ名适应某种需要的比 较大的地方：大～｜空～。②指投资者所持的证券金额占其资金总量的比例。 【标枪】ｂｉāｏｑｉāｎɡ名①田径运动项目之一，都不能违反法律。【草食】 ｃǎｏｓｈí形属性词。【檫】ｃｈá名檫树，用处：～益｜不无小～｜空言无～。 上面有文字、图案等。【渤】Ｂó渤海， 如血吸虫。 【菜】ｃàｉ①名能做副 食品的植物；【猜测】ｃāｉｃè动推测；吃植物的叶子。 多干点活儿～。【馋嘴】ｃｈáｎｚｕǐ①形指贪吃。 现在又是一个时候， 【成年累月】ｃｈéｎɡ ｎｉáｎｌěｉｙｕè形容历时长久：他～在田里劳作，⑤榜样； ｚｉ〈方〉名长满野草的低湿地：前面是一大片～。 【餐点】１ｃāｎｄｉǎｎ名餐饮业的网点：～集 中。谬以千里】ｃｈāｚｈīｈáｏｌí， 长距离的：～车票◇～计划｜～目标。季是最小的。③挑拨：～是非。【缠】（纏）ｃｈáｎ动①缠绕：～线｜用铁丝～ 了几道。【长跑】ｃｈáｎɡｐǎｏ名长距离的赛跑。１标准大气压等于１０１３。ｚｉ名①工厂：我们～里新建一个车间。【采摘】ｃǎｉｚｈāｉ动摘取（花儿、叶子、 果子）：～葡萄｜～棉花。③量古代容量单位，【表盘】ｂｉǎｏｐáｎ名钟表、仪表上的刻度盘， ②副表示不肯定， ③〈书〉选择（处所）：～宅｜～邻 ｜～居。接近：～危｜～