数学分析第一章习题

第一章 实数集与函数习题课 实数集、确界原理与函数一、基本要求：1、掌握有关实数的性质与运算。

2、正确理解确界概念与确界原理，并运用于有关命题的运算与证明。

3、在中学已掌握函数概念的基础上，以两个数集之间映射的观点来加深对函数概念的理解。

4、进一步掌握函数的运算性质（四则运算、复合运算、和反函数等）及其表示方法。

5、加深对某些特性函数（有界函数、单调函数、奇（偶）函数和周期函数）的认识。

并能依次对所给函数是否具有上述性质做出判断。

二、内容复习：1、实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。

有理数可用分数形式qp（q p ,为整数，0≠q ）表示也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示；而无限十进不循环小数则称为无理数。

2、实数的性质：(1) 封闭性：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为０）四则运算是封闭的.(2) 有序性：任意两实数b a ,必满足下述三个关系之一：b a <，b a =，b a >.(3) 传递性：若b a >，c b >，则c a >.(4) 阿基米德性：对任何R b a ∈,，若0>>a b ，则存在正整数n ，使得b na >.(5) 稠密性：任何两个实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数.(6) 实数集与数轴上的点有着一一对应关系.3、绝对值的定义：⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,||a a a a a 从数轴上看，数a 的绝对值||a 就是a 到原点的绝对值.4、绝对值的性质：(1) 0||||≥-=a a ;当且仅当时0=a 有0||=a .第一章 实数集与函数(2) ||||a a a ≤≤-.(3) )0(||;||>≤≤-⇔≤<<-⇔<h h a h h a h a h h a .(4)对任何R b a ∈,有如下的三角不等式：||||||||||b a b a b a +≤±≤-.(5) ||||||b a ab =. (6) )0(||||≠=b b a b a . 5、区间与邻域的概念：有限区间：设a 、R b ∈，且b a <开区间：}|{),(b x a x b a <<=.闭区间：}|{],[b x a x b a ≤≤=.半开半闭区间：}|{),[b x a x b a <≤=或}|{],(b x a x b a ≤<=.无限区间：}|{],(a x x a ≤=-∞，}|{),(a x x a <=-∞}|{],(a x x a ≥=+∞，}|{),(a x x a >=+∞R =+∞-∞),(邻域：设0,>∈δR a点a 的δ邻域：),(}|||{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U .点a 的空心δ邻域：}||0|{);(δδ<-<=a x x a U .点a 的左δ邻域：],();(a a a U δδ-=-.点a 的右δ邻域：),[);(δδ+=+a a a U .∞邻域：}|||{)(M x x U >=∞，其中为充分大的正数（下同）.∞+邻域：}|{)(M x x U >=+∞；∞-邻域：}|{)(M x x U -<=-∞.6、确界的定义：确界是上确界与下确界的统称。

《数学分析选论》习题解答第 一 章 实 数 理 论１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ∉=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=⊂∞→n n n a S a lim ,}{使；（２）存在严格递减数列ξ=⊂∞→n n n a S a lim ,}{使．证明如下：（１） 据假设，ξ>∈∀a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'∃>ε∀a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1==εn nn 相应地S a n ∈∃,使得 ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ．因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞→n n a lim .（２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取,3,2,,1min 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+ξ=ε-n a n n n ，就能保证,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □２．证明§1.3例６的（ⅱ）．证 设B A ,为非空有界数集，B A S ⋃=，试证：{}B A S inf ,inf mininf =．现证明如下．由假设，B A S ⋃=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有{}{}B A S B A x inf ,inf min inf inf ,inf min≥⇒≥．另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有S A S x inf inf inf ≥⇒≥；同理又有S B inf inf ≥．由此推得{}B A S inf ,inf mininf ≤．综上，证得结论 {}B A S inf ,inf mininf =成立． □３．设B A ,为有界数集，且∅≠⋂B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup min )sup(≤⋂； （２）{}B A B A inf ,inf max)(inf ≥⋂．并举出等号不成立的例子．证 这里只证（２），类似地可证（１）．设B A inf ,inf =β=α．则应满足：β≥α≥∈∈∀y x B y A x ,,,有．于是，B A z ⋂∈∀，必有{}βα≥⇒⎭⎬⎫β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ⋂的一个下界．由于B A ⋂亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf max inf≥⋂成立．上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设)4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=⋂⋃==B A B A 则，这时3)(inf ,0inf ,2inf =⋂==B A B A 而，故得{}{}B A B A i n f ,i n f m a x i n f >⋂． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集{}B b A a b a c B A ∈∈+==+,，证明：（１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．证 这里只证（２），类似地可证（１）．由假设，B A inf ,inf =β=α都存在，现欲证β+α=+)(inf B A ．依据下确界定义，分两步证明如下：１）因为,,,,β≥α≥∈∈∀y x B y A x 有所以B A z +∈∀，必有β+α≥+=y x z ．这说明B A +β+α是的一个下界．２）B y A x ∈∈∃>ε∀00,,0，使得2,200ε+β>ε+α>y x ． 从而ε+β+α>+∈+=∃)(,0000z B A y x z 使得，故B A +β+α是的最大下界．于是结论 B A B A inf inf )(inf +=+ 得证． □５．设B A ,为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集{}B b A a ab c AB ∈∈==,，证明：（１）B A AB sup sup )sup(⋅=； （２）B A AB inf inf )(inf ⋅=． 证 这里只证（１），类似地可证（２）．⎪⎩⎪⎨⎧⋅≤≤≤=≥≥∈∈∃∈∀,sup sup ,sup ,sup ,,)0,0(,,)(B A c B b A a ab c b a B b A a AB c 且使由于因此B A sup sup ⋅是AB 的一个上界．另一方面，B b A a ∈∈∃>ε∀00,,0，满足ε->ε->B b A a sup ,sup 00，故)(000AB b a c ∈=∃，使得εε-+-⋅>])sup sup ([sup sup 0B A B A c ．由条件，不妨设0sup sup >+B A ，故当ε足够小时，εε-+=ε'])sup sup ([B A 仍为一任意小正数．这就证得B A sup sup ⋅是AB 的最小上界，即 B A AB inf inf )(inf ⋅= 得证． □*６．证明：一个有序域如果具有完备性，则必定具有阿基米德性．证 用反证法．倘若有某个完备有序域F 不具有阿基米德性，则必存在两个正元素F ∈βα,，使序列}{αn 中没有一项大于β．于是，}{αn 有上界（β就是一个），从而由完备性假设，存在上确界λ=α}sup{n ．由上确界定义，对一切正整数n ，有α≥λn ；同时存在某个正整数0n ，使α-λ>α0n ．由此得出α+<λ≤α+)1()2(00n n ，这导致与0>α相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性． □７．试用确界原理证明区间套定理． 证 设{}],[n n b a 为一区间套，即满足：0)(lim ,1221=-≤≤≤≤≤≤≤≤∞→n n n n n a b b b b a a a ．由于{}n a 有上界k b ，{}n b 有下界k a （+∈N k ），因此根据确界原理，存在{}{}β≤α=β=α且,inf,sup n n b a ．倘若β<α，则有,2,1,0=>λ=α-β≥-n a b n n ，而这与0)(lim =-∞→n n n a b 相矛盾，故ξ=β=α．又因 ,2,1,=≤β=α≤n b a n n ，所以ξ是一切],[n n b a 的公共点．对于其他任一公共点 ,2,1,],[=∈ηn b a n n ，由于∞→→-≤η-ξn a b n n ,0 ，因此只能是η=ξ，这就证得区间套{}],[n n b a 存在惟一公共点． □８．试用区间套定理证明确界原理．证 设S 为一非空有上界的数集，欲证S 存在上确界．为此构造区间套如下：令],[],[011M x b a =，其中M S S x ,)(0∅≠∈ 为S 的上界．记2111b a c +=，若1c 是S 的上界，则令],[],[1122c a b a =；否则，若1c 不是S 的上界，则令],[],[1122b c b a =．一般地，若记2nn n b a c +=，则令,2,1,,,],[,,],[],[11=⎩⎨⎧=++n S c b c S c c a b a n n n n n n n n 的上界不是的上界当是．如此得到的{}],[n n b a 显然为一区间套，接下来证明这个区间套的惟一公共点ξ即为S 的上确界．由于上述区间套的特征是：对任何+∈Νn ，n b 恒为Ｓ的上界，而n a 则不为S 的上界，故S x ∈∀，有n b x ≤，再由ξ=∞→n n b lim ，便得ξ≤x ，这说明ξ是S 的一个上界；又因ξ=∞→n n a lim ，故ε-ξ>∃>ε∀n a ,0，由于n a 不是S 的上界，因此ε-ξ更加不是S 的上界．根据上确界的定义，证得S sup =ξ．同理可证，若S 为非空有下界的数集，则S 必有下确界． □ ９．试用区间套定理证明单调有界定理．证 设{}n x 为递增且有上界M 的数列，欲证{}n x 收敛．为此构造区间套如下：令],[],[111M x b a =；类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间套{}],[n n b a ，使n a 不是{}n x 的上界，n b 恒为{}n x 的上界．由区间套定理，],[n n b a ∈ξ∃，且使ξ==∞→∞→n n n n b a lim lim ．下面进一步证明 ξ=∞→n n x lim ．一方面，由∞→≤k b x k n 取,的极限，得到,2,1,lim =ξ=≤∞→n b x k k n ．另一方面，ε-ξ>∈∃>ε∀+K a K 使,,0Ν；由于K a 不是{}n x 的上界，故K N a x >∃；又因{}n x 递增，故当N n >时，满足N n x x ≥．于是有N n x x a n N K >ξ≤<<<ε-ξ,，这就证得ξ=∞→n n x lim ．同理可证{}n x 为递减而有下界的情形． □ 10*．试用区间套定理证明聚点定理．证 设S 为实轴上的一个有界无限点集，欲证S 必定存在聚点．因S 有界，故0>∃M ，使得M x ≤，S x ∈∀．现设],[],[11M M b a -=，则],[11b a S ⊂．然后用逐次二等分法构造一区间套{}],[n n b a ，使得每次所选择的],[n n b a 都包含了S 中的无限多个点．由区间套定理，],[n n b a ∈ξ∃，n ∀．最后应用区间套定理的推论，,0>ε∀当n 充分大时，使得],[n n b a );εξ⊂(U ；由于],[n n b a 中包含了S 的无限多个点，因此);(εξU 中也包含了S 的无限多个点，根据聚点定义，上述ξ即为点集S 的一个聚点． □ 11*．试用有限覆盖定理证明区间套定理．证 设{}],[n n b a 为一区间套，欲证存在惟一的点 ,2,1,],[=∈ξn b a n n ． 下面用反证法来构造],[11b a 的一个无限覆盖．倘若{}],[n n b a 不存在公共点ξ，则],[11b a 中任一点都不是区间套的公共点．于是，∈∀x ],[11b a ，使,],[n n b a ∃],[n n b a x ∉．即);(x x U δ∃与某个],[n n b a 不相交（ 注：这里用到了],[n n b a 为一闭区间 ）．当x 取遍],[11b a 时，这无限多个邻域构成],[11b a 的一个无限开覆盖：{}],[);(11b a x x U H x ∈δ=．依据有限覆盖定理，存在],[11b a 的一个有限覆盖：{}HNi x U U H ix i i ⊂=δ==,,2,1);(~，其中每个邻域N i b a U i i n n i ,,2,1,],[ =∅=⋂．若令{}Nn n n K ,,,max 21 =，则N i b a b a i i n n K K ,,2,1,],[],[ =⊂，从而N i U b a i K K ,,2,1,],[ =∅=⋂． （Ж）但是Ni iU 1=覆盖了],[11b a ，也就覆盖了],[K K b a ，这与关系式（Ж）相矛盾．所以必定存在 ,2,1,],[=∈ξn b a n n ．（有关ξ惟一性的证明，与一般方法相同．） □１２．设S 为非空有界数集．证明：S S y x Sy x inf sup ||sup ,-=-∈．证 设η<ξ=η=ξ且,sup ,inf S S （ 若η=ξ，则S 为单元素集，结论显然成立 ）．记{}Sy x y x E ∈-=,||，欲证ξ-η=Esup ．首先，S y x ∈∀,，有ξ-η≤-⇒η≤ξ≥||,y x y x ，这说明ξ-η是E 的一个上界．又因2,0ε-η>ε∀ ⎪⎭⎫⎝⎛ε+ξ2不再S 的上()下界，故S y x ∈∃00,，使ε-ξ-η≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫ε+ξ<ε-η>)(||220000y x y x , 所以ξ-η是E 的最小上界，于是所证结论成立． □１３．证明：若数集S 存在聚点ξ，则必能找出一个各项互异的数列{}S x n ⊂，使ξ=∞→n n x l i m．证 依据聚点定义，对S U x ⋂εξ∈∃=ε);(,1111 ．一般地，对于⎭⎬⎫⎩⎨⎧-ξ=ε-1,1min n n x n ，,3,2,);(=⋂εξ∈∃n S Ux n n ．如此得到的数列{}S x n ⊂必定满足：,3,2,||||11=≠⇒ξ-<ξ---n x x x x n n n n ；ξ=⇒∞→→<ξ-∞→n n n x n nx lim )(01||． □41*．设S 为实轴上的一个无限点集．试证：若S 的任一无限子集必有属于S 的聚点，则（１）S 为有界集；（２）S 的所有聚点都属于S ．证 （１）倘若S 无上界，则对1111,,1M x S x M >∈∃=使；一般地，对于{},3,2,,,,max 1=>∈∃=-n Mx S x x n Mnn n n n使．这就得到一个各项互异的点列{}∞=⊂∞→n n n x S x lim,使．S 的这个无限子集没有聚点，与题设条件相矛盾，所以S 必有上界．同理可证S 必有下界，故S 为有界集．（２）因S 为有界无限点集，故必有聚点．倘若S 的某一聚点S ∉ξ0，则由聚点的性质，必定存在各项互异的数列{}0lim,ξ=⊂∞→n n n x S x 使．据题设条件，{}nx 的惟一聚点0ξ应属于S ，故又导致矛盾．所以S 的所有聚点都属于S ． □51*．证明：{}{}nn a a ∉ξ=sup，则必有ξ=∞→n n a lim ．举例说明，当上述ξ属于{}n a 时，结论不一定成立．证 利用§1.3 例4，{}{}n na a k⊂∃，使ξ=∞→knn a lim ，这说明ξ是{}na 的一个聚点．又因ξ又是{}n a 的上界，故{}n a 不可能再有比ξ更大的聚点．所以ξ是{}n a 的上极限．当{}n a ∈ξ时，结论不一定成立．例如，1,111sup ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 显然不是⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的上极限． □61*．指出下列数列的上、下极限：（１）{}n)1(1-+； （２）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12)1(n nn； （３）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧πnn 3cos； （４）⎭⎬⎫⎩⎨⎧π+4sin 12n n n ； （５）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧π+n n n sin12． 解（１）0lim ,2lim ,0,2122==≡≡∞→∞→-n n n n k k a a a a 故．（２）)(211412,21142122∞→-→---=→+=-k k k a k k a k k ，故21lim ,21lim -==∞→∞→n n n n a a ．（３）)(13cos211∞→≤π≤←n n nn， 故1lim lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n a a a ．（４）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=+⋅--=+-=+=+++=+⋅=π+=.38,18,12222,8,12,4,0,28,12,38,18,12224sin 12k k n n nk n n nk n k n n n k k n n n n n n a n故2lim ,2lim -==∞→∞→n n n n a a ．（５）)(sin )1(sin 1222∞→π→ππ⋅+π=π+=n n nnn n n na n ，故π===∞→∞→∞→n n n n n n a a a lim lim lim ． □71*．设{}n a 为有界数列，证明：（１）1lim )(lim =-=-∞→∞→n n n n a a ； （２）n n n n a a ∞→∞→-=-lim )(lim ．证 由)(sup )(inf ,)(inf )(sup k nk k nk k nk k nk a a a a ≥≥≥≥-=--=-，令∞→n 取极限，即得结论（１）与（２）． □81*．设0lim >∞→n n a ，证明：（１）nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim； （２）nn nn a a ∞→∞→=lim 11lim；（３）若11limlim =⋅∞→∞→n n n n a a ，或11lim lim =⋅∞→∞→n n n n a a ，则{}n a 必定收敛．证 由)(sup 11inf ,)(inf 11sup k nk k n k k nk k n k a a a a ≥≥≥≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，令∞→n 取极限，即得结论（１）与（２）．若11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a ，则由（１）立即得到 n n n n a a ∞→∞→=lim lim ，因此极限n n a ∞→lim 存在，即得结论（３）． 类似地，若11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a ，则由（２）同样可证。

