2020年高考文科数学复习要点

§1.4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定概念方法微思考含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题“3≥2”是真命题．( √ ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ ) (3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．( × ) (4)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 都是真命题．( √ ) 题组二 教材改编2．[P11练习T3]已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为________． 答案 2解析 p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题． 3．[P15例1]命题“∃x ∈N ，x 2≤0”的否定是____________． 答案 ∀x ∈N ，x 2>04．[P21测试T6]命题“对于函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”) 答案 真解析 当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数． 题组三 易错自纠5．命题“綈p 为真”是命题“p ∧q 为假”的________条件． 答案 充分不必要解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假．故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．6．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∃x∈R，lg x＝1；②∃x∈R，sin x＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.答案③解析当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x<0时，x3<0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．7．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，－2]解析由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 答案 ① 解析 如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．2．已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )．答案 ②解析 ∵x >0，∴x ＋1>1，∴ln(x ＋1)>ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a >b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2<b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题． 3．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题，其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上) 答案 ②③解析 因为对任意实数x ，|sin x |≤1，而52>1，所以p 为假；因为x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，所以q 为真．故②③正确．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假． 题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假 例1 下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13x ； ②∃x ∈(0,1)，1123log log x x >；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x>12log x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <13log x . 其中真命题序号为________． 答案 ②④解析 对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝⎛⎭⎫12x >⎝⎛⎭⎫13x成立，故①是假命题；对于②，当x ＝12时，有1112331111log log log 232==>成立，故②是真命题；对于③，当0<x <12时，12log x >1>⎝⎛⎭⎫12x ，故③是假命题； 对于④，∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <1<13log x ，故④是真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定例2 (1)命题：“∃x ∈R ，sin x ＋cos x >2”的否定是________________． 答案 ∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2(2)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是__________． 答案 ∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x 0，使p (x 0)成立． (2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练1 (1)设命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ；命题q ：∃x ∈(－∞，0)，3x >2x ，则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 ∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，所以命题p 为真命题；∀x ∈(－∞，0)，3x <2x ，所以命题q 为假命题，因此p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )为假命题，p ∧(綈q )为真命题，故填②. (2)已知命题p ：∃x >1,2x >4，綈p 是：______________. 答案 ∀x >1,2x ≤4解析 因为命题p ：∃x >1,2x >4，是一个存在性命题，所以綈p 是：∀x >1,2x ≤4. (3)已知命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题，则a 的取值范围是________． 答案 [0，＋∞)解析 因为命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题， 所以e x ＋a ≥0恒成立，所以a ≥(－e x )max 的最大值． ∵－e x <0，∴a ≥0.题型三 命题中参数的取值范围例3 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 答案 [e,4]解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2 (1)(2018·苏北三市期末)由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 1解析 由题意得命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题， 所以Δ＝4－4m <0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞) 解析 由命题p 为真知，0<c <1， 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，2≤x ＋1x ≤52， 要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，即由命题q 为真，知c >12.若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c >1.综上可知，c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)．常用逻辑用语有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)①∀x∈R，－x2＋x－1<0；②∀x∈R，|x|>x；③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.答案①解析命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．(2)已知命题p：∀x∈R,3x<5x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①p∧q；②(綈p)∧q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．答案②解析若x＝0，则30＝50＝1，∴p是假命题，∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题，∴(綈p)∧q是真命题．二、充要条件的判断例2 (1)设命题p ：x >4；命题q ：x 2－5x ＋4≥0，那么p 是q 的________条件． 答案 充分不必要解析 命题q ：x 2－5x ＋4≥0⇔x ≤1或x ≥4， ∵命题p ：x >4，∴p 是q 的充分不必要条件．(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r <3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的________条件． 答案 充要解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1.又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0<r <3，故p 是q 的充要条件．三、求参数的取值范围例3 (1)若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.(2)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)·(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，可得m ≤－1， 由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2， 因为p ∧q 为假命题，所以p ，q 中至少有一个为假命题， 当p 真q 假时，m ≤－2；当p假q真时，－1<m<2；当p假q假时，m≥2，所以m≤－2或m>－1.1．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则下列判断正确的是________．(填序号)①p∨q为真；②p∧q为真；③p真q假；④p∨q为假．答案④解析∵p假，q假，∴p∨q为假．2．命题“∃x∈R，x2－2x＋1≤0”的否定形式为________．答案∀x∈R，x2－2x＋1>0解析∵命题是存在性命题，∴根据存在性命题的否定是全称命题，命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0”的否定形式为：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1>0.3．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为___________． 答案 ∃x ∈(0，＋∞)，x ≤x ＋1解析 因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可． 4．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是________．(填序号) ①锐角三角形有一个内角是钝角； ②至少有一个实数x ，使x 2≤0； ③两个无理数的和必是无理数； ④存在一个负数x ，1x >2.答案 ②解析 ①中锐角三角形的内角都是锐角，所以①是假命题；②中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以②既是存在性命题又是真命题；③是全称命题，又是假命题；④中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以④是假命题．5．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∨(綈q )；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 p 是假命题，q 是真命题，所以②正确．6．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下列为真命题的是______．(填序号) ①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q . 答案 ②解析 当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2， 此时，a x <log a x ，故p 为假命题． 命题q ，由等差数列的性质可知， 当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题． 7．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________． 答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]． 8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3.9．若∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－∞，22]解析 因为∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤22，92，当且仅当x ＝22时，f (x )min ＝22，所以λ≤2 2. 10．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是_________． 答案 (－∞，0)∪(4，＋∞)解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4. 11．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 答案 0解析 若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0. 12．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案0解析∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2＋1≥1，∴③为假命题；4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.13．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．现有以下结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题．其中正确结论的序号为____________．答案 ①②③④解析 ∵命题p ，q 均为真命题，∴“p 且q ”是真命题，“p 且綈q ”是假命题，“綈p 或q ”是真命题，“綈p 或綈q ”是假命题，故①②③④都正确．14．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0，设f (x )＝e xx ，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx 在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e xx 的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2. 所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值范围是______________． 答案 (－∞，－3]解析 由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3. 16．已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫817，1解析 ∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，即m <2x x 2＋1＝2x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤14，12上恒成立， 当x ＝14时，⎝⎛⎭⎫x ＋1x max ＝174，∴⎝⎛⎭⎫2x x 2＋1min ＝817，∴由p 真得m <817. 设t ＝2x ，则t ∈(0，＋∞)，则函数f (x )化为g (t )＝t 2＋2t ＋m －1，由题意知g (t )在(0，＋∞)上存在零点，令g (t )＝0，得m ＝－(t ＋1)2＋2，又t >0，所以由q 真得m <1. 又“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p ，q 一真一假， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥817，m <1或⎩⎪⎨⎪⎧m <817，m ≥1，解得817≤m <1.故所求实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫817，1.。

高三数学文科学习知识点高三数学文科学习知识点11.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N_或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N_(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.高三数学文科学习知识点2一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

