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半导体物理学第三章

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半导体物理学-第三章-半导体中载流子统计分布

半导体物理学-第三章-半导体中载流子统计分布

当 E-EF>>k0T时,
fB E e x E p k E F T e x E kF p T e x k E p T
费米和玻耳兹曼分布函数
三、空穴的分布函数
空穴的费米分布函数和波尔兹曼分布函数
当 EF-E>>k0T时,
1 fE e x E F p E e x E F p e x E
整个价带的空穴浓度为
p0 NVexpEFk 0TEV NV称为价带的有效状态密度.
价带空穴浓度可理解为:全部空穴集中在价带 顶EV上，其上空穴占据的状态数为NV个.
对于三种主要的半导体材料,在室温(300K)状 况下,它们的有效状态密度的数值列于下表中.
导带和价带有效状态密度(300K)〔见课本P77〕
一、费米〔Fermi〕分布函数与费米能级
1.费米分布函数
电子遵循费米-狄拉克〔Fermi-Dirac〕 统计分布规律。能量为E的一个独立的电 子态被一个电子占据的几率为
K0玻尔兹曼常数，T确定温度，EF费米能级
费米能级的物理意义：化学势
EF (N F)T
当系统处于热平衡状态，也不对外界做功的状 况下，系统中增加一个电子所引起的系统的自 由能的变化等于系统的化学势也即为系统的费 米能级
在导带中，E-EF>>k0T，则导带中的电 子听从波尔兹曼分布，且随着E的增大， 概率快速削减，所以导带中绝大多数电子 分布在导带底四周
在价带中，EF-E>>k0T，则空穴听从波 尔兹曼分布，且随着E的增大，概率快速 增加，所以价带中绝大多数空穴分布在价 带顶四周。
听从Boltzmann分布的电子系统 非简并系统
§3.1 状 态 密 度
假设在能带中能量E与E+dE之间的能量间 隔dE内有量子态dZ个，则定义状态密度g 〔E〕为：

半导体物理学复习讲义 引论~第三章

半导体物理学复习讲义 引论~第三章

1.3晶向和晶面
晶体各向异性 将布拉维格子看成互相平行等距的直线族 每一直线族定义一个方向，称为晶向 如沿晶向的最短格矢为
l1a1 l2a2 l3a3
该晶向可记为：
l1, l2 , l3
1.3晶向和晶面
将布拉维格子看成互相平行等距的平面族，也称为晶面 如某平面族将基矢分成
1. 恒量 2. V为正空间体积
考虑自旋，k空间态密度：
状态密度定义
单位能量间隔内的状态数目：
考虑自旋，k空间态密度：
E-k 关系
能量空间状态密度
能量变化 dE
k状态变化 dk
k空间体积变化 dΩ
状态数变化 dZ
球形等能面状态密度求解
导带E- k关系：
k k0
E E dE
k k dk
1.1半导体的晶格结构和结合性质 1.2半导体中的电子状态和能带 1.3半导体中电子的运动
有效质量 空穴
1.4本征半导体的导电机构
1.5回旋共振
1.6硅和锗的能带结构 1.10宽禁带半导体
1.1.1金刚石结构和共价键
特点：
每个原子和周围的4个最近邻原子形成一个正四面体
顶角原子和中心原子形成共价键
1.2半导体中的电子状态和能带
1.2.1原子的能级和晶体的能带
电子壳层：1s,2s,2p,3s,3p,3d,4s
……
电子的共有化运动
最外层电子的共有化运动最为显著
公有化运动导致简并能级出现分裂
由于原子数量巨大，分裂后能级之间差距微小，形
成能带，称为允带
S:非简并态， P:三重简并
1.2.1原子的能级和晶体的能带 几个名词：
三、原子结合类型

