6.2.1+指数函数概念与图象+学案-苏教版高中数学必修第一册(wd无答案)

指数函数及其性质（1）教学目标：知识技能：使学生理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象和性质，初步学会运用指数函数解决问题。

过程方法：引入，剖析、定义指数函数的过程，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索指数函数性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣. 情感态度和价值观：通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法，提高学生的学习能力，养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。

教学重难点重点：指数函数的定义、图象、性质.难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数的性质。

教学媒体：多媒体教室 教学过程：一、 创设问题情境引例1：某种细胞分裂时，由1 个分裂成2个，2个分裂成4个，......,依此类推，一个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数y 与分裂次数x 有怎样的函数关系？引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x 年后的价格为y ，则y 与x 的函数关系式？ 引导学生分析问题通过列表寻找规律（1） 动画展示细胞分裂的过程，寻找Y 于X 的对应关系，进而得到得到的细胞个数y 与分裂次数x 的函数关系。

（2） 通过列表：归纳总结： 函数关系：12x y = 20.85x y =在 12x y =和20.85x y =中，指数x 是自变量，底数是一个大于0 且不等于1的常量。

我们把这种自变量在指数位置，而底数是大于0不等于1的常量的函数称为指数函数。

二、 新知探究指数函数的定义：函数叫指数函数(exponential function)，其中x 是自变量。

函数定义域是R 。

)10(≠>=a a a y x且探究1：为什么要规定0,1a a >≠且呢？练习1：若 是指数函数，求a 的取值范围。

探究2：函数23x y =•是指数函数吗？ 练习2：下列函数是否是指数函数：（1）y=0.2x (2)y=(-2)x (3)y=e x (4) 3x y -= (5)y=1x本题主要考察学生对指数函数定义的理解。

