东城区期末数学试题精编含答案

第1页（共7页）东城区2023-2024学年度第二学期期末教学统一检测高二数学参考答案及评分标准2024.7一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A （3）D （4）A （5）C （6）B （7）B （8）C （9）A （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）(1,)+∞（12）2213y x -=（13）540（14）20（15）①③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）设事件A ：单局比赛中甲4:0领先，则44114()552225P A =⨯⨯⨯=．……………………………………6分所以单局比赛中甲4:0领先的概率是425．（Ⅱ）设事件B ：乙以3:1赢得比赛，则133212()()3327P B C =⨯⨯=．所以乙以3:1赢得比赛的概率为227．……………………………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）依题意，(0)f a b ==.因为()e 1x f x a '=+，所以(0)1f a '=+.依题意，(0)1f '=-，故11a +=-，得2a =-.所以2a b ==-.……………………………………7分第2页（共7页）(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()21x f x e '=-+.令()0f x '=，解得ln 2x =-.令()0f x '>，得ln 2x <-，所以()f x 在区间(,ln 2)-∞-上单调递增；令()0f x '<，得ln 2x >-，所以()f x 在区间(ln 2,)-+∞上单调递减.所以()f x 的单调递增区间为(,ln 2)-∞-；单调递减区间为(ln 2,)-+∞.………………………………………….……13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）设事件A ：遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，品牌1A 被选中，则15261()3C P A C ==．所以遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，品牌1A 被选中的概率是13．………………………………………….……4分（Ⅱ）12个整点或半点中，“峰时”有6个，“平时”有4个，“谷时”有2个．X 的所有可能取值为36，45，54．2(36)12P X ==，4(45)12P X ==，6(54)12P X ==，所以X 的分布列为X364554P 161312所以111()36455448632E X =⨯+⨯+⨯=（元）.…………………….……9分（Ⅲ）按新车使用8年计算，燃油汽车使用的燃油费为30000831440005⨯⨯=（元），新能源汽车使用电费最多为300008(1.00.8)864005⨯⨯+=（元），因为购买新能源汽车比燃油汽车多花费40000元，第3页（共7页）所以144000400008640017600--=（元）．新能源汽车至少比燃油车总花费少17600元，所以选择新能源汽车总花费更少．…………………….……14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点0（，得b =.因为3AFB π∠=，所以1c =．由于222a b c =+，解得24a =.所以E 的方程为22143x y +=．…………………….……4分（Ⅱ）设直线PQ 的方程为1x my =+．由221,143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=,所以222(6)36(34)1441440m m m ∆=++=+>.设1122(,),(,)P x y Q x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+.直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得点M 的纵坐标为11116623M y y y x my ==++.同理可得点N 的纵坐标为2263N y y my =+.()()12121244141339N M N M y y y y y y k k my my =⋅==--++12212123()94y y m y y m y y +++=22222363491893434m m m m m =-+--+++1=-.所以12k k 为定值.…………………….……15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.第4页（共7页）当2a =时，222(1)()2x f x x x x-'=-=.令()0f x '=，解得1x =，或1x =-(舍).当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x (0,1)1(1,)+∞()f x '-0+()f x 单调递减0单调递增因此，当1x =时，()f x 有极小值，极小值为(1)0f =.（Ⅱ）22()2a x a f x x x x-'=-=.(1)当2a ≤时，因为(1,)x ∈+∞，所以220x a ->.所以()0f x '>.所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增.故()(1)0f x f >=，满足题意.(2)当2a >时，令()0f x '<，得212x <<.所以()f x 在区间22上单调递减.所以2((1)02f f <=,不符合题意.综上可知，(,2]a ∈-∞.…………………….……9分（Ⅲ）当2a ≤时，由（Ⅱ）知，对任意(1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以()f x 在区间(1,)+∞没有零点，不符合题意.当2a >时，因为()fx 在区间上单调递减，且(1)0f =，所以()f x 在区间上无零点.因为()f x 在区间(1,)+∞上存在唯一零点0x ，所以022x >.因为当2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()2+∞上单调递增.要证20e a x -<，只要证20()(e )a f x f -<，即只要证2(e )0a f ->.224(e )e (2)1a a f a a --=---，令20t a =->，只要证2e (2)10t t t -+->.第5页（共7页）令2()e (2)1(0)x g x x x x =-+->，2()2e 22x g x x '=--.令2()2e 22x h x x =--，当0x >时，24e 2)0(x h x -'=>，所以()g x '在区间(0,)+∞上单调递增，则有()(0)0g x g ''>=.所以()g x 在区间(0,)+∞上单调递增，则有()(0)0g x g >=，于是2(e )0a f ->得证.故20e a x -<.…………………….……15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为数列4:1,2,3,4A ，4():3,1,4,2T A ，所以24():4,3,2,1T A ，34():2,4,1,3T A ，44():1,2,3,4T A ．…………….……4分（Ⅱ）对数列4A 的任意变换T ，①若存在{1,2,3,4}i ∈，有()i i T a a =，则35()i i i T a a a -=≠，则T 不是4A 的3阶逆序变换．②若对{,,,}{1,2,3,4}i j s t =，有()i j T a a =，()j i T a a =，()s t T a a =，()t s T a a =，则32()()()i j i T a T a T a ==，3()()j j T a T a =，3()()s s T a T a =，3()()t t T a T a =．所以34()T A 和4()T A 是相同的数列．若34()T A 是4A 的逆序排列，则4()T A 也是4A 的逆序排列．所以T 不是3阶逆序变换．③若对{,,,}{1,2,3,4}i j s t =，有()i j T a a =，()j s T a a =，()s t T a a =，()t i T a a =，则32()()()i j s t T a T a T a a ===，32()()()t i j s i T a T a T a a a ===≠．所以T 不是4A 的3阶逆序变换．综上所述，对于4项数列4A ，不存在3阶逆序变换．………………….……9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，4项数列4A 不存在3阶逆序变换．第6页（共7页）对于3项数列3123:,,A a a a ，①若11()T a a =，则3113()T a a a =≠，所以变换T 不是3A 的3阶逆序变换．②若12()T a a =，当21()T a a =时有33()T a a =，则3331()T a a a =≠，所以变换T 不是3A 的3阶逆序变换．当23()T a a =时有31()T a a =，则3212313()()()T a T a T a a a ===≠，所以变换T 不是3A 的3阶逆序变换．③若13()T a a =，同②可知，变换T 不是3A 的3阶逆序变换．所以3项数列3A 不存在3阶逆序变换．对于5项数列512345:,,,,A a a a a a ，若存在3阶逆序变换T ，则315()T a a =，324()T a a =，333()T a a =，342()T a a =，351()T a a =．①若33()T a a =，则对于数列41245:,,,A a a a a 和上述的变换T ，有315()T a a =，324()T a a =，342()T a a =，351()T a a =．所以这个4项数列41245:,,,A a a a a 存在3阶逆序变换，与（Ⅱ）结论矛盾．②若33()T a a ≠，因为333()T a a =，则存在,{1,2,4,5}i j ∈，有3()i T a a =，()i j T a a =，3()j T a a =．此时，3235()()()i j i i T a T a T a a a -===≠，与T 是3阶逆序变换矛盾．所以，5项数列5A 不存在3阶逆序变换．第7页（共7页）对于6项数列6123456:,,,,,A a a a a a a ，存在变换T 使得6236145():,,,,,T A a a a a a a ，则26365214():,,,,,T A a a a a a a ，36654321():,,,,,T A a a a a a a ．所以6项数列6A 存在3阶逆序变换．综上，n 的最小值为6．…………………….……15分。

