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填幻方
1、在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于18.
2
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2. 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。
3.在下面的方格内分别填上3~11、5~13、7~15这九个数字，使横、竖和对角
线上三个数的和都相等。
4.用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方。
5.将九个连续自然数填入九宫格中，使横、竖和对角线上三个数的和都等于
66.
6.把25~33这九个数字填入以下三阶幻方中，使每一行横、每一竖和每条对
角线上三个数的和都相等。
7.在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于21.
7
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8.空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等.
42
34 30。
数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
1、 掌握凑数法与逆推法并能灵活运用其解决数字谜问题；2、 能运用奇偶性、加减进位退位等进行分析加减竖式谜。
一、 基本概念数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。
算符：指 +、-、×、÷、（）、[]、｛｝。
二、 数字谜分类 1、 竖式谜 2、 横式谜 3、 填空谜 4、 幻方 5、 数阵三、 解题技巧与方法 竖式数字谜知识框架考试要求巧填算符与加减竖式谜1、技巧（1）从首位或者末尾找突破口（突破口：指在做数字谜问题开始时的入口，一般在算式的首位或者末尾，可以确定其数字或者范围然后通过推理很快可以确定其值为后面的推理做好铺垫）；（2）要根据算式性质逐步缩小范围，并进行适当的估算逐步排除不符合的数字；（3）题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；（4）注意结合进位及退位来考虑；（5）数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9中的某个数字。
（6）数字谜解出之后，最好验算一遍．2、数字迷加减法（1）个位数字分析法；（2）加减法中的进位与退位；（3）乘除法中的进位与退位；（4）奇偶性分析法。
横式数字谜解决巧填算符的基本方法（1）凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。
（2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。
四、奇数和偶数的简单性质1、整数可以分为奇数和偶数两类（1）我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数.（2）把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数.2、性质：（1）奇数≠偶数.（2）整数的加法有以下性质：奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数.（3） 整数的减法有以下性质： 奇数-奇数=偶数； 奇数-偶数=奇数； 偶数-奇数=奇数； 偶数-偶数=偶数.（4） 整数的乘法有以下性质： 奇数×奇数=奇数； 奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数.1、 凑数法与逆推法的掌握与运用；2、 奇偶性分析的灵活运用；3、 加减进位与退位的灵活运用。
一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，知识框架数阵图与幻方这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
三阶幻方的方法和其中的数字规律嘿，朋友们！今天咱来聊聊三阶幻方。
三阶幻方啊，就像是一个神秘的数字魔法阵。
你看哈，三阶幻方就是把九个数字填进一个3×3 的方格中，让每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等。
这听起来是不是挺神奇的？先来说说填三阶幻方的方法。
咱可以先把中间的数字确定下来，一般来说，中间这个数字就像是整个幻方的核心呐！那怎么确定呢？可以找这九个数字的中间数呀。
然后呢，再根据其他数字和中间数字的关系慢慢填。
这就好像是搭积木，一块一块地往上放，可有意思啦！再讲讲其中的数字规律。
你想想，九个数字在那方格中，怎么就能那么巧妙地达成那种神奇的平衡呢？这其中的规律可多着呢！每行、每列、对角线上的数字相互关联，就像一群小伙伴手牵手，谁也不能掉队。
比如说，相对的两个数字之和可能会相等，或者每行数字的间隔可能有某种规律。
咱举个例子哈，比如有这么一组数字1、2、3、4、5、6、7、8、9。
咱把 5 放在中间，然后试着填其他数字。
哎呀，你会发现，随着数字的填入，它们之间的关系越来越清晰，就像一幅神秘的画卷慢慢展开。
这感觉，就像在探索一个未知的宝藏一样刺激！三阶幻方可不只是个数学游戏哦，它在很多地方都有用呢！比如在一些谜题中，或者在设计图案的时候。
