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《生物统计学》方差分析课件

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生物统计第六章方差分析PPT课件

生物统计第六章方差分析PPT课件

这里所测验的统计假设是H0：σt2σe2或μA=μB=μC=μD对HA： σt2＞σe2或μA、μB、μC和μD间存在差异（不一定μA、μB、μC和 μD间均不等，可能部分不等。）
不同药剂处理水稻苗高的方差分析表
变异来源 df
药剂处理间 3 药剂处理内 12
总变异 15
SS
504 98 602
MS F
为此D.B.Duncan提出了新复极差法，又称最小显著极差法 （shortest significant ranges,SSR） 。
第二节 多重比较
其方法是把多个样本中两个极端平均数的差数当作极差对待，如 果极差不显著，则包括在这两个极端处理平均数间的各处理平均 数的任何成对比较，其差异也是不显著的。极差是否显著用极差 相当于均数标准差的倍数：SSR=R/S 式中R为y 极差，SSR为极 差相当于均数标准差的倍数 。
第一节 方差分析的基本原理
2、求均方,进行F测验,列方差分析表
求均方
MSt
SSt dft
504168 3
MSe
SSe dfe
988.17 12
第一节 方差分析的基本原理
F分布与F测验
从一个正态总体N (μ，σ2）中，分别随机抽取两个 独立样本，分别求得其均方S21和S22 ，将S21和S22 的比值定义为F：
F ( 1 , 2 )
s 12
s
2 2
第一节 方差分析的基本原理
不同自由度下的F分布曲线
第一节 方差分析的基本原理
F分布的特点：
1、是平均数 F 1 ，取值区间为[0，∞）的一组曲线；
2、在 11和2 2F分布是反向J型，在 1 3 时，曲线转为偏态；
3、F分布下一定区间的概率可以通过书中的附表5查得。

生物统计上机操作第五讲 方差分析

生物统计上机操作第五讲 方差分析

研究生《生物统计学》课程第五讲方差分析主要内容：一、单因素方差分析二、两因素方差分析三、多因素方差分析一、单因素方差分析[Analyze]=>[Compare Means]=>[ One-Way ANOV A]（1）建立数据文件，在Variable Vew中定义变量“饲料”、“增重”，“饲料”小数位数为0，用1、2、3、4分别代表甲、乙、丙、丁4种饲料。

输入数据。

（2）方差分析：[Analyze]=>[Compare Means]=>[ One-Way ANOVA]，打开[One-Way ANOVA]主对话框。

选定“增重”使之进入[Dependent List]（样本观测值）框，选定“饲料”使之进入[Factor]（因素）框（3）单击[Options]进入“选项”对话框，选择[Descriptive]要求输出描述统计量，[Homogeneity of Variance tese]（方差齐性检验），[Continue]返回；（4）单击[Post Hoc]打开[One-Way ANOV A: Post Hoc Multiple Comparisions]（单因素方差分析：验后多重比较）对话框，可选择确定多重比较方法，如LSD法、Duncan 法，[Continue]返回；（5）单击[OK]，运行单因素方差分析。

结果显示：方差分析表：（P＝0.005<0.01 不同饲料对鱼增重的作用差异极显著）多重比较：LSD法（解释：甲与其他三种饲料都具有显著差异，乙、丙、丁间差异不显著）Duncan法（解释：用Duncan法划分的相似性子集，在显著性水平为0.05的情况下，第一组包括丙乙丁，组内相似的概率为0.123；第二组包括甲，说明甲的均值与其他三个具有显著性差异）2、练习：某灯泡厂用四种配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿命（单位：小时），数据如下：问不同灯丝制成的灯泡的使用寿命是否有显著差异，存在差异则做多重比较。