东城区2023-2024学年度第一学期期末统一检测高一数学（答案在最后）2024.1本试卷共4页，满分100分.考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共30分）一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合N A =,{}22B x x =-<<，则A B = （）A.{}1 B.{}0,1 C.{}1,0,1- D.{}2,1,0,1,2--【答案】B 【解析】【分析】根据集合的交运算法则直接计算即可.【详解】因为集合N A =,{}22B x x =-<<，所以{}0,1A B = ，故选：B .2.下列函数中，与1y x =-是同一函数的是（）A.1y =- B.y = C.211x y x -=+ D.1y =【答案】A 【解析】【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案.【详解】函数1y x =-的定义域为R ，对于A ，函数11y x =-=-的定义域为R ，且对应关系与函数1y x =-相同，故A 正确；对于B ，函数y =R ，但是1y x ==-，对应关系与函数1y x =-不相同，故B 错误；对于C ，函数211x y x -=+的定义域为()(),11,∞∞--⋃-+，定义域不同，则不是同一函数，故C 错误；对于D ，函数1y =-的定义域为R ，且1y x =-，则对应关系与函数1y x =-不相同，故D 错误.故选：A.3.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.()3f x x = B.()2xf x = C.()1f x x=-D.()tan f x x=【答案】A 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性以及奇偶性即可求解.【详解】对于A ，()()()()33,f x x x f x f x -=-=-=-为奇函数，且为单调递增的幂函数，故A 正确，对于B ，()2xf x =为非奇非偶函数，故不符合，对于C ，()1f x x=-为反比例函数，在()0,∞+和(),0∞-均为单调递增函数，但在定义域内不是单调递增，故不符合，对于D ，()tan f x x =在πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭-单调递增，但在定义域内不是单调递增，故不符合，故选：A4.下列命题中正确的是（）A.若a b >，则11a b< B.若a b <，则22ac bc <C.若22a b >，则a b > D.若22a b c c>，则a b >【答案】D 【解析】【分析】取特殊值结合不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A ,若取2,2a b ==-，则1122>-，即11a b >，故A 错误；对于B ，令0c =，则有22ac bc =，故B 错误；对于C ，令2,1a b =-=，则有a b <，故C 错误；对于D ，根据不等式性质可知D 正确，故选:D .5.若1sin 2α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos πα-的值为（）A. B.12-C.2D.12【答案】C 【解析】【分析】根据同角三角函数的平方关系及诱导公式进行计算即可.【详解】因为1sin 2α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2α==-，则()cos πcos 2αα-=-=，故选：C.6.下列函数中，满足对任意的1x ，()20,x ∞∈+，都有()()()1212f x x f x f x =的是（）A.()12f x x = B.()ln f x x = C.()22f x x= D.()3f x x=-【答案】A 【解析】【分析】根据各项函数解析式，结合指对数运算性质或特例判断是否满足题设，即可得答案.【详解】对于A ：若()12f x x =，则()()121212f x x x x =，()()()111222121212f x f x x x x x =⋅=，()()()1212f x x f x f x =，成立；对于B ：若()ln f x x =，由()()()1212f x x f x f x =，得()1212ln ln ln x x x x =，取121,2x x ==，得ln20=不成立；对于C ：若()22f x x =，由()()()1212f x x f x f x =，得2222121224x x x x =，取121x x ==，得24=不成立；对于D ：若()3f x x =-，由()()()1212f x x f x f x =，得33331212x x x x -=，取121x x ==，得11-=不成立.故选：A7.已知0.13a -=，13log 5b =-，2c =，则（）.A.a b c << B.b<c<aC.c b a<< D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】通过化简,,a b c ，并比较与1的大小即可得出结论.【详解】由题意，0.131a -=<，1333log 5log 5log 41b c =-=>==>，所以a c b <<.故选：D.8.“角α与β的终边关于直线y x =对称”是“()sin 1αβ+=”的（）A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据终边关于y x =对称，得两角的关系，再由()sin 1αβ+=，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解.【详解】角α与β的终边关于直线y x =对称,则π+=+2π,Z 2k k αβ∈,()sin 1αβ+=,则π+=+2π,Z 2k k αβ∈，“角α与β的终边关于直线y x =对称”是“()sin 1αβ+=”的充分必要条件.故选:A9.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y 与时间t （单位：年）之间的关系为0e kty y =⋅．其中0y 为初始量，k 为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%．若该品牌塑料袋需要经过n 年，使其残留量为初始量的10%，则n 的值约为（）（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）A.20 B.16C.12D.7【答案】B 【解析】【分析】由23e4k=可得2ln 32ln 2k =-，再代入1e 10nk =，求解即可.【详解】根据题意可得2003e 4ky y ⋅=⋅，则23e 4k=，32ln ln 32ln 24k ==-，则经过n 年时，有001e 10nky y ⋅=⋅，即1e 10nk=，则1lnln1010nk ==-，所以lg101822lg 32lg 20.47720.301n nk k --==≈=--⨯，则16n =.故选：B .10.已知()f x 是定义在[]5,5-上的偶函数，当50x -≤≤时，()f x 的图象如图所示，则不等式()0sin f x x>的解集为（）A.()()(]π,20,2π,5--⋃⋃ B.()()π,22,π--⋃C.[)()()5,π2,02,π--- D.[)(]5,2π,5-- 【答案】C 【解析】【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定05x ≤≤时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求．【详解】因为()f x 是定义在[5-,5]上的偶函数，当50x -≤≤时，()f x 单调递减，(2)0f -=，所以05x ≤≤时，函数单调递增，()20f =,所以()0f x >的解集[5-,2)(2-⋃,5]，()0f x <的解集(2,2)-，当55x -≤≤时，sin 0x >的解集[5-,π)(0-⋃,π)，sin 0x <时的解集(π-,0)(π⋃,5]，则不等式()0sin f x x >可转化为()0sin 0f x x >⎧⎨>⎩或()0sin 0f x x <⎧⎨<⎩，解得5πx -<<-或20x -<<或2πx <<．故选：C ．第二部分（非选择题共70分）二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分.11.函数1ln 1y x x =++的定义域为______.【答案】()0,∞+【解析】【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】要使函数1ln 1y x x =++有意义，则应有010x x >⎧⎨+≠⎩，解得0x >，所以函数1ln 1y x x =++的定义域为()0,∞+.故答案为：()0,∞+.12.设0a >，则4a a a++的最小值为__________.【答案】5【解析】【详解】4a a a ++4115a a =++≥+=，当且仅当2a =时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13.已知23x y a ==，若111x y+=，则=a ______．【答案】6【解析】【分析】先由指数式化为对数式可得2log x a =，3log y a =，再利用111x y+=即可求a 的值.【详解】由23x y a ==，可得：2log x a =，3log y a =，所以11log 2log 3log 61a a a x y+=+==，则6a =，故答案为：614.在平面直角坐标系中，角α的终边不在坐标轴上，则使得tan sin cos ααα<<成立的一个α值为____________．【答案】π4-（答案不唯一）【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.【详解】不妨考虑第四象限角α，由sin cos tan 1ααα<⇒<，取π4α=-，此时22tan 1,sin ,cos 22ααα=-=-=，故答案为：π4-（答案不唯一）15.已知函数()()133xf x =-，则()2f ______2（用“>”“<”“=”填空）；()f x 的零点为______.【答案】①.<②.3log 12【解析】【分析】根据对数运算性质及对数的单调性比较大小，根据对数运算及指对互化求解函数的零点.【详解】()()22133452f =-=<=，由()1330x-=得1331x-=，所以312x =，所以3log 12x =，所以函数()f x 的零点为3log 12.故答案为：<，3log 1216.已知符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]x f x x=（0x ≠），给出下列四个结论：①当()0,1x ∈时，()0f x =；②()f x 为偶函数；③()f x 在[)1,2单调递减；④若方程()f x a =有且仅有3个根，则a的取值范围是3443,,4532⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】根据新定义分析()f x 得到()f x 的图象，即可判断①②③；将方程()f x a =有且仅有3个根转化为()f x 与y a =的图象有3个交点，然后结合图象即可判断④.【详解】因为符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x x x=≠，所以当()0,1x ∈时，[]0x =，则()0f x =；当[)1,2x ∈时，[]1x =，则()11,12f x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦；当[)2,3x ∈时，[]2x =，则()22,13f x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，当[)3,4x ∈时，[]3x =，则()33,14f x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦；当[)4,5x ∈时，[]4x =，则()44,15f x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦；当[)5,6x ∈时，[]5x =，则()55,16f x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦；L 当[)1,0∈-x 时，[]1x =-，则()[)11,f x x ∞=-∈+；当[)2,1x ∈--时，[]2x =-，则()[)21,2f x x=-∈；当[)3,2x ∈--时，[]3x =-，则()331,2f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭；当[)4,3x ∈--时，[]4x =-，则()441,3f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭；所以函数()[]()0x f x x x=≠的图象如图所示：对于①，由上面的图象可知，①是正确的，对于②，由上面的图象可知，②是错误的，对于③，由上面的图象可知，③是正确的，对于④，由上面的图象可知43,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，34,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，45,5D ⎛⎫⎪⎝⎭，因为方程()f x a =有且仅有3个根，等价于()f x 与y a =的图象有3个交点，结合图象可知，当3445a <≤或4332a ≤<.故答案为：①③④.三、解答题：共5小题，共46分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.设全集U =R ，集合{}220A x x x =+-≤，{}R 1B x x m =∈+<．（1）求U A ð；（2）当1m =时，求A B ⋃；（3）若x A ∀∈，都有x B ∈，直接写出一个满足条件的m 值．【答案】（1）{|2U A x x =<-ð或1}x >（2）{}|1A B x x =≤ （3）3（答案不唯一）【解析】【分析】（1）解出集合A ,直接求解即可；（2）根据集合的并运算直接求解即可；（3）根据条件可知A B ⊆，列出条件，可解得m 的范围，在范围内写出一个值即可.【小问1详解】因为{}{}220|21A x x x x x =+-≤=-≤≤，U =R ，所以{|2U A x x =<-ð或1}x >.【小问2详解】当1m =时，{}{}R 1|0B x x m x x =∈+<=<，则{}|1A B x x =≤ .【小问3详解】{}{}R 1|1B x x m x x m =∈+<=<-，若x A ∀∈，都有x B ∈，则A B ⊆,所以11m ->，则m>2，故m 的值可以为3（答案不唯一）.18.已知函数()()22log 4,022,2x x f x x x a x ⎧<<=⎨--≥⎩．（1）当1a =时，①求()()1ff 的值；②求()f x 的图象与直线2y =的交点坐标；（2）若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】18.()()1121,2,3,2- ；19.[)3,-+∞【解析】【分析】（1）①直接利用代入法即可求解；②令()2f x =分别求出x ，即可求解；（2）分别求出两段函数的值域，然后并集为R 即可求解.【小问1详解】①当02x <<时，2()log (4)f x x =，所以2(1)log 42f ==，当2x ≥时，2()21f x x x =--，所以(2)1f =-，所以((1))1f f =-；②当02x <<时，2()log (4)2f x x ==，得242x =，解得1x =；当2x ≥时，2()212f x x x =--=，即2230x x --=，解得3x =或-1（舍去），所以函数()f x 的图象与直线2y =的交点坐标为(1,2),(3,2)；【小问2详解】当02x <<时，048x <<，所以22log (4)log 83x <=，即当02x <<时，()(,3)f x ∈-∞；当2x ≥时，22()2(1)1f x x x a x a =--=---，由2(1)1x -≥，得2()(1)111f x x a a a =---≥--=-，即当2x ≥时，()[,)f x a ∈-+∞，所以(,3)[,)R a -∞-+∞= ，得3a -≤，解得3a ≥-，即实数a 的取值范围为[3,)-+∞.19.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式及单调递减区间；（2）当ππ,123x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，求()f x 的最小值及此时x 的值．【答案】（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）0；π3x =【解析】【分析】（1）结合图象，根据最小值可求得A ,根据周期可求得ω，利于图象上点7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭可求得ϕ，继而求得解析式，整体代换可求得单调减区间；（2）根据变量范围，结合函数单调区间可直接求得()f x 的最小值及此时x 的值.【小问1详解】根据函数的最小值可知2A =,又2π7ππ4π123T ω⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,所以2ω=，此时()()2sin 2f x x ϕ=+，又过点7π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以7π22sin 6ϕ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合π2ϕ<，所以π3ϕ=，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤+≤+∈,得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当ππ,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,ππ2π63x ≤+≤，所以当ππ,2π33x x =+=时，()f x 取最小值0，此时π3x =.20.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()32x x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）根据定义证明()f x 在[)0,∞+上单调递减，并指出()f x 在定义域内的单调性；（3）若对任意的x ∈R ，不等式()()222430f k x f x x -+-->恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）3,02()3,02x x x f x x x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩（2）证明见详解；()f x 在R 上的单调递减（3）(),1-∞-【解析】【分析】（1）当0x <时，利于奇函数的定义求解即可；（2）根据单调函数的定义证明即可，利于奇函数的性质可判断函数的单调性；（3）根据奇函数的定义及函数的单调性，转化不等式为2430x x k ++->恒成立，利于Δ0<，解不等式即可.【小问1详解】依题()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()32x f x x -=+，当0x <时，0x ->，则()()3322x x f x f x x x =--=-=-+-，所以3,02()3,02x x x f x x x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩.【小问2详解】当[)0,x ∈+∞时，()32x f x x -=+，任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()()2112121212123232332222x x x x x x f x f x x x x x +-+--=+=++++()()()2112622x x x x -=++，因为[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，所以21120,20,20x x x x ->+>+>，故()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在[)0,∞+上单调递减，根据奇函数的性质可知()f x 在R 上的单调递减.【小问3详解】因为()()222430f k xf x x -+-->，化为()()22243f k x f x x ->---，即()()22243f k x f x x ->-++，根据()f x 在R 上的单调递减，则22243k x x x -<-++，在x ∈R 时恒成立，即2430x x k ++->恒成立，故()Δ16430k =--<，解得1k <-，故实数k 的取值范围为(),1∞--.21.某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度工（单位：cm ）满足关系：45m P x =+（010x ≤≤）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S 为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和．（1）求出S 关于x 的函数解析式；（2）若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S 控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数）【答案】（1）900945S x x =++,010x ≤≤（2）6【解析】【分析】（1）利于给定条件，求出m 的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.（2）根据条件建立不等式，解出后进一步分析即可.【小问1详解】依题意，当0x =时，65m P ==，所以30m =，所以3045P x =+，010x ≤≤，则900945S x x =++（万元），010x ≤≤.【小问2详解】若90099045S x x =+≤+，不等式化为2435500x x -+≤，解得353588x -+≤≤又35 6.958+≈，所以隔热层的厚度不能超过6厘米.。

东城区2023-2024学年度第一学期期末统一检测初二数学参考答案及评分标准 2024.1一、 选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BABCDBCDAD二、填空题（本题共16分，每小题2分）11.三角形的稳定性 12. 1x ≠- 213.(2)y x y - 14.答案不唯一，如BC=EF 等 15.24︒ 16.2024 1217.518.90,11 三、解答题(本题共54分,19题4分，20-25题每题5分，26题6分，27-28题每题7分)19. 答案：画图 --------2分 ∵OM=OC=CM ， --------3分 ∴△MOC 为等边三角形.∴∠COM=60° --------4分 ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC=30°. ∵OD 平分∠COM ， ∴∠COD=∠DOB=30°. ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°.20.1'(5,1)3(2)15B （）图略，分图略，每个图分分,,,,.4..15ABE ACD AB AC A A AE AD A D AD AE BD EC AB AC BE AC B C ==∴∆∆=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆∠=∆∴∠=2分，1.证明：在和中，分≌分213122.24223(2)2(2)(2)(21(1)(2)3(2)(2)114211=-53x x x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭⎡⎤++=-⨯⎢⎥-++-⎣⎦-+=⨯-+-=-=-解：分）(x-2)分分当时，原式分3121212-121 3.2.322-102.5x x x x x x x x x x =+--=-+=-=-≠=-23.解：方程两边都乘，得解得：分检验：当时，.4分所以分式方程的解是分22222224.-3(5)(1)=x 21521224143+2x=2241422-14=10.5x x x x x x x x x x x ++++-+++=+-∴+-=⨯-（）分分分25. 解：设B 品牌篮球单价为x 元，则A 品牌篮球单价为（2x ﹣48）元，…… 1分 由题意，可得：960072002-48x x=…… 2分 解得：x ＝72. …… 3分经检验，x ＝72是所原方程的解. …… 4分所以A 品牌篮球的单价为：2×72﹣48＝96（元）．…… 5分 答：A 品牌篮球单价为96元，B 品牌篮球单价为72元．22226.(1)627=3)(9)2(2)67-323)(31)4320)7()6(443)(552)6x x x x x x x x x y x y x y x y +--+-=-++++-=+++-（分（分（）（分27. (1)如图，∠BCF=1902︒-α ------------ 2分（2）连接AM、AE∵AB=AC, ∠ABC=60°,BD=BE, ∠BDE=60°∴△ABC是等边三角形、△DBE是等边三角形.∴BA=BC BE=BD ∠ABC=∠EBD=60°∴∠ABC-∠ABD=∠EBD-∠ABD即∠DBC=∠EBA∴△DBC≌△EBA ----------- 3分∴∠EAB=∠DCB=60°∴∠EAB=∠ABC∴AE∥BC ----------- 4分∴∠AEM=∠FMC, ∠EAM=∠AMC∵点A关于BC的对称点是点F,∴AM=FM .∠AMC=∠FMC. ----------- 5分∴∠AEM=∠EAM∴EM=AM.∴EM=FM. ----------- 6分② AD=2BM ----------- 7分 28.（1）①()1,2-，()1,2-……2分； ②依题意得，点C 位置如图所示……3分设点(),C x y易证()OCM CBN AAS ≅,BN CM x CN OM y ∴====()5,3B53x y y x +=⎧∴⎨-=⎩ 解得1,4.x y =⎧∴⎨=⎩()1,4C ∴……5分（2）31t -≤≤-……7分。