它就像是一把神奇的钥匙，可以打开很多奇妙的大门。
你说这三阶幻方是不是特别神奇？它就像一个小小的数字宇宙，充满了奥秘和惊喜。
咱可得好好研究研究，说不定能发现更多有趣的东西呢！所以啊，别小看了这小小的三阶幻方，它里面蕴含的智慧和乐趣可多着呢！大家都快来试试吧，感受一下数字魔法的魅力！。
小学数学集训讲座（幻方和数阵）1、将从1开始的九个连续奇数填入下左图的九个空格内，使每一横行、每一竖行及每条对角线上的三个数之和都相等。
2、将九个连续自然数填入下中图的九个空格中，使每一横行、每一竖行及每条对角线上的三个数之和都等于60。
3、将1至6六个数字填入上右图的○中，使每个大圆周上的四数之和都等于16。
4、将1至7七个数字填入下左图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等。
5、把1～11这11个数字填在上中图中的圆内，使每条虚线上的数的和都相等。
6、在上右图的七个○内各填一个自然数，要求每条直线上的三个数中，中间的数是两边的数的平均值。
试根据已填好的两个数求X 。
7、右面算式中不同的汉字代表不同的数字，那么“奥运”可以代表那些两位数？8、请你在下面的四个□内填上不同的一位数，并且使左边的数比右边的数小。
如果允许在算式中添一个小括号，怎样做才能使等式成立呢？□÷□÷□÷□ = 249、怎样在21、31、41、51、61之间，添加 “＋”、“－”、“×”、“÷”符号，使得运算结果最大？10、请你将0至9这十个数字，分别填入下式的十个方框内，使两个算式同时成立。
□□ ＋ □ ＝ □□ □□ × □ ＝ □□11、这里有一个特殊的等式：A ＋BC ＋DEF ＝GHIJ 。
它表示一个一位数与一个两位数和一个三位数相加，所得的和是一个四位数，而且等式中不同的字母代表着0～9中的不同数字。
请你写出符合以上条件的等式来。
12、将0—9中的8个不同数字分别用A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 替换，已知G ×G=DB ，G ×C=BD ，G ×F=EF ，A G ＋B=EH 。
且在4个式子中，“＋”、“×”、“=”与平常算术中相应的符号意义相同，而且也是十进制。
在这种替换规则下，CA ×E 的数值等于多少？13、如下左图，自然数按规律排成三角形，第20行的第一个数是多少？12 3 45678910 11 12 13 14 15 16……………………14、如上右图，将奇数排成一个宝塔形，请问：第20行左边第一个数是多少？15、把1到100的自然数像右表那样排列，在这个数表里，把横向3个数与纵向2个数框起来，和是81。
幻方知识点：1、幻方：在一个正方形中，将其分为n n 个（九个、十六个、二十五个、三十六个……）小方格，填上给定的数（九个、十六个、二十五个、三十六）个数字，使每一横行、每一竖行以及每一斜行上的n 个数相加的和都相等。
像这样的正方形，我们把它叫做n 阶幻方。
在幻方中这个相等的和就叫做幻和。
2、三阶幻方：如果一个3×3的方阵中，每一横行、每一竖列及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为三阶幻方（又叫九宫格或九宫图），这个相等的和叫做幻和，填在幻方中心位置的数称为中间数或中心数。
3、三阶幻方的性质：（1）幻和=中心数×3；中心数=幻和÷3； （2）幻和=填入的所有数总和÷3； （3）“斜T 法”：在三阶幻方中，四个角上的数，等于它对角上相邻两旁两个数的平均数(例如：i 位置的数=（b 位置的数+d 位置的数）÷2；a 和f 、h 位置也有此规律)。
（4）在三阶幻方中，最大与最小的数不能填在对角线上；（5）一个三阶幻方，经过翻折，或者旋转90°以后，仍为幻方.例题1：下面是幻方吗？是的在括号里打“√”，不是在括号里打“×”。
( )123456789( )191817161514131211【答案】×；√；【分析】要求每行、每列、两条对角线上的和都相等。
例题2：在下图中，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示【分析】我们知道幻和是中心数的三倍，因此6+12=18是中心数的2倍，由此可知，中心数为：18÷2=9，幻和为：9×3=27。
接着一一填出各个空格中的数。
例题3：如图，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示 【分析】先根据斜T 法算出右下角（27+15）÷2=21；中心数=（17+21）÷2=19；幻和=19×3=57。
1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独 すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏.如今数独的雏型首先于1970年代由美国的一家数学逻辑游戏杂志发表，当时名为Number Place.现今流行的数独于1984年由日本游戏杂志《パズル通信ニコリ》发表并得了现时的名称.数独本是“独立的数字”的省略，因为每一个方格都填上一个个位数. 数独可以简单的数为：让行与列及单元格的数字成规律性变换的一类数字谜问题知识点拨教学目标5-1-4-2.幻方（二）解题技巧：数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围. 总结4个小技巧：1、 巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要考虑大小关系的限制.2、 相对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法.