生物统计附试验设计第九章协方差分析ppt课件

生物统计附试验设计第九章协方差分析ppt课件
生物试验目的是验证处理效应是否真 实存在，所以应对试验误差进行控制，并 对变异来源进行刨析。其中试验条件的影 响是最大因素。
协方差分析有二个意义 ， 一是对试 验进行统计控制，二是对协方差组分进行 估计。
一、对试验进行统计控制
为了提高试验的精确性和准确性 ，对 处理以外的一切条件都需要采取有效措施严 加控制，使它们在各处理间尽量一致，这叫 试验控制。但在有些情况下，即使作出很大 努力也难以使试验控制达到预期目的。例如： 研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试 验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不 同，将影响到猪的增重。
统计学已证明：两个变量的总乘积和与自 由度也可按变异来源进行剖分而获得相应的 均积。这种把两个变量的总乘积和与自由度 按变异来源进行剖分并获得获得相应均积的 方法亦称为协方差分析。
在随机模型的方差分析中，根据均方MS 和期望均方 EMS的关系， 可以得到不同变 异来源的方差组分的估计值。同样，在随机 模型的协方差分析中，根据均积 MP 和期望 均积 EMP 的关系，可 得 到 不同变异来源 的协方差组分的估计值。有了这些估计值， 就可进行相应的总体相关分析。这些分析在 遗传、育种和生态、环保的研究上是很有用 处的。
12
4 12
=1.64
dft(x,y) =k-1=4-1=3
3、处理内乘积和与自由度
SPe SPT SPt 8.25 1.64 6.61
dfe(x,y) dfT (xv) dft(xv) 47 3 44
平方和、乘积和与自由度的计算结果列 于表10-3。
表10-3 x与y的平方和与乘积和表
732.50 63.15 550.50 8.25 412
dfT ( x, y) =kn-1=4×12-1=47

生物统计学课件方差分析一

生物统计学课件方差分析一
详细描述
例如，研究不同品种的玉米在不同施肥条件下产量的差异。通过单因素方差分析 ，可以判断不同品种的玉米在相同施肥条件下是否存在显著产量差异。
双因素方差分析实例
总结词
用于比较两个分类变量与一个连续变量的关系
详细描述
例如，研究不同饲料类型和不同饲养密度对猪生长速度的影响。通过双因素方差分析，可以判断饲料类型和饲养 密度对猪生长速度是否存在显著影响。
判断差异显著性
根据F值和概率P值判断各组间是否 存在显著差异。通常，如果P值小于 预设的显著性水平（如0.05），则认 为各组间存在显著差异。
如果拒绝零假设，则需要进行进一步 的组间比较或使用其他统计方法来了 解差异的性质和方向。
04 方差分析的应用实例
单因素方差分析实例
总结词
用于比较一个分类变量与一个连续变量的关系
02 方差分析的数学模型与假 设检验
方差分析的数学模型
数学模型建立
方差分析通过建立数学模型，将 多组数据之间的差异分解为组间 和组内两部分，以评估各组之间 的差异是否具有统计学显著性。
线性模型
方差分析所使用的数学模型通常是 线性模型，将数据的变化与自变量 关联起来，以解释和预测因变量的 变化。
模型假设
方差齐性
各组数据的方差应大致相等，避免 出现极端值或离群点。
03
02
正态性
数据应符合正态分布，否则可能需 要采用其他统计方法。
样本量
确保样本量足够大，以提高统计检 验的效能和准确性。
04
方差分析的局限性
前提假设严格 交互作用 多元比较
Байду номын сангаас异常值影响
方差分析的前提假设较为严格，如正态分布、方差齐性和独立 性等，如果不能满足这些假设，结果可能不准确。

生物统计学 第六章 方差分析

生物统计学 第六章 方差分析

������������������
������
F分布右尾从F 到+∞的概率为：
P( F F ) 1 F ( F )
F
f ( F )dF
方差分析
图6-1 F分布密度曲线
F分布的取值范围是(0，+∞)，其平均值为������������ =1。 附表4列出了不同自由度条件下的右尾概率。 应用举例 当������������1 =3, ������������2 =18时，������0.05(3,18) =?? 方差分析
方差分析
第四步
列出方差分析表 方差分析表
平方和 （SS） 24.3215 0.0060 24.3275 自由度 (df) 3 16 19
变异来源 处理间 处理内 总变异
均方(MS) 8.1072 0.0004
F值 20268**
方差分析
5.多重比较 F检验的结果显著，仅说明k个平均数间有显著差异， 但不能说明哪些平均数间有显著差异。 定义：判断不同处理平均数两两间差异的显著性， 每个处理的平均数都要与其他的处理进行比较， 这个种差异显著性检验方法就叫做多重比较。 方法：主要有（1）最小显著差数法LSD，（2） 最小显著极差法LSR（q检验法和邓肯检验法）
方差分析
线性数学模型 ������������������ = ������ + ������������ + ������������������ ������������������ = ������.. + (������������. − ������.. ) + (������������������ − ������������. ) kn观测值的总变异=处理间的变异+处理内的变异 其中第i处理j个观测值分解为：全试验观测值总体的 平均数(������)、第i个处理的效应(������������ )和试验误差(������������������ )。 ������������������ 相互独立且服从正态分布，所以各处理A������ 所属总 体也服从正态分布N(������������ ，������ 2 )。 基本假定 效应的可加性、分布的正态性、方差 的同质性（各处理的方差相等）。