半导体物理学第三章习题和答案

半导体物理学第三章习题和答案

时 Eg=0.76eV。求这两个温度时锗的本征载流子浓度。②77K 时，锗的电子浓度为 1017cm-3 ，假定受主浓度为零，而 Ec-ED=0.01eV，求锗中施主浓度 ED 为多少？
3 k 0Tmn ) 2 2 2
7 （ .1 ）根据N c 2( N v 2( k 0Tm p 2
' ' N（ C 77 K） 3 T N（ T C 300 K） ' NC NC （
77 3 77 3 ） 1.05 1019 （ ） 1.37 1018 / cm 3 300 300
' NV NV （
77 3 77 3 ） 3.9 1018 （ ） 5.08 1017 / cm 3 300 300
5. 利用表 3-2 中的 m*n，m*p 数值，计算硅、锗、砷化镓在室温下的 NC , NV 以及本征载
流子的浓度。
3 2koTmn 2 N 2 ( ) C 2 h 2koTm p 32 5 N v 2( ) h2 Eg 1 2 koT 2 n i ( N c N v ) e Ge : mn 0.56m0 ; m p o.37 m0 ; E g 0.67ev si : mn 1.08m0 ; m p o.59m0 ; E g 1.12ev Ga As : mn 0.068m0 ; m p o.47 m0 ; E g 1.428ev
0.037
nD ND
30%不成立
80%10%不成立 0.023 1 0.026 1 e 2 ' （2） 求出硅中施主在室温下全部电离的上限 2N E D ( D )e D (未电离施主占总电离杂质数的百分比） NC koT 10% 0.1N C 0.026 2 N D 0.05 e , ND e 2.5 1017 / cm 3 N C 0.026 2

半导体物理分章答案第三章

半导体物理分章答案第三章

（5） （6）
2、n型半导体的载流子浓度
假设只含有一种n型杂质。
在热平衡条件下，半导体是电中性的：
n0 = p0 + nD+
（7）
EC EF
而
n0 N C e k0T
EF EV
p0 N V e k0T
将上两式和（5）式一起代入（7）式中，即
ECEF
EFEV
NCe k0T NVe k0T
•电子占据施主能级ED的几率
•空穴占据受主能级EA的几率
f
D
(E)
1
1
1
ED EF
e k0T
2
（1）
•杂质能级上未电离的载流子浓度
施主能级上的电子浓度：
nD=NDfD(E)
（3）
•电离杂质的浓度
f
A(E)
1
1
1
EF EA
e k0T
2
（2）
受主能级上的空穴浓度：
pA=NAfA(E)
（4）
电离施主的浓度：nD+=ND-nD=ND[1-fD(E)] 电离受主的浓度：pA-=NA-pA=NA[1-fA(E)]
（3） （4）
可以见到：NC T3/2 和 NV T3/2
且，
E CE V
E g
n0p0N CN Ve k0T N CN Vek0T
（5）
§3.3 本征半导体的载流子浓度
Carriers Density of Intrinsic Semiconductors
本征半导体满足：n0=p0=ni 。本征载流子浓度是温 度T的函数。
（2）过渡区 特征：本征激发不能忽略，杂质全电离。 电中性条件为：n0=p0+ND

半导体物理第三章03

半导体物理第三章03
EC EF n0 N C exp k0T
Ev EF p0 NV exp( ) k0T

都是由费米能级EF和温度T表示出来的，通 常把温度T作为已知数，因此这两个方程式 中还含有 n0, p0, EF三个未知数。
第三章03
2/56
为了求得它们，还应再增加一个方程 式。从3.3节(本征半导体的载流子浓度) 及3.4节(杂质半导体的载流子浓度)中 看到这第三个方程式就是在具体情况 下的电中性条件 (或称为电荷中性方程 式)。 无论是在本征情况还是只含一种杂质 的情况下，都是利用电中性条件求得 费米能级EF，然后确定本征的或只含 一种杂质的情况下的载流子统计分布 。
第三章03
19/56

式(3-85)就是施主杂质未完全电离情况下载流子浓 度的普遍公式。对此式再讨论如下两种情况: ①极低温时，N’c很小，而NA很大， N’C <<NA。 则得 (N N ) 4N (N N ) N N
n0
' ' 2 ' c A
2

c
A
c
D
A
2 4 Nc' 1 (ND N A ) N A2 2

这就是同时含有一种施主杂质和一种受主 杂质情况下的电中性条件。
第三章03
8/56
它的意义是半导体中单位体积内 的正电荷数 (价带中的空穴浓度与 电离施主杂质浓度之和)等于单位 体积中的负电荷数 (导带中的电子 浓度与电离受主杂质浓度之和)。
第三章03
9/56

当半导体中存在着若干种施主杂质和若干 种受主杂质时，电中性条件显然是:

上式表明在低温弱电离区内，导带中电子浓度与 (ND-NA)以及导带底有效状态密度Nc都成正比关系， 并随温度升高而指数增大。

半导体物理课件1-7章(第三章)

