广州市2014届高考备考冲刺阶段文科数学

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M （ ）A. {}2,0B. {}3,2C. {}4,3D. {}5,3（2）已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （ ）A.i 43--B. i 43+-C. i 43-D. i 43+（3）已知向量)1,3(),2,1(==b a ，则=-a b （ ）A. )1,2(-B. )1,2(-C. )0,2(D. )3,4(（4）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的学科网最大值等于（ ）A. 7B. 8C. 10D. 115.下列函数为奇函数的是（ ） A.x x 212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.x x 22+ 6.学科网为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）A.50B.40C.25D.207.在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A sin sin ≤”的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8.若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ） A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9.若空间中四条两两不同的学科网直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ）A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定10.对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题：①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11—13题）11.曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________.13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos 22=与1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，学科网极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的直角坐标为________15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则______=∆∆的周长的周长AEF CDF三.解答题：本大题共6小题，满分80分16.(本小题满分12分)已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，学科网且5()122f π= （1） 求A 的值；（2） 若()()(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-某车间20名工人年龄数据如下表：（1） 求这20名工人年龄的众数与极差；（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3） 求这20名工人年龄的方差. 学科网18（本小题满分13分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠，折痕EF ∥DC.其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF.（1） 证明：CF ⊥平面MDF（2） 求三棱锥M-CDE 的体积.19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222. (1)求1a 的值；学科网(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点为()0,5，离心率为35。

7 8 994 4 6 4 7 3广州市2014届高三年级调研测试数学（文 科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()4,+∞D ．[)4,+∞2．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是A ．若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B ．若11<<-x ，则12<x C ．若11-<>x x ，或，则12>x D ．若11-≤≥x x ，或，则12≥x 3．如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 A ． 85，84 B ． 84，85 C ． 86，84D ． 84，864．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数22i z+的虚部是 A ．i - B ．1- C ．i D ．1图15．若集合,A B 满足{}|3A x x =∈<Z ，B ⊆N ，则A B 不可能．．．是 A ．{0,1,2} B ． {1,2} C ． {1}- D ．∅6．若实数x ，y 满足不等式组220,10,220,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x y +的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 7．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A ．15B ．105C ．120D ．7208．某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角 形，则该几何体的表面积是 A．4+ B． C．4+ D．8+9．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．函数()sin f x x =[)0,+∞内A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．有且仅有2个零点D ．有且仅有3个零点二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．若向量()1,2=m ，(),1x =n 满足⊥m n ，则||=n __________． 12．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．13．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足90>∠AMB 的概率为_______．图3正视图 侧视图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC =1OM =，则MN 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是 ．三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且cos 2A C +=（1）求cos B 的值；（2）若3a =，b =c 的值．17．（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们 的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组 [40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图5所示．下表是年龄的频率分布表．（1）求正整数a ，b ，N 的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．ABCOM N图4图518．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PC BC ⊥，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，且△AMB 为正三角形．（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若4BC =，10PB =，求点B 到平面DCM 的距离．19．（本小题共14分）设数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -++++= ，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）在圆422=+y x 上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D ．当点P 在圆上运动时，动点M 满足2=，动点M 形成的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）已知点()0,1E ，若B A ,是曲线C 上的两个动点，且满足EB EA ⊥，求⋅的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间2[,]a a 上的最大值．参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．1112．3 13．8π14．1 15．⎡⎢⎣⎦三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：（1）在△ABC中，A B ++=π．………………………………………………………………1分所以co 22A CBπ+-= (2)分sin2B ==．………………………………………………………………………3分所以2co 2BB =- (5)分13=．………………………………………………………………………………………7分（2）因为3a =，b =1cos 3B =， 由余弦定理222c o s b a c a c=+-，………………………………………………………………9分得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分 解得1c =． (12)分17．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =人．………………………………………………………………………………………1分且0.08251000.02b =⨯=人．……………………………………………………………………………2分总人数252500.025N ==⨯人．………………………………………………………………………3分（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………4分 第2组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………5分 第3组的人数为10064150⨯=，………………………………………………………………………6分 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………………………………………7分 （3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中抽取2人的所有可能结果为： (,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ，共有15种．……………………………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，共有8种．………………………………………………………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815．…………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：在正A MB ∆中，D是AB的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故P A A B ⊥．……………………2分又PA AC ⊥，AB AC A = ，,AB AC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………4分 因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分 又,,,PC BC PA PC P PA PC ⊥=⊂ 平面PAC ， 所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分 （2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为A M ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =． 所以11422BCS S ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥． 在ABC ∆中，1522CD AB ==，所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD ．…………………………………………11分因为M B BC M V V --=， (12)分所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131，即11333h ⨯=．……………………………………………………………………13分所以512=h ． 故点B到平面D C的距离为512．………………………………………………………………14分 解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…………………………………………8分由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ， 所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥．因为CD MD D = ，所以BH ⊥平面DCM ．所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==．以下给出两种求BH 的方法：方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ，则1322DE AC ==．…………………………………………………………………………………11分因为1122CD BH BC DE ⨯⨯=⨯⨯， (12)分所以34122552BC DEBH CD⨯⨯===． 方法2：在Rt△BHD中，222254BH DH BD +==． ①…………………………11分 在Rt △BHC 中，因为4BC =，所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．②…………………………………12分由①，②解得125BH =． 故点B 到平面D C的距离为512．………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分） 解：（1）因为321212222n n a a a a n -++++= ，*n ∈N ， ① 所以当1=n 时，12a =．……………………………………………………………………………1分当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=- ，② …………………………………2分 ①－②得，122nn a -=．…………………………………………………………………………………4分 所以2n n a =． (5)分因为12a =，适合上式， 所以2n n a =()*n ∈N ． (6)分（2）由（1）得2n n a =．所以()()111n n n n a b a a +=--()()122nn n +=--…………………………………………………8分1112121n n +=---．…………………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………12分11121n +=--．………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分） （1）解法1：由MD PD 2=知点M为线段PD的中点．……………………………………………1分设点M的坐标是(,x y ，则点P的坐标是(),2x y ．……………………………………………2分因为点P 在圆422=+y x 上， 所以()2224x y +=． (3)分所以曲线C的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分 解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ，由2=得，xx =0，y y 20=．……………………………………………………………1分因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上， 所以42020=+y x ． ①………………………2分把x x =0，y y 20=代入方程①，得4422=+y x ．……………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分 （2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅EB EA ．…………………………………………………………5分所以()2EA EB EA EA BA EA =-⋅=⋅．……………………………………………………………7分设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-．………………………………………………8分 所以()222221*********x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++- 221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+．……………………………………………………………10分因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤．………………………………………………11分所以2123934x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………13分所以⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分 且1()2(2)f x ax a x'=-+-．………………………………………………………………………2分因为()f x 在1x =处取得极值，所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分 当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=， 当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>． 所以1x =是函数()y f x =的极小值点． 故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分 由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-． 因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>． 当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<． 所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分 ①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增， 所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-． (9)分②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即12a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以[]ma 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………11分 ③当212a ≤，即12a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2ma ()f x ==．…………………………………………………13分 综上所述： 当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当122a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；当12a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………………14分。

2014广东省高考压轴卷文科数学本试卷共4页，21小题，总分为150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，总分为50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．假设集合{}1,0A =-，{}0,1B =，如此AB =A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．函数()f x =的定义域是A ．(,1)-∞B ．(],1-∞C ．()(),11,1-∞--D ．()(],11,1-∞--3．假设复数11i z =+，22i z =，如此21z z =A ．1i -+B ．1i +C ．22i -+D ．22i +4．如下函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．sin y x =B ．12x y =C ．3y x =D．y =5．平面向量(1,2)=a ，(2,)y =b ，且//a b ，如此2+a b = A ．(5,6)-B ．(3,6)C ．(5,4)D ．(5,10)6．阅读如图1的程序框图，假设输入4m =，如此输出S 等于 A ．8 B ．12 C ．20 D ．307．“0x >〞是“2430x x ++>〞成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件8．以点(3,1)-为圆心且与直线340x y +=相切的圆的方程是A ．()()22311x y ++-= B ．()()22311x y -++= C ．()()22312x y ++-= D ．()()22312x y -++=9．某几何体的三视图如图2所示，如此该几何体的体积是A ．36a πB ．33a πC ．323a πD ．3a π10．变量x ，y 满足约束条件1440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，目标函数z mx y =+仅在点()0,1处取得最小值，如此m 的取值范围是 A ．(),4-∞B ．()4,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每一小题5分，总分为20分． 〔一〕必做题〔11～13题〕 11．在等差数列{}n a 中，33a =，2810a a +=，如此n a =_________．12．某校高三年级共1200人．学校为了检查同学们的健康状况，随机抽取了高三年级的100名同学作为样本，测量他们的体重〔单位：公斤〕，体重的分组区间为[40,45〕，[45,50〕，[50,55〕，〔55,60〕，[60,65]，由此得到样本的频率分布直方图，如图3．根据频率分布直方图，估计该a正视图左视图俯视图图2校高三年级体重低于50公斤的人数为_________．13．a b c ，，分别是ABC △的三个内角A B C ，，所对的边，假设1a =，b =，60B ∠=，如此AB =_________．〔二〕选做题〔14-15小题，考生只能从中选做一题〕14．〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系(,)ρθ 0,02πρθ⎛⎫≥≤< ⎪⎝⎭中，曲线4cos 3ρθ=-与(cos sin )1ρθθ+=的交点的极坐标为________．15．〔几何证明选讲选做题〕如图4，圆1O 和圆2O 相交于,A B两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于,C D 两点，5,8,4AC AD AB ===，如此BD =_________．三、解答题：本大题共6小题，总分为80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔本小题总分为13分〕函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∈x R . 〔1〕求(0)f 的值；〔2〕求()f x 的最小正周期；〔3〕设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,πβα，6235f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，4242313f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭．求()sin αβ-的值．图4体重/公斤频率组距图317．〔本小题总分为13分〕某校高二年级在3月份进展一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：在全体考生中随机抽取1名，抽到理科考生的概率是0.6. 〔1〕求x 的值；〔2〕图5是文科考生不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图，计算这6名文科考生的语文成绩的平均分、中位数；〔3〕在〔2〕中的6名文科考生中随机地选2名考生，求恰有一名考生的语文成绩在130分以上的概率．18．〔本小题总分为14分〕如图6，四棱锥P ABCD -中，PB ABCD ⊥底面，//AB CD ，AD AB ⊥，2AB =，AD =，3PB =，E 为CD 上一点，3EC =，1DE =．(1) 证明：BE PBC ⊥平面； (2) 求三棱锥B PAC -的体积．19．〔本小题总分为12分〕 数列{}()0n n a a >的首项为1，且前n 项和n S ()12n =≥．2 4 0 5 8 113 12 11 图5PABCDE 图6〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕记()122nn n a b n ==，，，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．〔本小题总分为14分〕点(0,1)F ，点M 是F 关于原点的对称点．〔1〕假设椭圆1C 的两个焦点分别为F ，M ，且离心率为12，求椭圆1C 的方程；〔2〕假设动点P 到定点F 的距离等于点P 到定直线:1l y =-的距离，求动点P 的轨迹2C的方程；〔3〕过点M 作〔2〕中的轨迹2C 的切线，假设切点在第一象限，求切线m 的方程．21．〔本小题总分为14分〕函数()3143f x x ax =++．〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕求函数()f x 在区间[]0,3上的最小值()g a ．2014广东省高考压轴卷数学〔文科〕试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，总分为50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】{}0A B =．2．【答案】D【解析】∵1010x x -≥⎧⎨+≠⎩，∴11x x ≤⎧⎨≠-⎩，∴函数()f x 的定义域是()(],11,1-∞--．3．【答案】B【解析】()()()212i 1i 2i1i 1i 1i 1i z z -===+++-．4．【答案】C【解析】A 是奇函数但不是增函数；B 既不是奇函数也不是偶函数；C 既是奇函数又是增函数；D 是偶函数． 5．【答案】D【解析】 ∵//a b ，∴220y -⨯=，∴4y =，∴()()()21,222,45,10++=a b =．6．【答案】C【解析】根据程序框图，246820S =+++=． 7．【答案】A【解析】∵2430x x ++>，∴3x <-或1x >-，∴“0x >〞是“2430x x ++>〞成立的充分非必要条件． 8．【答案】B【解析】∵圆心到直线的距离为1d ==，∴所求圆的方程是()()22311x y -++=．9．【答案】A【解析】根据三视图，该几何体为14个圆锥，且底面半径为a ，高为2a ．∴体积是32112436a V a a ππ⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭． 10．【答案】D【解析】画出可行域〔如图〕，目标函数向上平移至点()0,1A 时，取得最小值，∴ABm k -<，∴1m >．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每一小题5分，总分为20分． 11．【答案】n【解析】∵31281232810a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，∴111a d =⎧⎨=⎩，∴1(1)n a n n =+-=．12．【答案】480【解析】估计该校高三年级体重低于50公斤的人数为()12000.0350.055480⨯⨯+⨯=．13．【答案】2【解析】根据余弦定理可得221cos602AB AB +=，解得2AB =．14．【答案】()10，【解析】(cos sin )1ρθθ+=化为直角坐标方程1x y +=，4cos 3ρθ=-化为直角坐标方程2243x y x +=-．联立解方程组22143x y x y x +=⎧⎨+=-⎩，解得1201x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或（舍），∴1,tan 01ρθ====，又02πθ≤<，∴0θ=．∴交点的极坐标为()10，．15．【答案】325【解析】由AC 与圆2O 相切于A ，得CAB ADB ∠=∠，同理ACB DAB ∠=∠，所以ACB ∆∽DAB ∆，∴AC AB AD BD =，即483255AB AD BD AC ⋅⨯===.三、解答题：本大题共6小题，总分为80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔本小题总分为13分〕解：〔1〕1(0)2sin2sin21662fππ⎛⎫=-=-=-⨯=-⎪⎝⎭．…………………………………2分〔2〕()f x的最小正周期是2412Tππ==．……………………………………………4分〔3〕∵1622sin22sin32365fπππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-==⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴3sin5α=∵41424 22sin22sin2cos3236213fππππββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴12cos13β=∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,πβα，∴4cos5α===，5sin13β===∴()sin sin cos cos sinαβαβαβ-=-312451651351365=⨯-⨯=．………………………13分17．〔本小题总分为13分〕解：〔1〕依题意905590.6603519690559xx+++=+++++++，∴26x=．…………………3分〔2〕这6名文科考生的语文成绩的平均分为1111201251281321341256x+++++==中位数为125128126.52x+==……………………………………………………………7分〔3〕从6名文科考生中随机地选2名考生，根本事件有：〔111,120〕，〔111,125〕，〔111,128〕，〔111,132〕，〔111,134〕，〔120,125〕，〔120,128〕，〔120,132〕，〔120,134〕，〔125,128〕，〔125,132〕，〔125,134〕，〔128,132〕，〔128,134〕，〔132,134〕．共15种．记“恰有一名考生的语文成绩在130分以上〞为事件A，其中有〔111,132〕，〔111,134〕，〔120,132〕，〔120,134〕，〔125,132〕，〔125,134〕，〔128,132〕，〔128,134〕．共8种．∴恰有一名考生的语文成绩在130分以上的概率为()815P A=．………………………13分18．〔本小题总分为14分〕〔1〕证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，如此BF AD ==1EF AB DE =-=，2FC =在Rt BFE ∆中，BE ===，在Rt BFC ∆，BC === 在BCE ∆，∵222BE BC EC +=，∴BE BC ⊥∵PB ABCD ⊥底面，BE ABCD ⊂平面，∴PB BE ⊥又PBBC B =∴BE PBC ⊥平面……………………………………………………………………………8分 〔2〕解：∵//AB CD ，AD AB ⊥， ∴四边形ABCD 是梯形，∴()1=2+42ABCD S ⨯梯形142ADC S ∆=⨯=∴ABC ADC ABCD S S S ∆∆=-==梯形∴13B PAC P ABC ABC V V S PB --∆==⋅⋅133==…………………………………14分19．〔本小题总分为12分〕 解：〔11=．∴数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列1(1)1n n=+-⨯=∴2n S n =当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-当1n =时，111a S ==，符合上式∴21n a n =-． …………………………………………………………………………………6分〔2〕∵2122n n n n a n b -==PABCDE F∴123135212222n n n T -=++++① ①×2得21352121222n n n T --=++++②②－①得2211121112222n n n n T --=++++-111212221212n nn ---=+--2121122n n n --=+-…………………………………………………12分20．〔本小题总分为14分〕解：〔1〕依题意，设椭圆1C 的方程为22122:1(0)y x C a b a b +=>>∵222112c c e a c a b =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩∴224,3a b == ∴椭圆1C 的方程为221:1(0)43y x C a b +=>>……………………………………………5分〔2〕依题意，动点P 的轨迹为焦点(0,1)F 的抛物线， ∴抛物线2C 的方程为24x y =．……………………………………………………………………8分〔3〕设切点2000(0)4x Q x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ， ∴所求切线方程2000()42x xy x x -=-， 即20024x x y x =-． ∵22:4C x y=的焦点(0,1)F 关于原点的对称点(0,1)M -．∴点(01)M -，在切线上，∴2014x -=-， ∴02x =或02x =-〔舍去〕．∴所求切线方程为1y x =-．……………………………………………………………………14分21．〔本小题总分为14分〕解：〔1〕()2f x x a '=+．①0a ≥时，()20f x x a '=+≥，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②0a <时，()(2f x x a x x '=+=+． 令()0f x '=，得10x =，20x =>． ∴()1,x x ∈-∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；()2,x x ∈+∞时，()0f x '>． ∴()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减．…………………8分 〔2〕①0a ≥时，由(1)知()f x 在(,)-∞+∞上单调递增， ∴()f x 在[]0,3上单调递增， ∴()f x 在0x =处取得最小值，且()04f =． ②0a <时，〔i 〕当203x <<，即90a -<<时，由〔1〕知()f x 在[)20,x 上单调递减，()2,x +∞上单调递增， ∴()f x 在2x x =处取得最小值，且3144433f a =++=+． 〔ii 〕当23x ≥，即9a ≤-时，由〔1〕知()f x 在[]0,3上单调递减，∴()f x 在3x =处取得最小值，且()()3133341333f a a =+⋅+=+． 综上所述，()4,044,903133,9a g a a a a ≥⎧⎪⎪=+-<<⎨⎪+≤-⎪⎩…………………………………………………14分。

