数学史与数学教育(HPM)的一个案例———刘徽的“割圆术”与微

刘徽割圆术和定积分方法刘徽是中国古代数学家、天文学家和地理学家，他的著作《九章算术》在中国数学史上有着非常重要的地位。

刘徽在数学领域的贡献众多，其中包括刘徽割圆术和定积分方法两个重要的成就。

刘徽割圆术是刘徽在几何学中的一项杰出成就。

在中国数学史上，刘徽被尊为“割圆术”之祖。

刘徽割圆术是指通过逐步不断地用正多边形来逼近圆周，从而求出圆周的长度。

刘徽发现，如果一个正多边形的边数不断增加，那么它的周长就会趋向于圆的周长。

这样，他便构造出一个近似于圆周长的方法，成为了一种割圆的技术。

刘徽在这一方法中首次提出了极限思想，也就是不断地逼近某个值。

这种思想在现代数学中被称为极限思想，极限思想被广泛应用于微积分和数学分析等学科领域。

刘徽在割圆术的发展过程中，提出了许多新的思想和概念，对后世的数学发展产生了深远的影响。

在数学中，刘徽的定积分方法是他在微积分领域的又一杰出贡献。

定积分是微积分的一个重要概念，是将一个函数在一个区间上的取值进行求和得到近似于该函数在整个区间上取值的一个方法。

刘徽在其著作中提出了用“无限小”思想来解决问题的方法，并且这种思想在现代数学中得到了广泛的运用。

刘徽的定积分方法为后世的微积分学发展提供了重要的理论基础。

通过刘徽的方法，人们可以将一个问题进行分割，然后逐步求和，得到最终的结果。

这种思想成为了微积分学中的核心思想之一，也被应用于多个领域，包括物理学、工程学和经济学等。

刘徽在割圆术和定积分方法的研究中，提出了许多开创性的思想和概念，为数学的发展作出了巨大的贡献。

他开拓了数学的新领域，丰富了数学的内涵，对后世的数学学科发展起到了关键的作用。

刘徽的割圆术和定积分方法不仅在当时产生了深远的影响，而且对现代数学学科的发展具有重要的启发作用。

刘徽与“割圆术”（数学家）中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。

但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。

正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。

东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。

直到后来，魏晋时期的刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

一次，刘徽看到石匠在加工石头，觉得很有趣就仔细观察了起来。

“哇！原本一块方石，经石匠师傅凿去四角，就变成了八角形的石头。

再去八个角，又变成了十六边形。

”一斧一斧地凿下去，一块方形石料就被加工成了一根光滑的圆柱。

谁会想到，在一般人看来非常普通的事情，却触发了刘徽智慧的火花。

他想：“石匠加工石料的方法，可不可以用在圆周率的研究上呢？”于是，刘徽采用这个方法，把圆逐渐分割下去，一试果然有效。

他发明了亘古未有的“割圆术”。

他沿着割圆术的思路，从圆内接正六边形算起，边数依次加倍，相继算出正12边形，正24边形……直到正192边形的面积，得到圆周率兀的近似值为157/50(3。

14)；后来，他又算出圆内接正3072边形的面积，从而得到更精确的圆周率近似值：π≈3927/1250(3。

1416)。

刘徽割圆术简单而又严谨，富于程序性，可以继续分割下去，求得更精确的圆周率，这就是刘徽发明的“割圆术”。

【读史明理】刘徽的“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。

这里包含了最早的极限概念和直线曲线转化的思想，对于后世高等数学的极限理论的发展，具有十分重要的意义。

【知识链接】刘徽（约225～约295年），汉族，山东滨州邹平市人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。