生物统计课件第9章 协方差分析

生物统计课件第9章 协方差分析

P195 习题3
三种日投饵量，测定初始体长（x，cm）与试验结束 时体长（Y，cm），作协方差分析。
请同学们思考，如何输入数据：
（1）输入数据与选择数据： （2）菜单： （3）结果分析：
• 初始体重x与最终体重y之间的回归显著性分析 • 不同日投饵量的差异显著性分析 • 平均值校正 • 平均值多重比较
回归协方差分析
（1）三个回归系数b差异显著性检验：p=0.5870，没有显著差 异，可以用共同的回归系数0.0127 （2）三个回归截距差异显著性检验：p=0.0000，差异非常显 著，需要用三个不同的截距：
y1=0.3446+0.0127x y2=1.4413+0.0127x y3=1.1707+0.0127x
平均值校正后，消除初始体长x的影响，三种投 饵水平下，投饵量1的最终体长为6.9371，投饵量2 为7.9377，投饵量3为7.3451。投饵量2最好。
多重比较结果为：三种投饵水平导致最终体长的 差异都是非常显著的（p<0.01).
回归协方差分析
（1）三个投饵水平下，建立三条直线回归方程，对三个回归 系数b差异显著性进行检验：p=0.1885>0.05，没有显著差异， 可以用共同一个回归系数（b=0.9227） （2）三个回归截距a的也有非常显著的差异：p=0.000<0.01， 需要用三个不同的a。
协变量x：1个，草鱼初始重
DPS法 （1）输入数据与选择数据：
DPS法 （2）菜单：
DPS法 （3）对话框：
配方有3个：因此处理A个数为3； 协变量x为初始重，1个。
DPS法
（4）结果：
• 初始重X与草鱼日增重Y的 存在回归关系，可以用方程 y=0.2222+0.0199x表示， R=0.55886，效果不好，这 是因为把所有数据当作一个 样本来处理，由于忽略了三 种饲料的差异。

《生物统计》教学课件：010 协方差分析

《生物统计》教学课件：010 协方差分析

试分析第二年分别施用三种肥料的产量 Y是否
有显著的差异?
方差分析表（y）
方差来源 平方和
组间 组内 总和
60.750 830.875 891.625
自由度
2 21 23
均方和 F值 显著性
30.375 0.77 N
39.565
方差分析表（x）
方差来源 平方和
组间 组内 总和
356.083 589.75 945.833
13.75 0.82 18.63 0.98 25.38 0.97
饲料
xi j
j
x i
x
2 i
j
yi j y i
j
j
y
2 i
j
xij yij
j
j
A 110 13. 75 1544 6. 54 0. 8175 5. 3952 91. 03 B 149 18. 63 2803 7. 84 0. 98 7. 7016 146. 67 C 203 25. 375 5267 7. 75 0. 9688 7. 5645 199. 11 和 462 19. 25 9614 22. 13 0. 9221 20.6613 436. 81
自由度
2 21 23
均方和 F值 显著性
178.042 6.34 **
28.083
y 差异不显著， x 差异极显著，不能说明三种肥料的 增产效果没有差异，差异与基础生产力（x）有关。
方差分析表（y校矫正前）
方差来源 平方和
组间 组内 总和
60.750 830.875 891.625
自由度
2 21 23
j
yi
j
1 rs
(