半导体物理课件1-7章(第三章)

V
dN 2 2
2mn* 3
2
exp
E EF k0T
E
1
Ec 2 dE
积分
E
' c
导带顶能量
3
n0
dN
V
1 Ec'
Ec 2 2
2mn* 3
2
exp
E EF k0T
E Ec
1
2 dE
热平衡3状2 态下非简并半导体的导带电子浓度n0
3
n0
dN V
1 Ec'
Ec 2 2
3.2费米能级和载流子的统计分布
3.2.1 费米分布函数
⑴把半导体中的电子看作是近独立体系,即认为电子之间的相互 作用很微弱. ⑵大量电子的运动是服从量子力学规律的,用量子态描述它们的 运动状态.电子的能量是量子化的,即其中一个量子态被电子占据, 不影响其他的量子态被电子占据.并且每一能级可以认为是双重 简并的,这对应于自旋的两个容许值. ⑶在量子力学中,认为同一体系中的电子是全同的,不可分辨的. ⑷电子在状态中的分布,要受到泡利不相容原理的限制.
电子在允许的量子态上如何分布的一个统计分布
函数。
f E
1
1 exp( E EF )
k0T
EF：费米能级或费米能量，与温度、半导体材料的导电类
型、杂质的含量以及能量零点的选取有关。
一个很重要的物理参数
在一定温度下电子在各量子 态上的统计分布完全确定
17
将半导体中大量电子的集体看成一个热力系统， 由统计理论证明，费米能级EF是系统的化学势：
•半导体的导电性受温度影响剧烈。
本章讨论： 1、热平衡情况下载流子在各种能级上的分 布情况 2、计算导带电子和价带空穴的浓度，分析 它们与半导体中杂质含量和温度的关系．

半导体物理第三章半导体中载流子的统计分布

半导体物理第三章半导体中载流子的统计分布

半导体物理第三章半导体中载流子的统计分布第三章半导体中载流子的统计分布第三章 Part 1 3.1 状态密度 3.2 3 2 费米能级和载流子的统计规律3.3 电子和空穴浓度的一般表达式电子和空穴浓度的般表达式 3.4 本征半导体的载流子浓度3.5 杂质半导体的载流子浓度3.6 杂质补偿半导体 3.7 3 7 简并半导体3.1 状态密度状态密度g(E)dZ(E) g( E ) = dE表示在能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数。

dZ 为E到E+dE内的量子态数计算状态密度的方法：1、k空间的量子态密度 1 k空间的量子态密度2、dZ或Z(E)dZ=k空间量子态密度×能量间隔对应的k空间体积Z(E)=k空间量子态密度×能量为E的等能面在k空间的体积一、导带底附近的状态密度1、k空间的量子态密度对于边长为L的立方晶体，波矢对于边长为L的立方晶体波矢 k 的三个分量为的三个分量为： n n n 即( k x = x ， = y ， z = z ) k ky k x ,k y ,k z L L L 其中 n x , n y , n z 取 0，±1，±2… 每个代表点都与体积为每一个代表点都与体积为 1 = 1 的一个小的个小 L3 V 立方体相联系即 k 空间中，电子的状态密度是V 若考虑电子的自旋，量子态密度是2V。

