上虞2023学年第一学期期中测试高一数学（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题只有一项是正确的）1.设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3 B.{}0,2,4 C.{}2,4 D.{}0,2,3,4【答案】C 【解析】【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.【详解】解：(){}0,2,4A =U ð，()U B A ⋂=ð{}2,4，故选：C.2.若幂函数()f x x α=的图象经过点(，则α的值为（）A.2B.2- C.12D.12-【答案】C 【解析】【分析】由已知可得()3f =α的值.【详解】由已知可得()12333f α===，解得12α=.故选：C.3.函数y =）A.[0,1)B.(,1)-∞ C.(0,1]D.(1,2)【答案】A 【解析】【分析】根据根式的性质以及指数不等式即可求解.【详解】y =21010x x ⎧-≥⎨->⎩，解得01x ≤<，故选：A4.已知函数2()1f x x mx =+-，若对于[],1x m m ∀∈+都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是（）A.()0,1B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,0-D.,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【详解】解：由题意，对于[],1x m m ∀∈+都有()0f x <成立，∴()()()()2222Δ401011110m f m m m f m m m m ⎧=+>⎪⎪=+-<⎨⎪+=+++-<⎪⎩，解得：202m -<<，即实数m的取值范围是,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.5.函数()221xf x x =-的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．【详解】由题可得函数()f x 定义域为{}|1x x ≠±，且()()221xf x f x x --==--，故函数为奇函数，故排除BD ，由()4203f =>，1143234f ⎛⎫==-⎪⎝⎭-，故C 错误，故选：A.6.已知函数21,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（）A.(0,1)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,3)【答案】A 【解析】【分析】画出函数f （x ）的图象，结合图象求出a 的范围即可．【详解】解：画出函数f （x）的图象，如图示：方程()0f x a -=有三个不同的实数根，即y ＝f （x ）和y ＝a 的图象有3个不同的交点，结合图象：0＜a ＜1，故选：A ．7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上单调递减，定义在R 上的偶函数()g x 在(],0-∞上单调递增，且()()110f g ==，则满足()()0f x g x >的x 的取值范围是（）A.()(),11,0-∞--U B.()()0,11,+∞ C.()()1,01,-⋃+∞ D.()(),11,1-∞-- 【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性与单调性，依次讨论(),1x ∈-∞-，()1,0x ∈-，()0,1x ∈，()1,x ∈+∞时()()f x g x 的符号即可得答案.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上单调递减，且()10f =，所以()f x 在()0,∞+上也是单调递减，且()()10,00f f -==，因为定义在R 上的偶函数()g x 在(],0-∞上单调递增，且()10g =，所以()g x 在[0)，+∞上是单调递减，且()10g -=.所以，当(),1x ∈-∞-时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x <；当()1,0x ∈-时，()0f x <，()0g x >，()()0f x g x <；当()0,1x ∈时，()0f x >，()0g x >，()()0f x g x >；当()1,x ∈+∞时，()0f x <，()0g x <，()()0f x g x >；故满足()()0f x g x >的x 的取值范围是()()0,11,x ∈+∞ 故选：B8.已知m R ∈，函数()31x f x m m x +=-+-在[]2,5x ∈上的最大值是5，则m 的取值范围是（）A.7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.[]2,5 D.[)2,∞+【答案】A 【解析】【分析】先由题意得到3251+≤≤-x x ，分别讨论2m ≤，25<≤m ，722<≤m 三种情况，即可求出结果.【详解】因为34111x y x x +==+--在[]2,5x ∈上单调递减，因此3251+≤≤-x x ；若2m ≤，则3()1x f x x +=-的最大值为5，符合题意；若25<≤m 时，()f x 的最大值为()2f 与()5f 中较大的，由()()25=f f ，即52-+=-+m m m m ，解得72m =，显然722<≤m 时，()f x 的最大值为5，72m >时，()f x 的最大值不为定值．综上可得：72m ≤时，()f x 在[]2,5上的最大值是5.故选A【点睛】本题主要考查由函数的最值求参数的问题，熟记函数单调性，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.以下满足{0,2,4}{0,1,2,3,4}⊆A Ü的集合A 有（）A.{0,2,4}B.{0,1,3,4}C.{0,1,2,4}D.