二次函数的特殊形式

《二次函数》主要知识点归纳（修改版）(何老师归纳)一、概念：形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

1：条件：① a不为零②最高项次数为2（整理后）③整式2：特殊：若a＝0 则y＝bx＋c 是一次函数3：若y＝0，则函数图象交于x轴，化为一元二次方程a x2＋bx + c =04：特殊解析式：形如y=kx²-2kx-3k这样各项都含参数k的二次函数，图像必过定点.（令y=0, 则kx²-2kx-3k=0，化掉参数k得：x²-2x-3=0）二、二次函数的几种基本形式1：2y ax=的性质:a越大，抛物线的开口越小，越靠近y轴2. 2y ax c=+的性质：平移规律：上加下减y。

3.()2y a x h=-的性质：平移规律：左加右减x。

y=3(x+4)2(x-2)2y=3x24.()2y a x h k=-+（顶点式）的性质：平移规律：左加右减x 。

上加下减y,5．2y ax bx c =++（一般式）的性质： 先将一般式2y ax bx c =++通过配方法化成22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再对比顶点式，()2y a x h k =-+可得2424b ac b h k a a -=-=，．故两者性质相同。

三、二次函数2y ax bx c =++（或()2y a x h k =-+）图象及性质再归纳： 1：开口方向.①：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下； ②：a 相等，几条抛物线的开口大小、形状相同. ③：a 越大，抛物线的开口越小，越靠近y 轴 2：对称轴，直线abx 2-=（或直线x ＝h ） 3：顶点坐标：），（ab ac a b 4422-- 或（h,k ）4：增减性 ①：若0>a ，当x<a b 2-时，y 减；当x>a b2-时，y 增，简记：左减右增； ②：若0<a ，当x<a b 2-时，y 增；当x>ab2-时，y 减，简记：左增右减；5:最值 ⑴：若定义域是全体实数，则在顶点处取得最大值（或最小值），即:当a b x 2-=时，ab ac y 442-=最值，（或当x ＝h 时，最值是y ＝k ）2-32⑵: 若定义域是21x x x ≤≤， 则：①：若a b 2-在21x x x ≤≤内，则当x=a b 2-时，ab ac y 442-=最值；②：若ab2-不在21x x x ≤≤内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性， A: 若y 为增，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小； B: 若y 为减，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2. 抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩ 解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+．举一反三：【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＜0；④b ﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（ ）A ．①③④B ． ②④⑤C ． ①②⑤D ．②③⑤【答案】B ；【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∵﹣=﹣2，∴b=4a ，ab ＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4， ∴②⑤正确，∵当a=﹣3时y ＞0，即9a ﹣3b+c ＞0， ∴③错误，故正确的有②④⑤． 故选：B ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x ＞3或x ＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y ＞0时，x 的取值范围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x ＞3或x ＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？（ ）A ．1B ．C ．D ．【思路点拨】求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可． 【答案】D ． 【解析】解：∵y=﹣x 2+4x ﹣k=﹣（x ﹣2）2+4﹣k ， ∴顶点D （2，4﹣k ），C （0，﹣k ）， ∴OC=k ，∵△ABC 的面积=AB •OC=AB •k ，△ABD 的面积=AB （4﹣k ），△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，∴k=（4﹣k ），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则． 答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2． 故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？ 【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润； （3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000． 【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）2+5625，∵x 取正整数，当x=2或3时，y=5600.∴5600元是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。

二次函数与abc的关系总结二次函数是一种特殊的多项式函数，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且a ≠ 0。

这篇文章将总结二次函数与 a、b、c之间的关系。

一、a 的影响1. a 的正负：- 当 a > 0 时，二次函数开口朝上，图像在 y 轴的右侧向上延伸，形状类似 "U" 字；- 当 a < 0 时，二次函数开口朝下，图像在 y 轴的右侧向下延伸，形状也是 "U" 字。