2023北京东城初一（下）期末数 学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（2，﹣3）2．4的算术平方根是（ ）A．2B．±2C．16D．±16 3．下列调查方式，最适合全面调查的是（ ）A．检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准B．了解某班学生一分钟跳绳成绩C．了解北京市中学生视力情况D．调查某批次汽车的抗撞击能力4．若21xy=⎧⎨=⎩是关于x，y的二元一次方程x+my＝5的解，则m的值为（ ）A．2B．3C．5D．75．实数a，b对应的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）A．a2＜b2B．﹣2a＜﹣2b C．a+5＜0D．a+4＜b+46．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点O．若∠COE＝40°，则∠BOD的度数为（ ）A．140°B．60°C．50°D．40°7的点最接近的点是（ ）A．点P B．点Q C．点M D．点N8．已知二元一次方程组28,2-5,x yx y+=⎧⎨+=⎩则x+y的值为（ ）A．﹣1B．﹣3C．1D．39．如图为小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过400千克时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50千克、70千克．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x千克，则x的取值范围是（ ）A．280＜x≤350B．280＜x≤400C．330＜x≤350D．330＜x≤400 10．2023年国家统计局公布了《2022年国民经济和社会发展统计公报》．公报显示了全国2018年至2022年货物进出口额的变化情况，根据国家统计局2022年发布的相关信息，绘制了如下的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论正确的是（ ）①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；②从2018年到2022年，进口额最多的是2022年；③2018﹣2022年进口额年增长率持续下降；④与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元．A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分11．（2分）“m的2倍与5的和是正数”可以用不等式表示为 ．12．（2分）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是 ．13．（2分）北京中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，全长7.8千米．如图是利用平面直角坐标系画出的中轴线及其沿线部分地点分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示天安门的点的坐标为（0，﹣1），表示王府井的点的坐标为（1，﹣1），则表示永定门的点的坐标为 ．14．（2分）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周（不滑动），圆上的一点由原点到达点O′，点O′所对应的数值是 ．15．（2分）如图，将含有60°的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果∠1＝20°，那么∠2＝ °．16．（2分）如图，一块边长为10米的正方形花园，在上面修了一条道路，路的宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是 平方米．17．（2分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长x 尺，木长y 尺，可列方程组为 ．18．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，若一个多边形的顶点都在格点（点的横、纵坐标均为整数）上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ．如图，△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4．（1）图中格点四边形DEFG 对应的S 为 ；（2）已知格点多边形的面积可以表示为S ＝aN +bL ﹣1，其中a ，b 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝ ．三、解答题（本题共54分，第19-23题每小题5分，第24题4分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（51+．20．（5分）解方程组321921x y x y +=⎧⎨-=⎩．21．（5分）解不等式组：513(1)1213x x x x ->+⎧⎪+⎨≥-⎪⎩，并求出它的整数解．22．（5分）请将下面的证明过程补充完整：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝40°，∠BAD ＝80°，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，求证：AE ∥DC ．证明：∵AE 平分∠BAD ，∠BAD ＝80°（已知），∴1402DAE BAD ∠=∠= （理由： ）．∵AD ∥BC （已知），∴ ＝∠DAE ＝40°（理由： ）．∵∠BCD ＝40°（已知），∴∠BCD ＝ （等量代换）．∴AE ∥DC （理由： ）．23．（5分）一个数值转换器如图所示：（1）当输入的x 值为16时，输出的y 值是 ；（2）若输入有效的x 值后，始终输不出y 值，则所有满足要求的x 的值为 ；（3）若输出的yx 的值．24．（4分）如图．三角形ABC 的顶点坐标分别为A （﹣1.4），B （﹣4，﹣1），C （1，1）．若将三角形ABC 向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A 'B 'C '，其中点A '，B '，C '分别是点A ．B ，C 的对应点．（1）画出三角形A 'B 'C '；（2）若三角形ABC 内有一点P （a ，b ）经过上述平移后的对应点为P '，写出点P '的坐标：（ ， ）；（3）若点D 在y 轴上且三角形BOD 的面积为4，直接写出点D的坐标．25．（5分）如图为国家节水标志，节水标志各部分的含义为：灰色的圆形代表分像一只手托起一滴水，手又像一条蜿蜒的河流，象征滴水汇成江河．某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样调查获得了50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）．以下是整理数据后的不完整统计表、统计图．月均用水量频数分布表分组频数2≤x＜343≤x＜4124≤x＜5a5≤x＜696≤x＜757≤x＜848≤x＜92合计50请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）表中a的值为 ，请补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，月均用水量为“E ：6≤x ＜7”的扇形的圆心角是 °；（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？26．（6分）已知，直线AB ∥CD ，点E 为直线CD 上一定点，射线EK 交AB 于点F ，FG 平分∠AFK ，∠FED ＝α．（1）如图1，当α＝60°时，∠GFK ＝ °；（2）点P 为线段EF 上一定点，点M 为直线AB 上的一动点，连接PM ，过点P 作PN ⊥PM 交直线CD 于点N ．①如图2，当点M 在点F 右侧时，求∠BMP 与∠PNE 的数量关系；②当点M 在直线AB 上运动时，∠MPN 的一边恰好与射线FG 平行，直接写出此时∠PNE 的度数（用含α的式子表示）．27．（7分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A 、B 两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况：销售数量销售时段A 种材质B 种材质销售收入第一个月3套5套1800元第二个月4套10套3100元（1）求A 、B 两种材质的围棋每套的售价．（2）若商家准备用不多于5400元的金额再采购A 、B 两种材质的围棋共30套，求A 种材质的围棋最多能采购多少套？（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x 1，y 1），点Q （x 2，y 2），定义|x 1﹣x 2|与|y 1﹣y 2|中的值较大的为点P，Q的“绝对距离”，记为d（P，Q）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（P，Q）＝|x1﹣x2|，例如，点P（1，2），点Q（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P，Q 的“绝对距离”为|2﹣5|＝3，记为d（P，Q）＝3．（1）已知点A（0，1），点B为x轴上的一个动点．①若d（A，B）＝3，求点B的坐标；②d（A，B）的最小值为 ；③动点C（x，y）满足d（A，C）＝r，所有动点C组成的图形面积为64，请直接写出r的值．（2）对于点D（﹣1，0），点E（2，5），若有动点M（m，n）使得d（D，M）+d（E，M）＝5，请直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【分析】根据第四象限点的坐标特征（+，﹣），即可解答．【解答】解：如图，小手盖住的点的坐标可能为（2，﹣3），故选：D．【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．2．【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．3．【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．【解答】解：A、检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准，最适合抽样调查，故A不符合题意；B、了解某班学生一分钟跳绳成绩，最适合全面调查，故B符合题意；C、了解北京市中学生视力情况，最适合抽样调查，故C不符合题意；D、调查某批次汽车的抗撞击能力，最适合抽样调查，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．4．【分析】将21xy=⎧⎨=⎩代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：将21xy=⎧⎨=⎩代入原方程得：2+m＝5，解得：m＝3，∴m的值为3．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．5．【分析】根据图示，可得：a＜b且﹣5＜a＜﹣4，3＜b＜4，据此逐项判断即可．【解答】解：根据图示，可得：a＜b且﹣5＜a＜﹣4，3＜b＜4，∵﹣5＜a＜﹣4，3＜b＜4，∴16＜a2＜25，9＜b2＜16，∴a2＞b2，∴选项A不符合题意；∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴选项B不符合题意；∵﹣5＜a＜﹣4，∴a+5＞0，∴选项C不符合题意；∵a＜b，∴a+4＜b+4，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了实数与数轴上的点的一一对应关系，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．6．【分析】由垂线的定义得出∠AOE＝90°，即可求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出∠BOD的度数．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠COE＝40°，∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝90°﹣40°＝50°，∴∠BOD＝∠AOC＝50°，故选：C．【点评】本题考查了垂线的定义，对顶角的性质，熟知对顶角相等的性质．7．进行估算，再根据数轴表示进行求解．【解答】解：∵1＜2，的点最接近的点是点Q，故选：B．【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．8．【分析】利用整体的思想，进行计算即可解答．【解答】解：2825x yx y+=⎧⎨+=-⎩①②，①+②得：3x+3y＝3，解得：x+y＝1，故选：C．【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握整体的思想是解题的关键．9．【分析】根据“小丽进入电梯不超重，小欧进入电梯超重”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．【解答】解：根据题意得：504005070400 xx+≤⎧⎨++>⎩，解得：280＜x≤350．故选：A．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．10．【分析】根据条形统计图与折线统计图所给的信息进行求解即可．【解答】解：①由条形图与折线图可知，2018的进口额为14.1万亿元，进口额的年增长率为12.8%，2019的进口额为14.3万亿元，进口额的年增长率为1.4%，所以与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升，故①结论正确，符合题意；②由条形图可知，从2018年到2022年，进口额最多的是2022年，为18.1万亿元，故②结论正确，符合题意；③由折线图可知，2018﹣2022年进口额年增长率先下降再上升再下降，故③结论错误，不符合题意；④由条形图可知，与2021年相比，2022年出口额增加了24.0﹣21.7＝2.3万亿元，故④结论正确，符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况．二、填空题（本题共16分，每小题2分11．【分析】m的2倍与5的和是正数为5+2m；和是正数，那么前面所得的结果大于0．【解答】解：m的2倍为2m，5与m的2倍的和写为5+2m，和是正数，则5+2m＞0，故答案为：5+2m＞0．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式的知识点，解决本题的关键是理解正数用数学符号表示是“＞0”．12．【分析】根据垂线段最短的性质求解即可．【解答】解：∵垂线段最短，∴行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理．故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短．13．【分析】直接利用已知点坐标进而确定原点位置进而得出答案．【解答】解：永定门的点的坐标为（0，﹣7），故答案为：（0，﹣7）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．14．【分析】求出OO′的长即可确定O′点对应的数．【解答】解：∵圆的周长为＝1×π＝π，∴圆从原点沿数轴向右滚动一周经过的路径长OO′＝π，∴O′点对应的数是π．故答案为：π．【点评】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题的关键是求出OO′的长．15．【分析】利用两直线平行，内错角相等作答．【解答】解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，∵∠1＝20°，∠1+∠3＝60°，∴∠3＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝40°．故答案为：40．【点评】本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行，等腰直角三角板的锐角是45°的利用．16．【分析】直接利用平移方法，将2条道路平移到图形的一侧，进而求出即可．【解答】解：（10﹣1）×（10﹣1）＝9×9＝81（平方米）．故种植花草的面积是81平方米．故答案为：81．【点评】本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致错误．17．【分析】根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺”，即可列出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，∴x ﹣y ＝4.5；∵将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，∴y ﹣x ＝1．∴根据题意可列方程组 4.512x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩．故答案为： 4.512x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．【分析】（1）过G 点作MH ⊥ED 延长线于点H ，过E 作NE ⊥DE ，过F 点作MN ∥x 轴，交MH 于点M ，交NE 于点N ，分别求出△GHD ，△MGF ，△FNE ，矩形MNEH 的面积，即可求出四边形DEFG 的面积．（2）通过已知可知1041361a b a b =⨯+-⎧⎨=+-⎩，即可求出a ，b 的值，从而可求所求S的值．【解答】解：（1）过G 点作MH ⊥ED 延长线于点H ，过E 作NE ⊥DE ，过F 点作MN ∥x 轴，交MH 于点M ，交NE 于点N ，则HD ＝1，GH ＝1，GM ＝1，MF ＝1，FN ＝2，NE ＝2，MH ＝2，HE ＝3，∴S 矩形MNEH ＝MH ×MN ＝2×3＝6，S △GHD ＝12×GH ×HD ＝12×1×1＝12，S △GMF ＝12×MG ×MF ＝12×1×1＝12，S △FNE ＝12×FN ×NE ＝12×2×2＝2，∴S 四边形DEFG ＝S 矩形MNEH ﹣S △GHD ﹣S △GMF ﹣S △FNE＝6﹣12﹣12﹣2＝3．故答案为：3．（2）对于四边形DEFG ，S ＝3，N ＝1，L ＝6，由题意知，1041361a b a b =⨯+-⎧⎨=+-⎩，解得，112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴S ＝aN +bL ﹣1＝1×71+×18﹣1＝79，故答案为：79．【点评】本题主要考查了新定义问题、平面直角坐标系中图形面积的求解、二元一次方程组的求解．求平面直角坐标系中图形面积时，常用的方法是间接法，即在图形外补出一个规则图形或者将所求图形分割成若干规则小图形．三、解答题（本题共54分，第19-23题每小题5分，第24题4分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．【分析】先算算式平方根，立方根以及绝对值，二次根式的化简，再算加减法，即可求解．1+＝2(4)31+--+-6-．【点评】本题主要考查了实数的混合运算，掌握算式平方根，立方根，二次根式的化简以及绝对值的概念是解题的关键．20．【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．【解答】解：321921x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，由②得：y＝2x﹣1③，把③代入①得：3x+2（2x﹣1）＝19，即x＝3，把x＝3代入③得：y＝5，则方程组的解为35xy=⎧⎨=⎩．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，从而得到它的整数解．【解答】解：解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x≤4，故原不等式组的解集为2＜x≤4．故它的整数解为x＝3或4．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．22．【分析】由角平分线求出∠DAE，再由平行的性质求出∠AEB，从而可判断∠AEB和∠BCD的大小关系，从而可证明AE∥DC．【解答】证明：∵AE平分∠BAD，∠BAD＝80°（已知），∴1402DAE BAD∠=∠= （理由：角平分线的定义）．∵AD∥BC（已知），∴∠AEB＝∠DAE＝40°（理由：两直线平行，内错角相等）．∵∠BCD＝40°（已知），∴∠BCD＝∠AEB（等量代换）．∴AE∥DC（理由：同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；∠AEB；两直线平行，内错角相等；∠AEB；同位角相等，两直线平行．【点评】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质和判定．本题的关键是熟练应用平行的性质和判定．23．【分析】（1）根据算术平方根，即可解答；（2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值；（3）25的算术平方根是5，5，据此解答．【解答】解：（1）∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，∴2，（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，∴当x＝0和1时，始终输不出y的值；故答案为：0和1；（3）25的算术平方根是5，5，∴若输出的y，满足要求的x的值为5和25．【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．24．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；（2）利用平移变换的性质判断即可；（3）设D（0，m），构建方程求解即可．【解答】解：（1）如图，三角形A'B'C'即为所求；（2）若三角形ABC内有一点P（a，b）经过上述平移后的对应点为P'，写出点P'的坐标：（a+4，b﹣3）；故答案为：a+4，b﹣3；（3）设点D（0，m）．则有12×4×|m|＝4，∴m＝±2，∴点D的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．25．【分析】（1）用50乘以C组的百分比即可求出a的值，即可补全频数分布直方图；（2）360°乘以E所占的比例即可求解；（3）由于50×60%＝30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收费不受影响，而7+23＝30，故家庭月均用水量应该定为5吨．【解答】解：（1）C的频数为：a＝50×28%＝14，补全频数分布直方图如下：故答案为：14；（2）扇形统计图中，月均用水量为“E：6≤x＜7”的扇形的圆心角是：360°×＝36°；故答案为：36；（3）要使60%的家庭水费支出不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由如下：因为月平均用水量不超过5吨的百分比为8%+24%+28%＝60%．【点评】本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．26．【分析】（1）由AB ∥CD 得∠KFB ＝∠FED ＝α，根据平角的定义及角平分线的性质可得出11(180)22GFK AFK α∠=∠=- ，然后将α＝60°代入即可；（2）①延长MP 交CD 于点Q ，由AB ∥CD 得∠BMP +∠PQN ＝180°，由PN ⊥PM 得∠MPN ＝90°＝∠PQN +∠PNE 可得出结论；②由于∠MPN 的一边恰好与射线FG 平行，因此有以下两种情况，（ⅰ）当PN 与射线FG 平行时，设∠PNE ＝θ，延长NP ∠AB 于点H ，由AB ∥CD 得∠PHF ＝∠PNE ＝θ，∠PFH ＝∠FED ＝α，再由PN ∥FG 及（1）的结论得1(180)2GFK HPF α∠=∠=- ，然后由三角形的内角和定理得∠PHF +∠PFH +∠HPF ＝180°，据此可得出答案；（ⅱ）当PM 与射线FG 平行时，由PM ∥FG 得1(180)2MPF GFK α∠=∠=- 由PN ⊥PM 得∠MPN ＝90°，进而得∠MPF +∠NPE ＝90°，据此可得12NPE α∠=，最后再由三角形的外角定理可得出答案．【解答】解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠KFB ＝∠FED ＝α，∵∠AFK +∠KFB ＝180°，∴∠AFK ＝180°﹣∠KFB ＝180°﹣α，∵FG 平分∠AFK ，∴11(180)22GFK AFK α∠=∠=- ∵α＝60°，∴11(180)(18060)6022GFK α∠=-=-= ．（2）①∠BMP 与∠PNE 的数量关系是：∠BMP ﹣∠PNE ＝90°．理由如下：延长MP 交CD 于点Q ，∵AB ∥CD ，∴∠BMP +∠PQN ＝180°，∵PN ⊥PM ，∴∠MPN ＝90°，∴∠PQN +∠PNE ＝∠MPN ＝90°，∴∠PQN ＝90°﹣∠PNE ，∴∠BMP +90°﹣∠PNE ＝180°，∴∠BMP ﹣∠PNE ＝90°．②∠PNE 的度数为：1902α- 或12α．理由如下：∵∠MPN 的一边恰好与射线FG 平行，∴有以下两种情况，（ⅰ）当PN 与射线FG 平行时，设∠PNE ＝θ，延长NP ∠AB 于点H ，∵AB ∥CD ，∴∠PHF ＝∠PNE ＝θ，∠PFH ＝∠FED ＝α，∵PN ∥FG ，∴∠HPF ＝∠GFK ，由（1）可知：1(180)2GFK α∠=- ，∴1(180)2HPF α∠=-，∵∠PHF +∠PFH +∠HPF ＝180°，∴1(180)1802θαα++-= ，∴1902θα=- ，∴1902PNE θα∠==- ，（ⅱ）当PM 与射线FG 平行时，∵PM ∥FG ，∴1(180)2MPF GFK α∠=∠=- ，∵PN ⊥PM ，∴∠MPN ＝90°，∴∠MPF +∠NPE ＝90°，∴119090(180)22NPE MPF αα∠=-∠=--= ，∵∠FED ＝∠NPE +∠PNE ，∴1122PNE FPD NPE ααα∠=∠-∠=-=．【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，难点是分类讨思想在解题中的应用，这也是解答此题的易错点之一．27．【分析】（1）设A 种材质的围棋每套的售价为x 元，B 种材质的围棋每套的售价为y 元，利用销售收入＝销售单价×销售数量，结合近两个月的销售情况，可列出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设采购A 种材质的围棋m 套，则采购B 种材质的围棋（30﹣m ）套，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合进货总价不多于5400元，可列出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标，利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，可得出关于m 的一元一次方程，解之可得出m 的值，再结合（2）中m 的取值范围，即可得出在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标．【解答】解：（1）设A 种材质的围棋每套的售价为x 元，B 种材质的围棋每套的售价为y 元，根据题意得：3518004103100x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：250210 xy=⎧⎨=⎩．答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元；（2）设采购A种材质的围棋m套，则采购B种材质的围棋（30﹣m）套，根据题意得：200m+170（30﹣m）≤5400，解得：m≤10，∴m的最大值为10．答：A种材质的围棋最多能采购10套；采购金额不多余5400元（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标，理由如下：根据题意得：（250﹣200）m+（210﹣170）（30﹣m）＝1300，解得：m＝10，又∵m≤10，∴m＝10符合题意，∴在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．28．【分析】（1）①设B（x，0），由题意可得|x﹣0|＝3，从而可求出B点的坐标；②分当x＜﹣1或x＞1和﹣1≤x≤1两种情况求出d（A，B），即可求出最小值；③由已知可得点C在以A点为对称中心，边长为2r的正方形边上，根据面积即可求出r；（2）结合图象，画出符合题意的M点所在的区域，从而可求出m的取值范围．【解答】解：（1）设B（x，0），①∵|0﹣1|＝1≠3，∴|x﹣0|＝3，∴x＝±3，∴B点的坐标为（﹣3，0）或（3，0）．②当x＜﹣1或x＞1时，|x﹣0|＞|0﹣1|，∴d（A，B）＝|x|＞1；当﹣1≤x≤1时，|x﹣0|≤|0﹣1|＝1，∴d（A，B）＝1，综上所述，d（A，B）的最小值为1．故答案为：1．③r＝4．由题意知，点C在以A点为对称中心，边长为2r的正方形边上，∵正方形面积为64，∴正方形的边长为8，即2r＝8，∴r＝4．（2）由题意知，当M点在矩形DFEG内（含边）内运动时，d（D，M）+d（E，M）＝5．∴﹣2≤m≤3．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征．本题的最后一问的解题关键是结合图象，先求出动点所在的区域，再求取值范围．。

