数学分析第一章习题
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第一章 实数集与函数习题课 实数集、确界原理与函数一、基本要求:1、掌握有关实数的性质与运算。
2、正确理解确界概念与确界原理,并运用于有关命题的运算与证明。
3、在中学已掌握函数概念的基础上,以两个数集之间映射的观点来加深对函数概念的理解。
4、进一步掌握函数的运算性质(四则运算、复合运算、和反函数等)及其表示方法。
5、加深对某些特性函数(有界函数、单调函数、奇(偶)函数和周期函数)的认识。
并能依次对所给函数是否具有上述性质做出判断。
二、内容复习:1、实数的定义:实数是有理数和无理数的统称。
有理数可用分数形式qp(q p ,为整数,0≠q )表示也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示;而无限十进不循环小数则称为无理数。
2、实数的性质:(1) 封闭性:实数集R 对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的.(2) 有序性:任意两实数b a ,必满足下述三个关系之一:b a <,b a =,b a >.(3) 传递性:若b a >,c b >,则c a >.(4) 阿基米德性:对任何R b a ∈,,若0>>a b ,则存在正整数n ,使得b na >.(5) 稠密性:任何两个实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.(6) 实数集与数轴上的点有着一一对应关系.3、绝对值的定义:⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,||a a a a a 从数轴上看,数a 的绝对值||a 就是a 到原点的绝对值.4、绝对值的性质:(1) 0||||≥-=a a ;当且仅当时0=a 有0||=a .第一章 实数集与函数(2) ||||a a a ≤≤-.(3) )0(||;||>≤≤-⇔≤<<-⇔<h h a h h a h a h h a .(4)对任何R b a ∈,有如下的三角不等式:||||||||||b a b a b a +≤±≤-.(5) ||||||b a ab =. (6) )0(||||≠=b b a b a . 5、区间与邻域的概念:有限区间:设a 、R b ∈,且b a <开区间:}|{),(b x a x b a <<=.闭区间:}|{],[b x a x b a ≤≤=.半开半闭区间:}|{),[b x a x b a <≤=或}|{],(b x a x b a ≤<=.无限区间:}|{],(a x x a ≤=-∞,}|{),(a x x a <=-∞}|{],(a x x a ≥=+∞,}|{),(a x x a >=+∞R =+∞-∞),(邻域:设0,>∈δR a点a 的δ邻域:),(}|||{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U .点a 的空心δ邻域:}||0|{);(δδ<-<=a x x a U .点a 的左δ邻域:],();(a a a U δδ-=-.点a 的右δ邻域:),[);(δδ+=+a a a U .∞邻域:}|||{)(M x x U >=∞,其中为充分大的正数(下同).∞+邻域:}|{)(M x x U >=+∞;∞-邻域:}|{)(M x x U -<=-∞.6、确界的定义:确界是上确界与下确界的统称。
《数学分析选论》习题解答第 一 章 实 数 理 论1.把§1.3例4改为关于下确界的相应命题,并加以证明. 证 设数集S 有下确界,且S S ∉=ξinf ,试证: (1)存在数列ξ=⊂∞→n n n a S a lim ,}{使;(2)存在严格递减数列ξ=⊂∞→n n n a S a lim ,}{使.证明如下:(1) 据假设,ξ>∈∀a S a 有,;且ε+ξ<'<ξ∈'∃>ε∀a S a 使得,,0.现依 次取,,2,1,1==εn nn 相应地S a n ∈∃,使得 ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n .因)(0∞→→εn n ,由迫敛性易知ξ=∞→n n a lim .(2) 为使上面得到的}{n a 是严格递减的,只要从2=n 起,改取,3,2,,1min 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+ξ=ε-n a n n n ,就能保证,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n . □2.证明§1.3例6的(ⅱ).证 设B A ,为非空有界数集,B A S ⋃=,试证:{}B A S inf ,inf mininf =.现证明如下.由假设,B A S ⋃=显然也是非空有界数集,因而它的下确界存在.故对任何B x A x S x ∈∈∈或有,,由此推知B x A x inf inf ≥≥或,从而又有{}{}B A S B A x inf ,inf min inf inf ,inf min≥⇒≥.另一方面,对任何,A x ∈ 有S x ∈,于是有S A S x inf inf inf ≥⇒≥;同理又有S B inf inf ≥.由此推得{}B A S inf ,inf mininf ≤.综上,证得结论 {}B A S inf ,inf mininf =成立. □3.设B A ,为有界数集,且∅≠⋂B A .证明: (1){}B A B A sup ,sup min )sup(≤⋂; (2){}B A B A inf ,inf max)(inf ≥⋂.并举出等号不成立的例子.证 这里只证(2),类似地可证(1).设B A inf ,inf =β=α.则应满足:β≥α≥∈∈∀y x B y A x ,,,有.于是,B A z ⋂∈∀,必有{}βα≥⇒⎭⎬⎫β≥α≥,max z z z , 这说明{}βα,max 是B A ⋂的一个下界.由于B A ⋂亦为有界数集,故其下确界存在,且因下确界为其最大下界,从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf max inf≥⋂成立.上式中等号不成立的例子确实是存在的.例如:设)4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=⋂⋃==B A B A 则,这时3)(inf ,0inf ,2inf =⋂==B A B A 而,故得{}{}B A B A i n f ,i n f m a x i n f >⋂. □ 4.设B A ,为非空有界数集.定义数集{}B b A a b a c B A ∈∈+==+,,证明:(1)B A B A sup sup )sup(+=+; (2)B A B A inf inf )(inf +=+.证 这里只证(2),类似地可证(1).由假设,B A inf ,inf =β=α都存在,现欲证β+α=+)(inf B A .依据下确界定义,分两步证明如下:1)因为,,,,β≥α≥∈∈∀y x B y A x 有所以B A z +∈∀,必有β+α≥+=y x z .这说明B A +β+α是的一个下界.2)B y A x ∈∈∃>ε∀00,,0,使得2,200ε+β>ε+α>y x . 从而ε+β+α>+∈+=∃)(,0000z B A y x z 使得,故B A +β+α是的最大下界.于是结论 B A B A inf inf )(inf +=+ 得证. □5.设B A ,为非空有界数集,且它们所含元素皆非负.定义数集{}B b A a ab c AB ∈∈==,,证明:(1)B A AB sup sup )sup(⋅=; (2)B A AB inf inf )(inf ⋅=. 证 这里只证(1),类似地可证(2).⎪⎩⎪⎨⎧⋅≤≤≤=≥≥∈∈∃∈∀,sup sup ,sup ,sup ,,)0,0(,,)(B A c B b A a ab c b a B b A a AB c 且使由于因此B A sup sup ⋅是AB 的一个上界.另一方面,B b A a ∈∈∃>ε∀00,,0,满足ε->ε->B b A a sup ,sup 00,故)(000AB b a c ∈=∃,使得εε-+-⋅>])sup sup ([sup sup 0B A B A c .由条件,不妨设0sup sup >+B A ,故当ε足够小时,εε-+=ε'])sup sup ([B A 仍为一任意小正数.这就证得B A sup sup ⋅是AB 的最小上界,即 B A AB inf inf )(inf ⋅= 得证. □*6.证明:一个有序域如果具有完备性,则必定具有阿基米德性.证 用反证法.倘若有某个完备有序域F 不具有阿基米德性,则必存在两个正元素F ∈βα,,使序列}{αn 中没有一项大于β.于是,}{αn 有上界(β就是一个),从而由完备性假设,存在上确界λ=α}sup{n .由上确界定义,对一切正整数n ,有α≥λn ;同时存在某个正整数0n ,使α-λ>α0n .由此得出α+<λ≤α+)1()2(00n n ,这导致与0>α相矛盾.所以,具有完备性的有序域必定具有阿基米德性. □7.试用确界原理证明区间套定理. 证 设{}],[n n b a 为一区间套,即满足:0)(lim ,1221=-≤≤≤≤≤≤≤≤∞→n n n n n a b b b b a a a .由于{}n a 有上界k b ,{}n b 有下界k a (+∈N k ),因此根据确界原理,存在{}{}β≤α=β=α且,inf,sup n n b a .