举例说明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A 行其他位置不可能出现1或者2.3、 相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格.举例说明，A 行中已经确定5个数字，还有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，这个时候我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4，我们就可以不用考虑A1，这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定.4、 假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳.举例说明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，这个时候我们就应该假设B3填入2，这样就可以确定A3填入3，B4填入1，然后以这个为基础进行推理，如果推出违反规则的情况出现，那么这个假设就是错误的，我们回到假设点重新开始.数独【例 1】 在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4．1234212342abd e c3412134123412342【例 2】 在图的5×5的方格表中填入A B C D 、、、四个字母，要求：每行每列中四个字母都恰出现一次：如果菜行的左边标有字母，则它表示这行中第一个出现的字母；如果某行的右边标有字母，则它表示这行中最后一个出现的字母；类似地，如果某列的上边(或者下边)标有字母，则它表示该列的第一个(或者最后一个)出现的字母．那么,,,A B C D 在第二行从左到右出现的次序是 ．DAAAD CBA【巩固】 在左下图的5×5方格表的空白处填入1～5中的数，使得每行、每列、每条对角线上的数各不相同.例题精讲5432151244【例 3】 请你在六阶拉丁幻方中的空白方格内填入相应数字，使得每一行、每一列及两条对角线上恰好出现1、2、3、4、5、6．【巩固】 如下图，6个3×2的小方格表拼成了6×6的大方格表.请在空白处填入1～6中的数，使得每行、每列中的数各不相同，并且原来6个3×2的小方格表中的数也各不相同.615122464165【例 4】 请在如右图的每个空格内填入1至8中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上8个数字都互不相同．3285631548621346415【例 5】 如图，请将1个1，2个2，3个3，…，7个7，8个8填入6×6的表格中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A ，B ，C ，D ，E ，F 各不相同；那么，六位数ABCDEF 是 ．【例 6】 将1到9填入下图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列或一个区块都是一个单元.每个单元都必须包含全部但不重复的数字.795485365324176264118639386492559794IH G F E D C B A 795485365324176264118639386492559794863215794999999998888888877777777666666666555555554444444433333333222222221111111198754321【巩固】 如右下图，9个33⨯的小方格表合并成一个99⨯的大方格表，每个格子中填入1-9中的一个数，每个数在每一行、每一列中都只出现一次，并且在原来的每个3⨯3的小方格表中也只出现一次，10个“☆”处所填数的总和是 .17★★★★★★★★★★47955946839381146267142356358457【巩固】 “九宫图”是一个9×9的方阵，它是由九个3×3的“九宫格”（图中黑实线围住的方阵）组成.7154296832159845983171527116842请你在上图中将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入空格内，使得每行、每列及9个“九宫图”中数字1~9均恰好出现一次.当填写完后，位于第4行第4列的数字式______. （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【巩固】 如图是一个未完成的“数独”，给出数字A 、B 、C 、D 所在方格内应填的数字.A =、B = 、 C = 、D = .注：所谓“数独”即在99⨯ 的方格中填入1~9中的数字，使得每个粗线33⨯的方格中数字及99⨯的方格中每行每列数字均不重复.【巩固】 下图是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些小方格填有1至9的数字.小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数，请写出这个9位数，并且简单说明理由.【例 7】 将1到4填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部但不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系.<∧∨∨∨∨1D432C B A【巩固】 请在右图4×4表格的每格中填入l ，2，3，4中的一个，使得每行，每列，每条对角线的四个数各不相同，且满足图中三个不等的关系．