生物统计学各处理重复数不等的方差分析课件PPT

生物统计学各处理重复数不等的方差分析课件PPT
表6.15 表6.14资料的方差分析
(3) 平均数的比较 ① 各处理组合平均数的比较：肥类×土类的互作显著，说 明各处理组合的效应不是各单因素效应的简单相加，而是肥 类效应随土类而不同(或反之)；所以宜进一步比较各处理组 合的平均数。在此用新复极差测验，求得： 根据ν =18，算得各LSR0.05和LSR0.01的值于表6.16。
表6.16 表6.15资料各处理组合平均数的LSR值(新复极差测验)
表6.16 表6.14资料各处理组合平均数的新复极差测验
② 各肥类平均数的比较：肥类间的F测验极显著。求得肥类 平均数的标准误：
故有各肥类平均数的LSR 值表6.17，显著性测验结果表6.18 。
表6.17 表6.14资料肥类平均数的LSR值
表6.18 表6.14资料各肥类平均数的新复极差测验
由表6.18可见，肥料A1与A3、A2均有极显著的差异；但A3 与A2无显著差异。
综上所述，表6.14试验结果的基本信息是：肥料A1对小麦 的增产效果最好，土类间则无显著差异；但A1施于B1(A1B1)却 比施于其他土壤上更有突出的增产效果。
因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数n0
根据dfe=20，秩次距k=2,3,4,5，从附表6中查出α=0.05 与α=0.01的临界SSR值，乘以 S x =0.63，即得各最小显著 极差，所得结果列于表6.8。 表6.8 SSR值及LSR值表
将各平均数差数与表6.8中相应的最小显著极差比
二、各处理重复数不等的方差分析
【例6.2】 5个不同品种猪的育肥试验，后期30天增
重(kg)如表6.6所示。试比较品种间增重有无差异。 表6.6 5个品种猪30天增重
品种 增重 (kg) ni 6 6 5

生物统计学-方差分析ppt课件

生物统计学-方差分析ppt课件

精选课件
16
一、相关术语
• 试验单位(Experimental unit)：试验载体，即根据研 究目的而确定的观测总体
• 重复(Repetition)：一个处理实施在两个或者两个以 上的试验单位上，称为处理有重复。 试验单位数称为处理的重复数
精选课件
17
二、方差分析的基本原理
方差分析是关于k(k≥3)个样本平均数的假设测
2）由于只能大于30mm才能合格，故单尾检验
解：（1）假设 H0:030，即该棉花品种纤维长度不能达到
纺织品生产要求含量。对 HA:0
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算 s s 2.5 0.125
x n 400
x 3.023.00
u
1.6
s
0.125
x
（4）推断 u<u0.05=1.64, P>0.05 ,显著水平上接受H0，拒绝HA。
精选课件
9
方差分析由英国统 计学家R.A.Fisher首创，
为纪念Fisher，以F命名， 故方差分析又称 F 检 验 （F -test）。用于推
断多个总体均数有无差 异
精选课件
10
方差分析的定义
方差分析是对两个或多个样本平均数差异显著性 检验的方法。它是将测量数据的总变异按照变异 来源分解为处理效应和试验误差，并做出其数量 估计。
株号
1 2 3 4 5 和
表 2－1
Ⅰ 64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5
5个小麦品系株高调查结果
株
高
Ⅱ
64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0
Ⅲ
76.8 66.3 67.1 66.8 68.5 336.5