倘若β<α,则有,2,1,0=>λ=α-β≥-n a b n n ,而这与0)(lim =-∞→n n n a b 相矛盾,故ξ=β=α.又因 ,2,1,=≤β=α≤n b a n n ,所以ξ是一切],[n n b a 的公共点.对于其他任一公共点 ,2,1,],[=∈ηn b a n n ,由于∞→→-≤η-ξn a b n n ,0 ,因此只能是η=ξ,这就证得区间套{}],[n n b a 存在惟一公共点. □8.试用区间套定理证明确界原理.证 设S 为一非空有上界的数集,欲证S 存在上确界.为此构造区间套如下:令],[],[011M x b a =,其中M S S x ,)(0∅≠∈ 为S 的上界.记2111b a c +=,若1c 是S 的上界,则令],[],[1122c a b a =;否则,若1c 不是S 的上界,则令],[],[1122b c b a =.一般地,若记2nn n b a c +=,则令,2,1,,,],[,,],[],[11=⎩⎨⎧=++n S c b c S c c a b a n n n n n n n n 的上界不是的上界当是.如此得到的{}],[n n b a 显然为一区间套,接下来证明这个区间套的惟一公共点ξ即为S 的上确界.由于上述区间套的特征是:对任何+∈Νn ,n b 恒为S的上界,而n a 则不为S 的上界,故S x ∈∀,有n b x ≤,再由ξ=∞→n n b lim ,便得ξ≤x ,这说明ξ是S 的一个上界;又因ξ=∞→n n a lim ,故ε-ξ>∃>ε∀n a ,0,由于n a 不是S 的上界,因此ε-ξ更加不是S 的上界.根据上确界的定义,证得S sup =ξ.同理可证,若S 为非空有下界的数集,则S 必有下确界. □ 9.试用区间套定理证明单调有界定理.证 设{}n x 为递增且有上界M 的数列,欲证{}n x 收敛.为此构造区间套如下:令],[],[111M x b a =;类似于上题那样,采用逐次二等分法构造区间套{}],[n n b a ,使n a 不是{}n x 的上界,n b 恒为{}n x 的上界.由区间套定理,],[n n b a ∈ξ∃,且使ξ==∞→∞→n n n n b a lim lim .下面进一步证明 ξ=∞→n n x lim .一方面,由∞→≤k b x k n 取,的极限,得到,2,1,lim =ξ=≤∞→n b x k k n .另一方面,ε-ξ>∈∃>ε∀+K a K 使,,0Ν;由于K a 不是{}n x 的上界,故K N a x >∃;又因{}n x 递增,故当N n >时,满足N n x x ≥.于是有N n x x a n N K >ξ≤<<<ε-ξ,,这就证得ξ=∞→n n x lim .同理可证{}n x 为递减而有下界的情形. □ 10*.试用区间套定理证明聚点定理.证 设S 为实轴上的一个有界无限点集,欲证S 必定存在聚点.因S 有界,故0>∃M ,使得M x ≤,S x ∈∀.现设],[],[11M M b a -=,则],[11b a S ⊂.然后用逐次二等分法构造一区间套{}],[n n b a ,使得每次所选择的],[n n b a 都包含了S 中的无限多个点.由区间套定理,],[n n b a ∈ξ∃,n ∀.最后应用区间套定理的推论,,0>ε∀当n 充分大时,使得],[n n b a );εξ⊂(U ;由于],[n n b a 中包含了S 的无限多个点,因此);(εξU 中也包含了S 的无限多个点,根据聚点定义,上述ξ即为点集S 的一个聚点. □ 11*.试用有限覆盖定理证明区间套定理.证 设{}],[n n b a 为一区间套,欲证存在惟一的点 ,2,1,],[=∈ξn b a n n . 下面用反证法来构造],[11b a 的一个无限覆盖.倘若{}],[n n b a 不存在公共点ξ,则],[11b a 中任一点都不是区间套的公共点.于是,∈∀x ],[11b a ,使,],[n n b a ∃],[n n b a x ∉.即);(x x U δ∃与某个],[n n b a 不相交( 注:这里用到了],[n n b a 为一闭区间 ).当x 取遍],[11b a 时,这无限多个邻域构成],[11b a 的一个无限开覆盖:{}],[);(11b a x x U H x ∈δ=.依据有限覆盖定理,存在],[11b a 的一个有限覆盖:{}HNi x U U H ix i i ⊂=δ==,,2,1);(~,其中每个邻域N i b a U i i n n i ,,2,1,],[ =∅=⋂.若令{}Nn n n K ,,,max 21 =,则N i b a b a i i n n K K ,,2,1,],[],[ =⊂,从而N i U b a i K K ,,2,1,],[ =∅=⋂. (Ж)但是Ni iU 1=覆盖了],[11b a ,也就覆盖了],[K K b a ,这与关系式(Ж)相矛盾.所以必定存在 ,2,1,],[=∈ξn b a n n .(有关ξ惟一性的证明,与一般方法相同.) □12.设S 为非空有界数集.证明:S S y x Sy x inf sup ||sup ,-=-∈.证 设η<ξ=η=ξ且,sup ,inf S S ( 若η=ξ,则S 为单元素集,结论显然成立 ).记{}Sy x y x E ∈-=,||,欲证ξ-η=Esup .首先,S y x ∈∀,,有ξ-η≤-⇒η≤ξ≥||,y x y x ,这说明ξ-η是E 的一个上界.又因2,0ε-η>ε∀ ⎪⎭⎫⎝⎛ε+ξ2不再S 的上()下界,故S y x ∈∃00,,使ε-ξ-η≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫ε+ξ<ε-η>)(||220000y x y x , 所以ξ-η是E 的最小上界,于是所证结论成立. □13.证明:若数集S 存在聚点ξ,则必能找出一个各项互异的数列{}S x n ⊂,使ξ=∞→n n x l i m.证 依据聚点定义,对S U x ⋂εξ∈∃=ε);(,1111 .一般地,对于⎭⎬⎫⎩⎨⎧-ξ=ε-1,1min n n x n ,,3,2,);(=⋂εξ∈∃n S Ux n n .如此得到的数列{}S x n ⊂必定满足:,3,2,||||11=≠⇒ξ-<ξ---n x x x x n n n n ;ξ=⇒∞→→<ξ-∞→n n n x n nx lim )(01||. □41*.设S 为实轴上的一个无限点集.试证:若S 的任一无限子集必有属于S 的聚点,则(1)S 为有界集;(2)S 的所有聚点都属于S .证 (1)倘若S 无上界,则对1111,,1M x S x M >∈∃=使;一般地,对于{},3,2,,,,max 1=>∈∃=-n Mx S x x n Mnn n n n使.这就得到一个各项互异的点列{}∞=⊂∞→n n n x S x lim,使.S 的这个无限子集没有聚点,与题设条件相矛盾,所以S 必有上界.同理可证S 必有下界,故S 为有界集.(2)因S 为有界无限点集,故必有聚点.倘若S 的某一聚点S ∉ξ0,则由聚点的性质,必定存在各项互异的数列{}0lim,ξ=⊂∞→n n n x S x 使.据题设条件,{}nx 的惟一聚点0ξ应属于S ,故又导致矛盾.所以S 的所有聚点都属于S . □51*.证明:{}{}nn a a ∉ξ=sup,则必有ξ=∞→n n a lim .举例说明,当上述ξ属于{}n a 时,结论不一定成立.证 利用§1.3 例4,{}{}n na a k⊂∃,使ξ=∞→knn a lim ,这说明ξ是{}na 的一个聚点.又因ξ又是{}n a 的上界,故{}n a 不可能再有比ξ更大的聚点.所以ξ是{}n a 的上极限.当{}n a ∈ξ时,结论不一定成立.例如,1,111sup ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 显然不是⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的上极限. □61*.指出下列数列的上、下极限:(1){}n)1(1-+; (2)⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12)1(n nn; (3)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧πnn 3cos; (4)⎭⎬⎫⎩⎨⎧π+4sin 12n n n ; (5)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧π+n n n sin12. 解(1)0lim ,2lim ,0,2122==≡≡∞→∞→-n n n n k k a a a a 故.(2))(211412,21142122∞→-→---=→+=-k k k a k k a k k ,故21lim ,21lim -==∞→∞→n n n n a a .(3))(13cos211∞→≤π≤←n n nn, 故1lim lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n a a a .(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=+⋅--=+-=+=+++=+⋅=π+=.38,18,12222,8,12,4,0,28,12,38,18,12224sin 12k k n n nk n n nk n k n n n k k n n n n n n a n故2lim ,2lim -==∞→∞→n n n n a a .