【巩固】 将1到4填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部但不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系.【巩固】 将1、2、3、4分别填入4×4的方格网（如下图所示）的16个小方格中，使得每一行每一列中的4个数1、2、3、4恰好各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，从左上到右下的对角线上4个数的和是____________.（左下图是一个3×3的例子）321212331A. 10B. 11C. 12D. 16【例 8】 将1到5填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部但不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系.225><>∨∧∧∨∧54321ED CBA【巩固】 将1到5填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部但不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系.33>∧∧<A B C D E12345∧∨><>【巩固】 请你在下面55 表格的每格中填入1，2，3，4，5中的一个，使得每行、每列、每条对角线所填的5个数各不相同，且A 格中的数比B 格中的数大，B 格中的数比C 格中的数大，C 格中的数比D 格中的数大，E 格中的数比F 格中的数大，G 格中的数比H 格中的数大.那么，第二行的5个数从左到右依次是 .HG F E DCB A【例 9】 将1、2、3、4、5、6都分别填入6×6的方格网（如下图所示）的36个小方格中，使得每一行每一列中的6个数1、2、3、4、5、6各出现依次，并且满足与不等式相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，第二行从左到右的第6个数是___________.（左下图是一个3×3的例子.）321212331（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2【例 10】 如图．4 4方格被分成了五块；请你在每格中填入l 、2、3、4中的一个，使得每行、每列的四个数各不相同，且每块上所填数的和都相等.则A 、B 、C 、D 四处所填数字之和是 .DCBA【例 11】 如图，5×5方格被分成了五块；请你在每格中填入1、2、3、4、5中的一个，使得每行、每列、每条对角线的五个数各不相同，.现有两个格子已分别填入1和2，请在其它格子中填上适当的数.那么，ABCDE 是 .ED C B A 21【例 12】 请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入右图的表格中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）．现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各不相同；那么，五位数CDEFG 是 ．【例 13】 请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入右图的表格中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各不相同；那么，七位数ABCDEFG 是 ．【例 14】 将数字1～6中填入右面的6×6方格，使每个数字在每一行、每一列和每一个标有粗线的23⨯的“宫”中只能出现一次. 如果虚线框出的区域左上角标注的数值为该区域内所有数字之和，并且该区域内所有数字互不相同，那么，六位数ABCDEF 是_____________.【例 15】 如图1的每个方格中分别填入1、2、3、4、5、6、7中的一个数，使得每行、每列的七个数各不相等；并且圆圈中的数等于与它相邻的四个数的乘积．那么，★处所填的数是 ．图18420361201056019212016824525【例 16】 如图，请沿虚线将77⨯的方格表分割成若干个长方形，使得每个长方形中恰好包含一个数字，并且这个数字就是此长方形的面积．那么第四列的7个小方格分别属于________个不同的长方形．。
1、 掌握凑数法与逆推法并能灵活运用其解决数字谜问题；2、 能运用奇偶性、加减进位退位等进行分析加减竖式谜。
一、 基本概念数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。
算符：指 +、-、×、÷、（）、[]、｛｝。
二、 数字谜分类 1、 竖式谜 2、 横式谜 3、 填空谜 4、 幻方 5、 数阵三、 解题技巧与方法 竖式数字谜 知识框架考试要求巧填算符与加减竖式谜（1）从首位或者末尾找突破口（突破口：指在做数字谜问题开始时的入口，一般在算式的首位或者末尾，可以确定其数字或者范围然后通过推理很快可以确定其值为后面的推理做好铺垫）；（2）要根据算式性质逐步缩小范围，并进行适当的估算逐步排除不符合的数字；（3）题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；（4）注意结合进位及退位来考虑；（5）数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9中的某个数字。
（6）数字谜解出之后，最好验算一遍．2、数字迷加减法（1）个位数字分析法；（2）加减法中的进位与退位；（3）乘除法中的进位与退位；（4）奇偶性分析法。
