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第１页 共30页淮 海 工 学 院09 - 10 学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷（A闭卷）答案及评分标准1．一袋中有6个白球，4个红球，任取两球都是白球的概率是-----------------（ B ） ()A 1/2 ()B 1/3 ()C 1/4 ()D 1/6 2．设随机变量~(3,)X b p ，且{1}{2}P X P X ===，则p 为---------------（A ）()A 0.5 ()B 0.6 ()C 0.7 ()D 0.83．设),(Y X 的联合概率密度为(,)f x y ，则边缘概率密度()X f x =----------（ C ）()A (,)f x y dx +∞-∞⎰()B (,)xf x y dx +∞-∞⎰()C (,)f x y dy +∞-∞⎰()D (,)yf x y dy +∞-∞⎰4．设X 是一随机变量，则下列各式中错误的是----------------------------------（ C ）()A [()]()E D X D X = ()B [()]()E E X E X = ()C [()]()D EX E X = ()D [()]0D E X =5．已知()0E X =，()3D X =，则由切比雪夫不等式得{||6}P X ≥≤------（ B ）()A 1/4()B 1/12 ()C 1/16 ()D 1/366．设总体()21,2XN ，12,,,n X X X 为X 的一个样本，则---------------（ C ）()A()10,12X N - ()B ()10,14X N - ()C ()0,1N ()D ()0,1N7．设总体2~(,)X N μσ，2,μσ未知，n X X X ,,,21 为来自X 的样本，样本均值为X ，样本标准差为S ，则μ的置信水平为α-1的置信区间为-------（ D ）()A 2()X z α±()B 2((1))X z n α±-()C 2(())X n α±()D 2((1))X n α- 8．设总体2~(,)X N μσ，2,μσ未知，检验假设22220010:,:H H σσσσ=≠的拒绝域为--------------------------------------------------------------------------------------（ A ）()A 2222122(1)(1)n n ααχχχχ-≥-≤-或 ()B 22(1)n αχχ≥-()C 22221(1)(1)n n ααχχχχ-≥-≤-或 ()D 221(1)n αχχ-≤-二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1．设,,A B C 表示三个随机事件，则事件“,,A B C 不都发生”可用,,A B C 的运算关系表示为ABC .2．随机变量X 的数学期望()2E X =，方差()4D X =，则2()E X = 8第２页 共30页3．设X Y 和相互独立，且()~0,1X U ，Y 的概率密度为121,0()20,y Y e y f y -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，则(,)X Y 的概率密度为121,(0,1),0(,)20,y ex y f x y -⎧∈>⎪=⎨⎪⎩其他.4．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本，2,X S 分别为样本均值和样本方差，则()E X =μ，2()E S =2σ.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1．已知()()0.4,0.7P A P AB ==，分别在下列两种条件下，求()P B 的值.（1）若A 与B 互不相容；（2）若A 与B 相互独立. 解 由加法公式()()()()P AB P A P B P AB =+- ------------2'（1）A 与B 互不相容，即()0AB P AB =∅⇒=，代入加法公式得，()0.70.40.3P B =-= ------------2' （2）A 与B 相互独立，即()()()P AB P A P B =代入加法公式得，0.70.4()0.4()P B P B =+-，得()0.5P B = ------------3'2．已知随机变量X 的概率密度函数为2,01,()0,,ax x f x ⎧<<=⎨⎩其他 求（1）常数a ；（2）{0.3}.P X > 解 (1)120()1,13f x dx ax dx a +∞-∞=∴=∴=⎰⎰ -----------------4'(2) 11230.30.3{0.3}30.973.P X x dx x >===⎰-----------------3'3．已知随机变量~(0,1)X U ，求随机变量ln Y X =的概率密度函数)(y f Y . 解 1,01,()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他,---------------------2'1()ln ,()0y g x x g x x'===>,()g x 在(0,1)严格单调增， 反函数(),()yyx h y e h y e '==={}{}min (0),(1),max (0),(1)0.g g g g αβ==-∞==----------------------2'[()]|'()|,,()0,X Y f h y h y y f y αβ⋅<<⎧=⎨⎩其他，,0,0,0y e y y ⎧<=⎨≥⎩ ---------------------3'4．设随机变量X求（1）(),X Y 的分布律；（2）{3}.P X Y += 解 （1）-------------------5'（2）{3}{1,2}{2,1}P X Y P X Y P X Y +====+==0.210.210.42.=+= ---------------------2'第３页 共30页四、应用题（本题8分）某商店将同牌号同瓦数的一、二、三级灯泡混在一起出售，三个级别的灯泡比例为1:2:1，出售灯泡时需试用. 一、二、三级品在试用时被烧毁的概率分别为0.1, 0.2, 0.3. 现有一顾客买一灯泡试用正常，求该灯泡为三级品的概率. 解： 设1A =“一级品”，2A =“二级品”，3A =“三级品”，B =“灯泡正常”，------------------2'123123121(),(),(),444(|)0.9,(|)0.8,(|)0.7,P A P A P A P B A P B A P B A ====== ------------------2' 313112233()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A ∴=++10.940.281.1210.90.80.7444⨯==⨯+⨯+⨯ ----------------4'五、计算题（本题8分）设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观测，试求其中至少有一次“观测值大于3”的概率.解 1,25,()30,X x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,---------------2'5312{3}33p P X dx =>==⎰ ---------------2'设Y 表示三次独立观测中“观测值大于3”的次数，则2~(3,)3Y b ---------------2'3126{1}1{0}1()327P Y P Y ∴≥=-==-= -----------------2'六、计算题（本题8分）设总体X 的概率密度为1,0,(;)0,0.xe xf x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0＞θ为未知参数，12,,,n X X X 为来自X 的样本，12,,,n x x x 为相应的样本值，（1）求θ的最大似然估计量1ˆθ； （2）试问1ˆθ与21ˆ2X X θ=-是不是θ的无偏估计量？当1n >时，上述两个估计量哪一个较为有效？解 (1) 似然函数112111()(;),,,,0nii x nnin ni i L f x ex x x θθθθ=-==∑==>∏∏ -------2'11ln ()ln nii L n x θθθ==--∑，令21ln ()10()ni i d L n x d θθθθ==-+=∑，解得11ˆni i x x n θ===∑， 所以θ的最大似然估计量为1ˆ.X θ= ----------------2' (2) 1ˆ()(),E E X θθ== 21ˆ()(2)2,E E X X θθθθ=-=-= ∴估计量12ˆˆθθ与都是θ的无偏估计量。
一、单选题1. 根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（）A．B．C．D．2. 某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（）A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.843. 随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式，避免在没有任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私和秘密加以保护，又能获得所需要的真实信息．某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”．①：若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“×”；②：若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“×”．当所有员工完成问卷调查后，统计画√，画×的比例为3∶2，用频率估计概率，则该公司员工对考勤管理方案的满意率为（）A．50% B．60% C．70% D．80%4. 托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（）A．B．C．D．5. 某货车为某书店运送书籍，共箱，其中箱语文书、箱数学书、箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（）A．B．C．D．6. 一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（）A．B．C．D．二、多选题7. 某校开展“一带一路”知识竞赛，甲组有7名选手，其中5名男生，2名女生；乙组有7名选手，其中4名男生，3名女生．现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，表示事件“从甲组抽取的是男生”，表示事件“从甲组抽取的是女生”，B表示事件“从乙组抽取1名女生”，则下列结论正确的是（）A．，是对立事件B．C．D．8. 若某市场销售的某种产品中，甲品牌、乙品牌的市场占有比例为，优质品率分别为、，在该市场中任意买一件这种产品，则下列结论中正确的有（）．A．买到的是甲品牌产品的概率为0.2B．若已知买到的产品是乙品牌，则这件产品是优质品的概率是0.9C．买到的是优质品的概率为0.8D．若已知买到的是优质品，则这件产品是甲品牌的概率是0.5三、填空题9. 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 __．10. 学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第1份占总数的40％，次品率为5％，第2份占总数的60％，次品率为4％．若李老师分份之前随机拿了一个发现是次品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为______．11. 流行性感冒，简称流感，是流感病毒引起的一种急性呼吸道疾病．已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是_______．12. 某同学连续两次投篮，已知第一次投中的概率为0.8，在第一次投中的情况下，第二次也投中的概率为0.7，且第一次投不中，第二次投中的概率为0.5，则在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为______．四、解答题13. 某电子设备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录得到以下数据：元件制造厂次品率提供元件的份额1 0.01 0.12 0.02 0.73 0.03 0.2设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志(1)在仓库中随机抽取1个元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机抽取1个元件，若已知抽取的是次品，求该次品出自元件制造厂3的概率.14. 为提升学生的综合素养能力，学校积极为学生搭建平台，组织学生参与各种社团活动.在学校辩论队活动中，甲同学积极参与.为了更好的了解每个同学的社团参与情况和能力水平，对每位参与辩论队的同学进行跟踪记录.社团老师了解到，甲自加入辩论队以来参加过100场辩论比赛：甲作为一辩出场20次，其中辩论队获胜14次；甲作为二辩出场30次，其中辩论队获胜21次；甲作为三辩出场25次，其中辩论队获胜20次；甲作为四辩出场25次，其中辩论队获胜20次.用该样本的频率估计概率，则：(1)甲参加比赛时，求该辩论队某场比赛获胜的概率；(2)现学校组织6支辩论队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级.社团老师决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在辩论队顺利晋级，记其获胜的场数为，求的分布列和数学期望.15. 玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”求：(1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率.16. 设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分、、．现从这三个地区任抽取一个人．(1)求此人感染此病的概率；（结果保留三位小数）(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留三位小数）．。