§6.5数列求和考情考向分析本节以考查分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法求数列前n项和为主，识别出等差(比)数列，直接用公式法也是考查的热点．题型以填空题为主，难度中等．解答题中一般和简单数论结合，难度较大．1．(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2；(2)等差数列前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2，推导方法：倒序相加法；(3)等比数列前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.推导方法：错位相减法． 2．常见数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；(2)2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； (3)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.3．数列求和的常见方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(2)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；(4)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．概念方法微思考请思考以下常见式子的裂项方法．(1)1n(n＋1)；(2)1(2n －1)(2n ＋1)； (3)1n ＋n ＋1；(4)1n (n ＋1)(n ＋2). 提示 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(4)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1.( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序相加法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )(5)如果数列{a n }是周期为k 的周期数列，那么S km ＝mS k (m ，k 为大于1的正整数)．( √ ) 题组二 教材改编2．[P69本章测试T12]等比数列1,2,4,8，…中从第5项到第10项的和为________． 答案 1 008解析 由a 1＝1，a 2＝2，得q ＝2， ∴S 10＝1×(1－210)1－2＝1 023，S 4＝1×(1－24)1－2＝15，∴S 10－S 4＝1 008.3．[P68复习题T13(2)]已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则该数列的前________项之和等于9. 答案 99解析 由题意知，a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝9，解得n ＝99. 4．[P62习题T12]1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝________(x ≠0且x ≠1)． 答案 1－x n (1－x )2－nx n1－x解析 设S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1，① 则xS n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，②①－②得(1－x )S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －1－nx n ＝1－x n 1－x －nx n ， ∴S n ＝1－x n (1－x )2－nx n1－x .题组三 易错自纠5．一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是________________． 答案 100＋200(1－2－9)解析 第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×2－1(1－2－9)1－2－1＝100＋200(1－2－9)． 6．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案 1 008解析 因为数列a n ＝n cos n π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2.a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8， 故a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，∴周期T ＝4. ∴S 2 017＝S 2 016＋a 2 017 ＝2 0164×2＋2 017·cos 2 0172π＝1 008. 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31＝______. 答案 －76解析 S n＝⎩⎨⎧n2×(－4)，n 为偶数，n －12×(－4)＋4n －3，n 为奇数，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ，n 为偶数，2n －1，n 为奇数，∴S 15＝29，S 22＝－44，S 31＝61， ∴S 15＋S 22－S 31＝－76.题型一 分组求和与并项求和例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2(n ∈N *)． 引申探究本例(2)中，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 由(1)知b n ＝2n ＋(－1)n n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ] ＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52.∴T n＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.思维升华 分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．跟踪训练1 (2018·苏州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)若数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3， 即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12.(2)由a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)， 得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)． 两式相减得a n ＋2－a n ＝4，所以数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列，数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列．由a 2＋a 1＝1，a 1＝2，得a 2＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为奇数，2n －5，n 为偶数.①当n 为奇数时，a n ＝2n ，a n ＋1＝2n －3. S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －2＋a n －1)＋a n ＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n＝n －12×(1＋4n －11)2＋2n ＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n2.所以S n＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2，n 为偶数.题型二 错位相减法求和例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n . (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若a k ＋1，a 2k ，a 2k ＋3(k ∈N *)恰好依次为等比数列{b n }的第一、第二、第三项，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n b n 的前n 项和T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋1＝2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n .检验n ＝1时，上式符合， ∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由题意知a k ＋1，a 2k ，a 2k ＋3成等比数列， ∴a 22k ＝a k ＋1·a 2k ＋3， 即(2·2k )2＝2(k ＋1)·2(2k ＋3)， 解得k ＝3(负值舍去)．b 1＝a 4＝8，b 2＝a 6＝12，公比q ＝128＝32，∴b n ＝8·⎝⎛⎭⎫32n －1， ∴n b n ＝18n ·⎝⎛⎭⎫23n －1， ∴T n ＝18×⎝⎛⎭⎫230＋18×2×⎝⎛⎭⎫231＋…＋18×n ×⎝⎛⎭⎫23n －1， 即T n ＝18×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫23n －1.① 上式两边乘以23，得23T n ＝18×⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫231＋2×⎝⎛⎭⎫232＋…＋⎦⎤(n －1)×⎝⎛⎭⎫23n －1＋n ×⎝⎛⎭⎫23n .② ①－②，得13T n ＝18×⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫230＋⎝⎛⎭⎫231＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －1－18n ⎝⎛⎭⎫23n ＝38－3＋n 8⎝⎛⎭⎫23n ，则T n ＝98－9＋3n 8⎝⎛⎭⎫23n(n ∈N *)．思维升华 形如{a n ·b n }(其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列)的数列可用错位相减法求和． 跟踪训练2 已知数列{a n }满足a n ≠0，a 1＝13，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知可得，1a n ＋1－1a n＝2，1a 1＝3，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为3，公差为2的等差数列， ∴1a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，∴a n ＝12n ＋1(n ∈N *)． (2)由(1)知b n ＝(2n ＋1)2n ，∴T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)2n －1＋(2n ＋1)2n ， 2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，两式相减得，－T n ＝6＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)2n ＋1. ＝6＋8－8×2n －11－2－(2n ＋1)2n ＋1＝－2－(2n －1)2n ＋1，∴T n ＝2＋(2n －1)2n ＋1(n ∈N *)．题型三 裂项相消法求和例3 (2018·江苏省启东中学月考)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n a n ＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)． (1)求a 2 019的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＝1a n a n －1＋a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为a n a n ＋1＝2(S n ＋1)， 所以当n ≥2时，a n －1a n ＝2(S n －1＋1)， 两式相减，得a n a n ＋1－a n －1a n ＝2a n ，a n ≠0， 所以a n ＋1－a n －1＝2.又a 1＝2，所以a 2 019＝2＋2 019－12×2＝2 020.(2)由a n a n ＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，当n ＝1时，a 1a 2＝2(a 1＋1)，即2a 2＝2×3，解得a 2＝3. 由a n ＋1－a n －1＝2，可得数列{a n }的奇数项与偶数项都成等差数列，公差为2，所以a 2k －1＝2＋2(k －1)＝2k ，k ∈N *，a 2k ＝3＋2(k －1)＝2k ＋1，k ∈N *， 所以a n ＝n ＋1.(3)因为数列{b n }满足b 1＝1，b n ＝1a n a n －1＋a n －1a n ＝1(n ＋1)n ＋n n ＋1＝(n ＋1)n －n n ＋1n (n ＋1)＝nn －n ＋1n ＋1， 所以{b n }的前n 项和 T n ＝⎝⎛⎭⎫1－22＋⎝⎛⎭⎫22－33＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫nn－n ＋1n ＋1 ＝1－n ＋1n ＋1. 思维升华 裂项相消法的关键是对通项拆分，要注意相消后剩余的项．跟踪训练3 已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足：b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前10项和S 10＝________. 答案1011解析 由a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，得1a n ＋1－1a n＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n .因为b n ＝a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝1－111＝1011.1．正项等差数列{a n }满足a 1＝4，且a 2，a 4＋2,2a 7－8成等比数列，{a n }的前n 项和为S n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1S n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d (d >0)， 由已知得a 2(2a 7－8)＝(a 4＋2)2，化简得，d 2＋4d －12＝0，解得d ＝2或d ＝－6(舍)， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2(n ∈N *)． (2)因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2n ＋6)2＝n 2＋3n ，所以b n ＝1S n ＋2＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n2n ＋4(n ∈N *)． 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1(n ∈N *)，b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n (n ＋2)，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2(1－4n )1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)(n ∈N *)．3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝0，其前n 项和为S n ，且a 2＋2，S 3，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋2)22n ＋S n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n －2n <32.(1)解 由a 1＝0，得a n ＝(n －1)d ，S n ＝n (n －1)d2，因为a 2＋2，S 3，S 4成等比数列， 所以S 23＝(a 2＋2)S 4， 即(3d )2＝(d ＋2)·6d ，整理得3d 2－12d ＝0，即d 2－4d ＝0， 因为d ≠0，所以d ＝4，所以a n ＝(n －1)d ＝4(n －1)＝4n －4(n ∈N *)． (2)证明 由(1)可得S n ＋1＝2n (n ＋1)，所以b n ＝(2n ＋2)22n ＋2n (n ＋1)＝4(n ＋1)22n (n ＋2)＝2＋2n (n ＋2)＝2＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝2n ＋⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝2n ＋1＋12－1n ＋1－1n ＋2，T n －2n ＝32－1n ＋1－1n ＋2，所以T n －2n <32.4．已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝12log n n a a ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28，a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12，∵{a n }是递增数列，∴a 1＝2，q ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)∵b n ＝12log n n a a ＝2n ·12log 2n ＝－n ·2n ， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，① 则2S n ＝－(1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1)，②②－①，得S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1， 则S n ＋n ·2n ＋1＝2n ＋1－2， 解2n ＋1－2>62，得n >5， ∴n 的最小值为6.5．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，(2n －1)a n ＋1＝(2n ＋3)S n (n ＝1,2,3，…)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n －1是等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋32n －1S n， ∴S n ＋1＝2(2n ＋1)2n －1S n ，∴S n ＋12n ＋1＝2·S n2n －1， 又a 1＝1，∴S 11＝1≠0，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n －1是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)解 由(1)知，S n 2n －1＝2n －1， ∴S n ＝(2n －1)·2n －1，∴T n ＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·2n －2＋(2n －1)·2n －1，① 2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n .② ①－②得－T n ＝1＋2×(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝1＋2×2－2n －1×21－2－(2n －1)·2n＝(3－2n )·2n －3，∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3(n ∈N *)．6．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N*,2S n＝a2n＋a n.令b n＝1a n a n＋1＋a n＋1a n，设{b n}的前n项和为T n，求在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数．解∵2S n＝a2n＋a n，①∴2S n＋1＝a2n＋1＋a n＋1，②②－①，得2a n＋1＝a2n＋1＋a n＋1－a2n－a n，a2n＋1－a2n－a n＋1－a n＝0，(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n－1)＝0.又∵{a n}为正项数列，∴a n＋1－a n－1＝0，即a n＋1－a n＝1.在2S n＝a2n＋a n中，令n＝1，可得a1＝1.∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴a n＝n，∴b n＝1n n＋1＋(n＋1)n＝(n＋1)n－n n＋1[n n＋1＋(n＋1)n][(n＋1)n－n n＋1]＝(n＋1)n－n n＋1n(n＋1)＝1n－1n＋1，∴T n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1＝1－1n＋1，要使T n为有理数，只需1n＋1为有理数，令n＋1＝t2.∵1≤n≤100，∴n＝3,8,15,24,35,48,63,80,99，共9个数，∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9.。