横式数字谜解决巧填算符的基本方法（1）凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。
（2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。
四、奇数和偶数的简单性质1、整数可以分为奇数和偶数两类（1）我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数.（2）把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数.2、性质：（1）奇数≠偶数.（2）整数的加法有以下性质：奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数.（3） 整数的减法有以下性质： 奇数-奇数=偶数； 奇数-偶数=奇数； 偶数-奇数=奇数； 偶数-偶数=偶数.（4） 整数的乘法有以下性质： 奇数×奇数=奇数； 奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数.1、 凑数法与逆推法的掌握与运用；2、 奇偶性分析的灵活运用；3、 加减进位与退位的灵活运用。
幻方常规解法汇总
幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。
单偶数阶幻方（象限对称交换法）
以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2
（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。
用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。
A象限的其它行则标出最左边的k格。
将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。
(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。
下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1。
1. 會用羅伯法填奇數階幻方2. 瞭解偶數階幻方相關知識點3. 深入學習三階幻方一、幻方起源 也叫縱橫圖，也就是把數字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方．幻方起源於我國，古人還為它編撰了一些神話．傳說在大禹治水的年代，陝西的洛水經常大肆氾濫，無論怎樣祭祀河神都無濟於事，每年人們擺好祭品之後，河中都會爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數是3行，豎著數是3列，每塊烏龜殼上都有幾個點點，正好湊成1至9的數字，可是誰也弄不清這些小點點是什麼意思．一次，大烏龜又從河裏爬上來，一個看熱鬧的小孩驚叫起來：“瞧多有趣啊，這些點點不論橫著加、豎著加還是斜著加，結果都等於十五！”於是人們趕緊把十五份祭品獻給河神，說來也怪，河水果然從此不再氾濫了．這個神奇的圖案叫做“幻方”，由於它有3行3列，所以叫做“三階幻方”，這個相等的和叫做“幻和”．“洛書”就是幻和為15的三階幻方．如下圖： 987654321我國北周時期的數學家甄鸞在《算數記遺》裏有一段注解：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央．”這段文字說明了九知識點撥教學目標5-1-4-1.幻方（一）個數字的排列情況，可見幻方在我國歷史悠久．三階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七六郎賞月半，周圍十五月團圓．”幻方的種類還很多，這節課我們將學習認識瞭解它們．二、幻方定義幻方是指橫行、豎列、對角線上數的和都相等的數的方陣，具有這一性質的33⨯的數陣稱作三階幻方，44⨯的數陣稱作四階幻方，55⨯的稱作五階幻方……如圖為三階幻方、四階幻方的標準式樣，987654321 13414151612978105113216三、解決這幻方常用的方法⑴適用於所有奇數階幻方的填法有羅伯法．口訣是：一居上行正中央，後數依次右上連．上出框時往下填，右出框時往左填．排重便在下格填，右上排重一個樣．⑵適用於三階幻方的三大法則有：①求幻和： 所有數的和÷行數（或列數）②求中心數：我們把幻方中對角線交點的數叫“中心數”，中心數＝幻和÷3． ③角上的數=與它不同行、不同列、不同對角線的兩數和÷2．四、數獨數獨簡介：（日語：數獨 すうどく）是一種源自18世紀末的瑞士，後在美國發展、並在日本得以發揚光大的數學智力拼圖遊戲。
三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
三阶幻方幻方实际上是一种填数游戏，它不仅有三阶，还有四阶、五阶……直到任意阶。
一般地，在n行n列的方格里，既不重复也不遗漏地填上n n⨯个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上n个自然数的和相等，我们把这几个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的图形叫做n阶幻方。
三阶幻方：在三行三列的正方形方格中，既不重复也不遗漏地填上33⨯个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。
通常这样的图形叫做三阶幻方。
三阶幻方的一些基本规律：幻和=九个数之和÷3，中间数=幻和÷3。
九个连续的自然数中，第五个数是中间数，第二、四、六、八个数是四个角上的数。