第九章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。
当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。
所以函数 在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=222242244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：§ 2 偏导数1、设z=xyxe xy + ,验证 z x y +=∂∂+∂∂yz y x z x证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π)3、设yxy xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，yu ∂∂ ，z u ∂∂ 解：1-=∂∂y zx y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)）§ 3 全微分1、单选题（1）（D ）既非充分又非必要条件（2）（B ）偏导数连续，则全微分必存在2、求下列函数的全微分：1）x y e z = )1(2dy x dx xy e dz xy+-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zy x u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz y z y ln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--=∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx zz y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、解：)0,0(01sin )(lim 2222)0,0(),(f yx y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2]1)1[l n()1(xy xy xy xy z y y ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx e x x e 221)1(++(6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223 (4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 217.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
高等数学1（下）期末复习——模拟试卷模拟试卷Ⅰ一 填空与选择题1．函数221ln(1)z x y =++-的定义域为 ； 2．已知函数arctan y z x =，则2zx y∂=∂∂ ；3．函数22z x y =+在点(1,2)沿方向的方向导数为 ； 4．已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ；5．曲面232z x y =+在点(1,1,5)处的法线方程为 ； 6．交换积分次序：2220(,)y y dy f x y dx ⎰⎰＝ ；7．设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ）；A. L 平行于πB. L 在π上C. L 垂直于πD. L 与π斜交 8．函数(,)f x y 在点(,)x y 偏导数存在是函数在该点可微的（ ）条件；A. 充分B. 必要C. 充要D. 既不充分也不必要9．设(,)z f x y =是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =（ ）；A.dx dy +B.dx D.dx10．设2210()101x f x xx -<≤⎧=⎨+<≤⎩是以2为周期的周期函数，则()f x 的傅里叶级数在0x =收敛 于（ ）．A. 2B. 1C.32D. 0． 二、计算题1．求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程． 2．已知sin uz e v =，而2u xy =，2v x y =，求z x ∂∂，zy∂∂．3．设22{(,)1}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰． 4.求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值. 5. 判别级数111(1)2n n n n∞--=-∑ 的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛． 6.求幂级数112nnn x n ∞=⋅∑的收敛半径及收敛区间． 7．计算曲线积分22(23sin )(2)y Lxy x xdx x e y dy +++-+⎰，其中L 为摆线sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧． 8．利用高斯公式计算22(2)xz zdydz yzdzdx z dxdy ∑++-⎰⎰，其中∑是由圆锥面z =与上半球面z =模拟试卷Ⅰ参考答案一、填空与选择题：1．22{(,)|12}x y x y <+<； 2．()22222y x xy-+； 3．1+45．115341x y z ---==-； 6．4102(,)x dx f x y dy ⎰⎰．7．C ； 8．B ； 9．D ； 10.C ．二、计算题1．解： 12(1,2,3){1,0,1}{2,1,1}A s s →→=-=121013211ij kn s s i j k →→→→→→→→→=⨯=-=-+∴平面方程为320x y z -++=2．解：z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 22222sin cos 2(sin 2cos )u u xy e v y e v xy e y x y xy x y =⋅+⋅=+z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂22222s i n 2c o s (2s i n c os )u u x y e v x y e v x e x y x y x x y =⋅+⋅=+ 3．解：:0201D r θπ≤≤≤≤2322123cos cos DD x dxdy r drd d r drπθθθθ∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰4π=4．解： 222(,)(2241)0(,)(22)0x x xy f x y e x y y f x y e y ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩ ，得驻点1(,1)2- 2222(,)(4484),(,)(44),(,)2x x xxx xy yy A f x y e x y y B f x y e y C f x y e ==+++==+==2220,40A e ACB e =>-=>∴极小值为11(,1)22f e -=-5．解：令11(1)2n n n n u --=- 11121limlim 122n n n n n nu n u n -+→∞→∞+=⋅=<112n n n ∞-=∴∑收敛 111(1)2n n n n∞--=∴-∑绝对收敛 6．解：1121lim lim (1)22n n n n n na n a n ρ++→∞→∞⋅===+⋅ ∴收敛半径为12R ρ== ，收敛区间为(2,2)-7．解： 2223sin ,2y P xy x x Q x e y =++=-+，有2P Q x y x∂∂==∂∂， 所以曲线积分与路径无关22(23sin )(2)yLxy x xdx x e y dy +++-+⎰ 2220(3sin )(2)y x x dx e y dy ππ=++-+⎰⎰3222113e ππ=+-+8．解：22(22)xzdydz yzdzdx z dxdy z z z dv zdv ∑ΩΩ+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò3cos sin r drd d ϕϕθϕΩ=⎰⎰⎰方法一：原式＝234000cos sin 2d d dr πππθϕϕϕ=⎰⎰方法二：原式＝211202(1)2rd rdr r r dr ππθπ=-=⎰⎰⎰⎰模拟试卷Ⅱ一 填空与选择题（每空3分，共30分） （一） 填空题1．函数221ln(2)z x y =++-的定义域为 ； 2．已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；3．交换积分次序：ln 1(,)e x dx f x y dy ⎰⎰＝ ；4．已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(2,4)B 之间的一段弧，则=⎰；5．函数22(,)f x y x y =+在(,)x y 点的梯度(,)grad f x y = ；6．曲线23x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩在点(1,1,1)处的法平面方程为 ．（二）选择题1．设直线L 为30x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π 2．设(,)z f x y =是由方程333z xyz a -=确定，则z x∂=∂（ ）； A.2yz xy z - B. 2yz z xy - C. 2xz xy z - D. 2xyz xy-3．函数(,)f x y 在点(,)x y 偏导数存在是(,)f x y 在该点可微的（ ）条件； A. 充分 B. 必要 C. 充要 D. 既非充分也非必要 4．设210()10x f x xx ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩是以2π为周期的周期函数， 则()f x 的傅里叶级数在x π= 收敛于（ ）．A. 1-B. 21π+ C. 22π D. 0．二、计算题（每题8分，共24分）1．求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程．2．已知(sin cos ,)x y z f x y e +=，求z x ∂∂，z y∂∂． 3．设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算=I Dxdxdy ⎰⎰．三、计算题（每题8分，共24分）1．求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值． 2．求幂级数2113nnn x n ∞=⋅∑的收敛半径及收敛区间． 3．判别级数11(1)2sin3n n nn π∞-=-∑ 的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛．四、解答题（每题11分，共22分）1．利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y xy dx e y dy -+-⎰，其中L 为以)0,0(O ，(1,0)A ，(0,1)B 为顶点的三角形的正向边界曲线．2．利用高斯公式计算2x d y d z y d z d x z d x d y ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧．模拟试卷Ⅱ参考答案一、填空题：（每空3分，共30分）（一）1．22{(,)|23}x y x y <+<； 2．222e dx e dy +； 3．10(,)y eedy f x y dx ⎰⎰；4．11)12； 5．