2020届四川省成都市蓉城名校联盟高三第二次联考数学(文)试题(解析版)

2020届四川省成都市蓉城名校联盟高三第二次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合1,1,{,4}3A =-，集合2{|430}B x x x -=+>，则A B =I （ ） A ．{1,4}- B ．{}1,1,4- C ．{}1,3,4- D ．()(),13,∞⋃+∞-【答案】A【解析】集合A ，B 是数集，集合B 是一元二次不等式解的集合，求出解集，与A 集合的交集运算求出公共部分. 【详解】解：Q 集合1,1,{,4}3A =-，集合2{|}430,1B x x x +∞⋃∞＝﹣＞＝(-)(3,+)， {1},4A B -\I ＝．故选：A ． 【点睛】本题考查一元二不等式的解法和集合交集运算， 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 2．已知复数z =，则z =（ ）A ．1BC ．2D ．3【答案】C【解析】利用复数的除法运算化简z i =，再利用复数模长公式求出结果.【详解】解：z i =Q ，2z i ===∴故选：C ． 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模长运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模． 3．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样 D ．系统抽样【答案】C【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C. 【考点】分层抽样．4．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．c c a b> B ．22ac bc ＜ C ．lna lnb ＜ D ．11()()22ab<【答案】C【解析】A B 、利用不等式性质可判断，C D 、利用对数函数和指数函数的单调性判断. 【详解】解：对于,A Q 实数0a b <<， 11,c ca b a b∴>> ，0c ≤不成立 对于0B c =．不成立．对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出． 对于.D 指数函数1()2xy =单调递减性质，因此不成立． 故选：C ． 【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．5．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ） A ．12m >B ．12m ≥C ．1m >D ．m 1≥【答案】D【解析】求出命题q 不等式的解为23x <<，p 是q 的必要不充分条件，得q 是p 的子集，建立不等式求解. 【详解】解：Q 命题2:21,:560p x m q x x -<++<，即: 23x <<，p 是q 的必要不充分条件，(2,3)(,21,)m ∴⊆-∞+，213m ∴+≥，解得m 1≥．实数m 的取值范围为m 1≥．故选：D ． 【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验．6．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27 B ．33C ．39D ．44【答案】B【解析】利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得111116+)11(11332a a S a =＝＝ 【详解】解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，63a ∴＝．n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)11(11332a a S a =＝＝．故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，． (2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-.7．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβC ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥ 【答案】D【解析】利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除. 【详解】解：对于A ，当,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于B ，当//m n 时，不能判定//αβ，故错；对于C ，若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于D ，由,//m βαα⊥可得m β⊥，又//n β，则m n ⊥故正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．8．已知抛物线220y x ＝的焦点与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为92，那么该双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．53 C ．52D 【答案】A【解析】由抛物线220y x ＝的焦点(5,0)得双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点(5,0)±，求出5c ＝，由抛物线准线方程5x =-被曲线截得的线段长为92，由焦半径公式2292b a =，联立求解.【详解】解：由抛物线220y x ＝，可得220p ＝，则10p ＝，故其准线方程为5x =-， Q 抛物线220y x ＝的准线过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点， 5c ∴＝．Q 抛物线220y x ＝的准线被双曲线截得的线段长为92， 2292b a ∴=，又22225c a b +＝＝，4,3a b ∴＝＝，则双曲线的离心率为54c e a ==． 故选：A ． 【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．9．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =u u u r u u u r，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-u u u r u u u r u u u r ，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．