高考物理一轮复习：5.4《功能关系、能量守恒定律》教学案(含答案)

第4讲功能关系能量守恒定律考纲下载：功能关系(Ⅱ)主干学问·练中回扣——忆教材夯基提能1．功能关系(1)功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。

(2)做功的过程肯定伴随着能量的转化，能量的转化可以通过做功来实现。

2．能量守恒定律(1)能量守恒定律的内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消逝，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。

(2)能量守恒定律的表达式：ΔE减＝ΔE增。

稳固小练1．推断正误(1)力对物体做了多少功，物体就具有多少能。

(×)(2)能量在转移或转化过程中，其总量会不断削减。

(×)(3)在物体机械能削减的过程中，动能有可能是增大的。

(√)(4)既然能量在转移或转化过程中是守恒的，故没有必要节约能源。

(×)(5)滑动摩擦力做功时，肯定会引起机械能的转化。

(√)(6)一个物体的能量增加，必定有别的物体能量削减。

(√)[功能关系的应用]2.自然现象中隐藏着很多物理学问，如图所示为一个盛水袋，某人从侧面缓慢推袋壁使它变形，则水的势能()A．增大B．变小C．不变D．不能确定解析：选A人推袋壁使它变形，对它做了功，由功能关系可得，水的重力势能增加，A正确。

[能量守恒定律的理解]3．上端固定的一根细线下面悬挂一摆球，摆球在空气中摇摆，摇摆的幅度越来越小，对此现象下列说法正确的是()A．摆球机械能守恒B．总能量守恒，摆球的机械能正在削减，削减的机械能转化为内能C．能量正在消逝D．只有动能和重力势能的互相转化解析：选B由于空气阻力的作用，机械能削减，机械能不守恒，内能增加，机械能转化为内能，能量总和不变，B正确。

[摩擦力做功问题]4.足够长的传送带以速度v匀速传动，一质量为m的小物体A由静止轻放于传送带上，若小物体与传送带之间的动摩擦因数为μ，如图所示，当物体与传送带相对静止时，转化为内能的能量为()A ．m v 2B ．2m v 2 C.14m v 2 D.12m v 2解析：选D 物体A 被放于传送带上即做匀加速直线运动，加速度a ＝μmgm＝μg ，匀加速过程前进的间隔 x 1＝v 22a ＝v 22μg ，该时间内传送带前进的间隔 x 2＝v t ＝v ·v μg ＝v 2μg ，所以物体相对传送带滑动间隔 Δx ＝x 2－x 1＝v 22μg ，故产生的内能Q ＝μmg ·Δx ＝μmg ·v 22μg ＝12m v 2，D 正确。

功能关系能量守恒定律【学习目标】1. 理解功是能量转化的量度.2. 理解功能关系.3. 理解能量守恒定律.4. 能运用功能关系求解生活和生产中的实际问题.【自主复习】1. 做功的过程就是转化的过程，功是能量转化的.热传递是能量在物体之间的.2. 功能关系:除重力、弹力以外的其他力对系统做功的等于系统的变化.关系式:W其他力= .3. 功能关系的意义:当其他力的功为正时，系统机械能.当其他力的功为负时，系统机械能.当其他力的功为零时，系统内各种形式机械能相互转化、但没有机械能与其他形式能量之间的相互转化.即机械能.4. 能量守恒定律:能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式为另一种形式，或从一个物体到另一个物体，在转化或转移的过程中其总量保持.【课堂探究】活动一:对功能关系的理解1.一个质量为m的小铁块沿半径为R的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍,则此过程中铁块损失的机械能为：A.mgR/8B.mgR/4C.mgR/2D.3mgR/42.如图，卷扬机的绳索通过定滑轮用力F拉位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动．在移动过程中，下列说法中正确的是:A．木箱克服重力所做的功等于木箱机械能的增加B．F对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和C．F对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和D．Ｆ对木箱做的功等于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力做的功之和活动二:关于摩擦生热的问题1.图示为某探究活动小组设计的节能运动系统。

斜面轨道倾角为30°，质量为M。

木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，与轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。

下列选项正确的是：A．m＝M B．m＝2MC．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能2.电机带动水平传送带以速度v匀速传动，一质量为m的小木块由静止轻放在传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，如图所示.当小木块与传送带相对静止时，求：（1）小木块的位移；（2）传送带转过的路程；（3）小木块获得的动能；（4）摩擦过程产生的摩擦热；（5）因传送物块电机多输出的能量.活动三:关于力学中的功能关系的应用1.如图所示，倾角为30°、高为L 的固定斜面底端与水平面平滑相连，质量分别为3m 、m 的两个小球A 、B 用一根长为L 的轻绳连接，A 球置于斜面顶端，现由静止释放A 、B 两球，球B 与弧形挡板碰撞过程中无机械能损失，且碰后只能沿斜面下滑，它们最终均滑至水平面上.重力加速度为g ，不计一切摩擦.则：A.AB.BC.小球A 、B 在水平面上不可能相撞D.在A 球沿斜面下滑过程中，轻绳对B 球先做正功，后不做功2.如图所示，半径R ＝0.4 m 的光滑圆弧轨道BC 固定在竖直平面内，轨道的上端点B 和圆心O 的连线与水平方向的夹角θ＝30°，下端点C 为轨道的最低点且与粗糙水平面相切，一根轻质弹簧的右端固定在竖直挡板上．质量m ＝0.1 kg 的小物块(可视为质点)从空中A 点以v 0＝2 m/s 的速度被水平抛出，恰好从B 点沿轨道切线方向进入轨道，经过C 点后沿水平面向右运动至D 点时，弹簧被压缩至最短，C 、D 两点间的水平距离L ＝1.2m ，小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，g 取10 m/s 2.求：(1)小物块经过圆弧轨道上B 点时速度v B 的大小； (2)小物块经过圆弧轨道上C 点时对轨道的压力大小； (3)弹簧的弹性势能的最大值E pm .【当堂检测】1.一物体放在升降机底板上，随同升降机由静止开始竖直向下运动，运动过程中物体的机械能与物体位移关系的图象如图所示，其中0-s 1过程的图线为曲线， s 1-s 2过程的图线为直线.根据该图象，下列判断正确的是 A ．0-s 1过程中物体所受合力一定是变力 B ．s 1-s 2过程中物体可能在做匀速直线运动 C ．s 1-s 2过程中物体可能在做变加速直线运动 D ．0-s 2过程中物体的动能可能在不断增大2.如图所示，质量为M =4kg 的木板静止在光滑的水平面上，在木板的右端放置一个质量m =1kg 大小可以忽略的铁块，铁块与木板之间的摩擦因数μ=0.4，在铁块上加一个水平向左的恒力F =8N ，铁块在长L =6m 的木板上滑动。