2014年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）z==3+4i3．（5分）（2014•广东）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）解：∵向量=，﹣=4．（5分）（2014•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（），由于﹣6．（5分）（2014•广东）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取7．（5分）（2014•广东）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”解：由正弦定理可知⇒，8．（5分）（2014•广东）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的﹣=1﹣=19．（5分）（2014•广东）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，10．（5分）（2014•广东）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下命题：①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；④z1*z2=z2*z1122）12=（）1+z1=1，21z1，2，等式不成立，故错误；二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）11．（5分）（2014•广东）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x+y+2=0．．12．（5分）（2014•广东）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为0.4．中任取两个不同字母，共有=10=4=0.413．（5分）（2014•广东）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5．（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（2014•广东）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．，解得：．【几何证明选讲选做题】15．（2014•广东）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．．=四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．x+）=，）﹣x+））（）=Asin））﹣））﹣（cos=3sin，﹣）．名工人年龄数据如下表：（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．=30[18．（13分）（2014•广东）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．CD=；=，即=，，∴PE=CD；MD=，S MD=××=．19．（14分）（2014•广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．得：，即．）由．，．）可知=，=＜（时，显然有=＜时，+﹣•＜，有20．（14分）（2014•广东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．）依题意知+=1++21．（14分）（2014•广东）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（）．）转化为（的两根为）时，，）∵∴若存在∪，使得在的两根为，∴依题意有，且，且．∪时，存在唯一的∪，使得∪}∪，使得。

O xyA BCD2014 年广东高考文科数学逐题详解详解提供: 广东佛山市南海中学 钱耀周参考公式:椎体的体积公式 13V Sh = ,其中S 为椎体的底面积,h 为椎体的高.一组数据 12 ,,, nx x x L 的方差 ( ) ( ) ( )2222121 ns x x xxxx n éù =-+-++- êú ëûL ,其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.1．已知集合 { } 2,3,4 M = , { } 0,2,3,5 N = ,则M N = I ( )A ．{ }0,2 B ．{ }2,3 C ．{ }3,4 D ．{ }3,5 【解析】B ；M N = I { } 2,3 ,选 B .2．已知复数z 满足( ) 34i 25 z -= ,则z =( )A ． 34i --B ． 34i-+ C ．34i- D ．34i+ 【解析】D ； ( ) ( )( )2534i 2534i 34i 34i 34i z + ===+ --+ ,选 D . 3．已知向量 ( ) 1,2 = a , ( ) 3,1 = b ,则 -= b a ( )A ．( )2,1 - B ．( )2,1 - C ．( )2,0 D ．( )4,3 【解析】B ； ( ) ( ) ( ) 3,11,22,1 -=-=- b a ,选 B .4．若变量 , x y 满足约束条件 28 04 03 x y x y +£ ì  í ï ££ î,且 2 z x y =+ 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．11【解析】C ；画出可行域如图所示,为一个五边形OABCD 及其内部区域,当直线 2 y x z =-+ 过点 ( )4,2 B 时,z 取得最大值 24210 z =´+= ,选 C . 5．下列函数为奇函数的是( )A ． 12 2x x y =-B ． 3 sin y x x =C ． 2cos 1 y x =+D ． 2 2xy x =+ 【解析】A ；设 ( ) 1 2 2 xx f x =-,则 ( ) f x 的定义域为R ,且 ( ) ( ) 11 22 22x xx x f x f x - - -=-=-=- ,所以 ( ) 12 2x x f x =- 为奇函数,选A .6．为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20【解析】C ；分段间隔为 100025 40= ,选 C .7．在 ABC D 中,角 ,, A B C 所对应的边分别为 ,, a b c ,则“a b £ ”是“sin sin A B £ ”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件1l 2l 3l 4 l 4l 【解析】A ；结合正弦定理知sin sin 2sin 2sin A B R A R B a b £Û£Û£ ,选 A .8．若实数k 满足05 k << ,则曲线 22 1 165 x y k -= - 与曲线 221 165x y k -= - 的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】D ；因为05 k << ,所以两条曲线均为双曲线,且 2c 均为21 k - ,故选 D .9．若空间中四条两两不同的直线 1 l , 2 l , 3 l , 4 l ,满足 12 l l ^ , 23 // l l , 34 l l ^ ,则则下列结论一定正确的是()A ． 14l l ^ B ． 14// l l C ． 1 l 与 4 l 既不垂直也不平行 D ． 1 l 与 4 l 的位置关系不确定 【解析】D ；弄个正方体一目了然!10． 对任意复数 1 w , 2 w 定义 1212 w w w w *= ,其中 2 w 是 2 w 的共轭复数,对任意复数 123 ,, z z z ,有如下四个命题:① ( ) ( ) ( ) 1231323 z z z z z z z +*=*+* ； ② ( ) ( ) ( ) 1231213 z z z z z z z *+=*+* ； ③ ( ) ( ) 123123 z z z z z z **=** ； ④ 1221 z z z z *=* ；则真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】B ；①( ) ( ) ( ) ( ) 12312313231323 z z z z z z z z z z z z z z +*=+=+=*+* ,故①为真命题；② ( ) ( )( ) ( ) 12312312312131213 z z z z z z z z z z z z z z z z z *+=+=+=+=*+* ,故②为真命题； ③左边 123 z z z = ,右边 ( )( ) ( )123123123 * z z z z z z z z z === ,左边¹ 右边,故③为假命题； ④左边 12 z z = ,右边 21z z = ,左边¹ 右边,故④为假命题.故只有①②为真命题,选B . 二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分） (一)必做题(11～13 题)11．曲线 53 xy e =-+ 在点( ) 0,2 - 处的切线方程为．【解析】520 x y ++= ；由 5 xy e ¢=- 得 0 5 x y = ¢ =- ,故切线方程为 25 y x +=- ,即520 x y ++= .12. 从字母 ,,,, a b c d e 中任取两个不同的字母,则取到字母a 的概率为_______.【解析】 2 5 ； 142 5 42 105C P C === .13. 等比数列{ } n a 的各项均为正数,且 15 4 a a = ,则 2122232425log log log log log a a a a a ++++=______. (二)选做题(14～15 题,考生只需从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 1 C 和 2 C 的方程分别为 22cos sinr q q = 和 cos 1 r q = . 以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 1 C 和 2 C 交点的直 角坐标为______.【解析】( ) 1,1 ；由 2 2cos sin r q q = ,可得 ( ) 22cos sin r q r q = ,即 2 2 y x = .由 cos 1 r q = ,可得 1 x = .曲线 1 C 和 2 C 交点的直角坐标为() 1,2 . 15.(几何证明选讲选做题)如图 1,在平行四边形ABCD 中,点E 在 AB 上且2 EB AE = , AC 与DE 交于F ,则CDF AEF D =D 的面积的面积.【解析】9；考查相似三角形性质的应用.由题易知 CDF D ∽ AEF D 所以相似比为3:1 CD AE = ,故 CDF AEF D D 的面积的面积为相似比的平方,即为9. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分 12分)已知函数 ( ) sin 3 f x A x p æö=+ ç÷ èø ,x ÎR ,且 532122f p æö =ç÷ èø . (1) 求A 的值； (2) 若 ( ) ( ) 3,0, 2 ff p q q q æö --=Î ç÷ èø ,求 6 f p q æö - ç÷ èø.【解析】(1) 依题意 553232 sin sin 12123422 f A A A pp p p æöæö=+=== ç÷ç÷èøèø ,解得 3 A = ； (2) 由(1)知, ( ) 3sin 3 f x x p æö=+ ç÷ èø,又 ( ) ( ) 3 ff q q --=,所以3sin 3sin 3 33 p p q q æöæö +--+= ç÷ç÷ èøèø ,展开化简得 3 sin 3 q = ,又 0, 2 p q æö Î ç÷ èø,所以 26cos 1sin 3q q =-= , 所以 3sin 3sin 3cos 6632 f p p p p q q q q æöæöæö-=-+=-= ç÷ç÷ç÷ èøèøèø6 = .17.(本题满分 13分)某车间20名工人年龄数据如下表:年龄(岁)工人数(人)191 28 3 29 3 30 5 31 4 323 401 合计20(1) 求这20名工人年龄的众数与极差；(2) 以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图； (3) 求这20名工人年龄的方差.【解析】(1) 这20名工人年龄的众数为30,极差为401921 -= ；(2) 作出这20名工人年龄的茎叶图如下:D ABCEF 图 11 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4(3) 这20名工人年龄的平均数 192832933053143234030 20x +´+´+´+´+´+ = = ,方差 222222221 (11)3(2)3(1)50413210 20 s éù -+´-+´-+´+´+ =+´ ëû 1 (121123412100) 20 =+++++ 1 252 20=´ 12.6 = . 18.(本题满分 13分)如图 2 ,四边形 ABCD 为矩形, PD ^ 平面 ABCD , 1 AB = , 2 BC PC == ,作如图3 折叠,折痕// EF DC ,其中点 , E F 分别在线段 , PD PC 上,沿 EF 折叠后点 P 落在线段 AD 上的点记为M ,并且 MF CF ^ .(1) 证明:CF ^ 平面MDF ； (2) 求三棱锥M CDE - 的体积.【解析】(1) 因为PD ^平面 ABCD ,PD Ì 平面PCD ,所以平面PCD ^平面ABCD ,又平面PCD I 平面ABCD CD = ,MD Ì平面 ABCD ,MD CD ^ ,所以MD ^ 平面PCD , 又CF Ì平面PCD ,所以CF MD ^ ,又CF MF ^ ,MD MF M = I ,所以CF ^ 平面MDF . (2) 因为CF ^ 平面MDF ,DF Ì 平面MDF ,所以CF DF ^ , 又易知 060 PCD Ð= ,所以 030 CDF Ð= ,从而 11 22 CF CD == ,因为 // EF DC ,所以 DE CFDP CP= , 即 12 = 2 3DE ,所以 3 4 DE = ,所以 334 PE = , 13 28 CDE S CD DE D =×= ,222222 3336()() 442MD ME DE PE DE =-=-=-= , 所以 11362338216M CDE CDE V S MD - D =×=××= . 19.(本题满分 14分)设各项均为正数的数列{ } n a 的前n 项和为 n S ,且 n S 满足 ( ) ( )222 330 n n S n n S n n -+--+= , *n ÎN .(1) 求 1 a 的值；(2) 求数列{ }n a 的通项公式； ABCDP图 2PCBA DEF M 图 3(3) 证明:对一切正整数n ,有( ) ( ) ( ) 1122 11111113n n a a a a a a +++< +++ L .【解析】(1) 令 1 n = 得 211 60 S S +-= ,因为 1 0 S > ,所以 1 2 S = ,即 1 2 a = .(2) 由 () ()222330 n n S n n S n n -+--+= 得 2(3)()0 n n S S n n éù +-+= ëû ,因为 0 n a > ,所以 0 n S > ,从而 30 n S +> ,所以 2n S n n =+ ,当 2 n ³ 时, 221 (1)(1)2 n n n a S S n n n n n - éù =-=+--+-= ëû , 又 1 221 a ==´ ,所以 2 n a n = ,即数列{ } n a 的通项公式为 2 n a n = . (3) 当 2 n ³ 时,( ) ( ) ( )( ) 111111 1221212122121 n n a a n n n n n n æö=<=-ç÷ ++-+-+ èø所以( ) ( ) ( ) 1122 111 111 n n a a a a a a +++ +++ L 11111111 23235572121 n n æö <+-+-++- ç÷´-+ èøL 11111111 623216233n æö =+-<+´=ç÷ + èø 当 1 n = 时,( ) 11 11 13 a a < + ,故对一切正整数n ,有 ( ) ( ) ( ) 1122 11111113 n n a a a a a a +++< +++L .20.(本题满分 14分)已知椭圆C : 22 22 1 x y a b += ( 0 a b >> )的一个焦点为 ( )5,0 ,离心率为 53.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若动点 ( ) 00 , P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.【解析】(1)由 5 c = 及 5 3 c e a == ,可得 3,952 a b ==-= ,故椭圆C 的标准方程为 22 1 94x y += .(2) 不妨设点P 引椭圆C 的两条切线对应的切点分别是 , A B ,且( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 00 ,3,2,3,2,3,2,3,2 x y Ï---- ,设直线PA 为 ( ) 00 y y k x x -=- ,则PB 为 ( ) 00 1y y x x k-=-- . 由 ( ) 00 22 1 94y y k x x x x ì-=- ï í += ï î 消去 y 整理得( ) ( ) ( ) 2 220000 49189360 k x k y kx x y kx ++-+--= , 则 ()220000 9240x k x y k y D =-++-= 同理可得( )22 0000 11 9240 x x y y k k æöæö --+-+-= ç÷ç÷ èøèø.可知k 和 1 k- 是方程()220000 9240 x x x y x y -++-= 的两个实数根,则有20 4 1 1 9 y k k x - æö ×-=-= ç÷ - èø,整理得 22 00 13 x y += , 易知( )( ) ( ) ( ) ( ) { } 00 ,3,2,3,2,3,2,3,2 x y Î---- 也符合,故点P 的轨迹方程为 22 00 13xy += .21.(本题满分 14分)已知函数 ( ) 32 1 1 3f x x x ax =+++ ,其中a ÎR . (1) 求函数 ( ) f x 的单调区间；(2) 当 0 a < 时,试讨论是否存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèøU ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö = ç÷ èø. 【解析】(1)求导得 2()2 f x x x a ¢ =++ ,方程 220 x x a ++= 的判别式 44a D =- ,当 0 D £ 即 1 a ³ 时, ()0 f x ¢ ³ ,此时 ( ) f x 在( ) , -¥+¥ 上递增；当 1 a < 时,方程 220 x x a ++= 的两不等实根分别为 1 11 x a =--- , 2 11 x a =-+- , 由 ()0 f x ¢ > 得 11 x a <--- 或 11 x a >-+- ； 由 ()0 f x ¢ < 得 1 1 1 1 a x a ---< -+- < . 综上,当 1 a ³ 时, ( ) f x 的递增区间为( ) , -¥+¥ ；当 1 a < 时, ( ) f x 的递增区间为 ( ) ( ),11,11, a a -¥----+-+¥ , 递减区间为 ( )11,11 a a ----+- . (2) ( ) 3232 0000 111111 1()()()1 233222 f x f x x ax a æöéù -=+++-+++ ç÷ êú èøëû3322 000 1111()()() 3222x x a x éùéù =-+-+- êúêú ëûëû 2 0 00000 111111 ()()()()() 3224222x x x x x a x éù =-+++-++- êú ëû 2 00 00 111 ()() 236122 x x x x a =-+++++ 2 000 11 ()(414712) 122 x x x a =-+++ ,若存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö= ç÷ èø,必须 200 4147120 x x a +++= 在 11 0,,1 22 æöæö ç÷ç÷ èøèøU 上有解, 因为 0 a < ,所以 21416(712)4(2148)0 a a D =-+=-> , 方程 200 4147120 x x a +++= 的两根为 142214872148 84a a-±--±- = ,又 0 0 x > ,所以 0 72148 4 a x -+- =,依题意 7+2148 01 4a-- << ,即7214811 a <-< ,所以492148121 a <-< ,即 257 1212 a -<<- ,又由 7+21481 42 a -- = ,得 54a =- , 综上,当 257 1212 a -<<- 且 5 4 a ¹- 时,存在唯一的 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö= ç÷ èø, 当 2512 a <-或 7 12 a >- 或 5 4 a =- 时,不存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö = ç÷ èø.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高。