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互集合与简易逻辑知识回顾：（一）集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.3⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题⇔逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题⇔逆否命题. 二含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.含绝对值不等式的解法1公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2定义法：用“零点分区间法”分类讨论.3几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例①一元一次不等式ax>b 解的讨论；21、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题; 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题; 构成复合命题的形式：p 或q 记作“p ∨q ”；p 且q 记作“p ∧q ”；非p 记作“┑q ”;3、“或”、“且”、“非”的真值判断 1“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； 2“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假； 3“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真．4、四种命题的形式：原命题：若P 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p;6、如果已知p ⇒q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件; 若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件,记为pq.函数知识回顾：（一）映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二函数的性质 ⒈函数的单调性定义：对于函数fx 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1<x 2时,都有fx 1<fx 2,则说fx 在这个区间上是增函数； ⑵若当x 1<x 2时,都有fx 1>fx 2,则说fx 在这个区间上是减函数.若函数y=fx 在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=fx 在这一区间具有严格的单调性,这一区间叫做函数y=fx 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性4.判断函数单调性定义作差法：对带根号的一定要分子有理化,例如：指数函数与对数函数指数函数及其性质y=a x a>0,a≠122122212122222121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-）（1)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a nn2)0(10≠=a a 3).0(1*∈≠=-N p a aa p p 4)1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m nm且5nm nm aa1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 9),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅= 对数函数及其性质y=log a x a>0,a≠1的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等..函数值域的求法：①配方法二次或四次；②“判别式法”；③换元法；④不等式法；⑤函数的单调性法.数列①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a 2≥n⑶看数列是不是等比数列有以下方法： ①,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112-+⋅=n n n a a a 2≥n ,011≠-+n n n a a a ①在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：1当1a >0,d<0时,满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值.2当1a <0,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+01m m a a 的项数m 使得m s 取最小值;三、数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列;2.裂项相消法:适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{n a }是各项不为0的等差数列,c 为常数； 3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{n a }是等差数列,{}n b 是各项不为0的等比数列; 4.倒序相加法:类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.5.常用结论111)1(1+-=+n n n n )211(21)2(1+-=+n n n n三角函数2、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin =1cos sin 22=+αα3、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式：一基本关系②)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y 0≠ω的周期ω2=T .④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x Zk ∈,对称中心0,πk ；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =Zk ∈,对称中心0,21ππ+k ；)tan(ϕω+=x y 的对称中心0,2πk . 奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称奇偶都要,二是满足奇偶性条件,偶函数：)()(x f x f =-,奇函数：)()(x f x f -=-奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：x y tan =是奇函数,)31tan(π+=x y 是非奇非偶.定义域不关于原点对称奇函数特有性质：若x ∈0的定义域,则)(x f 一定有0)0(=f .x ∉0的定义域,则无此性质⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数π=T x y cos =是周期函数如图；xy cos =为周期函数π=T 212cos +=x y 的周期为π如图,并非所有周期函数都有最小正周期,例如：y=|cos2x +1/2|图象R k k x f x f y ∈+===),(5)(.三角函数图象的作法：1、描点法及其特例——五点作图法正、余弦曲线,三点二线作图法正、余切曲线.2、利用图象变换作三角函数图象．平面向量向量的概念1向量的基本要素：大小和方向.2向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a ；坐标表示法a ＝ｘｉ＋ｙj ＝ｘ,ｙ. 3向量的长度：即向量的大小,记作｜a ｜. 4特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.5相等的向量：大小相等,方向相同ｘ1,ｙ1＝ｘ2,ｙ2⎩⎨⎧==⇔2121y y x x6相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =07平行向量共线向量：方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则向量的 减法三角形法则AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ= 2.λ>0时,a a λ与同向;λ<0时,a a λ与异向;λ=0时,0a λ=.向 量 的 数 量 积a b •是一个数1.00a b ==或时,0a b •=.2.00||||cos(,)a b a b a b a b ≠≠=且时，4.重要定理、公式1平面向量基本定理e 1,e 2是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ1, λ2,使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λbb ≠0⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. 3两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O.中点公式OP ＝211OP ＋2OP 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x 正、余弦定理:a /sinA=b /sinB=c /sinC=2R 其中R 为三角形外接圆的半径余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ,c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 三角形面积计算公式：1S ＝ah/22.已知三角形三边a,b,c,则S=√pp -ap-bp-c=1/4√a+b+ca+b -ca+c-bb+c-ap=a+b+c/23.已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S ＝1/2absinC4.设三角形三边分别为a 、b 、c,内切圆半径为rS=a+b+cr/25.设三角形三边分别为a 、b 、c,外接圆半径为RS=abc/4R6.根据三角函数求面积：S=absinC/2a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中R 为外切圆半径;不等式知识要点1. 不等式的基本概念不等等号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- 2.不等式的基本性质1a b b a <⇔>对称性2c a c b b a >⇒>>,传递性3c b c a b a +>+⇒>加法单调性4d b c a d c b a +>+⇒>>,同向不等式相加5d b c a d c b a ->-⇒<>,异向不等式相减6bc ac c b a >⇒>>0,.7bc ac c b a <⇒<>0,乘法单调性8bd ac d c b a >⇒>>>>0,0同向不等式相乘(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>异向不等式相除11(10),0a b ab ab>>⇒<倒数关系11)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且平方法则12)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且开方法则 3.几个重要不等式10,0||,2≥≥∈a a R a 则若2)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若当仅当a=b 时取等号3如果a ,b 都是正数,.2a b +当仅当a=b 时取等号极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：如果P 是定值,那么当x=y 时,S 的值最小； 如果S 是定值,那么当x =y 时,P 的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号0,2b aab a b>+≥(5)若则当仅当a=b 时取等号不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.不等式的解法直线和圆的方程一、直线方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x 轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时,直线l 垂直于x 轴,它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3.⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线.②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的.因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.一般的结论是：对于两条直线21,l l ,它们在y 轴上的纵截距是21,b b ,则1l ∥212k k l =⇔,且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在,即2121A B B A =是平行的必要不充分条件,且21C C ≠ 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ,则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在.②0121=⇔⊥k l l ,且2l 的斜率不存在或02=k ,且1l 的斜率不存在.即01221=+B A B A 是垂直的充要条件 .点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ,直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ,则有2200BA C By Ax d +++=.