2.2.2 指数函数整体设计教材分析本节主要学习指数函数的概念、图象、性质及性质的简单应用.学习过程中，可以让学生通过画出具体的指数函数的图象，观察其特征，将表达图象特征的通俗语言，归纳、转化为数学符号语言，从而得出指数函数的性质.在这一过程中，体现数形结合的数学思想，用到了分类讨论的数学方法及从特殊到一般的类比研究的方法.所以本节的教学重点是指数函数的图象与性质.根据前面的分析，对本节的学习提出如下的建议：指导学生在学习过程中注意对列表计算结果的分析；让学生自己动手，通过画指数函数的图象，来归纳指数函数的性质.可以根据学生探索新知的情况，在适当时机，利用现代化的教学设备演示，帮助学生理解指数函数的性质.让学生在自主学习、探究活动中，体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识，体会数学的美，同时激发学生对数学学习的兴趣.在应用性质的过程中，对学习有困难的学生，时时提醒他们注意底数a对指数函数的性质的影响.三维目标1.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性的特殊点.2.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.3.利用计算工具，比较指数函数增长差异；体会指数等不同函数的类型增长的含义.4.通过指数函数的图象和性质的教学，培养学生观察、分析、归纳等思维能力和数形结合的数学思想方法.5.利用计算机技术及相关的教学软件探讨指数函数的图象和性质，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识，培养学生良好的心理素质，优化学生个性品质，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.重点难点教学重点：1.指数函数的图象和性质.2.通过数形结合，利用图象来认识、掌握函数的性质，增强学生分析问题、解决问题的能力.教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数的性质.课时安排3课时教学过程第一课时指数函数(一)导入新课设计思路一(实际问题导入)从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变.经过5 730年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半.经过科学测定，若14C的原始量为1，则经过x年后的残留量为y=a x这里a为常数，0＜a＜1.设计思路二(情境导入)相传达依尔是国际象棋的发明人，同时也是古印度的宰相，达依尔聪明能干，国王要奖赏他，问他需要什么，达依尔就对国王说：“国王，你只需在象棋的第一格放1粒麦子，在第二格放2粒麦子，在第三格放4粒麦子，以后按比例每一格是前一格的两倍，一直放到第64格，这就是我的要求，如能满足我的这个要求，我就感激不尽了，其他的我就什么都不要了.”国王心想，这有什么难的，不就是一点麦子吗，满足他就是了，于是下令，按照宰相的要求去做，谁知道，全国的粮食用完了还不够.国王很是奇怪，他怎么也想不明白，那么你能用数学知识帮助国王解决这个问题吗？另外按宰相达依尔的要求共需多少粒小麦？ 再看下面的一个例子： 背景(实际问题)：某细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第二次由2个分裂成4个，第三次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与分裂次数x 的函数关系式是什么？(答案：y=2x ) 推进新课 新知探究指数函数的概念根据上述例子，我们得到了形如y=a x 的函数，这些函数的自变量是指数，因此我们把这种函数称为指数函数.一般地，函数y=a x (a ＞0,a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，x 的取值范围是R .为了对指数函数的形式有较为深刻的印象，不妨请同学思考下面的问题： ①函数y=x 2与函数y=2x 有什么区别？(答：函数y=x 2与函数y=2x 的区别是：函数y=2x 的指数为自变量，底数为常数，而函数y=x 2的底数为自变量，指数为常数)②为什么要规定底数a 是一个大于零且不等于1的常数？(答：如果a=0,⎪⎩⎪⎨⎧≤>;,0,0,0无意义时当恒等于时当xxa x a x如果a ＜0，例如y=(-2)x ，这时对于x=21,41,…,y=(-2)x 在实数范围内函数值不存在； 如果a=1，y=1x 是一个常数1，对于常数1没有研究的必要.为了避免上述情况，所以规定a ＞0，a≠1)下面我们来研究指数函数的性质：(在初中学生已经学过描点法画函数的图象，因此先让学生按照描点法的一般步骤：列表—描点—连接来画函数的图象)在同一坐标系中画出下列函数的图象： (1)y=10x ; (2)y=2x ; (3)y=(21)x .我们通过观察函数图象的特征来研究函数的性质：图象特征 函数性质a ＞1 0＜a ＜1 A ＞1 0＜a ＜1 向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点(0，1) a 0=1自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降增函数 减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1x ＞0,a x ＞1 x ＞0,a x ＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1x ＜0,a x ＜1 x ＜0,a x ＞1图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在[a,b]上，f(x)=a x (a ＞0且a≠1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； (2)若x≠0，则f(x)≠1；f(x)取遍所有正数当且仅当x ∈R ； (3)对于指数函数f(x)=a x (a ＞0且a≠1)，总有f(1)=a ； (4)当a ＞1时，若x 1＜x 2，则f(x 1)＜f(x 2). 应用示例思路1例1 指数函数f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)的图象经过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值.分析：要求f(0)、f(1)、f(-3)的值，我们需要先求出指数函数f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)的解析式，也就是要先求a 的值.根据函数图象经过定点(3,π)这一个条件，可以求得底数a 的值. 解：设f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)，因为f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)的图象经过点(3,π)， 所以f(3)=π，即a 3=π，解得a=π31， 于是f(x)=π3x ，所以，f (0)=π0=1，f(1)=π31=3π，f(-3)=π-1=π1. 点评：从本题看出，要想确定一个指数函数，只需一个条件即可，因为表达式中只有1个参数a.例2 比较下列各组数中两个值的大小.(1)1.52.5,1.53.2; (2)0.5-1.2,0.5-1.5; (3)1.50.3,0.81.2分析：比较数的大小，可以利用函数的单调性，所给的几组数都是指数式，所以考虑利用指数函数的单调性来解.解：(1)考察指数函数y=1.5x ，因为1.5＞1，所以指数函数y=1.5x 在R 上是单调增函数.又因为2.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2.(2)考察指数函数y=0.5x ，因为0＜0.5＜1，所以指数函数y=0.5x 在R 上是单调减函数.又因为-1.2＞-1.5，所以0.5-1.2＜0.5-1.5.(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50=1，0.81.2＜0.80=1，所以1.50.3＞0.81.2.点评：比较两数的大小，一般方法是将其转化为同一函数的两个不同的函数值，利用函数的单调性进行比较，如果出现不能直接看成同一函数的两个值时，通常可在这两个数之间找一个中间值比如数1，然后将这两个数与1进行比较，从而比较出两个数的大小. 例3 (1)已知5x ≥50.5，求实数x 的取值范围； (2)已知0.25x ＜16，求实数x 的取值范围.分析：因为5x 、50.5的底数相同，而0.25x 、16可以将底数化为相同的底数0.25，所以可以考虑用指数函数的单调性来求解.解：(1)因为5＞1，所以指数函数f(x)=5x 在R 上是单调增函数.由5x ≥50.5，可得x≥0.5，即x 的取值范围为[0.5,+∞).(2)因为0＜0.25＜1，所以指数函数f(x)=0.25x 在R 上是单调减函数. 因为16=(41)-2=0.25-2，所以0.25x ＜0.25-2，由此可得x ＞-2，即x 的取值范围为(-2,+∞). 点评：在解指数不等式(方程)时，可以考虑运用指数函数的单调性来解.对于(2)我们还可以将底数化为4来解.可参照课本第51页例2. 例4 求下列函数的定义域和值域： (1)y=241-x ；(2)y=(32)-|x|；(3)y=4x +2x+1+1；④(4)=10112-+x x .分析：由于指数函数y=a x (a ＞0,且a≠1)的定义域为R ，所以函数y=a f(x)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数的单调性求值域.解：(1)令x-4≠0，得x≠4，∴定义域为{x|x ∈R ,且x≠4}.∵41-x ≠0,∴241-x ≠1,∴y=241-x 的值域为{y|y ＞0,且y≠1}.(2)定义域为R . ∵|x|≥0，∴y=(32)-|x|=(23)|x|≥(23)0=1，故y=(32)-|x|的值域为{y|y≥1}. (3)定义域为R .∵y=4x +2x+1+1=(2x )2+2·2x +1=(2x +1)2，且2x ＞0，∴y ＞1. 故y=4x +2x+1+1的值域为{y|y ＞1}. (4)令12+x x ≥0，得11+-x x ≥0，解得x ＜-1或x≥1，故y=10112-+x x 函数定义域为{x|x ＜-1或x≥1}，值域为{y|y≥1,且y≠10}.点评：求与指数函数有关的函数的值域时，要注意充分考虑并利用指数函数本身的要求和所具有的性质，例如指数函数的单调性等.例5 作出下列函数的图象，并说明它们之间的相互关系. (1)y=3x ；(2)y=3x-1；(3)y=3x+1.分析：画函数的图象常用的方法是描点法，描点法的一般步骤是：列表—描点—连线. 当我们熟悉了一些基本的初等函数的图象特征后，可以考虑运用图象的变换的方法来实现作函数的图象.解：运用描点法可以作出函数(1)y=3x ;(2)y=3x-1;(3)y=3x+1的图象，如右图所示.由图象可以得知：函数y=3x+1的图象是由函数y=3x 的图象向左平移一个单位得到的；函数y=3x-1的图象是由函数y=3x 的图象向右平移一个单位得到的.点评：本题主要考查函数的图象及其平移变换，其变换的一般规律是：设a ＞0. (1)将函数y=f(x)的图象向左平移a 个单位，就得到函数y=f(x+a)的图象； (2)将函数y=f(x)的图象向右平移a 个单位，就得到函数y=f(x-a)的图象； (3)将函数y=f(x)的图象向下平移a 个单位，就得到函数y=f(x)-a 的图象； (4)将函数y=f(x)的图象向上平移a 个单位，就得到函数y=f(x)+a 的图象. 简单地说就是“左加右减，上加下减”.拓展思维：函数图象的变换除了平移变换外还有其他的变换，例如对称变换等，对于对称变换：一般地，函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于y 轴对称；函数y=f(x)的图象与函数y=-f(x)的图象关于x 轴对称，函数y=f(x)的图象与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.思路2例1 指数函数y=f(x)的图象经过点(π,e)，求f(0)、f(1)、f(-π)的值. 分析：要求函数值，只要求出函数的解析式就可以了.解：设y=f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)，因为y=f(x)的图象经过点(π,e)，所以e=a π，得a=e π1，于是f(x)=(e π1)x .所以，f(0)=(e π1)0=1，f(1)=(e π1)1=e π1，f(-π)=(e π1)-π=e1. 例2 将下列各数由小到大排列起来：(-3)32,(32)21,(32)31,(-32)32-,(-3)31,(31-)3,(23)34,(21-)-2.分析：这些数按从小到大的顺序排列起来，最好的方法是先将这些数进行分类：首先可考虑是正数还是负数，如果是负数，则再进一步分成小于-1还是介于-1与0之间，是正数的再进一步分成0与1之间的及大于1的，然后再将以上各类数中的每一类数作进一步的比较，最后将它们由小到大排列起来.解：在所给的数中，负数有:(-3) 31,(31-)3，且(-3) 31＜-1，-1＜(31-)3＜0，所以(-3)31＜(31-)3＜0. 正数有:(-3)32,(32)21,(32)31,(-32)32-,(23)34,(21-)-2，且(-3)32=332,(32)21,(32)31,(-32)32-=(23),(23)34,(21-)-2=(-2)2=4，其中大于0而小于1的有:(32)21,(32)31=(23)32，且(32)21＜(32)31，大于1的有：(-3)32=332,(-32)32-=(23)32,(23)34,(21-)-2=4.综上所述，所给的数由小到大排列的顺序为：(-3)31＜(31-)3＜(32)21＜(32)31＜(-32)32-＜(23)34＜(-3)32＜(21-)-2.点评：多个幂值的比较大小，常常采取先分组再比较的方法，即先将所给的各个数值进行分类，在每类数值中比较大小，若底数相同可利用指数函数的单调性进行比较；若底数、指数都不相同时，可以利用中间量搭建“桥梁”进行比较.若数值中含有字母，应对所含字母的取值进行讨论.例3 求下列函数的定义域和值域：(1)y=xx 212+;(2)y=2713-x. 解：(1)函数y=x x212+的定义域为R .∵y=xx212+，∴(y-1)2x =-y ，即(1-y)2x =y ， 显然，y≠1，∴2x =y y-1＞0，∴函数y=xx 212+的值域为(0,1). (2)∵3x -271≥0，∴3x ≥3-3，∴x≥-3.∴函数y=2713-x的定义域为{x|x≥-3|，函数y=2713-x值域为[0,+∞).点评：一般来说，函数y=a f(x)的定义域就是f(x)的定义域，其值域不但要考虑f(x)的值域，还要考虑a ＞1还是0＜a ＜1，例如f(x)∈[-4,+∞)时，若a ＞1，则a f(x)∈[a -4,+∞)，若0＜a ＜1，则a f(x)∈(0,a -4]. 例4 利用函数f(x)=(21)x的图象，作出下列函数的图象： (1)f(x-1);(2)f(x+1);(3)f(x)-1. 分析：作图前先分别探究每一个函数的定义域和值域以及单调性，再研究探索各个函数的图象间是否有对称性及平移的相互关系，从而掌握图象的大致变化趋势，利用函数图象的相应变化，作出相应的函数图象. 解：各函数的图象如下图：点评：利用熟悉的函数图象作图，主要是利用图象的平移变换,平移需分清平移的方向以及平移的量，即平移多少个单位. 知能训练课本第52页练习1、2、3、4、5. 解答：1.C(提示：0＜a-1＜1).2.(1)3.10.5＜3.12.3；(2)(32)-0.3＞(32)-0.24； (3)2.3-2.5＜0.2-0.1(提示：2.3-2.5＜2.30=1,0.2-0.1＞0.20=1).3.(1){x|x≠0,x ∈R }；(2){x|x≥0,x ∈R }.4.(1)x ＞3；(2)x ＜-3；(3)x ＜21；(4)x ＜0. 5.A(提示：y=2-x ，即y=(21)x ). 点评：进一步熟练掌握指数函数的图象及其性质的应用. 课堂小结指数函数是中学阶段所学的重要的初等函数之一，因此在学习中要特别注意，尤其是指数函数是新接触的函数，所以要特别加以重视.本节课的重点内容是指数函数的定义、图象和性质，要求能熟记指数函数的图象特征以及指数函数的基本性质，这是学好指数函数的关键.除此之外，还要学会根据指数函数的图象特征来探究指数函数的性质，并能根据实际需要，对指数函数的底数a 分两种情况加以讨论，体会其中的数形结合的思想和分类讨论的思想，通过图象变换的讨论研究，懂得世界上的万事万物之间存在必然的、内在的联系，因此，在研究图象的平移和对称变换的时候，注意对变换的方法和规律的总结，并能正确地运用这些方法和规律解决有关函数图象的问题，加深对指数函数的图象和性质的认识和理解. 作业一、习题2.2(2)第1、2、4、5题. 二、阅读课本第49页至第53页内容.设计感想在设计本节课的教学过程时，围绕以下几点进行：一是以《新课程标准》的基本理念为指导，着眼于培养学生自主学习的能力，因此在设计教学过程时，注意让学生多动手实践，使学生从动手操作的过程中体会函数问题研究的方法和过程；二是从学生现有的认知基础出发，在课堂教学中以本节课的知识结构为主线，充分发挥学生学习的主观能动性，让学生自主探索并获取新的知识和应用新的知识解决实际问题；三是采用层层深入的方式，分散学生学习时可能遇到的难点；四是教学中注意讲练结合，借助多媒体手段进行多方位教学，从而实现教学方式多样化，从实例出发，引用典故，激发学生的学习兴趣，使教与学做到有机结合，使课堂教学达到最佳状态.(设计者：赵家法)第二课时 指数函数(二)导入新课设计思路一(复习导入)在上一节课中，我们学习了指数函数的概念、图象以及性质，下面我们一起来回顾一下相关的内容.(由学生回答，再由教师归纳总结) 设计思路二(习题导入) 请同学们完成下列习题：1.形如y=a x 的函数叫做______________函数，其中底数a 满足的条件是_____________；2.已知函数y=(m 2-3m-3)·3x 为指数函数，则m=_________；3.若-1＜x ＜0，则2x ，(21)x，0.2x 由小到大的排列顺序是__________. 答案：1.指数，a ＞0,且a≠1；2.m=-1或4；3.2x ＜(21)x＜0.2x . 思考如何判断函数y=1212-+x x 的奇偶性以及单调性？推进新课 新知探究复习指数函数的相关知识： 1.指数函数的定义. 2.指数函数的性质：指数函数y=a x 的图象和性质a ＞10＜a ＜1图象性质(1)定义域：R (2)值域：(0，+∞) (3)图象过定点(0，1)(4)在(-∞，+∞)上是单调增函数 在(-∞，+∞)上是单调减函数应用示例思路1例1 求函数y=(21)232+-x x 的定义域、值域及单调区间.分析：这是一个求复合函数的单调性的问题，对于这类问题必须弄清楚函数是由哪几个函数复合而成，这些函数的单调性如何，这样才能正确求解.解：函数y=(21)232+-x x 的定义域为R . 设u=x 2-3x+2=(x-23)2-41，所以u=x 2-3x+2的值域为[-41,+∞)，减区间为(-∞,23]，增区间为[23,+∞).又因为函数y=(21)u 是减函数，所以函数y=(21)232+-x x 的值域为(0,42]，单调减区间为[23,+∞)，单调增区间为(-∞,23].点评：对于形如y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的函数，根据例题可以得出以下结论：①函数y=a g(x)的定义域与g(x)的定义域相同；②应先求函数的g(x)值域，再根据指数函数的单调性及其值域来求y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的值域；③对于函数y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的单调性有：当a ＞1时，函数y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的单调性与函数g(x)的单调性相同；当0＜a ＜1时，函数y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的单调性与函数g(x)的单调性相反. 例2 设a 是实数，f(x)=a-122+x(x ∈R )，(1)试证明：对于任意实数a ，函数f(x)为增函数；(2)试确定a 值，使f(x)为奇函数. 分析：题中函数f(x)=a-122+x (x ∈R )的形式较为复杂，而题目要求证明函数的单调性和奇偶性，因此，只要严格按照函数的单调性、奇偶性的定义进行证明就能证得结论. (1)证明：设x 1,x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=(a-1221+x )-(a-1222+x )=1222+x -1221+x =)12)(12()22(22121++-x x x x ，由于指数函数y=2x 在R 上是增函数,且x 1＜x 2,所以12x＜22x，即12x-22x＜0， 又由2x ＞0得12x+1＞0，22x+1＞0，所以f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2). 因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f(x)为增函数.(2)解：若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)即a-122+-x =-(a-122+x )，变形得：2a=xx x2)12(22+•-+122+x =12)12(2++x x ， 解得：a=1.所以当a=1时,f(x)为奇函数.点评：(1)在题(1)的证明过程中，在对作差的结果进行正、负号判断时，利用了指数函数的值域及单调性.这也提醒我们在解这类题目时，注意运用已经掌握的函数的奇偶性及单调性来解题.(2)解题时应要求学生注意不同题型采用不同的解题方法.如题(2)，此题并非直接确定a 值，而是由已知条件逐步推导得a 值. 例3 设函数f(x)=1+11-x ，g(x)=f(2|x|).(1)求函数f(x)和g(x)的定义域；(2)判断函数f(x)和g(x)的奇偶性；(3)求函数g(x)的单调递增区间.分析：对于函数g(x)，它是一个由f(x)与x=2|x|复合而成的函数，因此，可以通过这种复合关系得到函数g(x)的解析式，从而可以解决相应的问题；函数的单调区间也可以考虑用定义解决.解：(1)由x-1≠0得x≠1，所以函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞). 因为f(x)=1+11-x ，所以g(x)=f(2|x|)=1+121||-x ， 由于2|x|-1≠0，所以x≠0，所以函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)因为函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，它不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，即f(x)是非奇非偶函数.因为函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，它关于原点对称，且 g(-x)=1+121||--x =1+121||-x =g(x)，所以g(x)是偶函数. (3)设x 1、x 2∈(0,+∞)，且x 1＜x 2，则 g(x 1)-g(x 2)=(1+121||1-x )-(1+121||2-x )=121||1-x -121||2-x ==---12112121x x)12)(12(222112---x x x x . 因为0＜x 1＜x 2，所以22x-12x＞0，12x-1＞0，22x-1＞0，所以g(x 1)-g(x 2)＞0，所以g(x)在(0,+∞)上是减函数，又因为g(x)是偶函数，所以g(x)在(-∞,0)上是增函数.所以g(x)的单调增区间是(-∞,0).点评：(1)研究函数的单调性和奇偶性，不能忽视函数的定义域，特别是在研究函数的奇偶性时，如果函数的定义域不关于原点对称，则这个函数必定是非奇非偶函数；(2)本题(3)的解答过程中，在研究函数的单调性时，巧妙运用了函数的奇偶性，起到了事半功倍的效果；(3)本题是一个比较综合的问题，我们在解决这类问题时，要紧紧抓住题目条件，联系相关定义、概念以及公式等，环环相扣，步步为营，最终自然而然地解决问题. 例4 已知函数f(x)=x(131-x+21). (1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)证明：函数f(x)在定义域上恒大于0.分析：本题中求函数的定义域从分母不为0入手；对于函数奇偶性的讨论可以直接由函数奇偶性的定义来判断.解：(1)定义域为{x|x≠0}.(2)因为f(x)=x(131-x +21)，所以f(x)=x(131-x +21)=13132-+•x x x .因为f(-x)=131323131213132-+•=-+•-=-+•---x x x x x x x x x =f(x)， 所以函数f(x)为偶函数.(3)当x ＞0时，3x ＞1，所以3x -1＞0.所以131-x ＞0，从而有131-x+21＞21.所以x(131-x +21)＞2x ＞0，即当x ＞0时，f(x)＞0； 当x ＜0时，1＞3x ＞0，所以0＞3x -1＞-1.所以131-x ＜-1，从而有131-x +21＜21-. 所以x(131-x +21)＞-2x ＞0，即当x ＜0时，f(x)＞0. 综上所述，函数f(x)在定义域上恒大于0.点评：(1)判断函数的奇偶性可以直接运用定义来判断，也可以运用函数奇偶性定义的等价形式：若函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，则函数f(x)为奇函数；函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，则函数f(x)为偶函数.因此对于本题中的(2)还有以下解法：因为f(x)-f(-x)=x(131-x +131--x +1)=x(1331--x x +1)=0. 所以得f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数.(2)证明函数在定义域上恒大于0的问题，可以运用分类讨论来逐步求解，也可以转化为先证明函数f(x)在(0,+∞)上值域为(0,+∞)，再根据函数是偶函数得到函数f(x)在(-∞,0)上值域为(0,+∞)，从而证得结论.思路2例1 对于函数f(x)=(31)122--x x ，(1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)确定函数f(x)的单调区间.分析：这是一个复合函数的问题，因此，可以将函数分解成为我们熟悉的函数如二次函数、指数函数、对数函数等，利用这些熟悉的函数相应的性质来解决问题.解：函数f(x)=(31)122--x x 可以看成是由函数u ＝x 2－2x －1与函数y ＝(31)u 复合而成. (1)由u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x ∈R 时，u≥－2，此时函数y ＝(31)u 总有意义，所以函数f(x)定义域为R ；又由u≥－2，所以0＜(31)u ≤9，所以原函数的值域为(0，9]. (2)因为函数u ＝x 2－2x －1在[1，＋∞)上递增， 所以对于任意的1≤x 1＜x 2都有u 1＜u 2，所以有(31)1u ＞(31)1u ，即y 1＞y 2. 所以函数f(x)=(31)122--x x 在[1，＋∞)上递减. 同理可得函数f(x)=(31)122--x x 在(－∞，1]上递增. 点评：形如y ＝a f(x)(a ＞0，a≠1)的函数有如下性质：(1)定义域与函数f(x)定义域相同；(2)先确定函数u ＝f(x)的值域，然后以u 的值域作为函数y ＝a u (a ＞0，a≠1)的定义域求得函数y ＝a f(x)(a ＞0，a≠1)的值域；(3)函数y ＝a f(x)(a ＞0，a≠1)的单调性，可以由函数u ＝f(x)与y ＝a u (a ＞0，a≠1)按照“同增异减”即“单调性相同为增函数，单调性相异为减函数”的原则来确定.(4)从本题中的解答过程，可以体会到换元法在解决复合函数问题时的作用.例2 若函数f(x)=1212---•x x a a 为奇函数， (1)确定a 的值；(2)求函数f(x)的定义域；(3)求函数f(x)的值域；(4)讨论函数f(x)的单调性.分析：这是一个研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问题，可以由函数的单调性、奇偶性的定义来解决相应的问题.解：先将函数f(x)=1212---•x x a a 化简为f(x)= a-121-x . (1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即a-121--x ＋a-121-x ＝0，因为2a ＋x x 2121--＝0，所以a ＝－21. (2)因为f(x)＝－21－121-x ，所以2x －1≠0，即x≠0. 所以函数f(x)＝－21－121-x 的定义域为{x|x≠0}. (3)方法一：(逐步求解法)因为x≠0，所以2x －1＞－1.因为2x -1≠0，所以0＞2x －1＞－1或2x －1＞0.所以－21－121-x ＞21，－21－121-x ＜－21， 即函数的值域为(-∞,21-)∪(21,+∞). 方法二：(利用函数的有界性)由y=f(x)＝－21－121-x ≠－21，可得2x ＝2121+-y y . 因为2x ＞0，所以2121+-y y ＞0，可得y ＞21或y ＜-21,即f(x)＞21或f(x)＜－21， 所以函数的值域为(-∞,21-)∪(21,+∞). (4)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=a-1211-x -(a-1212-x )=1212-x -1211-x =)12)(12(221221---x x x x . ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x.∴12x －22x ＜0，12x －1＜0，22x －1＜0.∴f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，因此f(x)＝－21－121-x 在(0，＋∞)上递增. 同样可以得出f(x)＝－21－121-x 在(－∞，0)上递减. 点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识.在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法.例3 若不等式3x +6x +9x ·a ＞-1对(-∞,1]上任意的x 恒成立，求实数a 的取值范围.分析：本题可以将不等式变形为a ＞f(x)或a ＜f(x)的形式，因为所给不等式恒成立，因此，实数a 的取值范围为a ＞[f(x)]max 或a ＜[f(x)]min ，这样就将问题转化为求f(x)的最大值或最小值.解：将不等式3x +6x +9x ·a ＞-1化为a ＞-[(31)x +(32)x +(91)x ]， 因为函数y=(31)x ,y=(32)x ,y=(91)x 在(-∞,1]上都是减函数，所以函数y=-[(31)x +(32)x +(91)x ]在(-∞,1]上是增函数.所以当x=1时，函数y=-[(31)x +(32)x +(91)x ]有最大值910-，所以，所求实数a 的取值范围为a ＞910-. 点评：(1)在解决有关恒成立问题时的常用方法之一是“变量分离法”，即将变量x 与参数a 分离后分别放在不等式或等式的两边，然后，再来求相关函数的最值.(2)在求函数的最值时，运用函数的单调性来求解是常用的方法之一.例4 已知函数f(x)=a x +12+-x x (a ＞1).(1)证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数；(2)证明：方程f(x)=0没有负数根.分析：要证明函数在某一个区间上的单调性，常用的方法是应用函数单调性的定义来证明.要证明方程没有负数根，可以先假设方程存在负数根，然后根据题目条件推出矛盾，从而证得结论.证明：(1)设x 1、x 2∈(-1,+∞)，且x 1＜x 2，f(x 2)-f(x 1)=)1)(1()(31212121211221112++-+-=+---+-+x x x x a a x x a x x a x x x x ， 因为x 1＜x 2，a ＞1，所以12x x a a >，又因为x 1、x 2∈(-1,+∞)，所以x 2+1＞0，x 1+1＞0.从而有f(x 2)-f(x 1)＞0，所以函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)设x 0(x 0＜0)是方程f(x)=0的根，则0x a +1200+-x x =0， 即0x a =1200+-x x .因为x 0＜0，所以0x a ∈(0,1). 又因为1200+-x x =130+x -1，若x 0＜-1，则130+x ＜0，所以130+x -1＜-1，即1200+-x x ＜-1； 若-1＜x 0＜0，则0＜x 0+1＜1，所以130+x ＞3，即1200+-x x ＞2. 所以1200+-x x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞). 综上所述，满足0x a =1200+-x x 的x 0不存在，即方程f(x)=0没有负数根. 所以，方程f(x)=0没有负数根.点评：(1)对于函数单调性的证明或判断，利用函数单调性的定义是常用的证明或判断方法，另外，还有其他的方法，例如可以通过复合函数来判断或证明.(2)对于方程是否在某一个区间的根的存在性的判断，除了用本题的方法之外，还可以运用函数的单调性求出区间上的最值的方法来解决.知能训练1.已知函数f(x)是偶函数，且当x ＞0时，f(x)=10x ，则当x ＜0时，f(x)等于( )A.10xB.10-xC.-10xD.-10-x解答：B2.已知函数f(x)=a x 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于( )A.251+B.251+-C.251±D.215+ 解答：D3.函数y=2x 与y=x 2的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.3解答：D4.函数y=π-|x|是( )A.奇函数，且在(-∞,0]上是增函数B.偶函数，且在(-∞,0]上是减函数C.奇函数，且在[0,+∞)上是增函数D.偶函数，且在[0,+∞)上是减函数解答：D5.函数f(x)=(31)22++-x x 的单调增区间为____________. 解答：[21,2] 6.函数y=(41)2122+-x x 的值域为____________. 解答：(0,2]7.已知函数y=a+141+x 为奇函数，则a=____________.解答：21- 点评：进一步掌握指数函数的图象与性质.课堂小结1.指数函数y=a x (a ＞0,a≠1)是在定义域上的单调函数，复合函数y=a u [其中u 是关于x 的函数u(x)]的单调性，由函数y=a u 和u=u(x)的单调性综合确定.2.通过观察指数函数y=a x (a ＞0,a≠1)，不难发现：当⎩⎨⎧<<<<⎩⎨⎧>>10,101,1y a y a 或时，均有x ＞0；当⎩⎨⎧<<>⎩⎨⎧><<10,101,10y y a 或时，均有x ＜0.这一性质可以归结为“底幂同，大于零；底幂异，小于零”.熟悉这一性质，对于解决有关指数函数的问题非常有用.作业课本第55页习题2.2(2)第6、7、8题.设计感想本节课的内容主要是结合指数函数的性质来研究一些复合函数的性质，譬如研究复合函数的单调性和奇偶性，研究复合函数的单调区间以及函数的最值等等.其中复合函数的性质对于学生来说是难点，因此，在研究复合函数的性质时，注意归纳总结.一般地，函数y=f(u)和u=g(x)，设函数y=f[g(x)]的定义域为A ，如果在A 或A 的某个子区间上函数y=f(u)(称为外函数)与u=g(x)(称为内函数)的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在该区间上为递增函数，如果单调性相反，则复合函数y=f[g(x)]在该区间上为递减函数.这一个结论可以简记为“同增异减”.另外，在研究复合函数的性质时必须在函数y=f[g(x)]的定义域内研究.(设计者：王银娣)第三课时 指数函数(三)导入新课设计思路一(实际问题导入)当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系P=(21)5730t，考古学家根据上面的这个式子依据生物体内的碳14含量P 的值，可以知道生物死亡的年数t.式子P=(21)5730t 是一个生物体内碳14含量P 关于生物死亡年数t 的函数，而且是一个指数函数形式的函数.这一节课我们来研究与指数函数相关的实际问题，也就是指数函数的实际应用问题.设计思路二(情境导入)请看下面的问题：某厂引进一个产品的生产线，第一个月这种产品的产量是100件，由于技术的不断熟练和更新，第二个月这种产品的产量是150件，第三个月这种产品的产量是225件，按照这样的生产速度，问第十个月这种产品的产量是多少件？问题的解决：因为第一个月这种产品的产量是100件，第二个月这种产品的产量是150件，第三个月这种产品的产量是225件，所以，可以得出这样的结论：后一个月的产量是前。