一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦,其中x 表示这组数据的平均数。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =IA.{}0,2B.{}2,3C.{}3,4D.{}3,5 2、已知复数z 满足()3425i z -=，则z =A.34i --B.34+i -C.34i -D. 34i + 3、已知向量()()1,2,3,1==a b ，则-=b aA.()2,1-B.()2,1-C.()2,0D.()4,34、若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于A.7B.8C.10D.11 5、下列函数为奇函数的是A.122x x-B.2sin x xC.2cos 1x +D.22xx + 6、为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为A.50B.40C.25D.207、在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的变分别为,,a b c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8、若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x k y --=的 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 9、若空间中四条两两不相同的直线1234,,,l l l l 满足122334,//,l l l l l l ⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B. 14//l lC. 14l l 与既不平行也不垂直D. 14l l 与位置关系不确定 10、对任意复数12,w w ，定义1212w w w w *=，其中2w 是2w 的共轭复数.对任意复数123,,z z z ，有如下四个命题：①()()()1231323z z z z z z z +*=*+* ②()()()1231213z z z z z z z *+=*+* ③()()123123z z z z z z **=**④1221z z z z *=*则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（1113题）11.曲线53x y e =-+在点(0,2)-处的切线方程为12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为13．等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425l og l o g l o g l o g l o g a a a a a++++＝（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）：14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲、选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中， 点E 在AB 上且2EB AE =,AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12 分） 已知函数5()sin(),,()3122f x A x x R f ππ=+∈= （1）求A 的值； （2）若()()(0,),2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-.EFDCB A17．（本小题满分13 分）某车间20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （1）求这20名工人年龄的方差；18. （本小题满分13 分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1,2AB BC PC ===,作如图3折叠，折痕EF ∥DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .（1）证明：CF ⊥平面MDF ;（2）求三棱锥M CDE -的体积A BCDFPMPEDCBA19.(本小题满分14分)设各项为正数的数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足222*(3)3()0,n n S n n S n n n N -+--+=∈ (1)求1a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)证明:对一切正整数n ,有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++<+++20.(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0,0)x y Ca b a b+=>>的一个焦点为),(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程21.(本小题满分14分)已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈. (1)求函数()f x 的单调区间;(2)当0a <时,试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,使得01()()2f x f =。