第4讲功能关系能量守恒定律知识点一功能关系1.功是的量度，即做了多少功就有多少发生了转化.2.做功的过程一定伴随着，而且必须通过做功来实现.答案：1.能量转化能量 2.能量的转化能量的转化知识点二能量守恒定律1.内容：能量既不会凭空，也不会凭空消失，它只能从一种形式为另一种形式，或者从一个物体到另一个物体，在的过程中，能量的总量.2.适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中的一条规律.3.表达式(1)E初＝E末，初状态各种能量的等于末状态各种能量的.(2)ΔE增＝ΔE减，增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量.答案：1.产生转化转移转化或转移保持不变 2.普遍适应 3.(1)总和总和(1)力对物体做了多少功，物体就具有多少能. ( )(2)能量在转移或转化过程中，其总量会不断减少. ( )(3)在物体机械能减少的过程中，动能有可能是增大的. ( )(4)既然能量在转移或转化过程中是守恒的，故没有必要节约能源. ( )(5)滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化. ( )(6)一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少.( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√考点功能关系的应用功是能量转化的量度，力学中几种常见的功能关系如下：[典例1] 如图所示，在竖直平面内有一半径为R 的圆弧轨道，半径OA 水平、OB 竖直，一个质量为m 的小球自A 点正上方的P 点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B 时对轨道压力为mg2.已知AP ＝2R ，重力加速度为g ，则小球从P 到B 的运动过程中( )A.重力做功2mgRB.合力做功34mgR C.克服摩擦力做功12mgR D.机械能减少2mgR[解析] 小球能通过B 点，在B 点速度v 满足mg ＋12mg ＝m v 2R ，解得v ＝32gR ，从P 到B 过程，重力做功等于重力势能减小量为mgR ，动能增加量为12mv 2＝34mgR ，合力做功等于动能增加量34mgR ，机械能减少量为mgR －34mgR ＝14mgR ，克服摩擦力做功等于机械能的减少量14mgR ，故只有B 选项正确.[答案] B[变式1] (多选)如图所示，楔形木块abc 固定在水平面上，粗糙斜面ab 和光滑斜面bc 与水平面的夹角相同，顶角b 处安装一定滑轮.质量分别为M 、m (M >m )的滑块通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行.两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动.若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( )A.两滑块组成的系统机械能守恒B.重力对M做的功等于M动能的增加C.轻绳对m做的功等于m机械能的增加D.两滑块组成的系统机械能损失等于M克服摩擦力做的功答案：CD 解析：两滑块释放后，M下滑、m上滑，摩擦力对M做负功，系统的机械能减小，减小的机械能等于M克服摩擦力做的功，选项A错误，D正确.除重力对滑块M做正功外，还有摩擦力和绳的拉力对滑块M做负功，选项B错误.绳的拉力对滑块m做正功，滑块m机械能增加，且增加的机械能等于拉力做的功，选项C正确.功能关系的应用技巧运用功能关系解题时，应弄清楚重力或弹力做什么功，合外力做什么功，除重力、弹力外的力做什么功，从而判断重力势能或弹性势能、动能、机械能的变化.考点摩擦力做功与能量转化1.静摩擦力做功(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功.(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零.(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能.2.滑动摩擦力做功的特点(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功.(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：①机械能全部转化为内能；②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能.(3)摩擦生热的计算：Q＝F f x相对，其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程.考向1 摩擦力做功的理解与计算[典例2] (2017·江西十校二模)将三个木板1、2、3固定在墙角，木板与墙壁和地面构成了三个不同的三角形，如图所示，其中1与2底边相同，2和3高度相同.现将一个可以视为质点的物块分别从三个木板的顶端由静止释放，并沿斜面下滑到底端，物块与木板之间的动摩擦因数μ均相同.在这三个过程中，下列说法不正确的是 ( )A.沿着1和2下滑到底端时，物块的速度不同，沿着2和3下滑到底端时，物块的速度相同B.沿着1下滑到底端时，物块的速度最大C.物块沿着3下滑到底端的过程中，产生的热量是最多的D.物块沿着1和2下滑到底端的过程中，产生的热量是一样多的[解析] 设1、2、3木板与地面的夹角分别为θ1、θ2、θ3，木板长分别为l 1、l 2、l 3，当物块沿木板1下滑时，由动能定理有mgh 1－μmgl 1cos θ1＝12mv 21－0；当物块沿木板2下滑时，由动能定理有mgh 2－μmgl 2cos θ2＝12mv 22－0，又h 1>h 2，l 1cos θ1＝l 2cos θ2，可得v 1>v 2；当物块沿木板3下滑时，由动能定理有mgh 3－μmgl 3cos θ3＝12mv 23－0，又h 2＝h 3，l 2cos θ2<l 3cos θ3，可得v 2>v 3，故A 错，B 对.