例题1 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
（（1）幻和＝（2）中间数＝例题2在下面的方格中填上适当的数，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都等于24。
一、知识介绍二、例题讲解练习1：根据幻方数字之间的规律与联系，补全下列幻方。
（1） （2） （3 （4） （5）例题3请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。
练习2：构造出一个幻和是27的三阶幻方。
例题4在下图中已经填好一个数8，请继续填入8个不大于11的自然数，构成一个幻和21的幻方。
练习3：填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
9例题5 下图中，每个字母代表一个数。
已知每行、每列、每条对角线上的三个数和都相等，若4,16,17,5a l d h ====。
求b 与f 为多少？作业：1.用3～11这9个数补全下图中的幻方，并求幻和。
2. 在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
3.在下图的空格里填入不大于15且不相同的自然数，使每一行、每一列和每一条对角线上的三个数的和都等于30。
4. 将下图补全，使其成为由1－16构成的的四阶幻方。
幻方知识要点：把一些数填入到横竖都相等的正方形内，使得方阵图中每一行、每一列和两条对角线上的各个数字之和都相等，这样的方阵图叫做幻方。
有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数问题。
对于这类问题，我国古代数学家已有了很深的研究。
如南宋时期的数学家杨辉已对幻方(纵横图)作了比较详尽的记叙，总结了幻方的十六字编造法。
即“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。
”例题分析：例1. 将10～18这九个数填入图中，使它成为一个三阶幻方。
（第1题）（第2题）（第3题）例2．如上图，将1，3，5，7……，17填入右上的3×3方格中，使它成为一个三阶幻方。
例3．如上图，如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这九个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？怎么填？例4．如图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数。
628 15例5．如图所示，方格中的格子被填上了数，每一行，每一列以及两条对角线中所填的数字之和均相等，则x的值为（）。
例6．已知下图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2037。
求画有“？”的格子填的数是多少？例7. 在图中的空格处填上适当的数，使它成为一个三阶幻方。
（例8图）例8. 如右上图，在3×3的方格中，每行，每列及每条对角线上三数之和均相等，那么，b=（ ）h=（ ）。
例9． 在图中的空格处填上适当的数，使它成为一个三阶幻方。
例10． 在图中的空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（已填好一个），使每一横行，竖行及对角线上的三数之和都等于21。
11447 ？894 12 15 20 16 11 4 b c 1 e f g h 23 15 1例11．如图是一个三阶幻方，已知2个数，请根据幻方的性质求画有“？”的格子填的数是多少？？1812例12．已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等。
这就是传说中神秘的幻方，让我们走进今天的课堂，一起来研究一下幻方的这是传说中神秘的幻方，我们走进今天的课堂，起来研究下幻方的
阶幻方……
幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和。
幻和：15
【幻方填法】
民谣
四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；；二七六郎赏月半，周围十五月团圆。
周围十月团圆把1－9这九个数填入下面的九宫格中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的三个数的和相等。
试编出一个三阶幻方，使其幻和为30，而且幻方中没有重复的数。
中间数：在奇数阶幻方中填在最中间的数。
中中中
观察下三阶幻方：
幻和＝(1＋2＋3＋…＋8＋9)÷3＝15
中间数＝15÷3＝5
在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方。
【三阶幻方性质】
角块等于对角两棱块之和的一半
在下图空格中填入7个自然数，使每行、每列、每一对角线三数之和为90把1-16这十六个数填入下面的图中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的四个数的和相等。
在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线
上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。
⑴幻和＝总和÷3
⑵中心数＝幻和÷3＝总和÷9
“T型台”
⑶型台
c＝(a＋b)÷2
二三阶幻方填法
二、三阶幻方填法。