2014年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料（理科）说明：1．本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共26题．2．本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成． 3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！1．在ABC ∆中，C -A =2π，sin A =3．（1）求sin C 的值；（2）若BC =6，求ABC ∆的面积．2．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，02πϕ-<<)的最小正周期为π，且其图象经过点2(,0)3π. （1）求函数f (x )的解析式； （2）若函数g (x )＝5()212x f π+，α，β∈),0(π，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．3．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x ) (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6．（1）求A 的值；（2）将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π上的值域．4．如图，某测量人员为了测量珠江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，他在珠江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，CD ＝CE ＝100m ．（1）求△CDE 的面积； （2）求A ，B 之间的距离．5．某高校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[75，80)，第二组[80，85)，第三组[85，90)，第四组[90，95)，第五组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试． ①已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率； ②学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第四组中有ξ名学生被考官D 面试，求ξ的分布列和数学期望． 6．右图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （1）求直方图中x 的值；（2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望．7．生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率；（2）生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（1）的前提下． ①求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率； ②记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．75 80 85 90 95 100 分数频率0.010.02PAB CD8．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资（2每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望EX 和方差DX . 2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）9．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且060BAD ∠=，1A A AB =，E 为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC ，设2AB =． （1）求二面角1E AC D --的余弦值；（2）在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ? 若存在，求1:D P PE 的值；若不存在，请说明理由．10．如图，四棱锥PABCD -中，PA AD ⊥，12AD BC ==PC =，AD //BC ，AB AC =，150BAD ∠=︒，30PDA ∠=︒．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 成角正弦值等于14？若存在，指出F 点位置；若不存在，请说明理由．11．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上不同于A 、B的一点，∠BAC=45°，点V 是圆O 所在平面外一点，且V A=VB=VC ，E 是AC 的中点． （1）求证：VO ⊥面ABC ；（2）已知θ是平面VBC 与平面VOE 所形成的二面角的平面角，且0°θ<<90°，若OA=OV=1，求cos θ的值．12．如图1，已知O ⊙的直径4AB =，点C 、D 为O ⊙上两点，且=45CAB ∠，60DAB ∠=，F 为弧BC 的中点，将O ⊙沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）． （1）在弧BD 上是否存在点G ，使得//FG 平面ACD ？若存在，试指出点G 的位置；若不存在，请说明理由；（2）求二面角C -AD-B 的正弦值．13．设{}n a 是公差不为零的等差数列，nS 223457,7a S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的及前n 项和n T ； （3）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项．14．设数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且21(37)2n S n n =+，2(1)n n T b =-()n *∈N ．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）把数列{}n a 、{}n b 的公共项从小到大排成新数列{}n c ，求证：{}n c 是等比数列； （3）设((n n na n db n ⎧=⎨⎩为奇数）为偶数），求数列{}n d 的前n 项和n D ．15．已知数列{}{},n n a b 满足123a =，122n n n a a a +=+，21123222n n b b b b n -++++=()n *∈N ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，问是否存在正整数m 、M 且3M m -=，使得n m T M <<对一切n *∈N 恒成立？若存在，求出m 、M 的值；若不存在，请说明理由；A B CD⋅O ⋅F图1图2（3）设221()n n n n a a c a ++=，求证：123n c c c c ++++<2572．16．已知{}n a 是首项为a ，公差不为零的等差数列，{}n a 的部分项1k a 、2k a 、…、n k a 恰好为等比数列，且11=k ，52=k ，173=k ． （1）求数列{}n a 和{}n k 的通项公式； （2）设数列{}n k 的前n 项和为n S ，求证：1211132n S S S +++<．17．已知函数ln 1()sin x f x θ+=(0)θπ<<，且()f x x ≤对0x ∀>恒成立．数列{}n a 满足1(1)a f =，212212124(1)n n n n a a n n +--=++()n *∈N ． （1）求θ的取值集合；（2）设212n n b a n =-，求数列{}n b 的通项公式； （3）数列{}n c 中，11c =，1(1)n n n c a c +=+，求证：2n c e <．（e 为自然对数的底数）18．椭圆 C ：x 2a 2 + y 2b 2 = 1 (a ＞b ＞0)的离心率为 12 ，其左焦点到点P (2,1) 的距离为 10 ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线 l ：y = kx + m 与椭圆 C 相交于A 、B 两点(A 、B 不是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．19．抛物线 C ：x 2 = 4y ，直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F ，交 x 轴于点 P . （1）求证：PF 2 = P A ·PB（2）过 P 作抛物线 C 的切线，切点为 D (异于原点)， ①k DA , k DF , k DB 是否恒成等差数列，请说明理由；②△ABD 重心 G 的轨迹是什么图形，请说明理由．20．设点 P 在以 F 1、F 2 为左、右焦点的双曲线 C ：x 2a2－y 2b 2 = 1(a > 0,b > 0)上，PF 2⊥x 轴，| PF 2 | = 3，点 D 为其右顶点，且 | F 1D | = 3 | DF 2 |． （1）求双曲线 C 方程； （2）设过点 F 2 的直线 l 与交于双曲线 C 不同的两点 A 、B ，且满足 | OA | 2 + | OB | 2 > | AB | 2(其中 O 为原点)，求直线 l 的斜率的取值范围．21．已知动圆 C 过定点M(0,2)，且在 x 轴上截得弦长为 4.设该动圆圆心的轨迹为曲线 E. （1）求曲线 E 的方程；（2）点 A 为直线 l ：x －y －2 = 0 上任意一点，过 A 作曲线 C 的切线，切点分别为 P 、Q ，求△APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标．22．已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F 1、F 2，椭圆的离心率为 12 ，且椭圆经过点 M (1,32 ) ．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）线段 PQ 是椭圆过点 F 2 的弦，且 PF 2→ = λF 2Q →， 求 △PF 1Q 内切圆面积最大时实数 λ 的值．23．已知向量(,ln )x m e x k =+，(1,())n f x =，//m n （k 为常数， e 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直，()()xF x xe f x '=． （1）求k 的值及()F x 的单调区间；（2）已知函数 (a 为正实数),若对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞， 使得21()()g x F x <，求实数a 的取值范围．24．设R ∈a ，函数()||2f x x x a x =-+．（1）若2=a ，求函数)(x f 在区间]3,0[上的最大值； （2）若2>a ，写出函数)(x f 的单调区间（不必证明）；（3）若存在]4,2[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．25．已知函数2()1f x a bx x =++在3x =处的切线方程为58y x =-． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()x f x k e =恰有两个不同的实根，求实数k 的值；（3）数列{}n a 满足12(2)a f =，*1(),n n a f a n +=∈N ，求12320131111S a a a a =+++⋅⋅⋅⋅+的整数部分．26．已知 0 af x x a x=->（（）），2l n g x x bx =+（），且直线22y x =-与曲线 y g x =（）相切． （1）若对1,+∞[)内的一切实数x ，不等式 f x g x ≥）（（）恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，求最大的正整数k ，使得对e,3[]（e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）内的任意k 个实数12,,,k x x x 都有12116 k k f x f x f x g x -+++≤（）（）（）（）成立； （3）求证：)12ln(14412+>-∑=n ii ni ()n *∈N ．2014年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(理科)训练材料参考答案1．（1）因为在ABC ∆中，C -A =2π，所以A为锐角，且cos 3A ===． 所以sin C =sin(A +2π)=cosA=3．（2）由正弦定理得sin sin BC AB A C =，所以sin sin 3BC CAB A===因为在ABC ∆中，C -A =2π， 所以C为钝角，且cos 3C ===-． 因为在ABC ∆中，()B A C π=-+，所以1sin sin()sin cos cos sin ()33333B AC A C A C =+=+=-+=．所以ABC ∆的面积为111sin 223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯=2．（1）因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2πω＝π，解得ω＝2.所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)． 因为函数f (x )的图象经过点(,0)3π，所以3sin 2(2)3πϕ⨯+＝0， 得43πϕ+＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－43π，k ∈Z . 由02πϕ-<<，得φ＝3π-. 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin (2)3x π-.（2）依题意有g (x )＝3sin 5[2()]2123xππ⨯+-＝)2sin(3π+x =3cos x . 由g (α)＝3cos α＝1，得cos α＝13，由g (β)＝3cos β＝324，得cos β＝24.因为α，β∈),0(π，所以sin α＝223，sin β＝144.所以g (α－β)＝3cos(α－β)＝3(cos αcos β＋sin αsin β) ＝3×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯4143224231＝2＋474.3．（1）f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 212sin 23＝A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx . 因为f (x )的最大值为6，且A >0，所以A ＝6. （2）由（1）知f (x )＝6sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx . 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+6122ππx ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+34πx 的图象．因此g (x )＝6sin ⎪⎭⎫⎝⎛+34πx ． 因为x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π，所以4x ＋π3∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,3ππ，≤-21sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+34πx 1≤，所以3-≤g (x )6≤． 所以g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π上的值域为[－3,6]． 4．（1）在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°．所以△CDE 的面积为S △CDE ＝12CD ⨯CE ⨯sin150°＝12⨯100⨯100⨯sin30°＝2500(m 2)．（2）连结AB ．在Rt △ACD 中，AC ＝CD tan ∠ADC ＝100⨯tan 60°＝1003(m)． 在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°．由正弦定理得BC sin ∠CEB ＝CEsin ∠CBE ，所以0sin 100sin 45sin sin 30CE CEB BC CBE ∠==∠＝1002(m)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ， 又cos ∠ACB ＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° ＝12×22＋32×22＝6＋24， 所以AB 2＝(1003)2＋(1002)2－2⨯1003⨯1002⨯6＋24＝10000(2－3)． 所以AB ＝1002－3(m)，所以A ，B 之间的距离为1002－ 3 m ．5．（1）第三组的频率为0.06⨯5=0.3，第四组的频率为0.04⨯5=0.2，第五组的频率为0.02⨯5=0.1.（2）由题意知，在第三、四、五组中分别抽取了3，2，1名学生进入第二轮面试，第三组中共有303.0100=⨯名学生.①设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件A ，则1451为所求. ②0,1,2ξ=，且()520262402＝＝＝C C C P ξ，()1581261412＝＝＝C C C P ξ，()151226422＝＝＝C C C P ξ.所以ξ的分布列为：数学期望为315215150＝＝⨯+⨯+⨯ξE . 6．（1）依题意得，0.370.390.10.021x ++++=，解得0.12x =.（2）依题意得，~(3,0.1)X B ，因此033(0)0.90.729P X C ==⨯=，123(1)0.10.90.243P X C ==⨯⨯=， 223(2)0.10.90.027P X C ==⨯⨯=，333(3)0.10.001P X C ==⨯=.所以随机变量XX 的数学期望为30.10.3EX np ==⨯=.7．（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件A 有80件，元件B 有75件.所以元件A 、B 为正品的频率分别为5410080=，4310075=. 根据频率可估计元件A 、B 为正品的概率分别为45，34.（2）①设生产的5件元件中正品件数为x ，则有次品5x -件，由题意知10020(5)300x x --≥，得310≥x ，即45x =或．设“生产5件元件B 所获得的利润不少于300元”为事件C ，则12881434143)(555445=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C C P 为所求． ②随机变量X 的所有取值为150，90，30，－30，则433(150)545P X ==⨯=，133(90)5420P X ==⨯=， 411(30)545P X ==⨯=，111(30)5420P X =-=⨯=． 所以X 的分布列为：X 的数学期望为EX 150903030108520520=⨯+⨯+⨯-⨯=. 8．（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有100(0.20.05)25⨯+=人，从而假设0H ：“体育迷”与性别没有关系.将22⨯列联表中的数据代入公式，计算得222()100(30101545)1003.030()()()()4555752533n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯.当0H 成立时，2( 3.841)0.05P K ≥≈.因为3.030 3.841<，所以没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意知，1~(3,)4X B . 所以X344EX np ==⨯=，(1)34416DX np p =-=⨯⨯=.9．（1）设AC ∩BD =O ，如图所示建立空间直角坐标系O x y z -，则1,0,0),(0,),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,2),A B C D D --设(0,1,2),E h + 则11(0,2,),(23,0,0),(3,1,2),D E h CA D A ===-1D E ⊥平面1111,,,D AC D E AC D E D A ∴⊥⊥220,1,h h ∴-=∴=即(0,1,3)E ．1(0,2,1),(3,1,3)D E AE ∴==-．设平面EAC 的法向量为(,,)m x y z =，则由,,m C A m A E ⊥⊥得30x y z =++=．令1z =-，得平面EAC 的一个法向量为(0,3,1)m =-． 又平面1D AC 的法向量为11112(0,2,1),cos ,2m D E D E m D E m D E ⋅=∴<>==⋅||||∴二面角1E AC D --的余弦值为11112(0,2,1),cos ,2m D E D E m D E m D E ⋅=∴<>==⋅||||．（2）设111(),D P PE D E D P λλ==-得 112(0,,),111D P D E λλλλλλ==+++111121(1,0)(0,,)(,)1111A P A D D P λλλλλλλλ-∴=+==-+=++++． 1//A P 面113,,303(1)0,,112EAC A P m λλλλλ-∴⊥∴-+⨯+-⨯=∴=++ ∴存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE =．10．（1）取线段BC 中点E ，连结AE ． 因为AD =30PDA ∠=︒，所以1PA =． 因为AD ∥BC ，150BAD ∠=︒所以30B ∠=︒．又因为ABAC =，所以AE ⊥BC ，而BC =，所以230BEAC AB cos ︒===．因为PC =，所以222PC PA AC =+，即PA AC ⊥．因为PA AD ⊥，且,AD AC ⊂平面ABCD ，AD AC A =，所以PA ⊥平面ABCD ．（2）以A 为坐标原点，以,,AE AD AP 所在直线分别为,,xy z 轴建立空间直角坐标系如图所示：则(0,0,1)P ，(1,B ，C，D ．设111(,,)F x y z ，因为点F 在线段PD 上，设PF PD λ=，则11101x y z λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ (01)λ<≤．即,1)F λ-，所以,1)FC λ=-． 设平面PBC的法向量为(,,)u x y z =，则0,0u PB u BC ⋅=⋅=，所以0x z ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，所以(1,0,1)u =.因为直线CF 与平面PBC 成角正弦值等于14，所以||14||||FC u FC u ⋅=⨯． 14=，即12λ=．所以点F 是线段PD 的中点．B11．（1）V A=VB ，∴ △ABC 为等腰三角形．又O 为AB 中点，∴ VO ⊥AB ．在△VOA 和△VOC 中，OA =OC ，VO=VO ，V A=VC ，所以△VOA ≌△VOC. ∴ ∠V0A=∠VOC=90o . ∴ VO ⊥OC.AB ⊂平面ABC, OC ⊂平面ABC ，AB∩OC=O ，∴VO ⊥平面ABC ． （2）在圆O 内，OA=OC ，∠CAO=45o ，所以CO ⊥AO. 由（1）VO ⊥平面ABC ，如图，建立空间直角坐标系. OA=OB=OC=OV=1，∴ C(1,0, 0),A(0,1,0),B(0,-1,0),V(0,0,1),E(11,22,0).CB =(-1，-1，0), CV =(-1，0，1).设(,,)m x y z =为平面VBC 的法向量，则0,0.CB m CV m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,0.x y x z +=⎧⎨-=⎩令1x =，解得(1,1,1)m =-.同理，求得平面VOE 的法向量为(1,1,0)n =-.所以cos ,||||u v u v u v⋅<>=⋅==cos 3θ=为所求． 12．解法一（传统解法）：（1）取弧BD 的中点G ，连接CO ，,OG FG ， 则==60BOG BAD ∠∠，故//OG AD ．45CAB ∠=，CO AB ∴⊥．又F 为弧BC 的中点，45FOB ∴∠=，//OF AC ∴．所以//OF 平面ACD ，故平面//OFG 平面ACD ． 则//FG 平面ACD ，因此，在弧BD 上存在点G ，使得//FG 平面ACD ，且点G 为弧BD 的中点． （2）过O 作OE AD ⊥于E ，连CE ．因为CO AB ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，故CO ⊥平面ABD ．又因为AD⊂平面ABD，故CO AD⊥，所以AD⊥平面CEO，AD CE⊥，则CEO∠是二面角C-AD-B的平面角，又60OAD∠=，2OA=，故OE =由CO⊥平面ABD，OE⊂平面ABD，得CEO∆为直角三角形，又2CO=，故CE=，可得cos CEO∠，所以二面角C-AD-B ．解法二（向量解法）：（1）如图，以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，作空间直角坐标系O xyz-，则()0,20A,-，()002C,,，(0,0,2)(0,2,0)(0,2,2)AC=--=．点F为弧BC的中点，∴点F的坐标为(0,(0,OF=，2OF AC∴=，即//OF设在弧BD上存在点G，使得//FG平面ACD，又F为弧BC的中点，45FOB∴∠=．即//OF AC，所以//OF平面ACD．∴平面//OFG 平面ACD ，则有//OG AD．设(0)OG ADλλ=>，(3,1,0)AD=，()30OG,,λλ∴=．又2OG=，2=，解得1λ=±(舍去1-)．()310OG,∴=，则G为弧BD的中点．因此，在弧BD上存在点G，使得//FG平面ACD，且点G为弧BD的中点．（2）60DAB∠=，∴点D的坐标)10D,，(3,1,0)AD=．设二面角--C AD B的大小为θ，()1,,n x y z=为平面ACD的一个法向量．由110,0,n ACn AD⋅=⎧⎨⋅=⎩有()()()),,0,2,20,,,,00,x y zx y z⋅=⎧⎨⋅=⎩即220,0.y zy+=+=取1x=，解得y=z=．(11,n∴=．取平面ADB的一个法向量()2001n,,=，12121cosn n |n ||n |θ⋅⨯∴===⋅，所以二面角C -AD-B 的正弦值为7． 13．（1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+． 因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=①．又由77S =得176772a d ⨯+=，即131a d +=②．联立①②解得15a =-，2d =，所以27n a n =-*()n ∈N ．（2）由（1）知，当3n ≤时，0n a <；当3n >时，0n a >．21()(527)622n n n a a n n S n n +-+-===-． ∴当3n ≤时，26n n T S n n =-=-+； 当3n >时，22333()2(6)2(9)618n n n T S S S S S n n n n =-+-=-=--⨯-=-+.综上，226(3)618(3)n n nn T n n n ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩.（3）12m m m a a a ++=(27)(25)23m m m ---，令23m t -=，则12(4)(2)86m m m a a t t t a t t ++--==+-． 故t 为8的约数，又∵t 是奇数，∴t 的可能取值为1±．当1t =时，2m =，2343257a aa ==⨯-是数列{}n a 中的第5项；当1t =-时，1m =，123152(4)7a aa =-=⨯--不是数列{}n a 中的项．所以满足条件的正整数2m =．14．（1）当2n ≥时，22111(37)[3(1)7(1)]3222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+； 当1n =时，115312a S ===⨯+也满足上式．∴32n a n =+()n *∈N ．∵2(1)n n T b =-①，∴112(1)n n T b ++=-②． ②-①得1122n n n b b b ++=-，即12n n b b +=. 由①得：1112(1)b T b ==-，则12b =.∴{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n b =()n *∈N ．（2）显然，1238c a b ===.假设2k n m k c a b ===，则322km +=，∴112222(32)3(21)1k kk b m m ++==⋅=+=++不是数列{}n a 中的项；222424(32)3(42)2k k k b m m ++==⋅=+=++是数列{}n a 中的第42m +项.∴214222k n m k c a b ++++===，从而21242k n k n c c ++==.所以{}n c 是首项为8，公比为4的等比数列．（3）∵32(2(n nn n d n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数）为偶数）， ∴数列{}n d 的奇数项组成首项为5，公差为6的等差数列； 数列{}n d 的偶数项组成首项为4，公比为4的等比数列． ①当n 为偶数时，22214(14)3415(1)62222214433nn n n n n D n n +-=⨯+⨯⨯-⨯+=+-+⋅-. ②当n 为奇数时，212113413551(1)(1)2(32)243342123n n n n n D S a n n n n n ++-=+=-+--+⋅++=+++⋅，经检验，当1n =时上式也成立.综上所述，222134124333551242123n n n n n n D n n n ++⎧+-+⋅⎪⎪=⎨⎪+++⋅⎪⎩，为偶数，为奇数．15．（1）由122n n n a a a +=+，得1211122n n n na a a a ++==+． ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1132a =，公差为12的等差数列． ∴1312(1)222n n n a +=+-⋅=，即22n a n =+()n *∈N ． ∵21123222n n b b b b n -++++= ①， ∴2212312221n n b b b b n --++++=- ②．①-②得121n n b -=，即112n n b -=(2)n ≥． 由①知，11b =也满足上式，故112n n b -=()n *∈N ．（2）由（1）知，22n nn b n a +=，下面用“错位相减法”求n T ．2334522222n n n T +=++++ ③，12n T = 23134122222n n n n +++++++ ④. ③-④得2311131112422222222n n n n n n T ++++=++++-=-，∴4442n n n T +=-<．又0n n a b >，则数列{}n T 单调递增，故1312n T T ≥=>，从而14n T <<． 因此，存在正整数1m =、4M =且3M m -=，使得n m T M <<对一切n *∈N 恒成立．（3）由（1）知，22222222221()8(3)(4)(2)1122(2)(4)(2)(4)(2)(4)n n n n a a n n n c a n n n n n n ++⎡⎤++-+===⋅=-⎢⎥++++++⎣⎦. ∴12322222222111111112354657(2)(4)n c c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦222222111111252234(3)(4)3472n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦．16．（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知得1=a a ，54a a d =+，1716a a d =+成等比数列， ∴2(4)a d +(16)a a d =+，即22d ad =． ∵0d ≠，∴2ad =． ∴1(1)n a a n d =+-1(1)22a n a n a +=+-=． ∴12n n k k a a +=，而等比数列{}n k a 的公比5133a aq a a ===， ∴11133n n n k a a a --=⋅=⋅，故1132n n k a a -+=⋅．由10a a =≠，得1231n n k -=⨯-．（2）由（1）知，212(1333)n n S n -=⨯++++-2(13)13n n -=--31n n =--. ∵当1n >时，0122113(12)2222n n n n n nn n n n n C C C C C --=+=+⨯+⨯++⨯+⨯0122n n n n n C C C ≥+⨯+⨯22121n n n n =++>++（也可用数学归纳法证明），∴312n nn -->(2)n ≥.∴111312n n n S n =<--(2)n ≥. ∴当2n ≥时，12111n S S S +++234111112222n <+++++111[1()]313421()122212n n --=+=-<-.当1n =时，左边=11312S =<，不等式也成立. 综上所述，不等式12111n S S S +++32<成立． 17．（1）由0θπ<<得sin 0θ>，故()f x x ≤对0x ∀>恒成立等价于ln 1sin x xθ+≥对0x ∀>恒成立． 设ln 1()x g x x +=（0x >），则max sin ()g x θ≥．由于2ln ()xg x x -'=，令()0g x '=，得1x =．∵当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减． ∴max ()(1)1g x g ==，∴sin 1θ≥． 又0sin 1θ<≤，∴sin 1θ=，2πθ=．所以θ的取值集合为2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知，()ln 1f x x =+，1(1)1a f ==.∵212n n b a n=-，∴2112222221121111112(1)24(1)2(1)2422n n n n n n n b a a a a n n n n n n ++--⎛⎫=-=+-=-=- ⎪+++⎝⎭12n b =. 所以数列{}n b 是首项为111122b a =-=，公比为12的等比数列．∴12n n b =()n *∈N ．（3）由（2）知，21122n n n b a n =-=，得21122n n a n=+．则1211122n n n c c n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又11c =知0n c >，两边取自然对数，得1211ln ln 1ln 22n n n c c n +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由（1）知，()ln 1f x x x =+≤，即ln 1x x ≤-对0x ∀>恒成立，∴1222111112ln ln ln 1222224n n n n n c c n nn +⎛⎫-=++≤+=+ ⎪⎝⎭ 21211124122121n n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪--+⎝⎭， ∴2111ln ln 123c c ⎛⎫-<+- ⎪⎝⎭，322111ln ln 235c c ⎛⎫-<+- ⎪⎝⎭，……11111ln ln 22321n n n c c n n --⎛⎫-<+- ⎪--⎝⎭(2)n ≥． 把以上1n -个是式子相加，注意到1ln ln10c ==，得 211111111ln 12222221221n n n c n n --⎛⎫<++++-=--< ⎪--⎝⎭(2)n ≥． 当1n =时，1ln 02c =<也满足上式，所以2n c e <．18．（1）由题：e = c a = 12①左焦点 (－c ,0) 到点 P (2,1) 的距离为：d = (2 + c ) 2 + 1 2 = 10 ②由①②可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2－c 2 = 3． ∴所求椭圆 C 的方程为x 24 + y23= 1 ． （2）设 A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，将 y = kx + m 代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0． ∴x 1 + x 2 = －8km4k 2 + 3 ，x 1x 2 = 4m 2－124k 2 + 3 ，且y 1 = kx 1 + m ，y 2 = kx 2 + m ．∵AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A 2(2,0) ，所以 A 2A → •A 2B →= 0．所以 (x 1－2,y 1)·(x 2－2,y 2) = (x 1－2) (x 2－2) + y 1y 2 = (x 1－2) (x 2－2) + (kx 1 + m ) (kx 2 + m ) = (k 2 + 1) x 1x 2 + (km －2) (x 1 + x 2) + m 2 + 4= (k 2+ 1)·4m 2－124k 2 + 3 －(km －2)·8km 4k 2 + 3+ m 2 + 4 = 0 ．整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴m = －27k 或 m = －2k 都满足 △ > 0．若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx －2k = k (x －2) ，恒过定点 A 2(2,0)，不合题意舍去； 若 m = －27 k 时，直线 l 为 y = kx －27 k = k (x －27 )， 恒过定点 (27 ,0) ．19．（1）设A (2t 1,t 12)、B (2t 2,t 22)、D (2t 0,t 02)、G (x ,y )， 直线 AB 倾斜角为 α （t 0≠0）． 由抛物线方程x 2 = 4y 得 F (0,1)．由题意得直线 AB 斜率 k 存在且不为 0，所以 α≠0． 设直线 AB 的方程为 l ：y = kx + 1． 代入C 中化简得x 2－4kx －4 = 0．所以 x 1 + x 2 = 2t 1 + 2t 2 = 4k ，x 1 x 2 = 2t 1 2t 2 = －4 ⇒ t 1 + t 2 = 2k ，t 1 t 2 = －1． 所以PF 2= ( y F sin α ) 2 = 1sin 2α ，P A ·PB = y 1sin α ·y 2sin α = (t 1 t 2) 2sin 2α = 1sin 2α． ∴PF 2 = P A ·PB ．（2）①l 中令 y = 0 ，得 x = －1k ，所以 P (－1k ,0) ．因为抛物线方程为 y = 14 x 2 ，所以 y '= 12x ．所以D 点处切线斜率为 12 ·2t 0 = t 0，D 点处切线方程为 y －t 02 = t 0 (x －2t 0) ．把 P 代入得 t 0 = －1k ，所以 D (－2k , 1k2 )．∴k DA + k DB = t 12－t 022t 1－2t 0 + t 22－t 022t 2－2t 0 = 12 (t 1 + t 2) + t 0 = 12 ·2k －1k = k －1k ，2k DF = 2·1－t 02－2t 0= t 0－1t 0 = k －1k ．∴k DA + k DB = 2k DF 恒成立，即k DA , k DF , k DB 恒成等差数列． ②因为x =2t 0 + 2t 1 + 2t 23 = 23 (－1k + 2k ) = 23 (2k －1k)， y = t 02 + t 12 + t 223 = 13 [t 02 + (t 1 + t 2) 2－2t 1 t 2] = 13 (1k 2 + 4k 2 + 2) = 13 (2k －1k ) 2 + 2，所以 y = 34 x 2 + 2．∴G 的轨迹图形是抛物线．20．（1）由题意，得 b 2a = 3，a + c = 3 (c －a )，且 c 2 = a 2 + b 2， 解得 a = 1，b = 3 ，c = 2． 所以双曲线 C 的方程为 x 2－y 23= 1．（2）设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由 | OA | 2 + | OB | 2 > | AB | 2， 有 0︒ < ∠AOB < 90︒ ，所以 0 < cos ∠AOB < 1．显然，OA → 、OB → 不同向 ，所以 OA → ·OB → > 0 ，所以 x 1x 2 + y 1y 2 > 0． 当 AB ⊥x 轴时，A (2,3)，B (2,－3)，OA → ·OB → = －5，不合题意． 当 AB 与 x 轴不垂直时，F 2(2,0)，设 l ：y = k (x －2)，由 ⎩⎨⎧ y = k (x －2) 3x 2－y 2 = 3消去 y ，整理得(3－k 2) x 2 + 4k 2x －4k 2－3 = 0． 则△ = (4k 2) 2－4(3－k 2) (－4k 2－3) > 0 ⇒ k 2 > 0，且3－k 2≠0， x 1 + x 2 = －4k 23－k 2 ，x 1x 2 = －4k 2 + 33－k 2．由 x 1x 2 + y 1y 2 > 0 ，得 x 1x 2 + k (x 1－2) k (x 2－2) > 0 ，即 (1 + k 2) x 1x 2－2k 2(x 1 + x 2) + 4k 2 > 0，即－(1 + k 2)·4k 2 + 33－k 2 + 2k 2·4k 23－k2 + 4k 2 > 0 ，解得 35 < k 2< 3． 所以 l 斜率的取值范围是 (－ 3 ,－155 )∪(155, 3 )． 21．（1）设动圆圆心坐标为 C (x ,y )， 根据题意得x 2 + (y －2) 2 = y 2 + 4化简得 x 2 = 4y ，所以曲线 E 的方程为x 2 = 4y ． （2）设直线 PQ 的方程为 y = kx + b由 ⎩⎨⎧ x 2= 4yy = kx + b 消去 y 得 x 2－4kx －4b = 0设 P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)，则 x 1 + x 2 = 4k ，x 1x 2 = －4b ，且△ = 16k 2 + 16b ． 以点 P 为切点的切线的斜率为y’ | x =x 1 = 12 x 1，其切线方程为 y －y 1 = 12 x 1 (x －x 1)，即 y = 12 x 1x －14 x 12 ⇒ x 12－2x 1x + 4y = 0．由切线过 A (x 0,y 0) 得 x 12－2x 1x 0 + 4y 0 = 0， 同理 x 22－2x 2x 0 + 4y 0 = 0．∴x 1、x 2 是方程 x 2－2x 0 x + 4y 0 = 0的两个解． ∴x 1 + x 2 = 2x 0，x 1x 2 = 4y 0．所以 ⎩⎨⎧ x 0 =x 1 + x 22= 2k y 0 = x 1x 24 = －b所以 A (2k ,－b ) ． 由 A (x 0,y 0) 在直线 x －y －2 = 0 上， 则 2k + b －2 = 0，即 b = 2－2k ．代入 △ = 16k 2 + 16b = 16k 2 + 32－32k = 16 (k －1) 2 + 16 > 0． ∴| PQ | = 1 + k 2 | x 1－x 2 | = 4 1 + k 2 k 2 + b ． A (2k ,－b ) 到直线 PQ 的距离为 d = | 2k 2 + 2b |k 2 + 1 ，∴S △APQ = 12| PQ | d = 4 | k 2 + b | k 2 + b = 4 (k 2+ b ) 32= 4 (k 2－2k + 2) 32 = 4 [(k －1) 2+ 1] 32 ．∴当 k = 1 时，S △APQ 最小，其最小值为 4，此时点 A 的坐标为 (2,0) ． 22．（1）由e = c a = 12 ，M (1,32 ) 满足 1a 2 + ( 32 ) 2b 2 = 1，又 a 2 = b 2 + c 2 ，∴a 2 = 4，b 2 = 3． ∴椭圆 C 的标准方程为 x 24 + y 23 = 1．（2）显然直线 PQ 不与 x 轴重合．当直线 PQ 与 x 轴垂直时，| PQ | = 3，| F 1F 2 | = 2，S △PF 1Q = 3． 当直线 PQ 不与 x 轴垂直时，设直线 PQ ：y = k (x －1)，k ≠0， 代入椭圆C 的标准方程整理，得 (3 + 4k 2) y 2 + 6ky －9k2 = 0则 △ > 0，y 1 + y 2 = －6k 3 + 4k 2 ，y 1 y 2 = －9k 23 + 4k 2 ．所以 S △PF 1Q = 12 ×| F 1F 2 |×| y 1－y 2 | =(y 1 + y 2) 2－4y 1 y 2 =36k 2(3 + 4k 2) 2 + 36k 23 + 4k 2= 12k 2 (k 2 + 1)(3 + 4k 2) 2．令 t = 3 + 4k 2，∴ t > 3，k 2 =t －34， ∴S △PF 1Q = 12t －34 ( t －34+ 1)t 2= 3－3 ( 1t + 13 ) 2 + 43 ．∵0 < 1t < 13 ，∴ S △PF 1Q ∈(0,3)．综上得S △PF 1Q ∈(0,3]．所以当直线 PQ 与 x 轴垂直时 S △PF 1Q 最大，且最大面积为3．设△PF 1Q 内切圆半径 r ，则 S △PF 1Q = 12 (| PF 1 | + | PF 2 | + | PQ |)·r = 4r ≤3，即 r max = 34 ，此时直线 PQ 与 x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大．∴PF 2→ = F 2Q →，λ = 1．所以△PF 1Q 内切圆面积最大时实数 λ 的值为1．23．（1）由已知可得()f x =1xnx k e+，1ln ()x x k x f x e --'∴=． 由已知，1(1)0kf e-'==，∴1k =.∴()()x F x xe f x '=1(ln 1)1ln x x x x x x=--=--所以()ln 2F x x '=--.由21()ln 200F x x x e '=--≥⇒<≤．由21()ln 20F x x x e'=--≤⇒≥．()F x ∴的递增区间为21(0,]e，递减区间为21[,)e +∞．（2）对于任意2[0,1]x ∈，总存在1(0,)x ∈+∞，使得21()()g x F x <，∴max max ()()g x F x <.由（1）知，当21x e =时，()F x 取得最大值2211()1F e e =+. 对于2()2g x x ax =-+，其对称轴为x a =． 当01a <≤时，2max ()()g x g a a ==， ∴2211a e <+，从而01a <≤. 当1a >时，max()(1)21g x g a ==-， ∴21211a e -<+，从而21112a e<<+.综上可知，实数a 的取值范围为21(0,1)2e +．24．（1）当2=a ，]3,0[∈x 时，22,2;()|2|24,0 2.x x f x x x x x x x ⎧≥⎪=-+=⎨-+≤<⎪⎩作函数图像（图像略），可知函数)(x f 在区间]3,0[上是增函数． 所以)(x f 在区间]3,0[上的最大值为9)3(=f ．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=.,)2(,,)2()(22a x x a x a x x a x x f①当a x ≥时，4)2(22)(22--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a x x f ． 因为2>a ，所以a a <-22．所以)(x f 在),[∞+a 上单调递增．②当a x <时，4)2(22)(22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=a a x x f ． 因为2>a ，所以a a <+22．所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上单调递减． 综上所述，函数)(x f 的递增区间是⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a ，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22． （3）①当22≤≤-a 时，022≤-a ，022≥+a ，所以)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=不可能有三个不相等的实数解．②当42≤<a 时，由（1）知)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a 上分别是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上是减函数，当且仅当4)2()(22+<⋅<a a f t a 时，方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解．即⎪⎭⎫⎝⎛+4+=+<<4818)2(12a a a a t ．令aa a g 4)(+=，)(a g 在]4,2(∈a 时是增函数，故5)(max =a g ．所以实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛89,1．25．（1）()2f x ax b '=+， 依题意，有(3)5(3)7f f '=⎧⎨=⎩，即659317a b a b +=⎧⎨++=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩．2()=1f x x x ∴-+．（2）方程()x f x k e =，即21k x x x e -+=，所以2k (1)xx x e -=-+．记2F(x)(1)x x x e -=-+， 则2()(32)(1)(2)xx F x x x ex x e --'=--+=---．令F'(x)=0，得121,2x x ==.当x 变化时，F'(x)、F(x)的变化情况如下表：∴当1x =时，F(x)取极小值1e ；当2x =时，F(x)取极大值23e. 作出直线y x =和函数2F(x)(1)x x x e -=-+的大致图象，可知当1k e =或23k e=时， 它们有两个不同的交点，因此方程()x f x k e =恰有两个不同的实根．所以实数k 的值为1e 或23e ． （3）1(2)3122f a ==>，又1)(21+-==+n n n n a a a f a ，∴0)1(12221>-=+-=-+n n n n n a a a a a ，∴11>>+n n a a ．由121+-=+n n n a a a ，得)1(11-=-+n n n a a a ．∴n n n n n a a a a a 111)1(1111--=-=-+，即111111---=+n n n a a a ．∴122013111S a a a =+++122320132014111111()()()111111a a a a a a =-+-++------- 12014201411122111a a a =-=-<---． 又1212674321121>=+=+>a a S ，即12S <<，所以S 的整数部分为1． 26．（1）设点),(00y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点， 则有22ln 2000-=+x bx x ．（*）b xx g +='2)( ，220=+∴b x ．（**） 由（*）、（**）两式，解得0=b ，x x g ln 2)(=．由)()(x g x f ≥整理，得x x xaln 2-≤．1≥x ，∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立，必须x x x a ln 22-≤恒成立．设x x x x h ln 2)(2-=，2ln 22)1(ln 22)(--=⋅+-='x x xx x x x h ，xx h 22)(-='' ，∴当1≥x 时，0)(≥''x h ，则)(x h '是增函数，0)1()(='≥'∴h x h ，)(x h 是增函数，1)1()(=≥h x h ，1≤a ． 所以实数a 的取值范围是(0,1]．（2）当1=a 时，xx x f 1)(-=． 011)(2>+='x x f ，)(x f ∴在]3,[e 上是增函数，)(x f 在]3,[e 上的最大值为38)3(=f ． 要对]3,[e 内的任意k 个实数k x x x ,,,21 都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++-成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值．当3121====-k x x x 时不等式左边取得最大值，e x k =时不等式右边取得最小值．21638)1(⨯≤⨯-∴k ，解得13≤k ．所以k 的最大值为13． （3）当1=a 时，由（1）知，),1(+∞∈x 时，)()(x g x f >，即)1(21ln xx x -<． 令1212-+=k k x ，得)12121212(211212ln +---+<-+k k k k k k ． 化简得144)12ln()12ln(2-<--+k kk k ． 所以∑∑==-<--+=+ni n i i ii i n 121144)]12ln()12[ln()12ln(．。