2024北京东城高一（下）期末数 学本试卷共9页，共100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共30分）一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知复数13i z =−，212i z =−+，则在复平面内表示复数12z z +的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. cos30cos15sin 30sin15︒︒−︒︒的值为A.12B.2C.2D.13. 从装有2张红色卡片和2张黑色卡片的盒子中任取2张卡片，则下列结论正确的是A.“恰有一张黑色卡片”与“都是黑色卡片”为互斥事件B.“至少有一张红色卡片”与“至少有一张黑色卡片”为互斥事件C.“恰有一张红色卡片”与“都是黑色卡片”为对立事件D.“至多有一张黑色卡片”与“都是红色卡片”为对立事件4. 在ABC △中，cos sin b c B C =，则B ∠= A.π6 B.π4 C .π3 D .π25. 设,a b 为非零向量，下列结论中正确的是A.||||+>−a b a bB.||||||+>−a b a bC.(2)(2)⋅=⋅a b a bD.222()⋅=⋅a b a b6. 某高校的入学面试为每位面试者准备了3道难度相当的题目. 每位面试者最多有三次抽题机会，若某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止. 若李明答对每道题目的概率都是0.6，则他最终通过面试的概率为A.0.24B.0.6C.0.84D.0.9367. 将函数πsin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，得到的图象关于点(,0)ϕ对称， 则||ϕ的最小值为A.π6B.π4 C .π3 D .π28. 设,αβ是两个不同平面，,l m 是两条不同直线，且m α⊂，l α⊥，则“l β⊥”是“//m β”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示，则,<>=a bA.45︒B.60︒C.120︒D.135︒ 10. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，其中,,,,,,E F G H I J K 分别为棱11111111111,,,,,,A B B C C D D A AA BB CC 的中点，那么三棱柱11B FJ A HI −与三棱柱11B EJ C GK −在正方体内部的公共部分的体积为A.16B.14C.13D.12第二部分（非选择题 共70分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

东城区2023—2024学年第一学期期末统一检测初三数学2024.1一、选择题(每题2分，共16分)1．下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的是2．若3x =是关于x 的方程22=0x x m --的一个根，则m 的值是A ．-15B ．-3C ．3D ．153．关于二次函数22(1)2y x =-+，下列说法正确的是A ．当x =1时，有最小值为2B ．当x =1时，有最大值为2C ．当x =-1时，有最小值为2D ．当x =-1时，有最大值为24．在下列事件中，随机事件是A ．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6B ．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球C ．通常情况下，自来水在10℃结冰D ．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为25．如图，正方形ABCD 的边长为6，且顶点A ,B ,C ,D 都在⊙O 上，则⊙O 的半径为A.3B.6C.32D.626．北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续.某地雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人.设该地雪场游客人数的周平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是A ．27000(1)8470x +=B ．270008470x =C ．7000(1+2)8470x =D ．37000(1)8470x +=7．如图，某汽车车门的底边长为1m ，车门侧开后的最大角度为72°.若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是A ．2πm 10B ．2πm5C ．22πm5D ．24πm58.⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB ,BC ,AC 分别相切于点D ,E ,F .若⊙O 的半径为2，△ABC 的周长为26，则△ABC 的面积为A.3B.24C.26D.52二、填空题(每题2分，共16分)9.把抛物线22y x =向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为．10.若一元二次方程261=0x x +-经过配方，变形为()23x n +=的形式，则n 的值为．11．为了解某小麦品种的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：种子个数n 550100200500100020003000发芽种子个数m 4449218947695118982851发芽种子频率m n0.8000.8800.9200.9450.9520.9510.9490.950(1)估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为(结果保留两位小数)；(2)若在相同条件下播种该品种小麦种子10000个，则约有个能发芽．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(1，2)，点B 与点A 关于原点对称，则点B 的坐标为_____________．13.已知二次函数2+8+3y x x =-，当x >m 时，y 随x 的增大而减小，则m 的值可以是____________(写出一个即可)．14.如图，A ,B ,C 是⊙O 上的三个点，若∠ACB=40°，则∠OBA 的大小是_____________°．15.如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分．铅球出手位置的高度为35m，当铅球行进的水平距离为4m 时，高度达到最大值3m.铅球的行进高度y （单位：m）与水平距离x （单位：m）之间的关系满足二次函数.若以最高点为原点，过原点的水平直线为x 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为2121x y -=.若以过出手点且与地面垂直的直线为y 轴，y 轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系xOy ，则该二次函数的解析式为.16．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序．施工要求如下：①先完成工序A ，B ，C ，再完成工序D ，E ，F ，最后完成工序G ；②完成工序A 后方可进行工序B ；工序C 可与工序A ，B 同时进行；③完成工序D 后方可进行工序E ；工序F 可与工序D ，E 同时进行；④完成各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/天11152817163125(1)在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少_____________天完成．(2)现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序A ，C ，D 每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是_____________万元.三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17.解方程：()()3121x x x +=+．18.如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°．求作：⊙O ，使得△ACB 的三个顶点都在⊙O 上.作法：①作边AB 的垂直平分线，交AB 于点O ;②以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．则⊙O 为所求作的圆．(1)利用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接OC .由作图可知，OB =OA=12AB .∴点B 在⊙O 上．在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，∴OC =12________()(填推理依据)．∴OC =OA ．∴点C 在⊙O 上．∴△ACB 的三个顶点都在⊙O 上.19．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx =+的图象过点A (3，3)．(1)求该二次函数的解析式；(2)用描点法画出该二次函数的图象；(3)当0x ＜＜3时，对于x 的每一个值，都有2kx x bx +＞，直接写出k 的取值范围．20．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率.21.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C .若AB =16，CD =2，求⊙O 的半径的长．22．已知关于x 的一元二次方程()222120x m x m -++-=(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求m 的取值范围;(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求m 的值．23．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O ,B 为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)，OA =3，OB =4，且∠AOB=150°．线段OA 关于直线OB 对称的线段为O A '，将线段OB 绕点O 逆时针旋转45︒得到线段OB '．(1)画出线段O A '，OB '；(2)将线段OB 绕点O 逆时针旋转角()4590αα︒<<︒得到线段OC '，连接A C ''．若=5A C ''，求∠B OC ''的度数．24．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D.过点D 作DE ∥AB ，交CB 的延长线于点E ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)若∠BAC =30°，22BC =，求CD 的长．25.食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留.某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响．方式一：采用清水浸泡．记浸泡时间为t分钟，农药的去除率为y1%，部分实验数据记录如下：方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间．记食用碱溶液的浓度为x%，农药的去除率为y2%，部分实验数据记录如下：结合实验数据和结果，解决下列问题:（1）通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率y1(%)与浸泡时间t(分)之间的关系，方式二中农药的去除率y2(%)与食用碱溶液的浓度x(%)之间的关系，请分别在下面的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象:(2)利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为__________分钟．(3)方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度x %中，x 的取值范围可以是_____________．26.在平面直角坐标系xOy 中，点(2，c )在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设该抛物线的对称轴为直线x t =.(1)求t 的值；(2)已知11()M x y ，，22()N x y ，是该抛物线上的任意两点，对于11m x m <<+，212m x m +<<+，都有12y y <,求m 的取值范围．27.在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，D 为BC 上一点，连接DA ，将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，连接AE ，交BC 于点H ，求证：AE ⊥BC ；（2）当BD ≠CD 时(图2中BD ＜CD ，图3中BD >CD )，F 为线段AC 的中点，连接EF ．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE 的大小，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 和直线1l ，2l ，点P 关于直线1l ，2l “和距离”的定义如下：若点P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则称1d +2d 为点P 关于直线1l ，2l 的“和距离”，记作d ．特别地，当点P 在直线1l 上时，1d =0；当点P 在直线2l 上时，2d =0．(1)在点1P (3，0)，2P (-1，2)，3P (4，-1)中，关于x 轴和y 轴的“和距离”为3的点是________;(2)若P 是直线3y x =-+上的动点，则点P 关于x 轴和y 轴的“和距离”d 的最小值为________；(3)已知点A (0,3)，⊙A 的半径为1，点P 是⊙A 上的动点，直接写出点P 关于x 轴和直线y +6的“和距离”d 的取值范围．东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测初三数学参考答案及评分标准2024.1一、选择题（每题2分，共16分）题号12345678答案BCADCABC二、填空题(每题2分，共16分）9．223y x =-10．1011．0.95950012.（-1，-2）13．答案不唯一，m ≥4即可14．5015.21251233y x x =-++16．86，38三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17．解：移项，得()()31210.x x x +-+=因式分解，得()()1320.x x +-=……………………………..1分于是得10x +=，或320.x -=……………………………..3分所以方程的两个根分别为1=-1x ，22.3x =……………………………..5分18．解：(1)作图如下，------------------------3分(2)AB直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.------------------------5分19.解：（1）∵点A (3，3)在抛物线二次函数2y x bx =+的图象上，∴2333b =+.解得2b =-.∴二次函数的解析式为22y x x =-.------------------------2分(2)列表：x …-10123…y…3-13…描点，连线------------------------4分（3）当k ≥1.------------------------5分20．解：（1）所有可能出现的结果共6种：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD .…………3分（2）记抽到的2张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M ,M 包含的结果有3种，即AC ，BC ，CD ，且6种可能的结果出现的可能性相等，所以()31==62P M …………5分21．解：连接OA .∵半径OD ⊥AB 于点C ，AB =16，∴∠ACO =90°，AC =12AB =8，………2分设OA =r ，则OC =2r -．在Rt △AOC 中，根据勾股定理，得222OA AC OC =+，即2228(2)r r =+-．………4分解得17r =．∴⊙O 的半径的长17．………5分22．解：(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m -++-=有两个不相等的实数根，∴[]()2222=(21)4244148490m m m m m m ∆-+--=++-+=+＞ (2)分解得94m ＞-.∴m 的取值范围是94m ＞-.………..3分(2)由（1）可知，49m ∆=+.由求根公式，得()1212m x +=，()2212m x +=.………..5分∵该方程的两个实数根互为相反数，∴12+0x x =.∴()()2121+21022m m m +++=+=.解得1=2m -，符合题意.∴当方程的两个实数根互为相反数时，1=2m -.………..6分23.解：（1）如图．……………….2分（2）如图，在△A OC ''中，==3OA OA '，==4OC OB '，=5A C '',∴222=A C OA OC ''''+.∴△A OC ''是直角三角形.∴=90.A OC ''︒∠………………..3分∵∠AOB =150°，OA OA OB '与关于直线对称，∴=150.A OB '︒∠………………..4分∴=60C OB '︒∠，即=60α︒.∴=604515B OC C OB B OB '''''-=︒-︒=︒∠∠∠.………………..5分24．(1)证明：如图1，连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠BCD=45°.---------------1分∴∠ABD =∠ACD=45°.∵OD =OB ,∴∠ODB =∠OBD =45°.--------------2分∵DE ∥AB ，∴∠BDE =∠OBD =45°.∴∠ODE =∠ODB+∠BDE=90°.∴OD ⊥DE .∵OD 为⊙O 的半径，∴直线DE 是⊙O 的切线.------------------3分（3）如图2，过点B 作BF ⊥CD 于点F .∴∠BFC =∠BFD =90°.∵∠BCD =45°.∴∠CBF =45°.图1∴BF CF =.------------------4分在Rt △BFC 中，BC =根据勾股定理，得=2BF CF =.∵ BCBC =，∴∠CDB =∠BAC =30°.------------------5分∴2=4.BD BF =在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得DF∴CD CF DF =+------------------6分25.解：（1）画图如下，---------------------------------------------------------------------2分（2）10-------------------------------------------4分（3）答案不唯一，如7x ≤≤12.---------------------------6分26．解：(1)由题意可知，42a b c c ++=，∴2b a =-.∴12bt a=-=.---------------------------2分(2)∵0a >，1t =，∴当1x ＞时，y 随x 的增大而增大，当1x ＜，时y 随x 的增大而减小.---------------------------3分①当1m ≥时，∵11m x m <<+，212m x m +<<+，∴121x x <<.∴12y y <，符合题意.---------------------------4分②当112m <≤时，有3122m +<，(i )当111x m <+≤时，∵212m x m +<<+，∴121x x <≤.∴12y y <.(ii )当11m x <<时，设11()M x y ，关于抛物线对称轴1x =的对称点为01()M 'x y ，，则01x >，011=1x x --.∴012x x =-.∵112m <≤，∴0312x <<.∵3122m +≤＜，212m x m ++＜＜∴232x ＞.∴02312x x <<＜.∴12y y <.∴当112m <≤时，符合题意.---------------------------5分③当102m <≤时，3112m +<≤，令11=2x ，23=2x ，则12=y y ，不符合题意.④当102m -<≤时，有1112m +<≤，令1=0x ，2=1x ，则12=1x x <，∴.12>y y ，不符合题意.⑤当112m -<-≤时，1012m +<≤，令11=2x -，2=1x ，则12=1x x <，∴.12>y y ，不符合题意.⑥当1m <-时，1221x x m <<+<，∴.12>y y ，不符合题意.综上所述，m的取值范围是12m ≥.---------------------------6分27．（1）证明：∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠ABC =∠C =30°.将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，∴DE =DA ，∠ADE =60°.∴△ADE 是等边三角形.∴∠BAE =60°.∴∠AHB =90°.∴BC ⊥AE.………..3分（2）解：选择图2：①补全图形如图所示：………..4分②猜想∠AFE =90°.………..5分证明：如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，连接AE .则∠AHB =∠AHC =90°.∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠CAH =12∠BAC =60°，∠C =30°.∴AH =12AC .∵F 为线段AC 中点，∴AF =12AC .∴AH =AF .由（1）可知△ADE 是等边三角形.∴∠DAE =60°=∠CAH ，AD=AE.∴∠DAH =∠EAF.在△ADH 和△AEF 中，.DAH EA AD AE AH AF F ∠==⎧∠⎪⎨⎪=⎩，，∴△ADH ≌△AEF （SAS ）.∴∠AFE =∠AHD =90°.………7分选择图3：①补全图形如图所示：②（选择图3的答案与选择图2的答案一致）28．解：(1)P 1，P 2.………2分(2)3.………4分(3)71122d ≤≤．………7分。