若考虑电子的自旋量子态密度是2V一、导带底附近的状态密度2、求dZ或Z 2 dZ Z①等能面为球面：1 h2k2 假设导带底在k=0，即 E (k ) = EC + * 2 mn以k 为半径的球面对应E，以 k + d k 为半径的球面对应E+dEdZ = 2V × 4πk dk由 E - k 关系可解得关系可解得：(2m ) ( E - EC ) k= h2n112m dE kdk = 2 hn一、导带底附近的状态密度得到(2m ) dZ = 4π V ( E - EC ) dE h1 23 ? 2 n 3所以(2m ) g ( E ) = 4π V ( E - EC ) h3 ? 2 n 31 2一、导带底附近的状态密度②实际材料：对于Si、Ge来说，在导带底附近等能面为旋转椭球面假设有S个能谷，在每个能谷附近：2 2 ? k x + k y k z2 ? h E( k ) = Ec + + ? ? 2 ? mt ml ? 2将上式变形2 kx2mt ( E ? Ec ) h2态数为+2 ky2mt ( E ? Ec ) h2k z2 2ml ( E ? Ec ) h2=1能量为E的等能面在k空间所围成的s个旋转椭球体积内的量子4 2 mt ( E ? Ec ) [2 ml ( E ? Ec )]1 2 Z ( E ) = 2Vs π 3 h2 h一、导带底附近的状态密度则导带底（附近）状态密度为(8s m ml ) dZ ( E ) gC ( E ) = = 4π V dE h2 2 t 312( E ? Ec)12* mn = mdn = ( s 2 mt2 ml )1 3 令，称 m 为导带底电子状态密度 dn有效质量，则有效质量则(2m ) dZ d (E) = 4π V gC ( E ) = d E h* 32 n 3( E ? Ec)12二、价带顶的状态密度①等能面为球面：①等能面为球面h2k 2 E (k ) = Ev 2m* pg v ( E ) = 4π V ?(2 m * ) 3 2 p h3( Ev - E )1 2②实际材料：价带顶在价带顶在k=0，而且重空穴带(mp)h和轻空穴带 (mp)l在布里渊区而空穴带 ( ( 在布渊区的中心处重合。

半导体物理学——半导体中载流子的统计分布

半导体物理学——半导体中载流子的统计分布
E
1− fB (E) = Bek0T
15
半导体物理学 黄整
第三章 半导体中载流子的统计分布
结论
−E
fB (E) = Ae k0T
E
1− fB (E) = Bek0T
导带中电子分布可用电子的玻尔兹曼分布函数描 写（绝大多数电子分布在导带底）；价带中的空 穴分布可用空穴的玻尔兹曼分布函数描写（绝大 多数空穴分布在价带顶）
练习
推导价带顶附近状态密度gv(E)
gv (E)
=
dz dE
=
V
2π 2
(2mp* )3/ 2 h3
(Ev
− E)1/ 2
10
半导体物理学 黄整
第三章 半导体中载流子的统计分布
费米分布函数
根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子 遵循费米统计律
能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率为
f (E) =
半导体物理学
黄整
第三章 半导体中载流子的统计分布
热平衡状态
在一定温度下，载流子的产生和载流子的复 合建立起动态平衡，这时的载流子称为热平 衡载流子。
半导体的热平衡状态受温度影响，特定温度 对应特定的热平衡状态。
半导体的导电性受温度的强烈影响。
2
半导体物理学 黄整
第三章 半导体中载流子的统计分布
dz
=
V
2π 2
(2mn* )3/ 2 h3
(E − EC )1/ 2 dE
9
半导体物理学 黄整
第三章 半导体中载流子的统计分布
状态密度
dz
=
V
2π 2
(2mn* )3/ 2 h3
(E − EC )1/ 2 dE

半导体物理 第三章

半导体物理 第三章
1/ 2
积分后可得热平衡状态下非 简并半导体的导带电子浓度
30
导带顶能量
n0
/ Ec
Ec
(2m ) 4 h
* 3/ 2 n 3
e
E EF kT 0

( E Ec ) dE
1/ 2
令x ( E Ec ) /(k0T ) ( E Ec )1/ 2 (k0T )1/ 2 x1/ 2 d ( E Ec ) (k0T )dx x' ( Ec' Ec ) /(k0T )
33
p0 4
(2m ) h
* 3/ 2 p 3
e
Ev EF kT 0
Hale Waihona Puke x'0
x1/ 2e x dx

2
(，Ev' )的空穴数 极少，忽略不计
* p 0 3


0
x e dx
Ev EF kT 0
1/ 2 x
p0 2
其中，μ：系统的化学势；
半导体能带内所有量子 态中被电子占据的量子 态数等于电子总数
F： 系统的自由能； N：电子总数，决定费米能级的条件是： f ( Ei ) N
i
上式的意义是：当系统处于热平衡状态，也不对外界作
功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变 化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。
f B ( E ) g c ( E )dE e
E EF kT 0
( E Ec )1/ 2 dE
单位体积中的电子数即电子浓度
(2m ) dN dn 4 V h