广州市2014届高三年级调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．1112．3 13．8π14．1 15．⎡⎢⎣⎦三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，A B C ++=π．………………………………………………………………1分所以coscos 22A C Bπ+-= …………………………………………………………………………2分sin23B ==．………………………………………………………………………3分 所以2cos 12sin2BB =- ……………………………………………………………………………5分 13=．………………………………………………………………………………………7分 （2）因为3a =，b =1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………………9分 得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分 解得1c =．……………………………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =人．………………………………………………………………………………………1分且0.08251000.02b =⨯=人．……………………………………………………………………………2分 总人数252500.025N ==⨯人．………………………………………………………………………3分 （2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………4分 第2组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………5分 第3组的人数为10064150⨯=，………………………………………………………………………6分所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………………………………………7分 （3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中抽取2人的所有可能结果为： (,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ，共有15种．……………………………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，共有8种．………………………………………………………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815．…………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：在正AMB ∆中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故PA AB ⊥．……………………2分 又PA AC ⊥，AB AC A = ，,AB AC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………4分 因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分 又,,,PC BC PA PC P PA PC ⊥=⊂ 平面PAC ， 所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分 （2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =．因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分 因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =．所以1111143322222BCD ABC S S BC AC ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分 因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥． 在ABC ∆中，1522CD AB ==， 所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD ．…………………………………………11分 因为MCD B BCD M V V --=，……………………………………………………………………………12分 所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131，即11333h ⨯=．……………………………………………………………………13分 所以512=h ． 故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分 解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…………………………………………8分由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ， 所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥．因为CD MD D = ，所以BH ⊥平面DCM ．所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==．以下给出两种求BH 的方法：方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ，则1322DE AC ==．…………………………………………………………………………………11分 因为1122CD BH BC DE ⨯⨯=⨯⨯，………………………………………………………………12分所以34122552BC DE BH CD ⨯⨯===方法2：在Rt △BHD 中，222254BH DH BD +==． ①…………………………11分 在Rt △BHC 中，因为4BC =， 所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． ②…………………………………12分由①，②解得125BH =．故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分） 解：（1）因为321212222n n a a a a n -++++= ，*n ∈N ， ① 所以当1=n 时，12a =．……………………………………………………………………………1分 当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=- ， ② …………………………………2分 ①－②得，122nn a -=．…………………………………………………………………………………4分 所以2nn a =．…………………………………………………………………………………………5分 因为12a =，适合上式， 所以2nn a =()*n ∈N ．………………………………………………………………………………6分（2）由（1）得2nn a =．…………………………………………………………………………………7分所以()()111n n n n a b a a +=--()()122121nnn +=--…………………………………………………8分 1112121n n +=---．…………………………………………………………………………10分 所以12n n S b b b =+++1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………12分 11121n +=--．………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由2=知点M 为线段PD 的中点．……………………………………………1分设点M 的坐标是(,)x y ，则点P 的坐标是(),2x y ．……………………………………………2分 因为点P 在圆422=+y x 上，所以()2224x y +=．…………………………………………………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ，由2=得，x x =0，y y 20=．……………………………………………………………1分 因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上，所以42020=+y x ． ①………………………………………………………………………2分 把x x =0，y y 20=代入方程①，得4422=+y x ．……………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分 （2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅EB EA ．…………………………………………………………5分所以()2=-⋅=⋅．……………………………………………………………7分设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-．………………………………………………8分 所以()222221111112114x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++-221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+．……………………………………………………………10分 因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤．………………………………………………11分所以21234293433x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………13分所以⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分且1()2(2)f x ax a x'=-+-．………………………………………………………………………2分 因为()f x 在1x =处取得极值， 所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=， 当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分 （2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-．因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>．当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<．所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增，所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-．………………………………………………………9分②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即122a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以[]max 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………11分 ③当212a ≤，即12a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-．…………………………………………………13分综上所述：当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当122a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；1a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………………14分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年广东，文1，5分】已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =（ ）（A ）{}0,2 （B ）{}2,3 （C ）{}3,4 （D ）{}3,5 【答案】B 【解析】{}2,3MN =，故选B ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． （2）【2014年广东，文2，5分】已知复数z 满足(34i)25z -=，则z =（ ）（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】D【解析】2525(34i)25(34i)=34i 34i (34i)(34i)25z ++===+--+，故选D ．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题． （3）【2014年广东，文3，5分】已知向量(1,2)a =，(3,1)b =，则b a -=（ ）（A ）(2,1)- （B ）(2,1)- （C ）(2,0) （D ）(4,3) 【答案】B【解析】()2,1b a -=-，故选B ．【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．（4）【2014年广东，文4，5分】若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于（ ）（A ）7 （B ）8 （C ）10 （D ）11 【答案】C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由2z x y =+，得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+， 由图象可知当直线2y x z =-+经过点()4,2B 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大，此时24210z ==⨯+=，故选C ． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． （5）【2014年广东，文5，5分】下列函数为奇函数的是（ ）（A ）122x x - （B ）3sin x x （C ）2cos 1x + （D ）22x x +【答案】A【解析】对于函数()122x x f x =-，()()112222x x x x f x f x ---=-=-=-，故此函数为奇函数；对于函数()3sin f x x x =，()()()()33sin sin f x x x x x f x -=--==，故此函数为偶函数；对于函数()2cos 1f x x =+，()()()2cos 12cos 1f x x x f x -=-+=+=，故此函数为偶函数；对于函数()22x f x x =+，()()()2222x x f x x x f x ---=-+=+≠-，同时()()f x f x -=≠故此函数为非奇非偶函数，故选A ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．（6）【2014年广东，文6，5分】为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）（A ）50 （B ）40 （C ）25 （D ）20 【答案】C【解析】∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25，故选C ． 【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础． （7）【2014年广东，文7，5分】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，则“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 【答案】A【解析】由正弦定理可知sin sin a bA B=，∵ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∴a ，b ，sin A ，sin B 都是正数，sin sin a b A B ≤⇔≤．∴“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的充分必要条件，故选A ．【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．（8）【2014年广东，文8，5分】若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k-=-与曲线221165x y k -=-的（ ） （A ）实半轴长相等 （B ）虚半轴长相等 （C ）离心率相等 （D ）焦距相等 【答案】D【解析】当05k <<，则055k <-<，111616k <-<，即曲线221165x y k-=-表示焦点在x 轴上的双曲线，其中216a =，25b k =-，221c k =-，曲线221165x y k -=-表示焦点在x 轴上的双曲线，其中216a k =-，25b =，221c k =-，即两个双曲线的焦距相等，故选D ．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a ，b ，c 是解决本题的关键． （9）【2014年广东，文9，5分】若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,//,l l l l l l ⊥⊥，则下列结论一定正确的是（ ）（A ）14l l ⊥ （B ）14//l l （C ）1l 与4l 既不垂直也不平行 （D ）1l 与4l 的位置关系不确定 【答案】D【解析】在正方体中，若AB 所在的直线为2l ，CD 所在的直线为3l ，AE 所在的直线为1l ， 若GD 所在的直线为4l ，此时14//l l ，若BD 所在的直线为4l ，此时14l l ⊥，故1l 与4l 的位 置关系不确定，故选D ．【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．（10）【2014年广东，文10，5分】对任意复数12,ωω，定义1212*ωωωω=，其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z ，有如下四个命题： ①1231323()()()z z z z z z z +=**+*②1231213()()()z z z z z z z +=**+*； ③123123()()z z z z z z *=***④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】①12312313231323()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z +++*===*+*，正确；②12312312312131213()()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z z +=+=+=+=**+*，正确；③123123123123123(),()()(),z z z z z z z z z z z z z z z ===≠左边=*=右边*左边右边，等式不成立，故错误；④12122121,,z z z z z z z z ==≠左边=*右边=*左边右边，等式不成立，故错误； 综上所述，真命题的个数是2个，故选B ．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题． 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11~13） （11）【2014年广东，文11，5分】曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为 ． 【答案】520x y ++= 【解析】'5x y e =-，'5x y =∴=-，因此所求的切线方程为：25y x +=-，即520x y ++=．【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题． （12）【2014年广东，文12，5分】从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为 ．【答案】25【解析】142542105C P C ===．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．（13）【2014年广东，文13，5分】等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++= ． 【答案】5【解析】设2122232425log log log log log S a a a a a =++++，则2524232221log log log log log S a a a a a =++++，215225log ()5log 410S a a ∴===，5S ∴=．【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） （14）【2014年广东，文14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos =1ρθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】(1,2)【解析】由22cos sin ρθθ=得22cos =sin ρθρθ（），故1C 的直角坐标系方程为：22y x =，2C 的直角坐标系方程为：1x =，12,C C ∴交点的直角坐标为(1,2)．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题． （15）【2014年广东，文15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆=∆的周长的周长． 【答案】3【解析】由于CDF AEF ∆∆∽，3CDF CD EB AEAEF AE AE∆+∴===∆的周长的周长．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）【2014年广东，文16，12分】已知函数()sin ,3f x A x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求A 的值；（2）若()()0,2f f πθθθ⎛⎫--=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：（1）553()sin()sin 121234f A A ππππ=+==3A ∴．（2）由（1）得：()3sin()3f x x π=+，()()3sin()3sin()33f f ππθθθθ∴--=+--+3(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )6sin cos 3sin 3333πππππθθθθθθ=+--+-===sin 0,2πθθ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，cos θ∴==()3sin()3sin()3cos 36632f ππππθθθθ∴-=-+=-==【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查． （17）【2014年广东，文17，12分】某车间20名工人年龄数据如下表：（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差． 解：（1）这这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21．（2）茎叶图如下： （3）年龄的平均数为：(1928329330531432340)3020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=，这20名工人年龄的方差为：2222222111(11)3(2)3(1)50413210(121123412100)25212.6202020⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+=+++++=⨯=⎣⎦【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题． （18）【2014年广东，文18，14分】如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ABCD ⊥平面，1,2AB BC PC ===，做如图2折叠：折痕//EF DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后，点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥． （1）证明：CF MDF ⊥平面； （2）求三棱锥M CDE -的体积． 解：（1）PD ⊥平面ABCD ，PD PCD ⊂，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，MD ⊂平面ABCD ，MD CD ⊥，MD ∴⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，CF MD ∴⊥，又 CF MF ⊥，MD ，MF ⊂平面MDF ，MD MF M =，CF ∴⊥平面MDF ．（2）CF ⊥平面MDF ，CF DF ∴⊥，又易知060PCD ∠=，030CDF ∴∠=，从而11==22CF CD ，EF DC ∥，DE CFDP CP ∴=122，DE ∴=，PE ∴=12CDE S CD DE ∆=⋅=，2MD ===，1133M CDE CDE V S MD -∆∴=⋅== 【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．（19）【2014年广东，文19，14分】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(3)3()0,n n S n n S n n n N *-+--+=∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<+++．解：（1）令1n =得：211(1)320S S ---⨯=，即21160S S +-=，11(3)(2)0S S ∴+-=，10S >，12S ∴=，即12a =．（2）由222(3)3()0nn S n n S n n -+--+=，得：2(3)()0n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，0()n a n N *>∈，0n S ∴>，从而30n S +>，2n S n n ∴=+，∴当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，又1221a ==⨯，2()n a n n N *∴=∈． （3）当k N *∈时，22313()()221644k k k k k k +>+-=-+， 111111111111131111(1)2(21)4444()()()(1)()(1)2444444k k a a k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥∴==⋅<⋅=⋅=⋅-⎢⎥++⎡⎤⎢⎥+-+-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦11221111111111()()111111(1)(1)(1)41223(1)444444n n a a a a a a n n ⎡⎤⎢⎥∴+++<-+-++-⎢⎥+++⎢⎥-----+-⎣⎦1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0111111()11434331(1)44n n =-=-<+-+-． 【点评】本题考查了数列的通项与前n 项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．（20）【2014年广东，文20，14分】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：（1）cc e a ===3a ∴=，222954b a c =-=-=，∴椭圆C 的标准方程为：22194x y +=． （2）若一切线垂直x 轴，则另一切线垂直于y 轴，则这样的点P 共4个，它们坐标分别为(3,2)-±，(3,2)±．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为00()y y k x x -=-，即00()y k x x y =-+，将之代入椭圆方程22194x y +=中并整理得：2220000(94)18()9()40k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，依题意，0∆=， 即22220000(18)()36()4(94)0k y kx y kx k ⎡⎤----+=⎣⎦，即22004()4(94)0y kx k --+=， 2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=，两切线相互垂直，121k k ∴=-，即2020419y x -=--，220013x y ∴+=， 显然(3,2)-±，(3,2)±这四点也满足以上方程，∴点P 的轨迹方程为2213x y +=．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y 关系．（21）【2014年广东，文21，14分】已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()=()2f x f ．解：（1）'2()2f x x x a =++，方程220x x a ++=的判别式：44a ∆=-，∴当1a ≥时，0∆≤，'()0f x ∴≥，此时()f x 在(,)-∞+∞上为增函数．当1a <时，方程220x xa ++=的两根为1-(,1x ∈-∞-时，'()0f x >，∴此时()f x为增函数，当(11x ∈--，'()0f x <，此时()f x 为减函数，当(1)x ∈-+∞时，'()0f x >，此时()f x 为增函数，综上，1a ≥时，()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，当1a <时，()f x 的单调增函数区间为(,1-∞-，(1)-++∞，()f x的单调递减区间为(11---．（2）3232332200000001111111111()()1()()()1()()()2332223222f x f x x ax a x x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=+++-+++=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦200011()(414712)122x x x a =-+++∴若存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =， 必须2004147120x x a +++=在11(0,)(,1)2上有解．0a <，21416(712)4(2148)0a a ∴∆=-+=->，00x >，0x ∴ 01<，即711<，492148121a ∴<-<，即2571212a -<<-，12，得54a =-，故欲使满足题意的0x 存在，则54a ≠-，∴当25557(,)(,)124412a ∈----时，存在唯一的011(0,)(,1)22x ∈满足01()()2f x f =．当2575(,][,0)12124a ⎧⎫∈-∞---⎨⎬⎩⎭时，不存在011(0,)(,1)22x ∈使01()()2f x f =．【点评】（1）求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考虑对应方程中的判别式△．（2）对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一组本数据12,,,n x x x 的方差，2222121[()()()n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 表示这组数据平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知集合，，则A.B.C.D.2、已知复数满足，则A.B.C.D.3、已知向量，则A.B.C.D.4、若变量满足约束条件，则的最大值等于A.7B.8C.10D.11 5、下列函数为奇函数的是 A.B.C.D.6、为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为A.50B.40C.25D.20 7、在中，角所对应的变分别为，则是的8、若实数满足，则曲线与曲线的A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等 9、若空间中四条两两不相同的直线满足，则下列结论一定正确的是A.B.C. 既不平行也不垂直D.位置关系不确定 10、对任意复数，定义，其中是的共轭复数.对任意复数，有如下四个命题： ① ②③④则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

