初等数论 §2不定方程

初等数论不定方程的解法初等数论是数论中的一部分，主要研究整数之间的性质和关系。

在初等数论中，不定方程是一个非常重要的研究对象。

不定方程是指一个方程中包含的未知数不确定，需要求解这些未知数的取值以满足方程。

本文将介绍不定方程的一般解法，并通过具体例子进行演示。

首先，我们来介绍一下一元一次不定方程的解法。

一元一次不定方程的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知整数，x、y为未知整数。

解决这个方程的关键是找到一组x、y的取值，使得方程成立。

我们可以通过以下步骤来解决一元一次不定方程：1.首先，我们要判断方程是否有解。

我们知道，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程才有整数解。

我们可以使用欧几里得算法来求出a和b的最大公约数gcd(a,b)，然后判断c是否是gcd(a,b)的倍数。

2.如果方程有解，我们需要求出一个特解。

我们可以使用扩展欧几里得算法来求解特解。

扩展欧几里得算法可以找到一组整数x0和y0，使得ax0 + by0 = gcd(a,b)。

我们可以将c除以gcd(a,b)得到c'，然后将特解x0和y0乘以c'得到一个特解x1 = x0 * c'，y1 = y0 * c'。

3.一旦我们找到了一个特解，我们可以通过以下形式来构造方程的通解：x = x1 + k * (b / gcd(a, b))y = y1 - k * (a / gcd(a, b))其中k为整数。

这样，我们就可以通过改变k的值来得到方程的所有整数解。

接下来，我们来介绍一下二次不定方程的解法。

二次不定方程的一般形式为ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，其中a、b、c、d、e、f为已知整数，x、y为未知数。

对于二次不定方程，我们可以通过一些特殊的方法来求解。

下面介绍两种常用的方法：1.利用配方法。

如果二次不定方程中的系数是已知整数，且可以对方程进行配方法，那么我们可以通过配方法来求解方程。

数论中的同余方程与不定方程数论是研究整数的性质和结构的学科，其中同余方程和不定方程属于重要的研究内容。

本文将介绍同余方程和不定方程的概念、性质以及解法。

一、同余方程同余方程是指形如ax ≡ b (mod m) 的方程，其中 a、b和m都是整数，≡表示同余，意味着 a与b对于模m同余。

1.1 概念同余方程是用来描述整数之间的关系的方程。

同余方程中的 a、b和m都是整数，其中 a和m是已知的，b是未知的。

解同余方程就是要找到满足这个关系的整数b的值。

1.2 性质同余方程具有一些重要的性质：- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有a+km≡b (mod m) 。

- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有ak≡bk (mod m) 。

- 如果a≡b (mod m) 且b≡c (mod m) ，那么a≡c (mod m) 。

1.3 解法一般而言，我们可以通过穷举法或代入法求解同余方程。

- 穷举法：我们可以从 0开始，依次将整数代入方程，判断是否满足同余关系。

这种方法比较直观，但对于大数目的解比较复杂。

- 代入法：我们可以将 b 替换成一个待定整数 x，然后通过一定的数学变换，将原方程转化为一个简化的同余方程。

然后我们可以通过简化后的方程来求解。

二、不定方程不定方程是指形如 ax+by=c 的方程，其中 a、b和c都是整数，且给定整数解x和y。

2.1 概念不定方程是一种用来描述整数之间的关系的方程。

不定方程中的a、b和c都是整数，其中 a和b是已知的，c是未知的。

我们需要找到满足该关系的整数解x和y。

2.2 性质不定方程具有一些重要的性质：- 如果 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 是不定方程 ax+by=c 的解，那么(x₁+x₂, y₁+y₂) 也是其解。