半导体物理学课件4 半导体中载流子的统计分布

半导体物理学课件4 半导体中载流子的统计分布
到区间的电子浓度，然后再
由导带底至导带顶积分就得
到了导带的电子浓度。
半导体中载流子 电子空穴的平衡分布
假设电子空穴有效质量相等，则EF位于禁带中线
半导体中载流子 n0 p0的方程
热平衡时的电子浓度n0 这里假设费米能级始终位于禁带中。
n0 gc E fF E dE
积分下限：Ec；积分上限：这里设为无穷大。
电子占据施主能级E D的几率f D
E
1
1
1
gD E
ED EF
e k0T
1
空穴占据受主能级E A的几率f A
E
1
1
1
gA E
EF EA
e k0T
2
gD E和gA E分别是施主和受主基态简并度
施主浓度:ND 受主浓度: NA
（1）杂质能级上未离化的载流子浓度nD和pA ：
施主能级上的电子浓度nD NDfD E 3
因此对导带或价带中所有量子态来说，电子或 空穴都可以用玻耳兹曼统计分布描述。
由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝 大部分电子分布在导带底附近，价带绝大部分 空穴分布在价带顶附近，即起作用的载流子都 在能带极值附近。
例：四个电子处于宽度为a=10埃的一维无 限深势阱中，假设质量为自由电子质量，求 T=0K时的费米能级.
导带中有效电子能态密度：
4
gc E
2mn* h3
32
E - Ec
价带中有效电子能态密度：
4
gv E
2m*p h3
32
Ev - E
3.2 统计力学
在一定温度下，半导体中的大量电子不停地 作无规则热运动，从一个电子来看，它所具 有的能量时大时小，经常变化。但是，从大 量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子 按能量大小具有一定的统计分布规律性，即 电子在不同能量的量子态上统计分布几率是 一定的。

半导体物理学第3章

半导体物理学第3章

玻尔兹曼分布函数
导带中电子分布可用电子的玻尔兹曼分布函数 描写（绝大多数电子分布在导带底）；价带中 的空穴分布可用空穴的玻尔兹曼分布函数描写 （绝大多数空穴分布在价带顶） 服从费米统计律的电子系统称为简并性系统； 服从玻尔兹曼统计律的电子系统称为非简并性 系统 费米统计律与玻尔兹曼统计律的主要差别：前 者受泡利不相容原理的限制
结论:热平衡状态下的非简并半导体中，在一定的温度 下，乘积是一定的，如果电子浓度增大，空穴浓度就会 减小；反之亦然.
练习
1、空穴占据费米能级的概率在各种温度下总是1/2。 （ ）
2、费米能级位置较高，说明有较多的能量较高的量 子态上有电子。 （ ） 3、能量为E的一个量子态被一个空穴占据的概率为 （ ）。
对给定的ND和ΔED，可以求得任意杂质电离百分比情形下 所对应的温度T。
杂质强电离后，如果温度继续升高，本征激发也进一
步增强，当ni可以与ND比拟时，本征载流子浓度就不能
忽略了，这样的温度区间称为过渡区。
n0 Ncexp( Ec E F Ec Ei Ei E F Ei E F ) Ncexp( ) ni exp( ) k0T k0T k0T
N N 2 4n 2 D D i E F Ei k 0 Tln 2ni
就可求出过渡区以本征费米能级Ei为参考的费米能级EF 处在过渡区的半导体如果温度再升高，本征激发产生的ni就会远大于杂 质电离所提供的载流子浓度，此时，n0>>ND，p0>>ND，电中性条件是
n0=p0，称杂质半导体进入了高温本征激发区。在高温本征激发区，因
为n0=p0，此时的EF接近Ei。
可见n型半导体的n0和EF是由温度和掺杂情况决定的。 杂质浓度一定时，如果杂质强电离后继续升高温度，施主杂质对载流 子的贡献就基本不变了，但本征激发产生的ni随温度的升高逐渐变得 不可忽视，甚至起主导作用，而EF则随温度升高逐渐趋近Ei。 半导体器件和集成电路就正常工作在杂质全部离化而本征激发产生的