三个过程中产生的热量分别为Q 1＝μmgl 1cos θ1，Q 2＝μmgl 2cos θ2，Q 3＝μmgl 3cos θ3，则Q 1＝Q 2<Q 3，故C 、D 对.应选A.[答案] A考向2 传送带模型中摩擦力做功与能量转化[典例3] 如图所示，某工厂用传送带向高处运送物体，将一物体轻轻放在传送带底端，第一阶段物体被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段与传送带相对静止，匀速运动到传送带顶端.下列说法正确的是( )A.第一阶段摩擦力对物体做正功，第二阶段摩擦力对物体不做功B.第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量C.第一阶段物体和传送带间摩擦产生的热等于第一阶段物体机械能的增加量D.物体从底端到顶端全过程机械能的增加量大于全过程摩擦力对物体所做的功[解析] 对物体受力分析知，其在两个阶段所受摩擦力方向都沿斜面向上，与其运动方向相同，摩擦力对物体都做正功，A 错误；由动能定理知，外力做的总功等于物体动能的增加量，B 错误；物体机械能的增加量等于摩擦力对物体所做的功，D 错误；设第一阶段运动时间为t ，传送带速度为v ，对物体：x 1＝v 2t ，对传送带：x 1′＝vt ，摩擦产生的热Q ＝F f x 相对＝F f (x 1′－x 1)＝F f ·v 2t ，机械能增加量ΔE ＝F f ·x 1＝F f ·v2t ，所以Q ＝ΔE ，C 正确.[答案] C考向3 板块模型中摩擦力做功与能量转化[典例4] (2017·安徽黄山模拟)(多选)如图所示，质量为M 、长为L 的木板置于光滑的水平面上，一质量为m 的滑块放置在木板左端，滑块与木板间滑动摩擦力大小为F f ，用水平的恒定拉力F 作用于滑块，当滑块运动到木板右端时，木板在地面上移动的距离为s ，滑块速度为v 1，木板速度为v 2，下列结论中正确的是 ( )A.上述过程中，F 做功大小为12mv 21＋12Mv 22 B.其他条件不变的情况下，M 越大，s 越小C.其他条件不变的情况下，F 越大，滑块到达右端所用时间越长D.其他条件不变的情况下，F f 越大，滑块与木板间产生的热量越多[解析] 由牛顿第二定律得：F f ＝Ma 1，F －F f ＝ma 2，又L ＝12a 2t 2－12a 1t 2，s ＝12a 1t 2，其他条件不变的情况下，M 越大，a 1越小，t 越小，s 越小；F 越大，a 2越大，t 越小；由Q ＝F f L 可知，F f 越大，滑块与木板间产生的热量越多，故B 、D 正确，C 错误；力F 做的功还有一部分转化为系统热量Q ，故A 错误.[答案] BD求解相对滑动过程中能量转化问题的思路(1)正确分析物体的运动过程，做好受力分析.(2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系.(3)公式Q ＝F f ·x 相对中x 相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则x 相对为总的相对路程.考点 能量守恒定律及应用1.对能量守恒定律的理解(1)转化：某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等.(2)转移：某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量相等.2.运用能量守恒定律解题的基本思路考向1 对能量守恒定律的理解[典例5] 如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，已知杆与水平面之间的夹角θ<45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长.现让小球自C点由静止释放，小球在B、D 间某点静止，在小球滑到最低点的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是 ( )A.小球的动能与重力势能之和保持不变B.小球的动能与重力势能之和先增大后减小C.小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变D.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变[解析] 小球与弹簧组成的系统在整个过程中，机械能守恒.弹簧处于原长时弹性势能为零，小球从C点到最低点的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，所以小球的动能与重力势能之和先增大后减小，A项错误，B项正确；小球的重力势能不断减小，所以小球的动能与弹簧的弹性势能之和不断增大，C项错误；小球的初、末动能均为零，所以上述过程中小球的动能先增大后减小，所以小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，D项错误.[答案] B考向2 对能量守恒定律的应用[典例6] (2017·豫南九校联考)如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数μ＝34，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离为L＝1 m.现给A、B一初速度v0＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点.