{2,2}x y ； 6．2360x y z ++-=． （二）1．A ； 2．B ； 3．B ； 4．C ． 二、计算题（每题8分，共24分）1．解： 12(0,2,4){1,0,2}{0,1,3}A n n →→==-121223013ij ks n n i j k →→→→→→→→→=⨯==-++-∴直线方程为24231x y z --==- 2．解： 令sin cos x yu x y v e +==12cos cos x y z z u z v f x y f e x u x v x+∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂12(sin sin )x y z z u z v f x y f e y u y v y+∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅-+⋅∂∂∂∂∂ 3．解：:0,014D r πθ≤≤≤≤122400cos cos D Dxdxdy r drd d r dr πθθθθ∴===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 三、计算题（每题8分，共24分）1．解： (,)260(,)10100x yf x y x f x y y =-=⎧⎪⎨=+=⎪⎩ ， 得驻点(3,1)-(,)2,(,)0,(,)10xx xy yy A f x y B f x y C f x y ======220,200A ACB =>-=>∴极小值为(3,1)8f -=-2．解：212131lim lim (1)33n n n n n na n a n ρ++→∞→∞⋅===+⋅ ∴收敛半径为13R ρ== ，收敛区间为(3,3)-3．解：令1(1)2sin 3n n n n u π-=- ，1112sin 23lim lim132sin 3n n n n n n n u u ππ+++→∞→∞==< 12sin 3nn n π∞=∴∑收敛 111(1)3n n n n ∞--=∴-∑绝对收敛四、解答题 （每题11分，共22分）1．解：sin 2,cos 2x x P e y y Q e y =-=-，有cos 2,cos x x P Q e y x e y y x∂∂=-=∂∂ L Pdx Qdy +⎰()2D DQ Pdxdy xdxdy x y ∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰100223x dx xdy ==⎰⎰2．解：构造曲面1:1z ∑=，取上侧122xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy ∑∑+++++⎰⎰⎰⎰2211(211)44rdv dv d rdr dz πθΩΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1208(1)2r rdr ππ=-=⎰122I xdydz ydzdx zdxdy π∑∴=-++⎰⎰2xyD dxdy ππ=-=⎰⎰模拟试卷Ⅲ一、选择与填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
第一章 函数与极限一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求（ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解．（ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念．（ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数． （ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式． Ⅱ 基本题型（ⅰ）有关确定函数定义域的题型．1．（4'）1)2ln()(+-=x x x f 的定义域为______________________．2．（4'）)2ln(1)(x x x f -+=的定义域为_______________________．3．（4'）)32arcsin(-=x y 的定义域为------------------------------------------（ ）．A )2,1(B )2,1[C ]2,1(D ]2,1[． 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（4'）)(2x f ； （2）（4'）)2(xf ； （3）（6'）)31()31(-++x f x f ． （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型． 5．（4'）已知： x xf cos 1)2(sin+=，则)(x f =___________________． 6．（4'）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ____________________．7．求下列函数的反函数：（1）（4'）31+=x y ； （2）（4'）xxy +-=11 ； （3）（6'）)2ln(1++=x y ．8．（7'）已知：,2sin )(,)(3x x x x x f =-=ϕ 求)].([)],([x f x f ϕϕ9．（10'）设x e x g x x x x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=)(,1||,11||,01||,1)(，求)]([x g f 和)]([x f g ，并作出这两个函数的图形．（ⅲ）有关函数性质判定的题型． 10．（每题2'）下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？（1）323x x y -= ； （2）1||+=x y ； （3）1sin +=x y ； （4）x x a a y -+= ； （5）x x a a y --=． 11．（4'）设+∞<<∞-++=x x x x f ,1)1sin()(2，则此函数为-------------（ ）．A 有界函数B 奇函数C 偶函数D 周期函数． 12．（4'）)32sin(+=xy 的最小正周期为_________________________． 13．（4'）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-=<≤-=ππx x x x x x f 0,cos 0,00,cos )(，则)(x f 在定义区间为-------（ ）． A 奇函数但非周期函数 B 偶函数但非周期函数 C 奇函数且为周期函数 D 偶函数且为周期函数． （ⅳ）有关复合函数分解的题型．14．（6'）将2tan ln x y =分解成若干个基本初等函数的形式． 15．（7'）将231arctanxxy -=分解成由基本初等函数复合及四则运算而成的形式． Ⅲ 综合应用题型 16．（8'）已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角ϕ为已知锐角（如图所示），当过水断面ABCD 的面积为定值0S 时，求湿周L 与水深h 之间的函数关系式，并指明其定义域．D17．（8'）一列火车在运行时，每小时的费用由两部分组成，一部分是固定费用a ，另一部分是与火车的平均速度x 的立方成正比，比例系数为k ，常用y 表示火车连续运行路程S 所需的总费用，试将y 表示为x 的函数．18．（8'）火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50 kg 时，按基本运费计算，如从上海到某地每千克收0.15元，当超过50 kg 时，超重部分按每千克0.25元收费。
参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y ----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2 ]1)1[l n()1(xy xy xy xy z yy ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx ex x e 221)1(++ (6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223(4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 21 7.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
第１页 共3页淮 海 工 学 院13 – 14学年 第 一学期 高等数学B （2） 期末试卷答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1．向量)0,1,1(-=a，)1,0,1(-=b 所成夹角为--------------------------（C ）（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π2．由21(),0n y x n Z y -+=∈=及1=x 所围图形的面积为-----------------------------（B ）（A ）121n + （B ）12n （C ）121n - （D ）1n3．设(2,2),xf x y x y y+-=- 则(3,1)f -=----------------------------- (A)(A) 1- (B) 12- (C) 1- (D) 14-4．)tan()1(),(2222y x y y x y x f +-+=，则(,1)xx f x =-----------------------------（B ）（A ）1（B ）2 （C ）x （D ）x 25．二次积分⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(的另一种积分次序为----------------------（B ）（A ） x d y x f dy ye e ⎰⎰10),( （B ） x d y x f dy eey ⎰⎰1),(（C ） x d y x f dy ee ey⎰⎰1),( （D ） x d y x f dy e eey ⎰⎰1),(6．6．22781(21)(1)x y x y d σ+≤++=⎰⎰------------------------------------------------------------（D ） （A ）0 （B ） π （C ）2π （D ）7．若级数6511pn n∞-=∑发散，则p 的取值范围是----------------------------------------------（D ）（A ）(,1)-∞ （B ）(,1]-∞ （C ）(1,)+∞ （D ）[1,)+∞ 8．若幂级数21(1)n n n a x ∞+=+∑在8x =处条件收敛，则其收敛半径为------------------（A ）（A ）9 （B ）10 （C ）81 （D ）100二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1. 设),(y x f z =是由 z x z y 25)35ln(-=- 所确定的隐函数,求23x y z z +. 解：设=),,(z y x F z x z y 25)35ln(+-------------------------------------1则03532,355,5≠--=-=-=zy F z y F F z y x (3分,偏导错一个扣分)则23x y z z+(23)x y z F F F =-+ =5.---------------------------------32．设1(,)z f xy x y x =+，其中(,)f uv 可微，求)0,1(dz . 解：21()x u v z x fx yf f --=-++-----------------------------------------------------------------21()y u v z x xf f -=+----------------------------------------------------------------------------2 )0,1(dz = [(0,1)(0,1)][(0,1)(0,1)]v u v f f dx f f dy -++.-----------33．设D 由,2y x y x ==及2π=x 所围成，若cos(23)1DA x y dxdy -=⎰⎰，求常数A . 解：2201cos(23)cos(23)xxDA x y d dx A x y dy πσ=-=-⎰⎰⎰⎰--------------------------3201(sin 4sin )3A x x dx π=-⎰3A=-----------------------------------------------------2则3A =-.---------------------------------------------------------------------------------24．设D 由,y x y ==x 轴所围成，求1224(1)Dxy dxdy -++⎰⎰.