分式的加减法[下学期]--北师大版-

在五年级下册的数学教材中，分式的加减法计算是一个重要的内容。

我们将通过详细的解析和例题讲解，帮助学生深入理解和掌握这一知识点。

首先，我们来回顾一下分式的基本概念。

分式是由分子和分母组成的数，分母不能为0。

例如：$\frac{1}{2}$，其中分子是1，分母是2在分式的加减法计算中，要求分母相同，即分母是相同的数。

如果两个分式的分母不同，我们需要通过通分的方式将其转化为相同分母，然后再进行计算。

例如：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ，分母不同，需要通过通分转化为相同分母。

这里可以取6作为最小公倍数，即$\frac{1}{2} =\frac{3}{6}$，$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$。

所以$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} =\frac{5}{6}$。

接下来，我们通过一些例题来进一步巩固这一概念：例题1：计算$\frac{2}{5} + \frac{3}{5}$。

解答：由于分母相同，直接将分子相加即可。

$\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{2+3}{5} = \frac{5}{5} =1$。

例题2：计算$\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$。

解答：分母不同，需要通过通分转化为相同分母。

取12作为最小公倍数，即$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$，$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$。

所以$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} =\frac{7}{12}$。

例题3：计算$\frac{2}{3} - \frac{1}{6}$。

解答：分母不同，需要通过通分转化为相同分母。

取6作为最小公倍数，即$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$，$\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$。