19C ．1D ．2【答案】B【解析】23mAC AP AB =-u u u r u u u r u u u r 变形为23AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r，由13AN AC =u u u r u u u r 得3AC AN =u u u r u u u r，转化在ABN V 中，利用B P N 、、三点共线可得.【详解】解：依题： 22333AP mAC AB mAN AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又B P N ，，三点共线，2313m ∴+=，解得19m =．故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程：A P B 、、 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r(O 为平面内任一点,t R ∈)10．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ）A ．34+ B ．34+ C ．36+ D ．36+ 【答案】A 【解析】所求211a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121()[(1)]41a b a b ++--，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为0,1a b >>满足5a b +＝， 则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦-- ()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当()211b aa b -=-时取等号， 故选：A ． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ） A ．4a mB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 【答案】D【解析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值． 【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩， 其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a mmπ+= 故选：D ． 【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.12．已知(2sin ,cos ),,2cos )2222x x x xa b ωωωω==r r ，函数()f x a b =r r ·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]4【答案】B【解析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16f x x πω=++ ，函数在区间4[0,]3π上恰有3个极值点即为三个最值点，,62x k k Z ππωπ+=+∈解出，,3k x k Z ππωω=+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围.【详解】解： ()22cos cos 12xf x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16x πω=++令,62x k k Z ππωπ+=+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω=+∈，(0)2f =，又函数()f x 在区间4[0,]3π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω+≤<+ 解得7542ω≤<． 故选：B ． 【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题. (1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()++y A x t ωϕsin ＝或()++y A x t ωϕcos ＝ 的形式; (2)根据自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.二、填空题13．实数,x y 满足2201020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为_____．【答案】52． 【解析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.【详解】解：作出可行域，如图所示，则当直线2z x y +＝过点C 时直线的截距最大，z 取最大值．由12021032x x y x y y ⎧=⎪+-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩13(,),22C ∴同理(0,2),B (1,0),A - 52C z ∴=，2B z =，2A z =- 52c z ∴=取最大值．故答案为：52． 【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.14． 在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝4，则其最大内角的余弦值为________． 【答案】14-【解析】因为c b a >>，所以在ABC ∆中最大的内角为角C ，则由余弦定理，得22249161cos 22234a b c C ab +-+-===-⨯⨯，故答案为14-.15．已知直三棱柱111ABC A B C -中，23ABC π∠＝，14,2AB BC CC ＝＝＝，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____． 10【解析】以B 为原点，过点B 作BC 的垂线为x 轴，建立空间直角坐标系，求出1(23,2,2),AB =-u u u r ()10,2,2BC =u u u u r，利用空间向量夹角公式可得.