北京市东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测高 三 数 学 2023.1本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{12}A x x =-<<，{1}B x x =≤，则AB =（A ）(,2)-∞（B ）(1,)-+∞（C ）(1,1]- （D ）[1,2) （2）在下列函数中，为偶函数的是（A ）()cos f x x x =- （B ）()cos f x x x =（C ）()ln f x x = （D ）()f x =（3）在1()nx x+的展开式中，若第3项的系数为10，则n =（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （4）在等比数列{}n a 中，11a =，238a a =，则7a =（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）64（5）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一. 其 中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北 向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个 重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有 故宫的概率为（A ）111 （B ）19 （C ）311 （D ）13（6）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M ．若OMP △的面积为625，则sin2α= （A ）625（B ）1225 (C)1825（D ）2425（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其渐近线方程为2y x =±，P 是C 上一点，且12PF PF ⊥.若△12PF F 的面积为4，则C 的焦距为（A ）（B ） （C ） （D ）（8）在△ABC 中，“对于任意1t ≠，BA tBC AC ->”是“△ABC 为直角三角形”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系xOy 中，若点(,)P a b 在直线430ax by a +++=上，则当,a b 变化时，直线OP 的斜率的取值范围是（A ）3(,[,)3-∞+∞ （B ）[（C ）5(,][,)22-∞-+∞ （D ）[,22- （10）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， Q 是棱1DD 上的动点，下列说法中正确的是①存在点Q ，使得11//C Q AC ； ②存在点Q ，使得11C Q AC ⊥；③对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离为定值； ④对于任意点Q ，△1ACQ 都不是锐角三角形. （A ）① ③ （B ）② ③ （C ）② ④ （D ）① ④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分． （11）若复数z 满足(i)i 3z +=-，则____.z =（12）已知函数()cos f x x x =-，则()3f π= ；若将()f x 的图象向左平行移动6π个单位长度后得到()g x 的图象，则()g x 的一个对称中心为 . （13）经过抛物线22(0)ypx p =>焦点F 的直线与抛物线交于不同的两点,A B ，经过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，则点B 的纵坐标B y 与点D 的纵坐标D y 的大小关系为B y D y .(用“>”“<”“=”填写）（14）设函数21,,()1,.x x a f x x a x a ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩当0a =时，()f x 的值域为__________；若()f x 的最小值为1，则a 的取值范围是___________.（15）对于数列{}n a ，令11234(1)n n n T a a a a a +=-+-++-L ，给出下列四个结论：①若n a n =，则20231012T =； ②若n T n =，则20221a =-；③存在各项均为整数的数列{}n a ，使得1n n T T +>对任意的n *∈N 都成立； ④若对任意的N n *∈，都有n T M <，则有12n n a a M +-<.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题，共85分。

东城区2023-2024学年度第一学期期末教学统一检测 高二数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）（1）A （2）C （3）B （4）C （5）A（6）D （7）B （8）B （9）A （10）C二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）1−，20x y −+= （12）5（13）(1,2)−，1 （14）0.8 （15）① ② ③ 三、解答题（共5小题，共50分）（16）（本小题10分）解：（Ⅰ）因为111ABC A B C −是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ．因为AC ⊂底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥．因为AC BC ⊥，如图建立空间直角坐标系C xyz −. 设2AC =，则(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,0)C ， 1(2,0,2)A ，1(0,0,2)C .因为D ，E 分别为1CC ，1BA 的中点，所以(0,0,1)D ，(1,1,1)E .所以(1,1,0)DE =，1(0,0,2)CC =．因为1CC ⊥底面ABC ，所以1CC 是平面ABC 的一个法向量．因为11010020DE CC ⋅=⨯+⨯+⨯=，所以1DE CC ⊥．因为DE ⊄平面ABC ，所以//DE 平面ABC ． ………………6分（Ⅱ）因为1(2,2,2)BA =−，(0,2,1)BD =−，设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，所以10,0.BA BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2220,20.x y z y z −+=⎧⎨−+=⎩ 令1y =，则2z =，1x =−．于是(1,1,2)=−n ． 设平面1A BD 与平面ABC 的夹角为θ，1x所以111||cos|cos,||||||CCCCCCθ⋅=<>===⋅nnn所以平面1A BD与平面ABC………………10分（17）（共10分）解：（Ⅰ）因为该地区观看了亚运会开幕式的学生的频率为0.50.20.10.8++=，所以该地区观看了亚运会开幕式的学生人数估计为100000.88000⨯=.………………………4分（Ⅱ）设事件A：从该地区所有学生中随机抽取1人，该学生观看了亚运会开幕式.由频率估计概率，得()0.8P A=.设事件B：从该地区所有学生中随机抽取2人，这2名学生都观看了亚运会开幕式. 由于这两名学生观看亚运会开幕式相互独立，则2()0.80.64P B==. …7分（Ⅲ）设事件C：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取1人，该学生使用电脑观看了开幕式，则0.21()10.24P C==−.设事件D：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，至少1人用电脑观看了开幕式，则()P D=2171(1)416−−=. ……………10分（18）（共10分）解：(Ⅰ) 因为{}n b为等比数列，11b=，48b=，设{}n b的公比为q，则3418b b q==.解得2q=.所以22b=.因为222a b+=，所以2a=.因为{}n a为等差数列，11a=，所以31a=−. ………………………4分（Ⅱ）选择条件②：因为{}n a为等差数列，{}n b为等比数列，111a b==，222a b+=，333a b+=，设{}n a的公差为d，{}n b的公比为q，则112112,2 3.a d a q a d a q ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩即21,2 2.d q d q +=⎧⎨+=⎩ 解得2q =或0q =（舍）.所以1112n n n b b q −−==，1211n n n b b q T q−==−−. ……………………………10分（19）（共10分） 解：（Ⅰ）由题意得1b =，则椭圆C 的方程为222 1 x y a +=，代入1)2N −，可得a =故椭圆C 的方程为22 1 2x y +=. ………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为2y kx =+，(,)Q Q Q x y . 由22,212x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)860k x kx +++=. 由0∆>，得232k >. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)D x y −.122821k x x k +=−+，122621x x k =+. 直线BD 的方程为212221()y y y y x x x x +−=−−， 令0y =，得()()()()1221122112121212122222()22()4Q x kx x kx x y x y kx x x x x y y kx kx k x x ++++++===++++++. 所以2222121621218421Q k k k k x k k k −++==−−++. 因为12||||22OPQ Q S x k ∆=⨯⋅=−=, 所以2k =±.经检验满足0∆>. 所以直线l 的斜率为2. …………………10分（20）（共10分）解：（Ⅰ）①4:3,1,7,5A ，任意两项和的结果有4,6,8,10,12共5个，而45a =，所以具有性质P ．②5:2,4,8,16,32A ，任意两项和的结果有6,10,12,18,20,24,34,36,40,48共10个，而532a =，所以不具有性质P ． ……………………2分（Ⅱ）对于数列6:2,4,8,16,32,A m ，任意两项和不同的取值最多有15个，所以15m ≤．而5:2,4,8,16,32A 中任意两项和的结果有10个，且全是偶数．（1）当m 为奇数时，(15)i a m i +≤≤都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则6:2,4,8,16,32,A m 中所有(16)i j a a i j +<≤≤的值共有15个，所以15m =．（2）当m 为偶数时，(15)i a m i +≤≤都是偶数，所以1015m ≤<．所以{10,12,14}m ∈.10m =时，103242+=在前5项中任两项和的结果中未出现， 所以6:2,4,8,16,32,A m 中任意两项和的不同值的个数大于10，即10m >，矛盾．12m =时，123244+=，121628+=，12214+=这三个结果在前5项中任意两项和的结果中未出现，所以6:2,4,8,16,32,A m 中任意两项和的不同值的个数大于12，即12m >，矛盾．14m =时，6:2,4,8,16,32,A m 中任意两项和的不同值有6,10,12,16,18,20,22,24,30,34,36,40,46,48共14个，成立． 综上， 14m =或15m =． ……………………6分 （Ⅲ）2024a 存在最小值，且最小值为4045．将2024A 的项从小到大排列构成新数列2024122024:,,,B b b b ， 所以2024121312202202420243b b b b b b b b b b +<+<⋯<+<+<⋯<+. 所以(12024)i j b b i j +<≤≤的值至少有202320224045+=个.即(12024)i j a a i j +<≤≤的值至少有4045个，即20244045a ≥． 数列2024:1,3,5,,4043,4047,4045A 符合条件． 2024:1,3,5,,4043,4047,4045A 可重排成等差数列2024:1,3,5,,4045,4047B ， 考虑(12024)i j b b i j +<≤≤，根据等差数列的性质，5当2024i j +≤时，11i j i j b b b b +−+=+；当2024i j +>时，i j i j n n b b b b +−+=+， 因此每个(12024)i j b b i j +<等于1(22024)k b b k +≤≤中的一个，或者等于 2024(12023)l b b l +≤≤中的一个．所以2024:1,3,5,,4045,4047B 中(12024)i j b b i j +<≤≤共有4045个不同值． 即2024:1,3,5,,4043,4047,4045A 中(12024)i j a a i j +<≤≤共有4045个不同值．综上，2024a 的最小值是4045， 一个满足条件的数列2024:1,3,5,,4043,4047,4045A ．…………………………10分。

2021-2022学年北京东城区五年级上册数学期末试卷及答案（考试时间90分钟）1.写出下面各题的结果。

①0.6×2＝②1.29×10＝③3.5÷7＝④0.27÷3＝⑤3.6÷1.2＝⑥61÷100＝⑦0.7×1.3＝⑧0×8.1÷3＝⑨0.3a＋0.7a＝【答案】①1.2；②12.9；③0.5；④0.09；⑤3；⑥0.61；⑦0.91；⑧0；⑨a；【解析】【详解】略二、填空。

（16分）2.4.23千米＝（）千米（）米72分＝（）时【答案】①.4②.230③. 1.2【解析】【分析】按1千米＝1000米，60分＝1小时，把4.23千米拆分成整数和小数，相当于4千米和0.23千米，把0.23千米换算成230米即可。

72分直接除以60分即可得解。

【详解】4.23千米＝4千米＋0.23千米＝4千米230米72÷60＝1.2，所以72分＝1.2时【点睛】此题的解题关键是掌握长度和时间单位之间的换算方法。

3.要把80个石榴装在盒子里，每盒装6个，装了a盒后还剩（）个。

当a＝12时，还剩（）个。

【答案】①.80－6a②.8【解析】【分析】每盒装6个，装了a盒，共装了6a（个），80减去这个数即可求出还剩多少；把数据代入含字母的式子中，求值即可。

【详解】80－6×a＝（80－6a）个当a＝12时，80－6a＝80－12×6＝80－72＝8【点睛】此题考查了用字母表示数的方法，关键是求出装了a盒后还剩多少个，再进一步解答。

4.在（）里填上“＞”“＜”或“＝”。

1.2×0.3（）1.232÷0.8（）320.4×4（）4.8÷3 3.6÷6（）0.2×0.3【答案】①.＜②.＞③.＝④.＞【解析】【分析】一个数（0除外）乘大于1的数，结果比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小。