2 2 2 19.解：（1）由 S n n n3 S n 3 n n 0, n N2 即 a1 a1 6 0 .解得 a1 2 或 a13 ，由于数列an 为正项数列，所以 a1 2 ；，令 n 1 ，得 S12 (1S1 6 0 ， 2 2 2 （2）由 S n n n 3 S n 3 n n 0, n N ，因式分解得 Sn 3 Sn n2 2n 0 2 2 由数列an 为正项数列可得 S n n 2n 0 ，即 S n n 2n ，当n 2 时， 2 an Sn Sn 1 n 2 2n n 1 2 n 1 2n ，由 a1 2 可得，n N ， an 2n 1 1 （3）由（2）可知 an an 1 2n 2n 1 1 1 1 1 1 1 anan 1 2n 2n 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 1 1 1; 当 n 1 时，显然有 a1 a1 1 6 3 n N 当 n 2 时， 1 1 a1 a1 1 a2 a2 1 1 an an 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= 3 2 2n 1 3 2 2 1 2 3 5 5 7 2n 1 2 n1 1 1 1 1 . 所以，对一切正整数 n ，有 a1 a1 1 a2 a2 1an an 1 3 5 c 得：a 3, b 2. 3 a 20.解：（1） x2 y2 1 椭圆方程为： 9 4 设两个切点分别为 A、B 由c 5 , e （2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即 A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P点坐标为（3,2）②当两条切线斜率均存在时，设椭圆切线斜率为 k，过点P的椭圆切线方程为 y - y 0 k ( x x0 y - y 0 k ( x x0 联立 x 2 y 2 ，得 1 49 2 2 2 2 （9k 4）x (18ky0 18k 2 x0 x 9k 2 x0 18kx0 y 0 9 y 036 0 2 2 9 k 2 2 x 0 y 0 k y 0 40 △ 0 9k 2 4 (kx0 y 0 2( x0 2 y0 4 2 x0 9 设PA、PB斜率分别为k1、k 2，则k1 k 2 又PA、PB互相垂直， k1 k 2 2 2 化简得x0 （x0 3 y0 13 2 y0 4 -1 2 x0 9 2 2 又 P（ 3,2）在x0 y0 13上点P在圆x 2 y 2 13上.21.解：（1）由 f x 1 3 f ' x x2 2 x a f ' x 0 ，令 xx 2 ax 1 ，求导得 3 2 即 x 2 x a 0 ， 4 4a ， ' ①当 0 ，即 a 1 时， f x 0 恒成立， f x 在 R 上单调递增；②当 0 ，即 a 1 时，方程 x2 2 x a 0 的两根分别为：当 x 1 当 x1 x1 1 1 a ， x2 1 1 a ，当 x , 1 1 a , f ' x 0, f x 单调递增； 1 a , 1 1 a ， f ' x 0 ， fx 单调递减； 1 a , , f ' x 0, f x 单调递增。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M （ ）A. {}2,0B. {}3,2C. {}4,3D. {}5,3（2）已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （ ）A.i 43--B. i 43+-C. i 43-D. i 43+（3）已知向量)1,3(),2,1(==b a ，则=-a b （ ）A. )1,2(-B. )1,2(-C. )0,2(D. )3,4(（4）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的最大值等于（ ）A. 7B. 8C. 10D. 115.下列函数为奇函数的是（ ） A.x x 212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.x x 22+ 6.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）A.50B.40C.25D.207.在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A sin sin ≤”的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8.若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ） A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ）A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定10.对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题：①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11—13题）11.曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________.13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos 22=与1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的直角坐标为________15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则______=∆∆的周长的周长AEF CDF三.解答题：本大题共6小题，满分80分16.(本小题满分12分)已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π= （1） 求A 的值；（2） 若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-17（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表：（1） 求这20名工人年龄的众数与极差；（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3） 求这20名工人年龄的方差.如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠，折痕EF ∥DC.其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF.（1） 证明：CF ⊥平面MDF（2） 求三棱锥M-CDE 的体积.19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222. (1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点为()0,5，离心率为35。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东模拟卷）数学（文科）试题参考答案及评分标准本试卷共5页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．用最小二乘法求线性回归方程：()()()1122211.n ni i i ii i n n ii i i x x y y x y nx y b a y bx x x x nx ====---===---∑∑∑∑，一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【原创题】已知集合{}{}210,230A x x B y y y =->=+->，则A B =A ．()1+∞，B ．()(),31-∞-+∞， C. ()1-∞， D ．()3-∞-，【命题意图：考查解简单不等式、集合运算等知识】2．【原创题】已知i 是虚数单位，则31i +=A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -【命题意图：考查复数的化简】3．【原创题】函数()()()()1,0,00,0x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则(){}1f f f -=⎡⎤⎣⎦A ．0B ．πC ．1π+D ．1【命题意图：考查分段函数求值】4．【原创题】若()=1,3a ，()=2,x b ，且1a b = ，则x =A ．0B ．13C ．1D ．13-【命题意图：考查向量及向量的数量积运算】5．【原创题】直线0x y -=截圆222210x y x y +--+=所得弦长为A ．2B ．1 C．D【命题意图：考查直线与圆的综合应用】6．【原创题】如果执行图1的程序框图，那么输出的S 是A ．6B ．24C ．120D ．720【命题意图：考查程序框图】7．【原创题】已知某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积是A．9 B．172 C．112D．1【命题意图：考查空间几何体的三视图、求表面积等知识】8．【原创题】设标量x，y满足约束条件,1,2,y xy xx k≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≤⎪⎩且目标函数2z x y=-的最大值为4，则k=A．4 B．43 C．2 D．83【命题意图：考查直线、线性规划求最优解等知识】9．【改编题】设ABC∆的内角A B C、、所对的边分别是a b c、、，若cos cos sina Bb Ac C+=，则ABC∆的形状为否A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【命题意图：考查正弦定理、三角函数的诱导公式等知识】10．【原创题】已知方程()log 0,0,1a x b a a -=>≠有且只有二个解，则A ．=1bB ．=0bC ．1b >D ．0b >【命题意图：考查函数思想与数形结合思想的应用】二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．【原创题】设32παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且3tan 4α=，则sin α= ． 【命题意图：考查同角异名三角函数求值】12．【原创题】某产品的广告费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据表如下表：根据上表得回归直线方程=9.4y x a +，据此模型预报广告费用为6万元的销售额为：_________万元.【命题意图：考查回归直线系数的计算，并能对回归直线方程进行简单应用】13．【原创题】已知数列{}n a ，满足113,21n n a a a +==+，则9=a ．【命题意图：考查递推数列】（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．【原创题】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2cos 2sin ρθθ=-的圆心O 到 直线sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离为 ． 【命题意图：考查极坐标系、直线、圆、点到直线的距离等知识】15．【原创题】（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，AD DE =,10AB =,8BD =,则DC = ．【命题意图：考查圆周角定理、相似三角形的性质等知识】三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．【原创题】（本小题满分12分）已知函数()cos2cos f x x x x =-⋅．（1）求()f x 最小正周期及最值；（2）若2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且()2f α=，求()3f πα+的值. 【命题意图：考查三角函数的化简、三角函数的周期性与最值、同角三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力】17．【原创题】（本小题满分12分）为了解某地区用电高峰期居民的用电量，抽取一个容量为200的样本，记录某天各户居民的用电量（单位：度），制成频率分布直方图，如图4.（1） 求样本数据落在区间[10,12]内的频数；（2） 若打算从[4,6)和[6,8)这两组中按分层抽样抽取4户居民作进一步了解，问各组分别抽取多少人？（3） 在（2）的基础上，为答谢上述4户居民的参与配合，从中再随机选取2户居民发放奖品，求这2户居民来不同组的概率是多少？【命题意图：考查统计、分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识】18．【原创题】（本小题满分14分）如图5，在四棱锥P ABCDCD AB=,平面⊥,2-中，AB CD,AB AD⊥.E和F分别是CD和PC的中点.PAD⊥平面ABCD，PA AD（1）求证：PA⊥底面ABCD;（2）求证：BE平面PAD;（3）若2AB=,3PA=,1-的体积．AD=,求三棱锥B EFC【命题意图：考查空间线面关系、求几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力】19．【原创题】本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n S n ,*n ∈N ，数列{}n b 满足：2n n n b a =⋅，且{}n b 的前n 项和记为n T ．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）证明：对任意*n ∈N ，2n T ≥恒成立.【命题意图：考查等差数列、错位相减法求数列的前n 项和、不等式、恒成立等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识】20．【改编题】（本小题满分14分）已知直线:1l x my =+过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点F ，抛物线2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴与点M ，且1MA AF λ=,2MB BF λ=,当m 变化时，12λλ+是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【命题意图：考查直线、椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力】21．【改编题】（本小题满分14分）已知函数()()3221132af x x a x ax =+--． （1）若曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为820x y +-=，求a 的值；（2）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值；（3）若=1a 时，存在实数m ，使得方程()f x m =恰好有三个不同的解，求m 的取值范围.【命题意图：考查函数的导数、曲线的切线方程、函数的极值、函数的单调性、函数的图象等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识】2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东模拟卷）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分）（本小题主要考查三角函数的化简、三角函数的周期性与最值、同角三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）1()cos2cos=2sin2cos2=2sin226f x x x x x x xπ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⋅--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…3分所以2=2T ππ=．…………………………………………………………………………………………4分()max 2f x =⎡⎤⎣⎦;()min 2f x =-⎡⎤⎣⎦.………………………………………………………………………6分（2）由（1）得，()2sin 2=26f παα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得：sin 2=16πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即32=2,62k k Z ππαπ-+∈．得：5=,6k k Z παπ+∈…………………8分 又因为2παπ<<，所以5=6πα.………………………………………………………………………10分577()()=()=2sin 2363666f f f ππππππα⎛⎫+=+-⋅- ⎪⎝⎭=132sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭=2sin 6π-=12=12-⋅-……………………………………………………………………………………12分17．（本小题满分）（本小题主要考查统计、分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）解：（1）数据落在区间[10,12]的频率为：()10.0220.0520.1520.192=0.18-⨯+⨯+⨯+⨯……2分数据落在区间[10,12]的频数为：2000.18=36⨯人. …………………………………………………4分（2）数据落在区间[4,6）的频数为：2000.052=20⨯⨯人；数据落在区间[6,8）的频数为：2000.152=60⨯⨯人.二组频数之比为1:3，……………………………………………………………………………………6分故：从用电量在区间[4,6）度中抽取的人数为：1⨯4=14人；………………………………………7分从用电量在区间[6,8）度中抽取的人数为：3⨯4=34人；……………………………………………8分（3）记“这2户居民来自不同组”为事件A，用电量在区间[6,8）度中的3人编号为：1、2、3用电量在区间[4,6）度中的1人编号为：a………………………………………………………9分则从4户居民中依次随机抽取2户的基本事件有：()1,a，1,3，()1,2，()()2,a，2,3，()()3,a共6种. ………………………………………………………………………………………10分事件B包含的基本事件有：()3,a，共3 1,a，()2,a，()种. ………………………………………………………………11分则31()62P B ==．所以从4户居民中随机抽取2户，抽到的2户居民来自不同组的概率为12．………………12分18．（本小题满分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：PAD ABCD ⊥面面,且=PAD ABCD AD 面面 又PA AD ⊥PA ABCD ∴⊥面………………………………………………………………………………………4分（2）证明：由已知得：AB DE ,ABCD ∴四边形为平行四边形.………………………………6分BEAD ∴，又AD PAD ⊂面，BE PAD ⊄面BEPAD ∴面……………………………………………………………………………………………8分（3）解：B EFC F BEC V V --=，且点F 到平面ABCD 的距离等于PA 的一半. ………………………10分1131=13322B EFC F BEC BEC V V S h --=⨯=⨯⨯=.故几何体ABFED的体积为12．………………………………………………………………………14分19．（本小题满分）（本小题主要考查等差数列、错位相减法求数列的前n 项和、不等式、恒成立等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）解：（1）当1n =时，111a S ==；…………………………………………………………………2分 当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=- (4)分21n a n ∴=-，*n N ∈ ………………………………………………………………………………6分()212nn b n ∴=-⋅，*n N ∈…………………………………………………………………………8分（2）123n n T b b b b =++++即()123123252212n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅------------○1○1⨯2：2()2341123252212n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ -----------------○2 ○1-○2：()12312222222212n n n T n +-=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-- ()()123122222212n n n +=+++⋅⋅⋅+-- ()()114122221212n n n -+-=+---()6426n n =--……………………………………………………………………………12分()4626n n T n ∴=-+n T 随着n 的增大而增大，12n T T ∴≥=, 2n T ∴≥，对任意n N *∈恒成立. …………………………………………………………………………14分20．（本小题满分）（本小题主要考查直线、椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：因直线:1l x my =+过椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的右焦点F ，令0y =得1x =，所以()1,0F ，即1c =，又抛物线的焦点坐标为()0,3，，所以b =………………………………………1分由222a b c =+得：24a =，…………………………………………………………………………………2分 所以椭圆C的方程为：22143x y += ………………………………………………………………………4分（2）证明：由题意知0m ≠，且直线l 交y 轴于点10M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，………………………………………5分设直线l 交椭圆于点()11,A x y ，()22,B x y .联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690my my ++-=.所以()()()222=6363414410m m m ++=+>，由根与系数的关系知：122634my y m +=-+，122934y y m ⋅=-+.………………………………………………………………9分又由1MA AF λ=得()111111,1,x y x y m λ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，所以111=1my λ--， 同理，221=1my λ--，所以1212111=2m y y λλ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭…………………………………………11分因为1222121211692===34343y y m my y y y m m +⎛⎫+-⋅- ⎪⋅++⎝⎭，…………………………………………12分所以1212111=2m y y λλ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭=12128=233m m λλ+--=-. 即当m变化时，12λλ+为定值83-.…………………………………………………………………14分21．（本小题满分）（本小题主要考查函数的导数、曲线的切线方程、函数的极值、函数的单调性、函数的图象等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）解：（1）因为()()221f x ax a x a '=+-- 由题意可得()()211=8f a a a '=+---，2=9a ，解得=3a ±.………………………………………2分当=3a 时，()3243f x x x x =--，()16f =-，()2383f x x x '=+--，()18f '=-， 故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()681y x +=--.即820x y +-=；当=3a -时，()3243f x x x x =--+，()12f =-，切点为()1,2-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()281y x +=--.即860x y +-=不合题意舍去.综上，=3a .……………………………………………………………………………………………………4分 （2）()()221f x ax a x a '=+--=()()1x a ax -+=()1a x a x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.……………………………5分 分二种情况讨论：当0a >时，令()0f x '=，解得11x a=-，2x a =.当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为增函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为减函数. ……………6分函数()f x 在2x a =处取得极小值()f a ，且()f a =()3224211113262a a a a a a a a ⨯+--⨯=--，函数()f x 在11x a=-出取得极大值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()3221111=1132a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21162a =+.………………………………………………………………………………………………………7分当0a <时，令()0f x '=，解得1x a =，21x a=-，当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间(),a -∞，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数. ………………8分函数()f x 在1x a =处取得极小值()f a ，且()f a =()3224211113262a a a a a a a a ⨯+--⨯=--，函数()f x 在21x a=-处取得极大值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()32211111=132a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21162a =+.…………………………………………………………………………………………………10分（3）当=1a 时，()313f x x x =-，()2=1f x x '-，由（2）知()313f x x x =-在区间()1-∞-，，()1+∞，内为增函数，在区间()11-，内为减函数. ………………………………………………………11分 函数()f x 在21x =处取得极小值()1f ，且()1121=623f --=-，…………………………………12分函数()f x 在11x =-处取得极大值()1f -，且()1121=623f --=，…………………………………13分 如图，分别作出()313f x x x =-与直线x m =的图象，从图象上可以看出当2233x -<<时，两个函数的图象有三个不同的交点，即方程()f x m =有三个不同的解.故m 的取值范围是2233⎛⎫- ⎪⎝⎭，.……………………………………………………………………………14分。