惯和品质；培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神。

教学重点：指数函数的概念和性质。

教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。

教学方法：引导发现法；直观演示法；设疑诱导法；多媒体辅助教学所需设备：电脑多媒体辅助设备教师活动学生活动设计意图新课引入：设计一个游戏情境，学生分组，通过动手折纸，观察对折的次数与所得的层数之间的关系。

授课过程：一、1、创设情境，形成概念问题：庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭。

其含义是什么呢？能否给出表达式？学生分组，动手折纸，观察对折的次数与所得的层数之间的关系为学生分组讨论，先分析其含义，再转化为现代语言，建立数学模型，给出结论。

充分发挥学生的主体作用，发展学生的个性，培养学生自主学习的能力。

在学生动手操作的过程中激发学生学习热情和探索新知的欲望。

让学生动手操作，动脑思考，培养学生勇于探索的精神。

第一次第二次第三次第四次问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个， 2个分裂成4个，4个分裂成8个，……如果分裂一次需要10min ，那么，一个细胞1h 后分裂成多少个细胞？教师给出指数函数的定义，即形如 (a>0且a≠1) 的函数称为指数函数，定义域为R 。

如：函数 y=2x y=(1/2)x y=10x 都是指数函数，它们的定义域都是实数集R ，提醒学生指数函数的定义是形式定义,如y=3×2x y=10x+5不是指数函数学生思考后回答并说明。

函数解析式是什么？)(2y N x x ∈=学生理解概念，并展开讨论，什么定义中规定a>0且a≠1呢？ (1）若a<0, a x不一定有意义.如a=-2,当x=1/2,（2）若a=0,则当x>0时，a x=0; x ≤0时，a x 无意义. (3)若a=1,则对于任意x ∈R,a x=1为常量。

进一步探索问题，发现规律。

对a 的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌握，同时为后面研究函数的图象和性质埋下了伏笔。

