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概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、)(;A B A B A AB A B A B A -⋃=⋃-==--例：证明：成立。
得证。
成立，也即成立，也即（不发生，从而发生，则不发生，，知由（证明：（B A B A AB A B B A AB A B B B A B A B A AB A B B A --=-⋃-⋃-==-=-⋃--)).) 2、对偶率：.----⋃=⋂⋂=⋃B A B A B A B A ； 3、概率性率：(1))()()(212121A P A P A A P A A +=⋃为不相容事件，则、有限可加：(2))()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-⊂-=-时有：特别，（3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃对任意两个事件有：)();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(AB P B A P B A P AB P B P B A P A P ⋃-===--求：，，例：已知：.3.0)(1)(,7.0)()()()(3.0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,=⋃-=⋃==-+=⋃=-=-∴===+∴=+---B A P B A P AB P AB P B P A P B A P AB P A P B A P A P AB P B P B A P AB P B A B B B A AB 又即是不相容事件，、且解：4、古典概型222n 2!)(n ,22)-n 2)!n 2(22nC n A P C A n n n ==！，则自成一双为：！！（解：分堆法：每堆自成一双鞋的概率只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例： 5、条件概率称为无条件概率。
的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,)()()|(B P B A A P AB P A B P =B)|P(B)P(A P(AB) A)|P(A)P(B P(AB)==乘法公式：)|()()(i i A B P A P B P i∑=全概率公式：)|()()|()()()()|(j j ji i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P i ∑==贝叶斯公式：例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？.348.0)()()|()|()2(.639.0)(31)()()(.21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B ii 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。
概率论与数理统计公式整理(超全免费版)概率论与数理统计公式（全）2021-1-1第1章随机事件及其概率npm?（1）排列组合公式ncm?m!从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
(m?n)!m!从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
n!(m?n)!（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。
重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用?表示。
一个事件就是由?中的部分点（基本事件?）组成的集合。
通常用大写字母a，b，c，…表示事件，它们是?的子集。
?为必然事件，?为不可能事件。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
①关系：如果事件a的组成部分也是事件b的组成部分，（a发生必有事件b发生）：（3）一些常见排列（4）随机试验和随机事件（5）基本事件、样本空间和事件a?b（6）事件的关系与运算如果同时有a?b，b?a，则称事件a 与事件b等价，或称a等于b：a=b。
a、b中至少有一个发生的事件：a?b，或者a+b。
第1章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布Ihl ttamitai'l例1.16设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为 至少有一张红桃”，B 为恰有2张红桃”，张方块”,求条件概率P( B| A), P( B| C) 解 P(A)1 P(A)P(BA)P(AB) P(A)1 c；3CTG ；c3；C 13 C52C52C39—C13一C 13 C 13C 52 C 39—血39P(AB)P(C)C 13C 39 c ；3P(BC)5 26C13C 13C 2652P(B C )P ( BC ) P(C)C13 C 13 C 2613 --------- C 52C 5 C 8C13 C 39C13~ —C 522 6C 13 C 26C 8C39C 为恰有5 C 23C 3113T -某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现 年为20岁的这种动物活到25岁的概率.解 设A 表示事件 活到20岁以上”，B 表示 事件活到25岁以上”， P(A) 0.7 P(B) 0.56P(B A)P(AB) P(A)显然P(AB) 0.56 0.7P(B) 0.560.81例 1.21例1.21 某工厂生产的产品以 超过 4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0概率 0.1 0.2现进行抽样检验，从每批中随机抽取 为该批产品不合格。