解: :04D r θπ≤≤≤≤-----------------------------------------2 则原式4214001)d r rdr πθ-=+⎰⎰--------------------------------------212241)(1)8r d r π-=++⎰76π=.-----------------------------------------------3第２页 共3页三、计算题（8分）过原点的抛物线2(0)y ax a =>及01y x ==，所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为815x V π=. 求a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积y V ．解：由122081()5x V ax dx ππ==⎰-----------------------------------------------------------2得9a =，抛物线为：29y x =----------------------------------------2则9099y y V dy ππ=-⎰92π=．----------------------------------------4四、计算题（本题8分）求曲面3914222=++z y x 上点()3,1,2-P 处的切平面方程和法线方程. 解：记()3914,,222-++=z y x z y x F ，则 ()2,,x z y x F x ='，()y z y x F y 2,,='，()z z y x F z 92,,='-------------------------------2于是曲面在点P 处的法线向量为()()()2(,,)(1,2,)3x y z n F P F P F P '''==-----------2则切平面方程为()()()03321221=-++--⋅z y x ，即06322=-+-z y x ，------2法线方程为3232112-=-+=-z y x .----------------------------------------2 五、计算题（８分）将21()32f x x x =++展开成(4)x +的幂级数，指出展开式成立的区间，并求()(4)n f -，n 为正整数.解: ()f x =1121(4)2x -+1131(4)3x --+------------------------------------------------211011()(4),23n n n n x ∞++==-+∑-----------------------------------------------------------2因(4)2<1x +，且(4)3<1x +，则(6,2)x ∈--------------------------------------------2 因()11(4)11=!23n n n f n ++--，则()1111(4)=()!23n n n f n ++--.------------------------------2 六、计算题（本题8分）设100xI dx =⎰⎰，请先对I 交换积分次序，再计算I 的值.解：110yI dy =⎰⎰---------------------------------------------------------------3()⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=10122221121dy y x d y x y-----------------------------------------1 ()1312220113y x y dy ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦⎰-------------------------------------------------------------2 ()13011134y dy =--=⎰.------------------------------------------------------------------2七、应用题（本题8分）“蒙古包”是满族对蒙古族住房的称谓，“包”是家的意思． 蒙古包的侧面是圆柱形，其包顶是半球形，包顶的单位面积造价是其侧面的1.5倍，在搭建时若要求蒙古包容纳的体积π45一定，问怎样搭建才能使总造价最低？ 解：设蒙古包底圆半径为r ，侧高为h ，侧面的单位面积造价为k ． 则323245r h r πππ+= 其造价0,0 ,322>>+=h r r k rh k S ππ---------------------------2该问题为求S 函数在条件0324532=--r h r πππ下的最小值-----------1构造函数)3245(32322r h r r k rh k L πππλππ--++=-----------------1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-='=--+=' 03245 02 022623222r h r r r k L r rh r k rh k L h r πππλππλπλπππ------------------------2 解得3==r h ．-----------------------------------------------------2第３页 共3页八、微分方程复习题1、yx ey +='的通解为----------------------------------------------------------------------（ B ） （A ）C ee yx=-- （B ）C e e y x =+- （C ）C e e y x =+- （D ）C e e y x =+注1：一阶可分离变量微分方程()()y f x g y '=的解法为()()dy f x dx g y =⎰⎰.对选择题1，,x yy e e '=yx edy e dx -=⎰⎰，则选（ B ）.如：求23x yy e -'=的通解.2、12xy C C e =+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（ A ） （A ）0='-''y y （B ）0='+''y y （C ）0=-''y y （D ）0=+''y y 注1：0y py qy '''++=的特征方程为20r pr q ++=，0,∆<不要求； 若0,∆>特征方程有两个不同实根12r r ≠，原方程通解为1212r xr xy C eC e =+；若0,∆=特征方程有两个相同实根r ，原方程通解为12()rxy C C x e =+.对选择题2，因011,xxxe e e ==为该微分方程的两个特解，则120,1r r ==为其特征方程有两个不同实根，其特征方程为2(1)0r r r r -=-=，故选（A ） 如：0=-''y y 的通解为12xx y C e C e -=+；通解为12xx y C eC e -=+，则微分方程为0=-''y y .又如：20y y y '''++=的通解为12()xy C C x e -=+； 通解为12()xy C C x e -=+，则微分方程为20y y y '''++=. 3、 微分方程xxe y y y 244-=+'+''的一个特解可设为---------------------------（C ）（A ）2()xax b e-+ （B ）xeb ax x 2)(-+ （C ）xeb ax x 22)(-+ （D ）xex 23-注1：xy py qy ce λ'''++=的特解可设为*k xy ax e λ=，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.注2：()x y py qy cx d e λ'''++=+的特解可设为*()k xy ax b x e λ=+，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.对选择题3，因2λ=-为其相应特征方程2440r r ++=的重根，取2k =，其特解可设为*22()xy ax b x e -=+；1y y '''+=的特解可设为*y ax =.4、解微分方程.0)0(222⎩⎨⎧==+'-y xe xy y x注1：y Py Q '+=的通解可用公式法()Pdx Pdxy e Qe dx C -⎰⎰=+⎰，也可用构造法，利用()'PdxPdxye Qe ⎰⎰=求其通解.解（一）：公式法：22)(,2)(xxe x Q x x P -==⎰=∴2)(x dx x P ， 2)(222)(x dx e xe dx e x Q x x dxx P =⋅=⎰⎰⎰-故通解为)(22C x ey x +=-由0)0(=y 得0=C ， 因此 22x e x y -=.解（二）：构造法：222()'2xdxxdxx ye xe e -⎰⎰=，则2()'2x ye x =，于是222x yexdx x C ==+⎰,有22()x y e x C -=+，下与解（一）相同.如：求解微分方程2111y x y x x +'-=++． 简要解答: 公式法， 111121()1dxdx x x x y ee dx C x -+++⎰⎰=++⎰ ln(1)ln(1)21()1x x x e e dx C x +-++=++⎰21(1)()1x dx C x =+++⎰(1)(arctan )x x C =++ 构造法：111121()'1dx dx x x x e y e x --+++⎰⎰=+，则ln(1)ln(1)21()'1x x x e y ex -+-++=+， 化简得21()'11y x x =++， 则21arctan 11y dx x C x x ==+++⎰，有(1)(arctan )y x x C =++． 注意：ln u e u =，如311ln ln ln ln 23ln 22311,,u x x x x x x x e u e e e e e e x x --=====．。
第七章 空间解析几何与向量代数一、向量代数（A:§7.1,§7.2；B:§7.1） Ⅰ、内容要求（ⅰ）理解空间直角坐标系，掌握两点间距离公式，中点公式，自学定比分点公式.（ⅱ）理解向量的概念（向量，单位向量，模，方向角，方向余弦，分向量与投影）及其坐标表达，了解向径的坐标表示与点坐标表示之间的关系.（ⅲ）掌握向量的线性运算，数量积与向量积及其坐标表示，自学混合积. （ⅳ）学会用向量代数方法解决有关向量间位置关系的问题. Ⅱ、基本题型（ⅰ）有关空间直角坐标系下点坐标的问题. 1．（4'）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A ），，（432-B ），，（432-C ），，（432--D ），，（432--. 2．（6'）若)0,3,1(),3,1,1(B A -，则AB 中点坐标为__________；=||AB __________. 3.（7'）求),,(c b a 点关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点坐标. 4．（4'）若点M 的坐标为),,(z y x ，则向径OM 用坐标可表示为__________.5．（8'）一边长为a 的立方体放置在xoy 面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.6．（7'）已知)4,2,1(--A ，),2,6(t B -，且9||=，求（1）t ；（2）线段AB 的中点坐标.（ⅱ）有关向量概念及向量线性运算的坐标表示.7．（8'）设已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算21M M 的模、方向余弦、方向角及单位向量.8．（6'）若γβα,,为向量a的方向角，则=++γβα222cos cos cos ____________；=++γβα222sin sin sin ____________.9.（6'）设）（8,5,3=m ，）（7,4,2--=n 和）（4,1,5-=p ，求向量p n m a-+=34在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.10．（6'）已知点P 的向径OP 为单位向量，且与z 轴的夹角为6π，另外两个方向角相等，求点P 的坐标.11.（6'）已知向量a 与各坐标轴成相等的锐角，若32||=a，求a的坐标. （ⅲ）向量的数量积与向量积及其坐标运算.12．（4'）下列关系式错误的是------------------------------------------------------------------（ ）.A a b b a ⋅=⋅B a b b a ⨯-=⨯C 22||a a =D 0=⨯a a. 13．（7'）设）（2,1,3-=a，）（1,2,1-=b，求b a⋅与.b a⨯ 14.（7'）设)3,0,1(),2,1,1(),2,3,2(=-=-=c b a ，求.)(c b a⋅⨯（ⅳ）用向量的坐标来判断向量间的特殊位置关系，会求一向量在另一向量上的投影. 15．（每题4'）确定下列各组向量间的位置关系： （1）)2,1,1(-=a与)4,2,2(--=b；（2）)1,3,2(-=a与)2,2,4(-=b .16．（7'）求向量)4,3,4(-=a在向量)1,2,2(=b 上的投影.（ⅴ）用向量积来计算有关平行四边形和三角形的面积问题.17．