测试题第一章 实数集与函数（A ）1．证明：n ≥1时，有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明：当m ≥2时，有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？5．证明：)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称： （1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =（B ）1．设n 为正整数.（1）利用二项式展开定理证明：∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.（2）若1 n ，证明：∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122．设{}为有理数r r r E,72<=，求E sup ，E inf3．设A ，B 为位于原点右方的非空数集，{}B y A x xy AB ∈∈=,证明： B A AB inf inf inf ⋅=4．设函数()x f 定义于()+∞,0内，试把()x f 延拓成R 上的奇函数，()x f 分别如下： （1）()x e x f =； （2）()x x f ln = 5．试给出函数()x f y =，D x ∈不是单调函数的正面陈述。

数学分析习题课讲义问题解答第一章引论1.3.2练习题1.关于Bernoulli 不等式的推广:(1)证明:当12-≤≤-h 时Bernoulli 不等式nh h n+≥+1)1(仍成立;(2)证明:当0≥h 时成立不等式2)1()1(2h n n h n-≥+,并推广之;(3)证明:若),,2,1(1n i a i =->且同号,则成立不等式∑∏==+≥+ni in i iaa 111)1(.2.阶乘!n 在数学分析以及其他课程中经常出现,以下是几个有关的不等式,它们都可以从平均不等式得到:(1)证明:当1>n 时成立nn n )21(!+<;【证明】利用平均值不等式,有n nk nk kk n ∏∑==≥111所以nn n )21(!+≤因为1>n ,所以取等号的条件n === 21不满足,故nn n 21(!+<.(2)利用)1(]2)1)[(1()!(2n n n n ⋅⋅-⋅= 证明:当1>n 时成立nn n 62(!+<;【证明】利用平均值不等式,有n nk nk k n k k n k n ∏∑==-+≥-+11)1()1(1所以nn n n n n 62(]6)2)(1([!+<++≤(3)比较(1)和(2)中两个不等式的优劣,并说明原因;(4)证明:对任意实数r 成立nn k r n rk n n )(1)!(1∑=≤.【证明】利用平均值不等式,有n nk rn k rkk n ∏∑==≥111所以nn k r n rk n n )(1)!(1∑=≤3.证明几何平均值-调和平均值不等式:若0>k a ,n k ,,2,1 =,则有∑∏==≥nk knnk k a n a 1111)(【证明】利用平均值不等式,有n nk kn k ka a n ∏∑==≥11111所以∑∏==≥nk knnk k a n a 1111)(4.证明:当c b a ,,为非负数时成立333cb a ca bc ab abc ++≤++≤.【证明】由于cabc ab c b a a c c b b a ++≥++⇒≥-+-+-2222220)()()(所以33)(3)(2cabc ab cb a ca bc ab c b a ++≥++⇒++≥++利用平均值不等式,有323)(33abc ca bc ab ca bc ab =⋅⋅≥++所以33abc ca bc ab ≥++5.证明下列不等式:(1)b a b a -≥-和b a b a -≥-;【证明】利用三点不等式,有ab b a b b a =+-≥+-)(由对称性知ba b a ≥+-所以ba ab b a b a -=--≥-),max((2)∑∑∑===≤≤-n k k nk knk ka aaa 1121;有问:左边可否为∑=-nk k a a 21?【证明】利用(1)的结论,有∑∑∑====-≤-nk knk knk kaa aaa 21111反复利用三点不等式,有∑∑∑∑∑=====≤≤++≤+≤+=nk knk knk knk k nk ka aa a aa a a a132121211再利用这个结论,有∑∑∑===≤≤-nk knk knk ka aaa 2211(3)bb aa ba b a +++≤+++111;【证明】显然函数x x x x f +-=+=1111)(是单调增加的,所以有bb aa ba b ba a ba b a ba b a +++≤+++++=+++≤+++111111(4)nnnna b a a b a -+≤-+)()(.【证明】利用三点不等式,有nnn n n n n n n b a b a b a a a b a a a b a )()()()(+≤+=+≤+-+=+-+第二章数列极限2.7.3参考题第一组参考题1.设}{12-k a ,}{2k a 和}{3k a 都收敛,证明:}{n a 收敛.【证明】设}{12-k a ,}{2k a 和}{3k a 分别收敛于数c b a ,,.取}{12-k a 的一个子列}{36-k a ,它收敛于数a ,同时它又是}{3k a 的子列,所以也收敛于数c ,所以c a =.取}{2k a 的一个子列}{6k a ,它收敛于数b ,同时它又是}{3k a 的子列,所以也收敛于数c ,所以c b =.于是有b a =.对任给的0>ε,存在正整数1N 与2N ,当1N n >时有εa a n <--12,当2N n >时有εa a n <-2.现取),max(221N N N =,当N n >时有εa a n <-,故}{n a 收敛于a .2.设}{n a 有界,且满足条件2+≤n n a a ,3+≤n n a a ,+∈N n ,证明:}{n a 收敛.【证明】由条件2+≤n n a a 知}{12-k a 与}{2k a 都是单调增加的数列,又有界,故都收敛.由条件3+≤n n a a 知}{3k a 单调增加,又有界,故收敛.利用1的结论知}{n a 收敛.3.设}{1++n n a a 和}{2++n n a a 都收敛,证明:}{n a 收敛.【证明】设}{1++n n a a 和}{2++n n a a 分别收敛于数b a ,.那么有ab a a a a a a n n n n n n n n -=+-+=-++∞→++∞→)]()[(lim )(lim 1212ba a a a a a a n n n n n n n n -=+-+=-+++∞→+∞→)]()[(lim )(lim 2211进而有)]()[(lim )(lim 1122=-+-=-+++∞→+∞→n n n n n n n n a a a a a a 故2)]()[(lim 21lim 22a a a a a a n n n n n n n =--+=++∞→∞→5.设∑=-+=nk n nka 12)11(,+∈N n ,计算n n a ∞→lim .【解】由于∑∑∑∑====++≤++=-+≤++nk n k n k n k nknn k n k n k n k n n 122122121221111111)11(111而2121lim lim 12=+=∞→=∞→∑n n n k n nk n 211111lim2=++∞→n n ,21111lim 2=++∞→nnn 故41lim =∞→n n a 7.设p a a a ,,,10 是1+p 个给定的数,且满足条件010=+++p a a a .求)1(lim 10p n a n a n a p n +++++∞→ 【解】)1(lim 10p n a n a n a p n +++++∞→ 1)[(lim 121p n a n a n a a a p p n +++++----=∞→()1([lim 1n p n a n n a p n -+++-+=∞→ 01(lim 1=++++++=∞→np n pa n n a p n 8.证明:当10<<k 时,0])1[(lim =-+∞→kkn n n 【证明】(这里用到后面将要学习的等价无穷小知识)0lim ]1)11[(lim ])1[(lim 1==-+=-+-∞→∞→∞→k n k k n k k n n k nn n n 12.证明:nnn n n)2(e !)e(<<.【证明】利用数列})11{(nn+单调增加趋于e ,有!)e(!!)1()11()211()111(e 21n nn n n n n n n n n n<⇒>+=+++> 利用1.3.2中题2的结论:nn n )21(!+<,有nn n n n n n n n n n n n )2(e !!2)1()11(e <⇒>+=+>14.设n na n 2131211-++++= ,+∈N n ,证明:}{n a 收敛.【证明】一方面,有01211212111<++-+=++-+=-+nn n n n n a a n n 另一方面,有n n n a n 2124323221-++++++++> n n n 21(2)34(223(21--+++-+-+= 221212221->-++-=n n 根据单调有界定理知}{n a 收敛.15.设已知存在极限na a a n n +++∞→ 21lim ,证明:0lim =∞→n an n .【证明】设T T na a a n n→=+++ 21,∞→n ,于是1)1(---=n n n T n nT a ,2≥n ,由此得0])11([lim lim1=-=--=-∞→∞→T T T nT n a n n n n n 17.设对每个n 有1<n x 和41)1(1≥-+n n x x ,证明}{n a 收敛,并求其极限.【证明】显然有0>n x ,2≥n .所以有1211)21()1(41+++≤⇒+-≤-≤n n n n n n x x x x x x 根据单调有界定理知}{n a 收敛,且可设收敛于数10≤≤A ,于是有41)1(≥-A A ,解得21=A .18.设b a =1,c a =2,在3≥n 时,221--+=n n n a a a ,证明}{n a 收敛,并求其极限.【证明】由于)(21211-----=-n n n n a a a a ,所以)(21()()21(21221b c a a a a n n n n --=--=----,进而有b bc a b c a n n n n +-----=+-++-+--=---)()21(1)21(1]21()21()21)[((11032 ,于是32lim c b a n n +=∞→.第二组参考题1.设n a n +++= 21,+∈N n ,证明:}{n a 收敛.【证明】利用不等式1111211+-=+-+-≤+-n n n n n ,+∈N n 以及221-≤-n n ,3≥n 有2213411231+≤≤+-+-++≤+-+-++≤ n n n n a n 又因为}{n a 是单调增加的数列,利用单调有界定理知}{n a 收敛.2.证明:对每个正整数n ,成立不等式n k n nk n 2e!1)11(0->+∑=.【证明】利用1.3.2中题1的结论:∑∏==+≥+ni in i iaa 111)1(,),,2,1(1n i a i =->且同号,当2≥n 时有∑∑∑===---++=-==+nk n k k n k k k n n n k n k n k n n k n C n 200)11()11(!111)!(!!11)11(∑∑==--++=----++>nk nk n k k k n k n k 22)2)1(1(!111111(!111 n k k n k nk n k nk 2e !1)!2(121!1020->--=∑∑∑===当1=n 时,2e22->显然成立.3.求极限)e !π2sin(lim n n n ∞→.【解】利用命题2.5.4,有1(π21!!(π2e !π2)11!!(π211(π200n N n k n n n k n n N nk n k +=+<<++=++∑∑==所以nn n n n n π2sin e)!π2sin(1π2sin<<+,4≥n 利用夹逼准则知π2)e !π2sin(lim =∞→n n n 4.记n S n 1211+++= ,+∈N n .用n K 表示使得n S k ≥的最小下标,求极限nn n K K 1lim +∞→.【解】由条件知n K K n S n n 1+≤≤与01lim=∞→nn K 因为γn S n n =-∞→)ln (lim 而nn n K n K K n K S K n n 1ln ln ln +-≤-≤-所以)ln (lim )ln (lim n n n n K n γK n -≥≥-∞→∞→于是γK n n n =-∞→)ln (lim 所以11)]ln 1()ln [(lim lnlim 11=+-+--=+∞→+∞→n n n nn n K n K n K K 故elim 1=+∞→nn n K K 5.设∑==nk k n n Cnx 02ln 1,+∈N n ,求n n x ∞→lim .【解】利用Stolz 定理,有220112)1(ln ln lim ln 1limlim n n C CCn x nk kn n k k n n nk k nn n n -+-==∑∑∑=+=+∞→=∞→∞→1211ln lim 12)ln (ln lim 01+-++=+-=∑∑=∞→=+∞→n kn n n C Cnk n nk k nk n n )12()32(11ln 22ln lim 01+-+-++--++=∑∑=+=∞→n n k n n k n n nk n k n 11ln 12ln (lim 2110∑∑==∞→-++--++=n k n k n k n n k n n 2112ln lim 21)12ln 12(ln lim 211=++=+++++=∞→=∞→∑n n n n n n n n n k n 6.将二项式系数⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n ,,1,0 的算术平均值和几何平均值分别记为n A 和n G .证明:(1)2lim =∞→n n n A ;(2)e lim =∞→n n n G .【证明】由于n nnA n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+ 10)11(,所以有22lim 2lim lim ===∞→∞→∞→n n n nn nn n nn A 因为)!(!!k n k n k n -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以21)!!1!0()!(n n G n nn ⨯⨯⨯=+ ,所以有)!!2!1ln(2!ln )1(exp(lim ])!!2!1()!([lim lim 21212n n n n n n G n n n n n n n ⨯⨯⨯-+=⨯⨯⨯=∞→+∞→∞→ 12!ln )1ln(exp(lim )12)!1ln(2!ln )1()!1ln()2(exp(lim +-+=++-+-++=∞→∞→n n n n n n n n n n n n )21exp(212ln)1(exp(lim =+++=∞→n n n n 7.设∑==nk kn aA 1,+∈N n ,数列}{n A 收敛.又有一个单调增加的正数数列}{n p ,且为正无穷大量.证明:lim2211=+++∞→nnn n p a p a p a p【证明】利用Stolz 定理,有nn n n n n n n n p A A p A A p A p p a p a p a p )()(lim lim 1122112211-∞→∞→-++-+=+++ nnn n n n n p A p A p p A p p A p p +-++-+-=--∞→11232121)()()(lim 0lim lim lim )(lim11=+-=+--=∞→∞→∞→++∞→n n n n n n nn nn n n A A A p p A p p 8.设}{n a 满足1)(lim 12=∑=∞→ni i n n aa ,证明:13lim 3=∞→n n a n .【证明】令∑==ni in aS 12.因为1)(lim 12=∑=∞→ni i nn aa ,所以}{n a 不会恒为零,故}{n S 当n 足够大时是单调增加的正数列.若+∞=∞→n n S lim ,则01limlim 12==∑=∞→∞→ni i n n n a a ;若}{n S 收敛,则0lim 0lim 2=⇒=∞→∞→n n n n a a ;即总有0lim =∞→n n a .所以1lim )(lim lim 11211111==-=++∞→++++∞→+∞→n n n n n n n n n n n S a a a S a S a 以及+∞=∞→n n S lim ,故31)(1lim )1(lim lim )(lim lim 2121213313333=++=--+==⋅=+++∞→+∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n nn S S S S a S S n n S n S S a n na 所以13lim 3=∞→n n a n 12.设10<<λ,}{n a 收敛于a .