求一批产品通过检验的概率。
解设B 表示事件 “一批产品通过检验 品”100 1 2 0.4 0.2 件为一批，假定每一批产品中的次品最多不 3 0.1 10件来检验，若发现其中有次品，则认 ”，A (=0,1,234) 表示 ，贝U A 0 ,A 1 , A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分， C 10C99 C 10C100P(A) 0.1P(B|") 1P(A) 0.2,P (B |A )0.900 P(A)'一批产品含有 0.4,P(B A 2)i 件次P(A 3) 0.2, P(B A 3)c 10崗 0.727 C 100P(A 4)0.1 , P(B A 4)C 10C 96C 10 C0.652C 1098C 101000.8094P ( A k )P ( B |A k ) k 0 顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是类似可以计算顾客买到的一 批合格品中，含次品数为 1、2、 3、 4件的概率分别约 为 0.221 、0.398 、0.179 、 0.080贝叶斯公式(Bayes)P(B) P (A 。
概率论公式！
一、随机事件与概率
二、随机变量及其分布
三、多维随机变量及其分布
联合分布函数：对任意的n个实数，，，n个事件同时发生的概率
，，，，。
联合分布函数，性质：
单调性：对x，y单调非减。
有界性：，，，，，
右连续性：对每个变量右连续。
非负性：对任意，，有，，，，，。
二维离散随机变量：只取有限个或可列个数对。
联合分布列：，，i，j=1,2…
联合分布列性质：
非负性、正则性。
联合密度函数：，，使，，，，。
联合密度函数性质：
非负性、正则性、，
X的边际分布：，，。
Y的边际分布：，，。
二维指数分布：
，
，，
，其他
，是参数
其边际分布是一维指数分布。
边际分布列：
二维离散随机变量对单个变量求和：
，，，
边际密度函数：
，，，=，为X的边际密度函数。
，，，=，为Y的边际密度函数。
相互独立：多维随机变量的分布函数为，，，边际分布为，对任意n个实数，，：
，，
称，，相互独立。
可分离：，=，，，，。
①相互独立②非零区域可分解为两个一维区间乘积。
多维离散随机变量函数：，，为n维离散随机变量，则，，为一维离散随机变量。
可加性：同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布。
泊松分布的可加性：，，则.
二项分布的可加性：，，，，则，。
连续场合的卷积公式：X和Y独立，密度函数分别为和，则Z=X+Y的密度函数为：
正态分布的可加性：，，则。
变量变换法：即数分中求二重积分的变量变换法：
的联合密度函数是，，若，
，
有连续偏导数，且存在唯一反函数
，
，
，其
雅可比行列式，，
，，二维随机变量
，
，
，则的联合密度函数是：，，，，
增补变量法：若，，则可令或。
多维随机变量特征数：
数学期望：，的数学期望为，，，在离散场合，，，在连续场合
当，，得X的期望。
当，，的X的方差。
期望和方差的性质：
和的期望得期望的和：
积的期望得期望的积：X和Y独立，则
和差的方差得方差的和差：X和Y独立，
协方差（相关（中心）矩）：，特别的，
：正相关；：负相关。
：不相关：①X，Y取值毫无关联②存在某种非线性关系。
性质：
若X和Y独立，则不相关，反之不然。
和差的方差：
交换律：
若X或Y为常数a，则
倍数的协方差：
分配率：，
相关系数：，消除量纲，或解释为“相应标准化变量的协方差”。
二维正态分
布的相关系数是。
施瓦茨不等式：
相关系数性质：
有界：
线性相关的充要条件：，即X和Y存在线性相关关系，即存在a≠0和b，
其他：在二维正态分布中，不相关和独立等价。
条件分布：
离散场合的条件分布：联合分布列为，，则称
，
为给定条件下X的条件分布列。
离散场合的条件分布函数：给定条件下X的条件分布函数：
连续场合的条件分布：联合密度函数为，，边际密度函数为和，则称
，
，
为给定条件下X的条件分布函数和条件密度函数。
注：二维正态分布的边际分布和条件分布都是一维正态分布。
连续场合的全概率公式和贝叶斯公式：
乘法公式：，。
全概率公式：，
贝叶斯公式：，
条件数学期望：
，离散场合
，连续场合
重期望公式：
离散场合：
连续场合：
三、大数定律和中心极限定理
依概率收敛：设为一随机变量序列，X为一随机变量，若对任意有：
则称依概率收敛于X，记作。
若X为常数，则四则运算成立。
依分布收敛：设随机变量的分布函数为，若对的任一连续点x，有：
则称弱收敛于，记作，或按分布收敛于X，记作。
一般情况下：
若c为常数：
复随机变量：，其中和是实随机变量。
称为的共轭随机变量，其余同复数类似，其余同随机变量类似。
特征函数：称为X的特征函数，其总是存在。
有界：
相反数的特征函数为特征函数的共轭：（是的共轭）和的特征函数为特征函数的积：
可导：若存在，则可l次求导，且
推论：上式可用来求各阶矩。