【详解】直三棱柱111ABC A B C -中，23ABC ＝，π∠142AB BC CC ＝，＝＝ 以B 为原点，在平面ABC 中，过点B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，1(23,2,0),(0,0,2),A B -1(0,0,0),(0,2,2)B C1(23,2,2),AB =-u u u r 1(0,2,2)BC =u u u u r设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为：111110cos 208AB BC AB BC θ===u u u r u u u rg u u u r u u u u r g g 故答案为： 10【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成角空间角.两条异面直线所成角的求法:(1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)设两条异面直线,a b 的方向向量为,a b r r，其夹角为θ，(3)代入公式cos sin a ba bj q ==r r g r r 求解(其中ϕ为异面直线,a b 所成的角)．16．已知函数31(),[,]f x x x a x e e=-++∈与()31g x lnx x =--的图象上存在关于x轴对称的点，则a 的取值范围为_____． 【答案】3[2,2]e -【解析】两函数图象上存在关于x 轴对称的点的等价命题是方程331x x a lnx x ++++﹣＝﹣在区间1[,]e e 上有解，化简方程313a x lnx ﹣＝﹣在区间1[,]e e上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解. 【详解】解：根据题意，若函数21()()f x x x a x e e=-++≤≤与()3ln 1g x x x =--的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程331x x a lnx x ++++﹣＝﹣在区间1[,]e e 上有解， 即方程313a x lnx ﹣＝﹣在区间1[,]e e上有解，设函数3()3g x x lnx =-，其导数3233(1)'()3x g x x x x-=-=，又由1[,]x e e ∈，可得：当11x e≤≤时， '()0,()g x g x <为减函数， 当1x e ≤≤时， '()0,()g x g x >为增函数，故函数3()3g x x lnx =-有最小值(1)1g =，又由3311()3,()3g g e e e e =+=-；比较可得： 1()()g g e e<， 故函数()33g x x lnx -=有最大值()33g e e =-，故函数()33g x x lnx -=在区间1[,]e e 上的值域为3[1,3]e ﹣； 若方程313a x lnx -+＝在区间1[,]e e上有解，必有3113a e ≤-≤-，则有322a e ≤≤-，即a 的取值范围是3[2,2]e -；故答案为：3[2,2]e -； 【点睛】本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题, 函数零点问题的拓展. 由于函数()y f x=的零点就是方程()=0f x的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.三、解答题17．某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）从样本数据用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个，求至少有一个工人是优秀员工的概率．【答案】（1）中位数为43，众数为47．（2）5 7【解析】（1）茎叶图完全反映所有的原始数据，由茎叶图直接得中位数43，众数47 （2）用列举法得到用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个的基本事件总数为21种，和所求至少有一个工人是优秀员工的基本事件数为15种，利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：()1由茎叶图得：中位数为43，众数为47．()2设不超过50的工人为,,,,,,a b c d e f g，其中,,a b c为优秀员工，从这7名工人中随机抽取2人的基本事件有21个，分别为：{},{},{},,,,a b a c a d{},{},{},,,,a e a f a g{},{},{},,,,b c b d b e{},,,{}b f b g{},{},{},,,,{},,{},,c d c e c f c g d e {},{},{},,,,d f d g e f {},,,{}e g f g其中至少有一名工人是优秀员工的基本事件有15个，∴至少有一个工人是优秀员工的概率155217P ==． 【点睛】本题考查利用茎叶图中位数和众数问题及古典概型的概率. 解决古典概型实际问题的步骤:（1）判断是否是古典概型，（2）列举或计算基本事件总数和所求基本事件数（3）用古典概型的概率公式计算18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，5PA PC ＝＝，点,M N 分别是,AB PC 的中点．（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）若45cos PCD ∠＝，60DAB ︒∠＝，求三棱锥P ADN -的体积． 【答案】（1）见解析（2）3【解析】()1取PD 的中点H ,证明四边形AMNH 为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得.()2由()1问//MN 平面PAD ，利用等积法转换P ADN N PAD M PAD P ADM V V V V ﹣﹣﹣﹣＝＝＝，利用余弦定理求出=3PD ，用勾股逆定理证明PD DC ⊥，PD AD ⊥，证明PD ⊥平面ABCD ，得高=3PD ，再计算=23ADM S ∆从而得1233232P ADN V -=⨯=【详解】()1证明：取PD 的中点H ，连接,NH AH ，N Q 是PC 的中点，1//,2NH DC NH DC ∴＝，又1//,2AM DC AM DC ＝，//NH AM ∴且NH AM ＝，∴四边形AMNH 为平行四边形，则//MN AH ，又MN ⊄平面,PAD AH ⊂平面PAD ，//MN ∴平面PAD ；()2解：45,4,cos 5PC DC PCD ∠=Q ＝＝， 24251625495PD ∴=+-⨯⨯⨯=，则222PC PD DC =+，PD DC ∴⊥，同理PD AD ⊥，又AD DC D ⋂＝，PD ∴⊥平面ABCD ，又//MN 平面PAD ，P ADN N PAD M PAD P ADM V V V V ∴﹣﹣﹣﹣＝＝＝， 又60DAB ︒∠=Q ，13422322ADM S ∆∴=⨯⨯⨯=． 