{0,1,2,3,4}【答案】AC 【解析】【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A ，再去选项中选正确答案.【详解】由题意可知，集合A 包含集合{0,2,4}，同时又是集合{0,1,2,3,4}的真子集，则所有符合条件的集合A 为{0,2,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4}.选项BD 均不符合要求，排除.故选：AC10.下列命题正确的有（）A.x ∀∈R x=B.不等式2450x x -+>的解集为R C.1x >是0x >的充分不必要条件D.若命题p ：R x ∃∈，210x x ++<，则p ⌝：R x ∀∈，210x x ++≥【答案】BCD 【解析】【分析】举反例判断A ，根据一元二次函数的性质判断B ，根据充分条件和必要条件的定义判断C ，根据含量词的命题的否定方法判断D ．【详解】当1x =-时，1=，所以x ∀∈R ，x =是假命题，A 错误；因为()2245210x x x -+=-+>恒成立，则不等式2450x x -+>的解集为R ，B 正确；因为1x >，则0x >，又当0.5x =时，0x >，但1x <，所以由0x >不能推出1x >，所以1x >是0x >的充分不必要条件，C 正确；若命题p ：R x ∃∈，210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x ++≥，D 正确．故选：BCD ．11.已知,x y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（）A.2xy 的最大值为14B.224x y +的最小值为12C.3(2)x x y +的最大值为1 D.1y x y+的最小值为【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式即可直接求解AC ，根据完全公式即可求解B,根据乘“1”法即可由不等式求解.【详解】对于A 选项，由基本不等式得12x y =+≥解得124xy ≤，当且仅当2y x =且21x y +=，即14x =，12y =时，2xy 的最大值为14，A 正确．对于B 选项，222114(2)4141242x y x y xy xy +=+-=-≥-⨯=，当且仅当14x =，12y =时，224x y +的最小值为12，B 正确．对于D 选项，122111y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥=，当且仅当2y x x y=，y =，即22,12x y -==时等号成立，故1y x y +的最小值为1+，D 错误．对于C 选项，()223(2)3(2)212x x y x x y x y ++⎡⎤+≤=+=⎢⎣⎦，当且仅当32x x y =+，即13x y ==时等号成立，所以3(2)x x y +的最大值为1,C 正确，故选：ABC ．12.已知函数()()01xf x aa =<<，()()()g x f x f x =--，对任意12x x ≠，则（）A.()()()1212f x f x f x x = B.()()0g x g x +-=C.()()()()11221221x g x x g x x g x x g x +<+ D.()()2314g t t g t ⎛⎫-+-≥-∈⎪⎝⎭R 【答案】BCD 【解析】【分析】对选项A ，根据指数的运算性质即可；对选项B ，可判断出()g x 是奇函数，即可判断；对选项C ，通过作差法比较即可；对选项D ，根据函数()g x 的单调性和奇偶性转化不等式，再通过判别式即可判断.【详解】对选项A ，()()1212x x f x f x a +=，()1212x x f x x a=，故选项A 错误；对选项B ，()xxg x a a-=-，()xx g x a a --=-，则()()0g x g x +-=，故选项B 正确；对选项C ，()()()()()()()12121212112212211xx x x x x x x a a ax g x x g x x g x x g x a ++--++--=不妨设12x x <，则120x x a a ->，故()()()()11221221x g x x g x x g x x g x +<+，故选项C 正确；对选项D ，因为()g x 是奇函数，()g x 在(),-∞+∞上递减则要使()()2314g t t g t ⎛⎫-+-≥-∈⎪⎝⎭R 恒成立只需：()233144g t t g g ⎛⎫⎛⎫-+-≥-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需：2314t t -+-≤-只需：24410t t -+≥而Δ0=，故()()2314g t t g t ⎛⎫-+-≥-∈ ⎪⎝⎭R ，故选项D 正确故选：BCD三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知函数()2(33)f x ax b x =+-+，2,[2]x a a ∈-是偶函数，则a +b =________.【答案】4【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式计算即可作答.【详解】因为f (x )为偶函数，则函数f (x )的定义域关于数0对称，即2020a a a >⎧⎨-+=⎩，解得1a =，显然[1,1]x ∀∈-，()()f x f x -=，即22()3)(()33)(3a x b x ax b x -+-+=+-+-，整理得2(3)0b x -=，而x 不恒为0，于是得30b -=，解得3b =，所以4a b +=.故答案为：414.函数()11(2x f x -=的单调递减区间为__________，值域为__________.【答案】①.()1,∞+②.(]01，【解析】【分析】空①，根据复合函数的单调性进行讨论即可;空②，由10x -≥结合指数函数的单调性求解结果.【详解】函数()f x 的定义域为R ，10x -≥ ，()01f x ∴<≤，∴()f x 值域为(]01.