证明:λa a λa λa λa n n n n n -=++++--∞→1)(lim 0221 【证明】令a a b n n -=,那么)]()()[(lim )(lim 010221a b λa b λa b a λa λa λa n n n n n n n n n ++++++=++++-∞→--∞→ λa b λb λb λλa b λb λb n n n n n n n n n n -++++=+++++++=-∞→∞→-∞→1)(lim )1(lim )(lim 0101 故只需要证明)(lim 01=+++-∞→b λb λb n n n n 存在正数M 使得M b n <恒成立.对任给的0>ε,存在正整数N ,当N n >时有εb n <.所以当N n >时有估计11101b λb λb λb λb b λb λb n N N n N N n n n n n n ++++++≤+++-+---- M λλελλn N n N n )()1(1++++++≤--- M λN ελN n -++-≤)1(11因为0lim =-∞→Nn n λ,所以存在正整数N N >1,当1N n >时有εMN λN n )1(1+<-,此时有估计ελb λb λb n n n )111(01+-≤+++- 故)(lim 01=+++-∞→b λb λb n n n n 17.令20≥y ,221-=-n n y y ,+∈N n .设nn y y y y y y S 10100111+++=.证明:24lim 200--=∞→y y S n n 【证明】令10-+=a a y ,1≥a .可归纳得出nna ay n 22-+=,+∈N n ,即12211++=n na a y n .当1=a ,即20=y 时有2≡n y ,于是24121212120012--=→+++=+y y S n n ,∞→n ,命题成立;当1>a 时,有)1111(111)1()1)(1(121211211022222222222210+++++----=--=+++=n n n n n n aa a a a a a a a a a a a a y y y n 于是a a a a a a a a a S n k k n nk n n n 1)1111(lim 1)1111(lim 1lim 2212220222=----=----=+++∞→=∞→∞→∑而aa a a a y y 12)()(2411200=--+=----.第三章实数系的基本定理第四章函数极限4.5.2参考题7.对一般的正整数n 计算极限30sin sin limxxn nx x -→.【解】31030)sin )1sin((sin lim sin sin lim x x x k kx x x n nx nk x x ∑=→→---=-31031021sin 2sin 2sin 4lim ]2cos )21[cos(2sin 2lim x xk x k x x x x k x n k x n k x ∑∑=→=→--=--=6)1()1(2121--=--=∑=n n k k n k 11.设函数f 在),0(+∞上单调增加,且有1)()2(lim =+∞→x f x f x .证明:对每个0>a ,成立1)()(lim =+∞→x f ax f x .【证明】当1>a 时,存在正整数k 使得k k a 221≤≤-,于是)2()(lim )2()()2()2()()2(lim )()(lim 112x f ax f x f ax f x f x f x f x f x f ax f k x k x x -+∞→-+∞→+∞→==)2()(lim )2()()2()2(lim )2()(lim 11x f ax f x f ax f x f x f x f ax f k x k k k x k x +∞→-+∞→-+∞→==由于f 单调增加,所以1)2()(1≥-x f ax f k ,1)2()(≤x f ax f k,所以有)()(lim1)()(limx f ax f x f ax f x x +∞→+∞→≤≤故1)()(lim=+∞→x f ax f x 当10<<a 时,利用上述结果,有1)((1lim )()(1lim )()(lim ===+∞→=+∞→+∞→t f atf ax f x f x f ax f t t ax x x 当1=a 时显然,故对每个0>a ,成立1)()(lim =+∞→x f ax f x .第五章连续函数第六章导数与微分6.1.4练习题6.2.4练习题6.3.4练习题6.4.2参考题第一组参考题1.利用导数的定义计算极限xx x x sin )sin 1()tan 1(lim 10100--+→.【解】利用导数的定义,有xx x x sin )sin 1()tan 1(lim 10100--+→x x x x x x x x sin 1)sin 1(lim sin tan tan 1)tan 1(lim 100100---+-+=→→20))1((1))1((010010='++⨯'+===x x x x 2.设231)(2++=x x x f ,计算)0()100(f ,要求相对误差不超过1%.【解】由于2111)2)(1(1)(+-+=++=x x x x x f 所以101101)100()2(!100)1(!100)(+-+=x x x f 所以)211(!100)0(101)100(-=f 取!100)0()100(≈f,则相对误差为01.0121211(!100)211(!100!100101101101<-=---.3.设f 在点a 处可导,0)(≠a f .计算n n a f n a f ])()1([lim +∞→.【解】)()1(ln exp(lim ])()1([lim a f n a f n a f n a f n n n +=+∞→∞→由于)()(exp(1)()1()(1exp(lim ))()1(ln exp(lim a f a f xa f x a f a f a f x a f x x x '=-+=++∞→+∞→利用Heine 归结原则,有))()(exp()()1([lim a f a f a f n a f n n '=+∞→5.设0)0(=f ,)0(f '存在.定义数列)()2(1(222nn f n f n f x n +++= ,+∈N n ,试求n n x ∞→lim .【解】由于xx f x f x f f x x )(lim 0)0()(lim)0(00→→=--=',所以对任给的0>ε,存在0>δ,当δx <<0时有])0([)(])0([εf x x f εf x +'<<-'取11[+=δN ,当N n >时有δnn<<20,所以有])0()[21(])0(21(222222εf nnn n x εf n n n n n +'+++<<-'+++ 而n n n n n n 2121222+=+++ 所以εf x n nn <'-+)0(12故2)0(lim )0(lim 2)]0(12[lim 0f x f x f x n n n n n n n n '=⇒'-='-+=∞→∞→∞→6.求下列数列极限:(1))sin 2sin 1(sinlim 222n nn n n +++∞→ ;【解】运用上题的结论,考虑函数x x f sin )(=,即得21)0(21)sin 2sin 1(sinlim 222='=+++∞→f n n n n n (2))]1()21)(11[(lim 222n nn n n +++∞→ .【解】运用上题的结论,考虑函数)1ln()(x x f +=,即得e ))0(21exp(1(2111[(lim 222='=+++∞→f n n n n n 7.设xx y -+=11,计算)()(x y n ,+∈N n .【解】由于x xx x y ---=---=1121)1(2,通过求导找规律直接可得2122121)()1(2!)!32()1(2!)!12()(--+----+--=n nn n n x n x n x y ,2≥n 以及xx y -+-='-121)1(238.设f 在R 上有任意阶导数,证明:对每个正整数n 成立)(1)(1)]1([)1()1(1n n n n n xf x x f x -+-=【证明】用数学归纳法,当1=n 时,右式='='-=)1(1])1([2xf x xf 左式;假设当n k =时成立)(1)(1)]1([)1()1(1k k k k k xf x x f x -+-=;当1+=n k 时有)1(11)1(11([)1()]1([)1(+-+++⋅-=-n n n n n n x f x x x f x ∑+=-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10)1(1)(11([1)1(n k k n n k n x f x x k n })]1()[1()]1([{)1()(1)1(11n n n n n x f x n x f x x -+-+++⋅-=)1(1])1(1[)(1)(1xf x n x f x x n n n n +++-'⋅-=)1(1)]1(1)1(1[)(1)1(3)(2xf x n x f x x f x n x n n n n n n +++++--+-⋅-=1(1)1(2xf x n n ++=由归纳原理知命题成立.10.证明组合恒等式:(1)112-=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n k n k ,+∈N n ;【证明】考虑恒等式∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nk k nx k n x 1)1(,对x 求导得∑=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nk k n x k n k x n 111)1(,再令1=x 即得112-=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n k n k (2)2122)1(-=⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n n k n k ,+∈N n .【证明】由(1)可知∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n k kn x k n k x nx 11)1(,对x 求导得∑=---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-++nk k n n x k n k x x n x n 11221])1()1()1[(再令1=x 即得2122)1(-=⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n n k n k 第二组参考题1.(1)求∑=n k kx 1sin 和∑=nk kx 1cos ;【解】利用积化和差公式)cos()cos(sin sin 2y x y x y x --+=-可知2cos)21cos(])21cos()21[cos(sin 2sin 211x x n x k x k kx x nk n k -+=--+=-∑∑==于是有2sin2)21cos(2cos sin 1x xn x kx nk +-=∑=,π2k x ≠,Z ∈k 当π2k x =时有0sin 1=∑=nk kx ;同样地,利用公式)sin()sin(cos sin 2x y y x y x --+=可知2sin)21sin(])21sin()21[sin(cos 2sin 211x x n x k x k kx x nk n k -+=--+=∑∑==于是有2sin22sin )21sin(cos 1x xx n kx nk -+=∑=,π2k x ≠,Z ∈k 当π2k x =时∑=nk kx 1cos 发散;(2)求∑=nk kx k 1sin 和∑=n k kx k 1cos .【解】利用(1)的结论,对结果求导即知4.证明:Legendre 多项式nnn n n x xn x P )1(d d !21)(2-=满足方程)()12()()(11x P n x P x P n n n +='-'-+【证明】直接计算可得])1()1(2[d d )!1(21)1(d d )!1(21)(2111122211nn n n n n n n n x x n xn x x n x P -++=-+='++++++++])1(2)1[(d d !21])1([d d !211222211-++-+-=-=n n n n n n n n n x nx x x n x x x n ])1)(11[(d d )!1(21)(1221---+--+=n nn n n x x x n x P ])1[(d d )!1(21)()12(121----++=n nn n n x x n x P n )()()12(1x P x P n n n -'++=5.证明:Legendre 多项式满足方程)()1()(2)()1(2=++'-''-x P n n x P x x P x n n n 【证明】考虑函数nx y )1(2-=,求导得12)1(2--='n x nx y ,即nxy y x 2)1(2='-,两边求1+n 次导数,利用Leibniz 公式,有∑∑+=-+++=-++='-1)1()(11)1()(21)()(2)()1(n k k n k k n n k k n k k n y x C n y x C即])1([2)1()1(2)1()()1()()1()2(2n n n n n y n xy n y n n xy n y x ++=++++-+++整理得)()1()2(2)1(2)1(n n n y n n xy y x +=+-++故0)1(2)1()()1()2(2=++--++n n n y n n xy y x 所以)()1()(2)()1(2=++'-''-x P n n x P x x P x n n n 第七章微分学的基本定理7.2.4练习题10.设f 在]1,1[-上有任意阶导数,0)0()(=n f,+∈∀N n ,且存在常数0≥C ,使得对所有+∈N n 和]1,1[-∈x 成立不等式n n C n x f !)()(≤.证明:0)(≡x f .【证明】写出nn n n n n x n ξf x n ξf x n f x f f x f !)(!)()!1()0()0()0()()()(1)1(=+-++'+=-- ,x ξ≤,所以有nn n Cxξf n x x f ≤=)(!)()(若10<≤C ,那么0)(→≤n C x f ,∞→n 此时有0)(≡x f ,]1,1[-∈x ;若1≥C ,那么当Cx C 2121<<-时有021)(→≤nx f ,∞→n 此时有0)(≡x f ,]21,21[CC x -∈,在这之上有0)0()(=n f ,+∈∀N n ,故以此类推可知分别在]22,21[C C ,]21,22[CC --,…等区间上都有0)(≡x f ,从而有0)(≡x f ,]1,1[-∈x .11.设f 在],[b a 上二阶可微,且0)()(='='b f a f .证明:存在),(b a ξ∈,使得成立)()()(4)(2a fb f a b ξf --≥''.【证明】写出2121))((21)())((21))(()()(a x ξf a f a x ξf a x a f a f x f -''+=-''+-'+=2222))((21)())((21))(()()(b x ξf b f b x ξf b x b f b f x f -''+=-''+-'+=其中b ξx ξa <<<<21.取2ba x +=,则分别有4)(2)()()2(21a b ξf a f b a f -''+=+,4)(2)()(2(22a b ξf b f b a f -''+=+以上两式相减可得4)()]()([21)()(0212a b ξf ξf a f b f -''-''+-=移项后,由三点不等式可得)(])()([21)()()(4122ξf ξf ξf a f b f a b ''≤''+''≤--其中))(,)(max()(21ξf ξf ξf ''''=''.13.设f 在),[+∞a 上二阶可微,且0)(≥x f ,0)(≤''x f ,证明:在a x ≥时0)(≥'x f .【证明】假设存在),[0+∞∈a x 使得0)(0<'x f ,那么当0x x ≥时)()(0x f x f '≤',进而有)()()()()()(0000x f x x ξf x x x f x f '-≤'-=-,x ξx ≤≤0,只需再令)()(000x f x f x x '->便得0)(<x f ,这与0)(≥x f 矛盾,所以在a x ≥时0)(≥'x f .14.设f 在)1,1(-上1+n 阶可微,0)0()1(≠+n f,+∈N n ,在10<<x 上有n n n n x n x θf x n f x f f x f !)()!1()0()0()0()()(1)1(+-++'+=-- ,其中10<<θ,证明:11lim 0+=→n θx .【证明】由导数定义可知xθf x θf fn n x n )0()(lim)0()()(0)1(-=→+1)(1)1(0)0(!])!1()0()0()0()([lim +--→----'--=n nn n n x x θx f n x n f x f f x f 而其中又有1)(1)1(0)0(!])!1()0()0()0()([lim +--→----'--n nn n n x x x f n x n f x f f x f 1)0()0()(lim 11)!1(!)0(!)