（7'）已知：k i 3+=，k j 3+=，求OAB ∆的面积.18．（7'）ABC ∆三顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为),(),,(),,(332211y x C y x B y x A ，则如何用向量积的方法来求出ABC ∆的面积？19．（7'）试找出一个与)1,1,0(),1,2,1(==b a 同时垂直的向量.Ⅲ、综合计算题型（ⅰ）涉及到代数向量（即用坐标表达式表示的具体向量）的综合计算问题. 20．（10'）已知三点)2,1,2(),1,1,1(),1,2,2(321M M M ，（1）求321M M M ∠； （2）求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.21．（8'）已知)1,2,0(),0,0,1(B A ，试在z 轴上求一点C ，使ABC ∆的面积最小. *Ⅳ、提高题型（ⅰ）用“几何向量”（即不涉及到坐标表达式的向量）来处理有关向量问题.22．（7'）已知：c b a ,,为单位向量，且满足0 =++c b a ，求.a c c b b a ⋅+⋅+⋅ 23．（7'）设5||,4||,3||===c b a 且0 =++c b a ，求c b ⋅；.||a c c b b a ⨯+⨯+⨯24．（8'）设b a k B b a A +=+=,2，已知2||,1||==b a |，且θ=∧),(b a ，πθ<≤0，（1）若B A⊥，求k 值.（2）θ为何值时，A 与B为邻边的长方形面积为4？25．（7'）设非零向量b a ,，求证：.|)||(|1lim 0b prj a t b a ta t =-+→二、平面方程（A:§7.5; B:§7.1） Ⅰ、内容要求（ⅰ）掌握平面的法向量及点法式方程，了解平面其它形式的方程. （ⅱ）掌握平面与平面特殊位置关系，了解夹角算法. （ⅲ）学会计算点到平面的距离. Ⅱ、基本题型（ⅰ）三点式平面方程的求法，根据一般式方程指出平面的特殊位置. 26．（7'）求过三点)3,2,0(),2,3,1(),4,1,2(321M M M ---的平面方程.若),,(),,,(),,,(333222111z y x C z y x B z y x A 不共线，你能给出过此三点的平面方程吗？ 27．（每题5'）指出下列平面方程的位置特点，并作示意图： （1）03=-y ； （2）023=+z y ； （3）.0832=-+-z y x （ⅱ）二平面垂直与平行的判定. 28．（每题4'）判定下列两平面之间的位置关系： （1）042=-+z y x 与1842=-+z y x ； （2）132=+-z y x 与.423=-z x （ⅲ）二平面夹角的计算（夹角规定为[0,2π]）. 29．（4'）求两平面062=-+-z y x 和052=-++z y x 的夹角. （ⅳ）点到平面距离的计算.30．（4'）点)3,2,1(到平面0121243=+-+z y x 的距离=d ______________. 31．（7'）求01=+++D Cz By Ax 与02=+++D Cz By Ax 之间的距离. （ⅴ）用点法式方程建立平面方程． 32．（每题7'）求满足下列条件的平面方程： （1）平行y 轴，且过点)1,5,1(-P 和)1,2,3(-Q ; （2）过点)3,2,1(且平行于平面0522=+++z y x ；（3）过点)1,1,1(1M 和)1,1,0(2-M 且垂直于平面.0=++z y x三、直线方程（A:§7.6 ;B:§7.1） Ⅰ、内容要求（ⅰ）掌握直线的方向向量及对称式方程，了解直线其它形式的方程.（ⅱ）掌握直线与直线特殊位置关系的条件. （ⅲ）学会计算点到直线的距离. Ⅱ、基本题型（ⅰ）两点式直线方程的计算.33．（4'）过点),,(,,,(2222)1111z y x M z y x M 的直线方程为_______________________. （ⅱ）一般式方程转化为对称式方程.34．（7'）用对称式方程及参数式方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++.0432,01z y x z y x（ⅲ）两直线平行或垂直的判定.35. （每题4'） 判别下列各直线之间的位置关系：（1）31211:1+=+=+-z y x L 与⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=.3,2,21:2z t y t x L （2）32:1zy x L ==-与⎩⎨⎧=-+=-+.023,012:2z x y x L *（ⅳ）点到直线距离的计算． 36．（7'）求原点到23221-=-=-z y x 的距离. 37．（7'）设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点0M 到直线L 的距离.||||0s s M M d⨯=四、平面与直线综合题训练 Ⅰ、基本题型（ⅰ）直线与平面的交点计算. 38．（5'）求直线2432-=-=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点. （ⅱ）已知点在已知平面的投影计算.39．（7'）求点)3,0,5(-M 在平面012:=+-+∏z y x 上的投影. （ⅲ）直线与平面特殊位置关系的判定. 40．（4'）设111121:-+=+=--z y x L 与2222:=-+∏z y x ，则------------------（ ）. A ∏⊥L B ∏//L C L L =∏ D L 与∏夹角为4π. *Ⅱ、综合计算题型（ⅰ）涉及线面关系的综合计算.41．（7'）求过点），，（302-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-.01253,07422z y x z y x 垂直的平面方程.42．（7'）求过点），，（420且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程. 43．（7'）求过点)2,1,3(-且通过12354zy x =+=-的平面方程. 44．（7'）已知直线13021:1--=-=-z y x L ，直线11122:2zy x L =-=+，求过1L 且平行2L 的平面方程.*Ⅲ、提高题型（ⅰ）已知点在已知直线上的投影问题. 45．（7'）求点)6,1,4(-M 关于直线11321:-+==-z y x L 的对称点. （ⅱ）已知直线在已知平面上投影直线方程的计算. 46．（7'）求直线⎩⎨⎧=++-=--+.01,01z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线方程.五、曲面与曲线及其方程（A:§7.3, §7.4；B:§7.1） Ⅰ、内容要求（ⅰ）了解曲面方程的概念，*记忆常用二次曲面方程及其图形（球面、椭球面、锥面、抛物面）.（ⅱ）了解母线平行于坐标轴的柱面方程；自学以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程.. （ⅲ）了解曲线的一般式与参数式方程.*（ⅳ）学会计算空间曲线在坐标平面的投影方程. Ⅱ、基本题型（ⅰ）母线平行于坐标轴的柱面方程与平面直角坐标系下曲线方程的区别. 47．（每题5'）指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？ （1）3=x ； （2）42=+y x ； （3）122=+y x ； （4）.2x y = *（ⅱ）常用二次曲面的草图画法及图形辨识. 48．（每题5'）说出下列二次曲面的名称，并作草图： （1）1)3()2()1(222=-+-++z y x ;（2）14222=++z y x ; （3）;22y x z +=（4）;422y x z +=（5）.422y x z --=*（ⅲ）空间曲线在坐标平面上的投影方程计算.49．（5'）求⎪⎩⎪⎨⎧+=--=.)(3,42222y x z y x z 在xoy 面上的投影方程.Ⅲ、提高题型（ⅰ）旋转曲面方程的计算（自学）.50．（7'）将xoz 坐标面上的双曲线12222=-cz a x 分别绕z 轴和x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程.51．（4'）方程9322222=++z y x 在空间直角坐标系中表示----------------------------（ ）. A 球面 B 非旋转椭球面 C 旋转椭球面 D 椭圆抛物面.52．(7')设过点（1，0，0）且平行于Z 轴的直线为L ，在yoz 面内，有一抛物线段21z y -=)11(≤≤-z ,求此曲线段绕直线L 旋转所得曲面∑的方程.（ⅱ）画出各曲面所围成的立体图形（自学）.53．(7')012243,1,2,0,0,0=-++=====z y x y x z y x . 54．(7')22y x z +=及222y x z --=.第七章 测试题一、（7×4'）选择题:1. 点),,(c b a 关于y 轴的对称点坐标为-------------------------------------------------------（ ）. A ),,(c b a --- B ),,(c b a -- C ),,(c b a - D ),,(c b a -.2. 下列哪组角可以作为某个空间向量的方向角---------------------------------------------（ ）. A ︒︒︒60,45,30 B ︒︒︒90,60,45 C ︒︒︒120,90,60 D ︒︒︒135,90,45.3. 1222=+y x 在空间直角坐标系下表示---------------------------------------------------（ ）. A 椭圆 B 圆柱面 C 椭圆柱面 D 圆锥面.4. 设b a ,为与,同向的单位向量，则=j a Pr --------------------------------------（ ）. A a ⋅ B a ⨯ C ⋅b a D ⨯b a .5. 平面03326=-++z y x 与xoy 面夹角为-------------------------------------------（ ）.A6π B 4π C 3π D 2π. 6. 直线431232:--=+=-z y x L 与平面3:=++∏z y x 的位置关系为----------（ ） A 平行 B 垂直 C 斜交 D L 在平面∏上*7. 方程4922y x z +=在空间解析几何中表示------------------------------------------------（ ） A 旋转椭球面 B 椭圆抛物面 C 旋转抛物面 D 椭圆柱面二、（3×4'）填空题:1. 过点)3,2,1(M 且与yoz 坐标面平行的平面方程为________________.2.4=2=，24=⋅b a=________________.3. 点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离为________________. 三、（4×7'）计算题:1. 试指出⎪⎩⎪⎨⎧==+219422x y x 在平面直角坐标系与空间直角坐标系中分别表示什么图形？2. 设},0,2,1{},3,1,1{},1,3,2{-=-=-=求.)(⋅⨯3. 求点)0,2,1(-在平面012=+-+z y x 上的投影.4. 求k 的值，使直线531123-=++=-z k y k x 与直线22531-+=+=-k z y x 相互垂直.四、（9'）求平面1=++czb y a x 被三个坐标平面所截得的三角形面积（0≠abc ），并求该平面与三个坐标平面所围的立体体积.*五、（8'）求过点)1,0,2(且与直线⎩⎨⎧=++-=-+-093240632z y x z y x 平行的直线方程.*六、（8'）求证：直线⎩⎨⎧=---=-+-01205235z y x z y x 包含在平面07734=-+-z y x 之内.七、（两题选作一题，每题7'）：*1. 设与1=，（∧,）＝4π，求lim0x →*2. 求点)1,3,2(关于直线32217+=+=+z y x 的对称点坐标.第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念（A:§8.1;B:§7.2,§7.3） Ⅰ、内容要求 （ⅰ）理解二元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解n 维空间、多元函数概念（自学）.（ⅱ）掌握简单的多元初等函数定义域的计算；了解二元函数极限. （ⅲ）简单了解连续的概念以及有界闭域上连续函数的性质. Ⅱ、基本题型（ⅰ）二元函数解析表达式的确定.1．（4'）设xy y x f =),(，则=-+),(y x y x f ___________________. 2．（4'）若22),(y x y x y x f +=-+，则=),(y x f _____________________. （ⅱ）多元初等函数定义域的计算. 3．（每题4'）求下列多元函数的定义域： （1）]2)ln[(y x x y z --=; （2）2222z y x R u ---=+).0( 12222>>-++r R rz y x（ⅲ）简单的二元初等函数极限计算. 4．（每题5'）求下列各极限：（1）)ln(1)ln(lim )1,1(),(y x e e y x y x +++→；（2）2439lim)0,0(),(-+-+→xy xy y x ;（3）y x yx y x -+→32lim)0,0(),(.