(5))(sin )1(sin 1222∞→π→ππ⋅+π=π+=n n nnn n n na n ,故π===∞→∞→∞→n n n n n n a a a lim lim lim . □71*.设{}n a 为有界数列,证明:(1)1lim )(lim =-=-∞→∞→n n n n a a ; (2)n n n n a a ∞→∞→-=-lim )(lim .证 由)(sup )(inf ,)(inf )(sup k nk k nk k nk k nk a a a a ≥≥≥≥-=--=-,令∞→n 取极限,即得结论(1)与(2). □81*.设0lim >∞→n n a ,证明:(1)nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim; (2)nn nn a a ∞→∞→=lim 11lim;(3)若11limlim =⋅∞→∞→n n n n a a ,或11lim lim =⋅∞→∞→n n n n a a ,则{}n a 必定收敛.证 由)(sup 11inf ,)(inf 11sup k nk k n k k nk k n k a a a a ≥≥≥≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,令∞→n 取极限,即得结论(1)与(2).若11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a ,则由(1)立即得到 n n n n a a ∞→∞→=lim lim ,因此极限n n a ∞→lim 存在,即得结论(3). 类似地,若11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a ,则由(2)同样可证。
测试题第一章 实数集与函数(A )1.证明:n ≥1时,有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明:当m ≥2时,有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2.设S 是非空数集,试给出数的下界是S ξ,但不是S 的下确界的正面陈述.3.验证函数R x x x x f ∈=,sin )(,即无上界又无下界.4.设)(x f 是定义在R 上的奇函数,)(x g 是定义在R 上的偶函数,试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数?5.证明:)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6.试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称: (1)c bx ax y ++=2;(2)x b x a y -++=. 7.设A ,B 为R 中的非空数集,且满足下述条件: (1)对任何B b A a ∈∈,有b a <;(2)对任何0>ε,存在B y A x ∈∈,,使得ε<-x Y . 证明:.inf sup B A =(B )1.设n 为正整数.(1)利用二项式展开定理证明:∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ,其中 10-=k r 是连乘记号.(2)若1 n ,证明:∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122.设{}为有理数r r r E,72<=,求E sup ,E inf3.设A ,B 为位于原点右方的非空数集,{}B y A x xy AB ∈∈=,证明: B A AB inf inf inf ⋅=4.设函数()x f 定义于()+∞,0内,试把()x f 延拓成R 上的奇函数,()x f 分别如下: (1)()x e x f =; (2)()x x f ln = 5.试给出函数()x f y =,D x ∈不是单调函数的正面陈述。
数学分析习题课讲义问题解答第一章引论1.3.2练习题1.关于Bernoulli 不等式的推广:(1)证明:当12-≤≤-h 时Bernoulli 不等式nh h n+≥+1)1(仍成立;(2)证明:当0≥h 时成立不等式2)1()1(2h n n h n-≥+,并推广之;(3)证明:若),,2,1(1n i a i =->且同号,则成立不等式∑∏==+≥+ni in i iaa 111)1(.2.阶乘!n 在数学分析以及其他课程中经常出现,以下是几个有关的不等式,它们都可以从平均不等式得到:(1)证明:当1>n 时成立nn n )21(!+<;【证明】利用平均值不等式,有n nk nk kk n ∏∑==≥111所以nn n )21(!+≤因为1>n ,所以取等号的条件n === 21不满足,故nn n 21(!+<.(2)利用)1(]2)1)[(1()!(2n n n n ⋅⋅-⋅= 证明:当1>n 时成立nn n 62(!+<;【证明】利用平均值不等式,有n nk nk k n k k n k n ∏∑==-+≥-+11)1()1(1所以nn n n n n 62(]6)2)(1([!+<++≤(3)比较(1)和(2)中两个不等式的优劣,并说明原因;(4)证明:对任意实数r 成立nn k r n rk n n )(1)!(1∑=≤.【证明】利用平均值不等式,有n nk rn k rkk n ∏∑==≥111所以nn k r n rk n n )(1)!(1∑=≤3.证明几何平均值-调和平均值不等式:若0>k a ,n k ,,2,1 =,则有∑∏==≥nk knnk k a n a 1111)(【证明】利用平均值不等式,有n nk kn k ka a n ∏∑==≥11111所以∑∏==≥nk knnk k a n a 1111)(4.证明:当c b a ,,为非负数时成立333cb a ca bc ab abc ++≤++≤.【证明】由于cabc ab c b a a c c b b a ++≥++⇒≥-+-+-2222220)()()(所以33)(3)(2cabc ab cb a ca bc ab c b a ++≥++⇒++≥++利用平均值不等式,有323)(33abc ca bc ab ca bc ab =⋅⋅≥++所以33abc ca bc ab ≥++5.证明下列不等式:(1)b a b a -≥-和b a b a -≥-;【证明】利用三点不等式,有ab b a b b a =+-≥+-)(由对称性知ba b a ≥+-所以ba ab b a b a -=--≥-),max((2)∑∑∑===≤≤-n k k nk knk ka aaa 1121;有问:左边可否为∑=-nk k a a 21?【证明】利用(1)的结论,有∑∑∑====-≤-nk knk knk kaa aaa 21111反复利用三点不等式,有∑∑∑∑∑=====≤≤++≤+≤+=nk knk knk knk k nk ka aa a aa a a a132121211再利用这个结论,有∑∑∑===≤≤-nk knk knk ka aaa 2211(3)bb aa ba b a +++≤+++111;【证明】显然函数x x x x f +-=+=1111)(是单调增加的,所以有bb aa ba b ba a ba b a ba b a +++≤+++++=+++≤+++111111(4)nnnna b a a b a -+≤-+)()(.【证明】利用三点不等式,有nnn n n n n n n b a b a b a a a b a a a b a )()()()(+≤+=+≤+-+=+-+第二章数列极限2.7.3参考题第一组参考题1.设}{12-k a ,}{2k a 和}{3k a 都收敛,证明:}{n a 收敛.【证明】设}{12-k a ,}{2k a 和}{3k a 分别收敛于数c b a ,,.取}{12-k a 的一个子列}{36-k a ,它收敛于数a ,同时它又是}{3k a 的子列,所以也收敛于数c ,所以c a =.取}{2k a 的一个子列}{6k a ,它收敛于数b ,同时它又是}{3k a 的子列,所以也收敛于数c ,所以c b =.于是有b a =.对任给的0>ε,存在正整数1N 与2N ,当1N n >时有εa a n <--12,当2N n >时有εa a n <-2.现取),max(221N N N =,当N n >时有εa a n <-,故}{n a 收敛于a .2.设}{n a 有界,且满足条件2+≤n n a a ,3+≤n n a a ,+∈N n ,证明:}{n a 收敛.【证明】由条件2+≤n n a a 知}{12-k a 与}{2k a 都是单调增加的数列,又有界,故都收敛.由条件3+≤n n a a 知}{3k a 单调增加,又有界,故收敛.利用1的结论知}{n a 收敛.3.设}{1++n n a a 和}{2++n n a a 都收敛,证明:}{n a 收敛.【证明】设}{1++n n a a 和}{2++n n a a 分别收敛于数b a ,.那么有ab a a a a a a n n n n n n n n -=+-+=-++∞→++∞→)]()[(lim )(lim 1212ba a a a a a a n n n n n n n n -=+-+=-+++∞→+∞→)]()[(lim )(lim 2211进而有)]()[(lim )(lim 1122=-+-=-+++∞→+∞→n n n n n n n n a a a a a a 故2)]()[(lim 21lim 22a a a a a a n n n n n n n =--+=++∞→∞→5.