分式的加减法教案北师大版(优秀教案)_分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)（分式的加减法）教案●教学目的〔一〕教学知识点.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用..简单的异分母的分式相加减的运算.〔二〕能力训练要求.经历用字母表示数量关系的经过，发展符号感..会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的考虑及其语言表达能力.〔三〕情感与价值观要求.从现实情境中提出问题，提高“用数学〞的意识..结合已有的数学经历，解决新问题，获得成就感以及克制困难的方法和勇气.●教学重点.同分母的分式加减法..简单的异分母的分式加减法.●教学难点当分式的分子是多项式时的分式的减法.●教学方法启发与探究相结合●教具准备投影片四张：第一张：提出问题，〔记作§〕;第二张：想一想，做一做，〔记作§3.3.1〕；第三张：想一想，〔记作§3.3.1〕;第四张：议一议，〔记作§3.3.1〕;第五张：例，记作〔§3.3.1〕；第六张：补充练习，〔记作§3.3.1〕.●教学经过Ⅰ.创设现实情境，提出问题［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)〔〕当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为〔v1v32〕.〔〕走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为v23.但要求出小丽走哪条路花费的时间少.就需要比拟〔v1v32〕与v23的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出.［生］假如要比拟〔v1v32〕与v23的大小，就比拟难了，由于它们的分母中都含有字母.［生］比拟两个数的大小，我们能够用作差法.例如有两个数.假如－＞，则＞;假如－,则；假如－＜,则＜.［师］这位同学想得方法很好，显然〔v1v32〕和v23中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我以为能够用实数比拟大小的方法来做.［生］假如用作差的方法，例如〔v1v32〕－v23，怎样判定它大于零，等于零，小于零呢？［师］我们不妨观察〔v1v32〕－v23中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？［生］分式的加减法.［师］很好！这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法〔板书课题〕我们再来看一下问题二.［生］问题二中这个人用电脑录入字的文稿需a33000小时，利用分式的基本性质化简，即为a1000小时；用手抄字文稿则需用a3000小时，因而这个人录入字的文稿比手抄少用〔a3000－a1000〕小时.［生］a3000,a1000是分式，a3000－a1000是分式的加减法.［师］但和问题一中加减法比拟一下，你会发现什么？［生］问题一中的是异分母的分式相加减，而问题二是同分母的加减法.［师］很好！我们按研究问题的一般思路，从简单的学起即先学习同分母的加减法.分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)Ⅱ.讲授新课.同分母的加减法［生］同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如1313－1313－1310.我以为分母一样的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减.［师］谁能试着到黑板上板演“做一做〞中的三个小题.［生］解：〔〕a1a2a21+a3;［生］解：〔〕22-xx－24-x242--xx;［生］解：12++xx－11+-xx13+-xx1312+-+--+xxxx12+-xx.［师］我们一块来讲评一下上面三位同学的运算经过.［生］第〔〕小题是正确的.第〔〕小题没有把结果化简.应该为原式242--xx2)2)(2(--+xxx.［师］这位同学很仔细.我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最简的，假如分子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简.［生］第〔〕小题，我以为也有错误.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，我觉得〔〕分母不变，做得对，但三个分式的分子、－、－相加减应为〔〕－〔－〕〔－〕.分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)［师］确实如此，我们知道列代数式时，〔－〕÷〔〕要写成分式的形式即11+-xx，因而分数线既有除号的作用，还有括号的作用，即分子、分母应该是一个整体.［生］教师，是我做错了.第〔〕题应为：〔〕12++xx－11+-xx13+-xx1)3()1()2(+++--+xxxx1312+-++-+xxxx1+xx［师］发现问题，及时改正是一种很好的学习习惯，努力发扬，你一定会获得更大进步.通过前面做一做，想一想，我们能够得出同分母的分式相加减的法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示是：ca±cbcba±〔其中、既能够是数，可以以是整式，是含有字母的非零的整式〕.前面问题二如今能够完成了吧！大胆地试一试.［生］a3000－a1000a10003000-a2000，所以这个人录入字文稿比手抄少用a2000个小时..简单的异分母的分式相加减［生］问题一还没有解决呢？［师］是的，假如分式的分母不同，那么该怎样加减呢？同学们不妨凭借本人的数学经历，合作沟通，找到一个可行的方法.法化成同分母的分数加减法［生］我以为分式有很多地方和分数相类似，异分母的分式加减能否可以以通过像分数那样通分，将异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法.［师］同学们的想法很好！我这儿就有两位同学将异分母的分式加减化成同分母分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)母的分式加减法.但我觉得小亮的方法更简单.就像分数运算：6141.假如6141464?646?2442462410125，这样计算就比拟费事；假如找和的最小公倍数，算起来就很方便，即6141262?343?122123125.［生］我以为也是这样，根据分式的基本性质，异分母的分式能够化为同分母的分式，这一经过称为分式的通分.但通分时为了简便，也应该像分数的通分一样，找各个分母的最小公倍数.［师］同学们分析得很有道理，为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母〔简称最简公分母〕作为它们的公分母.例如a3a41，和的最简公分母是.下面我们再来看几个例子.分，转化成同分母的就能够完成.［生］我们组也是用了将异分母的分式相加减转化成同分母相加减的分式运算.［例］中的第〔〕题，一个分母是,另一个分母是，利用分式的基本性质，只需将第一个分式a3化成a553?a515即可.解：〔〕a3aa515-a515aa515-aa5)15(15-+aa551;［生］我们组也已完成了第〔〕题.两个分式相加，一个分式的分母是－,另一个分式的分母是－，我们注意到了－－〔－〕，所以要把xx--11化成分母为－的分式，利用分式的基本性质，得xx--11)1()1()1()1(-?--?-xx11--xx.所以第〔〕题的解法如下：〔〕12-xxx--1112-x11--xx1)1(2--+xx13--xx分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)［师］同学们能凭借本人的数学经历，将新出现的数学难题处理的有条有理，很了不起.［生］问题一能够出来结果啦.〔〕小丽当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为v1v32v33v32v323+v35.〔〕小丽走第一条路所用的时间为v23.作差可知v35－v23v610－v69v61＞.所以小丽走第一条路花费的时间少，少用v61.Ⅲ.应用、升华.随堂练习第题计算：〔〕xb3－xb;〔〕a1a21;〔〕baa-－aba-解：〔〕xb3－xbxbb-3xb2;〔〕a1a21a22a21a212+a23;〔〕baa-－aba-baa-－baa--baaa---)(baa-2.［师］这节课我们学习了分式的加减法，同学们课堂上思维非常活跃，想必收获一定很大.［生］我觉得我这节课最大的收获是：“做一做〞中犯的错误，在今后做此类题的经过中，一定不会犯同样的错误.［生］我的收获是学会用转化的思想将异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法.……Ⅴ.课后作业分式的加减法教案北师大版(优秀教案)分式的加减法教案北师大版(优秀教案)习题第、、题.Ⅵ.活动与探究已知y1x1,求z1的值.［经过］已知条件实际上是一个方程组，我们能够取其中两个方程y1x1，由这两个方程把、都用表示后，再求代数式的值.［结果］由y1,得x-11,由x1,得xx1-.所以z1x-111-xx11--x1-xx11--xx.分式的加减法教案北师大版(优秀教案) 分式的加减法教案北师大版(优秀教案)。

