rA rb cos A DF rb A AF rb A tg A A inv A
α A A rA F α A D
A
θ A
O
这就是渐开线上任意一点的极坐 标方程。见图8-3。 说明: (1)invα=tgα-α=θ称为渐开线函数, θ 叫展开角,α为渐开线压力角.
证明：
2 O 2 K 2
1 O 1 K 1 .......... .......... .(1)
因两齿廓接触，则在齿廓法线方向无相对运动，只 在切线方向有相对滑动。 因此1、 2在 NN方向的投影相等：
v1 v2
n n
v 1 cos k 1 v 2 cos k 2 .......... .........( 2 )
r1
'
a 1 i12 ai 12 1 i12
' '
,
r2
'
a r1 r2 r1
cos cos
'
r2
cos cos
'
( r1 r2 )
cos cos
'
B.齿条
1.齿条同侧齿廓是相互平行的直线 2.与齿条移动方向平行且齿厚等于齿间的直线为模数线 3.模数线的垂直线与直线齿廓的夹角为齿条齿形角 特点:(1)与模数线平行的任一直线上模数相等 (2)齿廓上各点的压力角相等,且在数值上等于齿形角
1 2
O2P O1 P
r2 r1
' '
两齿廓公法线与连心线的交点P点称为节点;它 的特点是在这点上两齿轮上有相同的速度(大小,方 向),即
1
O1 P 2 O 2 P
,方向垂直于 O O
1
2
。证毕
1.齿轮啮合基本定律 按给定角速比变化规律传动的平行轴两齿轮,其齿 廓曲线应该是: · 两齿廓在每瞬时接触点处的公法线均要通过相应的节 点，连心线被齿廓接触点公法线所分成的两线段之比 等于角速度的反比. · 当齿轮传动比为常数时,其齿廓必须是: 不论两齿廓在哪点接触,过接触点的齿廓公法线都与连 心线交于固定点P. 2. 共轭齿廓 · 凡符合齿廓啮合基本定律的一对齿廓称共轭齿廓. · 给定一个齿廓按以上定律一定可以求出它的共轭齿廓. · 常用的共轭齿廓有渐开线,摆线；渐开线最为常用。
C.标准齿轮几何尺寸(一模,五圆,三角,一中心距)
1.基准齿形国家标准
(1)α=200（分度圆上的）
(2) ha= ha*m hf=( ha*+ c*) m
正常齿 短齿 ha*=1；c*=0.25(m>1) ; c*=0.35(m≤1) ha*=0.8 ；c*=0.3
2.标准齿轮:就是分度圆上的齿厚与齿槽间宽之比等于 标准值(s/e=1),齿顶高,齿根高与模数之比等于标准 值的齿轮(ha/m=ha*=1) (hf /m=ha*+ c*=1.25)
而 O 1 N 1 K 中 cos k 1 O1 N 1 O1 K
而 O 2 N 2 K 中 cos k 2
O2 N 2 O2K 2
.......... .......... .....( 3 )
则
i12
1 2
v1 O1 K v2 O2K v1 O 2 K v 2 O1 K
a= r1’+ r2’= r1+ r2=m(z1+z2)/2
五.正确啮合条件及连续传动条件
1.渐开线齿轮正确啮合条件(配对条件,北理工P184)
法节:相邻齿同侧齿廓的法向距离pn 基节:相邻齿同侧齿廓的基圆周方向弧长pb 北理工 P91 正确啮合图
P
b
图6-11 P184 见图7-7(a)
pn
§8-2 齿轮啮合几何学
（齿轮啮合基本定律） 一、齿廓啮合基本定律
(轮齿啮合基本定律) 已知：中心距O1O2=a，角速 度比(传动比) i12 。 2 试证： O2 P
i12 O1 P
1
（P点为齿廓啮合点K的公法 线NN与连心线O1O2 的交点。） 并得出i12恒定的条件是 P为定 点。
3.节点,节曲线
节点: 两齿轮上的同速点(速度大小方向相等) 节曲线: P点在第一齿轮上的轨迹,叫第一齿轮的 节曲线。它可以是圆,椭圆等。在第二齿轮上也 一样。 节圆: 当角速比恒定,则P点在连心线上为定点, 两齿轮上的节曲线变成节圆. 节圆特点: 1)节圆半径只由中心距a和传动比i12确定
r2 r1
' '
O1 N 1 P O 2 N 2 P rb1 rb 2 i12 r1
' '
r2 r2 r
'
' 1
rb 2 rb1
常数
r1’、 r2’ 为节圆半径 (1)啮合线(啮合点公法线)是一条两基圆一侧的内公切线,是唯一的； (2)啮合角是定值