在中国数学史上作出了极大的贡献，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。

刘徽割圆术求圆面积的过程
刘徽首先从圆的内接正六边形开始割圆，然后将边数逐渐增加，照这样一直分割下去，等到不可割的时候，圆的内接正多边形就和圆合二为一了。

然后他将这个正多边形分割成以圆心为原点，以每条边为底的等腰三角形，这些等腰三角形的高和底相乘得出的结果，是它本身面积的两倍。

因此将他们全部相加便是圆的面积的两倍，而这些等腰三角形的底边之和便是圆的周长，因此圆的面积等于圆的周长的一半乘以半径。

刘徽的“割补术”－“出入相补原理”介绍
刘徽，被称作中国数学史上的牛顿，有着相当重要的历史地位。

他著名的割补术解决了一个又一个的数学难题。

用割补术系统的给出了各种图形面积公式的证明。

中国数学家吴文俊先生称刘徽的割补术为“出入相补原理”：一个平面图形由一处移至他处，面积不变。

又若把图形分割成若干块，那么各部分面积和等于原来图形的面积，因而图形移置前后各个面积的和、差有简单的相等关系。

立体图形也是这样。

在这里介绍一下他的“出入相补”原理。

出入相补，也就是“以盈补虚”。

这种以盈补虚出入相补的证明方式从刘徽之后，一直是中国古代数学推导图形面积公式的传统方法。

三角形的面积推导：
梯形的面积推导：。

数学史与数学教育( HPM) 的一个案例———刘徽的“割圆术〞与微[摘要]刘徽的“割圆术〞是[关键词]刘徽;割圆术;无限;可积?高等数学?[1]在讲授数列极限概念之前,介绍了我国古代数学家刘徽的割圆术中极限思想,进而引入数列极限的描述定义.实际上,刘徽借“割圆术〞方法,凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,以“不可分量可积〞前提、“夹逼准那么〞等知识证明了圆的面积公式,运算中包含着微积分的思想.另外要指出的是,他利用证明圆面积公式所设计出的机械性的算法程序,求得的圆周率的近似值———徽率〔157÷50〕.郭书春先生认为,刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明.[2]1刘徽的“割圆术〞我国古代数学经典?九章算术?第一章“方田〞中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步〞.魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式,于公元263年撰写?九章算术注?,在这一公式后面写了一篇长约1800余字的注记———“割圆术〞.“⋯⋯割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,那么与圆周合体而无所失矣!觚面之外,犹有余径,以面乘余径,那么幂出弧表.假设夫觚之细者,与圆合体,那么表无余径.表无余径,那么幂不外出矣.以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂.〞[3]2几点注记在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想.第二个是无穷小分割思想.2.1数列极限的夹逼准那么刘徽利用割圆术证明圆的面积公式时,用了“夹逼准那么〞(squeezethere).他从圆内接正6边形开始割圆,设圆面积为s0,半径为r,圆内接正n边形边长为ln,周长为ln,面积为sn,将边数加倍后,得到圆内接正2n边形的边长、周长、面积分别记为:l2n、l2n、s2n.刘徽用“勾股术〞得[4]:假设知ln,那么可求出圆内接正2n边形的面积:刘徽认为,“觚面之外,犹有余径,以面乘余径,那么幂出弧表〞:s2ns0sn+2(s2n-sn)=s2n+(s2n-sn),“假设夫觚之细者,与圆合体,那么表无余径.表无余径,那么幂不外出矣.〞lin→∞s2ns0lin→∞(sn+2(s2n-sn))=lin→∞(s2n+(s2n-sn)).即在n趋于无穷大时,圆内接正多边形的面积就是圆面积.2.2折中的无限分割方法关于量可分的两种假定,在2.4目的是证明圆面积公式而非求圆周率刘徽费尽周折,殚精竭虑创立包含着朴素微积分的割圆术,目的只是为证明圆的面积公式,从而他说:此以周、径,为至然之数,非周三径一之率也.为此他同样使用割圆术中的数据,提出了求圆周率近似值的程序.于是得到下表:利用,s2ns0sn+2(s2n-sn)=s2n+(s2n-sn),得到:314×64/625s0314×169/625,由s0=1/2lr,得l≈2s2n/r=628.故π=628/200=3.14.2.5hp的思想科学史上的诸多事实都显示出无穷概念的巨大重要性和深远影响.实数系的逻辑根底在十九世纪末叶才被建立的事实之所以令人惊奇,正是因为人们在理解无穷这个概念上所遇到的巨大困难造成的.对无穷的思考并试图理解它和准确地定义它,是对人类智慧的一个挑战.古希腊以降,无穷的概念就引起了先哲们的注意,但它固有的超越人类有限思维的特征,使得人们对它理解的进展十分缓慢.希尔伯特曾说过,无穷是一个永恒的谜.直到19世纪,柯西和魏尔斯特拉斯给出极限的精确定义为止,人们都无法逾越这一思维中的结症.因为极限的“ε2〞〞的辩证法,包含着从有限到无穷的飞跃,包含着纯洁的数学美.个体的认识规律会“重演〞数学史的开展历程,因此在教学中,学生自然会提出的一系列问题:既然极限描述性定义简单明白,为什么要搞个“ε2〞定义?它与描述性定义有什么不同?数学家怎么会想出这种“乖僻而讨厌〞的定义?正如r·柯朗和h·罗宾所说:“初次遇到它时暂时不理解是缺乏为怪的,遗憾的是某些课本的作者故弄玄虚,他们不作充分的准备,而只是把这个定义直接向读者列出,好象作些解释就有损于数学家的身份似的.〞要弄清这些问题,只有翻开数学史,从哲学的角度认识极限法,这样不仅能帮助我们搞清极限的概念,也有助于建立正确的数学观念.极限的精确定义和是微积分的理论基石.但是要在几堂课内讲清楚困扰人类2000余年极限问题,确实是个难题,hp也许是他山之石.比方通过开辟第二课堂,或在课上,介绍刘徽“割圆术〞中的微积分思想,对极限定义的理解将会大有裨益.[参考文献][1]同济大学数学教研室.高等数学(上册,第四版)[].北京:高等教育出版社,2000,33-34.[2]郭书春.。