(lim )1()()(0)()(0+=-+=+-=+→→n f x f x f n x n n f n x f n n n x n n x 所以11lim 1lim 1)0()0(00)1()1(+=⇒+=→→++n θθn f fx x n n 15.证明:在1≤x 时存在)1,0(∈θ,使得2)(1arcsin x θx x -=,且有31lim 0=→θx .【证明】利用Lagrange 中值定理知存在ξ介于0与x 之间使得210arcsin arcsin ξx x -=-当0=x 时任取)1,0(∈θ;当10≤<x 时有10<<x ξ,令xξθ=,故存在)1,0(∈θ使得2)(1arcsin x θx x -=所以31))(arcsin (arcsin lim arcsin arcsin lim arcsin 1lim lim 4022220222020=+-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x θx x x x 故31lim 0=→θx 16.设f 在)(0x O δ上n 阶可微,且0)()(0)1(0===''-x fx f n ,0)(0)(≠x f n .证明:当δh <<0时,成立h h θx f x f h x f )()()(000+'=-+,10<<θ,且成立11lim -→=n h nθ.【证明】利用Lagrange 中值定理知存在ξ介于0x 与h x +0之间使得hξf x f h x f )()()(00'=-+因而有100<-<h x ξ,令hx ξθ0-=,则成立h h θx f x f h x f )()()(000+'=-+,10<<θ.所以有1100000)()()()()()(--⋅'-+'='--+n n n θh θx f h θx f h h x f x f h x f 而!)(!)(lim )()()(lim 0)(0)1(00000n x f h n h x f h h x f x f h x f n n h n h =+='--+-→→)!1()()!1()(lim )()(lim )()()(lim 0)(0)1(010001000-=-+='-+'='-+'-→-→-→n x f t n t x f t x f t x f h θx f h θx f n n t n t n h 故10101lim 1lim -→-→=⇒=n h n h nθn θ7.3.2参考题第一组参考题1.设有n 个实数n a a a ,,,21 满足12)1(31121=--++--n a a a n n 证明:方程0)12cos(3cos cos )(21=-+++=x n a x a x a x f n 在区间2π,0(中至少有一个根.【证明】构造辅助函数x n n a x a x a x F n )12sin(123sin 3sin )(21--+++= 则可见0)2π()0(==F F .对F 在区间]2π,0[上用Rolle 定理,就知道)()(x f x F ='在区间)2π,0(中有零点.2.设0≠c ,证明:方程0345=+++c bx ax x 至少有两个根不是实根.【证明】设c bx ax x x f +++=345)(,那么22234)345(345)(x b ax x bx ax x x f ++=++='若03452=++b ax x 有两个相同实根,那么0≥'f ,此时f 严格单调增加,故方程只有一个实根,还有四个根不是实根;若03452=++b ax x 无实根,那么f 严格单调增加,同上;若03452=++b ax x 有两不同实根21x x <,那么f 在),(1x -∞,),(2+∞x 上严格单调增加,在),(21x x 上严格单调减少,此时方程至多有3个实根,还有两个根不是实根.3.设0≠a ,证明:方程n n na x a x 222)(+=+只有一个实根0=x .【证明】设n n na x a xx f 222)()(+-+=,那么])([2)(1212--+-='n n a x x n x f 当0>a 时,0)(<'x f ;当0<a 时,0)(>'x f .总之f 是严格单调的,故至多有一个实根,而0=x 是它的一个实根,所以方程只有一个实根0=x .4.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可微,且满足条件0)()(>b f a f ,0)2()(<+ba f a f 证明:对每个实数k ,在),(b a 内存在点ξ,使成立0)()(=-'ξkf ξf .【证明】因为0)2()(<+b a f a f ,0)2()(<+b a f b f ,所以f 在)2,(b a a +和),2(b ba +上分别存在一个零点1x 与2x .构造辅助函数)(e )(x f x g kx-=,那么0)()(21==x g x g ,于是存在),(21x x ξ∈使得有0)(='ξg ,0)]()([e =-'-ξkf ξf ξk ,故0)()(=-'ξkf ξf .5.设∑==nk xλkk c x f 1e)(,其中n λλ,,1 为互异实数,n c c ,,1 不同时为0.证明:f 的零点个数小于n .【证明】用数学归纳法.当1=n 时xλc x f 1e )(1=,而01≠c ,此时f 没有零点;假设当n 时命题成立;当1+n 时,不妨令01≠+n c ,那么e )(0eee)(11)(11)(11111==⇒===∑∑∑+=-+=-+=n k x λλk n k xλλk xλn k xλk k k k c x g c c x f 而∑+=--='12)(11e )()(n k x λλk kk c λλx g 的零点个数至多有1-n 个,所以g 的零点个数至多有n 个,即f 的零点个数至多有n 个.根据归纳原理知命题成立.7.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可微,但不是线性函数,证明:存在),(,b a ηξ∈,使成立)()()()(ηf ab a f b f ξf '>-->'【证明】构造辅助函数)()()()()()(a f a x ab a f b f x f x g -----=因为f 不是线性函数,所以g 不恒为零,而0)()(==b g a g ,所以存在),(b a c ∈使得0)(≠c g ,不妨设为0)(>c g .于是存在),(,b a ηξ∈,使成立0)()()(>'=--ξg a c a g c g ,0)()()(<'=--ηg bc b g c g 即有)()()()(ηf ab a f b f ξf '>-->'8.设f 在],[b a 上二阶可微,0)()(==b f a f ,且在某点),(b a c ∈处有0)(>c f ,证明:存在),(b a ξ∈,使0)(<''ξf .【证明】利用Lagrange 中值定理,存在),(1c a ξ∈与),(2b c ξ∈使得0)()()(1>'=--ξf a c a f c f ,0)()()(2<'=--ξf cb c f b f 再次利用此定理,存在),(21ξξξ∈使得)()()(1212<''=-'-'ξf ξξξf ξf 9.利用例题7.1.3的方法(或其他方法)解决以下问题:(1)设f 在],[b a 上三阶可微,且0)()()(=='=b f a f a f ,证明:对每个],[b a x ∈,存在),(b a ξ∈,使成立)()(!3)()(2b x a x ξf x f --'''=【证明】当),(b a x ∈时构造辅助函数)()()()()()()(22t f b t a t b x a x x f t g -----=那么有0)()()(===x g b g a g ,于是存在b ξx ξa <<<<21使得0)()(21='='ξg ξg ,又)())](()(2[)()()()(2t f a t a t b t b x a x x f t g '---+---='所以0)(='a g ,于是存在2211ξηξηa <<<<使得0)()(21=''=''ηg ηg ,最后存在21ηξη<<使得)()(3)()(0)()()()(60)(22b x a x ξf x f ξf b x a x x f ξg --'''=⇒='''---⇒='''当a x =或b x =时任取),(b a ξ∈等式都成立.(2)设f 在]1,0[上五阶可微,且0)1()1()1()32(31(=''='===f f f f f ,证明:对每个]1,0[∈x ,存在)1,0(∈ξ,使成立3)5()1)(32)(31(!5)()(---=x x x ξf x f 【证明】当}32,31{\)1,0[∈x 时构造辅助函数)()1)(3231()132)(31()()(33t f t t t x x x x f t g -------=重复(1)中的操作,最终存在)1,0(∈ξ使等式成立.当31=x 或32=x 或1=x 时任取),(b a ξ∈等式都成立.(3)设f 在],[b a 上三阶可微,证明:存在),(b a ξ∈,使成立)()(121)]()()[(21)()(3ξf a b b f a f a b a f b f '''--'+'-+=【证明】【法一】设2a b c +=,2a b h -=,待证等式化为)(32)]()([)()(3ξf x h c f h c f h h c f h c f '''-+'+-'+-=+令K x h c f h c f h h c f h c f 332)]()([)()(-+'+-'+-=+构造辅助函数K x x c f x c f x x c f x c f x g 332)]()([)()()(++'+-'---+=那么0)()0(==h g g ,利用Rolle 中值定理,存在),0(1h x ∈使得0)(1='x g ,而)(]2)()([)(x xh xK x c f x c f x x g =++''--''='所以0)()0(1==x h h ,于是存在),0(12x x ∈使得0)(2='x h ,而Kx c f x c f x h 2)()()(++'''--'''-='所以有)()(2)()(222ξf K ξf x c f x c f K '''=⇒'''=+'''+-'''=【法二】考虑函数)]()()[(21)()()(a f x f a x a f x f x F '+'---=,3)()(a x x G -=那么0)()()()(='=='=a G a G a F a F ,连续运用Cauchy 中值定理,知)(121)()()()()()()()()()()()()()(ξf ξG ξF a G c G a F c F c G c F a G b G a F b F b G b F '''-=''''='-''-'=''=--=其中b c ξa <<<.(4)设f 在],[b a 上二阶可微,证明:对每个),(b a c ∈,有),(b a ξ∈,使成立))(()())(()())(()()(21b c a c c f a b c b b f c a b a a f ξf --+--+--=''【证明】构造辅助函数)())(())()(())(())()(())(())()(()(x f b c a c b x a x c f a b c b a x c x b f c a b a c x b x a f x g -----+----+----=那么有0)()()(===c g b g a g ,于是存在c ξb ξa <<<<21使得0)()(21='='ξg ξg ,进而知存在),(21ξξξ∈使得0)(=''ξg ,即))(()())(()())(()()(21b c a c c f a b c b b f c a b a a f ξf --+--+--=''10.设b a <<0,f 在],[b a 上可微,证明:存在),(b a ξ∈,使成立)()()()(1ξf ξξf b f a f b a b a '-=-【证明】利用Cauchy 中值定理,知存在),(b a ξ∈,使成立)()(1)()(11)()()()()()(122ξf ξξf ξξξf ξf ξa b a a f b b f b a a bf b af b f a f b a b a '-=--'=--=--=-16.设f 在]2,0[上二阶可微,且1)(≤x f ,1)(≤''x f ,证明:2)(≤'x f .【证明】写出21))((21))(()()0(x ξf x x f x f f -''+-'+=22)2)((21)2)(()()2(x ξf x x f x f f -''+-'+=其中2021≤≤≤≤ξx ξ.两式相减得])()2)(([21)(2)0()2(2122x ξf x ξf x f f f ''--''+'=-所以2122)()2)((21)0()2()(2x ξf x ξf f f x f ''--''+-≤'])2[(21)0()2(22x x f f +-++≤44212=⨯+≤故2)(≤'x f 18.设当],0[a x ∈时有M x f ≤'')(.又已知f 在),0(a 中取到最大值.证明:Ma a f f ≤'+')()0(.【证明】设f 在点),0(a b ∈处取得最大值,由Fermat 定理知0)(='b f .写出))(()()(1a b ξf a f b f -''+'='bξf f b f )()0()(2''+'='其中),(1a b ξ∈,),0(2b ξ∈.由此有估计Mab ξf b a ξf a f f ≤''+-''='+')()()()()0(21第二组参考题5.设f 在],[b a 上可微,)()(b f a f '=',证明:存在),(b a ξ∈,使成立aξa f ξf ξf --=')()()(【证明】考虑函数x a f x f x g )()()('-=,那么0)()(='='b g a g ,待证式为aξa g ξg ξg --=')()()(.考虑辅助函数⎪⎩⎪⎨⎧=≤<--=ax b x a ax a g x g x G ,0,)()()(若)()(a g b g =,那么有0)()(==a G b G ,于是存在),(b a ξ∈使得0)(='ξG ,即aξa g ξg ξg a ξa g ξg a ξξg --='⇒=-+--')()()(0)()()())((2若)()(a g b g >,那么0)()()()()()())(()(22<--=-+--'='a b b g a g a b a g b g a b b g b G 以及0)(>b G ,所以在b x =的某个左邻域],[b δb -内有点c 使得0)()(>>b G c G ,从而)(x G 在),(b a 内取到最大值,故存在),(b a ξ∈使得0)(='ξG .若)()(a g b g <,同理.6.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可微,又有),(b a c ∈使成立0)(='c f ,证明:存在),(b a ξ∈,满足ab a f ξf ξf --=')()()(【证明】构造辅助函数ab x a f x f x g ---=e)]()([)(那么ab xa b a f x f x f x g -----'='e ])()()([)(.如果0)(='c g ,那么取c ξ=即可.如果0)(>'c g ,那么)()(a f c f <,于是0)(<c g ,所以存在),(0c a x ∈使得0)()()(0<--='ac a g c g x g ,由达布定理知存在),(0c x ξ∈使得0)(='ξg .如果0)(<'c g ,同理.7.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 上可微,0)(=a f ,0)(>x f ,],(b a x ∈∀,证明:对每个0>α,存在),(,21b a x x ∈,使成立)()()()(2211x f x f αx f x f '='【证明】只需考虑1>α的情形.构造辅助函数)(ln )(x f x F =,],(b a x ∈,则-∞=+→)(lim x F ax .记λb F =)(,可取),(b a c ∈使得1)(-=λc F ,由Lagrange 中值定理知)()()(11ξF cb c F b F c b '=--=-,),(1b c ξ∈再取),(c a d ∈使得cb ab αλd F ---=)(,由Lagrange 中值定理知)(1)()()(12ξF αcb αc b a b a b αd b d F b F ξF '>-=--->--=',),(2d a ξ∈由达布定理可知存在),(3b a ξ∈使得)()(13ξF αξF '='.8.设f 在),(+∞-∞上二阶连续可微,1)(≤x f ,且有4)]0([)]0([22='+f f ,证明:存在ξ,使成立0)()(=''+ξf ξf .【证明】在]2,0[上利用Lagrange 中值定理,知存在)2,0(1∈x 使得1)(2)0()2()(11≤'⇒-='x f f f x f 同理存在)0,2(2-∈x 使得1)(2)0()2()(22≤'⇒---='x f f f x f 构造辅助函数22)]([)]([)(x f x f x h '+=,]2,2[-∈x ,于是2)(1≤x h ,2)(2≤x h ,4)0(=h ,所以h 在)2,2(-∈ξ处取到最大值,于是0)(='ξh ,即有)()]()([2='''+ξf ξf ξf 由于3)]([4)]([22≥-≥'ξf ξf ,所以0)(≠'ξf ,故0)()(=''+ξf ξf .9.设f 在),(+∞-∞上二阶连续可微,且对所有R ,∈h x 成立。