注：1. 两点P 1x 1,y 1、P 2x 2,y 2的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点Px,y 到原点O 的距离：||OP =2. 直线的倾斜角0°≤α＜180°、斜率:αtan =k 3. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：.12()x x ≠当2121,y y x x ≠=即直线和x 轴垂直时,直线的倾斜角α＝︒90,没有斜率⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++,它们之间的距离为d ,则有2221BA C C d +-=.7.关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上方程①,过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直方程②①②可解得所求对称点. 二、圆的方程.如果曲线C 的方程是fx,y=0,那么点P 0x 0,y 线C 上的充要条件是fx 0,y 0=02.圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例：圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 3.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422F E D -+时,方程表示一个圆,其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ,半径2422FE D r -+=.当0422=-+F E D 时,方程表示一个点⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D . 当0422F E D -+时,方程无图形称虚圆.4.点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-⇔ 5.直线和圆的位置关系：设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-；直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ； 圆心),(b a C 到直线l 的距离22BA C Bb Aa d +++=.①r d =时,l 与C 相切；附：若两圆相切,则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++02222211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为公切线方程.②r d 时,l 与C 相交；附：公共弦方程：设有两个交点,则其公共弦方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D . ③r d 时,l 与C 相离.由代数特征判断：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-0)()(222C Bx Ax r b y a x 用代入法,得关于x 或y 的一元二次方程,其判别式为∆,则：l ⇔=∆0与C 相切； l ⇔∆0 与C 相交； l ⇔∆0 与C 相离.一般方程若点x 0,y 0在圆上,则x –a x 0–a+y –b y 0–b=R 2.特别地,过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.圆锥曲线方程:0:222222111221=++++=++++F y E x D y x C F y E x D y x C一、椭圆方程.1.椭圆方程的第一定义： ⑴①椭圆的标准方程：i.中心在原点,焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax =+.ii.中心在原点,焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay=+.②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+.⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴,y 轴；长轴长a 2,短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222a b c a b d -=和),(2ab c二、双曲线方程.1.双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a bx ay b a by ax =-=-.一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.⑵①i.焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a -焦点：)0,(),0,(c c -准线方程c a x 2±=渐近线方程：0=±b ya x 或02222=-by a x②轴y x ,为对称轴,实轴长为2a ,虚轴长为2b ,焦距2c.③离心率ace =.④通径a b 22.⑤参数关系a ce b a c =+=,222.⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-by a x 21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线,其渐近线方程为x y ±=,离心率2=e . 三、抛物线方程.3.设0 p ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.四、圆锥曲线的统一定义..：立体几何平面.1.经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2.两个平面可将平面分成3或4部分.①两个平面平行,②两个平面相交3.过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.①三条直线在一个平面内平行,②三条直线不在一个平面内平行一、空间直线.1.空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内2.异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.不在任何一个平面内的两条直线3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等如下图.二面角的取值范围[) 180,0∈θ 直线与直线所成角(] 90,0∈θ斜线与平面成角() 90,0∈θ 直线与平面所成角[] 90,0∈θ向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角或直角相等.二、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.“线线平行,线面平行”注：①直线a 与平面α内一条直线平行,则a ∥α.×平面外一条直线 ②直线a 与平面α内一条直线相交,则a 与平面α相交.×平面外一条直线③若直线a 与平面α平行,则α内必存在无数条直线与a 平行.√不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面.×可能在此平面内 ⑤平行于同一直线的两个平面平行.×两个平面可能相交⑥平行于同一个平面的两直线平行.×两直线可能相交或者异面 ⑦直线l 与平面α、β所成角相等,则α∥β.×α、β可能相交3.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.“线面平行,线线平行”直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.注：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.×可能相交,垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行 ②垂直于同一直线的两个平面平行.√一条直线垂直于平行的一个平面,必垂直于另一个平面③垂直于同一平面的两条直线平行.√ 三、 平面平行与平面垂直.1.空间两个平面的位置关系：相交、平行.2.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,哪么这两个平面平行.“线面平行,面面平行”推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. 注：一平面间的任一直线平行于另一平面.3.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行.“面面平行,线线平行”12方向相同12方向不相同4.两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.“线面垂直,面面垂直” 四． 空间几何体.异面直线所成角的求法：1平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线；2补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； .直线与平面所成的角 .二面角的求法.空间距离的求法求点到直线的距离转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解； 正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长；概率知识要点1.概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.2.等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个,且所有结果出现的可能性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是n1,如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率nm P(A)=. 3.①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A 、B 互斥,那么事件A+B 发生即A 、B 中有一个发生的概率,等于事件A 、B 分别发生的概率和,即PA+B=PA+PB,推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ .②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+.ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A 或B 是否发生对事件B 或A 发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即PA·B=PA·PB.回归分析和独立性检验第一步：提出假设检验问题 H 0：吸烟与患肺癌没有关系↔H 1：吸烟与患肺癌有关系第二步：选择检验的指标 22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++它越小,原假设“H 0：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大,备择假设“H 1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大.回归直线方程的求法：1221()ni i i ni i x y nx y b x n x a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑导数互斥对立1.导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ,切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 2.求导数的四则运算法则：''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=c 为常数注：v u ,必须是可导函数. 4.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果)('x f ＞0,则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0,则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0,则)(x f y =为常数. 零点定理⑴零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续,且0)()( b f a f ⋅.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点,即至少有一点ξa ＜ξ＜b 使0)(=ξf .注：①0)( x f 是fx 递增的充分条件,但不是必要条件,如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ,有一个点例外即x =0时fx =0,同样0)( x f 是fx 递减的充分非必要条件.②一般地,如果fx 在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正或负,那么fx 在该区间上仍旧是单调增加或单调减少的. 6.极值的判别方法：注①：若点0x 是可导函数)(x f 的极值点,则)('x f =0.但反过来不一定成立.对于可导函数,其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==,0=x 使)('x f =0,但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==,在点0=x 处不可导,但点0=x 是函数的极小值点.8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9.几种常见的函数导数： 复数1.⑴复数的单位为i,它的平方等于－1,即1i 2-=. ⑵常用的结论：。