半导体物理学(第7版)第三章知识题和答案解析

半导体物理学(第7版)第三章知识题和答案解析

第三章习题和答案1. 计算能量在E=E c 到2*n 2C L 2m 100E E π+= 之间单位体积中的量子态数。

解：2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。

322233*28100E 21233*22100E 0021233*231000L 8100)(3222)(22)(1Z VZZ )(Z )(22)(2322C22CL E m h E E E m V dE E E m V dE E g Vd dEE g d E E m V E g cn c C nlm h E C nlm E C nn c n c πππππ=+-=-====-=*++⎰⎰**）（）（单位体积内的量子态数）（)(21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'213''''''2'21'21'21'2222222C a a lt tz y x ac c zla z y t ay x t a x z t y x C C e E E m k V m m m m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k mlk m k k h E k E K IC E G si -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=+++====+++=*****系中的态密度在等能面仍为球形等能面系中在则：令）（关系为）（半导体的、证明：[]3123221232'2123231'2'''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~ltn c nc l t t z m m sm VE E hm E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dkk k g Vk k g d k dE E E =-==∴-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+••==∴•=∇•=+**πππ）方向有四个，锗在（旋转椭球，个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。

半导体物理学第三章习题和答案

半导体物理学第三章习题和答案

第三章习题和答案1. 计算能量在E=E c 到2*n 2C L 2m 100E E π+= 之间单位体积中的量子态数。

解：2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。

322233*28100E 21233*22100E 0021233*231000L 8100)(3222)(22)(1Z VZZ )(Z )(22)(2322C22CL E m h E E E m V dE E E m V dE E g Vd dEE g d E E m V E g cn c Cn lm h E C nlm E C nn c n c πππππ=+-=-====-=*++⎰⎰**）（）（单位体积内的量子态数）（)(21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'213''''''2'21'21'21'2222222C a a lt tz y x ac c zla z y t ay x t a xz t y x C C e E E m hk V m m m m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k mlk m k k h E k E K IC E G si -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=+++====+++=*****系中的态密度在等能面仍为球形等能面系中在则：令）（关系为）（半导体的、证明：3. 当E-E F 为1.5k 0T ，4k 0T, 10k 0T 时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。

4. 画出-78o C 、室温（27 o C ）、500 o C 三个温度下的费米分布函数曲线，并进行比较。

5. 利用表3-2中的m *n ，m *p 数值，计算硅、锗、砷化镓在室温下的N C , N V 以及本征载[]3123221232'2123231'2'''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~l t n cn c l t t z m m s m V E E h m E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dkk k g Vk k g d k dE E E =-==∴-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+••==∴•=∇•=+**πππ）方向有四个，锗在（旋转椭球，个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。

半导体物理_第三章 ppt课件

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半导体物理_第三章
在正常温度下，将这个施主电子激发到导带上所需的能 量显然要远远低于将共价键中的某个电子激发到导带所需的 能量。施主电子进入导带之后就可以参与导电，而留下带正
电的磷离子则在晶体中形成固定的正电荷中心。 Ed就是施主电子在半导体中引入的能级，叫做施主能级。
施主能级位于禁带中靠近导带底部的位置，通常将其
对于本征半导体材料来说，费米－狄拉克统计分布可 以简化为玻尔兹曼分布函数，即：
半导体物理_第三章
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其中NC称为导带的有效态密度函数，若取 mn*=m0，则当T=300K时， NC=2.5X1019cm-3， 对于大多数半导体材料来说，室温下NC确实是在 1019cm-3的数量级。
5. 掌握热平衡状态下半导体材料中两种载流子 浓度与掺杂之间的函数关系；
6. 熟悉费米能级位置与半导体材料中掺杂浓度 之间的函数关系；
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所谓热平衡状态：不受外加作用力影响的状 态，即半导体材料不受外加电压、电场、磁场、 温度梯度、光照等的影响。此时半导体材料的 各种特性均不随时间变化，即与时间无关。它 是我们分析各种稳态和瞬态问题的起点
半导体物理_第三章
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其中NV称为价带的有效态密度函数，若取mp*=m0，则 当T=300K时， NV=2.5X1019cm-3以及费米能级的位置。
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在一定温度下，对于给定的半导体材料来 说，NC和NV都是常数。下表给出了室温下（ T=300K）硅、砷化镓锗材料中的导带有效态 密度函数、价带有效态密度函数以及电子和空 穴的有效态密度质量。
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第四章 热平衡状态下的半导体 本章学习要点： 1. 掌握求解热平衡状态下半导体材料中两种载
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开 方
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
∴导带底能量状态密度：
(2m ) ( E Ec ) dZ gc ( E ) 4 V dE 3
* 3/2 n 1/2
球形等能面
ⅱ设导带底位于 k k0 处，极值附近为椭球等能面。 等能面方程：
2 E (k ) Ec 2 ( k x k0 x ) 2 ( k y k0 y ) 2 ( k z k0 z ) 2 m1 m2 m3