已知重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求：(1)物体A 向下运动刚到C 点时的速度大小；(2)弹簧的最大压缩量；(3)弹簧的最大弹性势能.[解题指导] (1)系统从开始到C 点的过程中，由于摩擦力做负功，机械能减少.(2)物体A 压缩弹簧到最低点又恰好弹回C 点，系统势能不变，动能全部克服摩擦力做功.(3)物体A 在压缩弹簧过程中，系统重力势能不变，动能一部分克服摩擦力做功，一部分转化为弹性势能.[解析] (1)物体A 向下运动刚到C 点的过程中，对A 、B 组成的系统应用能量守恒定律可得：μ·2mg ·cos θ·L ＝12·3mv 20－12·3mv 2＋2mgL sin θ－mgL 可解得v ＝2 m/s.(2)以A 、B 组成的系统，在物体A 将弹簧压缩到最大压缩量，又返回到C 点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量即：12·3mv 2－0＝μ·2mg cos θ·2x 其中x 为弹簧的最大压缩量解得x ＝0.4 m.(3)设弹簧的最大弹性势能为E pm由能量守恒定律可得：12·3mv 2＋2mgx sin θ－mgx ＝μ·2mg cos θ·x ＋E pm 解得E pm ＝6 J.[答案] (1)2 m/s (2)0.4 m (3)6 J对于能量转化的过程，可以从以下两方面来理解：(1)能量有多种不同的形式，且不同形式的能可以相互转化.(2)不同形式的能之间的转化是通过做功来实现的，即做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功就有多少能量发生转化，即功是能量转化的量度.1.[功能关系的应用]滑块静止于光滑水平面上，与之相连的轻质弹簧处于自然伸直状态，现用恒定的水平外力F 作用于弹簧右端，在向右移动一段距离的过程中拉力F 做了10 J 的功.在上述过程中 ( )A.弹簧的弹性势能增加了10 JB.滑块的动能增加了10 JC.滑块和弹簧组成的系统机械能增加了10 JD.滑块和弹簧组成的系统机械能守恒答案：C 解析：拉力F 做功的同时，弹簧伸长，弹性势能增大，滑块向右加速，滑块动能增加，由功能关系可知，拉力做的功等于滑块的动能与弹簧弹性势能的增加量之和，C 正确，A 、B 、D 均错误.2.[功能关系的应用]韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员.他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1 900 J ，他克服阻力做功100 J.韩晓鹏在此过程中( )A.动能增加了1 900 JB.动能增加了2 000 JC.重力势能减小了1 900 JD.重力势能减小了2 000 J答案：C 解析：根据动能定理，物体动能的增量等于物体所受所有力做功的代数和，即增加的动能为ΔE k ＝W G ＋W f ＝1 900 J －100 J ＝1 800 J ，A 、B 项错误；重力做功与重力势能改变量的关系为W G ＝－ΔE p ，即重力势能减少了1 900 J ，C 项正确，D 项错误.3.[摩擦力做功与能量转化]如图所示，一个质量为m 的物体(可视为质点)以某一速度由A 点冲上倾角为30°的固定斜面，做匀减速直线运动，其加速度的大小为g ，在斜面上上升的最大高度为h ，则在这个过程中，物体 ( )A.机械能损失了mghB.动能损失了2mghC.动能损失了12mgh D.机械能损失了12mgh 答案：AB 解析：由物体做匀减速直线运动的加速度和牛顿第二定律可知mg sin 30°＋F f ＝ma ，解得F f ＝12mg ，上升过程中的位移为2h ，因此克服摩擦力做的功为mgh ，选项A 正确；合外力为mg，由动能定理可知动能损失了2mgh，选项B正确，选项C、D错误.4.[摩擦力做功与能量转化]如图所示，木块A放在木板B的左端上方，用水平恒力F将A 拉到B的右端，第一次将B固定在地面上，F做功W1，生热Q1；第二次让B在光滑水平面可自由滑动，F做功W2，生热Q2.则下列关系中正确的是( )A.W1<W2，Q1＝Q2B.W1＝W2，Q1＝Q2C.W1<W2，Q1<Q2D.W1＝W2，Q1<Q2答案：A 解析：木块A从木板B左端滑到右端克服摩擦力所做的功W＝F f s，因为木板B 不固定时木块A的位移要比木板B固定时长，所以W1<W2；摩擦产生的热量Q＝F f l相对，两次都从木块B左端滑到右端，相对位移相等，所以Q1＝Q2，故选A.5.[传送带模型]如图所示，水平传送带两端点A、B间的距离为l，传送带开始时处于静止状态.把一个小物体放到右端的A点，某人用恒定的水平力F使小物体以速度v1匀速滑到左端的B点，拉力F所做的功为W1、功率为P1，这一过程物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q1.随后让传送带以v2的速度匀速运动，此人仍然用相同恒定的水平力F拉物体，使它以相对传送带为v1的速度匀速从A滑行到B，这一过程中，拉力F所做的功为W2、功率为P2，物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q2.下列关系中正确的是 ( )A.W1＝W2，P1<P2，Q1＝Q2B.W1＝W2，P1<P2，Q1>Q2C.W1>W2，P1＝P2，Q1>Q2D.W1>W2，P1＝P2，Q1＝Q2答案：B 解析：因为两次的拉力和拉力方向的位移不变，由功的概念可知，两次拉力做功相等，所以W1＝W2，当传送带不动时，物体运动的时间为t1＝lv1；当传送带以v2的速度匀速运动时，物体运动的时间为t2＝lv1＋v2，所以第二次用的时间短，功率大，即P1<P2；滑动摩擦力做功的绝对值等于滑动摩擦力与相对路程的乘积，也等于转化的内能，第二次的相对路程小，所以Q1>Q2，选项B正确.。