数学分析习题选解第一章 实数与函数 §1. 实数 习题Page. 41. 设a 为有理数，x 为无理数，证明：(1). a x +是无理数； (2)当0a ≠时，ax 是无理数。

证明：（用反证法） 3. 设,a b ∈R ，证明：若对任何正数ε有a b ε-<，则a b =。

证明：反证法，如果a b ≠，则取02a b ε-=>，有：a b ε-≥，矛盾。

6. 设,,a b c +∈R （+R 表示全体正实数的集合），证明：b c ≤-你能说明此不等式的几何意义吗？ 证明：用分析法，b c ≤-22222222a b a c b c b c ⇐+++-≤+-22a cb c⇐≤-22a b c⇐+422242222a a b c bc a a ca bb c⇐++≤+++ 222bc c b ⇐≤+()20b c ⇐-≥（显然成立）几何意义，如图，在R t A B C ∆中，记B C a =，A C b =，在直角边A C 上，取一点D连接B D ，记D C c =，则A D b c =-，由勾股定理，A B =，B D =此结论说明，三角形的两边之和大于第三边。

7. 设0x >，0b >，a b ≠。

证明：a x b x++介于1与a b之间。

证明：1a x a b b xb x+--=++与a b -同号（注意，0x >，0b >）；又()()x b a a x a b xbb b x -+-=++与b a -同号，故a x b x++介于1与a b之间。

8. 设p 为正整数，证明：若p证明：（反证法）设m n=，其中,n m ∈N ，(,)1n m =，于是，22p n m =。

由于大于1的整数能唯一地分解为素因数之积，若p 不是完全平方数，ac b D CBA则p 的素因数分解式中，必有r 是p 的具有奇指数的素因数。

则22p n m =的左端有奇数个素因数r ，而右端没有，与分解的唯一性矛盾，证毕 补充题：证明任何二个不同的有理数之间必有无理数。

《数学分析（一）》题库及答案一．单项选择1、函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为_______。

A ．]1,2[-B ．]2,1[-C ．[0,3]D ．[1,3]2、函数)(x f 在0x x →时极限存在，是)(x f 在0x 点处连续的_______。

A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件3、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=1,11,21,1)(x xx x x x f ，则=→)(lim 1x f x _______。

4、设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0,10,sin )(x x x x x x f ，则=→)(lim 0x f x ________。

A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在5、已知)1ln()(a x x f += )0(>x ，则=')1(f ________。

A ．aB ．2aC ．21 D ． 1 6、若在区间),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(<'x f ，二阶导数0)(>''x f ，则)(x f 在),(b a 内是________。

A ．单调减少，曲线上凸B ．单调增加，曲线上凸C ．单调减少，曲线下凸D ．单调增加，曲线下凸二、填空题1、函数)43cos(π+=xy 的周期为________。

2、=+∞→x x x)21(lim ________。

3、设x y 2sin =，则='''y ________。

4、设,2xe y =则y '''=_______。

5、设,)(lim 0A x x f x =→则=→xbx f x )(lim 0_______。

6、曲线xy 1=的渐近线是_______、_______。

三、判断对错1. 设函数在)(x f （a 、b ）上连续，则在)(x f [ a 、b ] 上有界。

《数学分析（1）》课程考试试题学年 第 学期 班级时量： 100分钟 总分100分 考试形式 闭卷一、计算与简答题，计算题需写出必要的计算步骤，每题5分，共50分.(1) 求极限(lim n n →∞； (2) 求极限2lim n n →∞+⎡⎤++； (3) 求极限2213lim 1nn n n ∞→⎛⎫+ -⎪⎝⎭； (4) 求极限0lim ln x x x +→； (5) 求极限111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭； (6) 求极限1lim (1)x x x e →+∞-； (7) 设2arcsin )(sin y x =，求22d d y x ； (8) 设3(sin ),3(1cos ),x t t y t =-⎧⎨=-⎩ 求22d d y x ； (9) 求曲线23y x x =-在点(1,2)P -的切线方程与法线方程； (10) 设32,1,(),2,x x f x ax b x ⎧-=⎨+<≥⎩试确定,a b 的值，使函数()f x 在2x =处可导. 二、解答题（共50分）(11)（8分）叙述函数极限0lim ()x x f x A →=的定义，并按函数极限定义证明32lim(32)4x x x →-+=. (12)（8分）叙述极限lim ()x f x →+∞存在的海涅归结原理，并应用它证明lim cos x x →+∞不存在. (13)（8分）设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上可导，且'()0g x ≠. 证明(,)a b ξ∃∈，使))()()))('(('(g f b a f f g g ξξξξ-=-. (14)（8分）数列极限lim n n a →∞的柯西收敛准则. 设 3333cos1cos 2cos3cos 123n n a n =++++， 用柯西收敛准则证明数列{}n a 收敛.(15) （8分）证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根.(16)（10分）叙述函数()f x 在区间I 上一致连续的定义. 并用函数的一致连续定义证明1()sinf x x=在[,1)c 上一致连续, 而在(0,1)非一致连续, 其中01c <<.。

第一章 实数集与函数习题课一概念叙述1．叙述S 有上界，有下界，有界，无上界，无下界，无界的定义．S 有上界 ,, M x S Û$"Î 有x M £ ； S 有下界 ,, L x S Û$"Î 有x L ³ ； S 有界Û S 既有上界又有下界,,, m L x S Û$"Î 有L x m ££ 0,, M x S Û$>"Î 有 x M £ ；S 无上界 0 ,, M x S Û"$Î 使得 0 x M > ； S 无下界 0 ,, L x S Û"$Î 使得 0 x L < ； S 无界Û S 无上界或S 无下界0 0,, M x S Û">$Î 使得 0 x M > ．2．叙述 sup S = h 的定义．1）设S 为R 中的一个数集．若数h 满足： （i）对一切 , x S Î 有x h £ ，即h 是S 的上界；（ii）对任何a h < ，存在 0 x S Î ，使得 0 x a > ，即h 是S 的最小上界（比h 小的数就不 是上界） ，则称数h 为数集S 的上确界，记作 sup S = h ． 2）设S 为R 中的一个数集．若数h 满足： （i）对一切 , x S Î 有x h £ ，即h 是S 的上界；（ii）对任何 0 > e ，存在 0 x S Î ，使得 0 x >- h e ，即h 是S 的最小上界，则称数h 也为 数集S 的上确界．3．叙述 inf S h = 的定义．1）设S 为R 中的一个数集．若数x 满足： （i）对一切 , x S Î 有x x ³ ，即x 是S 的下界；（ii）对任何b x > ，存在 0 x S Î ，使得 0 x b < ，即x 是S 的最大下界（比x 大的数就不 是S 的下界），则称数x 为数集S 的下确界，记作 inf S x = ． 2）设S 为R 中的一个数集．若数x 满足： （i）对一切 , x S Î 有x x ³ ，即x 是S 的下界；（ii）对任何 0 > e ，存在 0 x S Î ，使得 0 x <+ x e ，即x 是S 的最大下界，则称数x 为数 集S 的下确界，记作 inf S x = ．4．叙述 ( ) f x 在D 上有上界,无上界,有下界,无下界，有界，无界．( ) f x 在D 上有上界Û M $ ， x D "Î ，有 ( ) f x M £ ； ( ) f x 在D 上无上界Û M " ， 0 x D $Î ，使得 ( ) 0 f x M > ； ( ) f x 在D 上有下界Û L $ ， x D "Î ，有 ( ) f x L ³ ； ( ) f x 在D 上无下界Û L " ， 0 x D $Î ，使得 ( ) 0 f x L < ．f 在D 上的有界Û 0 M $> ， x D "Î ，有|()| f x M £ ； f 在D 上的无界Û 0 M "> ， 0 x D $Î ，使得 0 |()| f x M ³ ．二 疑难解析与注意事项1．注意有理数用分数形式 (,0 pp q q q¹ 为整数且 )表示．在讨论具体问题时，我们常设 , p q 互 质．2．确界与最值有什么区别与联系？（1）S 的最值必属于S ,但确界未必属于S ，确界是一种临界点，例如( ) 0,1 的上确界 1 不 属于( ) 0,1 ．（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值，例如( ) 0,1 有上下确界， 但无最值．（3）若max S 存在,必有max sup . S S = 对下确界有类似的结论． 3．下列等式 ( ) arcsin sin x x = ， x R "Î 是否正确．答 不正确，sin x 在 ,22 p p éù -êú ëû 单调增，则sin x 在 ,22 p p éù-êú ëû上具有反函数arcsin x ，由原函数定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数定义域，因此arcsin x 定义域是[ ] 1,1 - ，值 域是 ,22 p p éù -êú ëû ．因此 ( ) arcsin sin x 的取值应该在 ,22 p p éù-êú ëû上． 注：1）当 ,22 x p p éùÎ-êú ëû 时，arcsin(sin ) x x = ． 2）当 [ ] 1,1 x Î- 时，sin(arcsin ) x x = ．4．试问周期函数是否必定有基本周期（最小正周期） ．答 否．例如，常数函数，狄利克雷函数都是周期函数．任何正实数都是常数函数的周期，任何正的有理数都是狄利克雷函数的周期，但是这两个函数都无最小正周期．5． 设狄利克雷函数 ， ( ) 1 g x x= ， 1 x > ，试问复合函数 f g o 和g f o 是否存在？答设有两函数设有两个函数 (),,(), y f u u D u g x x E =Î=Î ，记 { }() E x g x D E =Î gI ， 若E f ¹ g ， ，函数 f 与g 才能进行复合．1）对，D R = ， ( ) 1g x x= ， 1 x > ，有{ } () E x g x D E E =Î=¹Æg I 于是 f 与g 可以复合成 f g o ，其定义域为E ．（2）对 ( ) 1g u u= ， { }1 D u u => ，，E R= { } () E x f x D E =Î=Æ g I ，于是g 与 f 不能复合为g f o ．6．由§2，习题 7 可知：若A ，B 皆为有界数集，则有．( ) sup sup sup A B A B+=+ 而本节教材例 2 中，若 f ，g 为D 上的有界函数，则sup{()()}sup ()sup ()x Dx Dx Df xg x f x g x ÎÎÎ +£+ 而且可能成立严格不等式． 上面二式是否有矛盾？为什么？答 并不矛盾，这是因为{()()}{()}{()}f xg x x D f x x D g x x D +ÎÌÎ+Î而且在包含关系中左、 右两边的集合可能不相等．例如， ( ) f x x = ， ( ) g x x =- ， [ ] 0,1 D = ， 易见{ } {()()}0 f x g x x D +Î= ， [ ]{()}{()}1,1 f x x D g x x D Î+Î=- 于是{()()} f x g x x D +Î ¹ Ì {()}{()} f x x D g x x DÎ+Î 出现不等的原因在于数集{()}{()} f x x D g x x D Î+Î 中 x 是独立地取自 D 中． 若把{()()}{()}{()} f x g x x D f x x D g x x D +ÎÌÎ+Î 式中左、右两边的数集看作相同而应用 ( ) sup sup sup A B A B +=+ ，将导致错误的结论． 三 重点习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a x + 是无理数； （2）当 0 a ¹ 时，ax 是无理数． 证 （1）反证法，设a x + 是有理数，则可设 na x m+=(,0 m n m ¹ 为整数且 )，由于a 为有理数， 则可设 (,0 p a p q q q =¹ 为整数且 )， 于是 n p nq mp x m q mq- =-= (,0 mq nq mp mq -¹ 为整数且 )， 于是 x 是有理数，矛盾，则a x + 是无理数．（2）反证法，设ax 是有理数，则可设 nax m= (,0 m n m ¹ 为整数且 )，由于a 为有理数，则可 设 (,0 p a p q q q =¹ 为整数且 )，由 0 a ¹ ，知 0 p ¹ ，于是 n q x m p= (,0 mp nq mp ¹ 为整数且 )，于 是x 是有理数，矛盾，则ax 是无理数．2．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则 p 是无理数．证 （反证）假设 p 为有理数，则存在正整数 , m n 使得 np m=，其中 , m n 互素．于 是 22m p n = ，则m 整除 2n ，由于 , m n 互素，则 , m n 的最大公约数为 1，于是存在 , u v ， 使 1 mu nv += ，从而 2m u mnv m += ，于是m 可整除n ，这样 1 m = ，从而 2p n = ，这与p 不是完全平方数相矛盾，故 p 是无理数．3． 设 , a b 为任意实数，证明：||||||1||1||1||a b a b a b a b + £+++++ 证 我们将从函数 xxx f + = 1 ) ( 的性质着手证明不等式．设 x x x f + = 1 ) ( = x+ - 1 11 ， 0 x > ，若 12 0 x x << ，则 ) ( ) ( 2 1 x f x f < ．因为 a b a b +£+ ，于是有||||||1||1||||a b a b a b a b ++ £++++ || | | 1 | | | | | | 1 | | b a b b a a + + + + + = ||||1||1||a b a b £+ ++ ．4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1） {} ( )222,2S x x =<=- 解 2 inf , 2 sup - = = S S ．下面依定义加以验证sup 2 S = ， 1） x S "Î ，有 2 2 < < - x ，即 2 是S 的一个上界，2） 2 "a < ，若 2 a £- ，则 0 x S "Î ，都有 0 x >a ；若 22 -<a < ，则由实数的稠 密性，在 ( ),2 a 必有实数 0 x ，即存在 0 x S Î ，使得 0x >a ． 所以sup 2 S = ． 下证inf 2S =- 1） x S "Î ，有 2 2 < < - x ，即 2 - 是S 的一个下界，2） 2 "a >- ，若 2 a ³ ，则 0 x S "Î ，都有 0 x <a ；若 22 -<a < ，则由实数的稠密 性，在 ( )2, - a 必有实数 0 x ，即存在 0 x S Î ，使得 0x <a ． 所以inf 2 S =- ． （2） 1 1, 2 nS x x n N + ìü==-Î íý îþ． 解 因为n N + Î ，对n 取1,2,L ，通过观察会发现sup 1 S = ， 1inf 2S = ． 分析：要证sup 1 S = ，只要证：1) 1 是上界： , x S "Î 有 1 x £ ，显然成立； 2）1 是最小的上界（比 1 小的数不是上界）． 即要证对任何 0 > e ，存在 0 x S Î ，使得 0 1 x >-e ， 即对任何 0 > e ，要找到一个 0 x S Î ，使得 0 1 x >-e ，即对任何 0 > e ，找一个 0 n N + Î ，使得 00 11 2n x =-且 0 1 x >-e ， 找 0 n N + Î 的方法-----要使 0 1 x >-e ，只要 0 1 11 2 n ->-e ，即要 0 12n<e ，即要 0 1 2 n > e ，即要 021 log n > e，只要取 02 1 log 1 n éù =+ êúe ëû，就行． 下证sup 1S = 1） , x S "Î 有 1 x £ ，即 1 是上界；2）对任何 0 > e ，取 02 1 log 1 n éù =+ êúe ëû，则 00 11 2n x S =-Î ，且 0 1 x >-e ， 因此sup 1 S = ．下证 1 inf 2S = ：1) , x S "Î 因为n N + Î ，因此 11 1 22 n x =-³ ，即 1 2 是下界； 2）对任何 0 > e ，取 1 n = ，则 0 1 2 x S =Î ，且 0 12x <+e ，因此 1inf 2S = ．注 要证 sup S = h ，只要证（i）h 是S 的上界：对一切 , x S Î 有x h £ ；（ii）h 是S 的最小上界：对任何a h < ，存在 0 x S Î ，使得 0 x a > ．或对任何 0 > e ，存在 0 x S Î ，使得 0 x >- h e ．5．设S 为非空数集，定义 { } | S x x S - =-Î ，证明 (1)inf sup S S - =- ；(2)sup inf S S - =- ．证（1）证inf sup S S -=- ， 令 inf S x -= ，由下确界的定义知， 1）x 是下界，对任意的x S - Î ，有x x ³ ；2）x 是最大的下界， 比x 大的不能作为下界． 任意 , 0 > e ， 存在 0 x S -Î ， 使 0 x <+ x e ． 因为 { } | S x x S -=-Î ，当x S -Î ，有 x S -Î ．由 1）对任意的 , x S x x -Î-£- ，即-x 是S 的上界； 由 2）任意 , 0 > e ，存在 0 x S -Î ，使 0 x ->-- x e ． 由上确界的定义知sup S x =- ，即inf sup S S - =- ． （2）证sup inf S S - =- ．令 sup S -= h ，由上确界的定义知， 1）h 是上界，对任意的x S - Î ，有x £h ；2） h 是最小的上界， 比h 小的不能作为上界． 任意 , 0 > e ， 存在 0 x S -Î ， 使 0 x >- h e ． 因为 { } | S x x S -=-Î ，当x S -Î ，有 x S -Î ．由 1）对任意的 , x S x -Î-³-h ，即-h 是S 的下界； 由 2）任意 , 0 > e ，存在 0 x S -Î ，使 0 x -<-+ h e ． 由下确界的定义知inf S =-h ，即sup inf S S -=- ． 6．设a 为任意实数，A 为R 中非空有界数集，证明：sup()sup , A a A a +=+ inf()inf A a A a+=+ 其中 } | { A x x a A a Î + = + ．证 先证sup()sup , A a A a +=+ ． 由sup A 的定义，满足： （i） A x Î " ， sup x A £ ；（ii） e e - > Î $ > " A x A x sup , , 0 0 0 ．于是又满足：（i） A x Î " ， sup a x a A +£+ ；（ii） e e - + > + Î $ > " A a x a A x sup , , 0 0 0 ． 因而证得A a A a sup ) sup( + = + ．同理可证inf()inf A a A a +=+ ．7．设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集 { },, A B z z x y x A y B +==+ÎÎ ． 证明：（1） B A B A sup sup ) sup( + = + ；（2）inf()inf inf A B A B +=+ ． 证（1）因为A 、B 皆为非空有界数集，所以sup A 和sup B 都存在．1）对任意的z A B Î+ ，存在 A x Î ，y B Î ，使z x y =+ ．于是 sup ,sup x A y B ££ ， 从而 sup sup z A B £+ ，即sup sup A B + 为 A B + 的上界．2）对任意的 0 e > ，存在 00 , x A y B ÎÎ ，使得 00 sup ,sup 22x A y B e e>->- ，则存 在 B A y x z + Î + = 0 0 0 ，使 0 sup sup z A B >+-e ．所以sup()sup sup A B A B +=+ ． （2）证inf()inf inf A B A B +=+ ．1）对任意的z A B Î+ ，存在 A x Î ，y B Î ，使z x y =+ ．于是 inf ,inf x A y B ³³ ， 从而 inf inf z A B ³+ ，即inf inf A B + 为 A B + 的下界．2）对任意的 0 e > ，存在 00 , x A y B ÎÎ ，使得 00 inf ,inf 22x A y B e e<+<+ ，则存 在 B A y x z + Î + = 0 0 0 ，使 0 inf inf z A B <++e ．因此inf()inf inf A B A B +=+ ．8．设 , A B 是数轴上位于原点右方的非空有界数集，记 { }, AB xy x A y B =ÎÎ ，证明：( ) sup sup sup AB A B = ．证 先证 ( ) sup sup sup AB A B£ 由上确界定义， A x Î " ， sup ,x A £ ， B y Î " ， sup y B £ ，因为 0,0 x y ³³ ，所以sup sup xy A B £ ，这说明sup sup A B 是 AB 的一个上界，于是( ) sup sup sup AB A B£ 再证 ( ) sup sup sup A B AB £ ．按上确界定义， 0 > "e （不妨设 1 e < ）， e e - > Î $ - > Î $ B y B y A x A x sup , , sup , 0 0 0 0 ， 于是 AB y x Î $ 0 0 ，使) )(sup (sup 0 0 e e- - > B A y x ． 这样就有00 sup (sup )(sup ) AB x y A B ³>-e -e ，2sup sup (sup sup ) A B A B =-+e +ee) 1 sup (sup sup ∙ sup + + - > B A B A 由于 , A B 中元素皆非负，因此 sup 0.sup 0 A B ³³ ， sup +sup +10 A B ³ ，于是e e ) 1 sup (sup + + = ¢ B A 仍为一任意小的正数．这样证得 ( ) sup sup sup A B AB £ ．由此得到( ) sup sup sup AB A B = ．9．确定下列初等函数的存在域: (1) sin(sin ) y x = ； (2) lg(lg ) y x = ； (3) arcsin(lg) 10 xy = ； (4) lg(arcsin) 10xy = ． 解（1）因为sin x 的存在域为R ，所以 sin(sin ) y x = 的存在域为R ．（2） 存在域为 0 lg 0 x x > ìí> î， 因lg 0 x > 等价于 1 x > ， 所以 lg(lg ) y x = 的存在域是( ) 1,+¥ ．（3）存在域为 101lg 1 0 1 0 x x ì > ï -£ ï í ï £ ï î，而 1lg 1 10 x -££ 等价于1100 x ££ ，所以 arcsin(lg )10 x y = 的存在域是[ ] 1,100 ．注 arcsin y x = 的存在域是[ ] 1,1 - ．（4）存在域为 arcsin 1001 1 1 x x -£ ì > ï ï í ï £ ï î ，因为arcsin 10 x 的值域为 ,22 éù -êú ëû p p ，且sin x 在 ,22 éù -êú ëû p p 上递增，因此 arcsin0 10 x > 等价于 sin arcsin 10 sin0 x æö ç÷ > èø ，即 0 10 x > ，即 0 x > ．所以 lg(arcsin) 10xy = 的存在域是 ] (0,10 ． 10．证明关于函数 ] [x y = 的如下不等式：（1）当 0 x > 时， 1 11 x x x éù -<£ êú ëû ；（2）当 0 x < 时， 1 11 x x x éù£<- êú ëû．证（1）因为 x x x 11 1 1 £ ú û ù ê ë é < - ，所以当 0 x > 时，有 1 11 x x x éù -<£ êú ëû．（2）当 0 x < 时，在不等式 x x x 11 1 1 £ ú û ù ê ë é < - 中同时乘以x ，可得 1 11 x x x éù £<- êú ëû．注 对 ] [x y = 有不等式 1[] x x x -<£ 与[][]1 x x x £<+ ． 8．证明 1) ( 2 + =x xx f 是R 上的有界函数． 证 当 0 x ¹ 时， 21 2 1 ) ( 2= £ + =x x x xx f ， 当 0 x = 时， (0)0 f = ， 因此 x R "Î 有 1() 2 f x £ ， 故 1) ( 2 + =x xx f 是R 上的有界函数． 注 本题常见错误是不讨论x 是否为0． 11．设 f g 和 为D 上的有界函数．证明: (1) inf{()()}inf ()sup () x Dx Dx Df xg x f x g x ÎÎ Î +£+ ；(2) sup ()inf ()sup{()()} x Dx Dx Df xg x f x g x Î ÎÎ +£+ ．解 法1 （1） 0 "e > ， 0 x D $Î ， 使得 ( ) 0 inf () x Dx xf f Î < +e ． x D "Î ， 有 ()sup () x Dg x g x Î £ ， 当然有 0 ()sup () x Dg x g x Î £ ，于是 ( ) 0 0 ()inf ()sup () x Dx Dg x f x gf x x Î Î + + < +e ，又因为 x D "Î ， 有inf{()()}()() x Df xg x f x g x Î +£+ ，当然有 ( ) 0 0 inf{()()}() x Df f x x xg x g Î + +£ ，因此有( ) 0 0 inf{()()}()inf ()sup () x Dx Dx Df xg x g x f x g xf x ÎÎ Î + +< +£+e ，由e 任意性有。