（ⅳ）简单的二元初等函数连续问题. 5．（4'）是非题：一切二元初等函数在定义域内都连续（ ）. 6．（每题5'）求下列函数的间断点： （1）1ln 22-+=y x z ; （2）=z 122yx -.Ⅲ、提高题型（ⅰ）用定义讨论连续问题.7．（7'）证明⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=).0,0(),(,0),0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处不连续.8．（7'）证明⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+=).0,0(),(,0),0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在)0,0(处连续.二、偏导数（A §8.2,§8.4,§8.5; B §7.4,§7.6, §7.7）Ⅰ、内容要求（ⅰ）理解二元函数偏导数的概念，记忆偏导与连续的关系.（ⅱ）掌握具有明确解析式的多元初等函数偏导数及二阶偏导数的计算. （ⅲ）掌握二元复合函数一阶偏导数的链式法则，学会计算二阶偏导数. （ⅳ）了解隐函数概念及其存在定理，学会计算一元、二元隐函数一阶偏导. Ⅱ、基本题型（ⅰ）多元初等函数的偏导计算. 9．（每题7'）求下列函数的偏导数或偏导数值: （1）)ln(xy z =，求;xz∂∂ （2）y x z 2tan=，求;,yzx z ∂∂∂∂ （3）设yxy x y x f arcsin )1(),(-+=，求);1,(x f x （4）设zy xu =，求);2,2,3( ),2,2,3( ),2,2,3(z y x u u u（5）设yxy z )1(+=，求. ,y x z z10．（每题7'）求下列函数的二阶偏导数或偏导数值:（1）设13323+--=xy xy y x z ，求y x z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2，);0,1(xx f（2）设x yz arctan =，求22xz ∂∂，;xy z11．（7'）验证函数22ln y x z +=，满足方程.02222=∂∂+∂∂yzx z（ⅱ）复合函数的偏导计算.12．（7'）设v e z usin =，而xy u =，y x v +=，求x z ∂∂，.yz∂∂13．（7'）设t uv z 2sin +=，而t u ln =，t v =，求全导数.dtdz14．（7'）设),(22y x xy f z =，求x z ∂∂，.yz∂∂ 15．（7'）设)cos ,(sin 2y x f x z =，求x z ∂∂，.yz∂∂，.2y x z ∂∂∂ 16．（7'）设)(u xF xy z +=，而xy u =，)(u F 为可导函数，求证：.xy z y zy x z x +=∂∂+∂∂17．（7'）设])([y x f z +=ϕ，其中ϕ,f 具有二阶连续偏导数，求.xy z （ⅲ）一元、二元隐函数的偏导计算（*含方程组所确定的简单隐函数）. 18．（7'）设0sin 2=-+xy e y x，求.dxdy19．（每题7'）计算二元隐函数的偏导: （1）设04222=-++z z y x ，求x z ∂∂，;yz∂∂ （2）设yzz x ln =，求. ,y x z z 20．（7'）证明0)c o s ()s i n (=-+-bz cy az cx 所确定的隐函数),(y x f z =满足.c yz b x z a=∂∂+∂∂ *21．（7'）设⎩⎨⎧=+=-.1,0xv yu yv xu ，求x u ∂∂，.y v∂∂ *22．（7'）设⎩⎨⎧=++=++.1,1222z y x z y x ，求dx dz ，dy dz . Ⅲ、提高题型（ⅰ）用定义计算分段函数的偏导.23．（7'）证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,00 ,),(2222222y x y x y x x y x f 在点)0,0(连续，但)0,0('x f 不存在.（ⅱ）较复杂的复合函数二阶偏导计算.24．（7'）设),(2yxx f z =，f 具有二阶连续的偏导数，求.2y x z ∂∂∂25．（7'）设),(y x f 可微，()()()()()(),2,,,42,1,32,1,22,1''x x f x f x f f f y x ====ϕ求()1'ϕ .（ⅲ）混合函数偏导计算.26．（7'）设32),,(yz x z y x f =，其中),(y x z z =由方程03222=-++xyz z y x 确定，求)1,1,1('x f ．27．（7'）设),(v u Φ具有连续偏导数，证明由0),(=--Φbz cy az cx 所确定的函数),(y x f z =满足.c yzb x z a=∂∂+∂∂ *28．（7'）设⎩⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u ，其中g f ,具有一阶连续偏导数，求.,x vx u ∂∂∂∂ 三、全微分（A:§8.3; B:§7.5）Ⅰ、内容要求（ⅰ）了解全微分的概念，记忆全微分存在的必要条件和充分条件. （ⅱ）按掌握偏导数计算的要求，掌握全微分计算. （ⅲ）学会用全微分形式不变性计算全微分. Ⅱ、基本题型（ⅰ）涉及多元函数连续，偏导，全微分关系的选择题. 29．记忆下述推理框图：且偏导连续z 可偏导由此框图可编出许多选择题，请同学们自编自考，并和一元函数连续、可导、可微的关系比较.（ⅱ）全微分的基本计算. 30．（每题7'）求下列函数的全微分dz （可用两种方法）: （1）22yx y z +=;（2）xyz arcsin=; （3）1432222=++z y x ;（4）若yz z x ln =. Ⅲ、提高题型（ⅰ）用定义计算分段函数的全微分.31．(1)（7'）设),(y x ϕ连续，),(||),(y x y x y x ϕψ-=，试研究),(y x ψ在)0,0(处的可微性;(2)（7'）设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2222222y x y x y x y x z ，求dz ；并讨论在)0,0(处，函数是否连续？是否可偏导？是否可微？四、多元函数微分学的应用（A:§8.6,§8.7,§8.8; B:§8.3,§8.4,§8.5） （一）几何问题 Ⅰ、内容要求（ⅰ）记忆曲线在一点处的切向量公式以及曲面在一点处法向量的公式. （ⅱ）学会确定曲线的切线与法平面方程以及曲面的切平面与法线方程.*（ⅲ）理解方向导数与梯度的概念，了解其几何意义，记忆偏导、方向导数、可微的关系. *（ⅳ）掌握方向导数与梯度的计算. Ⅱ、基本题型（ⅰ）参数式曲线方程所确定的曲线在一点处切向量、切线及法平面方程计算.32．（7'）求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=211t z t t y t t x 在点)1,2,21(处的切向量、切线及法平面方程.33．（7'）求曲线2sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =-=-=在2π=t 所对应点处的切向量，切线及法平面方程.（ⅱ）由0),,(=z y x F 或),(y x f z =所示曲面在一点处法向量、切平面及法线方程计算. 34．（7'）求球面14222=++z y x 在)3,2,1(处的内法向量、外法向量.35. （1）(7')求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的法向量、切平面及法线方程.（2）(7')求曲面=z 522-+y x 在点)0,1,2(处的法向量、切平面及法线方程..记忆：请同学们编出有关选择题.*（ⅳ）二元函数沿平面直线方向的方向导数计算；三元函数沿空间直线方向的方向导数计算.36．（7'）求函数)ln(2y x z +=在点)0,1(处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 的方向导数. 37．（7'）求函数ze y x u 22+=在点)0,1,1(P 处沿从该点到点)1,0,2(Q 的方向l 的方向导数. 38．（7'）求函数xyz z xy u -+=32在点)2,1,1(处沿方向角为3,4,3πγπβπα===的方向导数.*（ⅴ）已知函数的梯度计算.39．（7'）设222),,(z y x z y x f ++=，求).3,2,1(f grad 40．（7'）设z y x z y x f ++=2),,(2，求).1,0,1(f grad Ⅲ、综合计算题型（ⅰ）涉及本节内容与空间解析几何内容的综合计算.41．（7'）已知曲面)0()(32≠=++a a z y x xyz ，求其经过),,(a a a P -，),,(a a a Q --的两个切平面的交线方程.42．（7'）求空间曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===234213141t z t y t x 的平行于平面023:=++∏z y x 的切线方程.*43．（7'）求椭球面932222=++z y x 与锥面2223y x z +=的交线C 上点)2,1,1(0-M 处的切线与法平面方程.请你总结一下曲线⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 的切向量求法.*44．（7'）求函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数.*45．（7'）求函数z y x xy z y x z y x f 62332),,(222--++++=，在点)1,1,1(0M 处方向导数的最大值.*46．（7'）求函数32223240),,(z y x z y x f ---=在点)2,3,3(0--M 处沿n 的方向导数，其中n 为1),,(=z y x f 过0M 处的内法向量. *Ⅳ、提高题型（ⅰ）用定义计算方向导数（自学）. 47．（7'）试证明22),(y x y x f +=在)0,0(处沿任何方向的方向导数存在，但不可微.（ⅱ）难度较大的综合题型. 48．（7'）过⎩⎨⎧=++=+-120:z y x z y x L 作与曲面1:222=-+∑z y x 相切的平面，求此平面方程.49．（7'）设),(v u F 可微，试证曲面0),(=----cz by c z a x F 上任一点处的切平面都通过定点. 50．（7'）在椭球面122222=++z y x 上求一点，使得函数222),,(z y x z y x f ++=沿着点)1,1,1(A 到)1,0,2(B 方向的方向导数具有最大值.（二）极值问题 Ⅰ、内容要求（ⅰ）理解多元函数极值与条件极值的概念.（ⅱ）记忆多元函数极值存在的必要条件，记忆二元函数极值存在的充分条件. （ⅲ）掌握用拉格朗日乘数法计算条件极值及其相应的简单实际的问题. Ⅱ、基本题型：（ⅰ）涉及到多元函数极值存在的必要条件的问题.51．（7'）若bx ay x y x z y x f -++-=22333),,(在)2,3(-处取得极值，求.,b a （ⅱ）涉及到多元初等函数极值充分条件的问题. 52．（7'）求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值. 53．（7'）求函数)2(),(22y x ey x f yx -=-的极值.（ⅲ）涉及到一个条件的条件极值的问题. 54．（7'）若)0,,(111>=+a y x ay x ，求xy z =的极小值. Ⅲ、综合应用题型（ⅰ）非条件极值的应用题（仅出现唯一驻点）. 55．（7'）有一宽为cm 24的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽.问怎样折法才能使断面的面积最大？56．（7'）设21,Q Q 依次为商品甲、乙的需求量，2122115210,28p p Q p p Q -+=+-=，又设总成本函数2123Q Q C +=，其中21,p p 依次为商品甲、乙的价格，问21,p p 取何值时，可使总利润最大？（ⅱ）涉及拉格朗日乘数法的综合题型.57．（7'）求原点到曲面1)(22=--z y x 的最短距离.58．（7'）将周长为p 2的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体.问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？ 59．（7'）要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使这的表面积最小？60．（7'）某厂生产两种产品，产量分别为21,Q Q ，总成本函数80325222121+++=Q Q Q Q C若两种产品共生产39件，问21,Q Q 取何值时，可使总成本最大？61．(7') 某公司可以通过电台与报纸两种方式作销售广告.根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用1x （万元）及报纸广告费用2x （万元）之间的关系有如下经验公式：222121211028321415x x x x x x R ---++=（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略;（2）若提供的广告费用为1．