2023-2024学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）（）2化简结果正确的是（）A．﹣3B．3C．±3D．92．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T恤衫销售情况统计如下：尺码39404142434445平均每天销售数量/件1023303528218该店主决定本周进货时，增加一些42码的T恤衫，影响该店主决策的统计量是（）A．中位数B．平均数C．方差D．众数4．（3分）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4B．，，C．5，6，7D．5，12，135．（3分）下列命题中正确的是（）A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组对边平行的四边形是平行四边形6．（3分）一次函数y＝3x+2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（3分）如图，一根长20cm的吸管置于底面直径为9cm，高为12cm的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（）A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．8B．16C．24D．329．（3分）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠EFP的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．35°10．（3分）下面的四个问题中都有两个变量：①正方形的面积y与边长x；②等腰三角形周长为20，底边长y与腰长x；③汽车从A地匀速行驶到B地，汽车行驶的路程y与行驶时间x；④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用形如y＝kx+b（其中k，b是常数，k≠0）的式子表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式．12．（2分）使得二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围是．13．（2分）如图，数轴上点A表示的数为3，AB⊥OA，AB＝2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，与数轴交于一点C，则点C表示的数为．14．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…97531…那么关于x的不等式kx+b≥7的解集是．15．（2分）某招聘考试分笔试和面试两部分，按笔试成绩占80%，面试成绩占20%计算应聘者的总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为分．16．（2分）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD，中空的部分是小正方形EFGH，连接CE．若正方形ABCD的面积为5，EF＝BG，则CE的长为．17．（2分）如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将矩形的一角沿CE向上折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上．若△AEF的周长为12，△CDF的周长为24，则AF的长为．18．（2分）碳﹣14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳﹣14含量大致不变，当生物死亡后，机体内的碳﹣14含量会按确定的比例衰减（如图所示），机体内原有的碳﹣14含量衰减为原来的一半所用的时间称为“半衰期”．考古学者通常可以根据碳﹣14的衰变程度计算出样品的大概年代．以下几种说法中，正确的有：．①碳﹣14的半衰期为5730年；②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢；③经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量不足死亡前的百分之一；④若某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，则可推断该生物标本大致属于我国的春秋时期（公元前770年﹣公元前475年）．三、解答题（本题共54分，第19题4分，第20-24题每小题4分，第25题6分，第26题5分，第27-28题，每小题4分）19．（4分）计算：．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求作：以AC为对角线的矩形ADCE．作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP与BC交于点D；②以点A为圆心，CD的长为半径画弧；再以点C为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AC的右侧交于点E；③连接AE，CE．（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成以下证明．证明：∵AE＝CD，CE＝AD，∴四边形ADCE为平行四边形（）．（填推理的依据）由作图可知，AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC（）．（填推理的依据）∴∠ADC＝90°．∴平行四边形ADCE是矩形（）．（填推理的依据）21．（5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到，且经过点A（1，4）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．23．（5分）数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力x（N）与弹簧长度y（cm）之间的数据，如表所示：弹簧受到的拉力x（单位：N）0510152025弹簧的长度y（单位：cm）6810121416（1）在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线；（2）结合表中数据，求出弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式；（3）若弹簧的长度为30cm，求此时弹簧受到的拉力x的值．24．（5分）某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.12名学生的身高：160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，b.12名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.3m n（1）写出表中m，n的值；（2）现将12名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高165167167168168171乙组学生的身高160164164166167169（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．25．（6分）如图，矩形ABCD中，点E为边AB上任意一点，连接CE，点F为CE的中点，过点F作MN ⊥CE，MN与AB、CD分别相交于点M、N，连接CM、EN．（1）求证：四边形CNEM为菱形；（2）若AB＝10，AD＝4，当AE＝2时，求EM的长．26．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣1，0），（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．27．（7分）如图，正方形ABCD中，点M在BC延长线上，点P是BM的中点，连接AP，在射线BC上方作PQ⊥AP，且PQ＝AP．连接MD，MQ．（1）补全图形；（2）用等式表示MD与MQ的数量关系并证明；（3）连接CQ，若正方形边长为5，CQ＝6，直接写出线段CM的长．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点Q，给出如下定义：若在直线y＝x上存在点P，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点Q为线段AB的“相随点”．（1）已知，点A（1，3），B（5，3）．①在点Q1（1，5），Q2（﹣1，3），Q3（0，4），Q4（﹣5，0）中，线段AB的“相随点”是；②若点Q为线段AB的“相随点”，连接OQ，BQ，直接写出OQ+BQ的最小值及此时点Q的坐标；（2）已知点A（﹣2，3），点B（2，﹣1），正方形CDEF边长为2，且以点（t，1）为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形CDEF上的任意一点，都存在线段AB上的两点M，N，使得该点为线段MN的“相随点”，请直接写出t的取值范围．2023-2024学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【分析】原式利用二次根式的化简公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝3，故选：B．【点评】此题考查了算术平方根的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式进行分析即可．【解答】解：A、＝2，因此不是最简二次根式，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、＝2，因此不是最简二次根式，故此选项错误；D、不是最简二次根式，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．3．【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：D．【点评】此题主要考查统计量的选择，主要包括加权平均数、中位数、众数、方差，掌握相关统计量的定义是解答本题的关键．4．【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，不符合题意；C、52+62≠72，不能构成直角三角形，不符合题意；D、52+122＝132，能构成直角三角形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．5．【分析】根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定定理判断．【解答】解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，命题正确，符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项命题错误，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，不符合题意；D、一组对边平行的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．【分析】一次函数y＝kx+b的图象经过第几象限，取决于k和b．当k＞0，b＞O时，图象过1，2，3象限，据此作答．【解答】解：∵k＝3＞0，b＝2＞0，∴直线y＝3x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点评】本题考查一次函数的k＞0，b＞0的图象性质．一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数和常数项．7．【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【解答】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，当吸管与底面垂直时，h最大，此时AB＝＝15（cm），故h最短＝20﹣15＝5（cm），h最大＝20﹣12＝8（cm）．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．8．【分析】由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH＝2，则，BD＝4，由菱形对角线的性质可得AC＝8，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∵OA＝4，∴AC＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝16．故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键．9．【分析】根据三角形中位线定理得到PF＝AB，PF∥AB，求得∠DPE＝∠ABD＝30°，同理，PE＝CD，PE∥CD，得到∠DPE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣80°＝100°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，∴PF是△ABD的中位线，∴PF＝AB，PF∥AB，∴∠DPE＝∠ABD＝30°，同理，PE＝CD，PE∥CD，∴∠DPE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣80°＝100°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPE＝130°，∵AB＝CD，∴PE＝PF，∴∠EFP＝∠FEP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣130°）＝25°，故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．10．【分析】根据题意列出函数矩形函数解析式，判定即可．【解答】解：①根据题意得，y＝x2，故不符合题意；②根据题意得，y＝20﹣2x，故符合题意；③设汽车从A地匀速行驶到B地的速度为k，y＝kx（k为常量），故符合题意；④根据题意得，y＝x（5﹣x）故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，矩形的性质，正确地列出函数解析式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．【分析】先根据正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限得出k的取值范围，进而可得结论．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限，∴k＜0，∴函数表达式为y＝﹣x．故答案为：y＝﹣x（答案不唯一）．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．12．【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．13．【分析】直接利用勾股定理得出OB的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：OB＝＝＝，故点C表示的数为：，故答案为：．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出OB的长是解题关键．14．【分析】直接根据表格中x，y的值即可得出结论．【解答】解：由表格可知，当x＝﹣4时，y＝9；当x＝﹣3时，y＝7，∵﹣4＜﹣3，9＞7，∴关于x的不等式kx+b≥7的解集是x≤﹣3．故答案为：x≤﹣3．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能直接根据表格中的数据得出不等式的解集是解题的关键．15．【分析】根据加权平均数的计算公式解答即可．【解答】解：∵笔试成绩占80%，面试成绩占20%，∴总成绩是80×80%+85×20%＝81（分），故答案为：81．【点评】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．16．【分析】根据SAS证明△EHC≌△DHC得出CE＝CD，再根据正方形的面积公式即可得出结果．【解答】解：∵△AED≌△CBG，∴DE＝BG，∵EF＝BG，∴EF＝DE，又∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF＝DE，∠EHC＝∠DHC，∴EH＝DH，又HC＝HC，∴△EHC≌△DHC（SAS），∴CE＝CD，又∵正方形ABCD的面积为5，∴CE＝CD＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，证明△EHC≌△DHC是解题的关键．17．【分析】由矩形和折叠的性质可知，AB＝CD，AD＝BC＝CF，BE＝EF，再根据三角形周长，求得BC+CD ＝18，DF＝6，然后利用勾股定理，求出CF的长，即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，由折叠的性质可知，BE＝EF，BC＝CF，∵△AEF的周长为12，△CDF的周长为24，∴AE+EF+AF＝AE+BE+AF＝AB+AF＝12，CD+CF+DF＝CD+BC+DF＝24，∴AB+AF+CD+BC+DF＝AB+AD+CD+BC＝36，∴BC+CD＝18，∴DF＝6，CF＝BC＝18﹣CD，在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，∴CF2＝（18﹣CF）2+62，解得：CF＝10，∴AD＝BC＝CF＝10，∴AF＝AD﹣DF＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，找出线段之间的数量关系是解题关键．18．【分析】根据横轴表示时间，纵轴表示剩余碳﹣14所占百分百可得答案．【解答】解：由图象可知：①碳﹣14的半衰期为5730年，说法正确；②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢，说法正确；③经过5个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的，经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的百分之一，说法正确；④某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，设生物死亡时间为x年前，则：x＝5730×≈2866，该生物死亡时间大约在公元前2866年，所以原说法错误．所以正确的有①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查了函数的图象以及常量与变量，解题关键是正确理解清楚函数图象的意义．三、解答题（本题共54分，第19题4分，第20-24题每小题4分，第25题6分，第26题5分，第27-28题，每小题4分）19．【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则运算，然后化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝﹣+2＝3﹣+2＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．20．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）根据有一个角是90°的平行四边形是矩形证明即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵AE＝CD，CE＝AD，∴四边形ADCE为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），由作图可知，AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC（三线合一），∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形）．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，三线合一，有一个角是90°的平行四边形是矩形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF．【解答】证明：连接BF、DE，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD∵E、F分别是OA、OC的中点∴OE＝OA，OF＝OC∴OE＝OF∴四边形BFDE是平行四边形∴BE＝DF．【点评】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．22．【分析】（1）先根据一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到可知k＝2，再由函数图象经过点A（1，4）求出b的值，进而可得出结论；（2）求出B点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到，∴k＝2，∵函数图象经过点A（1，4），∴4＝2×1+b，解得b＝2，∴一次函数的解析式为y＝2x+2；（2）∵一次函数的解析式为y＝2x+2，∴当y＝0时，x＝﹣1，∴B（﹣1，0），∴OB＝1，∵A（1，4），∴△AOB的面积＝×1×4＝2．【点评】本题主要考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．23．【分析】（1）先描点，再连线，即可得出图象；（2）利用待定系数法计算即可；（3）求出当y＝30时，x的值即可．【解答】解：（1）描点、连线如图所示：（2）设弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为y＝kx+b，将（0，6），（5，8）代入函数解析式得，，解得：，故弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为y＝x+6．（3）当y＝30cm，x+6＝30，解得：x＝60，故弹簧的长度为30cm，求此时弹簧受到的拉力x的值为60N．【点评】本题主要考查一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键．24．【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可解答；（2）根据方差的概念和意义，即方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，即可解答；（3）根据方差的概念和意义，可确定另外两名学生的身高应该在175﹣178，据此可解答．【解答】解：（1）从中可以看出第6个数据和第7个数据分别是167，167，所以这组数据的中位数为m ＝＝167，其中，167出现的次数最多，所以这组数据的众数n＝167；故答案为：167，167；（2）甲组学生的身高分布于165﹣171，乙组学生的身高分布于160﹣169，据此可以看出甲组学生的身高波动比乙组学生的小，稳定性较大，所以舞台呈现效果更好的是甲组；故答案为：甲组；（3）根据题意，为保证方差最小，另外两名学生的身高应该在165cm﹣168cm，从乙组的数据可以知道，在165cm﹣168cm的身高有2个，分别是166、167；故答案为：166、167．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．25．【分析】（1）根据已知证明△EFM≌△CFN，证得EM＝CN，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CNEM是平行四边形，然后证明NE＝NC，即可证得结论；（2）AB＝10，AE＝2，则BE＝8，设EM＝MC＝x，则BM＝8﹣x，利用勾股定理求出x即可解答．【解答】（1）证明：矩形ABCD中，AB∥DC，∴∠MEF＝∠NCF，∠EMF＝∠CNF，∵点F为CE的中点，∴EF＝CF，∴△EFM≌△CFN，∴EM＝CN，∴四边形CNEM为平行四边形，∵MN⊥CE于点F，EF＝CF，∴NE＝NC，∴四边形CNEM为菱形；（2）解：∵四边形CNEM是菱形，∴EM＝CM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠B＝90°，∵AB＝10，AE＝2，∴BE＝8，设EM＝MC＝x，则BM＝8﹣x，在Rt△BMC中，BM2+BC2＝CM2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴EM的长为5．【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．26．【分析】（1）用待定系数法可得答案；（2）画出图形，用数形结合思想可得答案．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（1，2）代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）函数y＝mx﹣1的图象过定点（0，﹣1），当x＝﹣3时，y＝x+1＝﹣3+1＝﹣2，若函数y＝mx﹣1的图象过（﹣3，﹣2），则﹣2＝﹣3m﹣1，此时m＝；如图：由图可知，当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，m的取值范围是≤m≤1．【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握待定系数法和数形结合思想的应用．27．【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）连接QD，过点Q作QH⊥BM于H，QN⊥CD交CD的延长线于N，设AB＝a，CP＝x，则BP＝BC+CP＝a+x，证明四边形QHCN为矩形，再证明△HPQ和△BAP全等得PH＝AB＝a，QH＝BP＝a+x，则CH＝CP+PH＝x+a，由此得矩形QHCN为正方形，则QH＝QN＝CH＝CN＝a+x，∠QHM＝∠N＝∠NQH＝∠90°，MQ＝DQ，∠HQM＝∠NQD，据此可证明△QDH为等腰直角三角形，然后由勾股定理可得出MD与MQ的数量关系；（3）由（2）可知：QH＝CH，∠QHC＝90°，a＝5，则△CHQ为等腰直角三角形，由勾股定理得CH ＝QH＝6，则PH＝a＝5，CP＝HM＝CH﹣PH＝1，据此可得CM的长．【解答】解：（1）依题意补全图形如图1所示：（2），证明如下：过点Q作QH⊥BM于H，QN⊥CD交CD的延长线于N，如图2所示：则∠PHQ＝90°，设AB＝a，CP＝x，则BP＝BC+CP＝a+x，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝a，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠PHQ＝∠B＝∠DCM＝90°，∠BAP+∠BPA＝90°，又∵QH⊥BM，QN⊥CD，∴四边形QHCN为矩形，∵PQ⊥AP，∴∠BPA+∠HPQ＝90°，∴∠HPQ＝∠BAP，在△HPQ和△BAP中，，∴△HPQ≌△BAP（AAS），∴PH＝AB＝a，QH＝BP＝a+x，∵CH＝CP+PH＝x+a，∴CH＝QH，∴矩形QHCN为正方形，∴QH＝QN＝CH＝CN＝a+x，∠QHM＝∠N＝∠NQH＝∠90°，∴ND＝CN﹣CD＝a+x﹣a＝x，∵点P是BM的中点，∴PM＝BP＝a+x，∴HM＝PM﹣PH＝a+x﹣a＝x，∴HM＝ND＝x，在△QHM和△QND中，，∴△HM≌△QND（SAS），∴MQ＝DQ，∠HQM＝∠NQD，∴∠DQM＝∠DQN+∠HQM＝∠DQN+∠NQD＝∠NQH＝∠90°，∴△QDH为等腰直角三角形，由勾股定理得：MD＝MQ；（3）连接CQ如图3所示：∵CQ＝，正方形边长为5，由（2）可知：QH＝CH，∠QHC＝90°，a＝5，∴△CHQ为等腰直角三角形，由勾股定理得：CH＝QH＝CQ＝＝6，∴PH＝a＝5，CP＝HM＝CH﹣PH＝6﹣5＝1，∴CM＝CP+PH+HM＝7．【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和正方形是解决问题的难点．28．【分析】（1）①首先求出AB＝5﹣1＝4，然后根据平行四边形的性质得到AB|\PQ，AB＝PQ＝4，然后设P（x，x），然后分别验证求解即可；②首先判断出点Q在直线y＝x+4上运动，连接OQ，BQ，作点O关于直线y＝x+4的对称点0，连接QO′，BO′，得到OQ+BQ＝O'Q+BQ≥BO'，当点O′，Q，B三点共线时，OQ+BQ有最小值，即BO'的长度，然后求出O′（﹣4，4），最后利用勾股定理求解即可，运用待定系数法求得直线O′B的解析式，联立方程组求解即可求得点Q的坐标；（2）首先得出正方形CDEF左上角的顶点坐标为（t﹣1，2），右下角的顶点坐标为（t+1，0），设P（m，m），然后分两种情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可．【解答】解：（1）①∵点A（l，3），B（5，3）．∴AB＝5﹣1＝4，∵四边形ABPQ为平行四边形，∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4，∵点P在直线y＝x上，∴设P（x，x），当Q1（1，5）时，若PQ1∥AB，且PQ1＝AB，∴x﹣1＝4，x＝5，∴x＝5，∴P（5，5）符合题意，∴Q1（1，5）是线段AB的“相随点”；当Q2（﹣1，3）时，若PQ2∥AB，且PQ2＝AB，∴x﹣（﹣1）＝4，x＝3，∴x＝3，∴P（3，3），此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；当Q3（0，4）时，若PQ3∥AB，且PQ3＝AB，∴x﹣0＝4，x＝4，∴x＝4，∴P（4，4）符合题意，∴Q3（0，4）是线段AB的“相随点”；当Q4（﹣5，0）时，若PQ4∥AB，且PQ4＝AB，∴x﹣（﹣5）＝4，x＝0，∴x＝﹣l与x＝0相矛盾，不符合题意；综上所述，线段AB的“相随点”是Q1（1，5），Q3（0，4），故答案为：Q1（1，5），Q3（0，4）；②∵点Q为线段AB的“相随点”，∴四边形ABPQ为平行四边形，∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4，∴设P（y，y），Q（x，y），∴y﹣x＝4，∴y＝x+4，∴点Q在直线y＝x+4上运动，如图所示，连接OQ，BQ，作点O关于直线y＝x+4的对称点O′，连接QO′，BO'，则QO'＝QO，∴OQ+BQ＝O'Q+BQ≥BO'，∴当点O′，Q，B三点共线时，OQ+BQ有最小值，即BO′的长度，∵点O和点O′关于直线y＝x+4对称，∴O′（﹣4，4），∵B（5，3），∴O′B＝＝，∴OQ+BQ的最小值为，设直线O′B的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线O′B的解析式为y＝﹣x+，联立得：，解得：，∴此时点Q的坐标为（﹣，）；（2）对于线段AB上的M，N，使得四边形MNPQ为平行四边形，。