高考文科数学知识点归纳高考文科数学必考考点有哪些呢?那么，下面是小编为大家整理的关于高考文科数学知识点归纳，希望对您有所帮助。

欢迎大家阅读参考学习!2020高考文科数学知识点第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。

主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。

第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。

2020高考文科数学知识点：文科数学高频必考考点第一部分：选择与填空1.集合的基本运算(含新定集合中的运算，强调集合中元素的互异性);2.常用逻辑用语(充要条件，全称量词与存在量词的判定);3.函数的概念与性质(奇偶性、对称性、单调性、周期性、值域最大值最小值);4.幂、指、对函数式运算及图像和性质5.函数的零点、函数与方程的迁移变化(通常用反客为主法及数形结合思想);6.空间体的三视图及其还原图的表面积和体积;7.空间中点、线、面之间的位置关系、空间角的计算、球与多面体外接或内切相关问题;8.直线的斜率、倾斜角的确定;直线与圆的位置关系，点线距离公式的应用;9.算法初步(认知框图及其功能，根据所给信息，几何数列相关知识处理问题);10.古典概型，几何概型理科：排列与组合、二项式定理、正态分布、统计案例、回归直线方程、独立性检验;文科：总体估计、茎叶图、频率分布直方图;11.三角恒等变形(切化弦、升降幂、辅助角公式);三角求值、三角函数图像与性质;12.向量数量积、坐标运算、向量的几何意义的应用;13.正余弦定理应用及解三角形;14.等差、等比数列的性质应用、能应用简单的地推公式求其通项、求项数、求和;15.线性规划的应用;会求目标函数;16.圆锥曲线的性质应用(特别是会求离心率);17.导数的几何意义及运算、定积分简单求法18.复数的概念、四则运算及几何意义;19.抽象函数的识别与应用;第二部分：解答题第17题：向量与三角交汇问题，解三角形，正余弦定理的实际应用;第18题：(文)概率与统计(概率与统计相结合型)(理)离散型随机变量的概率分布列及其数字特征;第19题：立体几何①证线面平行垂直;面与面平行垂直②求空间中角(理科特别是二面角的求法)③求距离(理科：动态性)空间体体积;第20题：解析几何(注重思维能力与技巧，减少计算量)①求曲线轨迹方程(用定义或待定系数法)②直线与圆锥曲线的关系(灵活运用点差法和弦长公式)③求定点、定值、最值，求参数取值的问题;第21题：函数与导数的综合应用这是一道典型应用知识网络的交汇点设计的试题，是考查考生解题能力和文科数学素质为目标的压轴题。

2020年高考文科数学总复习：一元二次方程根的分布1．若一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0的两根都是负数，则k 的取值范围为________．答案 (－∞，－125]∪(3，＋∞) 解析 依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，k －3k >0，解得k ≤－125或k>3. 2．一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0有一个正根和一个负根，则k 的取值范围为________． 答案 (0，3)解析 依题意有k －3k<0⇒0<k<3. 3．若一元二次方程kx 2＋(2k －1)x ＋k －3＝0有一根为零，则另一根的符号为________． 答案 负解析 由已知k －3＝0，∴k ＝3，代入原方程得3x 2＋5x ＝0，另一根为负根．4．已知方程x 2－11x ＋m －2＝0的两实根都大于1，则m 的取值范围为________． 答案 12<m ≤1294解析 由题意得应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，112>1，f （1）>0即⎩⎪⎨⎪⎧112－4（m －2）≥0，m －12>0 解得12<m ≤1294. 5．若一元二次方程mx 2－(m ＋1)x ＋3＝0的两个实根都大于－1，则m 的取值范围为________．答案 m<－2或m ≥5＋2 6解析 由题意得应满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m＋12m >－1，Δ≥0，mf （－1）>0解得：m<－2或m ≥5＋26. 6．若一元二次方程mx 2－(m ＋1)x ＋3＝0的两实根都小于2，则m 的取值范围为________．答案 m<－12或m ≥5＋2 6解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ≥0m ＋12m <2，mf （2）>0，解得：m<－12 或m ≥5＋2 6.7．已知方程x 2＋2mx ＋2m 2－3＝0有一根大于2，另一根比2小，则m 的取值范围为________． 答案 －1－22<m<－1＋22 解析 由题意得，应满足f(2)<0，即2m 2＋4m ＋1<0，解得：－1－22<m<－1＋22. 8．已知方程x 2＋(m －2)x ＋2m －1＝0只有一实根在0和1之间，则m 的取值范围为________． 答案 12<m<23解析 由题意得，应满足f(0)f(1)<0，解得12<m<23. 9．已知方程x 2＋(m －2)x ＋2m －1＝0的较大实根在0和1之间，则m 的取值范围为________． 答案 23<m<6－27 解析 由题意得：①⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （1）>0，－m －22<1；或②⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）>0，0<－m －22<1，f （－m －22）<0，解得①②得23<m<6－27. 10．若方程x 2＋(k ＋2)x －k ＝0的两实根均在区间(－1，1)内，则k 的取值范围为________．答案 －4＋23≤k<－12解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－1<－k ＋22<1，f （－1）>0，f （1）>0.解得：－4＋23≤k<－12. 11．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则k 的取值范围为________．答案 12<k<23解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0f （1）<0，f （2）>0解得12<k<23. 12．已知关于x 的方程(m －1)x 2－2mx ＋m 2＋m －6＝0的两根为α，β且0<α<1<β，则m 的取值范围为________．答案 －3<m<－7或2<m<7解析 由题意得，应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （0）f （1）<0（m －1）f （1）<0解得－3<m<－7或2<m<7.。

高考2020文科数学知识难点整理高考2020文科数学知识难点整理一1.不等式证明的依据(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)②a2+b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)2.不等式的证明方法(1)比较法：要证明a>b(a0(a-b<0)，这种证明不等式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号.(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法.证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.高考2020文科数学知识难点整理二导数是微积分中的重要基础概念。

当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x?f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数。

寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。

实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

§2.6指数函数考情考向分析直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题以及实际应用问题，题型一般为填空题，中低档难度．1．指数函数的定义一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R. 2．指数函数的图象与性质概念方法微思考1．如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为________．提示c>d>1>a>b>02．结合指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质说明a x>1(a>0，a≠1)的解集跟a的取值有关．提示当a>1时，a x>1的解集为{x|x>0}；当0<a<1时，a x>1的解集为{x|x<0}．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(√)(2)若a m<a n(a>0，且a≠1)，则m<n.(×)(3)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(√)(4)函数y＝a x与y＝a－x(a>0，a≠1)的图象关于y轴对称．(√)题组二教材改编2．[P71习题T11]若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝________. 答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2. 3．[P70习题T4]已知113344333,,,552a b c ---骣骣骣鼢?珑?=鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫＝＝则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 c <b <a解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数，1134333,555--骣骣骣鼢?珑?\>>鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫即a >b >1，又304331,22c -骣骣鼢珑=<=鼢珑鼢珑桫桫∴c <b <a .4．[P70习题T8]设2323420.5xx <－－，则实数x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－13，1 解析 223234324320.522xx x x <\<Q －－－－，，∴3－2x <4－3x 2，∴3x 2－2x －1<0，∴－13<x <1.题组三 易错自纠5．若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝______. 答案 2解析 由指数函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3＝1，a >0，a ≠1，解得a ＝2.6．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2.7．若函数f (x )＝a x 在[－1,1]上的最大值为2，则a ＝________. 答案 2或12解析 若a >1，则f (x )max ＝f (1)＝a ＝2； 若0<a <1，则f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝2，得a ＝12.所以a ＝2或12.题型一指数型函数的图象例1 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是________．答案①解析f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有①.(2)若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．答案(－∞，0]解析函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练1 方程2x＝2－x的解的个数是________．答案 1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型二指数函数的性质命题点1 比较指数式的大小例2 (1)已知4213532,4,25,a b c ＝＝＝则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“<”连接) 答案 b <a <c解析 由a 15＝4153(2)＝220，b 15＝4155(2)＝212，c 15＝255>220，可知b 15<a 15<c 15，所以b <a <c . (2)若－1<a <0，则3a，13a ，a 3的大小关系是__________．(用“>”连接)答案 3a >a 3>13a解析 易知3a>0，13a <0，a 3<0，又由－1<a <0，得0<－a <1，所以(－a )3<13()a -，即－a 3<13a -，所以a 3>13a ，因此3a >a 3>13a .命题点2 解简单的指数方程或不等式例3 (1)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______．答案 12解析 当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.(2)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________________． 答案 {x |x >4或x <0} 解析 ∵f (x )为偶函数，当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x <0，当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}．思维升华 指数函数的单调性和底数大小有关，应用函数的单调性最重要的是“同底”原则．跟踪训练2 (1)已知f (x )＝2x －2－x ，114579,,97a b -骣骣鼢珑==鼢珑鼢珑桫桫则f (a )，f (b )的大小关系是__________．答案 f (b )<f (a )解析 易知f (x )＝2x －2－x 在R 上为增函数，又111445799,977a b -骣骣骣鼢?珑?==>=鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫∴f (a )>f (b )．(2)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是______． 答案 f (b x )≤f (c x )解析 ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴f (x )关于x ＝1对称， 易知b ＝2，c ＝3，当x ＝0时，b 0＝c 0＝1，∴f (b x )＝f (c x )， 当x >0时，3x >2x >1，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (b x )<f (c x )，当x <0时，3x <2x <1， 又f (x )在(－∞，1)上单调递减， ∴f (b x )<f (c x )，综上，f (b x )≤f (c x )．题型三 指数函数图象性质的综合应用例4 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，4]解析 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 在R 上单调递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是________．答案 [0，＋∞)解析 设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x 在R 上单调递增， 所以函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．(3)若函数2431()3ax x f x -+骣÷ç=÷ç÷ç桫有最大值3，则a ＝________.答案 1解析 令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.思维升华 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3 (1)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________． 答案 e解析 f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e|x －2|，x <1， 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.(2)若不等式1＋2x ＋4x ·a ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ 解析 从已知不等式中分离出实数a ，得a ≥－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x . ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x在R 上是减函数， ∴当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≤－34. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－34，＋∞.1．若指数函数f(x)＝(a2－3)x满足f(2)<f(3)，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析由题意知，指数函数f(x)为增函数，从而a2－3>1，即a2>4，得a<－2或a>2. 2．已知函数f(x)＝5x，若f(a＋b)＝3，则f(a)·f(b)＝________.答案 3解析∵f(x)＝5x，∴f(a＋b)＝5a＋b＝3，∴f(a)·f(b)＝5a×5b＝5a＋b＝3.3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接) 答案b<a<c解析因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c.4．不等式242122x x x+骣÷ç>÷ç÷ç桫－＋的解集为________． 答案 (－1,4)解析 原不等式等价于22422x xx >－＋－－，又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x >－x －4， 即x 2－3x －4<0，∴－1<x <4.5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________． 答案 [1,9]解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．答案 [2，＋∞)解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0)解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－12a ，－1， 所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1[－8,1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0.所以实数a 的取值范围是[－3，0)．8．若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________． 答案 －1解析 f (0)＝m ＋23，∴函数f (x )的图象不过第三象限等价于m ＋23≥0，即m ≥－23，∵“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，∴a <－23，则实数a 能取的最大整数为－1.9．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 0解析 当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x ＝12x －2x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,2)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 11．已知9x －10·3x ＋9≤0，求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x ＋2的最大值和最小值． 解 由9x －10·3x ＋9≤0，得(3x －1)(3x －9)≤0， 解得1≤3x ≤9，即0≤x ≤2.令⎝⎛⎭⎫12x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝⎛⎭⎫t －122＋1. 当t ＝12，即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1，即x ＝0时，y max ＝2.12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x－m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上均为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56，所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 解析 令f (a )＝t ，则f (t )＝2t .当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，则g ′(t )＝3－2t ln 2， 当t <1时，g ′(t )>0，g (t )在(－∞，1)上单调递增，即g (t )<0， 则方程3t －1＝2t 无解．当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，得a <1，且3a －1≥1，解得23≤a <1；a ≥1，且2a ≥1，解得a ≥1.综上可得a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞. 14．若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是______________． 答案 (0,4]解析 因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1， 所以f (x )＝2|x －1|.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．由题意知n－m>0.当m<1<n时，函数f(x)在区间[m，n]上的最大值与最小值的差为f(x)max－f(x)min＝2|±2|－20＝3，则n－m取得最大值(2＋1)－(－2＋1)＝4，所以n－m的取值范围是(0,4]．15．设f(x)＝|2x－1－1|，a<c且f(a)>f(c)，则2a＋2c______4.(选填“>”“<”“＝”)答案<解析f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c≤1，则2a<2,2c≤2，故2a＋2c<4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，即2c－1＋2a－1<2，即2a＋2c<4.综上知，总有2a＋2c<4.16．已知函数f(x)＝14x－λ2x－1＋4(－1≤x≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围． 解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋4＝⎝⎛⎭⎫122x－2λ·⎝⎛⎭⎫12x ＋4(－1≤x ≤2)． 设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋4⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋4＝⎝⎛⎭⎫t －322＋74⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫14＝5316，g (t )min＝g ⎝⎛⎭⎫32＝74. 所以f (x )max ＝5316，f (x )min ＝74，故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤74，5316. (2)方程f (x )＝0有解可转化为 λ＝2·2x ＋12·12x (－1≤x ≤2)．设φ(x )＝2·2x ＋12·2x ⎝⎛⎭⎫12≤2x ≤4， 当2x ＝12，即x ＝－1时，φ(x )min ＝2；当2x ＝4，即x ＝2时，φ(x )max ＝658. ∴函数φ(x )的值域为⎣⎡⎦⎤2，658. 故实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，658.。