指数函数（一）教学目标：使学生理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。

教学重点：指数函数的概念、图象、性质教学难点：指数函数的图象、性质教学过程：教学目标(一)教学知识点1.指数函数.2.指数函数的图象、性质.(二)能力训练要求1.理解指数函数的概念.2.掌握指数函数的图象、性质.3.培养学生实际应用函数的能力.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的普遍联系与相互转化.2.用联系的观点看问题.3.了解数学知识在生产生活实际中的应用.●教学重点指数函数的图象、性质.●教学难点指数函数的图象性质与底数a的关系.●教学方法学导式引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数的概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数的性质，而且是分a＞1与0＜a＜1两种情形.●教具准备幻灯片三张第一张：指数函数的图象与性质(记作§2.6.1 A)第二张：例1 (记作§2.6.1 B）第三张：例2 (记作§2.6.1 C）●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］前面几节课，我们一起学习了指数的有关概念和幂的运算性质.这些知识都是为我们学习指数函数打基础.现在大家来看下面的问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是y =2x这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x 作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量.下面，我们给出指数函数的定义. Ⅱ.讲授新课 1.指数函数定义一般地，函数y =a x (a ＞0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R .［师］现在研究指数函数y =a x (a ＞0且a ≠1)的图象和性质，先来研究a ＞1的情形.例如，我们来画y =2x 的图象列出x ,y 的对应值表，用描点法画出图象：例如，我们来画y =2-x 的图象.可得x ,y 的对应值，用描点法画出图象.也可根据y =2-x 的图象与y =2x 的图象关于y 轴对称，由y =2x 的图象对称得到y =2-x 即y =(21)x的图象. 我们观察y =2x 以及y =2-x 的图象特征，就可以得到y =a x (a ＞1)以及y =a x (0＜a ＜1)的图象和性质.3.例题讲解［例1］某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).分析：通过恰当假设，将剩留量y 表示成经过年数x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求.解：设这种物质最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y . 经过1年，剩留量y =1×84%=0.841； 经过2年，剩留量y =0.84×84%=0.842； ……一般地，经过x 年，剩留量y =0.84x 根据这个函数关系式可以列表如下： 0.500.420.35用描点法画出指数函数y =0.84的图象.从图上看出y =0.5只需x ≈4.答：约经过4年，剩留量是原来的一半. 评述：(1)指数函数图象的应用. (2)数形结合思想的体现.［例2］说明函数y =2x +1与y =2x 的图象的关系，并画出它们的示意图.分析：做此题之前，可与学生一起回顾初中接触的二次函数平移问题. 解：比较函数y =2x +1与y =2x 的关系： y =2-3+1与y =2-2相等， y =2-2+1与y =2-1相等， y =22+1与y =23相等， ……由此可以知道，将指数函数y =2x 的图象向左平行移动一个单位长度，就得到函数y =2x +1的图象.评述：此题目的在于让学生了解图象的平移变换，并能逐步掌握平移规律.Ⅲ.课堂练习 1.课本P 74练习1在同一坐标系中，画出下列函数的图象： (1)y ＝3x ；（2）y ＝（31）x . 2.课本P 73例2(2).说明函数y ＝2x －2与指数函数y ＝2x 的图象的关系，并画出它们的示意图.解：比较y ＝2x －2与y ＝2x 的关系y ＝2-1－2与y ＝2-3相等， y ＝20-2与y ＝2-2相等，y ＝23－2与y ＝21相等， ……由此可以知道，将指数函数y ＝2x 的图象向右平移2个单位长度，就得到函数y ＝2x -2的图象.Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，大家要能在理解指数函数概念的基础上，掌握指数函数的图象和性质，并会简单的应用.Ⅴ.课后作业（一）1.在同一坐标系里画出下列函数图象： (1)y =10x ； (2)y =(101)x. 2.作出函数y =2x －1和y =2x +1的图象，并说明这两个函数图象与y =2x 的图象关系.答：如图所示，函数y ＝2x －1的图象可以看作是函数y ＝2x 的图象向右平移两个单位得到.函数y ＝2x ＋1的图象可以看作是函数y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到（二）1.预习内容： 课本P 73例3 2.预习提纲：(1)同底数幂如何比较大小?(2)不同底数幂能否直接比较大小? ●板书设计Ⅰ.复习引入引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？分裂次数：1，2，3，4，…，x 细胞个数：2，4，8，16，…，y由上面的对应关系可知，函数关系是 y ＝2x .引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x 年后的价格为y ，则y 与x 的函数关系式为 y ＝0.85x .在y ＝2x , y ＝0.85x 中指数x 是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.Ⅱ.讲授新课1．指数函数的定义函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R探究1：为什么要规定a ＞0,且a ≠1呢？①若a ＝0，则当x ＞0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 无意义.②若a ＜0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义. 如y ＝(-2)x ，这时对于x ＝14 ，x ＝12 ，…等等，在实数范围内函数值不存在.③若a ＝1，则对于任何x ∈R ，a x ＝1，是一个常量，没有研究的必要性.为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0且a ≠1。