第4讲功能关系能量守恒定律目标要求1.熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题.2.掌握一对摩擦力做功与能量转化的关系.3.会应用能量守恒观点解决综合问题．考点一功能关系的理解和应用1．对功能关系的理解(1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的．(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等．2．常见的功能关系能量功能关系表达式势能重力做的功等于重力势能减少量W ＝E p1－E p2＝－ΔE p弹力做的功等于弹性势能减少量电场力做的功等于电势能减少量分子力做的功等于分子势能减少量动能合外力做的功等于物体动能变化量W ＝E k2－E k1＝12m v 2－12m v 02机械能除重力和弹力之外的其他力做的功等于机械能变化量W 其他＝E 2－E 1＝ΔE 摩擦产生的内能一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能Q ＝f ·s 相对电能克服安培力做的功等于电能增加量W 电能＝E 2－E 1＝ΔE1．一个物体的能量增加，必定有别的物体的能量减少．(√)2．合力做的功等于物体机械能的改变量．(×)3．克服与势能有关的力(重力、弹簧弹力、电场力等)做的功等于对应势能的增加量．(√)4．滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化．(√)功的正负与能量增减的对应关系(1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功．(2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、电场力等)做负功还是做正功．(3)机械能的增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功．考向1功能关系的理解例1(多选)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab与水平面的夹角为60°，光滑斜面bc与水平面的夹角为30°，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M>m)的两滑块A和B，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动，A、B不会与定滑轮碰撞．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中()A．轻绳对滑轮作用力的方向竖直向下B．拉力和重力对M做功之和大于M动能的增加量C．拉力对M做的功等于M机械能的增加量D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功答案BD解析根据题意可知，两段轻绳的夹角为90°，轻绳拉力的大小相等，根据平行四边形定则可知，合力方向与轻绳方向的夹角为45°，所以轻绳对滑轮作用力的方向不是竖直向下的，故A错误；对M受力分析，受到重力、斜面的支持力、轻绳的拉力以及滑动摩擦力作用，根据动能定理可知，M动能的增加量等于拉力、重力以及摩擦力做功之和，而摩擦力做负功，则拉力和重力对M做功之和大于M动能的增加量，故B正确；由除重力和弹力之外的力对物体做的功等于物体机械能的变化量可知，拉力和摩擦力对M做的功之和等于M机械能的增加量，故C错误；对两滑块组成系统分析可知，除了重力之外只有摩擦力对M做功，所以两滑块组成的系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功，故D正确．例2(多选)(2023·广东韶关市南雄中学适应性测试)韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员，他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1800J，他克服阻力做功100J．韩晓鹏在此过程中()A．动能增加了1700JB．机械能减少了100JC ．机械能增加了1700JD ．重力势能减少了1700J 答案AB解析动能增加量等于合力做的功，则动能增加了1800J －100J ＝1700J ，选项A 正确；机械能减少量等于克服阻力做的功，则机械能减少了100J ，选项B 正确，C 错误；重力做的功等于重力势能的减少量，则重力势能减少了1800J ，选项D 错误．考向2功能关系与图像的结合例3(多选)(2020·全国卷Ⅰ·20)一物块在高3.0m 、长5.0m 的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s 的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10m/s 2.则()A ．物块下滑过程中机械能不守恒B ．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5C ．物块下滑时加速度的大小为6.0m/s 2D ．当物块下滑2.0m 时机械能损失了12J 答案AB解析由E －s 图像知，物块动能与重力势能的和减小，则物块下滑过程中机械能不守恒，故A 正确；由E －s 图像知，整个下滑过程中，物块机械能的减少量为ΔE ＝30J －10J ＝20J ，重力势能的减少量ΔE p ＝mgh ＝30J ，又ΔE ＝μmg cos α·s ，其中cos α＝s 2－h 2s ＝0.8，h ＝3.0m ，g ＝10m/s 2，则可得m ＝1kg ，μ＝0.5，故B 正确；物块下滑时加速度的大小a ＝g sin α－μg cos α＝2.0m/s 2，故C 错误；物块下滑2.0m 时损失的机械能为ΔE ′＝μmg cos α·s ′＝8J ，故D 错误．