2023-2024学年北京市东城区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）已知点P的坐标是（5，﹣2），则点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）在实数2、0、﹣2、﹣3中，最小的实数是（）A．2B．0C．﹣2D．﹣33．（3分）下列调查方式，最适合全面调查的是（）A．检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准B．了解某班学生一分钟跳绳成绩C．了解北京市中学生视力情况D．调查某批次汽车的抗撞击能力4．（3分）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（）A．x+2x﹣1＝7B．x+2x﹣2＝7C．x+x﹣1＝7D．x+2x+2＝7 5．（3分）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（）A．ab＞0B．a+b＞2b C．﹣2b＜﹣2a D．a2＜b26．（3分）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，下列条件中，不能判断直线AD∥BC的是（）A．∠1＝∠3B．∠3＝∠EC．∠2＝∠B D．∠BCD+∠D＝180°8．（3分）如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲→A→D→乙；②甲→B→D→乙；③甲→B→C→乙，在这三条路线中，走哪条路线近？答案是（）A．①B．①②C．①③D．①②③9．（3分）幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（）4b﹣2122a+173b﹣32aA．a＝﹣4，b＝3B．a＝﹣4，b＝﹣3C．a＝4，b＝3D．a＝4，b＝﹣310．（3分）某图书商场今年1﹣5月份的销售总额一共是186万元，图1、图2分别是商场图书销售总额统计图和文学类图书销售额占商场当月销售总额的百分比统计图．根据图中信息，下列判断中正确的是（）①商场4月份销售总额为20万元；②对比上一个月，4月份文学类图书销售额下降幅度最大；③2月份和5月份文学类图书销售总额相同；④文学类图书在5月份的销售额比4月份的销售额增加了.A．①③B．①②③C．②④D．①④二、填空题（本题共16分，每题2分）11．（2分）语句“a的三分之一与b的和是非负数”可以列不等式表示为．12．（2分）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为．13．（2分）点P（m﹣1，m+3）在平面直角坐标系的x轴上，则P点坐标是．14．（2分）将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，则∠2的度数为°．15．（2分）如图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单位长度的半圆，A是半圆的中点，半圆直径的一个端点位于原点O．该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动滚动，当点A第一次落在数轴上时，此时点A 表示的数为．16．（2分）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE 平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF＝90°，∠ODC＝30°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为°．17．（2分）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，则学校购买篮球个．18．（2分）对于整式：x、3x+3、5x﹣1、7x+6，在每个式子前添加“+”或“﹣”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为M．例如：|x+（3x+3）﹣（5x﹣1）﹣（7x+6）|＝|﹣8x﹣2|，当时，M＝﹣8x﹣2；当x≥﹣时，M＝8x+2．（1）若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数＝；（2）若一种“全绝对”操作的化简结果为M＝﹣2x+k（k为常数），则x的取值范围是．三、解答题（本题共54分，第19-20每题4分，第21-24题每小题4分，第25-26题每小题4分，第27-28题每小题4分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2023-2024学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A＝N，B＝{x|﹣2＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．下列函数中，与y＝x﹣1是同一函数的是（）A．y=√x33−1B．y=√(x−1)2C．y=x 2−1x+1D．y=√x2−13．下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝2x C．f（x）=−1xD．f（x）＝tan x 4．下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则1a＜1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a2＞b2，则a＞b D．若ac2＞bc2，则a＞b5．若sinα=12，α∈（π2，π），则cos（π﹣α）的值为（）A．−√32B．−12C．√32D．126．下列函数中，满足对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1x2）＝f（x1）f（x2）的是（）A．f（x）＝2x2B．f（x）＝lnxC．f(x)=x−12D．f（x）＝﹣x37．已知a＝3﹣0.1，b=−log135，c=log√32，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b8．“角α与β的终边关于直线y＝x对称”是“sin（α+β）＝1”的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件9．某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为y＝y0•e kt，其中y0为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的10%，则n的值约为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（）A．20B．16C．12D．710．已知f （x ）是定义在[﹣5，5]上的偶函数，当﹣5≤x ≤0时，f （x ）的图象如图所示，则不等式f(x)sinx＞0的解集为（ ）A ．（﹣π，﹣2）∪（0，2）∪（π，5]B ．（﹣π，﹣2）∪（π，5]C ．[﹣5，﹣π）∪（﹣2，0）∪（2，π）D ．[﹣5，﹣2）∪（π，5] 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分。