生物统计学各处理重复数不等的方差分析课件PPT

生物统计学各处理重复数不等的方差分析课件PPT
表6.16 表6.15资料各处理组合平均数的LSR值(新复极差测验)
表6.16 表6.14资料各处理组合平均数的新复极差测验
② 各肥类平均数的比较：肥类间的F测验极显著。求得肥类 平均数的标准误：
故有各肥类平均数的LSR 值表6.17，显著性测验结果表6.18 。
表6.17 表6.14资料肥类平均数的LSR值
二、各处理重复肥试验，后期30天增
重(kg)如表6.6所示。试比较品种间增重有无差异。 表6.6 5个品种猪30天增重
品种 增重 (kg) ni 6 6 5
B1
B2 B3
21.5
16.0 19.0
19.5
18.5 17.5
20.0 22.0 18.0 20.0
ix表665个品种猪30天增重1计算各项平方和与自由度2列出方差分析表进行f检验变异来源平方和自由度均方f值值f临界值显著性品种间465041163599f005420287f001420443品种内388420194总变异8534表675个品种育肥猪增重方差分析表3多重比较因为各处理重复数不等应先计算出平均重复次数n0根据dfe20秩次距k2345从附表6中查出005与001的临界ssr值乘以063即得各最小显著极差所得结果列于表68xs表68ssr值及lsr值表将各平均数差数与表68中相应的最小显著极差比较作出推断
(1) 自由度和平方和的分解 根据上表，将各项变异来源的自由度填于表6.15。以下 分解平方和，求得：
(2) F 测验
将上述结果录于表6.15， 求得肥类×土类间的F=4.81/0.928 =5.18＞F0.01； 求得肥类间的F=89.69/0.928=96.65＞F 0.01； 求得土类间的F=1.98/0.928=2.13＜F0.05。 所以该试验肥类×土类的互作和肥类的效应间差异都是 极显著的，而土类间无显著差异。

《生物统计》教学课件：07 方差分析-双因素

《生物统计》教学课件：07 方差分析-双因素

(X .j . X )2
(X i j . X i .. X. j . X )2
i jk
i jk
( X i j k X i j.)2 i jk
记作SST=SSA + SSB+SSAB+ SSE 。
处理平方和
SSt
(X i j. X )2
i jk
SSt
(X i j. X )2
因素A 332. 25 3
因素B 10. 5
2
误差
3. 5
6
总和 346. 25
110. 75 190. 95 **
5. 25 9. 05
*
0. 58
F 0.05 (3, 6) 4.76 , F 0.01(3, 6) 9.78 , F 0.05 (2, 6) 5.14 , F 0.01(2, 6) 10.92
例比较四种酶在不同温度下的催化效率：温度水
平有偏低、适宜、偏高，2小时后测定底物消耗 量，试作系统分组的方差分析。
酶A1
酶A2
酶A3
酶A4
低1 适1 高1 低2 适2 高2 低3 适3 高3 低4 适4 高4
14.4 15.9 13.8 13.5 15.1 15.7 14.5 16.4 15.8 11.2 12.5 10.3 15.2 15.1 12.9 14.4 16.4 14.8 16.3 18.1 14.7 9.8 10.9 11.4 13.5 14.4 14.6 15.2 15.8 16.0 15.4 16.7 14.1 10.5 11.6 9.9
2 5.25
9
6 0.583333
总计
346.25
11
7.2 双向交叉分组有重复资料的数据结构

生物统计学课件单因素方差分析

生物统计学课件单因素方差分析

(i
)]2
n a 1
E[
a i 1
( i.
..)2
2
a i1
( i.
..) (i
)
a i 1
(i
)2
]
处理均方的数学期望
n [E a 1
a i1
(i. )2
a
E
(
2 ..
)]
n a 1
a
2 i
i1
n (a 2
]
i 1
( E(ij ) 0,
E
(
2 ij
)
2
)
1 (an 2 na 2 )
an a
n
2
处理均方的数学期望
E ( MS A
)
a
1 1
E(SSA
)
1
a
E[
a 1 i1
n
( xi.
j1
x..)2 ]
1 a 1
E[n
a i 1
(
i
i.
..)2
]
n a 1
E
a i 1
[( i
..)
均方
称为处理间均方
MS A
SSA a 1
称为误差均方
MSe
SSe a(n 1)
为了估计σ2，除以相应的自由度而得到的
误差均方数学期望
E(MSe )
1 na
a
E(SSe )
1
a
E[
an a i1
n
( xi j xi. )2 ]
j1
1 an a
a
E[
i1
n i1
(
i
ij
i
i. )2 ]