习题课(三) (指数函数) 教学过程复习一、分数指数幂及运算性质 1.整数指数幂. 2.分数指数幂. 二、指数函数 1.指数函数的定义.2.指数函数的图象和性质. 导入新课在前面的学习中，我们学习了分数指数幂与指数函数的概念及性质，本节课主要通过集中训练来巩固分数指数幂与指数函数的概念及性质，并进一步熟练掌握相应知识的运用. 推进新课 基础训练1.下列结论中正确的个数是( ) ①当a ＜0时，(a 2)23=a 3；②n na =|a|；③函数y=(x-2)21-(3x-7)0的定义域为(2,+∞)；④若100a =5，10b =2，则2a+b=1.A.0B.1C.2D.3 2.若集合M={y|y=2-x }，P={y|y=1-x }，则M∩P 等于( )A.{y|y ＞1}B.{y|y≥1}C.{y|y ＞0}D.{y|y≥0}3.已知函数f(x)=2x +m 的图象不经过第二象限，则实数m 的取值范围是( ) A.m≤-1 B.m ＜-1 C.m≤-2 D.m≥-24.函数y=133+x x的值域为( )A.(0,+∞)B.(-∞,1)C.(0,1)D.(1,+∞) 答案：1.B 2. 答案：C 3. 答案：A 4. 答案：C 应用示例思路1例1 已知指数函数f(x)的图象经过点(3,8)，求f(1)、f(-1)、f(2x-3)的值.分析：要求f(1)、f(-1)、f(2x-3)的值，必须要先求出指数函数f(x)的解析式，根据定义，指数函数的解析式为y=a x (a ＞0,a≠1)，因此，本题就是求底数a 的值，把底数a 的值求出后，f(1)、f(-1)、f(2x-3)的值也就迎刃而解了.解：设指数函数y=a x (a ＞0,a≠1)，因为函数f(x)的图象经过点(3,8)， 所以，f(3)=8，即a 3=8，解得a=2，于是有，f(x)=2x . 所以，f(1)=21=2，f(-1)=2-1=21,f(2x-3)=22x-3. 点评：本题要弄清两点，一是指数函数的形式即函数的解析式为y=a x (a ＞0,a≠1)，二是求解析式字母a 的值，只需要有一个条件即可.另外对于求函数值的问题，必须是以已知函数解析式为前提，才能求函数的值.例2 如图，图中所示是指数函数①y=a x ，②y=b x ，③y=c x ，④y=d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c 分析：根据指数函数的图象和性质，可将题目所给四个函数的底数进行分类一类是底数大于1，另一类是底数大于０小于1，然后在同一类中比较大小.解：因为当指数函数底数大于1时，图象呈上升趋势，且底数越大，图象向上方向越靠近y 轴；当指数函数底数大于０且小于1时，图象呈下降趋势，且底数越小，图象向右方向越靠近x 轴；所以，根据题目所给图象，应该选择B.点评：运用上述方法有利于弄清指数函数在第一象限的图象的大致变化情形.本题除了可以运用上述方法来解以外，还可以运用下面的方法来解：(1)令x=1，则题目所给四个函数的函数值分别为a 、b 、c 、d ，结合函数图象，就可得到解答.应该选择B.(2)在所给图象中，过点(1,0)作x 轴的垂线，则垂线与图象的交点的纵坐标就是函数当x=1时的函数值，分别为a 、b 、c 、d ，因此，根据函数的图象不难得到本题的答案.例3 已知a 2x =2+1，求xx x x aa aa --++33的值. 分析：观察所求式子xx xx aa a a --++33，不难发现已知和未知代数式中都含有a x ，所以可以考虑用换元法令a x =t ，再化简运算求值. 解：令a x =t ，则t 2=2+1.所以，x x x x a a a a --++33=12121133))((------++•-+++t t t t t t t t t t t t =2+1+121+-1=22-1. 点评：换元后得t 2=2+1，可以求出t 的值再代入进行计算，但是这种解法运算量相对来说比较大.本题的解法是换元后，并不求出t 的值(这种方法叫做“设而不求”)而直接将t代入要求的式子进行运算，对所要求的式子进行变形整理，最后得到关于t 2的式子，将t 2整体代入，求出最后的结果.整体代入的方法是一种非常重要的运算技巧，是整体思想的渗透和运用.例4 已知f(x)=e x -e -x ，g(x)=e x +e -x ，其中e=2.718 28… (1)求[f(x)]2-[g(x)]2；(2)设f(x)f(y)=4，g(x)g(y)=8，求y)-g(x y)g(x +的值.分析：观察题目所给的表达式的结构特征，联系多项式乘法公式和分数指数幂的运算性质，就可以很快找到解题的路子了.解：(1)[f(x)]2-[g(x)]2=[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]=2e x ·(-2e -x )=-4e 0=-4. (2)因为f(x)f(y)=(e x -e -x )(e y -e -y )=e x+y +e -(x+y)-[e x-y +e -(x-y)]， 所以g(x+y)-g(x-y)=4.①同理可得g(x+y)+g(x-y)=8,②解由①②组成的方程组，可得g(x+y)=6，g(x-y)=2. 所以y)-g(x y)g(x +=26=3.点评：对于(1)，如果将f(x)、g(x)代入，那么这个问题就变成了具体的求值，也就是将问题具体化了.我们应该要充分认识到将问题具体化是探求解题方法的重要策略，因此，要努力掌握这一解决问题的策略，开拓解题思路，提高解题的能力；对于(2)，为了求y)-g(x y)g(x +的值，利用已知条件，通过解关于g(x+y)和g(x-y)的方程组，先求出g(x+y)和g(x-y)的值，再来求y)-g(x y)g(x +的值.这里充分体现了方程的思想在解题时的功能.例5 已知函数y=xx xx ---+10101010，(1)求函数的定义域；(2)求函数的值域；(3)判断函数的单调性.分析：将函数y=x x x x ---+10101010解析式化简为y=11011022-+x x ，根据分母不为零可以求函数的定义域；因为102x ＞0，所以将函数y=11011022-+x x 中102x 看成未知数，把102x 用关于y 的式子g(y)表示，解关于不等式g(y)＞0即可得到函数的值域；判断函数的单调性可以运用函数单调性的定义.解：(1)y=xx x x ---+10101010=11011022-+x x .因为102x -1≠0，所以x≠0， 所以函数y=xx xx ---+10101010定义域为{x|x≠0}. (2)由y=11011022-+x x 得y·102x -y=102x +1，所以102x =11-+y y .因为102x ＞0，即11-+y y ＞0，所以y ＜-1或y ＞1. 所以函数的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞). (3)设任意x 1,x 2∈(-∞,0)，且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=11011011011021112222----+x x x x =)110)(110()1010(2)110)(110(1101010101101010102112212121212122222222222222---=--++-•--+-•x x x x x x x x x x x x x x . 因为x 1,x 2∈(-∞,0)，所以1210x -1＜0,2210x -1＜0.又因为x 1＜x 2，所以2210x ＞1210x ，因而有f(x 1)-f(x 2)＞0.所以函数y=xx xx ---+10101010在(-∞,0)上为单调减函数. 设任意x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＜x 2，1210x -1＞0,2210x -1＞0,2210x ＞1210x ，所以有f(x 1)-f(x 2)＞0.所以函数y=xx xx ---+10101010在(0,+∞)上为单调减函数. 综上所述，函数y=xx xx ---+10101010在(-∞,0)及(0,+∞)上分别为单调减函数. 点评：若将函数式变形为y=11011022-+x x =110211022-+-x x =1+11022-x，据此，根据102x -1随x 的值的递增而递增以及x 的取值范围，也可以求出函数的值域以及函数的单调区间.另外要注意的是：不能由y=f(x)在(-∞,0)及(0,+∞)上分别为单调减函数，得出函数y=f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上为单调减函数，事实上，函数y=f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性. 例6 已知函数f(x)=aa a x+-(a ＞0,a≠1)，(1)证明：f(x)+f(1-x)=-1；(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.分析：要证明等式f(x)+f(1-x)=-1成立，可以直接通过指数进行运算即可证得；而要求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值，如果直接将相应的值(如-2)等直接代入计算，比较烦琐.所以考虑另外的途径，例如能否利用(1)的结论解题. 解：(1)f(x)+f(1-x)=aa a x+-+(aaa x+--1)=)11(1aaaa a xx+++--=)())(1(a a a a a a a a a a aa a xx xxx++•-=+++-=-1.(2)由(1)f(x)+f(1-x)=-1.令x=-2，得f(-2)+f[1-(-2)]=-1，即f(-2)+f(3)=-1.同理f(-1)+f(2)=-1，f(0)+f(1)=-1. 所以f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.点评：如果能够注意到直角坐标平面上的点P(x,y)与点P′(1-x,-1-y)关于点(21,21-)对称，那么第(1)小题的实质就是证明函数f(x)=aa a x +-(a ＞0,a≠1)的图象关于点(21,21-)对称.据此，我们可以得到证明某一函数f(x)的图象关于某一个定点O 对称的一般方法：设点P(x,y)在函数f(x)的图象上，求出P(x,y)关于点O 的对称点P′的坐标，然后将P′的坐标代入函数f(x)，如果P′的坐标满足函数f(x)，则函数f(x)的图象关于某一个定点O 对称，如果P′的坐标不满足函数f(x)，则函数f(x)的图象不关于某一个定点O 对称.对于第(2)小题的求解，运用了第(1)小题证得的结论.这种解题的方法是在解具有递进关系或具有关联关系的一系列题时的一种常用的技巧，我们必须好好地加以体会.思路2例1 函数y=(a 2-3a+3)·a x 是指数函数，则有( )A.a=1或a=2B.a=1C.a=2D.a ＞0且a≠1 分析：指数函数y=a x 中有两个特点：①a ＞0且a≠1，②a x 的系数必须为1.解：因为函数y=(a 2-3a+3)·a x 是指数函数，所以有⎪⎩⎪⎨⎧≠>=+-,1,0,1332a a a a 解得a=2.故本题应选择C.例2 比较下列各组数的大小：(1)1.253，1.275；(2)(-1.2)53，(-1.2)75；(3)2，33；(4)0.50.6，0.60.5； (5)0.30.2,30.3,(-0.3)53,0.20.3,20.5,(-0.3)75.分析：要比较两个数或几个数的大小，可以利用函数的性质，也可以作差或作商，还可以先找中间数进行分类，然后在同一类中进行比较.解：(1)指数函数y=1.2x 在(-∞,+∞)上是增函数，因为53＜75，所以1.253＜1.275.(2)因为(-1.2)53=-1.253，(-1.2)75=-1.275，由(1)知1.253＜1.275，所以-1.253＞-1.275，即(-1.2)53＞(-1.2)75. (3)方法一：因为2=68，33=69，所以2＜33.方法二：因为6663989832==＜1，所以2＜33. (4)因为函数y=0.5x 在(-∞,+∞)上是减函数，所以0.50.6＜0.50.5，又因为y=a x 的图象在y 轴右边是底数越大图象越高，所以0.50.5＜0.60.5，由上述可知：0.50.6＜0.60.5.(5)由于0.30.2,30.3,(-0.3)53,0.20.3,20.5,(-0.3)75中的数(-0.3)53,(-0.3)75小于0，其余的数都大于0，所以先比较(-0.3)53,(-0.3)75的大小，再比较其余的数的大小. 因为0.353＞0.375，所以-0.353＜-0.375，即(-0.3)53＜(-0.3)75.因为30.3、20.5都大于1，而30.3÷20.5=3103÷2105=27101÷32101=(3227)101＜1，所以30.3＜20.5.因为0.30.2、0.20.3都大于0且小于1，将0.30.2、0.20.3与0.30.3比较. 由于函数y=0.3x 在(-∞,+∞)上是减函数，所以0.30.2＞0.30.3，又因为y=a x 的图象在y 轴右边是底数越大图象越高，所以0.30.3＞0.20.3，由上述可知：0.30.2＞0.20.3. 综上所述，(-0.3)53＜(-0.3)75＜0.20.3＜0.30.2＜30.3＜20.5.点评：在比较两个数的大小时，特别是比较指数幂的大小时，可以按照以下的方法进行比较：首先将题给的数与0进行比较，区分出正负数；第二，将正数与1进行比较，区分出大于1的数和小于1的正数；第三，利用函数的性质分别比较上述各类数的大小；第四，寻找中间数，结合函数的单调性比较大小；第五，运用作差或作商的方法进行比较数的大小. 例3 求函数y=(32)232+-x x 的单调区间. 分析：这是有关复合函数求单调区间的问题.可设y=(32)u ，u=x 2-3x+2，其中函数y=(32)u 为减函数，所以u=x 2-3x+2的减区间就是原函数的增区间；u=x 2-3x+2的增区间就是原函数的减区间.解：设y=(32)u，u=x 2-3x+2，y 关于u 递减， 因为当x ∈(-∞,23]时，u 为减函数，所以此时y 关于x 为增函数；当x ∈[23,+∞)时，u 为增函数，所以此时y 关于x 为减函数.由以上可知函数y=(32)232+-x x 的单调增区间为(-∞, 23]，单调减区间为[23,+∞).点评：一般地，对形如f[g(x)]的复合函数的单调性的判断或求单调区间的问题，除根据定义来解答外，还可以依据下述结论来判断：当y=f(u)与u=g(x)的单调性相同时，则y=f[g(x)]为增函数；当y=f(u)与u=g(x)的单调性相异时，则y=f[g(x)]为减函数.而对形如f(x)=a g(x)(a ＞0,a≠1)的复合函数来说，若a ＞1，则f(x)与g(x)的单调性相同，若0＜a ＜1，则f(x)与g(x)的单调性相异.例4 已知函数y=a 2x +2a x -1(a ＞0且a≠1)在区间[-1,1]上有最大值14，求实数a 的值. 分析：将已知函数y=a 2x +2a x -1的解析式化为y=(a x )2+2a x -1，则令u=a x ，再利用二次函数的相关知识，结合指数函数的性质，即可得到解答. 解：由y=a 2x +2a x -1得y=(a x )2+2a x -1=(a x +1)2-2， 令a x =t ，则y=(t+1)2-2.①当a ＞1时，因为x ∈[-1,1]，所以a 1≤a x ≤a ，即a1≤t≤a. 因为函数y=(t+1)2-2的对称轴为t=-1，所以，当t=a 时，函数y=(t+1)2-2有最大值，即(a+1)2-2=14，解得a=3.②当0＜a ＜1时，因为x ∈[-1,1]，所以a≤a x ≤a 1，即a≤t≤a1. 所以，当t=a 1时，函数y=(t+1)2-2有最大值，即(a 1+1)2-2=14，解得a=31.综上所述，实数a 的值为3或31.点评：这是一个函数综合问题，考查了指数函数与二次函数的性质，因此，在解综合问题时，一定要对涉及的知识点熟悉并能熟练运用.此外，注意一些数学思想的应用，本题中运用了分类讨论的数学思想，对底数a 在(0,1)及(1,+∞)上两种情况进行分类讨论，因为指数函数在这两个范围上的单调性完全不同. 知能训练 1.已知x32-=4，那么x 等于( )A.8B.±81C.443D.±322.化简2)21(x -(x ＞21)的结果是( ) A.1-2x B.0 C.2x-1 D.(1-2x)2 3.已知c ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A.c ＞2c B.c ＞(21)c C.2c ＜(21)c D.2c ＞(21)c 4.若函数y=a x +b-1(a ＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有…( )A.a ＞1,且b ＜1B.0＜a ＜1,且b ＜0C.0＜a ＜1,且b ＞0D.a ＞1,且b ＜0 5.函数y=5x 与y=-5-x 的图象( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x 对称 6.函数f(x)=(1+a x )2a -x (a ＞0且a≠1)( )A.是奇函数但不是偶函数B.是偶函数但不是奇函数C.既不是奇函数也不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数 7.若a 31＞a 21，则实数a 的取值范围是_____________.8.当x ∈[-1,1]时，函数f(x)=3x -2的值域为_____________.9.已知a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8，则a 、b 、c 由小到大的排列顺序是_____________.10.已知a ＞0，x=21(n n a a 11--)，求(x+21x +)n 的值.解答：1.答案：B2. 答案：C3. 答案：C4. 答案：D5. 答案：C6. 答案：B7. 答案：0＜a ＜1 8. 答案：[35-,1] 9. 答案：b ＜a ＜c 10.解：将x=21(nn a a 11--)代入21x +=21(n n a a 11--)，因此(x+21x +)n =[21(n n a a 11--)+21(n n a a 11--)]n =(n a 1)n =a.课堂小结本节课主要是集中训练分数指数幂与指数函数的相关内容. 对于分数指数幂，要求掌握分数指数幂的概念与运算性质，以及分数指数幂与根式的相互转化，能够熟练并且正确地进行有关根式与分数指数幂的化简、求值等问题，能熟练进行有关分数指数幂的恒等变形，提高有关分数指数幂知识的综合运用能力.对于指数函数，要求掌握指数函数的定义、图象、性质及其应用，体会利用函数图象来研究函数性质的思想方法，以及从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，充分认识指数函数是一类重要的函数模型，在现实生活、生产实践、现代科技等领域指数函数有着广泛的应用.作业课本第93页复习题10、12.设计感想在本节内容的学习中应注意以下几点：(1)要注意正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根没有意义. (2)n n a 一定等于a ，而要分n 是奇数和偶数两种情形来求解.(3)分数指数幂并不是一种新的运算，而是根式的另一种表达形式，将根式用分数指数幂表示后，可以将根式的运算转化为指数运算.(4)指数函数y=a x 中的底数a 之所以规定为a ＞0且a≠1，是因为：在y=a x 中，若a=1，则y=1，它是一个常数函数.为了保证当x 取分数时a x 有意义，必须要求a≥0；但是当a=0时，a x 只有x ＞0时有意义且y=a x =0也是常数函数.(5)在学习指数函数时，注意分清底数是“a ＞1”和“0＜a ＜1”的函数所具有的性质的相同和不同之处.(6)在学习本节内容时注意结合对比的方法，揭示分数指数幂与根式，指数函数的底数在“a ＞1”和“0＜a ＜1”两种情形的内在联系.在运用性质解题时注意解题的技巧，例如在运用幂的运算性质解题时，凑完全平方及寻求同底数幂的方法的恰当运用；在运用函数图象解题时注意图象变换等.。

《指数函数》教学案例一、相关背景介绍本课选自高中课程标准实验教科书《数学》（必修一）（苏教版）指数函数是高中新引进 的第一个基本初等函数，因此，先让学生了解指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立，函数图象的绘制及基本性质作初步的介绍。

课标要求理解指数函数的概念和意义，能借助计算机画出具体指数函数的图象，初步探索并理解指数函数有关的性质。

本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学习的过程中体会研究具体指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等，使学生能更深刻理会指数函数的意义和基本性质。

二、本节课教学目标1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.(3)能根据单调性解决基本的比较大小的问题.2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是01a <<，1a >的性质。