第一章实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =-+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾， 故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax=为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾 故ax 是无理数.1、 试在数轴上表示出下列不等式的解： ⑴ 0)1(2>-x x ；⑵⑶2、 设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<-b a ，则b a =. 证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <; 若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾; 若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾; 从而必有b a =. 3、 设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x 1同号,从而21211=⋅≥+=+xx x x x x , 等号当且仅当xx 1=,即1±=x 时成立.4、 证明:对任何R x ∈,有⑴ 121≥-+-x x ；⑵2321≥-+-+-x x x 证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x ,所以121≥-+-x x .⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x5、 设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a -≤+-+2222证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++, 即))(()(222222c a b a bc a ++≤+bc c a b a a 2))((2222222-≤++-,两端再同加22c b +,则有c b c a b a -≤+-+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边. 当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、 设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与ba之间. 证:因为x b a b x b x a +-=++-1,)()(x b b a b x b a x b x a +-=-++,且0,0>>b x 所以当b a >时, b ax b x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb xa b a ; 故x b x a ++总介于1与ba 之间.7、 设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使nmp =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n 因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、 设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： ⑴ b x a x -<-；⑵b x a x -<-；⑶b a x <-2.解: ⑴原不等式等价于11<---bx ba 这又等价于20<--<b x b a 即⎩⎨⎧-<-<>b x b a b x 220或⎩⎨⎧->-><b x b a bx 220即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>>b a b a x b x 2或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<<ba b a x b x 2故当b a >时,不等式的解为2ba x +>当b a <时,不等式的解为2ba x +<当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于⎩⎨⎧-<->b x a x b x 且⎩⎨⎧-<->b x x a bx即⎩⎨⎧>>b a b x 且⎪⎩⎪⎨⎧+>>2b a x bx 故当b a >时,21bx +>; 当b a ≤时,不等式无解. ⑶当0≤b 时,显然原不等式无解,当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<-2因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解②当0>+b a 且0>b 时,有解 Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<-即b a x b a +<<-或b a x b a +>>--Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+-§2数集 确界原理1、 用区间表示下列不等式的解: ⑴01≥--x x ;⑵61≤+xx ; ⑶0))()((>---c x b x a x (a 、b 、c 为常数,且c b a <<)⑷22sin ≥x 解 ⑴原不等式等价于以下不等式组⎩⎨⎧≥--<011x x x 或⎩⎨⎧≥--≥011x x x前一不等式组的解为21≤x ，后一不等式组无解. 所以原不等式的解为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈21,x ⑵不等式61≤+xx 等价于616≤+≤-x x这又等价于不等式组⎩⎨⎧≤+≤->x x x x 61602或⎩⎨⎧-≤+≤<xx x x 61602前一不等式组的解为]223,223[+-∈x ，后一不等式组解为]223,223[+---∈x . 因此原不等式解为 ]223,223[]223,223[+-+---∈x⑶令))()(()(c x b x a x x f ---=,则由c b a <<知:⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈>-∞∈<= ;),(),(,0;),(),(,0)(c b a x c b a x x f因此0)(>x f 当且仅当 ;),(),(∞+∈c b a x因此原不等式的解为 ),(),(∞+∈c b a x .⑷当]43,4[ππ∈x 时22sin ≥x .由正弦函数的周期性知22sin ≥x 的解是]432,42[ππππ++∈k k x ,其中k 是整数2、设S 为非空数集,试给出下列概念的定义:⑴数集S 没有上界; ⑵数集S 无界.解: ⑴设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 没有上界 ⑵设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 无界3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证:{}22R x x y y S ∈-==.对任意的R x ∈,222≤-=x y 所以数集S 有上界2而对任意的0>M ,取m x +=31,则S M M x y ∈--=--===1322211, 但M y -<1,因此数集S 无下界4、 求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证. ⑴{}22<=x x S⑵{},!为自然数n n x x S ==; ⑶{})1,0(内的无理数为x x S =; ⑷⎩⎨⎧=-==},2,1,211 n x x S n 解: ⑴2sup =S ,2inf -=S ,以下依定义加以验证.由22<x 知22<<-x ,因之对任意的S x ∈,有2<x 且2->x ,即2,2-分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,不妨设22<ε,于是存在220ε-=x ,221ε+-=x使0x 、1x S ∈，但ε->20x ，ε+-<21x ，所以2sup =S ,2inf -=S⑵+∞=S sup ,1inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，+∞<≤x 1，所以1是S 的下界.对任意的自然数n ,+∞<!n ,所以+∞=S sup ;对任意的0>ε,存在S x ∈==1!11,使ε+<11x ,所以1inf =S ⑶1sup =S ,0inf =S ,以下依定义加以验证.对任意的S x ∈，有10<<x ，所以1、0分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,取εη<<0，且使η-1为无理数，则η-1S ∈，εη->-11 所以1sup =S ；由η的取法知η是无理数，S ∈η，εεη+=<0，所以0inf =S⑷1sup =S ,21inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，有121≤≤x ，所以1、21分别是S 的上、下界.对任意的0>ε，必存在自然数k ，使S x k k ∈-=211，且ε->-=1211k k x所以1sup =S又S x ∈=-=21211,ε+<=-=2121211x 所以21inf =S5. 设S 为非空有下界数集.证明:S S S min inf =⇔∈=ξξ证:设S S ∈=inf ξ,则对一切S x ∈有ξ≥x ,而S ∈ξ,故ξ是数集S 中最小的数,即S min =ξ. 设S min =ξ,则S ∈ξ,下面验证S inf =ξ. Ⅰ 对一切S x ∈,有ξ≥x ,即ξ是S 的下界. Ⅱ 对任何ξβ>,只须取S x ∈=ξ0,则β<0x ,从而ξ不是S 的下界,故S inf =ξ.6.设S 为非空数集,定义}{S x x S ∈-=-,证明:⑴S S sup inf -=-⑵S S inf sup -=-证: ⑴设-=S inf ξ,由下确界的定义知,对任意的-∈S x ,有ξ≥x ,且对任意的0>ε,存在-∈S x 0,使εξ+<0x由}{S x x S ∈-=-知, 对任意的S x ∈-,ξ-≤-x ,且存在S x ∈-0,使εξ-->-0x ,由上确界的定义知ξ-=-S sup ,即S S sup inf -=-. 同理可证⑵式成立.7.设B A 、皆为非空有界数集,定义数集},,{B y A x y x z z B A ∈∈+==+. 证明: ⑴B A B A sup sup )sup(+=+ ⑵B A B A inf inf )inf(+=+ 证: ⑴设1sup η=A ,2sup η=B .对任意的B A z +∈,存在A x ∈,B y ∈,使y x z +=. 于是1η≤x ,2η≤y ,从而21ηη+≤z对任意的0>ε,必存在A x ∈0,B y ∈0且210εη->x ,220εη->y ,则存在B A y x z +∈+=000,使εηη-+>)(210z ,所以B A B A sup sup )sup(21+=+=+ηη ⑵同理可证8.设x a a ,1,0≠>为有理数,证明:{{⎪⎩⎪⎨⎧<>=<<,1}inf ,1}sup a r a a r a a rxr r x r x ，当为有理数，当为有理数证: 只证1>a 的情况, 1<a 的情况可以类似地予以证明.设}{x r r a E r<=，为有理数.因为1>a ,r a 严格递增,故对任意的有理数x r <,有x r a a <,即x a 是E 的一个上界.对任意的0>ε,不妨设x a <ε,于是必存在有理数x r <0,使得xr x a a a <<-0ε.事实上,由x a log 递增知:xx a a <-<ε0等价于x a a xa x a =<-log )(log ε取有理数0r ,使得x r a xa <<-0)(log ε.所以E a xsup =,即}{sup 为有理数r aa rxr x<=§4具有某些特征的函数1、证明:21)(x xx f +=是R 上的有界函数. 证: 利用不等式212x x +≤有2112211)(22≤+=+=x x xx x f 对一切的),(∞+-∞∈x 都成立 故21)(x xx f +=是R 上的有界函数2、⑴证明陈述无界函数的定义; ⑵证明:21)(x x f =为)1,0(上的无界函数. ⑶举出函数f 的例子,使f 为闭区间]1,0[上的无界函数.解: ⑴设)(x f 在D 上有定义,若对任意的正数M ,都存在D x ∈0,使M x f >)(0,则称函数)(x f 为D 上的无界函数.⑵对任意的正数M ,存在)1,0(110∈+=M x ,使M M x x f >+==11)(2所以21)(xx f =为)1,0(上的无界函数. ⑶设⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f .下证)(x f 为无界函数0>∀M ,]1,0(110∈+=∃M x ,使得M M x f >+=1)(0 所以⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f 是闭区间[0,1]上的无界函数.3、 证明下列函数在指定区间上的单调性: ⑴13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增; ⑵x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增;⑶x y cos =在],0[π上严格递减.证: ⑴任取1x 、),(2∞+-∞∈x ，21x x <， 则0)(3)13()13()()(212121<-=---=-x x x x x f x f ， 可见)()(21x f x f <，所以13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增. ⑵任取1x 、]2,2[2ππ-∈x ，21x x <，则有22221ππ<+<-x x ,02221<-≤-x x π, 因此02cos21>+x x ,02sin 21<-x x , 从而02sin 2cos 2sin sin )()(21212121<-+=-=-x x x x x x x f x f , 故)()(21x f x f <,所以x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增.⑶任取1x 、],0[2π∈x ，21x x <,则π<+<2021x x ,02221<-≤-x x π, 从而02sin21>+x x ,02sin 21<-x x 02sin 2sin2cos cos )()(21212121>-+-=-=-x x x x x x x f x f 故)()(21x f x f >,所以x y cos =在],0[π上严格递减.4、 判别下列函数的奇偶性:(1)12)(24-+=x x x f ;(2) x x x f sin )(+=;(3)22)(x e x x f -=; (4))1lg()(2x x x f -+=解(1)因)(121)(2)()(2424x f x x x x x f =-+=--+-=-, 故12)(24-+=x x x f 是偶函数. (2)因),()sin ()sin()()(x f x x x x x f -=+-=-+-=-故x x x f sin )(+=是奇函数.(3)因)()()(222)(2x f e x e x x f x x ==-=----,故22)(x e x x f -=是偶函数. (4))()1lg(11lg)1lg())(1lg()(2222x f x x x x x x x x x f -=++-=++=++-=-++-=-故)1lg()(2x x x f -+=是奇函数.5、 求下列函数的周期:(1)x x f 2cos )(=;(2)x x f 3tan )(=;(3)3sin 22cos )(xx x f +=. 解 (1) )2cos 1(21cos )(2x x x f +==,而x 2cos 1+的周期是π,所以x x f 2cos )(=的周期是π. (2))3tan(x 的周期是3π,所以x x f 3tan )(=的周期是3π. (3)2cos x 的周期是π4,3sin x 的周期是π6,所以3sin 22cos )(xx x f +=的周期是π12.6、 设)(x f 为定义在],[a a -上的任一函数,证明: (1) ],[),()()(a a x x f x f x F -∈-+=为偶函数; (2) ],[),()()(a a x x f x f x G -∈--=为奇函数; (3) f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.证 (1)由已知函数)(x F 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀)()()()()()(x F x f x f x f x f x F =-+=+-=-.故)(x F 为],[a a -的偶函数.(2) 由已知函数)(x G 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀有)()]()([)()()(x G x f x f x f x f x G -=---=--=-.故)(x G 为],[a a -的奇函数.(3)由(1)(2)知: ),(2)()(x f x G x F =+从而)(21)(212)()()(x G x F x G x F x f +=+=,而)(x F ,)(x G 分别是偶函数和奇函数.显然)(21x F 也是偶函数, )(21x G 也是奇函数.从而f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.7、 设)(x f ,)(x g 为定义在D 上的有界函数,且对任一)()(,x g x f D x ≤∈,证明:(1))(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤;(2) )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 证 (1)假设)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈>. 令))(sup )(sup (21x g x f D x D x ∈∈-=ε,则0>ε 由上确界定义知,存在D x ∈0,))(sup )(sup (21)(sup )(0x g x f x f x f Dx D x D x ∈∈∈+=->ε,又对任意的D x ∈,<)(x g ))(sup )(sup (21)(sup x g x f x g D x D x D x ∈∈∈+=+ε. 由此知)()(0x g x f >,这与题设)()()(D x x g x f ∈∀≤相矛盾,所以)(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤.(2)同理可证结论成立.8、 设f 为定义在D 上的有界函数,证明:(1) )(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-;(2) )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=- 证: (1)令ξ=∈)(inf x f Dx .由下确界的定义知,对任意的D x ∈,ξ≥)(x f ,即ξ-≤-)(x f , 可见ξ-是)(x f -的一个上界;对任意的0>ε,存在D x ∈0,使εξ+<)(0x f ,即εξ-->-)(0x f ,可见ξ-是)(x f -的上界中最小者.所以)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-=-ξ(2)同理可证结论成立.9、 证明:函数x x f tan )(=在)2,2(ππ-内为无界函数,但在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.证: (1)对任意的正数M ,取)1arctan(0+=M x , 则220ππ<<-x ,M M M x >+=+=1)1(tan(arctantan 0 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是无界函数. (2)任取[]b a ,)2,2(ππ-∈,由于x tan 在[]b a ,上是严格递增的,从而b x a tan tan tan ≤≤对任意的[]b a x ,∈都成立.令}tan ,tan max{a a M =,则对一切的[]b a x ,∈,有M x ≤tan ,所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.10、 讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x D ,0,1)(的周期性、单调性、有界性。