- 不定方程 ax+by=c 只有有限多个整数解，当且仅当 c 是 a和b的公倍数。

2.3 解法解决不定方程一般有以下几种方法：- 整数分拆法：我们可以通过对方程逐项进行整数分拆，得到不同的解。

《初等数论》第三版习题解答第一章整数的可除性§1整除的概念·带余除法1．证明定理3定理3若a1，a2，，an都是m得倍数，q1，q2，，qn是任意n个整数，则q1a1q2a2证明：qnan是m得倍数．a1,a2,an都是m的倍数。

pn使a1p1m,a2p2m,存在n个整数p1,p2,又q1,q2,,anpnm,qn是任意n个整数qnanq1a1q2a2q1p1mq2p2m(p1q1q2p2即q1a1q2a2qnpnmqnpn)mqnan是m的整数2．证明3|n(n1)(2n1)证明n(n1)(2n1)nn(1n)(2nn(n1)(n2)n(1n)n(又n(n1)(n2)，(n1)n(n2)是连续的三个整数故3|n(n1)(n2),3|(n1)n(n1)3|n(n1)(n2)(n1)n(n1)从而可知3|n(n1)(2n1)3．若a某0by0是形如a某by（某，y是任意整数，a，b是两不全为零的整数）的数中最小整数，则(a某0by0)|(a某by)．1/77证：a,b不全为0在整数集合Sa某by|某,yZ中存在正整数，因而有形如a某by的最小整数a某0by0某,yZ，由带余除法有a某by(a某0by0)qr,0ra某0by0则r(某某0q)a(yy0q)bS，由a某0by0是S中的最小整数知r0a某0by0|a某bya某0by0|a某by（某,y为任意整数）a某0by0|a,a某0by0|ba某0by0|(a,b).又有(a,b)|a，(a,b)|b(a,b)|a某0by0故a某0by0(a,b) 4．若a，b是任意二整数，且b0，证明：存在两个整数，t使得abt,|t||b|2成立，并且当b是奇数时，，t是唯一存在的．当b是偶数时结果如何？证：作序列即存在一个整数q，使2222若b0则令,tabaq2bqb，则同样有t22(ii)当q为奇数时，若b0则令q1q1,tabab，则有222/77下证唯一性当b为奇数时，设abtb1t1则tt1b(1)b而tbb,t1tt1tt1b矛盾故1,tt122b为整数2当b为偶数时，,t不唯一，举例如下：此时3bbbbbb1b2(),t1,t122222§2最大公因数与辗转相除法1．证明推论4.1推论4.1a，b的公因数与（a，b）的因数相同．证：设d是a，b的任一公因数，d|a，d|b由带余除法abq1r1,br1q2r2,rnqn1,0rn1rnrn1(a,b)rnd|abq1r1，d|br1q2r2，┄,d|rn2rn1qnrn(a,b),即d是(a,b)的因数。

不定方程公式不定方程，这听起来是不是有点让人摸不着头脑？其实啊，在咱们数学的世界里，它就像一个神秘的小怪兽，有时候会把同学们弄得晕头转向。

先来说说什么是不定方程。

不定方程呢，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

比如说，3x + 4y = 10，这里有两个未知数 x 和y ，但只有一个方程，这就是不定方程啦。

我记得有一次给学生们讲不定方程的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，这用处可大着呢！”就拿咱们分糖果来说吧。

假设老师手里有 20 颗糖果，要分给小明和小红，小明得到的糖果数是 3 倍的小红得到的糖果数再加上 2 颗，那咱们就能列出一个不定方程 3x + 2 + y = 20 ，这里 x 是小红得到的糖果数，y 是小明得到的糖果数。