5万元，求相应的最优广告策略. 62．（7'）设在x 轴的上、下两侧有两种不同的介质Ⅰ和Ⅱ.光在两种介质中的传播速度分别是1v 和2v ，又设点A 在Ⅰ内，点B 在Ⅱ内，要使光线从A 到达B 所用的时间最短，问光线应取怎样的路径？ Ⅳ、提高题型（ⅰ）涉及到多元隐函数极值的问题.63．（7'）求由方程10422222=-+-++z y x z y x 确定的函数),(y x f z =的极值.你能用两种方法求解吗？（ⅱ）多元函数的最值问题.64．（7'）求函数22y x z +=在圆域9)2()2(22≤-+-y x 上的最值.65．（7'）求函数)4(),(y x xy y x f --=在由直线0,1==y x 及6=+y x 所围成的闭区域上的最值.第八章 测试题一、（7×4'）选择题:1. ),(y x f z =各偏导存在是该函数可微的-------------------------------------------------（ ）. A 充分非必要条件 B 必要非充分条件C 充分且必要条件D 既不充分也不必要条件.2. 设xyy x y x y x f 2),(22-=-+，则=),(y x f -------------------------------------------（ ）.A22y x xy - B 222y x xy - C 224y x xy - D )(222y x xy-.3. 设yx z =，则=dz ----------------------------------------------------------------------------（ ）. A dx yx y 1- B xdy x y lnC xdy x dx yxy y ln 1+- D dy yx xdx x y y 1ln -+.4. 设函数),(y x f z =在点（00,y x ）处具有偏导数，则0),(),(0000==y x f y x f y x 是该函数在（00,y x ）取得极值的-------------------------------------------------------------------（ ）. A 充分非必要条件 B 必要非充分条件C 充分且必要条件D 既不充分也不必要条件.5. 设函数),,(y x t f u =，而),(),,(t s y y t s x x ==均有一阶连续偏导数，则=∂∂tu（ ）. At y y f t x x f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂ B t y y f t x x f t f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂ Ct y y f t x x f t u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂ D sy y f t x x f t f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂. 6. 上半球面229y x z --=在点)2,2,1(处的法向量可选为------------------------（ ）.A }1,1,21{-B }1,1,21{--C }1,1,21{-D }1,1,21{. 7. 设),(),,(),,(y x z z x z y y z y x x ===都是由方程0),,(=z y x F 所确定的具有连续偏导数的函数，则=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x -----------------------------------------------------------------（ ）. A 1- B 0 C 1 D 不确定，随F 不同而变化.二、（3×4'）填空题:1. 函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域为________________. 2. )1ln(22y x z ++=，则)2,1(dz =________________.3. 曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=2sin 4cos 1sin tz t y tt x 在2π=t 所对应点处的切线方程为________________.三、（4×7'）计算题:1. 设)](),([y x f z ϕϕ=，其中ϕ,f 二次可微，求.,2yx zx z ∂∂∂∂∂2. 设),(y x z z =由1sin 22=+-ze z y y x 所确定，求.yz ∂∂3. 设)23tan(2y x t z -+=，而t y t x ==,1，求z 关于t 的全导数.dtdz*4. 求函数22y xy x z +-=在点)1,1(处方向导数的最大值及相应的方向.四、（8'）曲面132222=++z y x 在第一卦限哪一点的法线垂直于平面834=++z y x .五、（8'）设)(22y x f y z -=，其中f 具有连续导数，求证：.112yzy z y x z x =∂∂+∂∂六、（8'）要制作一个圆柱形的帐篷，并给它加一个圆锥形的顶.问：在体积为定值时，圆柱的半径R ，高H 与圆锥的高h 三者之间满足什么关系时，可使所用布料最省？ 七、（两题选作一题，每题7'）： 1. 当0,0,0>>>z y x ，求z y x z y x f ln 3ln 2ln ),,(++=在球面22226R z y x =++上的最大值，并由此证明：当c b a ,,为正数时，不等式632)6(108c b a c ab ++≤成立.*2. 证明曲面0),(=--cz ay bz ax f 上任一点处的切平面都与某条定直线平行，其中f 具有连续偏导数.第九章 重积分一、二重积分（A:§9.1,§9.2,§9.4; B:§9.1,§9.2,§9.3, §9.5） Ⅰ、内容要求（ⅰ）理解二重积分的概念，了解二重积分性质，记忆二重积分奇偶对称性性质. （ⅱ）掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标）.*（ⅲ）学会用重积分表示一些简单的几何量和物理量（体积、曲面面积、质量）. Ⅱ、基本题型（ⅰ）涉及重积分性质的客观题. 1．（5'）利用二重积分的估值定理估计⎰⎰++=Dd y x I σ)12(，其中}.31,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D2．（5'）设D 是以点)1,1(),0,0(-及)1,1(为顶点的三角形区域，试比较⎰⎰-Dd y x σ)(22与⎰⎰-Dd y x σ22的大小.3．记忆以下二重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域D 对称于x 轴时，令D '是D 关于x 轴某一侧的部分，),(y x f 为D 上的连续函数，则有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰⎰⎰⎰为奇关于若为偶关于若y y x f y x f y y x f y x f d y x f d y x f D D),(),(,0),(),(,),(2),('σσ; （2）当积分域D 对称于y 轴时，令D '是D 关于y 轴某一侧部分，则有⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=DD x y x f y x f x y x f y x f d y x f d y x f 为奇关于若为偶关于若),(),(,0),(),(,),(2),('σσ; （3）当积分域关于原点对称时，若),(),(y x f y x f -=--，则有.0),(⎰⎰=Dd y x f σ4．利用二重积分奇偶对称性性质解下列各题：（1）（4'）设}1||,20|),{(≤≤≤=y x y x D ，}10,20|),{(≤≤≤≤='y x y x D ，则下列各式成立的是-------------------------------------------------------------------------------------（ ）. A 0)sin(2=⎰⎰Dd y x σ B ⎰⎰⎰⎰'=D Dd y x d y x σσ)sin(2)sin(22 C0)(sin 2=⎰⎰Dd xy σ D ⎰⎰⎰⎰'=D Dd xy d xy .)(sin 2)(sin 22σσ (2)（4'）设}1||||),({≤+=y x y x D ，则⎰⎰=⋅Ddxdy y x 23cos sin __________________.（ⅱ）涉及二次积分交换次序的客观题. 5．（每题6'）改变下列积分的积分次序： （1）⎰⎰yydx y x f dy 2202),(;（2）⎰⎰x edy y x f dx ln 01),(;（3）⎰⎰-2210),(y y ydx y x f dy ;（4）⎰⎰⎰⎰+22121121),(),(yydx y x f dy dx y x f dy .（ⅲ）直角坐标下简单的二重积分计算.6．（7'）设},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=，)(1x f 与)(2y f 为D 上的连续函数，求证：⎰⎰⎰⎰⋅=b adcDdx x f dx x f d y fx f ].)([])([)()(2121σ7．（7'）用6的结论计算σyd e Dxsin 2⎰⎰，其中}.20,10|),{(π≤≤≤≤=y x y x D 8．（每题7'）计算下列二重积分： （1）⎰⎰+Dd y x x σ)cos(，其中D 是顶点分别为),(),0,0(ππ和)0,(π的三角形闭区域;（2）σd y xD⎰⎰，其中D 是由两条抛物线2,x y x y ==所围成的闭区域;（3）σd y x D ⎰⎰22，其中D 是由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域; （4）⎰⎰Dyd σ，其中D 是由2y x =及06=--y x 所围成的闭区域. Ⅲ、综合计算题型（ⅰ）交换次序后的二重积分计算. 9．（每题7'）求下列二重积分： （1）⎰⎰-1012xy dy edx ;（2）dx xx xdy yy⎰⎰-102sin . （ⅱ）极坐标下简单的二重积分计算. 10．（每题7'）计算下列二重积分（用极坐标）： （1）σd eDy x ⎰⎰+22，其中D 是由圆周422=+y x 所围成的闭区域;（2）σd xy D⎰⎰，其中D 是圆环形闭区域}41|),{(22≤+≤y x y x ;（3）σd y x D⎰⎰+322，其中D 是位于第一象限由圆周122=+y x ，x y 3=与x 轴所围成的扇形闭区域.*（ⅲ）用二重积分表示体积与曲面面积.11．（7'）试用二重积分表示由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体体积，并计算之.学过三重积分后，试用三重积分解决之.12．（7'）试用二重积分表示椭球的体积与表面积，椭球面方程为.1222222=++cz b y a x13．（7'）用二重积分表示锥面22y x z +=被柱面x z 22=的割下部分的曲面面积.Ⅳ、提高题型：（ⅰ）复杂函数的二重积分. 14．（每题7'）计算下列重积分: （1）⎰⎰+Dd y x σ)cos(，其中ππ≤≤≤≤y x D 0,0:;（2）⎰⎰++Dy x d xey σ)1(222，其中D 由x y y x =-==,1,1所围.（ⅱ）难度较大的综合题型. 15．（7'）设函数)('x f 连续，求证：())]0()4([8'204222f f dx y x f dy yy-=+⎰⎰-π.16．（每题7'）求下列极限: （1）求dy e dx t t xy x ot ⎰⎰-→20)(221lim;（2）设函数),(y x f 连续，求σd y x f r r y x o r ⎰⎰≤+→+222),(1lim 2.17．（7'）求}0,0,1|),{(22≥≥≤+=y x y x y x D 上的连续函数),(y x f ， 使.),(16)(3),(⎰⎰++=Dd y x f xyy x y x f σ（ⅲ）二重积分的物理应用（自学）.18．（7'）一平面均匀薄片占有的闭区域D 由2=+y x ，x y =和0=y 所围成，求（1）薄片的形心；（2）薄片关于原点的转动惯量.*二、三重积分（A:§9.3） Ⅰ、内容要求（ⅰ）了解三重积分的概念与性质.（ⅱ）学会计算简单的三重积分（直角坐标、柱坐标）. Ⅱ、基本题型（ⅰ）涉及三重积分几何意义的客观题.19．（4'）设}.0,0,0,9),,({222≥≥≥≤++=Ωz y x z y x z y x ，则⎰⎰⎰Ω=dv __________.（ⅱ）限于直角坐标下简单的三重积分计算.20．（7'）求下列三重积分dxdydz ze y x ⎰⎰⎰Ω++21，其中}.1||,2||,1|||),,{(≤≤≤=Ωz y x z y x 21．（7'）⎰⎰⎰Ωydxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的四面体.Ⅲ、综合计算题型（ⅰ）柱坐标下的三重积分计算. 22．