，设1()2uy =，1u x =-，u ∴在区间()1∞-，上单调递减，在区间(1，)∞+上单调递增，1()2u y = 为减函数，11()2x y -∴=在区间()1∞-，上单调递增，在区间(1,)∞+上单调递减.故答案为：()1,∞+；(]01.，15.已知函数()()51,1,1xa x a x f x a x ⎧--+<=⎨≥⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,5）【解析】【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数以及指数函数的单调性即可列不等式求解.【详解】由于函数()()51,1,1x a x a x f x a x ⎧--+<=⎨≥⎩在R 上单调递增，所以需要满足：50151a a a a a ->⎧⎪>⎨⎪--+≤⎩，解得25a ≤<，故答案为：[2,5）16.已知函数()()2212f x x a x a =+-+，若关于x 的不等式()()0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】3,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【详解】分析：应用换元法，令()()22u 12f x x a x a ==+-+，1([,)4u a ∈-+∞，不等式()()0f f x ≥恒成立，转化为min ()0f u ≥在1[,)4a -+∞恒成立，确定min ()f u 关系式，即可求得答案.详解： 22211()(12)[()]24f x x a x a x a a =+-+=--+-∴函数对称轴012x a =-，最小值min 1()4f x a =-令()()22u 12f x x a x a ==+-+，1[,)4u a ∈-+∞则()()0f f x ≥恒成立，即在1[,)4u a ∈-+∞上min ()0f u ≥.1142a a ->-，∴()f u 在1[,)4u a ∈-+∞单调递增，min 13()(416f u f a a =-=-∴3016a -≥，解得316a ≥，即实数a 的取值范围是3[,)16+∞故答案为3[,)16+∞.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题、不等式恒成立问题以及二次函数的图象和性质等知识，考查了复合函数问题求解的换元法．四、解答题（本题共6题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或步骤）17.设集合{}1A x x a =-<<，{}260B x x x =+-<，全集R U =.（1）若4a =，求A B ⋂；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.【答案】（1）{}12A B x x ⋂=-<<；（2）2a ≤.【解析】【分析】（1）解不等式求出集合B ，再根据交集的定义求A B ⋂；（2）由A B A = 得到A B ⊂，再根据集合间的包含关系列不等式即可.【小问1详解】由{}260B x x x =+-<得{}32B x x =-<<，因为4a =，所以{}14A x x =-<<，所以{}12A B x x ⋂=-<<.【小问2详解】因为A B A = ，所以A B ⊂，①当A =∅时,1a ≤-；②当A ≠∅时，12a a >-⎧⎨≤⎩，即12a -<≤，综上所述，2a ≤.18.（1）已知幂函数()()21322mf x m m x-=--在()0,∞+递增，求实数m 的值.（2）化简求值20.53812781-⎛⎫⎛⎫⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）-1；（2）7.【解析】【分析】（1）根据函数()()21322mf x m m x-=--是幂函数，求得m ，再由函数在()0,∞+递增验证即可；（2）利用根式和指数幂的运算求解.【详解】解：（1）因为函数()()21322mf x m m x-=--是幂函数，所以2221m m --=，即2230m m --=，解得3m =或1m =-，当3m =时，()8f x x -=在()0,∞+递减，不成立；当1m =-时，()4f x x =在()0,∞+递增，成立，所以实数m 的值为-1.（2）20.53812781-⎛⎫⎛⎫⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2331228123⎡⎤⎛⎫=⨯-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦)49129=⨯-++，7=.19.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为m x ，宽为m y ．（1）若菜园面积为272m ，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小；（2）若使用的篱笆总长度为30m ，求12x y+的最小值．【答案】（1）12,6x y ==（2）310．【解析】【分析】（1）由已知得72xy =，篱笆总长为(2)m x y +，利用基本不等式即可求出最小值；（2）根据条件得230x y +=，然后令12(2)x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，展开化简，利用基本不等式即可求出最小值.【小问1详解】由已知可得72xy =，篱笆总长为(2)m x y +．又因为224x y +≥=，当且仅当2x y =，即12,6x y ==时等号成立．所以当12,6x y ==时，可使所用篱笆总长最小．【小问2详解】由已知得230x y +=，又因为1222(2)5y x x y x y x y ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭59≥+=，所以12310x y +≥，当且仅当x y =，即10,10x y ==时等号成立．所以12x y +的最小值是310．20.