设∑=-+=nk n nka 12)11(,+∈N n ,计算n n a ∞→lim .【解】由于∑∑∑∑====++≤++=-+≤++nk n k n k n k nknn k n k n k n k n n 122122121221111111)11(111而2121lim lim 12=+=∞→=∞→∑n n n k n nk n 211111lim2=++∞→n n ,21111lim 2=++∞→nnn 故41lim =∞→n n a 7.设p a a a ,,,10 是1+p 个给定的数,且满足条件010=+++p a a a .求)1(lim 10p n a n a n a p n +++++∞→ 【解】)1(lim 10p n a n a n a p n +++++∞→ 1)[(lim 121p n a n a n a a a p p n +++++----=∞→()1([lim 1n p n a n n a p n -+++-+=∞→ 01(lim 1=++++++=∞→np n pa n n a p n 8.证明:当10<<k 时,0])1[(lim =-+∞→kkn n n 【证明】(这里用到后面将要学习的等价无穷小知识)0lim ]1)11[(lim ])1[(lim 1==-+=-+-∞→∞→∞→k n k k n k k n n k nn n n 12.证明:nnn n n)2(e !)e(<<.【证明】利用数列})11{(nn+单调增加趋于e ,有!)e(!!)1()11()211()111(e 21n nn n n n n n n n n n<⇒>+=+++> 利用1.3.2中题2的结论:nn n )21(!+<,有nn n n n n n n n n n n n )2(e !!2)1()11(e <⇒>+=+>14.设n na n 2131211-++++= ,+∈N n ,证明:}{n a 收敛.【证明】一方面,有01211212111<++-+=++-+=-+nn n n n n a a n n 另一方面,有n n n a n 2124323221-++++++++> n n n 21(2)34(223(21--+++-+-+= 221212221->-++-=n n 根据单调有界定理知}{n a 收敛.15.设已知存在极限na a a n n +++∞→ 21lim ,证明:0lim =∞→n an n .【证明】设T T na a a n n→=+++ 21,∞→n ,于是1)1(---=n n n T n nT a ,2≥n ,由此得0])11([lim lim1=-=--=-∞→∞→T T T nT n a n n n n n 17.设对每个n 有1<n x 和41)1(1≥-+n n x x ,证明}{n a 收敛,并求其极限.【证明】显然有0>n x ,2≥n .所以有1211)21()1(41+++≤⇒+-≤-≤n n n n n n x x x x x x 根据单调有界定理知}{n a 收敛,且可设收敛于数10≤≤A ,于是有41)1(≥-A A ,解得21=A .18.设b a =1,c a =2,在3≥n 时,221--+=n n n a a a ,证明}{n a 收敛,并求其极限.【证明】由于)(21211-----=-n n n n a a a a ,所以)(21()()21(21221b c a a a a n n n n --=--=----,进而有b bc a b c a n n n n +-----=+-++-+--=---)()21(1)21(1]21()21()21)[((11032 ,于是32lim c b a n n +=∞→.第二组参考题1.设n a n +++= 21,+∈N n ,证明:}{n a 收敛.【证明】利用不等式1111211+-=+-+-≤+-n n n n n ,+∈N n 以及221-≤-n n ,3≥n 有2213411231+≤≤+-+-++≤+-+-++≤ n n n n a n 又因为}{n a 是单调增加的数列,利用单调有界定理知}{n a 收敛.2.证明:对每个正整数n ,成立不等式n k n nk n 2e!1)11(0->+∑=.【证明】利用1.3.2中题1的结论:∑∏==+≥+ni in i iaa 111)1(,),,2,1(1n i a i =->且同号,当2≥n 时有∑∑∑===---++=-==+nk n k k n k k k n n n k n k n k n n k n C n 200)11()11(!111)!(!!11)11(∑∑==--++=----++>nk nk n k k k n k n k 22)2)1(1(!111111(!111 n k k n k nk n k nk 2e !1)!2(121!1020->--=∑∑∑===当1=n 时,2e22->显然成立.3.求极限)e !π2sin(lim n n n ∞→.【解】利用命题2.5.4,有1(π21!!(π2e !π2)11!!(π211(π200n N n k n n n k n n N nk n k +=+<<++=++∑∑==所以nn n n n n π2sin e)!π2sin(1π2sin<<+,4≥n 利用夹逼准则知π2)e !π2sin(lim =∞→n n n 4.记n S n 1211+++= ,+∈N n .用n K 表示使得n S k ≥的最小下标,求极限nn n K K 1lim +∞→.【解】由条件知n K K n S n n 1+≤≤与01lim=∞→nn K 因为γn S n n =-∞→)ln (lim 而nn n K n K K n K S K n n 1ln ln ln +-≤-≤-所以)ln (lim )ln (lim n n n n K n γK n -≥≥-∞→∞→于是γK n n n =-∞→)ln (lim 所以11)]ln 1()ln [(lim lnlim 11=+-+--=+∞→+∞→n n n nn n K n K n K K 故elim 1=+∞→nn n K K 5.设∑==nk k n n Cnx 02ln 1,+∈N n ,求n n x ∞→lim .【解】利用Stolz 定理,有220112)1(ln ln lim ln 1limlim n n C CCn x nk kn n k k n n nk k nn n n -+-==∑∑∑=+=+∞→=∞→∞→1211ln lim 12)ln (ln lim 01+-++=+-=∑∑=∞→=+∞→n kn n n C Cnk n nk k nk n n )12()32(11ln 22ln lim 01+-+-++--++=∑∑=+=∞→n n k n n k n n nk n k n 11ln 12ln (lim 2110∑∑==∞→-++--++=n k n k n k n n k n n 2112ln lim 21)12ln 12(ln lim 211=++=+++++=∞→=∞→∑n n n n n n n n n k n 6.将二项式系数⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n ,,1,0 的算术平均值和几何平均值分别记为n A 和n G .证明:(1)2lim =∞→n n n A ;(2)e lim =∞→n n n G .【证明】由于n nnA n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+ 10)11(,所以有22lim 2lim lim ===∞→∞→∞→n n n nn nn n nn A 因为)!(!!k n k n k n -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以21)!!1!0()!(n n G n nn ⨯⨯⨯=+ ,所以有)!!2!1ln(2!ln )1(exp(lim ])!!2!1()!([lim lim 21212n n n n n n G n n n n n n n ⨯⨯⨯-+=⨯⨯⨯=∞→+∞→∞→ 12!ln )1ln(exp(lim )12)!1ln(2!ln )1()!1ln()2(exp(lim +-+=++-+-++=∞→∞→n n n n n n n n n n n n )21exp(212ln)1(exp(lim =+++=∞→n n n n 7.设∑==nk kn aA 1,+∈N n ,数列}{n A 收敛.又有一个单调增加的正数数列}{n p ,且为正无穷大量.证明:lim2211=+++∞→nnn n p a p a p a p【证明】利用Stolz 定理,有nn n n n n n n n p A A p A A p A p p a p a p a p )()(lim lim 1122112211-∞→∞→-++-+=+++ nnn n n n n p A p A p p A p p A p p +-++-+-=--∞→11232121)()()(lim 0lim lim lim )(lim11=+-=+--=∞→∞→∞→++∞→n n n n n n nn nn n n A A A p p A p p 8.设}{n a 满足1)(lim 12=∑=∞→ni i n n aa ,证明:13lim 3=∞→n n a n .【证明】令∑==ni in aS 12.因为1)(lim 12=∑=∞→ni i nn aa ,所以}{n a 不会恒为零,故}{n S 当n 足够大时是单调增加的正数列.