3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.4.重难点：(1)指数函数的定义、图象、性质(2)指数函数的描绘及性质 三、课堂教学实录一.问题情景问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x 次以后,得到的细胞个数y 与x 有怎样的关系.问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去x 次后绳子剩余的长度为y 米,试写出y 与x 之间的关系.二.学生活动1.思考问题1,2给出y 与x 的函数关系?2.观察得到的函数2xy =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数2y x =的区别.3.观察函数2x y =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与xy a =的相同特点.三.建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）[师]:通过问题1,2的分析同学们得出y 与x 之间有怎样的关系?[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4(22=)个细胞,分裂三次得到8(32=),所以分裂x 次以后得到的细胞为2x个,即y 与x 之间为y 2x=.[生2]:第一次剩下绳子的12,第二次剩下绳子的14(212=),第三次剩下绳子的18(312=),那么剪了x 次以后剩下的绳长为12x 米,所以绳长y 与x 之间的关系为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（学生说完后在屏幕上展示这两个式子）[师]:这两个关系式能否都构成函数呢?[生]:每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.[师]:（接着把2y x =打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数y 2x=,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在形式上与函数2y x =有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而2y x =的自变量在底上.[师]:那么再观察一下y 2x=,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数xy a =有什么相同点?[生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型xy a =就是我们今天要讲的指数函数.（在屏幕上给出定义）定义:一般地,函数xy a =(0,1a a >≠) 叫做指数函数,它的定义域是R .概念解析1:[师]:同学们思考一下为什么x y a =中规定0,1a a >≠?(引导学生从定义域为R 的角度考虑).（先把0a =，0a <，1a =显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）[生]:⑴若0a =,则当0x =时,00x a = 没有意义.⑵若0a <,则当x 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:12(2)-=⑶若1a =,则1xa =,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了. 所以,我们规定指数函数的底0,1a a >≠.[师]:很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:问题１．已知函数(32)xy a =-为指数函数，求a 的取值范围．（屏幕上给出问题）[生]:由于32a -作为指数函数的底因此必须满足：232033210a a a a ⎧->>⎧⎪⇒⎨⎨-≠⎩⎪≠⎩即2|03a a a ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且 概念解析２:[师]:我们知道形如xy a =（0,1a a >≠）的函数称为指数函数．通过观察我们发现： ⑴xa 前没有系数，或者说系数为１．既1xa ⋅； ⑵指数上只有唯一的自变量x ；⑶底是一个常数且必须满足：0,1a a >≠．那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题２）问题2．⑴(0.2)x y =，⑵(2)x y =-，⑶xy e =，⑷1()3xy =⑸1xy =，⑹23xy =⋅，⑺3xy -=，⑻22xxy +=[生１]:（答）⑴⑶⑷为指数函数．⑵⑸⑹⑺⑻不是．[生２]: 我不同意，⑺应该是指数函数，因为133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭．[师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数．所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质．[师]:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质．根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？ [生]:（共同回答）列表，描点，连线．[师]：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出2xy =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3xy =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象．（等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）[师]:那么我们下面就作出函数：2xy =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3xy =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象x -３ 2- 1- ０ １ ２ ３2x 181412１ ２ ４ ８2x - ８ ４ ２ １ 1214183x 1271913１ ３ ９ 273x - 27 ９ ３ １ 1319127[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来）[生１]:函数的定义域都是一切实数R ，而且函数的图象都位于x 轴上方．[师]:函数的图象都位于x 轴上方与x 有没有交点？随着自变量x 的取值函数值的图象与x 轴是什么关系？[生１]:没有．随着自变量x 的取值函数的图象与x 轴无限靠近． [师]:即函数的值域是：(0,)+∞．那么还有没有别的性质？[生２]:函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭、13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，函数2x y =、3xy =是减函数．[师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此有说明是在哪个范围内．又110,123<<，12,3<那么上述的结论可以归纳为： [生２]:当01a <<时，函数xy a =在R 上是减函数，当1a >时，函数xy a =在R 上是增函数．[师]:很好，请做！（提问［生３］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？ [生３]:当自变量取值为０时，所对的函数值为１．一般地指数函数xy a =当自变量x 取０时，函数值恒等于１．[师]:也就是说指数函数恒过点(0,1)，和底a 的取值没有关系．那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量x 之间有什么关系？[生3]:由图象可以发现：当01a <<时，若0x >，则0()1f x <<；若0x <，则1()f x <. 当1a >时，若0x >，则()1f x >；若0x <，则0()1f x <<.[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?[生4]: 函数2xy =与12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,函数3xy =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,所以是偶函数.(? ? ? ?)[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质. [师]:由此我们得到一般的结论, 函数xy a =与xy a -=的图象关于y 轴对称. [师]:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.01a << 1a >图 象性 质定义域 RR值域 ()0,+∞ ()0,+∞ 定点 ()0,1()0,1单调性 在(),-∞+∞上是减函数在(),-∞+∞上是增函数取值 情况 若0x >，则0()1f x << 若0x <，则1()f x <若0x >，则()1f x > 若0x <，则0()1f x <<对称性 函数x y a =与xy a -=的图象关于y 轴对称巩固与练习１根据指数函数的性质，利用不等号填空．（在屏幕上给出练习，让学生口答） ⑴()34 0，⑵15- 0，⑶07 0，⑷()4249- 0，⑸()22 1，⑹()47- 1，⑺1210- 1，⑻36 1．注：这部分知识主要考察了指数函数的值域和对性质：当01a <<时，①若0x >，则0()1f x <<②若0x <，则1()f x <；当1a >时①若0x >，则()1f x >②若0x <，则0()1f x <<的应用．这个知识点是比较重要的部分在后面的比较大小中常常用到，所以在这个地方给出这样的一个巩固练习还是很有必要的．四.数学运用例1.比较大小⑴ 2.53.21.5,1.5 ⑵ 1.21.50.5,0.5-- ⑶0.3 1.21.5,0.8分析：［师］：前面我们讲了指数函数，好象和这个比大小没有关系．这几个也不是函数那怎么比较大小呢？先不考虑这个上面讲的性质哪个可以和大小联系起来呢？［生］：单调性和大小有关，我们可以借助于指数函数的单调性老考虑，要比较大小的两个数可以看成指数函数() 1.5x f x =当x 取2.5,3.2时对应的函数值，再根据() 1.5xf x =在(),-∞+∞是单调增的就可以比较大小了．即：解: ⑴考虑指数函数() 1.5xf x =.因为1.51>所以() 1.5xf x =在R 上是增函数.因为2.53.2<所以2.53.21.5 1.5<［师］：很好，充分运用了指数函数的性质．下面的两个小题请两个同学上来板书．也是利用指数函数的性质．⑵考虑指数函数()0.5xf x =.因为00.51<<所以() 1.5xf x =在R 上是减函数.因为1.2 1.5->-所以1.2 1.50.50.5--<⑶由指数函数的性质知0.301.51.51>=，而1.200.80.81<=所以0.3 1.21.50.8>［师］：第⑵小题和⑴一样直接借助单调性即可解题，第⑶小题在考虑是就发现单调性不能直接应用，两个底不一样．但是借助一个中间变量１就可以把问题解决了． 例2．⑴已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围； ⑵已知0.225x<，求实数x 的取值范围． 解：⑴因为31>，所以指数函数()3xf x =在R 上是增函数．由0.533x≥，可得0.5x ≥，即x 的取值范围为[)0.5,+∞⑵因为00.21<<所以指数函数()0.2xf x =在R 上是减函数，因为221250.25--⎛⎫== ⎪⎝⎭所以20.20.2x -<由此可得2x >-，即x 的取值范围为()2,-+∞． 五.回顾小结x y a =（0,1a a >≠），x R ∈）．要能根据概念判断一个函数是否为指数函数．２．指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）．３．利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象． 教学反思：本节课较好地体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体和以培养学生的思维能力，特别是研究问题能力为重点的教学思想。

2012高一数学指数函数（1）学案学习目标：1、能运用指数函数的概念和性质解决实际问题2、能过探究、思考、把生活实际问题转化为数学问题，培养学生理性思维能力、观察能力、判断能力学习重点：解决与指数函数有关的实际问题学习难点：解决具体实际问题中目标函数模型的确立及其定义域的确立学习过程：一：例题选讲：问题1 某放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数的关系式.问题2某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x,本利和(本金加上利息)为y元.(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式;(2)如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.问题 3 2000—2002年,我国国内生产总值平均增长7.8%左右.按照这个增长速度,画出从2000年开始我国国内生产总值随时间变化的图像,并通过图像观察到2010年我国国内生产总值约为2000年的多少倍?(结果取整数).备某工厂从今年1月份2月份3月份生产某产品分别为1万件,1.2万件,1.3万件.为了估测以后每月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数来模拟此产品月产量y(万件)与月份数x 之间的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数为常数）c b a c b a y x ,,(+•=.已知4月份的产量为1.37万件,请用以上哪个函数作为模拟函数较好?求此函数.二、小结：利用函数解决具体实际问题的步骤和方法三、作业：见作业纸四、学生反思：五、学生作业：1．（1）一电子元件去年生产某种规格的电子元件a 个，计划从今年开始的m 年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长p %，试写出此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式；（2）一电子元件去年生产某种规格的电子元件的成本是a 元/个，计划从今年开始的m 年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年下降p %，试写出此种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式．2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经3小时后，这种细菌可由1个分裂成个 ．3．我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番，设平均每年增长率为x ，则得方程 ．。