高考数学知识点2020在这个数字化时代，数学扮演着越来越重要的角色。

作为一门学科，数学不仅仅是一套解题方法，更是一种思维方式和逻辑训练。

而高考作为大部分学生人生中的一次重要考试，数学无疑是其中最重要的科目之一。

本文将为大家总结2020年高考数学知识点，帮助考生能更好地备战高考。

一、函数与方程函数与方程是高考数学中的重要内容。

在2020年高考中，涉及到函数与方程的题目相较以往有所改变，注重对学生的逻辑思维与问题解决能力的考察。

1. 一次函数：一次函数的性质与应用是高考中常见的考点，需要理解斜率、截距等基本概念，并能熟练运用求解相关问题。

2. 二次函数：二次函数的图像、顶点、对称轴等概念需要掌握，并需要能够解决关于二次函数的最值、根的问题。

3. 指数函数与对数函数：指数函数与对数函数的性质与应用也是高考中的重要内容。

需要关注指数的性质、幂函数与指数函数的关系，熟悉对数的性质与换底公式。

4. 三角函数：三角函数作为高考数学的难点之一，需要掌握标准角、同角三角函数关系等基本概念，并能灵活应用来解决相关问题。

二、几何1. 平面几何：高考中的平面几何主要包括相似性、几何证明、平面向量等内容。

需要注意掌握对称性、平行性、垂直性等几何关系，以及灵活运用这些知识来解决证明问题。

2. 立体几何：立体几何主要包括空间几何体的性质与计算。

需要熟悉各种几何体的表面积与体积的计算公式，并能够灵活应用来解决实际问题。

三、概率与统计概率与统计是数学的实际应用之一，也是高考数学中的重要考点。

1. 随机事件与概率：需要熟悉基本概率公式、互斥事件与对立事件的概念，以及熟练运用排列组合计算概率。

2. 抽样与统计：需要掌握数据的收集与整理方法，能够正确运用各种统计指标进行数据分析与解读。

四、导数与积分导数与积分是高考数学中的重点和难点，也是大学数学的基础。

1. 导数的概念与运算：需要理解导数的几何意义，能够运用导数的定义、性质与运算法则进行计算与应用。

高考文科数学知识点梳理(甄选7篇）高考文科数学知识点梳理（1）(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件;(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件;(3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件;(5)频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;称事件A出现的比例fn(A)=nnA为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率。

(6)频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值nnA，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。

高考文科数学知识点梳理（2）等差数列对于一个数列{an}，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差,记为d;从第一项a1到第n项an的总和，记为Sn。

那么，通项公式为，其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：将以上n-1个式子相加，便会接连消去很多相关的项，最终等式左边余下an,而右边则余下a1和n-1个d,如此便得到上述通项公式。

此外，数列前n项的和，其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。

值得说明的是，前n项的和Sn除以n后，便得到一个以a1为首项，以d/2为公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn的数列问题迎刃而解。

等比数列对于一个数列{an}，如果任意相邻两项之商(即二者的比)为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比q;从第一项a1到第n项an的总和，记为Tn。

2020年高考数学考点题型全归纳（文）微信公众号：数学研讨2019年6月29日第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A .AB ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.考点一集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为 .解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案：（5，6］考点二 集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．AB D ．BA(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． [解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知AB ，故选C.(2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}． 若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1] [变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． 解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2； ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)． 答案：[－2,2)考点三 集合的基本运算考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A．{x|－2≤x<4}B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤2}[解析] (1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁R A＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．[答案] (1)C (2)D考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是( )A．(－4,3) B．[－3,4]C．(－3,4) D．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，则a＝( )A．3 B．2C．2或3 D．3或1[解析] (1)集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.(2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A.[答案] (1)B (2)A[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}． 2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，100B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，100 D ．∅解析：选 A 由题意得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，100.3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅， 所以⎩⎨⎧2a －1≥12a －1≥12a ，解得a ≥1.[课时跟踪检测]1．(2019·福州质量检测)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1<x≤4}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 依题意，集合A是由所有的奇数组成的集合，故A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B中元素的个数为2.2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}解析：选A 因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( ) A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}解析：选B ∵全集为R，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}．∵集合A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩(∁R B)＝{x|0＜x＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )A．M∩N＝M B．M∪(∁R N)＝MC．N∪(∁R M)＝R D．M∪N＝M解析：选D 由题意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以M∪N＝M.5．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤2x<2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．[－1,0)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．[－1,1]解析：选 A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <212，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则BA ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为 ________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁UB )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________． 解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，1，1，所以A ∩B 中含有2个元素． 法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________． 解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4， 即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A⊆B，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则a＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}．(1)分别求A∩B，A∪(∁U B)；(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2<x<4}＝{x|2<x≤3}．易知∁U B＝{x|x≤2或x≥4}，所以A∪(∁U B)＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝{x|x≤3或x≥4}．(2)由B∪C＝B，可知C⊆B，画出数轴(图略)，易知2<a<a＋1<4，解得2<a<3.故实数a的取值范围是(2,3)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一四种命题及其真假判断[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是( )A．①②B．②③C．④ D．①②③[解析] ①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案] D[题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D 命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋12，k ∈Z，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2，k ∈Z，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 因为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋12，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k ＋12，k ∈Z，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2，k ∈Z， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题， 则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二 充分、必要条件的判断[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．(3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q ⇒非p 但非p非q ，所以非q 是非p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A (3)A[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若x 2<1，则－1<x <1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cos θ<0，则m ·n <0成立；当θ＝π时，m ·n ＝－|m |·|n |<0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设p ：xy ≠1，q ：x ≠1或y ≠1， 则非p ：xy ＝1，非q ：x ＝1且y ＝1. 可知非q ⇒非p ，非p非q ，即非q 是非p 的充分不必要条件．故p 是q 的充分不必要条件，即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件．考点三 根据充分、必要条件求参数的范围[典例] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [答案] [0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， 所以{ 1－m ＝－21＋m ＝10，解得{ m ＝3m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[课时跟踪检测]1．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：选B 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假解析：选B 当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③ B．②C ．②③D ．①②③解析：选A 本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2， 即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 因为a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1， 所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________． 解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________． 解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3. 又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8. 故实数m 的取值范围为[3,8)． 答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)． 解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．考点一判断含有逻辑联结词命题的真假[典例] (1)(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．p∧非qC．非p∧q D．非p∧非q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是( )A．p∧(非q) B．(非p)∧qC．p∧q D．(非p)∨q[解析] (1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧ (非q)为真命题，故选A.[答案] (1)B (2)A[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是( )A．p∨(非q) B．p∨qC．p∧q D．(非p)∧(非q)解析：选B 若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例] (1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是( )A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是( )A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析] (1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案] (1)D (2)C[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．(非p)∧qC．p∧(非q) D．(非p)∧(非q)解析：选C 当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则非p 是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，非q是真命题．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均为假命题，p∧(非q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例] 已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解] 依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得{m≥0m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为真命题”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0； 当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0.所以m 的取值范围为(－2,0)． 答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为假，p 或q 为真”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2.所以m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)． 答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围为[0,2]． 答案：[0,2][课时跟踪检测]1．(2019·西安摸底)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( )A ．∃x 0≥0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1C ．∀x >0，xx －1≤0 D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：选B ∵x x －1>0，∴x <0或x >1，∴xx －1>0的否定是0≤x ≤1， ∴命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”． 2．下列命题中，假命题的是( ) A ．∀x ∈R,21－x>0B ．∃a 0∈R ，y ＝xa 0的图象关于y 轴对称C ．函数y ＝x a的图象经过第四象限 D ．直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切解析：选C 对于A ，由指数函数的性质可知为真命题；对于B ，当a ＝2时，其图象关于y 轴对称；对于C ，当x >0时，y >0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D ，因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立．3．(2019·陕西质检)已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q)C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q)解析：选D 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 为假命题．由复合命题真值表可知p ∧(非q)为真命题．4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( )A ．“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件B ．命题p ：∀x ∈R,2x>0，则非p ：∃x 0∈R,2x0<0 C ．命题“若a >b >0，则1a <1b”的逆命题是真命题D ．“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析：选A 对于选项A ，由a >1，b >1，易得ab >1，故A 正确．对于选项B ，全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R,2x>0的否定是非p ：∃x 0∈R,2x0≤0，故B 错误．对于选项C ，其逆命题：若1a <1b，则a >b >0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然是假命题，故C 错误．对于选项D ，由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．故选A.5．(2019·唐山五校联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a>2b”的充要条件；命题q ：∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤x 0，则( )A ．(非p )∨q 为真命题B ．p ∧(非q)为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：选D 由题意可知命题p 为真命题．因为|x ＋1|≤x 的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 为真命题．6．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0” B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则非p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22”的充要条件D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假解析：选D 由原命题与逆否命题的关系，知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y ，知C 正确；对于D ，命题“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(0,4]C ．(－∞，4]D ．[0,4)解析：选C 当原命题为真命题时，a >0且Δ<0，所以a >4，故当原命题为假命题时，a ≤4. 8．下列命题为假命题的是( ) A ．存在x >y >0，使得ln x ＋ln y <0B ．“φ＝π2”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件C ．∃x 0∈(－∞，0)，使3x 0<4x 0成立D ．已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α，则α∥β 解析：选C 对于A 选项，令x ＝1，y ＝1e ，则ln x ＋ln y ＝－1<0成立，故排除A.对于B 选项，“φ＝π2”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C 选项，根据幂函数y ＝x α，当α<0时，函数单调递减，故不存在x 0∈(－∞，0)，使3x 0<4x 0成立，故C 错误．对于D 选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α，可过n 作一个平面与平面α相交于直线n ′.由线面平行的性质定理可得n ′∥n ，再由线面平行的判定定理可得n ′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D ，选C.9．若命题p 的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为________________________． 解析：因为p 是非p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可． 答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋110．已知命题p ：x 2＋4x ＋3≥0，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“非q ”同时为假命题，则 x ＝________. 解析：若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3， 因为“非q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假，故－3＜x ＜－1， 由题意，得x ＝－2. 答案：－211．已知p ：a <0，q ：a 2>a ，则非p 是非q 的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、。