考点二摩擦力做功与能量转化两种摩擦力做功特点的比较类型比较静摩擦力做功滑动摩擦力做功不同点能量的转化只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能(1)一部分机械能从一个物体转移到另一个物体(2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量一对摩擦力的总功一对静摩擦力所做功的代数和总等于零一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功W ＝－fs 相对，即发生相对滑动时产生的热量相同点做功情况两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功例4(多选)如图所示，一个长为L ，质量为M 的木板，静止在光滑水平面上，一个质量为m 的物块(可视为质点)，以水平初速度v 0，从木板的左端滑向另一端，设物块与木板间的动摩擦因数为μ，当物块与木板相对静止时，物块仍在长木板上，物块相对木板的位移为d ，木板相对地面的位移为s ，重力加速度为g .则在此过程中()A ．摩擦力对物块做的功为－μmg (s ＋d )B ．摩擦力对木板做的功为μmgsC ．木板动能的增量为μmgdD ．由于摩擦而产生的热量为μmgs 答案AB解析根据功的定义有W ＝Fl cos θ，其中l 指物体的位移，而θ指力与位移之间的夹角，可知摩擦力对物块做的功W 1＝－μmg (s ＋d )，摩擦力对木板做的功W 2＝μmgs ，A 、B 正确；根据动能定理可知木板动能的增量ΔE k ＝W 2＝μmgs ，C错误；由于摩擦而产生的热量Q ＝f ·Δs ＝μmgd ，D 错误．例5(多选)(2019·江苏卷·8)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态．小物块的质量为m ，从A 点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A 点恰好静止．物块向左运动的最大距离为s ，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中()A．弹簧的最大弹力为μmgB．物块克服摩擦力做的功为2μmgsC．弹簧的最大弹性势能为μmgsD．物块在A点的初速度为2μgs答案BC解析物块处于最左端时，弹簧的压缩量最大，然后物块先向右加速运动再减速运动，可知弹簧的最大弹力大于滑动摩擦力μmg，选项A错误；物块从开始运动至最后回到A点过程，由功的定义可得物块克服摩擦力做的功为2μmgs，选项B正确；物块从最左侧运动至A点过程，由能量守恒定律可知E p＝μmgs，选项C正确；设物块在A点的初速度大小为v0，对整个过程应用动能定理有－2μmgs＝0－12m v02，解得v0＝2μgs，选项D错误．考点三能量守恒定律的理解和应用1．内容能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．2．理解(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．例6(多选)(2023·广东省金山中学高三检测)如图所示，轻弹簧放在倾角为37°的斜面体上，轻弹簧的下端与斜面底端的挡板连接，上端与斜面上b点对齐，质量为m的物块在斜面上的a点由静止释放，物块下滑后，压缩弹簧至c点时速度刚好为零，物块被反弹后返回b点时速度刚好为零，已知ab长为L，bc长为L4，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.则()A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5B．物块接触弹簧后，速度先减小后增大C．弹簧具有的最大弹性势能为0.5mgLD．物块在上述过程因摩擦产生的热量为0.6mgL 答案AD解析物块在a 点由静止释放，压缩弹簧至c 点，被反弹后返回b 点时速度刚好为零，对整个过程应用动能定理得mgL sin θ－μmg cos θ(L ＋L 4＋L4)＝0，解得μ＝0.5，则整个过程因摩擦产生的热量为Q ＝μmg cos θ(L ＋L 4＋L4)＝0.6mgL ，故A 、D 正确；物块接触弹簧后，向下运动时，开始由于mg sin θ>μmg cos θ＋F 弹，物块继续向下加速，F 弹继续变大，当mg sin θ<μmg cos θ＋F 弹时，物块将向下减速，则物块向下运动时先加速后减速，向上运动时，由于在c 点和b 点的速度都为零，则物块先加速后减速，故B 错误；设弹簧的最大弹性势能为E pm ，物块由a 点到c 点的过程中，根据能量守恒定律得mg sin θ(L ＋L 4)＝μmg cos θ(L ＋L4)＋E pm ，解得E pm ＝0.25mgL ，故C 错误．例7如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A 与斜面之间的动摩擦因数μ＝34，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C 点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A 和B ，滑轮右侧绳子始终与斜面平行，A 的质量为2m ＝4kg ，B 的质量为m ＝2kg ，初始时物体A 到C 点的距离L ＝1m ，现给A 、B 一初速度v 0＝3m/s ，使A 开始沿斜面向下运动，B 向上运动，物体A 将弹簧压缩到最短后又恰好能弹回到C 点．已知重力加速度大小g ＝10m/s 2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于伸直状态．求在此过程中：(1)物体A 向下运动刚到C 点时的速度大小；(2)弹簧的最大压缩量；(3)弹簧的最大弹性势能．答案(1)2m/s(2)0.4m(3)6J解析(1)在物体A 向下运动刚到C 点的过程中，对A 、B 组成的系统应用能量守恒定律可得μ·2mg cos θ·L ＝12×3m v 02－12×3m v 2＋2mgL sin θ－mgL ，解得v ＝2m/s.