已知函数xy a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，记()2x x a f x a =+．（1）求a 的值及函数()f x 的值域；（2）证明：()()1f x f x +-为定值；并求12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【答案】（1）4a =，()f x 的值域为(0,1)（2）证明见解析；100【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性即可根据最值求解4a =，理由分离常数即可结合不等式的性质求解值域，（2）代入即可根据指数幂的运算化简即可求解()()1f x f x +-，进而可求解.【小问1详解】由题意有220a a +=，解得4a =或5a =-（舍去），则()4214242x x x f x ==-++，∵40x >，∴422x +>，110422x <<+，20142x <<+，∴0()1<<f x ，函数()f x 的值域为(0,1).【小问2详解】()()11444442142424242442241x x x x x x x x x x f x f x --+=+=+-=+=++++⨯++，12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12002198100101[][][]201201201201201201f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1100100=⨯=.21.已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x 、y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >.（1）求()0f 的值，并证明：()f x 为奇函数；（2）证明：函数()f x 在R 上单调递增；（3）若()()124820x x x x f k f +⋅+-->对任意[]1,2x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()00f =，证明见解析（2）证明见解析（3）()1,+∞【解析】【分析】（1）令0x y ==可求得()0f 的值，令y x =-，结合函数奇偶性的定义可证得结论成立；（2）设12x x >，则120x x ->，()120f x x ->，作差()()12f x f x -，并判断出()()12f x f x -的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；（3）由奇函数的性质结合函数()f x 的单调性可得出4142x x k +-⋅>，令12,42x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求出函数()223y t =--在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，即可得出实数k 的取值范围.【小问1详解】令0x y ==，可得()()020f f =，可得()00f =.因为函数()f x 的定义域为R ，在等式()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，有()()()00f x f x f +-==，所以，()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数.【小问2详解】令12,x x y x ==-，则()()()()()121212f x x f x f x f x f x -=+-=-，设12x x >，则120x x ->，()120f x x ->.所以，()()()12120f x f x f x x -=->，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 在R 上单调递增.【小问3详解】因为()()124820x x x x f k f +⋅+-->，所以，()()()112482824x x x x x x x f k f f ++⋅>---=+-，又函数()f x 在R 上单调递增能，所以，12824x x x x k +->⋅+，则4142x x k +-⋅>.令2x t =，则1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是()22412314142x x t t t +-=-+=--≤⋅，当且仅当4t =时，()223y t =--取最大值1，所以，实数k 的取值范围为()1,+∞.22.已知函数2()(1)f x x x x a =+--．（1）若1a =-，解方程()1f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【详解】（1）当1a =-时，，故有221,1(){1,1x x f x x -≥-=<-，当1x ≥-时，由()1f x =，有2211x -=，解得1x =或=1x -当1x <-时，()1f x =恒成立∴方程的解集为或（2）22(1),(){(1),x a x a x af x a x a x a -++≥=+-<，若在上单调递增，则有1{410a a a +≤+>，解得，13a ≥∴当13a ≥时，在上单调递增（3）设()()(23)g x f x x =--则22(3)3,(){(1)3,x a x a x a g x a x a x a-+++≥=--+<不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，等价于不等式()0g x ≥对一切实数x R ∈恒成立． 1a <，∴当(,)x a ∈-∞时，()g x 单调递减，其值域为2(23,)a a -++∞，由于2223(1)22a a a -+=-+≥，所以()0g x ≥成立．当[,)x a ∈+∞时，由1a <，知34a a +<，()g x 在34a x +=处取最小值，令，得35a -≤≤，又1a <，所以31a -≤<。