2014年普通高等学校招生全国统一模拟考试（广东卷）数 学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为 A ．2- B ．1- C ．0 D ．22．集合M ＝{}R y x x x y x ∈++-=,,762，N ＝{}R y x x x y y ∈++-=,,762，则集合M N ⋂＝ A ．∅ B ．[－1，4] C ．[－1，7] D ．[0，4] 3．右茎叶图是第十五届全国青年歌手电视大奖赛决赛上十五位评委给某民族唱法选手的所有打分，按照比赛规则，去掉一个最高分和一个最低分，该选手的最终得分是A ．88B ．89C ．90D ．91 4．偶函数)(x f y =当),0( ∞+∈x 时，1)(-=x x f ，则0)1(<-x f 的解集是 A ．[－1，1] B ．[0，1] C ．[0，2] D ．∅ 5．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸 （单位：cm ），可得这个几何体的体积是A ．343cm B ．383cm C ．32cm D ．34cm6．已知a ，b 是实数，则“a +b >0且ab >0”是“a >0且b >0”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．实数y x ,满足不等式组20206318x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，且()0z ax y a =+>取得最小值的最优解有无穷多个, 则实数a的取值范围是A ．2B ． 1C ． 45-D ． 无法确定 8．设f’(x )是函数f (x )的导函数，y = f’(x )的图象如图3所示，则y = f (x )的图象最有可能的是9．设S n 是等比数列{a n }前n 项的乘积，若a 9＝1，则下面的等式中正确的是 A ．S 1＝S 19 B ．S 3＝S 17 C ．S 5＝S 12 D ．S 8＝S 1110．某中学要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表. 那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为7 9 08 9 8 4 99 5 4 5 2 0 4 3 1 2xyo1 2()y f x =xyo12()y f x =xyo 12()y f x =xyo 1 2()y f x =xy o'()y f x = 2 正视图俯视图22侧视图211 2 图2A B C D 图3图1A ．3[]10x y +=B ．4[]10x y +=C ．5[]10x y += D ．[]10xy =二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．图4所示的程序框图的输出结果为 .12．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为 . 13．请判断以下给出的所有命题：①使“1lg <m ”成立的一个充分不必要条件．．．．．．．是),0(+∞∈m ； ②给出一组向量12(5,7),(1,2)==-e e ，它们可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；③函数x y 2sin =的图象向左平移3π个单位后，得到函数)32sin(π+=x y 图象；④若,,m m l l αβ⊥⊂P 且,m β⊄则αβ⊥；⑤函数(2)f x -的定义域是[1,3]，则函数(21)f x +的定义域是[0,1]. 其中属于假命题．．．的有 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 ．15.（几何证明选讲选做题）如图5,△ABC 的外角平分线AD 交外接圆于D ,4BD =， 则CD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，4cos 5B =. （1）求cos()AC +的值；（2）求sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （3）若20BA BC =u u u r u u u rg ，求ABC ∆的面积.图4图517．（本小题满分12分）某完全中学高中部共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级 高二年级高三年级女生 373 x y 男生377370z已知在全校高中学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19. （1） 求x 的值；（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，求在高三年级抽取的人数； （3） 已知y ≥245，z ≥245，求高三年级中女生比男生多的概率.18．(本小题满分14分)如图6所示，圆柱的高为2，P A 是圆柱的母线， 四边形ABCD 为矩形， AB =2，BC =4，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点. （1）求证：PB //面EFG ；（2）求证：平面PDC ⊥平面P AD ；（3）在线段BC 上是否存在一点M ，使得D 到平面P AM 的距离为2？若存在，求出BM ；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分14分） 已知二次函数 )(x f 的最小值为－4，且关于x 的不等式0)(≤x f 的解集为{}R x x x ∈≤≤- ,31|. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数x xx f x g ln 4)()(-=的零点个数.图620．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b na n N ---=+∈L (1)11*444(1)()nnb b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列； （3）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈.21．（本小题满分14分）已知抛物线21:8C y x =与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =．（1）求双曲线2C 的方程；（2）以双曲线2C 的另一焦点1F 为圆心的圆M与直线y =相切，圆N ：22(2)1x y -+=．过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．st是否为定值？请说明理由．2014年普通高等学校招生全国统一模拟考试（广东卷）数学（文科）试题A 参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDCCBABDCA二、填空题：11．1006201312.3或5 13.①③⑤ （第12和13题漏填不得分）14．2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=，cos 3sin 1ρθρθ+=） 15. 4三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质、三角函数基本关系、两角和的正弦、向量运算和三角形面积公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法以及运算求解能力）解：(1)在ABC ∆中，∵A B C π++=,∴A C B π+=- ………………1分 ∵4cos 5B =,∴4cos()cos()cos 5A CB B π+=-=-=- ………………3分 (2) 在ABC ∆中，∵4cos 5B =，∴2243sin 1cos 155B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭………………5分 ∴sin sin cos sin cos 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭3314334522510+=⨯+⨯= ………………8分 (3) ∵20BA BC =u u u r u u u r g ，即cos 20BA BC B =u u u r u u u r， ………………9分∴4205c a ⋅⨯=，即25ac = ………………10分 ∴ABC ∆的面积11315sin 252252ABC S ac B ∆==⨯⨯= ………………12分 17. （本小题满分12分）（本小题主要考查概率与统计的概念，考查运算求解能力等．） 解（1）∵0.192000x= ∴ 380x = ………………3分 （2）高三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500， …………………5分现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：48500122000⨯= 名； ………………7分 （3）设高三年级女生比男生多的事件为A ，高三年级女生男生数记为（y ，z ）； 由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：（245，255），（246，254），（247，253），（248，252），（249，251），（250，250），（251，249）， （252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共11个； …………………9分事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个,∴ 5()11P A =. ………………12分18. （本小题满分14分）（本小题主要考查几何体体积，空间线线、线面关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．） （1）证明：取AB 中点H ，连结GH ，HE ，数学（文科）参考答案及评分标准A 第1页（共4页）∵E ，F ，G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点， ∴GH//AD//EF ，∴E ，F ，G ，H 四点共面。