第1课时•课题§ 3.3.1分式的加减法（一）•教学目标（一）教学知识点1. 同分母的分式的加减法的运算法则及其应用2. 简单的异分母的分式相加减的运算.（二）能力训练要求1. 经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感.2. 会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力（三）情感与价值观要求1. 从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识2. 结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气•教学重点1. 同分母的分式加减法.2. 简单的异分母的分式加减法.•教学难点当分式的分子是多项式时的分式的减法.•教学方法启发与探究相结合•教具准备投影片四张：第一张：提出问题，（记作§ 3.3.1 A）;第二张：想一想，做一做，（记作§ 3.3.1 B）；第三张：想一想，（记作§ 3.3.1 C）;第四张：议一议，（记作§ 3.3.1 D）;第五张：例1,记作（§ 3.3.1 E）;第六张：补充练习，（记作§ 3.3.1 F）.•教学过程I .创设现实情境，提出问题［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课我们先来看下面的问题：（出示投影片§ 3.3.1 A）(2)1 2（1） 当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（1+上）h.v 3v 3（2） 走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为h.但要求出小丽走哪条路花费2v的时间少•就需要比较（-+ —）与—的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者v 3v 2v减去较小者，便可求出•12 3 ［生］如果要比较（_ + 一）与—的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有v 3v2v字母•［生］比较两个数的大小，我们可以用作差法 •例如有两个数a,b.如果 a — b > 0,贝U a > b; 如果 a — b=0,则 a=b ; 如果 a — b v 0,则 a v b.1 2 3［师］这位同学想得方法很好，显然（-+—）和—中含有字母，但它们也是用来 v 3v 2v表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做1 23 ［生］如果用作差的方法，例如（-+ —）——，如何判断它大于零，等于零，小v 3v2v于零呢？1 2 3 ［师］我们不妨观察（-+ —）——中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？v 3v2v［生］分式的加减法•［师］很好！这正是我们这节课要学习的内容一一分式的加减法（板书课题） 我们再来看一下问题二•［生］问题二中这个人用电脑录入3000字的文稿需聖00小时，利用分式的基本性质3a化简，即为1000小时；用手抄3000字文稿则需用3000小时，因此这个人录入 3000字的aa文稿比手抄少用（30001000 ）小时•a a［生］3000 1000 是分式，3000 —1000是分式的加减法aaa a［师］但和问题一中加减法比较一下，你会发现什么？［生］问题一中的是异分母的分式相加减，而问题二是同分母的加减法•［师］很好！我们按研究问题的一般思路，从简单的学起即先学习同分母的加减法 n •讲授新课1•同分母的加减法［师］我们接着看下面的问题（出示投影片§ 331 B ）（1） 同分母的分数如何加减？你能举例说明吗? （2） 你认为分母相同的分式应该如何加减？ 做一做1 2—+ —= a a2Xx -2(1) 4x -2 =［生］同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如 —+—-13 1317 _4 +3-17_ 10 13 = 13 = - 13.我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子 相加减•［师］谁能试着到黑板上板演“做一做”中的三个小题1 2 1 2 3［生1］(1) + =5a a aa/ 、 x 24x 2 -4［生2］(2)一x - -2 x - 2 x -2x 2 x -1 x —3［生3］+x 1x 1x 1x 2 -x -1 x 3x+1x -2 x 1［师］我们一块来讲评一下上面三位同学的运算过程［生］第(1 )小题是正确的•第(2 )小题没有把结果化简•应该为原式2X -4 (x 2)(x-2), = ---------- ==x+2.x-2 x-2［师］这位同学很仔细.我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最简的，如果分 子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简［生］第(3)小题，我认为也有错误.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加 减，我觉得(x+1 )分母不变，做得对，但三个分式的分子 x+2、x — 1、x — 3相加减应为 (x+2) — ( x — 1) + (x — 3).［师］的确如此，我们知道列代数式时，( x — 1) + ( x+1 )要写成分式的形式即x - 1I ，因此分数线既有除号的作用，还有括号的作用，即分子、分母应该是一个整体•老师，是我做错了 .