3.1 状态密度 3.2 费米能级和载流子的统计分布 3.3 本征半导体的载流子浓流 3.4 杂质半导体的载流子浓度 3.5 一般情况下的载流子分布 3.6 简并半导体 3.7补充材料：电子占据杂质能级的概率
产生和复合
T>0 本征激发 （intrinsic excitation） electron-hole pair 复合:反过程 杂质激发和复合 动态平衡 温度改变：达到新的平衡
dn
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
4 V 则 dZ 3 (2mdn )3/ 2 ( E Ec )1/ 2 dE dZ 4 V gc ( E ) 3 (2mdn )3/ 2 ( E Ec )1/ 2 dE
式中： dn s 2/ 3 (m1m2m3 )1/ 3 m
E E dE） 区间的电子浓 （
度dn，然后再由导带底至导带顶积分就得到了导带的电子浓度n。
状态密度
导带和价带是准连续的，定义单位能量间隔内 的量子态数为状态密度g(E)
（ 能带中能量为 E E dE） 无限小的能量间隔内有 dZ 个量子态，则状态密度 为
dZ(E) g(E) dE
球层间的体积
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
由E (k ) 式解出：
* 2mn ( E Ec ) k2 2
微
* (2mn )1/ 2 (E Ec )1/ 2 k 分 * 2mn kdk dE 2 2 两式相乘代入dZ式中：得
* (2mn )3/2 ( E Ec ) 1/2 dZ 4V dE 3
2 2 2 8 ∴k空间的单位体积= L L L V
1 立方体八个顶角的8个点，每个点的 属于该立方体 8 1
∴立方体内的点数为 ∴k 空间状态密度=
8× ＝1 。 8
（个点） 3 1 L / 8 3 V / 8 3 (晶体体积/8 3 ) 8 3 L3
考虑电子的自旋（一个能态允许自旋相反的两个电子） k状态密度为2V / 8 3 →此时每个状态只能容纳一个电子（一
写作：
2 ( k y k0 y ) 2 ( k x k0 x ) ( k z k0 z ) 1 2m1 ( E Ec ) 2m2 ( E Ec ) 2m3 ( E Ec ) 2 2 2 2
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
(k x k0 x ) 椭球标准方程： 2 a
为得到g(E) ，可以分为以下几步：
♦ 先计算出k空间中量子态密度 (k空间单位体积的状态数） ；
♦ 然后计算出k空间能量为E的等能面在k空间围成的体
积，并和k空间量子态密度相乘得到量子态数Z(E)；
♦ 再按定义dZ/dE=g(E)求出g(E)。
§3.1状态密度
⑴ k 空间状态密度 第一章讨论了电子在周期场中的运动规律，而实际 晶体总有一定线度，电子在晶体内部与在边界上的 运动情况不同。因此，电子在晶体中运动应满足一 定的边界条件→波恩－卡门周期性边界条件：
个态一个电 空间，单位能量间隔内的量子态数， 即能量状态密度：g ( E ) dZ / dE
①导带底附近能量状态密度 gc ( E) 。 ⅰ设导带底（k =0）附近，等能面为球面。 2 2 等能面方程： (k ) Ec k E * 2mn 在k空间，E～E+dE内的状态数： dZ = (E～E+dE 对应的k 空间体积）（k 空间状态密度） = k 2dk ) 2V / 8 3 (4
费米能级


EF 称为费米能级或费米能量】
是分布函数的参考能级
由“系统中电子总数恒定”条件来确定 是参考能级，不是真正能级，电子不一定占据 比如：本征半导体费米能级在禁带，但禁带无电子 系统的化学势（chemical potential） 反映了半导体的导电类型，也反映了半导体的掺杂水平