2.可分性 两渐开线齿轮的中心距变化而不改变速比. (1)定速比 i12=rb2/rb1 (2)速比不随中心距而变 中心距 a↑ 则(r1’+ r2’)↑ α’↑ a↓ 则(r1’+ r2’) ↓ α’↓
2
cos
p 2
m
2
习题P227 8-3(第2问不做) ， 8-5
m 2
( z1 z 2 )
注：无齿侧间隙啮合的 几何条件分析:
（1）轮1节圆j1与齿槽两侧齿廓交点为a1 和b1
轮2节圆j2与齿厚两侧齿廓交点为a2 和b2
（2）当轮1轮2在K及K’啮合接触,成为无 齿侧间隙啮合状态 （3）当主动轮1顺时针转动,啮合点K沿 啮合线N1N2移动到节点P,两节圆上 的两共轭点a1 和a2将同时到达节点P. 因节圆是作纯滚动的圆,所以a1p=a2p
rb r rb 2 / Z r 2 / Z pb p pb
cos
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m
则Pb1=πm1cosα1 Pb2=πm2cosα2
(即Pb1=P1cosα1, Pb2=P2cosα2)
所以：πm1cosα1=πm2cosα2
(最基本的正确啮合条件)
在m和α标准化后,正确啮合条件为:
1 2 20
m1 m 2 m
标准压力角(分度圆上压力角)
标准模数
2.正确安装中心距（无齿侧间隙安装） 一对标准齿轮啮合两分度圆上有,这表明齿轮啮合 无侧隙,两分度圆作纯滚动,分度圆与节圆相重合. 注：此时传动比i12=r2’/ r1’= r2/ r1=(mZ2/2)/ (mZ1/2)= Z2/ Z1 (与大家上小学时候的计算一致)
a ' ' r1 O 1 P r2 ' ' i12 ' r2 r1 i12 1 i12 r1 ai 12 a r ' r ' r ' (1 i ) r2' O 2 P 1 2 1 12 1 i12
两种情况 pn1=pn2 → yes
pn1≠pn2 → no
不行的原因有二: (1)若pn1>pn2,则第一对齿脱离啮合时,第二对齿还没进 入啮合,运动间断或波动
(2)若pn1<pn2,则当第一对齿正好啮合时,第二对齿齿廓 重叠,卡死
故正确啮合条件为: Pn1= Pn2
∵Pn=Pb ∴Pb1= Pb2 而
rb
图8-3 渐开线的形成
(2)渐开线上各点的压力角不等 cosαA= rb/ rA cosαi= rb/ri 当rb为常数时 如果ri↑,则αi↑; 如果ri= rb,则α=0.
三. 一对渐开线齿廓啮合 A.外齿轮
1.定速比性(每一瞬时,速比恒定)
i12
1 2
o2 p o1 p
B.齿条与齿轮 1.定速比性 （1）啮合线切于小齿轮基圆并垂直于齿 条齿廓的直线,它是唯一的。因此它与连 心线O1O2(O2→∞)的交点P为定点 (即节 点),故速比恒定。
O2→∞
2.可分性
齿条中线相对齿轮中心距离变化并不改变速比,因为 O1P不变,节点不变
i12
1
v2
1 o1 p
cos rb1
二、基本要求 1、运动：瞬时速比恒定，精度高。 2、传力：承载能力和工作寿命，效率高。
三、 齿轮传动的主要用途
齿轮传动是精密机械中应用最为广泛的传动机构。其主要用 途是： 1)传递任意两轴之间的运动和转矩。 2)变换运动的方式，将转动变为移动或将移动变 为转动。 3)变速——将高转速变成低转速，或将低转速变成高转速。 在机器中通常是用来实现减速，而在仪器仪表中除用于 减速外，还常用于增速，以实现传动放大作用。 与摩擦轮传动和带传动等比较，齿轮传动的传动比较稳 定，传动精度高；在传递同样功率的条件下，尺寸较小，结 构紧凑；传动效率高、寿命长。但也有缺点，即制造和安装 的精度要求高，费用比较昂贵。
解释：p=mπ , 分度圆周长zp=zmπ，则分度圆直径 d=zp/π= mz 分度圆是齿轮上一个约定尺寸的计算基准圆,齿轮尺寸均以 此圆为基准而被确定,通常在该圆上具有标准模数和标准压力角 (α=200)
2.齿顶圆齿根圆
ha
（见图8-6，P141）
ra
rf
*
hf
齿顶高 齿根高
ha ha m
第八章 齿轮传动
8-1概述 8-2 齿轮啮合几何学 8-3 齿轮加工原理 8-4 斜齿、圆锥齿、蜗轮蜗杆、谐波齿轮简介 8-5 轮系 8-6 齿轮传动精度 8-7齿轮强度