2.2 指数函数2.2.1 分数指数幂整体设计教材分析“分数指数幂”这一节的主要内容是根式和分数指数幂的概念以及有理数指数幂的运算性质.分数指数是指数概念的又一次推广，教学中应通过多举一些实际例子让学生反复理解分数指数幂的意义，让学生明白分数指数幂不是表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法.或者通过根式和分数指数幂的相互转化来巩固和加深对分数指数幂这一概念的理解. 由于学生已经学习了负整数指数幂，正分数指数幂的概念引入后学生也就不难理解负分数指数幂的意义，在教学过程中，可以引导学生得出 m na=nma1(a ＞0，m 、n 均为正整数，且n ＞1)这一结论. 三维目标1.理解根式的概念，掌握n 次方根的性质.2.理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义.3.掌握有理数指数幂的运算性质，灵活地运用公式进行有理数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.4.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充和不断完善的过程，使学生深深体会认识客观世界的一般规律是呈不断上升的趋势，认同科学是在不断地观察、实验、探索和完善中前进的. 重点难点教学重点：正确理解根式以及分数指数幂的概念，根式与分数指数幂的互化，运用分数指数幂进行简单的运算. 教学难点：根式的概念以及分数指数幂的意义. 课时安排 2课时教学过程第一课时 分数指数幂(一)导入新课设计思路一(复习导入)在初中我们已经学过平方根和立方根的概念，我们复习一下平方根和立方根的概念. 平方根的概念：如果x 2=a ，那么我们称x 为a 的平方根；如果x 3=a ，那么我们称x 为a 的立方根.相仿地，我们就有n 次实数方根的概念. 设计思路二(问题导入)在日常生活中，衣服用去污剂洗过以后，要用清水漂洗.假如每次清水漂洗能漂去残留去污剂量的43，写出残留去污剂量y 与漂洗次数x 的函数关系式.若要使残留去污剂量不超过漂洗前的1％，则至少要漂洗多少次？ (答案：函数关系式是：y=(1-43)x =(41)x，使残留去污剂量不超过漂洗前的1％，至少漂洗4次)推进新课 新知探究根据引入，可以得到如下n 次实数方根的概念： 一般地，如果一个实数x 满足x n =a(n ＞1,n ∈N *)，那么我们称x 为a 的n 次实数方根(nth root).当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数.这时，a的n次实数方根只有一个，记为x=na ，例如，23=8⇒2=38;(-3)3=-27⇒-3=327-;b 5=7⇒b=57.当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数.这时，正数a 的正的n 次实数方根用符号n a 表示，负的n 次实数方根用符号-n a 表示.正数a 的n 次实数方根我们可以把它们合并而写成±n a (a ＞0)的形式，例如， x 4=4⇒x=±44;y 2=3⇒y=±3.特别需要注意的是，当a 等于0时，0的n 次实数方根等于0.我们把式子n a 叫做根式(radical)，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.对于根式，我们要注意以下几点：(1)关于n 次实数方根的定义：n 次实数方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，根式记号是平方根、立方根记号的推广，将n 次实数方根的概念与平方根、立方根的概念进行对比，不难发现：①在实数范围内，正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数，零的奇数次方根是零，设a ∈R ，n 是大于1的奇数，则a 的n 次方根是n a .②在实数范围内，正数的偶数次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的奇数次方根是零，负数的偶数次方根没有意义.设a≥0，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是±n a . (2)开方与乘方：求a 的n 次方根的运算叫做开方，开方运算与乘方运算是互为逆运算，不能把开方运算与乘方运算混为一谈.例如:求2的四次方，其运算结果是24=16，而求2的四次方根，其运算结果是±42. 应用示例思路1例1 求下列各式的值： (1)33)6(-；(2)2)7(-；(3)44)3(π-；(4)2)(b a -(b ＞a).分析：根式的求值，通常从根式的性质入手. 解：(1)33)6(-=-6;(2)2)7(-=|-7|=7;(3)44)3(π-=|3-π|=π-3;(4)2)(b a -=|a-b|=b-a(b ＞a).点评：根式的求值与化简，通常都是运用根式的运算性质：当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 一般来说，根指数n 为奇数时比较简单，而根指数n为偶数时很容易出现错误，为了避免错误的产生，可以先写成n n a =|a|，然后再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号. 例2 化简222y xy x ++.分析：通过观察根式中的被开方式x 2+2xy+y 2是一个完全平方式，因此可以先将x 2+2xy+y 2转化为完全平方，再来根据根式的意义求解. 解：222y xy x ++=2)(y x +=|x+y|=⎩⎨⎧<+--≥++).0(,),0(,y x y x y x y x点评：因为(x+y)2是开平方，所以根据根式的意义，注意讨论x ＋y 的正负.例3 化简下列各式：(1)442+-x x +|1-x|，其中1＜x ＜2； (2)2)(a b b a b a ---•--|b-a|.解：(1)由根式的性质当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥0,,0,a a a a 可知，442+-x x +|1-x|=2)2(-x +|1-x|=|x-2|+|1-x|.因为x-2＜0,1-x ＜0，所以原式=2-x+x-1=1.(2)要使b a -有意义，必须a-b≥0，所以2)(a b -=a-b,|b-a|=a-b ，所以b a -·b a --2)(a b --|b-a|=(b a -)2-(a-b)-(a-b)=a-b-a+b-a+b=b-a.点评：若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简. 例4 计算： (1)2115141032++++;(2)63121823346+++++.分析：两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁.我们可以先将分母因式分解后，再化简.解：(1)2115141032++++=)75)(32(32)75(3)75(232+++=++++2575757751-=--=+ (2)63121823346+++++=)36)(23()3221(6)23(3)23(623346++++=+++++.26)1223(2)121231(2)12)(23(3)3221(6-=-+-=+++=+++++点评：对于分子和分母都带有根号的式子，在化简或计算时一定要注意分子和分母的化简，还要注意将分母有理化.思路2例1 化简下列各式： (1)yxx y •; (2)2)2(+a ;(3)246347625---+-.分析：注意观察所给题目的特征，运用根式的性质来解题.另外化简的方向是脱去根号，方法是配方，而且配方的方法也是脱去根号的常用的技巧与手段. 解：(1)yx x y y x xy •=•=1. (2)2)2(+a =|a+2|=⎩⎨⎧-<---≥+).2(,2),2(,2a a a a(3)246347625---+- =222)22()32()23(---+- =|22||32||23|---+-=)22()32()23(---+- =0.点评：(1)在解有关根式的问题时，注意体会根式的运算性质：当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥,0,,0,a a a a 同时与(n a )n =a 进行比较，并且加以区别，不能将二者混为一谈.(2)解题中运用的配方的技巧适用的范围十分广泛，掌握并能熟练地运用这一技巧，从而提高运算能力.例2 已知4x 2－4x －15≤0，化简：25204912422+-+++x x x x .分析：通过已知条件4x 2－4x －15≤0，求出x 的范围，再运用配方的方法以及完全平方公式等来求解.解：∵4x 2－4x －15≤0,∴－23≤x≤25,∴2x ＋3≥0,2x －5≤0, ∴2222)52()32(252049124-++=+-+++x x x x x x ＝|2x ＋3|＋|2x －5|＝2x ＋3＋5－2x ＝8.点评：本例属于有限制条件的根式化简问题，这种题型的一般解题方法是：先求出已知条件对字母的限制范围，在此字母的限制范围内，再依据根式的意义、性质进行化简，如果没有限制条件，则应当对字母进行分类讨论.例3 化简：a aa a a a a -+--⨯+-+-123962322. 分析：对于根式的化简，经常采用配方的方法，运用根式的运算性质来解答.解：a a a a a a a -+--⨯+-+-123962322=a aa a a a -+--⨯---123|3|)2)(1(,因为1-a≥0，2-a ＞0,所以a≤1，所以a-1≤0,a -2＜0,a-3＜0. 原式=a a a aa a a a -+--=-+--⨯--•-11123321=0.点评：在根式化简时，一要注意根指数是奇数还是偶数，二要注意被开方数的符号也就是被开方数是正数还是负数，特别是被开方数含有字母，必要时要对字母的取值进行讨论或由题目条件得到字母的取值范围，再进一步对题目所给根式化简. 知能训练一、课本第47页练习1. 解答：1.(1)5a ;(2)43a ;(3)57a ;(4)31a.二、补充练习：1.已知a 、b ∈R ,则等式(a-b)·2)(b a -＝－(b －a)2成立的条件是( ) A.a ＞b B.a ＜b C.a ＝b D.a≤b 解答：D2.下列运算正确的是( )A.(－a 2)3＝(－a 3)2B.(－a 2)3＝－a 5C.(－a 2)3＝a 5D.(－a 2)3＝－a 6 解答：D 3.设n ∈N *,则81[1－(－1)n ](n 2－1)的值( ) A.一定是零 B.一定是偶数 C.是整数但不一定是偶数 D.不一定是整数 解答：B4.若102x ＝25，则10-x 等于( ) A.-51 B.6251 C.501 D.51 解答：D5.625625++-=________________. 解答：32提示：原式＝322323)32()32(22=++-=++-.6.已知实数a 、b 在数轴上所对应的点分别为A(在原点的左边)、B(在原点的右边)，则222)(b a b a -+-＝___________.解答：－2a7.已知3a ＝2，3b ＝5，则32a －b ＝______________. 解答：54 课堂小结1.本节课的主要内容是根式及根式的运算性质.要求掌握的知识内容比较简单，只要能准确理解根式的概念和掌握根式的运算性质，抓住取值的正负情况，有关根式的问题就能很便捷地解决.2.根式的运算性质中，当n 为偶数时，常常将n n a 先写成|a|的形式，然后再根据a 的正负来确定运算结果，如果a 的正负情况不确定，就必须根据a 的正负情况进行分类讨论.3.配方、分母有理化是解决根式的求值和化简等问题时常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想方法. 作业课本第48页习题2.2(1) 1.设计感想根式的概念及其性质是中学阶段重要的知识点之一.通过课堂教学和学生的习题训练，发现学生在运用这一知识时很容易产生错误，特别是n n a 的解答，学生在解题时常常会忘记对于n 取奇数和偶数时的不同，当n 取偶数时还把它当作奇数时来求解.因此，在教学的过程中，一是要注重知识结构的科学传输即根式的由来；二是要强调严密完整的解题步骤，突出当n 为偶数时，必须将n n a 先写成|a|的形式；三是通过不同形式的例题和习题的讲解和训练，强化这一知识点.(设计者：王国冲)第二课时 分数指数幂(二)导入新课设计思路一(复习导入)在上节课中，主要学习了根式的概念及根式的性质，请同学们回忆所学内容.(将相关内容归纳板书)1.n 次实数方根;2.根式的概念;3.根式的性质.设计思路二(习题导入) 完成下列习题：1.若x 3=27，则称x 为27的_________次方根，此时x=_________；若a 4=256，则称a 为256的_________次方根，此时a=_________；(3,3;4,4).2.当n 为奇数时，实数a 的n 次实数方根有_________个，记作_________；当n 为偶数时，正实数a 的n 次实数方根有_________个，记作_________.(1,n a ;2,±n a ). 通过上述习题，复习有关根式的概念及性质，由学生归纳总结，然后板书. 推进新课 新知探究 根式的概念看下列变化过程：因为(24)2=28，所以82=24，又因为4=28，所以82=228.类似地有：5103=3510,4165=5416.由上可知：当m 能n 被整除时，就有n m a =a nm . 一般地，我们规定：a nm=n m a (a ＞0，m ，n 均为正整数). 这就是正数a 的正分数指数幂的意义. 类似负整数指数幂的意义，我们规定：m na=nm a1(a ＞0，m ，n 均为正整数)，且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义. 根据规定，分数指数幂实际上是根式的另一种表示形式，与以前所学的整数指数幂相比，分数指数幂a nm不是nm个a 相乘，而是根式的一种表示方式，因而通过分数指数幂的学习，将指数概念作了推广，即将整数指数推广到了有理数指数. 以前所学的整数指数幂的运算性质仍然保持不变，也就是说原来的整数指数幂的运算性质也推广到了有理数指数的范围，即对于有理数指数幂的运算有如下性质： ①a s ·a t =a s+t ，②(a s )t =a st ，③(ab)s =a s ·b s其中s 、t ∈Q,a ＞0,b ＞0. 应用示例思路1例1 求下列各式的值： (1)10021;(2)832;(3)923-;(4)(811)43-.分析：本题可以先将底数化成幂的形式，如100=102，然后再根据指数运算性质进行运算.解：(1)10021=(102)21=10212⨯=10.(2)832=(23)32=322⨯=22=4.(3)923-=(32)23-=3-3=271. (4)(811)43-=(3-4)43-=33=27.点评：熟练掌握分数指数幂的运算从最基础的入手，能将简单的数字的幂的形式转化为指数形式进行运算.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(a ＞0)： (1)a 2a ;(2)a a .分析：弄清根式与分数指数幂的关系，从而实现根式与分数指数幂的互化. 解：(1)a 2a=a 2a 21=a212+=a 25.(2)a a =(a a )21=(aa 21)21=(a 23)21=a 43.点评：在实际问题中常常将根式化为分数指数幂进行运算，在转化过程中弄清分数指数幂与根式之间的关系，特别是根指数与分数指数之间的关系尤为重要. 例3 求下列各式的值： (1)65312121132)(ba bab a ••••---;(2)1075325555••;(3)111)(---+ab b a ;(4)2)(b a -(a ＞b). 分析：对于既含有根式又含有分数指数幂的式子，把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.如果根式中的根指数不同，也化成分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质进行计算.解：(1)65312121132)(b a bab a ••••---=653121612131-+---•ba=a -1=a1. (2)1075325555••=107215325555••=5107215322555=--+.(3)abab b a ab b a ab b a 1111)(111+=+=+---=a+b. (4)2)(b a -=|a-b|=a-b(a ＞b).点评：根式运算或根式与指数的混合运算时通常将根式化为分数指数幂的形式，这样计算较为方便.另外对于(3)还可以有如下解法：11111111111)()()(---------+=+=+ab ab b ab a ab b a =a+b. 例4 已知x 21+x21-=3，求32232322-+-+--xx x x 的值.分析：注意已知条件和所求结论之间的关系，通过将条件作适当的变形、转化，使所给条件和所求结论统一起来，并注意整体代入方法的恰当应用. 解：由x 21+x 21-=3，得x 23+x23-=(x 21+x 21-)(x+x -1-1)=(x 21+x21-)[(x 21+x21-)2-3]=3×(32-3)=18，x 2+x -2=(x+x -1)2-2=[(x 21+x 21-)2-2]2-2=47，所以，原式＝318247--=3.点评：这道题可以通过已知x 21+x 21-=3解得x 的值，然后将x 代入计算，但这种解法太繁琐，而用整体思想来考虑，则比较简单.整体代换的思想是常见的数学思想.思路2例1 求下列各式的值： (1)432416⨯;(2)63125.132⨯⨯;(3)433)279(÷-;(4)322aa a •(a ＞0).分析：有关根式的运算可以将根式化为分数指数幂的形式，运用分数指数幂的运算性质进行相关运算.解：(1)432416⨯=[24×(234)21]41=(2324+)41=241314•=267=622.(2)63125.132⨯⨯=2×321×(23)31×(3×22)61=231311+-×3613121++=2×3=6.(3)433)279(÷-=(332-323)÷341=332÷341-332÷341=34132--34132-=3125-345=4512533-.(4)322a a a •=a 2·a21-·a32-=32212--a=6565a a=(a ＞0).点评：(1)解既含有分数指数幂又含有根式的问题，一般情况下，都统一将根式化为分数指数幂的形式，从而方便计算;(2)在求值运算时，如果只含有根式，但根指数不同，常常将根式化为分数指数幂的形式，运用分数指数幂的运算性质进行相关的运算. 例2 化简下列各式： (1)ab abab ••-312;(2)4332yxx y y x ••.分析：对于有关根式的运算，只要把根式化成分数指数幂的形式，再运用有理数指数的运算性质进行计算. 解：(1)ab abab ••-312=a 31·b 32·(a 21)31·(b 21-)31·a 21·b 21=a216132216131+-++•b=ab;(2)4332yxx y y x ••=81411813413212)()()(+-=••x y x x y y x ·y 834321-+-=x 87·y 81-=y y x 877. 点评：(1)分数指数幂是指数概念的扩充，分数指数幂的意义并不表示相同因式的乘积，而是根式的又一种表示方法；(2)根式与分数指数幂可以相互转化，根式转化为分数指数幂的形式之后，可以运用有理数指数幂的运算性质进行运算；(3)分数指数幂与根式的运算结果不要求形式的统一，但结果要求不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数. 例3 已知3x +3-x =5，求下列各式的值：(1)9x +9-x ;(2)27x +27-x ;(3)3x -3-x .分析：根据已知条件，寻找结论与条件之间的关系，发现可以通过整体变换来解. 解：(1)9x +9-x =(3x )2+(3-x )2=(3x +3-x )2-2·3x ·3-x =52-2=23; (2)27x +27-x =(3x )3+(3-x )3=(3x +3-x )[(3x )2-3x ·3-x +(3-x )2]=(3x +3-x )(9x +9-x -1)=5(23-1)=110; (3)3x -3-x =±=-+±=+••-±=-----299)3(332)3()33(222x x x xxx x x21±.点评：整体思想是常见的数学思想之一，通过整体代入、整体运算、整体消元、整体合并等方法，可以将运算过程简化，提高解题效率.另外，对于本题，也可以将3x 看成整体作为一个未知数，先求出3x 的值，然后再代入求解，但这种解法较繁琐，是一种不经济的解法.例4 已知x=278-，y=7117，求333131343233232793yx xyx x y xy x -÷-++的值. 分析：本题可以先将x 、y 代入求值，也可以先将所要求值的式子化简再代入计算. 解：因为x≠0， 所以，原式=313131313131323)27(3xy x y x x yx x -⨯-+.又因为x-27y≠0，所以，原式=49)23()32()278()27()3()(22323223331331=-=-=-==-----xy x x y x .点评：在求解本题时，容易出现直接将x 、y 的值代入，进行计算，但这样做不仅运算量大，过程繁杂，而且容易产生错误，不易得到正确的结果.如果先化简，再代入求值，这样解不仅运算方便，而且过程简捷. 知能训练课本第48页练习2、3、4. 答案：2.(1)x 32;(2)x 2y 23;(3)m 23.3.(1)125;(2)1258;(3)6. 4.(1)a 83;(2)x 3y -2;(3)x 2y 34.课堂小结本节课的重点是分数指数幂的概念及分数指数幂的运算性质，难点是根式与分数指数幂的互化，对于分数指数幂其实质是根式的另一种表示形式，所以根式的运算常常利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算来进行.我们在解题时要注意解题的策略，一般是先化简再求值，同时还要注意一些公式特别是乘法公式的灵活运用，从而使运算过程简化，达到事半功倍的效果. 作业课本第48页习题2.2(1)5，6.设计感想由于学生刚刚接触分数指数以及分数指数幂的运算，特别是一下子还不能马上接受分数指数幂是根式的另一种表示形式，因此造成在计算时经常产生错误的结果，所以在教学时要适当地在分数指数幂与根式的关系上多花一些时间，讲清楚分数指数幂实际上是根式的另一种表示形式；另外，由于将整数指数幂推广到了有理数指数幂，因此，在这方面尤其是计算方面要有比较多的变化形式呈现出来，注意与乘法公式的结合，运用整体思想来解决相关问题.习题详解课本第48页习题2.2(1)1.(1)100;(2)-0.1;(3)x-y;(4)-(2x+y).2.(1)原式=a 31+a41=a127；(2)原式=a814121++=a87；(3)原式=a2332+=a613；(4)原式=2132+a·b 23=a 67b 23.3.(1)1.709 976；(2)46.881 700；(3)11.447 609；(4)58 241.224 3.4.(1)原式=a 654332-+=a127；(2)原式=a 4·a 9=a 13；(3)原式=-6a3231+·b3131+-=-6a ；(4)原式=(2a 21)2-(3b 41-)2=4a-9b 21-；(5)原式=(a-a -1)2÷(a-a -1)(a+a -1)=112211+-=+---a a a a a a . 5.因为(a 21-a 21-)2=a-2+a -1=1,所以a 21-a21-=±1.6.(1)x=29. (2)x=24.。