2. a 的绝对值：- 当 |a| > 1 时，二次函数图像的开口较窄，抛物线较陡峭；- 当 |a| < 1 时，二次函数图像的开口较宽，抛物线较扁平。

二、b 的影响1. b 的正负：- 当 b > 0 时，二次函数图像向右平移；- 当 b < 0 时，二次函数图像向左平移。

2. b 的绝对值：- b 的绝对值越大，平移的距离越大。

三、c 的影响1. c 的正负：- 当 c > 0 时，二次函数图像向上平移；- 当 c < 0 时，二次函数图像向下平移。

2. c 的绝对值：- c 的绝对值越大，平移的距离越大。

综上所述，二次函数的形状、开口方向和平移均与 a、b、c 的值相关。

不同的 a、b、c 值组合会产生不同的抛物线图像。

理解这种关系对于解析和图像表示二次函数都至关重要。

无论是在数学学习中还是实际问题中，掌握二次函数与 a、b、c 的关系对于分析和解决问题都具有重要的意义。

在实际应用中，通过调整 a、b、c 的值，我们可以改变二次函数的形状，从而适应不同的需求和情境。

总之，二次函数与 a、b、c 之间存在明确的关系，对于理解和应用二次函数都至关重要。

通过合理地设置 a、b、c 的值，我们可以控制二次函数的图像特征，从而更好地解决实际问题。

因此，在学习和应用二次函数时，我们应该认真分析和理解这种关系，以充分利用二次函数的特性。

二次函数的定义与性质随着数学的发展，二次函数作为一种重要的数学模型，在各个领域中的应用越来越广泛，因此了解二次函数的定义与性质是十分重要的。

本文将探讨二次函数的定义以及与之相关的性质。

一、二次函数的定义二次函数是一个常见的代数函数，它的定义形式通常为 f(x) = ax^2+ bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

其中 a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项的系数a 决定。

当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

特殊地，当 a = 0 时，该函数退化为一次函数。

二、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点就是方程 f(x) = 0 的解。

根据二次函数的定义，我们可以使用求根公式来求得二次函数的零点。

对于一般的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的零点可以通过公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 求得。

2. 领域二次函数的定义域是实数集 R，即所有实数都可以作为自变量。

而值域则依赖于二次项系数 a 的正负性质。

当 a > 0 时，值域是[f(c), +∞)，其中 c 是顶点的纵坐标；当 a < 0 时，值域是 (-∞, f(c)]。

3. 对称轴对称轴是二次函数图像的中心线，它将图像分成两部分对称的部分。

对称轴的方程可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。

4. 顶点二次函数的顶点是图像的最高点（对于 a > 0）或最低点（对于 a < 0），对称轴与图像相交的点。

顶点的横坐标可以通过对称轴的方程求得，顶点的纵坐标可以通过代入得到。

5. 函数增减性当 a > 0 时，二次函数是开口向上的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。

此时函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。

当 a < 0 时，二次函数是开口向下的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。

二次函数关于xy轴对称的解析式二次函数是一种重要的函数形式，在很多应用中都有广泛的运用。

其中，关于xy轴对称的二次函数是一种特殊的形式，具有一些独特的性质。

本文将介绍二次函数关于xy轴对称的解析式及其性质。

首先，我们来回顾一下一般形式的二次函数：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

我们知道，二次函数的图像一般是一个开口朝上或朝下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口朝上，当a<0时，抛物线开口朝下。

现在，我们考虑二次函数关于xy轴对称的情况。

如果一个二次函数关于xy轴对称，那么它的图像在xy平面中关于x轴或y轴对称。

我们可以通过以下方式得到这种函数的解析式：当二次函数关于x轴对称时，其解析式为：y = a(x-α)^2 + β其中，α为对称轴的横坐标，β为对称轴与抛物线的交点纵坐标。

这个式子的意思是，将x轴上的点(x,0)沿着对称轴移动到点(α,β)，就能得到抛物线的对称形式。

同理，当二次函数关于y轴对称时，其解析式为：y = a(-x-α)^2 + β其中，α为对称轴的纵坐标，β为对称轴与抛物线的交点横坐标。

这个式子的意思是，将y轴上的点(0,y)沿着对称轴移动到点(α,β)，就能得到抛物线的对称形式。

需要注意的是，对称轴的位置取决于二次函数的系数。

当a>0时，对称轴是x=α，当a<0时，对称轴是y=β。

二次函数关于xy轴对称的性质有很多，这里只介绍几个典型的例子。

首先，对称轴上的点是抛物线的顶点。

其次，关于xy轴对称的二次函数的两个根是关于对称轴对称的。

最后，当a>0时，抛物线的最低点在对称轴上方；当a<0时，抛物线的最高点在对称轴下方。

总之，二次函数关于xy轴对称是一种特殊的形式，具有一些独特的性质。

通过掌握其解析式及性质，可以更好地理解和应用二次函数。