高考数学知识点总结文科高考数学知识点总结（文科）高考数学一直是文科生的噩梦之一。

相比理科生，文科生在数学方面的基础较差，对于数学知识的理解也相对较浅。

然而，只要我们能够掌握一些重要的数学知识点，并且掌握一些解题技巧，高分依然是可以实现的。

以下是一些文科生常见的数学知识点总结。

第一部分：代数与函数在高考数学中，代数与函数是一个非常重要的部分。

在代数与函数的学习中，最重要的内容包括方程与不等式的解法、函数的概念与性质、函数的运算与复合、函数的图像与性质。

这些知识点都需要我们熟练掌握，并能够运用到具体的题目中。

在解方程与不等式时，我们需要掌握一些常见的解法，例如配方法、消元法、奇偶性法等。

此外，我们还需要注意方程与不等式的根的定义域，以及解的判定条件。

在解题过程中，要保持思维的灵活性，善于运用不同的解法。

对于函数的概念与性质，我们需要了解函数的定义、函数图像的绘制、函数的单调性与最值、函数的奇偶性、函数的符号变化等。

第二部分：数列与数列极限数列与数列极限也是高考数学中的一个重要内容。

在数列与数列极限的学习中，最重要的内容包括数列的定义、数列的通项公式、数列的性质、等差数列与等比数列、数列的极限等。

在解题过程中，我们需要熟练掌握数列的概念与性质，并能够根据题目中的条件，确定数列的通项公式。

对于数列的极限，我们需要掌握数列极限的定义、收敛数列与发散数列的判定、数列的极限性质等。

第三部分：概率与统计概率与统计是高考数学中难度较低的一个部分。

在概率与统计的学习中，最重要的内容包括样本空间与事件、概率的定义与性质、概率计算、常用统计量与统计图等。

在解题过程中，我们需要根据题目中给出的条件，确定样本空间与事件，并进行概率的计算。

同时，我们还需要了解一些常用的统计量与统计图，例如均值、方差、直方图、饼图等。

第四部分：几何与三角几何与三角也是高考数学中的一个重要部分。

在几何与三角的学习中，最重要的内容包括平面几何与空间几何、图形的性质与判定、三角函数、三角函数的图像与性质等。

2020 高考文理科数学必考知识点高考临近，你的数学基础知识掌握的怎么样，学知识要学会总结，下面就是小编给大家带来的，希望大家喜欢！1.【数列】&【解三角形】数列与解三角形的知识点在解答题的第一题中，是非此即彼的状态，近些年的特征是大题第一题两年数列两年解三角形轮流来， 2014、2015 年大题第一题考查的是数列，2016 年大题第一题考查的是解三角形，故预计 2017 年大题第一题较大可能仍然考查解三角形。

数列主要考察数列的定义，等差数列、等比数列的性质，数列的通项公式及数列的求和。

解三角形在解答题中主要考查正、余弦定理在解三角形中的应用。

2.【立体几何】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道立体几何题，主要考查空间线面平行、垂直的证明，求二面角等，出题比较稳定，第二问需合理建立空间直角坐标系，并正确计算。

3.【概率】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道概率题，主要考查古典概型，几何概型，二项分布，超几何分布，回归分析与统计，近年来概率题每年考查的角度都不一样，并且题干长，是学生感到困难的一题，需正确理解题意。

4.【解析几何】高考在第 20 题的位置考查一道解析几何题。

主要考查圆锥曲线的定义和性质，轨迹方程问题、含参问题、定点定值问题、取值范围问题，通过点的坐标运算解决问题。

5.【导数】高考在第 21 题的位置考查一道导数题。

主要考查含参数的函数的切线、单调性、最值、零点、不等式证明等问题，并且含参问题一般较难，处于必做题的最后一题。

6.【选做题】今年高考几何证明选讲已经删除，选考题只剩两道，一道是坐标系与参数方程问题，另一道是不等式选讲问题。

坐标系与参数方程题主要考查曲线的极坐标方程、参数方程、直线参数方程的几何意义的应用以及范围的最值问题;不等式选讲题主要考查绝对值不等式的化简，求参数的范围及不等式的证明。

第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。