指数函数一、教学目标1、知识与技能：了解指数函数模型的实际背景，掌握指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图象和性质。

2、过程与方法：通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察、分析、归纳猜想的能力,进一步体会数形结合的思想方法.3、情感、态度和价值观：通过对指数函数的研究,让学生体验从特殊到一般的学习规律，认识数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识。

二、教学重点、难点重点：指数函数的图像和性质。

难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。

突破难点的关键：寻找新知识生长点，建立新旧知识的联系，在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。

三、教学方法与手段本节课采用自主探究、合作交流的教学方法，借助多媒体，引导学生观察、分析、归纳、概括，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性。

四、教学过程(一)创设情境问题一、某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂为2个，则1个这样的细胞第一次分裂后变为细胞2个，第2次分裂后就得到4个细胞，第3次分裂后就得到8个细胞， ……分裂次数x 与细胞个数y 有什么关系通过学生观察细胞分裂的过程，探究分裂次数与细胞个数的关系，归纳猜想得到y=2x (x ∈N)问题二、一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%。

求出这种物质的剩留量随时间（单位：年）变化的函数关系。

分析：最初的质量为1，时间变量用x 表示，剩留量用y 表示， 经过1年，y=0.841 经过2年，y=0.842 经过3年，y=0.843…… 经过x 年，y=0.84x (x ∈N*) (二) 引入概念引导学生从结构式、底数、指数三个方面观察y=2xy=0.84x 得到这类函数的特点是底数为常数，指数为 自变量 指数函数的定义：一般地，函数y=a x(a>0,a ≠1,x ∈R)叫做指数函数。

如：函数 y=2x y=(1/2)x y=10x 都是指数函数，它们的定义域都是实数集R ，提醒学生指数函数的定义是形式定义,如y=3×2x y=10x+5不是指数函数讨论： y= a x 在x ∈R 的前提下，为什么规定a>0,a ≠1 (1）若a<0, a x 不一定有意义.如a=-2,当x=1/2,（1）若a=0,则当x>0时，a x =0; x ≤0时，a x 无意义. (3)若a=1,则对于任意x ∈R,a x =1为常量。

第2课时指数函数的图象与性质1.理解指数函数的概念和意义.2.能画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的性质并会简单应用.将一张厚度为1个单位的纸进行对折,对折一次后厚度变为原来的2倍,即纸的厚度变为了2个单位;然后再将其对折,这样第二次对折后纸的厚度变为了22,第三次对折后变为了23,假设可以无限次地对折.问题1:(1)那么第x次后纸的厚度y与x的函数解析式为.(2)一般地,函数叫作指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域为.(3)判断一个函数是否是指数函数,一看底数是否是一个大于0且不为1的常数,二看自变量x 是否是在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.问题2:指数函数的图象有何特点?有哪些性质?函数y=ax(0<a<1) y=ax(a>1)图象性定义域质值域过定点单调性在R上是减函数在R上是增函数问题3:为什么指数函数的概念中规定a>0,且a≠1?因为当a=0时,ax总为或;当a<0时,如a=-2,x=,ax=(-2=显然没意义;当a=1时,ax恒等于,没有研究必要.因此规定a>0,且a≠1.问题4:(1)函数y=2x与函数y=()x的图象有什么特点?(2)函数y=ax(a>0,a≠1)随着底数a的变化,图象有什么变化?随着底数取值的不同,函数的增长情况也不同,你能得出什么规律呢?(3)y=ax与y=ax+m(a>0,a≠1,m∈R)之间有什么关系?(1)函数y=2x的图象与函数y=()x的图象关于对称.(2)当a>1时,底数越大,图象得越快,在y轴的侧,图象越靠近y轴;当0<a<1时,底数越小,图象得越快,在y轴的侧,图象越靠近y轴.(3)y=ax+m的图象可以由y=ax的图象变换而来.当m>0时,y=ax的图象向移动m个单位得到y=ax+m的图象.当m<0时,y=ax的图象向移动|m|个单位得到y=ax+m的图象.1.下列以x为自变量的函数中属于指数函数的是.①y=(a+1)x(a>-1且a≠0,a为常数);②y=(-3)x;③y=-2x;④y=3x+1.2.函数y=2-x的图象是图中的.3.函数y=的定义域为.4.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).若f(x)的图象如图所示,求a,b的值.指数函数的概念函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.对指数函数图象和性质的简单应用若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三四象限,则一定有.①0<a<1,且b>0;②a>1,且b>0;③0<a<1,且b<0;④a<1,且b>0.(2)比较下列各题中两个值的大小;①3π与33.14;②0.99-1.01与0.99-1.11;③1.40.1与0.90.3.指数函数的实际应用问题某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x的本利和(本金加上利息)为y元.(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式;(2)如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.若函数y=(4-3a)x是指数函数,则实数a的取值范围为.(1)函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点.(2)设y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5,则三者间的大小关系为.(3)指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象如图所示,则a,b,c,d与1的大小关系是.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,求y关于x的函数解析式.1.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是.①a>1,b<0;②a>1,b>0;③0<a<1,b>0;④0<a<1,b<0.2.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A B.3.指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是.4.已知指数函数y=f(x)的图象过点M(3,8),求f(4),f(-4)的值.(2012年·四川卷)函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是().考题变式(我来改编):第2课时指数函数的图象与性质知识体系梳理问题1:(1)y=2x(x∈N*)(2)y=ax(a>0,且a≠1)R问题2:R(0,+∞)(0,1)问题3:0没有意义 1问题4:(1)y轴(2)上升右下降左(3)左右基础学习交流1.①根据指数函数的定义判断,填①.2.②y=2-x=()x.3.[3,+∞)由题意可知x-3≥0,即x≥3.4.解由图象得,函数f(x)过点(2,0),(0,-2),所以解得重点难点探究探究一:【解析】由y=(a2-3a+3)ax是指数函数,可得解得∴a=2.【小结】判断一个函数是否为指数函数或求指数函数中未知数的值或取值范围时,要紧扣指数函数的概念,特别要注意底数的取值范围.探究二:【解析】(1)根据题意画出函数y=ax+b-1(a>0,且b<0)的大致图象(如图),所以0<a<1且1+b-1<0,即0<a<1且b<0,故填③.(2)①构造函数y=3x,由a=3>1,知y=3x在(-∞,+∞)上是增函数.而π>3.14,故3π>33.14.②构造函数y=0.99x,由0<a=0.99<1,知y=0.99x在(-∞,+∞)上是减函数.而-1.01>-1.11,故0.99-1.01<0.99-1.11.③分别构造函数y=1.4x与y=0.9x.由1.4>1,0<0.9<1,知y=1.4x与y=0.9x在(-∞,+∞)上分别为增函数和减函数.由0.1>0,知1.40.1>1.40=1.由0.3>0,知0.90.3<0.90=1,而1.40.1>1>0.90.3,故1.40.1>0.90.3.【答案】(1)③【小结】(1)如果本题改为函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)过第一、三、四象限那么参数a,b会取怎样的值呢?事实上,应满足a>1且b<0.当然本题也可按照我们后面将要研究的图象平移变换的规律来考虑.(2)注意③的指数式的底数和幂指数都不同,可考虑引入中间值进行比较.探究三:【解析】(1)已知本金为a元,利率为r,则1期后的本利和为y=a+a×r=a(1+r);2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)·r=a(1+r)2;3期后的本利和为y=a(1+r)3;…x期后的本利和为y=a(1+r)x,x∈N*.(2)将a=1000元,r=2.25%,x=5代入上式得y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1.117.68(元), 即5期后本利和约为1117.68元.【小结】指数型函数,形如y=kax(k∈R,a>0且a≠1)的函数称为指数型函数,它是一个常见的指数增长模型,如设原有量为N,平均增长率为P,则经过时间x后的总量为y=N(1+P)x.思维拓展应用应用一:{a|a<且a≠1}y=(4-3a)x是指数函数,需满足:解得a<且a≠1,故a的取值范围为{a|a<且a≠1}.应用二:(1)(3,4)(2)y1>y3>y2(3)b<a<1<d<c(1)(法一)因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),所以在函数y=ax-3+3中,令x=3得y=1+3=4,所以函数的图象过定点(3,4).(法二)将原函数变形,得y-3=ax-3,然后把y-3看作是(x-3)的指数函数,所以当x-3=0时,y-3=1,即x=3,y=4,所以原函数的图象过定点(3,4).(2)y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=()-1.5=21.5.因为函数y=2x在R上是增函数,且1.8>1.5>1.44,所以y1>y3>y2.(3)作直线x=1,与四个图象分别交于A、B、C、D四点,由于x=1代入各个函数可得函数值等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知b<a<1<d<c.应用三:设该乡镇现在人口数量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克.1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口数量为M(1+1.2%),则人均一年占有粮食为千克,2年后,人均一年占有粮食为千克,……x年后,人均一年占有粮食为y=千克,即所求函数解析式为y=360()x(x∈N*).基础智能检测1.④由图知函数f(x)是减函数,∴0<a<1.函数f(x)=ax-b的图象是由y=ax向左平移所得,∴-b>0,即b<0,故选④.2.⫋集合A表示函数y=2x的值域为(0,+∞),集合B表示函数y=x2的值域为[0,+∞),所以A⫋B.3.(1,2)由题意可知,0<2-a<1,即1<a<2.4.解:设指数函数是y=ax(a>0,且a≠1),则有8=a3,∴a=2,∴y=2x.从而f(4)=24=16,f(-4)=2-4=.全新视角拓展D(法一)当a>1时,函数单调递增,由于0<<1,函数图象应该向下平移不超过1个单位,根据选项排除A、B;当0<a<1时有>1,此时函数图象向下平移超过1个单位,也即是与y轴交点应该在x轴下方,所以选择D.(法二)由解析式知函数图象过点(-1,0),所以选D.思维导图构建减函数增函数R(0,1)。