1233232P ADN V -∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行判定定理及利用等积法求三棱锥的体积.判定线面平行的方法：(1)利用线面平行的判定定理(2)利用面面平行的性质定理(3)利用面面平行的性质；求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.19．已知数列{}n a 满足对任意*n N ∈都有122n n n a a a +++＝，其前n 项和为n S ，且7349,S a ＝是1a 与13a 的等比中项，12a a ＜．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）已知数列{}n b 满足12n a n b +=，n n n c a b ＝，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求92065n T n --大于1000的最小的正整数n 的值． 【答案】（1）21n a n =-（2）4【解析】（1）利用122n n n a a a +++＝判断{}n a 是等差数列，利用749,S ＝求出47a ＝，利用等比中项建立方程，求出公差可得. （2）利用{}n a 的通项公式n a ,求出()224,214nn n n n b c n ===-g ，用错位相减法求出12065499n n n T +-=+⨯，最后建立不等式求出最小的正整数. 【详解】解：()1Q 任意*n N ∈都有122n n n a a a +++＝，∴数列{}n a 是等差数列，74449,749,7S a a ∴∴Q ＝＝＝，又3a Q 是1a 与13a 的等比中项，12a a <，设数列{}n a 的公差为d ，且0d >， 则()()()277379d d d -=-+，解得2d ＝，1731a d ∴-＝＝，()12121n a n n ∴=+-=-；()2由题意可知 ()224,214n n n n n b c n ===-g ，()121434?··214n n T n ∴=⨯+⨯++-⨯①， ()23141434?··214n n T n +=⨯+⨯++-⨯②，①﹣②得：()231342424?··24214nn n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯，12065499n n n T +-∴=+⨯， 1229204265n n n T n ++-∴==-，由92065n T n --1000＞得，2221000n +>，2210n ∴+≥，4n ∴≥，∴满足条件的最小的正整数n 的值为4．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式及错位相减法求和. (1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列{}n a 中，1a d 、是最基本的两个量，一般可设出1a 和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可. (2)错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b g的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解; 在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式20．已知点3(1,),(1,),(1,)2P a x y b x y =-=+rr ，且4a b +=r r ，满足条件的(,)Q x y 点的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）是否存在过点(0,1)-的直线l ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，直线,PA PB 与y 轴分别交于,M N 两点，使得PM PN ＝？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）存在， 112y x =-或512y x =-．【解析】（1）由4a b +=r r4=看成(,)Q x y 到两定点12(1,0),(1,0)F F -的和为定值，满足椭圆定义，用定义可解曲线C 的方程.（2）先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线点斜式方程1y kx =-，由PM PN ＝，可得0PA PB k k +＝，再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于k 的一元二次方程求解. 【详解】解：()1设12(1,0),(1,0)F F -，由(1,),(1,)a x y b x y =-=+r r， 4a b +=r r ，4=，即为124QF QF +＝， 由124F F >，可得Q 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点，且24a =的椭圆，由1,2c a ＝＝，可得b ==C 的方程为22143x y+=； ()2假设存在过点(0,1)-的直线l 符合题意．当直线l 的斜率不存在，设方程为0x ＝，可得M N ，为短轴的两个端点，PM PN ＝不成立；当直线l 的斜率存在时，设方程为1y kx =-，1122(1)(),1,A x kx B x kx -,﹣ 由PM PN ＝，可得0PM PN k k +＝，即0PA PB k k +＝，可得12125522011kx kx x x --+=--，化为21215()()5022kx x k x x -+++=，由2213412y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得22(34)880k x kx +--=， 由(0,1)-在椭圆内，可得直线l 与椭圆相交，12122288,3434k x x x x k k+==-++， 则228582()()()5034234kk k k k --++=++化为25168()5(34)02k k k k --+++=，即为241250k k -+=，解得1522k k ==或，所以存在直线l 符合题意，且方程为112y x =-或512y x =-． 【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题. （1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解；（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解.21．