自动控制拉氏变换

自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换附录1. 拉普拉斯变换附录1.1拉氏变换的定义如果有一个以时间为变量的函数()f t ，它的定义域是0t >，那么拉氏变换就是如下运算式()()st t F s f t e dt ∞=⎰ A-1式中s 为复数。

一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是 （1） 在0t <时，()0f t =；（2） 在0t ≥时的任一有限区域内，()f t 是分段连续的； （3） 0()st f t e dt ∞<∞⎰在实际工程中，上述条件通常是满足的。

式A-1中，()F s 成为像函数，()f t 成为原函数。

为了表述方便，通常把式A-1记作()[()]F s L f t =如果已知象函数()F s ，可用下式求出原函数1()()2c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰ （A-2）式中c 为实数，并且大于()F s 任意奇点的实数部分，此式称为拉氏变换的反变换。

同样，为了表述方便，可以记作1()[()]f t L F s -=为了工程应用方便，常把()F s 和()f t 的对应关系编成表格，就是一般所说的拉氏变换表。

表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。

一些常用函数的拉氏变换附录1.1.1单位阶跃函数的拉氏变换这一函数的定义为0, 0()0, 0t u t t <⎧=⎨>⎩它表示0t =时，突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量，如图3-1所示。

单位阶跃函数的拉氏变换为0011()[]st st F s e dt e s s∞--∞==-=⎰ 在进行这个积分时，假设s 的实部比零大，即Re[]0s >，因此lim 0st t e -→∞→附录1.1.2 单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。

它是在持续时间0ε→期间内作用的矩形波，其幅值与作用时间的乘积等于1，如图3-3所示。

附录1： 拉普拉斯（LapLace ）变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。

按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。

一、拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间t 为自变量的实变函数)(t f ，它的定义域是0≥t ，那么)(t f 的拉普拉斯变换定义为⎰∞-==0)()()]([dt e t f s F t f L st （1-1）式中，s 是复变数， ωσj s +=（σ、ω均为实数），⎰∞-0st e 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数)(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称)(s F 为)(t f 的象函数，而称)(t f 为)(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。

式（1-1）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数)(s F 。

二、几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数)(1t 的拉氏变换)(t f 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为)0()0(101≥<⎩⎨⎧∆t t t ）（图1-1 单位阶跃函数单位阶跃函数如图1-1所示，它表示在0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。

单位阶跃函数的拉氏变换式为∞--∞-===⎰00|1)(1)](1[)(st st e sdt e t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0lim →-∞→stt e所以 ss e ss F st1)]1(0[1)(0=--=-=∞-（1-2）2.指数函数atet f -=)(的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。

dt e dt ee eL s F t s a atst at⎰⎰∞+--∞--===0)(0][)(令a s s +=1则与求单位阶跃函数同理，就可求得 as e L s F sat+===-11][)(1（1-3） 3．正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设t t f ωsin )(1=， t t f ωcos )(2=，则dt te t L s F st ⎰∞-==01sin ][sin )(ωω由欧拉公式，有je e t tj t j 2sin ωωω--=所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞∞---001j 21)(dt e e dt e e s F stt j st t j ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞∞+---00)()(j 21dt e dt e t j s t j s ωω ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=∞+-∞--0)(0)(j s 1j -s 1j 21t j s t j s e e ωωωω22s j s 1j -s 1j 21ωωωω+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=（1-4）同理 222][cos )(ωω+==s st L s F （1-5）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间)0(→=εεt 期间幅值为ε1的矩形波。

第一讲 拉普拉斯变换及其应用1.1基本要求1,熟悉拉氏变换的基本法则2,熟练掌握典型函数的拉氏变换式。

3,掌握用拉氏变换求解微分方程初值问题的思路。

4,熟练掌握求有理分式函数拉氏反变换的方法 1.2.重点讲解1, 对于学习本课程而言，广义积分式(拉氏变换的定义)的收敛性以及复变量主值积分式(反变换定义式)的计算，与正确地熟练地运用拉氏变换的基本法则相比不是主要的，因为在工程计算中可以用查表的方式来完成拉氏变换和拉氏反变换的计算。

而拉氏变换的基本法则的运用则直接关系到是否真正掌握这种变换的工具。

2,拉氏变换的线性性质源自定积分的线性性质，这说明作为一种变换关系，拉氏变换是线性变换。

应当指出线性关系并非所有变换都具有的性质，例如以十为底的对数可以看成正半数轴到数轴的变换关系，但关系式g()g g l a b l a l b +≠+说明取对数的运算显然不满足线性关系。

3, 为了保证拉氏变换的一一对应关系，总假定拉氏变换的定义式中的原函数()f t 在t 时为零。

即原函数应写成0<()1()f t t ⋅,根据单位阶跃函数1(t)的定义，这里()1()f t ⋅t 为()0()1()00f t t f t t t > ⋅=<下面给出()f t 、()1()f t t ⋅、、0()1()f t t t ⋅−00()1(f t t t t )−⋅−、0(f t t )−的函数关系，以说明通常所说“将()f t 延迟t ” 的正确表示。

显然应当是图1-1中的(d) ，不是(c)或(e) 0()1()f t t ⋅0()1()f t t t ⋅−00()1()f t t t t −⋅− (d)(c)(b) (a) (e)图1-1 将()f t 延迟t基于上述认识，就能正确表达图形和用延迟定理求出某些图形的拉氏变换式。

例题1-2图1-2 波形图求图1-2中的波形的拉氏变换。

解 图1-2中的波形可以看成、()1()t t ⋅001(t t t t )−⋅−、t t 01()t 0⋅−这三个信号的代数和，读者可画出这三个信号的波形图以验证下式的正确性。

自动控制原理胥布工拉氏变换
注：本回答是在一般背景下对于自动控制原理中使用的拉氏变换（Laplace Transform）进行解释。

拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于自动控制原理中。

它是将时域的函数转换为复频域的函数的一种变换方法。

在自动控制系统中，通过对系统的输入和输出信号进行拉氏变换，可以更方便地分析系统的稳态性能、动态响应等。

拉氏变换可以将时域的函数f(t)变换为复频域的函数F(s)，其中s为复变量。

拉氏变换的定义如下：
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞](f(t)e^(-st))dt
其中，F(s)表示拉氏变换后的函数，s表示复变量，L{}表示拉氏变换操作符，f(t)表示时域的函数，t表示时间。

在自动控制系统中，常常使用拉氏变换来分析系统的传递函数和频率响应。

传递函数是系统的输出与输入之间的关系，通过拉氏变换可以将微分方程转换为代数方程，更方便地进行分析和设计。

同时，拉氏变换也经常用于求解系统的稳态性能。

通过对系统的输入信号进行拉氏变换，可以得到系统的频率响应，进而分析系统对不同频率的输入信号的响应情况。

总之，拉氏变换是自动控制原理中非常重要的数学工具，通过将时域函数转换为复频域函数，方便了对系统性能的分析和设计。

它在自动控制系统的建模、分析和设计等方面具有广泛的应用。