2023北京东城初二（下）期末数 学2023.7一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1.在下列四个式子中，最简二次根式为A ．B ．C ．D ．2.在平行四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是 A ．1∶2∶3∶4 B ．1∶2∶2∶1C ．1∶2∶1∶2D ．1∶1∶2∶23. 下列各式中，计算结果正确的是A ．1=− B ．23= C ．2=± D.(22=−4. 奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”.在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示. 设甲、乙的平均分依次为x 甲，x 乙，方差依次为2s 甲，2s 乙，在以下四个推断中，正确的是A. 22x x s s 甲乙甲乙＞，＞ B.22x x s s 甲乙甲乙＞，＜C. 22x x s s甲乙甲乙＜，＞ D. 22x x s s 甲乙甲乙＜，＜5. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O .若∠ACB =30°,AB =2，则边AD 的长为A ．B ．2CD ．16. 在平面直角坐标系xOy 中，点P （1x ，1y ），Q (2x ,2y )都在函数y ＝-2x +3的图象上.若12x x ＜＜0,则下列四个推断中错误．．的是A ．点P 在第二象限 B. 坐标原点不在此函数图象上 C ．12y ＞y D ． 2y ＜37. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2,1),B （1,1）.若直线y =mx 与线段AB 有交点，则m 的值不可能是 A. 1 B.12C. -12D. -18. 画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半. （1）如图1，已知等腰△ABC ，D ,E 是AB ,AC 的中点，画四边形DBCE ;(2) 如图2，已知四边形ABCD ,AC ⊥BD .四边的中点分别为E ,F ,G ,H ,画四边形EFGH ;(3)如图3，已知平行四边形ABCD , 点E ,G 分别在AD ,BC 上，且EG ∥AB .点F ,H 分别在AB ,CD 上，画四边形EFGH .在以上三种画法中，所有正确画法的序号是 A. (1) (3) B. (2)C. (2) (3)D.(1) (2) (3)二、填空题(本题共16分，每小题2分)9. 若二次根式的取值范围是 ．10. 北京某月连续10天的最低气温（单位：℃）分别是：13 14 15 15 15 16 16 18 19 21 . 这组数据的众数是 .11. 若最简二次根式是同类二次根式，则m 的值是 ．12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D 在y 轴上，则点C 的坐标是_______．13.如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，对角线AC ，BD 交于点O ,点E 为边AB 的中点若AB =10，AC =8，则OE 的长为 .14. 如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，顶点B 落在CD 边上点F 处.若AB ＝3，BC ＝2，则DF ＝ .15. 如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 上，则 △EFC 的面积为 ．16.已知A ，B 两地相距240 km.甲、乙两辆货车分别从A ，B 两地同时出发，匀速相向而行.图1表示甲、乙两辆货车距A 地的距离s （单位：km ）与行驶时间t （单位：h ）的数量关系；图2表示甲、乙两辆货车间的距离d （单位：km ）与行驶时间t （单位：h ）的数量关系. 根据以上信息得到以下四个推断：①甲货车从A 地到B 地耗时6小时，即a ＝6； ②出发后2.4小时甲、乙两货车相遇，即b ＝2.4； ③乙货车的速度是60 km/h ； ④点P 的坐标是（4,180）. 所有正确推断的序号是 .三、解答题(本题共68分，第17题8分，第18-20题，每小题各5分，第21题6分，第22-26题，每小题5分，第27-28题，每小题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 计算：（1）+;(2) ()()44÷18. 已知2x =求代数式()2125x x −−+的值.19.如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.求证：AE=CF．20. 如图，△ABC为等边三角形.求作：菱形ABFE,使得∠BAE=150°.作法：如图，①作∠BAC的平分线AD，交BC于点D；②以点A为圆心，AB长为半径画弧交DA的延长线于点E；③分别以点B，E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F；（不是点A）⑤连接BF,EF.则四边形ABFE为所求作的菱形.（1）使用直尺和圆规，依作法补全尺规作图（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：∵AB=AE=BF=EF,∴四边形ABFE为菱形（）（填推理依据）.∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD =12∠BAC= ° .∵∠BAE=180°-∠BAD,∴∠BAE= ° .21. 某数学兴趣小组研究某地区气温与海拔的关系.下表记录的是气温随海拔变化的情况：题.（1）求出k，b的值；（2）求表格中m,n的值；（3）当海拔x满足4≤x≤7时，求气温y的变化范围.22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P （x ，y ）的坐标满足2y x =−. （1）当点P 在第一象限时，画出点P 组成的图形； （2）已知点A (-3,0),当△OP A 的面积为6时，求点P 的坐标.23.下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.24. 为了解北京市的水资源情况，收集了1978-2020年北京的年降水量（单位：毫米）共43个数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.注：降水量是指一定时间段内降落在某一点或某一区域的水层深度，通常以毫米表示.a . 43个数据的频数分布直方图如下（数据分成7组：200≤x ＜300, 300≤x ＜400, 400≤x ＜500, 500≤x ＜600, 600≤x ＜700, 700≤x ＜800, 800≤x ≤900）:b .43个数据中，在500≤x ＜600这一组的是： 507 523 527 542 544 547 573 576 579c . 43个数据的平均数、中位数如下：（1）表中n 的值为 ；（2）1978-2020年北京降水量高于547 毫米的年份共 个：（3）若2021年，2022年北京的年降水量分别是698 毫米,493毫米,则下列推断合理的是 （填写序号） ；① 因为698大于n ，所以北京2021年降水量比1978-2020年中一半年份的降水量高；② 已知1978-2000年北京的降水量的方差为21 249若2021年， 2001-2022年北京的年降水量的方差为13 486，由此推断2001-2022年北京的年降水量的波动较大；③ 1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约493升. 注：1升=1立方分米.25. A ,B 两地分别有垃圾20吨，30吨,现要把这些垃圾全部运到C ，D 两个垃圾处理厂,其中24吨运到C 厂. 运费标准（单位：元/吨）如下表：当从A 地运送多少吨垃圾到C 厂时，从A,B 两地到C 厂的总运费大于运到D 厂的总运费? (1)建立函数模型设从A 地运到C厂x 吨垃圾.从A ,B 两地到C 厂的总运费为y 1元，到D 厂的总运费为y 2元. 求y 1，y 2关于x 的函数关系式；（2）根据函数的图象与性质，解决问题： 当y 1＞y 2时，求x 的取值范围.26.在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象由函数y ＝2x 的图象平移得到，且经过点（-1,3）.（1）求一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值均大于函数y＝kx＋b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围.27.如图，正方形ABCD.过点B作射线BP，交DA的延长线于点P.点A关于直线BP的对称点为E，连接BE，AE，CE.其中AE，CE分别与射线BP交于点G,H.（1）依题意补全图形;（2）设∠ABP=α，∠AEB=（用含α的式子表示），∠AEC= °；（3）若EH=BH,用等式表示线段AE与CE之间的数量关系，并证明.28. 在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段PP1，PP2的中点，连接P1P2，我们称线段P1P2的中点Q是点P关于线段MN的“关联点”.（1）已知点M（2,2），点P关于线段OM的“关联点”是点Q.①若点P的坐标是（2,0），则点Q的坐标是；②若点E的坐标是（1,-1），点F的坐标是（3,-1）.点P是线段EF上任意一点，求线段PQ长的取值范围；（2）点A是直线l:y=x+1上的动点.在矩形ABCD中，边AB∥x轴，AB＝3，BC＝2. 点P是矩形ABCD边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q.过点A作x轴的垂线，垂足为点G.设点G的坐标是（t，0）.当点A沿着直线l运动到点'A时，点G沿着x轴运动到点'G（t+m，0），点Q覆盖的区域的面积S满足20≤S≤30，直接写出m的取值范围.参考答案一、选择题(本题共16分，每小题2分)9. 1x ≥ 10. 15 11. −1 12.(5，4) 13.3 14.16. ①②③三、解答题(本题共68分，第17题8分，第18-20题，每小题各5分，第21题6分，第22-26题，每小题5分，第27-28题，每小题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.（1）解：+2−分2= . ----------------------------------------------------------4分(2) ()()44−÷解：()()44÷(22=4⎡⎤−÷⎢⎥⎣⎦----------------------------------------------------------------------------------2分()2016=−÷4=÷分18. 解：()2125x x −−+=22125x x x −+−+ =246x x −+=()222x −+.-----------------------------------------------------------------------------------------------3分将2x =代入()222x −+, 得()2222+=5.----------------------------------------5分注：若直接代入求值，代入后去掉2个括号正确3分，结果2分. 19. 证明：∵BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠AEB =∠FCD =90°. ----------------------------------------1分 ∵四边形ABCD 为平行四边形,∴ AB ∥CD ，AB=CD. ----------------------------------------2分 ∴ ∠BAE =∠DCF . ----------------------------------------3分∴ △ABE ≌△CDF （AAS ）. ----------------------------------------4分 ∴ AE =CF . --------------5分 20. 解： （1）补全图形如图.—————————————————————————————————2分 （2）四条边相等的四边形是菱形;30; 150-----------------------------5分21.解：（1）将（1，-1），（2，-7）代入y ＝kx ＋b （k ≠0），得127.k b k b +=−⎧⎨+=−⎩，解得65.k b =−⎧⎨=⎩，∴k =6−，b=5. ------------------------2分 （2）由（1）得y ＝6−x ＋5. 当y=10−时，m=2.5；当x=3.5时，n=16−. ------------------------4分 （3）∵k ＝6−＜0， ∴y 随着x 的增大而减小.∵当x ＝4时，y ＝-19；当x ＝7时，y ＝-37， ∴-37≤y ≤-19.∴气温y 的变化范围是-37≤y ≤-19. --------------------6分 22. 解：（1）画图如下.-------------------------------------------------2分（2）∵A (-3,0)， ∴OA ＝3. ∵S △OP A ＝6， ∴1=62P OA y ⋅⋅. ---------3分 ∴=4P y . ∴=4P y ±.将=4P y 代入2y x =−+，则=2P x −; 将=4P y −代入2y x =−+，则=6P x .综上所述，P 1（-2,4）, P 2（6, -4）. -----------------5分 22.证明：方法一∵BO 是斜边AC 的中线， ∴AO =CO . ----------2分 又∵DO =BO .∴四边形ABCD 是平行四边形. ------------3分 ∵∠ABC =90°， ∴四边形ABCD 是矩形.∴BD =AC . -------------------------4分 ∴BO =12BD =12AC . ------------------5分 方法二∵BO 是斜边AC 的中线， ∴AO =CO .------------------2分 ∴OD 是△ABC 的中位线. ∴OD ∥AB .---------------3分 ∴∠ODC =∠ABC . ∵∠ABC =90°， ∴∠ODC =90°.∴OD ⊥BC .---------------4分 ∴BO =CO . ∴BO =12AC .--------------------5分 24. 解：（1）527. ---------------------- 2分（2）18.----------------------------------------------- 3分 （3）①③.----------------------------------------------- 5分ODCB AABCD O25.解：（1）y 1＝26x ＋15(24- x )＝11 x ＋360；y 2＝25(20- x )＋20(x ＋6)＝- 5x ＋620.----- 3分（2）由题意可知，0≤x ≤20.由y 1＝y 2，得x 465=. 所以(1)中两个函数图象的交点的横坐标为654. 因为y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小，所以当x 465＞时，y 1＞y 2. 综上，x 的取值范围是＜465x ≤20.-------------------------5分 26.解：（1）∵直线y ＝kx ＋b (k ≠0)由函数y ＝2x 的图象平移得到，∴k=2.-------------1分∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋b .将（-1,3）代入y ＝2x ＋b ，得3＝-2+b , 解得b ＝5.--------2分∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋5. ----------3分（2）m ≥7.----------------5分27.解：（1）补全图形如下,------------------------------------------------------------------------------2分（2）∠AEB = 90°- α，∠AEC= 45 °. ---------4分(3)结论：).CE AE =. --------------------5分 证明：如图，作BF ⊥CE 于点F . ∵点 A 关于射线BP 的对称点为点E , ∴ AE ⊥BP ,EG =12AE .∴∠BGE =90°,BE =BA .由（2）知∠AEC =45°，∴∠GHE =45°.∴△EGH 是等腰直角三角形.由勾股定理得，.EH =∵四边形ABCD 是正方形,∴BA =BC .∴BE =BC .∵BF ⊥CE ，∴∠BFH =90°,EF =CF .∵∠EHG =∠FHB ,EH =BH ,∴△EGH ≌△BFH （AAS ）.∴EG =GH =BF =FH .∴CE =2(EH +FH )=)))2211.EG EG AE +==+-------------------------------7分 28. 解：（1）①（0，2）；-------------------------1分②∵E （1,-1），F （3,-1），∴点E ，点F 关于OM 的“关联点”点'E (1，3)，点'F （-1，3）.当点P 在线段EF 上时，点Q 在线段''E F 上，且''E F ∥EF .因此，如图1，当点P 与点E PQ 长取得最小值4；如图2，当点P 与点F 重合时，PQ 长取得最大值；综上所述，PQ 长的取值范围是：4≤PQ ≤；-----5分（3）32m −−≤≤或3m 2≤≤.------7分。

2023-2024学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集U ＝{x |0＜x ＜4}，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，则∁U A ＝（ ） A ．{x |2＜x ＜4}B ．{x |2＜x ≤4}C ．{x |2≤x ＜4}D ．{x |2≤x ≤4}2．设复数z 满足（1+i ）z ＝i ，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12+12iB ．12−12iC ．−12+12iD ．−12−12i3．(x +1x)5的展开式中，x 的系数为（ ）A ．1B ．5C ．10D ．204．设等比数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，若a 1＝2，a 2a 3a 4＝a 9，则S 3＝（ ） A ．6B ．8C ．12D ．145．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|b →|，且a →•b →=0，对任意实数λ，μ，下列结论正确的是（ ） A ．（λa →−μb →）•（λa →−μb →）＝0 B ．（λa →−μb →）•（μa →+λb →）＝0 C ．（λa →−μb →）•（λa →+μb →）＝0D ．（λa →+μb →）•（μa →+λb →）＝06．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E ，F 分别是DD 1，BB 1的中点．用过点F 且平行于平面ABE 的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）A ．2√5B ．√6C ．√5D ．√527．已知a ＞0，b ＞0，则“a 12＞b 12”是“12a＜12b”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示．在t ＝0时刻，粒子从点A （0，1）出发，沿着轨迹曲线运动到B （1，﹣1），再沿着轨迹曲线途经A 点运动到C （﹣1，﹣1），之后便沿着轨迹曲线在B ，C 两点之间循环往复运动．设该粒子在t 时刻的位置对应点P （x ，y ），则坐标x ，y 随时间t （t ≥0）变化的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知线段AB 的长度为10，M 是线段AB 上的动点（不与端点重合）．点N 在圆心为M ，半径为MA 的圆上，且B ，M ，N 不共线，则△BMN 的面积的最大值为（ ） A ．252B ．254C ．25√32D ．25√3410．设函数f(x)=cosx +√cos2x ，对于下列四个判断： ①函数f （x ）的一个周期为π； ②函数f （x ）的值域是[−√22，2]；③函数f （x ）的图象上存在点P （x ，y ），使得其到点（1，0）的距离为√22；④当x ∈[−π4，π4]时，函数f （x ）的图象与直线y ＝2有且仅有一个公共点．正确的判断是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2023-2024学年北京市东城区七年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是()A. B. C. D.2.我国的长城始建于西周时期，被国务院确定为全国重点文物保护单位．长城总长约6700000米．数据6700000用科学记数法表示应为()A. B. C. D.3.若数在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是()A. B. C. D.4.下列说法中正确的是()A.是单项式B.的系数是C.是二次二项式D.与是同类项5.下列选项中，计算错误的是.()A. B.C. D.6.若是关于x的方程的解，则m的任是.()A. B. C. D.87.如图所示四幅图中，符合“射线PA与射线PB是同一条射线”的图为.()A. B. C. D.8.如图，OA 的方向是北偏东，OB 的方向是西北方向，若，则OC 的方向是.()A.北偏东B.北偏东C.北偏东D.北偏东9.王涵同学在某月的日历上圈出了三个数a ，b ，c ，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是.()A. B. C. D.10.某商店在甲批发市场以每包m 元的价格进了60包茶叶，又在乙批发市场以每包n 元的价格进了同样的40包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店的盈亏情况为.()A.盈利元B.亏损元C.盈利元D.没盛利也没亏损二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

11.一个单项式含有字母x 和y ，系数是2，次数是3，这个单项式可以是__________.12.比较大小：__________，__________填“>”“=”或“<”号13.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，求该店有客房多少间？设该店有客房x 间，则可列方程为__________.14.如图，O 是直线AB 上一点，若，则__________.15.如图，C 为线段AD 上一点，点B 为CD 的中点，且，则__________16.已知点是数轴上的两个点，点A到原点的距离等于3，点B在点A左侧，并且距离A点2个单位长度，则点B表示的数是__________.17.已知a，b是常数，若的项不含二次项，则__________.18.对于个位数字不为零的任意三位数M，将其个位数字与百位数字对调得到，则称为M的“倒序数”，将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商记为例如523为325的“倒序数”，__________；对于任意三位数满足：的值是__________.三、计算题：本大题共2小题，共20分。

2023-2024学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．直线x −√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．150°C ．60°D ．120°2．已知空间中直线l 的一个方向向量a →=(1，2，4)，平面α的一个法向量n →=(2，4，8)，则（ ） A ．直线l 与平面α平行 B ．直线l 在平面α内C ．直线l 与平面α垂直D ．直线l 与平面α不相交3．抛物线y 2＝4x 的焦点到其准线的距离是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n =n 2+2n ，则a 2＝（ ） A ．1B ．3C ．5D ．85．双曲线x 23−y 2=1的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±√33x D ．y =±√3x6．线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A ，B 两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如表：从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（ ） A ．56B ．12C ．13D ．167．哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名．已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（ ） A ．2041年～2042年 B ．2061年～2062年C ．2081年～2082年D ．2101年～2102年8．在平面直角坐标系中，M ，N 分别是x ，y 轴正半轴上的动点，若以MN 为直径的圆与直线3x +4y ﹣10＝0相切，则该圆半径的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．29．已知a ，b ∈R ，则“﹣1，a ，b ，2为等比数列”是“ab ＝﹣2”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．曲线C ：x m +y n ＝1，其中m ，n 均为正数，则下列命题错误的是（ ） A ．当m ＝3，n ＝1时，曲线C 关于（0，1）中心对称 B ．当m =12，n =12时，曲线C 是轴对称图形C ．当m ＝4，n ＝2时，曲线C 所围成的面积小于πD ．当m ＝3，n ＝2时，曲线C 上的点与（0，0）距离的最小值等于1 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

北京市东城区2022年四年级下学期《数学》期末真题与参考答案1. 直接写出下面各题的得数。

17＋0＝0.1＋0.2＝0÷12＝10×0.72＝0.31＋0.69＝ 3.5×0＝50÷10＝10－0.5＝9－7.3－0.7＝【答案】17；0.3；0；7.2；1；0；5；9.5；1二、填空。

2. 0.606是由（）个0.1和6个（）组成的。

【答案】①. 6 ②. 0.001【分析】根据数位和计数单位的知识进行解答。

【详解】0.606中左边的6在十分位上，它的计数单位是0.1，右边的6在千分位上，它的计数单位是0.001。

所以0.606是由6个0.1和6个0.001组成的。

3. 首钢滑雪大跳台主体结构为钢构架，均采用首钢自产钢材。

用钢约为4100吨，改写成用“万”作单位的数是（）万吨。

【答案】0.41【分析】把一个数改写成用“万”作单位的数，在万位的右下角点上小数点，把末尾的0去掉同时在后面写上“万”字即可。

【详解】4100吨＝0.41万吨4. 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。

5.615（ ）5.617200÷100÷2（ ）200÷（100×2）【答案】①. ＜②. ＝【分析】小数大小的比较方法与整数基本相同，即从高位起，依次把相同数位上的数加以比较。

因此，比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数大；如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大；比较两个算式的大小，可以先分别计算出两个算式的结果，再进行比较；【详解】5.615＜5.617200÷100÷2＝2÷2＝1200÷（100×2）＝200÷200＝1200÷100÷2＝200÷（100×2）5. 在（ ）里填上合适的小数和分数。