若+∞=∞→n n S lim ,则01limlim 12==∑=∞→∞→ni i n n n a a ;若}{n S 收敛,则0lim 0lim 2=⇒=∞→∞→n n n n a a ;即总有0lim =∞→n n a .所以1lim )(lim lim 11211111==-=++∞→++++∞→+∞→n n n n n n n n n n n S a a a S a S a 以及+∞=∞→n n S lim ,故31)(1lim )1(lim lim )(lim lim 2121213313333=++=--+==⋅=+++∞→+∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n nn S S S S a S S n n S n S S a n na 所以13lim 3=∞→n n a n 12.设10<<λ,}{n a 收敛于a .证明:λa a λa λa λa n n n n n -=++++--∞→1)(lim 0221 【证明】令a a b n n -=,那么)]()()[(lim )(lim 010221a b λa b λa b a λa λa λa n n n n n n n n n ++++++=++++-∞→--∞→ λa b λb λb λλa b λb λb n n n n n n n n n n -++++=+++++++=-∞→∞→-∞→1)(lim )1(lim )(lim 0101 故只需要证明)(lim 01=+++-∞→b λb λb n n n n 存在正数M 使得M b n <恒成立.对任给的0>ε,存在正整数N ,当N n >时有εb n <.所以当N n >时有估计11101b λb λb λb λb b λb λb n N N n N N n n n n n n ++++++≤+++-+---- M λλελλn N n N n )()1(1++++++≤--- M λN ελN n -++-≤)1(11因为0lim =-∞→Nn n λ,所以存在正整数N N >1,当1N n >时有εMN λN n )1(1+<-,此时有估计ελb λb λb n n n )111(01+-≤+++- 故)(lim 01=+++-∞→b λb λb n n n n 17.令20≥y ,221-=-n n y y ,+∈N n .设nn y y y y y y S 10100111+++=.证明:24lim 200--=∞→y y S n n 【证明】令10-+=a a y ,1≥a .可归纳得出nna ay n 22-+=,+∈N n ,即12211++=n na a y n .当1=a ,即20=y 时有2≡n y ,于是24121212120012--=→+++=+y y S n n ,∞→n ,命题成立;当1>a 时,有)1111(111)1()1)(1(121211211022222222222210+++++----=--=+++=n n n n n n aa a a a a a a a a a a a a y y y n 于是a a a a a a a a a S n k k n nk n n n 1)1111(lim 1)1111(lim 1lim 2212220222=----=----=+++∞→=∞→∞→∑而aa a a a y y 12)()(2411200=--+=----.第三章实数系的基本定理第四章函数极限4.5.2参考题7.对一般的正整数n 计算极限30sin sin limxxn nx x -→.【解】31030)sin )1sin((sin lim sin sin lim x x x k kx x x n nx nk x x ∑=→→---=-31031021sin 2sin 2sin 4lim ]2cos )21[cos(2sin 2lim x xk x k x x x x k x n k x n k x ∑∑=→=→--=--=6)1()1(2121--=--=∑=n n k k n k 11.设函数f 在),0(+∞上单调增加,且有1)()2(lim =+∞→x f x f x .证明:对每个0>a ,成立1)()(lim =+∞→x f ax f x .【证明】当1>a 时,存在正整数k 使得k k a 221≤≤-,于是)2()(lim )2()()2()2()()2(lim )()(lim 112x f ax f x f ax f x f x f x f x f x f ax f k x k x x -+∞→-+∞→+∞→==)2()(lim )2()()2()2(lim )2()(lim 11x f ax f x f ax f x f x f x f ax f k x k k k x k x +∞→-+∞→-+∞→==由于f 单调增加,所以1)2()(1≥-x f ax f k ,1)2()(≤x f ax f k,所以有)()(lim1)()(limx f ax f x f ax f x x +∞→+∞→≤≤故1)()(lim=+∞→x f ax f x 当10<<a 时,利用上述结果,有1)((1lim )()(1lim )()(lim ===+∞→=+∞→+∞→t f atf ax f x f x f ax f t t ax x x 当1=a 时显然,故对每个0>a ,成立1)()(lim =+∞→x f ax f x .第五章连续函数第六章导数与微分6.1.4练习题6.2.4练习题6.3.4练习题6.4.2参考题第一组参考题1.利用导数的定义计算极限xx x x sin )sin 1()tan 1(lim 10100--+→.【解】利用导数的定义,有xx x x sin )sin 1()tan 1(lim 10100--+→x x x x x x x x sin 1)sin 1(lim sin tan tan 1)tan 1(lim 100100---+-+=→→20))1((1))1((010010='++⨯'+===x x x x 2.设231)(2++=x x x f ,计算)0()100(f ,要求相对误差不超过1%.【解】由于2111)2)(1(1)(+-+=++=x x x x x f 所以101101)100()2(!100)1(!100)(+-+=x x x f 所以)211(!100)0(101)100(-=f 取!100)0()100(≈f,则相对误差为01.0121211(!100)211(!100!100101101101<-=---.3.设f 在点a 处可导,0)(≠a f .计算n n a f n a f ])()1([lim +∞→.【解】)()1(ln exp(lim ])()1([lim a f n a f n a f n a f n n n +=+∞→∞→由于)()(exp(1)()1()(1exp(lim ))()1(ln exp(lim a f a f xa f x a f a f a f x a f x x x '=-+=++∞→+∞→利用Heine 归结原则,有))()(exp()()1([lim a f a f a f n a f n n '=+∞→5.设0)0(=f ,)0(f '存在.定义数列)()2(1(222nn f n f n f x n +++= ,+∈N n ,试求n n x ∞→lim .【解】由于xx f x f x f f x x )(lim 0)0()(lim)0(00→→=--=',所以对任给的0>ε,存在0>δ,当δx <<0时有])0([)(])0([εf x x f εf x +'<<-'取11[+=δN ,当N n >时有δnn<<20,所以有])0()[21(])0(21(222222εf nnn n x εf n n n n n +'+++<<-'+++ 而n n n n n n 2121222+=+++ 所以εf x n nn <'-+)0(12故2)0(lim )0(lim 2)]0(12[lim 0f x f x f x n n n n n n n n '=⇒'-='-+=∞→∞→∞→6.求下列数列极限:(1))sin 2sin 1(sinlim 222n nn n n +++∞→ ;【解】运用上题的结论,考虑函数x x f sin )(=,即得21)0(21)sin 2sin 1(sinlim 222='=+++∞→f n n n n n (2))]1()21)(11[(lim 222n nn n n +++∞→ .【解】运用上题的结论,考虑函数)1ln()(x x f +=,即得e ))0(21exp(1(2111[(lim 222='=+++∞→f n n n n n 7.设xx y -+=11,计算)()(x y n ,+∈N n .【解】由于x xx x y ---=---=1121)1(2,通过求导找规律直接可得2122121)()1(2!)!32()1(2!)!12()(--+----+--=n nn n n x n x n x y ,2≥n 以及xx y -+-='-121)1(238.