已知函数()()()ln 11f x x ax a a R =+-+-∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()ln 110xb x e x -++-＞对任意0x ＞恒成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）[)0,+∞ 【解析】（1）函数求导1'()1ax af x x -+-=+，讨论参数范围，解'()0f x >求单增区间，解'()0f x <求单减区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数最值问题，()()11xg bln x x e x +-=+-，对任意0,()0x g x >>等价于()(0)g x g >，研究()g x 单调性求解.【详解】解： ()1()f x 的定义域为111,,()('11)ax af a x x x -+--+∞=-=++ 当0a ≤时，(1)10a x -++>，故函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a >时， 111x a -<<-时，'()0f x >，当11x a>-时，'()0f x <，故函数()f x 在1(1,1)a --单调递增，在1(1,)a-+∞单调递增；()2令()()11x g bln x x e x +-=+-，则(0)0g =，∴对任意0,()0x g x >>等价于()(0)g x g >，'()1,'(0)1x bg x e g b x =+-=+， 当0b <时， '(0)0g <，则存在0m >，使(0,)x m ∈使， '()0g x ≤，()g x ∴在(0,)m 上是减函数，(0,)x m ∈∴时， ()(0)g x g <，与条件不符，0b ≥当时，由0x >，可知11x +>，故01b b ≤+， '()0g x ∴>()g x ∴在(0,)+∞上是增函数，0x ∴>时， ()(0)g x g >，即()0>g x ；综上，实数b 的取值范围为[0,)+∞． 【点睛】本题考查含参数函数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数问题.导数法研究函数()f x 在(,)a b 内单调性的步骤: (1)求'()f x ；(2)确定()f x '在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：'()0f x >时为增函数；'()0f x <时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式()0f x λ≥，(λ为实参数)对任意的x D ∈恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程； （2）设射线:6OP πθ=与曲线1C 交于不同于极点的点A ，与曲线2C 交于不同于极点的点B ，求线段AB 的长．【答案】（1）=4sin ρθ；()2224x y -+=（2）2-【解析】()1曲线1C 的参数方程转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．再用极直互化公式求解，曲线2C 的极坐标方程用极直互化公式转换为直角坐标方程22(2)4x y -+=．()2射线OP 与曲线1C 的极坐标方程联解求出12ρ＝，射线OP 与曲线2C 的极坐标方程联解求出2＝ρ 再用 12AB ρρ=-得解【详解】解：()1曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．把cos x ρθ=，sin x ρθ=代入得：=4sin ρθ曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4．转换为直角坐标方程为22(2)4x y -+=．()2设射线:6OP πθ=与曲线1C 交于不同于极点的点A ，所以64sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12ρ＝． 与曲线2C 交于不同于极点的点B ，所以64cos πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2ρ=所以122AB ρρ=-=【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程直角坐标方程相互转换及极坐标下利用ρ和θ的几何意义求线段的长.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的,x y 分别用cos ρθ，sin ρθ代替即可得到相应极坐标方程．参数方程化为极坐标方程必须先化成直角坐标方程再转化为极坐标方程.（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.23．设函数()()1f x x a x a R =++-∈． （1）当1a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若对任意x ∈R 都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(][),22,∞-⋃+∞-（2）(][),31,-∞+∞U【解析】()1114||x x++≥﹣利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集， ()2()2f x ≥对x ∈R 恒成立，则()2min f x ≥，由三角不等式|1||1|1x a xx a x a ++≥+++﹣﹣＝，得12a +≥求解 【详解】解：()1当1a =时，不等式()4f x ≥即为114||x x++≥﹣， 可得1114x x x ≤-⎧⎨--+-≥⎩或11114x x x -<<⎧⎨++-≥⎩或1114x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得2x -≤或x ∈∅或2x ≥，第 21 页 共 21 页 则原不等式的解集为(,2[2,])∞-⋃+∞-()2若对任意x ∈R 、都有()2f x ≥，即为()2min f x ≥， 由|1||1|1x a xx a x a ++≥+++﹣﹣＝，当()(1)0x a x +-≤取得等号， 则()1min f x a +＝，由12a +≥，可得13a a ≥≤-或，则a 的取值范围是(,3][1,)-∞+∞U【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a b a b a b １?－＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.。