(2)对A 、B 组成的系统分析，在物体A 从C 点压缩弹簧至最短后恰好返回到C 点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量，即12×3m v 2－0＝μ·2mg cos θ·2x其中x 为弹簧的最大压缩量解得x ＝0.4m.(3)设弹簧的最大弹性势能为E pm ，从C 点到弹簧被压缩至最短过程中由能量守恒定律可得12×3m v 2＋2mgx sin θ－mgx ＝μ·2mg cos θ·x ＋E pm ，解得E pm ＝6J.应用能量守恒定律解题的步骤1．首先确定初、末状态，分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等．2．明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能的表达式．量ΔE增课时精练1.(多选)如图所示，在粗糙的桌面上有一个质量为M的物块，通过轻绳跨过定滑轮与质量为m的小球相连，不计轻绳与滑轮间的摩擦，在小球下落的过程中，下列说法正确的是()A．小球的机械能守恒B．物块与小球组成的系统机械能守恒C．若小球匀速下降，小球减少的重力势能等于物块与桌面间摩擦产生的热量D．若小球加速下降，小球减少的机械能大于物块与桌面间摩擦产生的热量答案CD解析在小球下落的过程中，轻绳的拉力对小球做负功，小球的机械能减少，故A错误；由于物块要克服摩擦力做功，物块与小球组成的系统机械能不守恒，故B错误；若小球匀速下降，系统的动能不变，则根据能量守恒定律可知，小球减少的重力势能等于物块与桌面间摩擦产生的热量，故C正确；若小球加速下降，则根据能量守恒定律可知，小球减少的机械能等于物块与桌面间摩擦产生的热量及物块增加的动能之和，所以小球减少的机械能大于物块与桌面间摩擦产生的热量，故D正确．2．某同学用如图所示的装置测量一个凹形木块的质量m，弹簧的左端固定，木块在水平面上紧靠弹簧(不连接)并将其压缩，记下木块右端位置A点，静止释放后，木块右端恰能运动到B1点．在木块槽中加入一个质量m0＝800g的砝码，再将木块左端紧靠弹簧，木块右端位置仍然在A点，静止释放后木块离开弹簧，右端恰能运动到B2点，测得AB1、AB2长分别为27.0cm 和9.0cm ，则木块的质量m 为()A ．100gB ．200gC ．300gD ．400g答案D解析根据能量守恒定律，有μmg ·AB 1＝E p ，μ(m 0＋m )g ·AB 2＝E p ，联立解得m ＝400g ，D 正确．3．(2023·广东东莞市调研)在奥运比寒项目中，跳水是我国运动员的强项．质量为m 的运动员竖直进入水中后，受到水的阻力而做变速运动，设水对运动员的阻力大小恒为F ，在下降高度为h 的过程中，运动员的(已知重力加速度为g )()A ．动能减少了FhB ．重力势能增加了mghC ．机械能减少了(F －mg )hD ．机械能减少了Fh 答案D解析根据动能定理mgh －Fh ＝0－12m v 2，解得12m v 2＝(F －mg )h ，动能减少了(F －mg )h ，A错误；重力势能减少了mgh ，B 错误；机械能减少量等于克服阻力所做的功，所以机械能的减少量等于Fh ，C 错误，D 正确．4.(多选)如图所示，在竖直平面内有一半径为R 的圆弧轨道，半径OA 水平、OB 竖直，一个质量为m 的小球自A 点的正上方P 点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B 时恰好对轨道没有压力．已知AP ＝2R ，重力加速度为g ，则小球从P 点运动到B 点的过程中()A ．重力做功2mgRB ．机械能减少mgRC ．合力做功12mgRD ．克服摩擦力做功12mgR答案CD解析小球从P 点运动到B 点的过程中，重力做的功W G ＝mg (2R －R )＝mgR ，故A 错误；小球沿轨道到达最高点B 时恰好对轨道没有压力，则有mg ＝mv B 2R，解得v B ＝gR ，则此过程中机械能的减少量为ΔE ＝mgR －12m v B 2＝12mgR ，故B 错误；根据动能定理可知，合外力做功W 合＝12m v B 2－0＝12mgR ，故C 正确；根据功能关系可知，小球克服摩擦力做的功等于机械能的减少量，则W 克f ＝ΔE ＝12mgR ，故D 正确．5．一木块静置于光滑水平面上，一颗子弹沿水平方向飞来射入木块中．当子弹进入木块的深度达到最大值2.0cm 时，木块沿水平面恰好移动1.0cm.在上述过程中系统损失的机械能与子弹损失的动能之比为()A ．1∶2B ．1∶3C ．2∶3D ．3∶2答案C解析根据题意，子弹在摩擦力作用下的位移为s 1＝(2＋1)cm ＝3cm ，木块在摩擦力作用下的位移为s 2＝1cm ；系统损失的机械能转化为内能，根据功能关系，有ΔE 系统＝Q ＝f ·Δs ＝f (s 1－s 2)；子弹损失的动能等于子弹克服摩擦力做的功，故ΔE k 子弹＝fs 1；所以ΔE 系统ΔE k 子弹＝23，所以C 正确，A 、B 、D 错误．6.(多选)如图所示为玩具水弹枪的发射原理简图，水弹上膛时，弹簧被压缩，扣动扳机弹簧恢复原长，水弹被弹射出枪口，假设在此过程水弹与枪管的摩擦忽略不计，小朋友从1.25m 高处迎风水平发射一颗质量为10g 的水弹，水弹水平飞行15m 后恰竖直落回地面，由于水弹水平方向速度较大且迎风飞行，认为水平方向空气阻力恒定不变，所以可以将水弹在水平方向的运动看作匀减速直线运动，而竖直方向水弹速度始终比较小，故竖直方向空气阻力可忽略不计，可认为竖直方向上水弹做自由落体运动，g 取10m/s 2，则以下选项正确的是()A ．水弹落地时的动能为0.125JB ．水平方向空气阻力做功的为15JC ．弹性势能为18JD ．