设f 在R 上有任意阶导数,证明:对每个正整数n 成立)(1)(1)]1([)1()1(1n n n n n xf x x f x -+-=【证明】用数学归纳法,当1=n 时,右式='='-=)1(1])1([2xf x xf 左式;假设当n k =时成立)(1)(1)]1([)1()1(1k k k k k xf x x f x -+-=;当1+=n k 时有)1(11)1(11([)1()]1([)1(+-+++⋅-=-n n n n n n x f x x x f x ∑+=-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10)1(1)(11([1)1(n k k n n k n x f x x k n })]1()[1()]1([{)1()(1)1(11n n n n n x f x n x f x x -+-+++⋅-=)1(1])1(1[)(1)(1xf x n x f x x n n n n +++-'⋅-=)1(1)]1(1)1(1[)(1)1(3)(2xf x n x f x x f x n x n n n n n n +++++--+-⋅-=1(1)1(2xf x n n ++=由归纳原理知命题成立.10.证明组合恒等式:(1)112-=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n k n k ,+∈N n ;【证明】考虑恒等式∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nk k nx k n x 1)1(,对x 求导得∑=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nk k n x k n k x n 111)1(,再令1=x 即得112-=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n k n k (2)2122)1(-=⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n n k n k ,+∈N n .【证明】由(1)可知∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n k kn x k n k x nx 11)1(,对x 求导得∑=---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-++nk k n n x k n k x x n x n 11221])1()1()1[(再令1=x 即得2122)1(-=⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n n k n k 第二组参考题1.(1)求∑=n k kx 1sin 和∑=nk kx 1cos ;【解】利用积化和差公式)cos()cos(sin sin 2y x y x y x --+=-可知2cos)21cos(])21cos()21[cos(sin 2sin 211x x n x k x k kx x nk n k -+=--+=-∑∑==于是有2sin2)21cos(2cos sin 1x xn x kx nk +-=∑=,π2k x ≠,Z ∈k 当π2k x =时有0sin 1=∑=nk kx ;同样地,利用公式)sin()sin(cos sin 2x y y x y x --+=可知2sin)21sin(])21sin()21[sin(cos 2sin 211x x n x k x k kx x nk n k -+=--+=∑∑==于是有2sin22sin )21sin(cos 1x xx n kx nk -+=∑=,π2k x ≠,Z ∈k 当π2k x =时∑=nk kx 1cos 发散;(2)求∑=nk kx k 1sin 和∑=n k kx k 1cos .【解】利用(1)的结论,对结果求导即知4.证明:Legendre 多项式nnn n n x xn x P )1(d d !21)(2-=满足方程)()12()()(11x P n x P x P n n n +='-'-+【证明】直接计算可得])1()1(2[d d )!1(21)1(d d )!1(21)(2111122211nn n n n n n n n x x n xn x x n x P -++=-+='++++++++])1(2)1[(d d !21])1([d d !211222211-++-+-=-=n n n n n n n n n x nx x x n x x x n ])1)(11[(d d )!1(21)(1221---+--+=n nn n n x x x n x P ])1[(d d )!1(21)()12(121----++=n nn n n x x n x P n )()()12(1x P x P n n n -'++=5.证明:Legendre 多项式满足方程)()1()(2)()1(2=++'-''-x P n n x P x x P x n n n 【证明】考虑函数nx y )1(2-=,求导得12)1(2--='n x nx y ,即nxy y x 2)1(2='-,两边求1+n 次导数,利用Leibniz 公式,有∑∑+=-+++=-++='-1)1()(11)1()(21)()(2)()1(n k k n k k n n k k n k k n y x C n y x C即])1([2)1()1(2)1()()1()()1()2(2n n n n n y n xy n y n n xy n y x ++=++++-+++整理得)()1()2(2)1(2)1(n n n y n n xy y x +=+-++故0)1(2)1()()1()2(2=++--++n n n y n n xy y x 所以)()1()(2)()1(2=++'-''-x P n n x P x x P x n n n 第七章微分学的基本定理7.2.4练习题10.设f 在]1,1[-上有任意阶导数,0)0()(=n f,+∈∀N n ,且存在常数0≥C ,使得对所有+∈N n 和]1,1[-∈x 成立不等式n n C n x f !)()(≤.证明:0)(≡x f .【证明】写出nn n n n n x n ξf x n ξf x n f x f f x f !)(!)()!1()0()0()0()()()(1)1(=+-++'+=-- ,x ξ≤,所以有nn n Cxξf n x x f ≤=)(!)()(若10<≤C ,那么0)(→≤n C x f ,∞→n 此时有0)(≡x f ,]1,1[-∈x ;若1≥C ,那么当Cx C 2121<<-时有021)(→≤nx f ,∞→n 此时有0)(≡x f ,]21,21[CC x -∈,在这之上有0)0()(=n f ,+∈∀N n ,故以此类推可知分别在]22,21[C C ,]21,22[CC --,…等区间上都有0)(≡x f ,从而有0)(≡x f ,]1,1[-∈x .11.设f 在],[b a 上二阶可微,且0)()(='='b f a f .证明:存在),(b a ξ∈,使得成立)()()(4)(2a fb f a b ξf --≥''.【证明】写出2121))((21)())((21))(()()(a x ξf a f a x ξf a x a f a f x f -''+=-''+-'+=2222))((21)())((21))(()()(b x ξf b f b x ξf b x b f b f x f -''+=-''+-'+=其中b ξx ξa <<<<21.取2ba x +=,则分别有4)(2)()()2(21a b ξf a f b a f -''+=+,4)(2)()(2(22a b ξf b f b a f -''+=+以上两式相减可得4)()]()([21)()(0212a b ξf ξf a f b f -''-''+-=移项后,由三点不等式可得)(])()([21)()()(4122ξf ξf ξf a f b f a b ''≤''+''≤--其中))(,)(max()(21ξf ξf ξf ''''=''.13.设f 在),[+∞a 上二阶可微,且0)(≥x f ,0)(≤''x f ,证明:在a x ≥时0)(≥'x f .【证明】假设存在),[0+∞∈a x 使得0)(0<'x f ,那么当0x x ≥时)()(0x f x f '≤',进而有)()()()()()(0000x f x x ξf x x x f x f '-≤'-=-,x ξx ≤≤0,只需再令)()(000x f x f x x '->便得0)(<x f ,这与0)(≥x f 矛盾,所以在a x ≥时0)(≥'x f .14.设f 在)1,1(-上1+n 阶可微,0)0()1(≠+n f,+∈N n ,在10<<x 上有n n n n x n x θf x n f x f f x f !)()!1()0()0()0()()(1)1(+-++'+=-- ,其中10<<θ,证明:11lim 0+=→n θx .【证明】由导数定义可知xθf x θf fn n x n )0()(lim)0()()(0)1(-=→+1)(1)1(0)0(!])!1()0()0()0()([lim +--→----'--=n nn n n x x θx f n x n f x f f x f 而其中又有1)(1)1(0)0(!])!1()0()0()0()([lim +--→----'--n nn n n x x x f n x n f x f f x f 1)0()0()(lim 11)!1(!)0(!)(lim )1()()(0)()(0+=-+=+-=+→→n f x f x f n x n n f n x f n n n x n n x 所以11lim 1lim 1)0()0(00)1()1(+=⇒+=→→++n θθn f fx x n n 15.证明:在1≤x 时存在)1,0(∈θ,使得2)(1arcsin x θx x -=,且有31lim 0=→θx .