第三节 两因素完全随机设计试验资料的方差分析 《生物统计学》课件

第三节 两因素完全随机设计试验资料的方差分析 《生物统计学》课件
N(0，σ2)。
上一张 下一张 主 页 退 出
(αβ)ij为Ai与Bj的互作效应
()ij ij i. . j
i , j , ij 分别为Ai、Bj、AiBj观测值总体
平均数；且
a
b
Байду номын сангаас
n
b
ab
i 0, j 0, ( )ij ( )ij
( )ij 0
i1
j 1
i1
j 1
i1 j1
上一张 下一张 主 页 退 出
因试验资料的总变异可分解为水平组合间 变异与水平组合内变异 即 误差两部分 ，若 记
A、B 水平组合间的平方和与自由度为 SSAB， dfAB，则两因素有重复观测值试验资料方差分
析平方和与自由度的分解式可表示为 :
SST SSAB SSe
dfT dfAB dfe
αi=μi-μ，βj=μj-μ
μi、μj分别为Ai、Bj观测值总体平均数，
且Σαi=0,Σβj=0; εij 为随机误差 ，相互独立 ，且服从
N (0，σ2)。
上一张 下一张 主 页 退 出
两因素交叉分组单个观测值的试验资料，
A因素的每个水平有b次重复，B 因素的每个 水平有a次重复，每个观测值同时受到A、B
上一张 下一张 主 页 退 出
A的效应随着B因素水平的不同而不同，反 之亦然，此时称A、B两因素间存在交互作用， 记为A×B。
或者说，某一因素的简单效应随着另一因 素水平的变化而变化时，则称该两因素间存在 交互作用。
互作效应可由(A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2来估计。
表5-28中的互作效应为： (470+512-480-472)/2=15