3.1 状态密度 3.2 费米能级和载流子的统计分布 3.3 本征半导体的载流子浓度 3.4 杂质半导体的载流子浓度 3.5 一般情况下的载流子分布 3.6 简并半导体 3.7补充材料：电子占据杂质能级的概率
费米子和玻色子 泡利不相容原理：（费米系统）不能有两个 同样的粒子处于同一个状态 费米子：服从泡利不相容原理的粒子称为费 米子。如电子、质子、中子等粒子。。 玻色子：不服从泡利不相容原理的粒子称为 玻色子。如介子、 光子。
§3.1状态密度
电子的零级近似波函数为德布洛意平面波，由周期性 边界条件得： k0 ( x) k0 ( x L) Aeikx Aeik ( x L ) Aeikx eikL
eikL 1 kL 2 n k 2 n / L, n 0, 1, 2......，k 只能为分立值。
第三条比前两条低△， 起主要作用的是重合的两条。 在极值附近近似为球形等能面 2 2 (k x2 k y k z2 ) E1.2 (k ) Ev 2m* p 重空穴带m*＝m* p ph 轻空穴带m*＝m* p pl
[111] [100]
mpl mp3
图 Si Ge价带结构
2
( k y k0 y ) 2 b
2
( k z k0 z ) 2 1 2 c
4 4 1 3/ 2 3/ 2 椭球体积为： k abc 3 (8m1m2 m3 ) (E Ec ) 3 3
在E～E+dE间的椭球层的 k 空间体积上式微分得到：
2 d k 3 (8m1m2 m3 )1/2 ( E Ec )1/2 dE

要计算半导体中的导带电子浓度，必须先要知道导带中单位能量间隔内有 多少个量子态（状态密度）。 (E ) g
dZ(E) 从而dE间隔内量子态dZ dE

又因为这些量子态上并不是全部被电子占据，因此还要知道能量为E的量子
态被电子占据的几率是多少（分布函数f(E)）。

将两者相乘后dZ*f(E)除以晶体体积V就得到
费米分布函数

当 T 0K 时

f (E)
1
E EF k0T
若 E EF，则 f ( E ) 1 1 e 若 E EF，则 f ( E ) 0 在热力学温度为0度时，费米能级 EF 可看成量子态是否 被电子占据的一个界限

当 T 0K 时

若 E EF，则 f ( E ) 1/ 2 若 E E，则 f ( E ) 1/ 2 F 若 E E，则 f ( E ) 1/ 2 F 费米能级是量子态基本上被 电子占据或基本上是空的一 个标志
玻色子服从玻色—爱因斯坦统计， 费米子 系统服从费米—狄拉克统计的。
费米统计

根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子遵 循费米统计律 对于能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率 为 f (E)
f (E)

1
1 e
E EF k0T
f ( E )称为电子的费米分布函数
空穴的费米分布函数？1 f ( E )
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
设半导体有s个相同的旋
转椭球，则在E～E+dE 间
的椭球层的体积为 sd k ，
所以E～E+dE 间的状态数：
dZ V ( sd k ) 4 V 3 s(8m1m2 m3 )1/2 ( E Ec )1/2 dE 令 s(8m1m2m3 )1/ 2 (E Ec )1/ 2 (2m )3/ 2
§3.1状态密度
在k 空间，给出一组
(nx , ny , nz )
对应
(k x , k y , k z )
代表
k 空间一个点
代表电子 的一个能 量状态
k 空间点的数目＝电子在k 空间的状态数。
k空间状态数 k 空间状态密度＝ k空间体积 ＝单位k 空间状态数
§3.1
在空间三个坐标轴上每隔 1/L 就有一 个代表点 3
mph
在k 空间，E～E+dE内的状态数： dZ1 dZ2 。 dZ 讨论方法与导带情况类似，利用式 E1.2 (k ) 可得
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
4 V 3/2 * dZ1 3 (2m ph ) ( Ev E )1/2 dE 4 V * 3/2 dZ 2 3 (2m pl ) ( Ev E )1/2 dE 3/2 * * 3/2 设 (2m ph ) (2m pl ) (2mdp ) 3/ 2
对于 Si, Ge, m1 m2 mt , m3 ml
mdn s (m ml ) ……
2/ 3 2 t 1/ 3
导带底电子状态 密度有效质量
查看不同材料的导带底电子状态密度有效质量 ②价带顶附近能量状态密度 由第一章知Si,Ge,GaAs价带有三条极值在 k = 0处，
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
半导体物理
SEMICONDUCTOR PHYSICS
半导体物理学
一． 二．
半导体中的电子状态 半导体中杂质和缺陷能级
三．
四． 五． 六． 七．
半导体中载流子的统计分布
半导体的导电性 非平衡载流子 pn结 金属和半导体的接触