第一章 实数集与函数一、填空题1． 已知函数)(x f 的定义域为[]4,0，则函数)1()1()(-++=x f x f x g 的定义域为_________。

2． 设x e x f =)(，[]21)(x x g f -=，则=)(x g _______3．函数 2112++-=x x y 的定义域是 ； ４．函数 x x y 1arctan 3+-= 的定义域是 ； ５．设 ⎩⎨⎧<+≥++=1x , 2x 1 x , 14)(3x x x f ，则 )4(+x f = ；６．函数 2tan 32sin2x x y += 的周期是 ； ７．把函数 32arcsin ln x y = 分解为简单函数 ；８．函数 1 x , 1≥-=x y 的反函数是 ； ９．函数 1+=x e y 的反函数是 ；10．设 , cos (x), )(2)(x a e x f a x +==-ϕ则 =)]([x f ϕ ；11．212arccosxx y +=的定义域是 ，值域是 ； 12．若xx f -=11)(，则=)]([x f f ，=)]}([{x f f f ； 13．若31)1(22++=+x x x x f ，则=)(x f ； 14．设⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<≤-=31 1-10 201 2)(x x x x x f x ，则)(x f 的定义域是 ，=)0(f ，)1(f = ；15．函数xy ln 1=的定义域是 ； 16．设)(x f y =的定义域是]1,0[，则)(2x f 的定义域是 ；17．设函数, 1)(, ln 1)(+=+=x x g x x f 则=)]([x g f ； 18．设⎩⎨⎧<≤+<<-=20 102 sin )(2x x x x x f ，则=)2(πf ； 19．函数11+-=x x y 的反函数是 ；20．函数x y ln 1+=的反函数是 ；二、选择填空1．点0x 的)0(>δδ邻域是区间（ ）．)(A ], [00δδ+-x x )(B (δδ+-00, x x ］)(C ［δδ+-00, x x ) )(D （δδ+-00, x x ）2．函数)1lg(1-=x y 的定义域是（ ）． )(A ) , 1(∞+ )(B ) , 1()1 , 0(∞+)(C ) , 2()2 , 0(∞+ )(D ) , (22) , 1(∞+3．设3)(, ln )(+==x x g x x f ，则)]([x g f 的定义域是（ ）．)(A ) , 3(∞+- )(B [∞+- , 3) )(C 3) , (-∞ )(D 3] , (-∞4．函数1)1ln(-+=x x y 的定义域是（ ）．)(A }1|{->x x )(B }1|{>x x )(C }1|{-≥x x )(D }1|{≥x x5．函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=43 93 9)(22x x x x x f 的定义域是（ ）． )(A )4 , 3[- )(B )4 , 3(- )(C 4] , 4[- )(D 4) , 4(-6．函数216ln 1x xx y -+-=的定义域是（ ）． )(A 1) , 0( )(B 4) , (11) , 0( )(C 4) , 0( )(D 4] , (11) , 0(7．若2)1()1(xx xf +=，则=)(x f （ ）． )(A 2)1(+x x )(B 2)1(x x + )(C 2)1(x + )(D 2)1(x - 8．⎩⎨⎧≥<=1x01x sin )(x x f ，则=-)4(πf （ ） )(A 0 )(B 1 )(C 22 )(D 22- 9．如果)1,0( log ,2≠>==a a x u u y a ，则将y 表示成x 的函数是（ ）)(A 2log x a )(B x a 2log )(C x a log 2 )(D x a 2log三、计算题1．试在数轴上表示出下面不等式的解:(1) x(x 2-1)>0; (2) |x-1|<|x-3|; (3)23x 12x 1x -<---;2．设a 与b 为已知实数,试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解:(1) |x-a|<|x-b|; (2) |x-a|<x-b; (3) |x 2-a|<b.3．用区间表示下列不等式的解:(1) |1-x|-x ≥0; (2) |x+x1|≤6; (3) (x-a)(x-b)(x-c)>0,(a 、b 、c 为常数且a<b<c); (4)sinx ≥22. 4．确定下列初等函数的存在域:(1) y=sin(sinx); (2) y=lg(lgx);(3) y=arcsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛10x lg; (4) y=lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛10x arcsin . 5. 设函数 ⎩⎨⎧>≤+=0.x ,20,x x,2f(x)x 求 (1) f(-3),f(0),f(1); (2) f(△x)-f(0),f(-△x)-f(0) (△x>0).6. 设函数f(x)=x11+,求f(x+2),f(2x),f(x 2),f(f(x)),f(f(x)1) 7.试问下列复合函数是由那些些初等函数复合而成:(1) y=(1+x)20; (2) y=(arcsinx 2)2; (3) y=lg(1+2x 1+); (4) y=x sin 22 8.求下列函数的周期:(1) f(x)=cos 2x; (2) f(x)=2tg(3x); (3) f(x)=cos2x +2sin 3x . 9. 设函数f(x)=x1x 1+-,求: f(0),f(-x),f(x+1),f(x+1)f(x 1),f(x)1,f(x 2),f(f(x)). 10. 已知f (x1)=x+2x 1+,求f(x).四、证明题1． 证明: 对任何x ∈R,有(1)|x-1|+|x-2|≥1; (2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2.2．设a 、b 、c 为三个任意的实数,证明:|c b ||c a b a |2222-≤+-+你能说明此不等式的几何意义吗?3． 设x>0,b>0且a ≠b,证明x b x a ++介于1与ba 之间. 4．求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证.(1) S={x|x 2<2};(2) S={x|x=n!,n 为自然数};(3) S={x|x 为(0,1)内的无理数}; (4) S={x|x=1-n21,n=1,2,…}. 5． S 为非空有下界数集.证明: infS=ξ∈S 的充要条件是ξ=minS.6．设S 是非空数集,定义S={x|-x ∈S },证明:(1)infS —=-supS; (2) supS —=infS.7．设A 、B 皆为非空有界数集,定义数集A+B={z|z=x+y,x ∈A,y ∈B}.证明:(1)sup(A+B)=supA+supB; (2) inf(A+B)=infA+infB.8. 证明: f(x)=2x 1x +是R 上的有界函数. 9. 证明下列函数在指定区间上的单调性:(1) y=3x-1在(-∞,+∞)内严格递增;(2) y=sinx 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上严格递增; (3) y=cocx 在[0,π]上严格递减.10. 证明: 设f(x)为严格单调函数,若f(x 1)=f(x 2),则x 1=x 2.11. 设f(x)为定义在[-a,a]上的任一函数,证明:(1)F(x)=f(x)+f(-x),x ∈[-a,a]为偶函数;(2)G(x)=f(x)-f(-x) x ∈[-a,a]为奇函数.(3)f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和12. 设f(x)、g(x)为定义在D 上的有界函数,且f(x)≤g(x),x ∈D,证明:(1) g(x)sup f(x)sup D x D x ∈∈≤; (2) g(x)inf f(x)inf Dx D x ∈∈≤.13. 设f 为定义在D 上的有界函数,证明:(1) f(x)inf -{-f(x)}sup D x D x ∈∈=; (2) f(x)sup -{-f(x)}inf Dx D x ∈∈=14. 证明:函数f(x)=tgx 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内可无界函数,但在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内任一闭区间[a,b]上有界 15. 证明: f(x)=x+sinx 在(-∞,+∞)内是严格递增函数16. 设a,b 为实数,证明: (1) max{a,b}=21(a+b+|a-b|); (2) min{a,b}=21(a+b-|a-b|).。