【证明】利用Lagrange 中值定理知存在ξ介于0与x 之间使得210arcsin arcsin ξx x -=-当0=x 时任取)1,0(∈θ;当10≤<x 时有10<<x ξ,令xξθ=,故存在)1,0(∈θ使得2)(1arcsin x θx x -=所以31))(arcsin (arcsin lim arcsin arcsin lim arcsin 1lim lim 4022220222020=+-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x θx x x x 故31lim 0=→θx 16.设f 在)(0x O δ上n 阶可微,且0)()(0)1(0===''-x fx f n ,0)(0)(≠x f n .证明:当δh <<0时,成立h h θx f x f h x f )()()(000+'=-+,10<<θ,且成立11lim -→=n h nθ.【证明】利用Lagrange 中值定理知存在ξ介于0x 与h x +0之间使得hξf x f h x f )()()(00'=-+因而有100<-<h x ξ,令hx ξθ0-=,则成立h h θx f x f h x f )()()(000+'=-+,10<<θ.所以有1100000)()()()()()(--⋅'-+'='--+n n n θh θx f h θx f h h x f x f h x f 而!)(!)(lim )()()(lim 0)(0)1(00000n x f h n h x f h h x f x f h x f n n h n h =+='--+-→→)!1()()!1()(lim )()(lim )()()(lim 0)(0)1(010001000-=-+='-+'='-+'-→-→-→n x f t n t x f t x f t x f h θx f h θx f n n t n t n h 故10101lim 1lim -→-→=⇒=n h n h nθn θ7.3.2参考题第一组参考题1.设有n 个实数n a a a ,,,21 满足12)1(31121=--++--n a a a n n 证明:方程0)12cos(3cos cos )(21=-+++=x n a x a x a x f n 在区间2π,0(中至少有一个根.【证明】构造辅助函数x n n a x a x a x F n )12sin(123sin 3sin )(21--+++= 则可见0)2π()0(==F F .对F 在区间]2π,0[上用Rolle 定理,就知道)()(x f x F ='在区间)2π,0(中有零点.2.设0≠c ,证明:方程0345=+++c bx ax x 至少有两个根不是实根.【证明】设c bx ax x x f +++=345)(,那么22234)345(345)(x b ax x bx ax x x f ++=++='若03452=++b ax x 有两个相同实根,那么0≥'f ,此时f 严格单调增加,故方程只有一个实根,还有四个根不是实根;若03452=++b ax x 无实根,那么f 严格单调增加,同上;若03452=++b ax x 有两不同实根21x x <,那么f 在),(1x -∞,),(2+∞x 上严格单调增加,在),(21x x 上严格单调减少,此时方程至多有3个实根,还有两个根不是实根.3.设0≠a ,证明:方程n n na x a x 222)(+=+只有一个实根0=x .【证明】设n n na x a xx f 222)()(+-+=,那么])([2)(1212--+-='n n a x x n x f 当0>a 时,0)(<'x f ;当0<a 时,0)(>'x f .总之f 是严格单调的,故至多有一个实根,而0=x 是它的一个实根,所以方程只有一个实根0=x .4.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可微,且满足条件0)()(>b f a f ,0)2()(<+ba f a f 证明:对每个实数k ,在),(b a 内存在点ξ,使成立0)()(=-'ξkf ξf .【证明】因为0)2()(<+b a f a f ,0)2()(<+b a f b f ,所以f 在)2,(b a a +和),2(b ba +上分别存在一个零点1x 与2x .构造辅助函数)(e )(x f x g kx-=,那么0)()(21==x g x g ,于是存在),(21x x ξ∈使得有0)(='ξg ,0)]()([e =-'-ξkf ξf ξk ,故0)()(=-'ξkf ξf .5.设∑==nk xλkk c x f 1e)(,其中n λλ,,1 为互异实数,n c c ,,1 不同时为0.证明:f 的零点个数小于n .【证明】用数学归纳法.当1=n 时xλc x f 1e )(1=,而01≠c ,此时f 没有零点;假设当n 时命题成立;当1+n 时,不妨令01≠+n c ,那么e )(0eee)(11)(11)(11111==⇒===∑∑∑+=-+=-+=n k x λλk n k xλλk xλn k xλk k k k c x g c c x f 而∑+=--='12)(11e )()(n k x λλk kk c λλx g 的零点个数至多有1-n 个,所以g 的零点个数至多有n 个,即f 的零点个数至多有n 个.根据归纳原理知命题成立.7.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可微,但不是线性函数,证明:存在),(,b a ηξ∈,使成立)()()()(ηf ab a f b f ξf '>-->'【证明】构造辅助函数)()()()()()(a f a x ab a f b f x f x g -----=因为f 不是线性函数,所以g 不恒为零,而0)()(==b g a g ,所以存在),(b a c ∈使得0)(≠c g ,不妨设为0)(>c g .于是存在),(,b a ηξ∈,使成立0)()()(>'=--ξg a c a g c g ,0)()()(<'=--ηg bc b g c g 即有)()()()(ηf ab a f b f ξf '>-->'8.设f 在],[b a 上二阶可微,0)()(==b f a f ,且在某点),(b a c ∈处有0)(>c f ,证明:存在),(b a ξ∈,使0)(<''ξf .【证明】利用Lagrange 中值定理,存在),(1c a ξ∈与),(2b c ξ∈使得0)()()(1>'=--ξf a c a f c f ,0)()()(2<'=--ξf cb c f b f 再次利用此定理,存在),(21ξξξ∈使得)()()(1212<''=-'-'ξf ξξξf ξf 9.利用例题7.1.3的方法(或其他方法)解决以下问题:(1)设f 在],[b a 上三阶可微,且0)()()(=='=b f a f a f ,证明:对每个],[b a x ∈,存在),(b a ξ∈,使成立)()(!3)()(2b x a x ξf x f --'''=【证明】当),(b a x ∈时构造辅助函数)()()()()()()(22t f b t a t b x a x x f t g -----=那么有0)()()(===x g b g a g ,于是存在b ξx ξa <<<<21使得0)()(21='='ξg ξg ,又)())](()(2[)()()()(2t f a t a t b t b x a x x f t g '---+---='所以0)(='a g ,于是存在2211ξηξηa <<<<使得0)()(21=''=''ηg ηg ,最后存在21ηξη<<使得)()(3)()(0)()()()(60)(22b x a x ξf x f ξf b x a x x f ξg --'''=⇒='''---⇒='''当a x =或b x =时任取),(b a ξ∈等式都成立.(2)设f 在]1,0[上五阶可微,且0)1()1()1()32(31(=''='===f f f f f ,证明:对每个]1,0[∈x ,存在)1,0(∈ξ,使成立3)5()1)(32)(31(!5)()(---=x x x ξf x f 【证明】当}32,31{\)1,0[∈x 时构造辅助函数)()1)(3231()132)(31()()(33t f t t t x x x x f t g -------=重复(1)中的操作,最终存在)1,0(∈ξ使等式成立.当31=x 或32=x 或1=x 时任取),(b a ξ∈等式都成立.(3)设f 在],[b a 上三阶可微,证明:存在),(b a ξ∈,使成立)()(121)]()()[(21)()(3ξf a b b f a f a b a f b f '''--'+'-+=【证明】【法一】设2a b c +=,2a b h -=,待证等式化为)(32)]()([)()(3ξf x h c f h c f h h c f h c f '''-+'+-'+-=+令K x h c f h c f h h c f h c f 332)]()([)()(-+'+-'+-=+构造辅助函数K x x c f x c f x x c f x c f x g 332)]()([)()()(++'+-'---+=那么0)()0(==h g g ,利用Rolle 中值定理,存在),0(1h x ∈使得0)(1='x g ,而)(]2)()([)(x xh xK x c f x c f x x g =++''--''='所以0)()0(1==x h h ,于是存在),0(12x x ∈使得0)(2='x h ,而Kx c f x c f x h 2)()()(++'''--'''-='所以有)()(2)()(222ξf K ξf x c f x c f K '''=⇒'''=+'''+-'''=【法二】考虑函数)]()()[(21)()()(a f x f a x a f x f x F '+'---=,3)()(a x x G -=那么0)()()()(='=='=a G a G a F a F ,连续运用Cauchy 中值定理,知)(121)()()()()()()()()()()()()()(ξf ξG ξF a G c G a F c F c G c F a G b G a F b F b G b F '''-=''''='-''-'=''=--=其中b c ξa <<<.