广东省 2014 届高考备考冲刺模拟试题（二） 数学（文科）本试卷共 5 页，21 小题， 满分 150 分．考试用时 120 分钟 参考公式：锥体的体积公式 V 1 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 3用最小二乘法求线性回归方程： b   x  x  y  y   x y  nx yn n i 1 i i x  xn i 1 i2i 1 niixi 12 i nx2，a  y  bx.本试卷共6页，21小题，试卷满分：150分。

考试用时：l20分钟。

一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。

2 1.集合 A  x  N x  3 x  18  0 ， B  2,8 ,则 A  B =（)A. 2,6B.  3,8 C. 2,3,4,5D. 6,7【原创】考察一元二次不等式的解法，特殊数集的记忆，区间的理解，集合的运算。

2.复数 z  2  3i 的共轭复数记为 z ，则z 的实部是 i（）A.2 B.-2 C.3 D.-3 【原创】考察复数概念、共轭复数概念，以及复数乘除法运算。

3.向量 a  (1 , 1) ， b  (2 ,  3) ，若 k a  2b 与 a 垂直，则实数 k =（ A．1 B．－1 C．0 D．-2 ）【原创】考察向量的坐标运算以及向量垂直。

4.给出下列四个函数： y  x 3 ， y  ( ) x ， y  ln x ， y  sin x ，其中既是奇函数，又在 0, 上是增函 数的有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 【原创】考察基本初等函数的基本性质。

13 2D．3 个5.若 m, n, r 为正整数，在等比数列 a n  中：“ r 是 m 和 n 的等差中项”是“ ar 是 a m 和 （ ） A.充分必要条件 B.必要非充分条件an的等比中项”成立的C.充分非必要条件 D.既不充分也不必要条件 【原创】考察逻辑推理与证明。