数学分析1测试题1一、 填空题（每小题3分，共24分）1． 已知2(1)1S n −=+ , 则supS= , infS= ．2． 设21cos ()xf x x−=,那么0lim ()x f x →= ． 3． 201sinlimx x x x →= ． 4． ||1,lim 1nnn a a a →∞≠+当时= ．5． 0lim ()x x f x →存在的归结原则是 ．6． 函数3, (0,)(,)()sin 21 , 0,xx f x x x ππππ ∈∪= = 的间断点为 , 且为第 类间断点．7． ()|cos |f x x =在x= 处的导数不存在． 8． 已知1(2)(1)(1)1,lim1x f x f f x→−−′=−则= ．二、 计算题(每小题8分,共56分) 1．求lim n n →∞+．2．设()().f x x f x ′=求 3．设 ()(ln ),().x f x x f x ′=求4．曲线的参数方程为sin cos 2x t y t== , 求曲线在4t π=处的切线、法线方程． 5．已知1sin ,0()0, 0x x f x xx α≠ = = , 问： (1) α为何值时, f(x)在x=0处连续； (2) α为何值时, f(x)在x=0处可导． 6．求30sin lim x x xx→−．7．求1ln 0cos lim sin xx x x +→．三、 证明题(每小题10分,共20分) 1．用''εδ−定义证明: 011lim2x x →−=． 2．证明:当12122121,0,,,sin sin 2x x x x x x x x π∈<−<− 且时有, 并由此证明方程1sin 20,2x x π+= 在内存在唯一实根．数学分析1测试题2一、填空题（每小题3分，共24分）1. 已知(1)1n n S n=− + , 则supS= , infS= .2. 设21, 1()11, 1x x f x x x −≠=− = ,那么1lim ()x f x →= . 3. 1lim 1n n n n +→∞+= .4. 设()lim ,()x x xxxn n n f x e f x n n −−−→∞−=+则= . 5. 0lim ()x x f x A →=的''εδ−定义为 .6. 函数()ln |1sin |f x x =+的间断点为 , 且为第 类间断点.7. ()|sin |f x x =在x= 处的导数不存在.8. 已知1(2)(0)1,(0)0,limx f x f f x→′==则= .二、计算题(每小题8分,共56分) 1. 已知0b a >>,求n →∞.2. 设()().f x f x ′=求3. 设 cos ()(sin ),().x f x x f x ′=求4. 已知1(),().xf x x f x ′=求5. 已知289,0()1, 0x x x f x a x x b +−>= +< ,试确定,a b , 使 f(x)在x=0处可导. 6. 求30(2)2lim x x e x x x →−++. 7. 求()0lim sin x x x +→.三、证明题(每小题2分,共20分)1.用''N ε−定义证明: 1lim212n n n →∞=+. 2.应用中值定理证明:0,ln(1)x x x >+<当时有, 并由此证明数列2111ln 1ln 1ln 1,1,2,222n na n=++++++=L L 收敛.数学分析1测试题3一、 填空题（每小题3分，共24分）1． 已知{}111,S n N n=−∪−∈ , 则supS= , infS= ．2． 23lim 23n n n n n →∞+= ．3． 0lim ()''x x f x A εδ+→=−的定义是= ．4． 设sin 2, 0()1, 0xx f x x x ≠= = , 那么0lim ()x f x →= ．5． 当0,1cos(2)x x →−时与 为等价无穷小量． 6．1limsin x x→−= ．7． 由图象及导数的几何意义知()|sin |f x x =在x= 处不可导． 8． 设2(),[,]f x x x a b =∈, 则拉格朗日中值定理中的ξ= (,)a b ∈． 二、 计算题(每小题8分,共48分)1.求0n x >．2. 试叙述0lim ()x x f x →存在的归结原则,并说明0lim cos x →不存在． 3．试指出2()sgn(1)f x x =−的间断点,并说明类型． 4．设2, 0(), 0x x f x x x ≥= < , 求()f x ′．5．设()(ln ),().x f x x f x ′=求 6．设22(),().x f x e d f x =求 三、 证明题(共28分)1.用''N ε−定义证明: 22lim313n n n →∞=+． (9分)2.设00lim ()()0x x f x f x →=>,试叙述保号性定理, 并给出证明． (9分) 3.(10分)设f(x)在0x 处可导, 且0()0f x ≠． 试用导数的定义证明：'020()1()()x x f x f x f x =′ −=．数学分析1测试题4一、填空题（每小题3分，共24分）1. 已知11,S n N n=+∈ , 则supS= , infS= .2. 1lim 1n n n n +→∞+= .3. 0lim ()''x x f x A εδ−→=−的定义是= .4. 设sin 3, 0()1, 0xx f x x x ≠= = , 那么0lim ()x f x →= .5. 当20,x x e →时-1与 为等价无穷小量.6. 0x →= .7. 由图象及导数的几何意义知()|cos |f x x =在x= 处不可导. 8. 设3(),[,]f x x x a b =∈, 则拉格朗日中值定理中的ξ= (,)a b ∈. 二、计算题(每小题8分,共48分)1．求, n .2．试叙述0lim ()x x f x →存在的归结原则,并说明0lim sin x →不存在. 3．试指出2()sgn(31)f x x x =−+的间断点,并说明类型. 4．设cos , 0()1sin , 0x x f x x x ≥ =+< , 求()f x ′. 5．设2cos ()(sin),().x f x f x ′=求 6．设sin()2(),().ax b f x e d f x +=求 三、证明题(共28分)1．用''εδ−定义证明: 11lim12x x x →=+. (9分) 2．设函数0000(),(),().f x x g u u u f x =在连续在连续且证明: 0(())g f x x 在处连续. (9分) 3．设f(x)在0x 的某邻域内有定义,且在0x 可导. 若0x 为f(x)的极值点, 则必有0()0f x ′=. (10分)数学分析1测试题5一、填空题（每小题4分，共32分）1. 已知{}(0,1)2S =∪ 中的有理数, 则MaxS= , infS= .2. 若f(x)在D 上满足 , 则称f(x)在D 上有界.3.将区间[0,2]中的点的x 映射到区间[0,1]中的点u 的映射u= ;而将[2,6]映射到[0,1]的映射u .4. 0,1x →−当时的等价无穷小是 .5. ()sgn(cos )f x x =的所有间断点的集合为 ,且是 类间断点.6. 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为 , 法线方程为 .7. 试举一函数()f x = 该函数在0x 处连续,但不可导. 8. 已知0(2)(0)(0)2,limsin x f x f f x→−′=则= .二、计算题(每小题6分,共36分) 1．求lim n →∞++L . 2．求极限 22ln(sin )lim(2)x x x ππ→− 3．求极限 2221lim 1x x x x →+∞− +4．设2ln arcsin ..y y x′= 求5．设ln .x y x y ′=,求6．设22sin ,,.cos ttx e tdy d y dx dx y e t= = 求 四、证明题(每小题2分,共20分)1．用''εδ−定义证明: 211lim 2x x x→+=.2．设{}n a 为递增且有上界函数. 证明lim sup{}n n n a a →∞=, 并举例说明.3．设2()x f x x e =,证明: (1) ()f x ′在[0,3]上有界; (2) 用定义证明f(x)在[0,3]上一致收敛.4．试求极限121lim 11x x x →+∞+−,并证明()()lim 10k k n n n →∞+−=(0<k<1为常数.数学分析1测试题6一、填空题（每小题4分，共32分） 1. 已知{}(0,1)S =∪中的无理数, 则MaxS= , infS= .2. 若f(x)在D 上满足 , 则称f(x)为D 上的递增函数.3.将区间[0,3]中的点的x 映射到区间[0,1]中的点u 的映射u= ;而将[1,4]映射到[0,1]的映射u .4. 0,ln(12)x x →+当时的等价无穷小是 .5. ()sgn(sin )f x x =的所有间断点的为 ,且是 类间断点.6. 若()y f x =在D 上满足 , 则称f(x)在D 上一致连续.7. 试举一函数()f x = 该函数在0x 处连续,但不可导.8. 已知0()(0)(0)2,limsin 2x f x f f x→−′=则= .二、计算题(每小题6分,共36分) 1．已知0b a c >>>,求n 2．求极限 1lim 1x x x e →+∞−3．求极限 ()1lim 1sin xx x →+4．设3ln arc ..y tg y x′= 求5．设cos (sin ).x y x y ′=,求6．设22232,,.2x t t dy d y dx dx y t t=− =− 求 三、证明题(每小题2分,共20分)1．用''εδ−定义证明: 11lim 12x x x →=+.2．设0, 0()1sin , 0k x f x x x x == ≠ , 分别求:(1)当k 为何值时, f(x)在00x =处可导;(2) 当k 为何值时, 0()0f x x ′=在连续.3．用定义证明2()f x x =f(x)在[1,3]上一致收敛. 问:f(x)在(1,3)也一致收敛吗?为什么?4．证明:若f(x)是以2π为周期的函数,则存在ξ,使得()()f f ξπξ+=.数学分析1测试题7一、填空题(每小题3分,共24分)1. 用εδ−定义叙述: 函数()y f x =在0x 处的右极限是实数A 的定义是 .2. 用N ε−语言陈述数列{}n a 不是柯西数列为.3. 无界数列不是无穷大量,试利用子列的性质, 列举一个在n →∞时,不是无穷大量的无界数列: .4. 设()()1g x f x =−,且lim ()x ag x e →=,则lim ()x af x →= ;在x a →时,函数f(x)收敛的理由是 . 5. 0sin limx mx tgnx →= ;01lim sin x x x→ .6. 函数()f x 在0x 处连续是()f x 在0x 可微的 条件. 函数()f x 在0x 处可微是()f x 在0x 连续的 条件.7. 连续函数f(x)的局部保号性是指 . 8. 若函数()f x 在0x 处有0()0f x ′≠, 则曲线00()(,())y f x x f x =在点处的法线方程是 . 二、计算题(每小题8分,共48分) 1. 计算极限(1) 2132lim 31x x x x −→+∞+−(2) 2021lim sin 1cos x x x →− −2. 已知(1)1,(1)1,(1)0f f f ′′′===, 试求2222()1d f x x dx =在时的值.3. 289, 0(), 0x x x f x xa xb +−≥+<, 试确定a,b 的值, 使()0f x x =在处可导. 4. 设(sin )(1cos )x a t t y b t =− =− , 求22d ydx .5. 设ln y x =, 求()n y .(对结论的正确性请作严密的论述)6. 求数集1{|1,1,2,}3A x x n n ==−=+L 的上确界,并按定义加以检验. 三、验证题(3题共28分) 1. 设21sin , 0()0, 0x x f x xx > = ≤ ,验证()0f x x =在可导, 并求出()f x ′的表达式. 2. 求证: 方程3310x x −+=在[0,1]内有且仅有一个实根. 3. 试用数学分析的有关知识说明:当x 位于原点附近时, 近似公式ln(1)x x +≈的合理性(即说明此式的由来).数学分析1测试题8一、填空题(每小题3分,共24分)1. 用εδ−定义叙述: 函数()y f x =在数集D 上无界的定义是 .2. 函数()y f x =在0x 左连续的定义,用εδ−语言叙述为 .3. 构造一个在(,)−∞+∞上定义,0x →时为无穷大量的函数是 .4. 数列{}n a 收敛是{}n a 的任意子列收敛的 条件.5. 0sin sin 4lim_____;lim _______.3x x x xx x→∞→==6. 运用函数增量与微分的近似关系式时,应取()______,f x =0__x =, x ∆= , 0()f x ′= .7. 曲线223y x x =−+上,斜率为2的切线是过点 的切线. 8. 设(ln())y f x =, 则函数()f x 可导, 则22d ydx = .二、计算题（每小题8分，共48分） 1. 计算极限(1) lim(1mx x k x →∞+; (2) 011lim()1x x x e →−−2. 已知等式2211()()x x df x df x dxdx ===成立, 求(1)((1)1)f f ′⋅−的值.3. 已知2,3(),3x x f x ax b x ≥=+< 当当在x=3可导, 则,a b 各取值. 4. 设y xarctgx =, 求2d y . 5. 已知11y x=−, 求()n y .(对结论的正确性请作严密的论述) 6. 求数集2{|3}x x <的下确界, 并按定义检验. 三、验证题（3题共28分）1. 用εδ−语言验证22112lim 213x x x x →−=−−.2. 试说明||y x =是初等函数,且在x=0不可导.3. 设函数()f x 在有限区间(,)a b 内可导,且lim (),lim ()x ax af x A f x B +−→→==存在.求证: 在(,)a b 内必存在一点ξ使()B Af b aξ−′=−.数学分析1测试题9一、填空题(每小题3分,共24分)1. 设1{1}{1},,sup ____,inf _____.S n N S S n=−∪−∈==则2. 函数()sgn(sin )f x x =的所有间断点为 ,且都是第 类间断点.3. 叙述连续函数的局部保号性: 若f(x)在点0x 连续, 且0()0f x >, 则 .4. 若289,0(), 0x x x f x x a x b +−≥ = +<在0x =处可导, 则___,___.a b == 5. 已知1(2)(1)(1)1,lim 1x f x f f x→−−′=−则= . 6. 021lim(sin sin 3)x x x x x→+= . 7. 当0,1cos 2x x →−时与 是等价无穷小量. 8. 00()()lim(()())0,lim h h f a h f a f a h f a h→→+−+−=是存在的 条件(选择“充分”、“必要”、“充要”三者中的一个).二、计算题(6+6+6+7+7+7+7+9)1.设0,n b a c >>>求. 2. 求极限253lim 52x x x x →∞+ −3. 求极限22ln(sin )lim (2)x x x ππ→−. 4.设2ln(arcsin ),y y x′=求. 5. 设(ln ),x y x y ′=求.6. 设2sin(32),x y e dy +=求.7. 设22sin ,,,2cos t t x e t dy d y t dx dx y e tπ = = = 求并求当时曲线的切线方程与法线方程. 三、证明题(8+9+10=27分)1. 用εδ−定义证明:211lim 0x x x→−=. 2. 用拉格朗日中值定理证明:当0b a >>时,有ln b a b b a b a a−−<<. 3. 试叙述函数f(x)在区间I 上一致连续的定义, 并据定义证明1()sin f x x=在区间(c,1)(其中0<c<1)上一致连续.数学分析1测试题10一、填空题(每小题3分,共24分)1.设{(0,1)}sup ____,inf _____.S S S =∪==中的无理数则2. 函数()sin x f x x=, 则0x =为 间断点,(,0)x k k Z k π=∈≠为f(x)的第 类间断点.3. 函数f(x)在点0x 连续的εδ−定义为 .4. 函数f(x)在区间I 上的函数.若 , 则称f(x)在I 上一致连续.5. 若31sin ,0()2, 0x x x f x xe a x > = +≤在0x =处连续, 则___.a = 6. 已知||1,lim 1nnn a a a →∞≠+则= . 7. 31lim(sin sin 2)x x x x x→∞+= . 8. 设0()(0)(0)2,lim sin 2x f x f f x→−′==则 . 二、计算题(6+6+6+7+7+7+7+9)1. lim n n→∞+求. 2. 求极限232lim 31x x x x →∞+ −3. 求极限02lim sin x x x e e x x x−→−−−. 4.设arcsin(ln )y x x y ′=+求. 5. 设sin ,x y x y ′=求.6. 设2ln (),tgx y e dy =求.7. 设22(sin ),,,(1cos )2x a t t dy d y t y a t dx dx π=− = =− 求并求当时曲线的切线方程与法线方程.三、证明题(8+9+10=27分)1. 用εδ−定义证明:212lim 3x x x→+=. 2. 用拉格朗日中值定理证明:当0h >时,有21h arctgh h h <<+. 3. 试述函数极限的归结原则,并由此证明0lim sin x →不存在.。