第(3)题应为： x 2 x 「1 x 「3 +——x 1 x 1 x 1(x +2) _(x _1) +(x+3)x 1x 2 x 1 x 3x 1 x x 1［师］发现问题，及时改正是一种很好的学习习惯，努力发扬，你一定会取得更大进 步•通过前面做一做，想一想，我们可以得出同分母的分式相加减的法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示是： a ± b =^^ (其中a 、b 既可以是数，也可以是整式， c 是含有字母的非零的整c c cx 1［生］3式).前面问题二现在可以完成了吧！大胆地试一试30001000 3000 -10002000［生］—==，所以这个人录入3000字文稿比手抄少a aa a用2000个小时.a2•简单的异分母的分式相加减［生］问题一还没有解决呢？［师］是的，如果分式的分母不同，那么该如何加减呢？同学们不妨凭借自己的数学 经验，合作交流，找到一个可行的方法•出示投影片(§3.3.1 C )［生］异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化 成同分母的分数加减法［生］我认为分式有很多地方和分数相类似，异分母的分式加减是否也可以通过像分 数那样通分，将异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法［师］同学们的想法很好！我这儿就有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分 式加减•(出示投影［生］我觉得这两种做法都有一个共同的目标：把异分母的分式加减法化成同分母的1 1分式加减法.但我觉得小亮的方法更简单.就像分数运算：丄+ -.如果641 1 4 6 4 6 10 5—+ — = ------ + — = — + —=—=—，这样计算就比较麻烦；如果找 6禾口 4 的最小公6 4 6 4 4 6 24 24 24 12+ — = +6 4 6^2 4汇3 12 12 12［生］我认为也是这样，根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分 式，这一过程称为分式的通分 .但通分时为了简便，也应该像分数的通分一样，找各个分母 的最小公倍数.［师］同学们分析得很有道理，为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的倍数12,算起来就很方便，即 1+丄=—2— + —3— = — + — ^53 1公分母(简称最简公分母)作为它们的公分母.例如一+ —, a和4a的最简公分母是4a.下a 4a面我们再来看几个例子.出示投影片(§ 3.3.1 E)(2)分，转化成同分母的就可以完成 •［生］我们组也是用了将异分母的分式相加减转化成同分母相加减的分式运算•［例1 ］中的第(1 )题，一个分母是 a ,另一个分母是5a ，利用分式的基本性质，只需2)题•两个分式相加，一个分式的分母是 x — 1,另一个分 1 — x=—( x — 1 )，所以要把 化成分母为x — 1的分1 -X式，利用分式的基本性质，得/=沽==三•所以第(2)题的解法如下:2x -1 2 1 -X+ = --------------------x —1 1—x x -1 x — 12 (1 -x) 3-x X —1 X —1［师］同学们能凭借自己的数学经验，将新出现的数学难题处理的有条有理，很了不起•［生］问题一可以出来结果啦•(1 )小丽当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的 时间为1 2 323 2 5—+=+== h.v 3v 3v 3v 3v3v3(2)小丽走第一条路所用的时间为h.2v5310911作差可知 --------- = -------- --- =—> 0.所以小丽走第一条路花费的时间少，少用—h.3v 2v 6v6v 6v 6v川.应用、升华1.随堂练习第1题 计算：1 1 —+ - a 2a 1 12 1 2 1 3——+ = + = = ------------------------a 2a 2a 2a 2a 2a3 3 5 15将第一个分式-化成乞上二15即可.a 5a 5a3 a -1515 a -15 解：(1)+= + a 5a 5a_15 +(a -15) = a = 1 . 5a 5a 5［生］我们组也已完成了第(5a(2) (1)3b x 式的分母是1 — x ,我们注意到了(2) (3)a a —b解:b = 3b-b = 2b x x xa _( _a) _ 2aa-b a —b2•补充练习（出示投影片§3.3.1 F ）计算: m 2 nn 2n+ — n —m m —n n —m解：m 2n-n 2n+ —n -m n -m n -mm 2n(-n) - 2nn -m m -n -(n -m) -------- = ---------------- =—1n -m n -mw .课时小结［师］这节课我们学习了分式的加减法，同学们课堂上思维非常活跃，想必收获一定很 大. ［生］我觉得我这节课最大的收获是：“做一做”中犯的错误，在今后做此类题的过 程中，一定不会犯同样的错误 .［生］我的收获是学会用转化的思想将异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加 减法.v .课后作业习题3.4第1、2、3题.W .活动与探究11 1 已知x+ =z+=1,求y+ —的值.yxz［过程］已知条件实际上是一个方程组，我们可以取其中两个方程 由这两个方程把y 、z 都用x 表示后，再求代数式的值1［结果］由x+ =1,得y亠1 / 口x —1 由 z+ =1,得 z=.xx11 x所以 y+ =+ =+ =—z 1 -x x T x T x —1 x T(3)a -bb -a a -b-aa -b•板书设计11x+ =1,z+=1,-1 X xj .x -1 x -2 + ------x 1x 1［例1］计算:3 a -15 --- + -------a 5a2 x-1------ + ------X -1 1 -x1 °分数线的括号作用，突出分子是整体2°计算结果要化成最简形式(3)(1)(2) 注意:。