（每题10'）用柱坐标求下列三重积分，并计算Ω的立体体积： （1）⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的区域; （2）⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面22y x z +=及22y x z +=所围成的闭区域. Ⅳ、提高题型：（ⅰ）球坐标下三重积分的计算（自学）. 23．（7'）⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域. （ⅱ）难度较大的综合题型（自学）. 24．（7'）计算dv y x ⎰⎰⎰Ω+22，Ω由平面8,2==z z 以及曲面S 围成，其中S 是由曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转所生成的旋转面. 25．（8'）设连续函数),,(z y x f 满足⎰⎰⎰≤++-+++=132222),,(14321),,(z y x dv z y x f z y x z y x f π，求),,(z y x f .26．（10'）求证：1,3522232223≤++Ω<+-+<⎰⎰⎰z y x dv z y x D为其中ππ.（ⅲ）三重积分的物理应用（自学）. 27．（7'）一均匀物体（密度为ρ）占有的闭区域Ω由曲面22y x z +=和平面a y a x z ===||,||,0所围成，（1）求物体体积；（2）求物体的质心；（3）求物体关于z 轴的转动惯量.第九章 测试题一、（7×4'）选择题:1. 令{}222),(R y x y x D ≤+=，则=--⎰⎰σd y x R D222----------------------------（ ）.A 331R πB 332R πC 3R πD 334R π.2.21,42:,)][ln(31≤≤≤≤+=⎰⎰y x D d y x I Dσ⎰⎰+=Dd y x I ,)][ln(21σ，则---（ ）.A 21I I <B 21I I =C 21I I >D 21,I I 大小无法比较.3. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=1),(2222b y a x y x D ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≥≤+=0,0,1),(22221y x b y a x y x D ，则有（ ）.A⎰⎰⎰⎰+=+DD d y x d y x1)()(2222σσ B⎰⎰⎰⎰+=+DD d y x d y x1)(2)(2222σσC⎰⎰⎰⎰+=+DD d y x d y x 1)(4)(2222σσ D ⎰⎰⎰⎰+=+DD d y x d y x 1)(8)(2222σσ. 4. 设D 由x 轴，直线e x =及曲线x y ln =围成，则⎰⎰Dd y x f σ),(=--------------（ ）.A ⎰⎰xedy y x f dx ln 0),( B ⎰⎰xxdx y x f dy ln 10),(C⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),( D⎰⎰ee e ydx y x f dy ),(0.5. 以二重积分⎰⎰+Dd y x f σ)(22为极坐标下的二次积分，D 由2x y =及x y =围成，正确的是-----------------------------------------------------------------------------------------------（ ）.A ⎰⎰θπθtan 04)(rdr r f d B ⎰⎰θϑπθsec tan 040)(dr r f d C⎰⎰θϑπθsec tan 040)(rdr r f d D⎰⎰θϑπθsec tan 0240)(dr r f d .*6. 设⎰⎰⎰Ω=61dv ，其中Ω由三个坐标面及)0(>=++a a z y x 所围，则a =-----（ ）. A 1 B 2 C 3 D 6. *7. 设Ω由0,122=--=z y x z 围成，则⎰⎰⎰Ω=dv z y x f ),,(--------------------------（ ）.A⎰⎰⎰-πθ201102),,(r dz z y x f dr d B⎰⎰⎰-πθθθ201102),sin ,cos (r dz z r r f dr dC⎰⎰⎰-πθθθ201102)sin ,cos (r rdz r r f dr d D⎰⎰⎰-πθθθ201102),sin ,cos (r rdz z r r f dr d .二、(3×4')填空题:1. 若{}⎰⎰+=≤≤≤≤=Dd y x I y x y x D σ2)(,10,30),(，则用估值定理，可估计出I 的取值范围为________________. 2. 改换⎰⎰--21222),(x x xdy y x f dx 次序的正确形式为________________.*3. 若Ω由三个坐标面与平面132=++zy x 所围，化三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(为三次积分的形式为_______________________________.三、(4×7') 计算题: 1. 求⎰⎰Dxyd σ，D 由2x y =及032=-+y x 与x 轴所围. 2. 求⎰⎰+Dd yx σ221，其中{}.94),(22≤+≤=y x y x D . *3.dv z y x ⎰⎰⎰Ω+++3)1(1，其中Ω点有平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的四面体. 4. 改变dx xx dy y ⎰⎰ππ2sin 的积分次序并求值.*四、（8'）222y x z --=计算dv z ⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由222y x z --=及22y x z +=所围.*五、（9'）用二重积分表示上半球面224y x z --=含在圆柱面x y x 222=+内部的那部分曲面面积，并求之.*六、（8'）求由平面1,0,0=+==y x y x 所围成的柱面被平面0=z 及抛物面)(622y x z +-=所截的立体体积.七、（两题选作一题，每题7'）： 1.求σd y x D⎰⎰-2，其中(){}10,11,≤≤≤≤-=y x y x D .2.设函数)(x f 在]1,0[上连续，求证：()().211210102⎰⎰⎰=+-dx x f dx x x f dy y*第十章 曲线积分与曲面积分一、曲线积分（A:§10.1,§10.2,§10.3）（一） 第一类曲线积分 ― 对弧长的曲线积分 Ⅰ、内容要求（ⅰ）理解第一类曲线积分的概念与性质.（ⅱ）记忆第一类曲线积分的奇偶对称性质（与二重积分类似）. （ⅲ）掌握第一类曲线积分的计算（限于直角坐标，参数方程）. Ⅱ、基本题型 （ⅰ）涉及⎰Lds y x f ),(奇偶对称性质的客观题.1．记忆第一类曲线积分的奇偶对称性质：（1）若L 关于x 轴对称，),(y x f 为L 上的连续函数，L '为L 关于x 轴某一侧的部分，则有⎰⎰⎩⎨⎧-=-=-=LL y x f y x f y x f y x f ds y x f ds y x f ),(),(,0),(),(,),(2),(' ;（2）若L 关于y 轴对称，),(y x f 为L 上的连续函数，L '为L 关于y 轴某一侧的部分，则有⎰⎰⎩⎨⎧-=-=-=LL y x f y x f y x f y x f ds y x f ds y x f ),(),(,0),(),(,),(2),(' .2．（4'）设⎰+=Lds yx I )(3，其中闭曲线L 的方程为422=+y x ，则=I _______________. 3．（4'）设L 为椭圆13422=+y x ，其周长记为a ，则=++⎰ds y x xy L )432(22___________.（ⅱ）⎰Lds y x f ),(的计算及简单的⎰Γds z y x f ),,(的计算（限于参数式）.4．（7'）⎰L xds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成区域的整个边界.5．（7'）⎰+Ln ds y x)(22，其中L 为).20(sin cos π≤≤⎩⎨⎧==t t a y t a x6．（7'）⎰Lds y 2，L 为摆线的一拱).20()cos 1()sin (π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 7．（7'）⎰Γyzds x 2，其中Γ为直线段AB ，其中).2,3,1(),2,0,1(B AⅢ、提高题型（ⅰ）第一类曲线积分在物理上的应用（自学）.8．（8'）设螺旋形弹簧一圈的方程为π20,sin cos ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t ktz t a y ta x ，其线密度为),,(z y x ρ222z y x ++=，求它关于z 轴的转动惯量z I .（二）第二类曲线积分 ― 对坐标的曲线积分 Ⅰ、内容要求（ⅰ）理解第二类曲线积分的概念与性质，了解其物理意义. （ⅱ）掌握第二类曲线积分转化成定积分的基本计算.（ⅲ）记忆格林公式，掌握利用格林公式计算第二类曲线积分的计算. （ⅳ）学会使用曲线积分与路径无关的条件，解决有关曲线积分的问题. （ⅴ）了解两类曲线积分的关系（自学）. Ⅱ、基本题型（ⅰ）第二类曲线积分转化成定积分的基本计算. 9．（7'）⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()2(22，L 是抛物线2x y =上从点)1,1(-到点)1,1(的一段弧. 10．（7'）⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线.（ⅱ）利用格林公式计算较简单的第二类曲线积分的客观题. 11．（4'）设L 是单位圆的逆时针边界曲线，则=++⎰Ldy x xxydx )2(22______________.12．（4'）设L 是单位圆的逆时针边界曲线，则=+--+⎰Lyx dyy x dx y x 22)()(_____________. Ⅲ、综合计算与应用题型（ⅰ）用格林公式将第二类曲线积分转化为二重积分或简单曲线积分的计算问题. 13．（7'）用格林公式计算dy xe y dx e x yAOBy )(cos )12(--+⎰⋂，其中⋂AOB 为由)1,1(-A 沿曲线2x y =到点)0,0(O ，再沿0=y 至点)0,2(B 的路径. 14．（7'）用格林公式计算⎰+--Ldy y x dx y x )sin ()(22，L 是圆周22x x y -=上由)0,0(到)1,1(的一段弧.（ⅱ）涉及曲线积分与路径无关条件的综合问题.15．（7'）证明：dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++在整个xoy 平面内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数. 16．（7'）设在半平面0>x 内有力)(3j y i x kF+-=ρ构成力场，k 为常数，22y x +=ρ，求证：在此力场中所作的功与所取的路径无关.17．（7'）力)()(22j x i y y x F m -+=构成力场（0>y ），若已知质点在此力场内运动时场力所作的功与路径无关，求m 值. 18．（7'）在0>x 的区域内，选取b a ,使dy y x by x dx y x y ax 2222++--++为函数),(y x u 的全微分，并求原函数).,(y x uⅣ、提高题型：（ⅰ）当L 所围成区域D 包含奇点时，涉及格林公式的计算问题. 19．（7'）计算⎰+-L y x ydxxdy 22，其中L 为一条无重点，分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方向为逆时针方向.（ⅱ）难度较大的综合题型. 20．（7'）单连通区域D 位于第一象限，D 的正向边界曲线L 是光滑闭曲线，任一平行于坐标轴的直线与L 至多只有两个交点，试证明：区域D 绕x 轴和y 轴旋转生成立体的体积分别为（1）⎰-=Lx dx y V 2π；（2）.2⎰=Ly dy x V π 21．（7'）在变力},,{xy zx yz F =的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面1222222=++c z b y a x 第一卦限的点),,(t s r M ，问t s r ,,取何值时，力F 所作的功最大？并求出.m ax W二、曲面积分（§10.4,§10.5,§10.6）（一）第一类曲面积分 ― 对面积的曲面积分 Ⅰ、内容要求（ⅰ）理解第一类曲面积分的概念，了解其性质. （ⅱ）了解第一类曲面积分的基本计算. Ⅱ、综合题型（ⅰ）掌握第一类曲面积分转化为二重积分的基本计算. 22．（7'）⎰⎰∑++ds z y x )342(，其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分. 23．（7'）计算⎰⎰∑z ds ，其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部.Ⅲ、提高题型（ⅰ）对多个不同面积的曲面积分计算（自学）. 24．（7'）计算⎰⎰∑xyzds ，∑由坐标面及1=++z y x 所围成的四面体边界.。