(4)设f 在],[b a 上二阶可微,证明:对每个),(b a c ∈,有),(b a ξ∈,使成立))(()())(()())(()()(21b c a c c f a b c b b f c a b a a f ξf --+--+--=''【证明】构造辅助函数)())(())()(())(())()(())(())()(()(x f b c a c b x a x c f a b c b a x c x b f c a b a c x b x a f x g -----+----+----=那么有0)()()(===c g b g a g ,于是存在c ξb ξa <<<<21使得0)()(21='='ξg ξg ,进而知存在),(21ξξξ∈使得0)(=''ξg ,即))(()())(()())(()()(21b c a c c f a b c b b f c a b a a f ξf --+--+--=''10.设b a <<0,f 在],[b a 上可微,证明:存在),(b a ξ∈,使成立)()()()(1ξf ξξf b f a f b a b a '-=-【证明】利用Cauchy 中值定理,知存在),(b a ξ∈,使成立)()(1)()(11)()()()()()(122ξf ξξf ξξξf ξf ξa b a a f b b f b a a bf b af b f a f b a b a '-=--'=--=--=-16.设f 在]2,0[上二阶可微,且1)(≤x f ,1)(≤''x f ,证明:2)(≤'x f .【证明】写出21))((21))(()()0(x ξf x x f x f f -''+-'+=22)2)((21)2)(()()2(x ξf x x f x f f -''+-'+=其中2021≤≤≤≤ξx ξ.两式相减得])()2)(([21)(2)0()2(2122x ξf x ξf x f f f ''--''+'=-所以2122)()2)((21)0()2()(2x ξf x ξf f f x f ''--''+-≤'])2[(21)0()2(22x x f f +-++≤44212=⨯+≤故2)(≤'x f 18.设当],0[a x ∈时有M x f ≤'')(.又已知f 在),0(a 中取到最大值.证明:Ma a f f ≤'+')()0(.【证明】设f 在点),0(a b ∈处取得最大值,由Fermat 定理知0)(='b f .写出))(()()(1a b ξf a f b f -''+'='bξf f b f )()0()(2''+'='其中),(1a b ξ∈,),0(2b ξ∈.由此有估计Mab ξf b a ξf a f f ≤''+-''='+')()()()()0(21第二组参考题5.设f 在],[b a 上可微,)()(b f a f '=',证明:存在),(b a ξ∈,使成立aξa f ξf ξf --=')()()(【证明】考虑函数x a f x f x g )()()('-=,那么0)()(='='b g a g ,待证式为aξa g ξg ξg --=')()()(.考虑辅助函数⎪⎩⎪⎨⎧=≤<--=ax b x a ax a g x g x G ,0,)()()(若)()(a g b g =,那么有0)()(==a G b G ,于是存在),(b a ξ∈使得0)(='ξG ,即aξa g ξg ξg a ξa g ξg a ξξg --='⇒=-+--')()()(0)()()())((2若)()(a g b g >,那么0)()()()()()())(()(22<--=-+--'='a b b g a g a b a g b g a b b g b G 以及0)(>b G ,所以在b x =的某个左邻域],[b δb -内有点c 使得0)()(>>b G c G ,从而)(x G 在),(b a 内取到最大值,故存在),(b a ξ∈使得0)(='ξG .若)()(a g b g <,同理.6.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可微,又有),(b a c ∈使成立0)(='c f ,证明:存在),(b a ξ∈,满足ab a f ξf ξf --=')()()(【证明】构造辅助函数ab x a f x f x g ---=e)]()([)(那么ab xa b a f x f x f x g -----'='e ])()()([)(.如果0)(='c g ,那么取c ξ=即可.如果0)(>'c g ,那么)()(a f c f <,于是0)(<c g ,所以存在),(0c a x ∈使得0)()()(0<--='ac a g c g x g ,由达布定理知存在),(0c x ξ∈使得0)(='ξg .如果0)(<'c g ,同理.7.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 上可微,0)(=a f ,0)(>x f ,],(b a x ∈∀,证明:对每个0>α,存在),(,21b a x x ∈,使成立)()()()(2211x f x f αx f x f '='【证明】只需考虑1>α的情形.构造辅助函数)(ln )(x f x F =,],(b a x ∈,则-∞=+→)(lim x F ax .记λb F =)(,可取),(b a c ∈使得1)(-=λc F ,由Lagrange 中值定理知)()()(11ξF cb c F b F c b '=--=-,),(1b c ξ∈再取),(c a d ∈使得cb ab αλd F ---=)(,由Lagrange 中值定理知)(1)()()(12ξF αcb αc b a b a b αd b d F b F ξF '>-=--->--=',),(2d a ξ∈由达布定理可知存在),(3b a ξ∈使得)()(13ξF αξF '='.8.设f 在),(+∞-∞上二阶连续可微,1)(≤x f ,且有4)]0([)]0([22='+f f ,证明:存在ξ,使成立0)()(=''+ξf ξf .【证明】在]2,0[上利用Lagrange 中值定理,知存在)2,0(1∈x 使得1)(2)0()2()(11≤'⇒-='x f f f x f 同理存在)0,2(2-∈x 使得1)(2)0()2()(22≤'⇒---='x f f f x f 构造辅助函数22)]([)]([)(x f x f x h '+=,]2,2[-∈x ,于是2)(1≤x h ,2)(2≤x h ,4)0(=h ,所以h 在)2,2(-∈ξ处取到最大值,于是0)(='ξh ,即有)()]()([2='''+ξf ξf ξf 由于3)]([4)]([22≥-≥'ξf ξf ,所以0)(≠'ξf ,故0)()(=''+ξf ξf .9.设f 在),(+∞-∞上二阶连续可微,且对所有R ,∈h x 成立。
数学分析习题选解第一章 实数与函数 §1. 实数 习题Page. 41. 设a 为有理数,x 为无理数,证明:(1). a x +是无理数; (2)当0a ≠时,ax 是无理数。
证明:(用反证法) 3. 设,a b ∈R ,证明:若对任何正数ε有a b ε-<,则a b =。
证明:反证法,如果a b ≠,则取02a b ε-=>,有:a b ε-≥,矛盾。
6. 设,,a b c +∈R (+R 表示全体正实数的集合),证明:b c ≤-你能说明此不等式的几何意义吗? 证明:用分析法,b c ≤-22222222a b a c b c b c ⇐+++-≤+-22a cb c⇐≤-22a b c⇐+422242222a a b c bc a a ca bb c⇐++≤+++ 222bc c b ⇐≤+()20b c ⇐-≥(显然成立)几何意义,如图,在R t A B C ∆中,记B C a =,A C b =,在直角边A C 上,取一点D连接B D ,记D C c =,则A D b c =-,由勾股定理,A B =,B D =此结论说明,三角形的两边之和大于第三边。
7. 设0x >,0b >,a b ≠。
证明:a x b x++介于1与a b之间。
证明:1a x a b b xb x+--=++与a b -同号(注意,0x >,0b >);又()()x b a a x a b xbb b x -+-=++与b a -同号,故a x b x++介于1与a b之间。
8. 设p 为正整数,证明:若p证明:(反证法)设m n=,其中,n m ∈N ,(,)1n m =,于是,22p n m =。
由于大于1的整数能唯一地分解为素因数之积,若p 不是完全平方数,ac b D CBA则p 的素因数分解式中,必有r 是p 的具有奇指数的素因数。
则22p n m =的左端有奇数个素因数r ,而右端没有,与分解的唯一性矛盾,证毕 补充题:证明任何二个不同的有理数之间必有无理数。