水平方向空气阻力大小为2N 答案AC解析由题意可知，落地时水弹水平速度为0，根据动能定理可得，水弹落地时的动能等于下落过程中重力做的功，即E k ＝mgh ＝0.125J ，故A 正确；水弹在竖直方向做自由落体运动，根据h ＝12gt 2得t ＝0.5s ，水弹落地时恰竖直落地，则说明水平方向水弹做匀减速直线运动且末速度恰好为零，设水平方向上加速度为a ，则水平方向位移大小为x ＝12at 2，解得水平方向加速度大小为a ＝120m/s 2，因此水平方向空气阻力大小为f ＝ma ＝1.2N ，水平方向空气阻力做的功为W f ＝fx ＝18J ，故B 、D 错误；由功能关系可知，弹簧的弹性势能等于空气阻力所做的功，所以弹性势能E p ＝18J ，故C 正确．7．(多选)(2023·重庆市调研)将一初动能为E 的物体(可视为质点)竖直上抛，物体回到出发点时，动能为E2，取出发点位置的重力势能为零，整个运动过程可认为空气阻力大小恒定，则该物体动能与重力势能相等时，其动能为()A.E 4B.3E 10C.3E 7D.4E 9答案BC解析设上升的最大高度为h ，根据功能关系有f ·2h ＝E －E 2＝E2，根据能量守恒可得E ＝mgh＋fh ，求得mgh ＝34E ，fh ＝14E ，求得f ＝13mg ，若在上升阶段离出发点H 处动能和重力势能相等，由能量守恒定律有E k ＋mgH ＝E －fH ，E k ＝E p ＝mgH ，联立解得E k ＝mgH ＝37E ，若在下降阶段离出发点H ′处动能和重力势能相等，由能量守恒定律有E k ′＋mgH ′＝E －f (2h －H ′)，E k ′＝E p ′＝mgH ′，联立解得E k ′＝mgH ′＝310E ，故选B 、C.8．(多选)(2023·广东省开学联考)北京冬奥会引发了全国的冰雪运动热潮．如图所示为某滑雪爱好者的滑雪场景，他由静止开始从一较陡斜坡滑到较为平缓的斜坡，假设整个过程未用雪杖加速，而且在两斜坡交接处无机械能损失，两斜坡的动摩擦因数相同．下列图像中s 、t 、E k 、E 分别表示滑雪爱好者水平位移、所用时间、动能和机械能，下列图像正确的是()答案BD解析设斜坡的倾角为θ，滑雪爱好者下滑过程中动能的变化量等于合力做的功，则E k －E k0＝mgs tan θ－μmgs ，即E k ＝mg (tan θ－μ)s ，下滑过程中，倾角不变时，E k －s 图像的斜率不变，倾角变小，图像的斜率变小，故A 项错误，B 项正确；根据牛顿第二定律可得，滑雪爱好者下滑时有mg sin θ－μmg cos θ＝ma ，可得a ＝g sin θ－μg cos θ，E ＝E 0－μmg cos θ·12at 2，即E ＝E 0－μmg cos θ·12g (sin θ－μcos θ)t 2，当θ不变时，E 与t 2成线性关系，E －t 图像为一抛物线，当θ发生变化时，E －t 图像为另一抛物线，故C 项错误；滑雪爱好者下滑过程中机械能的变化量等于摩擦力做的功，则E －E 0＝－μmg cos θ·s cos θ，即E ＝E 0－μmgs ，所以E －s 图像如D 项所示，故D 项正确．9．(2023·山西太原市高三模拟)如图甲所示，一物块置于粗糙水平面上，其右端通过水平弹性轻绳固定在竖直墙壁上．用力将物块向左拉至O 处后由静止释放，用传感器测出物块的位移s 和对应的速度，作出物块的动能E k －s 关系图像如图乙所示．其中，0.10～0.25m 间的图线为直线，其余部分为曲线．已知物块与水平面间的动摩擦因数为0.2，取g ＝10m/s 2，弹性绳的弹力与形变始终符合胡克定律，可知()A ．物块的质量为0.2kgB ．弹性绳的劲度系数为50N/mC ．弹性绳弹性势能的最大值为0.6JD ．物块被释放时，加速度的大小为8m/s 2答案D 解析根据动能定理可得μmg Δs ＝ΔE k ，代入数据可得m ＝ΔE k μg Δs ＝0.300.2×10×(0.25－0.10)kg ＝1kg ，所以A 错误；由题图乙可知动能最大时弹性绳弹力等于滑动摩擦力，则有k Δs 1＝μmg ，Δs 1＝0.10m －0.08m ＝0.02m ，解得k ＝100N/m ，所以B 错误；根据能量守恒定律有E pm ＝μmgs m ＝0.2×1×10×0.25J ＝0.5J ，所以C 错误；物块被释放时，加速度的大小为a ＝k Δs m －μmg m ＝100×0.10－0.2×1×101m/s 2＝8m/s 2，所以D 正确．10.如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB 与粗糙水平面BC 平滑连接于B 点，BC 右端连接内壁光滑、半径r ＝0.2m 的14细圆管CD ，管口D 端正下方直立一根劲度系数为k ＝100N/m 的轻弹簧，弹簧一端固定于地面上，另一端恰好与管口D 端平齐．一个质量为1.0kg 的物块放在曲面AB 上，现从距BC 的高度为h ＝0.6m 处由静止释放物块，它与BC 间的动摩擦因数μ＝0.5，物块进入管口C 端时，它对上管壁有F N ＝2.5mg 的作用力，通过CD 后，在压缩弹簧过程中物块速度最大时弹簧的弹性势能E p ＝0.5J ．重力加速度g 取10m/s 2.求：(1)在压缩弹簧过程中物块的最大动能E km ；(2)物块最终停止的位置．答案(1)6J (2)停在BC 上距离C 端0.3m 处(或距离B 端0.2m 处)解析(1)在压缩弹簧过程中，物块速度最大时所受合力为零．设此时物块离D 端的距离为x 0，则有kx 0＝mg ，解得x 0＝mg k＝0.1m 在C 点，物块受到上管壁向下的作用力F N ′＝2.5mg 和重力，有F N ′＋mg ＝m v C 2r ，解得v C ＝7m/s.物块从C 点到速度最大时，由能量守恒定律有mg (r ＋x 0)＝E p ＋E km －12m v C 2，解得E km ＝6J (2)物块从A 点运动到C 点的过程中，由动能定理得mgh －μmgs ＝12m v C 2－0解得B 、C 间距离s ＝0.5m物块与弹簧作用后返回C 处时动能不变，物块的动能最终消耗在与BC 水平面相互作用的过程中．设物块第一次与弹簧作用返回C 处后，物块在BC 上运动的总路程为s ′，由能量守恒定律有：μmgs ′＝12m v C 2，解得s ′＝0.7m ，故最终物块在BC 上距离C 点为x 1＝0.5m －(0.7m －0.5m)＝0.3m(或距离B 端为x 2＝0.7m －0.5m ＝0.2m)处停下．。