刘徽割圆术和物理解题的微元法“圆，一中同长也。

”纯语文翻译:圆这种图形,有一个中心,从这个这个中心到圆上各点都一样长.数学意义:圆有一个圆心,圆心到圆上各点的距离(即半径)都相等.关于“圜”的定义。

墨子说：“圜，一中同长也。

”(《墨经上》)这里的“圜”即为圆，墨子指出圆可用圆规画出，也可用圆规进行检验。

圆规在墨子之前早已得到广泛地应用，但给予圆以精确的定义，则是墨子的贡献。

墨子关于圆的定义与欧几里得几何学中圆的定义完全一致。

遇到求圆的周长的问题，周长的计算涉及到一个圆周率π，古人根据经验一直沿用“周三径一”。

实践中发现，周三径一并不是圆周长与直径的关系，而是圆内接六边形的周长与直径的比值。

公元三世纪，我国数学家刘徽对这个问题作了深入的研究，运用他的话说：“周三者，从六觚之环耳。

”他在为《九章算术》作注时谈到：“学者踵古，习其谬失。

不有明据，辩之斯难。

凡物类形象，不圆则方，方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。

”刘徽进行长期的追本觅源，刻苦钻研，终于悟出其中的真谛实义，创造出震惊中外数坛的“割圆术”。

他是从正六边形开始运算，令边数一倍一倍地增加，边数变为12，24，48，96，192，…，逐个算出六边形、十二边形、二十四形、……的边长，然后乘以边数得到周长，逐步地逼近圆的周长，则正多边形的周长与圆的直径的比值就逐渐接近圆周率。

圆，是由什么样的图形演变而来的呢？《周髀算经》中写道：“数之法出于圆方，圆出于方。

”“环矩以为圆，合矩以为方。

”“方数为典，以方为圆。

”于是刘徽看到了圆与方形的关系，用了下下面的方法证明了《九章算术》中计算圆面积的法则：圆内接正n 边形，其面积，周长，一边分别记为Sn,Pn,a n设AB 是圆内接正6边形的一边，AC是内接正12边形的一边，S OBC=1/2DB*DC=1/4a6*r=1/2P6*r,同理，S24=1/2P12*r对一般情形，有S2n=1/2P n*r,为了确定圆面积的上界，他还提出S2 n < S < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,得到:314×64/625< S < 314×169/625,由S =1/2L r ,得L≈2 S2 n/r= 628. 故π=628/200= 3.14.在割圆术中刘徽巧妙地运用了“方形好算，圆形难算”这个特点，把圆看成边数是无穷的正多边形，它是未知的，而边形有限的正多边形则是可求的，已知的。

刘徽割圆术和定积分方法引言刘徽（224年-306年），字玄谟，东晋时期著名的数学家、天文学家、历书编纂家。

他在数学领域作出了许多重要的贡献，其中包括割圆术和定积分方法。

本文将详细介绍刘徽的割圆术和定积分方法，并探讨它们在数学发展史中的重要意义。

刘徽割圆术割圆术是刘徽最为著名的数学成果之一，它解决了许多关于圆的问题，尤其是平面几何中与圆有关的构造问题。

原理与方法刘徽的割圆术主要基于尺规作图，具体方法如下：1.在平面上画一横线，作为基准线。

2.在基准线上选取两个不同的点A和B，并连接。

3.以A为圆心、AB为半径，画一个圆，并记为圆O1。

4.在O1上取两个相等的弧长，并用尺子量取得这个弧长。

5.以B为圆心、AB为半径，再画一个圆，并记为圆O2。

6.使O2上的弧长等于步骤4中得到的弧长。

7.连接两个圆的交点和A B两个端点，得到一个正方形。

8.通过割几何构造，将正方形的边长平分，即可得到所需的圆。

应用与意义刘徽的割圆术广泛应用于解决与圆相关的问题，例如构建正多边形、棋盘格问题等。

它的应用范围涉及几何、代数和数论等多个数学领域，并对后来的数学发展产生了深远影响。

刘徽定积分方法刘徽提出了一种计算曲线下面积的方法，即定积分方法。

它的出现填补了求曲线下面积的空白，为微积分的发展奠定了基础。

原理与方法刘徽的定积分方法主要基于无穷累加的思想，具体方法如下：1.将曲线下面的区域近似分成若干个矩形，使每个矩形的面积接近曲线下面积。

2.缩小矩形的宽度，增加矩形的数量，使近似更为精确。

3.取极限，使矩形的宽度无限趋近于0，得到准确的曲线下面积。

应用与意义刘徽的定积分方法为计算曲线下面积提供了一种有效的工具，不仅在几何学中有广泛应用，在物理学、经济学等领域的科学研究中也起到了重要作用。

它是微积分学的基础概念之一，对后来的数学发展产生了深远影响。

结论刘徽的割圆术和定积分方法是他在数学领域的重要贡献，它们不仅解决了许多与圆和曲线相关的问题，还为后来的数学发展奠定了基础。