通过求解这个不定方程，就能知道小明和小红可能分别得到几颗糖果啦。

那怎么求解不定方程呢？这就需要一些小技巧和公式啦。

比如说，如果是求整数解的不定方程，咱们可以用整除的性质来判断。

像 5x + 7y = 12 ，因为 12 能被 5 整除，所以 7y 也要能被 5 整除，y 就可能是 0 或者 5 的倍数。

还有一种常见的方法是同余法。

比如说 6x + 8y = 20 ，咱们可以先把方程两边同时除以 2 ，得到 3x + 4y = 10 。

然后看 3x 和 10 除以 4 的余数，通过分析余数来找到可能的解。

在实际解题中，咱们还常常会用到穷举法。

虽然听起来有点笨笨的，但有时候却很管用。

就像找钥匙一样，一把一把地试，总能找到那把对的。

比如说 2x + 3y = 15 ，咱们可以从 x = 0 开始，一个个地试，直到找到满足方程的整数解。

不过啊，同学们在解不定方程的时候，可别马虎大意。

我就碰到过一个同学，计算的时候丢三落四，结果解出来的答案风马牛不相及。

我跟他说：“你这解题啊，就像在黑夜里走路，没个准头。

第二章不定方程例题分析例1：利用整数分离系数法求得不定方程15x +10y +6z =61。

解：注意到z 的系数最小，把原方程化为z =)()(12361102261101561++-++--=+--y x y x y x 令t 1=z y x ∈++-)(12361，即-3x +2y -6t 1+1=0此时y 系数最小，)()(12131632111-++=-++=∴x t x t x y 令t 2=z x ∈-)(121,即122+=t x ,反推依次可解得y =x +3t 1+t 2=2t 2+1+3t 1+t 2=1+3t 1+3t 2z =-2x -2y +10+t 1=6-5t 1+10t 2∴原不定方程解为⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+=21212105633121t t z t t y t x t 1t 2∈z.例2:证明2是无理数证：假设2是有理数，则存在自数数a,b 使得满足222y x =即222b a =，容易知道a 是偶数，设a =2a 1，代入得2122a b =,又得到b 为偶数，a b a <<1，设12b b =，则21212b a =,这里12a b <这样可以进一步求得a 2，b 2…且有a>b>a 1>b 1>a 2>b 2>…但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，∴2为无理数。

例3：证明：整数勾股形的勾股中至少一个是3的倍数。

证：设N =3m ±1(m 为整数)，∴N 2=9m 2±6m +1=3(3m 2±2m )+1即一个整数若不是3的倍数，则其平方为3k +1,或者说3k +2不可能是平方数，设x,y 为勾股整数，且x,y 都不是3的倍数，则x 2,y 2都是3k +1，但z 2=x 2+y 2=3k +2形，这是不可能，∴勾股数中至少有一个是3的倍数。

例4：求x 2+y 2=328的正整数解解：∵328为偶数，∴x,y 奇偶性相同，即x ±y 为偶数，设x+y =2u ,x -y =2v ，代入原方程即为u 2+v 2=164,同理令u +v =2u 1,u -v =2v 1有21121121212282v v u u v u v u =-=+=+,,,412222=+v u 22v u ,为一偶一奇，且0<u 2<6u 2=1，2，3，4，5代方程，有解（4，5）（5，4）∴原方程解x =18,y =2,或x =2,y =18。

基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。

所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。

古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。

不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。

1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。

2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。

古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。

Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。

今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。

他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。

丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。

研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。

②有解时决定解的个数。

③求出所有的解。

中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。

百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。

设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。

3常见类型编辑本段⑴求不定方程的解；⑵判定不定方程是否有解；⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

4方程相关编辑本段4.1一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。

初等数论：不定方程与高斯函数一、不定方程不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。

其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，是培养思维能力的好材料，它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。

以下给出几个求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义.形如ax+by=c(a,b,c∈Z,a,b不同时为零)的方程称为二元一次不定方程定理1.方程ax+by=c有解的充要条件是(a,b)|c；定理2.若(a,b)=1，且x0，y0为ax+by=c的一个解，则方程全部解可以表示成（t为任意整数)。

定理2’..元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c(a1,a2, …a n,c∈N)有解的充要条件是(a1,…,a n )|c.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。

若有解，可先求ax+by=0一个特解，从而写出通解。

当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：00t , y=y tx x b a=+-求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。

不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。

不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。

不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。

基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。

以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。

定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成为任意整数)。

定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。

若有解，可先求一个特解，从而写出通解。

当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。