生统方差分析课件

生统方差分析课件
2024/8/2
三、方差分析的作用
方差分析有助于发现影响生物某性状 发生变异的各种因素在总变异中所占的比 重大小。从而分清主要因素与次要因素， 指导生产和试验。
1、在单因素试验中，可以分辨出最优 水平。
2、在多因素试验中，可以分辨出最优 水平组合。
2024/8/2
第一节 方差分析基本原理与步骤
一、 数学模型与基本假定 二、 平方和与自由度的分解 三、 F检验 四、 多重比较
值，只能通过试验结果中各处理均数的差异
去估计。
然而，
(xi.x..)2 k 1
并非
2
的无偏估计。
2024/8/2
因为各处理均数间的差异来源于两方面： 一是各处理所在总体μi本质不同，二是平均 数的抽样误差。统计学已证明：
处理间均 (xki.方 1x..2)是 (2n2)
的无估 偏计。
所以处理间总均方MSt实际上是 n2 2
STS (xijx..2) xi2jxn.2 .k
dfT=nk-1
2024/8/2
2、处理间平方和与自由度
处理间平方和指各处理的平均数与总平 均数的离差平方和的和，它反映重复n次的
各处理平均数 x i . 的总变异程度。即
SSt n
(xi
x)2
n(xi.2
(xi.)2) k
n(xi2. (xi.)2)1(
⑤-5.3 -4.3 -10.3 -5.3 -6.3 -6.3 -6.3 -6.3
xij xi.
-3 3 1 -1 2.5 -0.5 -3.5 1.5 2.5 -0.5 -3.5 1.5 0.5 1.5 1.5 -3.5 1 2 -4 1
SST=402.2 dft=19
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生物统计学
第八章 方差分析
第一节 方差分析的基本问题 第二节 单因素方差分析 第三节 双因素方差分析
学习目标
1. 解释方差分析的概念 2. 解释方差分析的基本思想和原理 3. 掌握单因素方差分析的方法及应用 4. 掌握双因素方差分析的方法及应用
第一节 方差分析的基本问题
一. 方差分析的内容 二. 方差分析的原理 三. F 分布
至少有一个总体的均值是不同的 有系统误差
这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体
f(X)
X
1 2 3 4
第二节 单因素方差分析
一. 单因素方差分析的步骤 二. 方差分析中的多重比较 三. 单因素方差分析中的其他问题
3. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平
之间存在着显著差异
方差分析中的基本假定
方差分析中的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布 ▪ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分
布总体的简单随机样本
▪ 例如，每种变异的草莓株高必须服从正态分布 2. 各个总体的方差必须相同
▪ 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取 ▪ 例如，四种变异的草莓株高的总体方差都相同 3. 观察值是独立的 ▪ 每个编号样本的株高都与其他编号样本的株高独立
（几个基本概念）
1. 试验 ▪ 这里只涉及一个因素，因此，称为单因素四水平的试验
2. 总体 ▪ 因素的每一个水平可以看作是一个总体 ▪ 比如，A1、A2、A3、 A4四种变异，可以看作是四个总体
3. 样本数据
▪ 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据
方差分析的基本思想和原理
比较两类误差，以检验均值是否相等 比较的基础是方差比 如果系统(不同水平或处理)误差显著地不同于随
机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是 相等的 误差是由各部分(同一水平内和各水平间)的误差 占总误差的比例来测度的
方差分析的基本思想和原理
（两类误差）
1. 随机误差
▪ 在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间
的差异
▪ 比如，同一种变异的草莓不同抽样个体的株高是不同的 ▪ 不同抽样个体株高的差异可以看成是随机因素的影响，或
什么是方差分析?
（一个例子）
【例8.1】某农场培育出一种新型草莓品种。在该草莓新品种的培育过程 中，由于遗传变异产生了四个异化的变种，分别为变种A1、变种A2、变 种A3 和变种A4。这四个变种的种植环境和管理措施等可能影响其生长的 因素全部相同。现希望了解变异对株高的影响，调查数据见表8-1。试分 析该品种草莓的变异是否对株高产生影响。
（两类方差）
1. 组内方差
▪ 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 ▪ 比如，变种A1的5个样本株高的方差 ▪ 组内方差只包含随机误差
2. 组间方差
▪ 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 ▪ 比如，A1、A2、A3、A4四个变种株高之间的方差 ▪ 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
（几个基本概念）
1. 因素或因子 ▪ 所要检验的对象称为因素或因子 ▪ 要分析遗传变异对草莓株高是否有影响，变异是要检
验的因素或因子
2. 水平
▪ 因素的具体表现称为水平 ▪ A1、A2、A3、 A4四种变异就是因素的水平
3. 观察值
▪ 在每个因素水平下得到的样本值 ▪ 每种变异的株高就是观察值
方差分析的基本思想和原理
方差分析中的基本假定
1. 在上述假定条件下，判断变异对株高是否有显 著影响，实际上也就是检验具有相同方差的四 个正态总体的均值是否相等的问题 。
2. 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近。
▪ 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
相等的证据也就越充分
▪ 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据
就越充分
方差分析中基本假定
如果原假设成立，即 H0: 1 = 2 = 3 = 4
四种变异草莓的株高的均值都相等 没有系统误差
这意味着每个样本都来自均值为、方差为2的 同一正态总体 。
f(X)
X
1 2 3 4
方差分析中基本假定
如果备择假设成立，即H1: i (i=1，2，3，4)不全相等
表8-1 某草莓四个变种的株高（cm）调查结果
株号 变种A1 变种A2 变种A3 变种A4
1
26.5
31.2
27.9
30.8
2
28.7
28.3
25.1
228.5
32.4
4
29.1
27.9
24.2
31.7
5
27.2
29.6
26.5
32.8
什么是方差分析?
（例子的进一步分析）
1. 检验变异对草莓株高是否有影响，也就是检 验四个变种的平均株高度是否相同
方差分析的基本思想和原理
（方差的比较）
1. 如果不同变异(水平)对株高(结果)没有影响，那么
在组间方差中只包含有随机误差，而没有系统误 差。这时，组间方差与组内方差就应该很接近， 两个方差的比值就会接近1
2. 如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除
了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时 组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方 差的比值就会大于1
者说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差
2. 系统误差
▪ 在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 ▪ 比如，同一抽样编号，不同变异的草莓株高也是不同的 ▪ 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由
于变异本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素
造成的，称为系统误差
方差分析的基本思想和原理
2. 设1为变种A1的平均株高，2为变种A2的平 均株高，3为变种A3的平均株高，4为变种 A4的平均株高，也就是检验下面的假设
▪ H0: 1 2 3 4 ▪ H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等
3. 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
方差分析的基本思想和原理
方差分析的基本思想和原理
什么是方差分析？
(Analysis of Variance, ANOVA)
什么是方差分析?
(概念要点)
1. 检验多个总体均值是否相等
▪ 通过对各观察数据误差来源的分析来判断多个
总体均值是否相等
2. 变量
1个定类尺度的自变量
2个或多个 (k 个) 处理水平或分类
1个定距或比例尺度的因变量
3. 用于分析完全随机化试验设计