§23幂函数

幂函数知识点嘿，同学们！咱们今天来聊聊幂函数这个有趣的家伙。

先来说说啥是幂函数哈。

简单讲，幂函数就是形如 y ＝x^α （α 是常数）这样的函数。

比如说，y ＝ x²、y ＝ x³，这都是幂函数。

咱就拿 y ＝ x²这个例子来说说幂函数的一些特点。

想象一下，你在操场上扔一个皮球，皮球弹起的高度和你扔的力度之间就有点像幂函数的关系。

你用力越大，皮球弹得越高，而且这个高度的变化可不是简单的直线上升哦，而是像 y ＝ x²这样的曲线增长。

那幂函数的图像都有啥样的呢？有的像个抛物线，开口朝上，比如y ＝ x²；有的像个陡峭的山峰，比如 y ＝ x³。

而且幂函数的图像还和指数α 有关系呢。

当α 大于 0 时，图像都过点（0，0）和（1，1）。

要是α 是偶数，那图像就在第一、二象限，是个偶函数；要是α 是奇数，那图像就在第一、三象限，是个奇函数。

再来说说幂函数的性质。

就说定义域和值域吧。

如果α 是正整数，那定义域就是整个实数集；要是α 是分数，那就有点复杂啦，得具体情况具体分析。

比如说，y ＝√x ，这其实就是幂函数 y ＝ x^（1/2) ，它的定义域就是x ≥ 0 。

就像你去买糖果，老板说少于 0 颗糖不卖，因为没有负数颗的糖果嘛，所以 x 就得大于等于 0 。

还有单调性，当α 大于 0 时，幂函数在（0，＋∞）上单调递增；当α 小于 0 时，在（0，＋∞）上单调递减。

这就好比你爬山，α 大于 0 时，你越往上爬越轻松，路越来越好走；α 小于 0 时，越往上爬越累，路越来越难走。

在做题的时候，咱们经常会碰到比较幂函数大小的问题。

这时候，咱们得先看看指数的正负，再看看底数的大小。

比如说，要比较 2³和3²的大小，那咱们就得算算 2³＝ 8 ，3²＝ 9 ，很明显 9 大于 8 ，所以3²大于 2³。

幂函数的定义及性质幂函数是数学中常见的一类函数形式，它的定义如下：定义：对于给定的实数a（a≠0）和非零实数b，幂函数f(x)=a⋅x^b。

其中，a称为幂函数的系数，b称为幂函数的指数，x称为幂函数的自变量，f(x)称为幂函数的因变量。

在幂函数的定义中，a是幂函数的系数，可以取任意非零实数。

系数a决定了函数的纵向伸缩变换，当a>0时，幂函数的图像在y轴上方，当a<0时，幂函数的图像在y轴下方。

指数b是幂函数的指数，决定了函数的横向伸缩变换以及函数的形状。

当b>1时，幂函数增长更为迅速；当0<b<1时，幂函数增长逐渐变缓；当b=1时，幂函数变为线性函数；当b<0时，幂函数变为倒数函数。

幂函数的性质如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域为所有使得指数函数值存在的实数。

当a>0且b>0时，幂函数的值域为(0,+∞)；当a<0且b为奇数时，幂函数的值域为(-∞,0)；当a<0且b为偶数时，幂函数的值域为[0,+∞)。

2. 对称性：a⋅(-x)^b = (-a)⋅x^b，即幂函数关于y轴对称。

3. 单调性：幂函数在定义域上单调递增或递减，取决于系数a和指数b的正负情况。

4. 奇偶性：当b为整数时，幂函数的奇偶性与系数a的奇偶性一致；当b为分数时，幂函数的奇偶性与a的正负性一致。

5. 渐近线：当b>0时，幂函数的图像有一条水平渐近线y=0；当b<0时，幂函数的图像有两条渐进线，分别是x轴和y轴。

6. 函数的图像：幂函数的图像形状随着系数a和指数b的取值而变化，可以是上凸、下凸、对称或非对称的。

以上是幂函数的定义及性质的介绍。

幂函数作为一类常见的函数形式，具有广泛的应用领域，在数学、物理、经济等学科中都有重要的作用。

通过对幂函数的研究和理解，我们可以更好地理解函数的变化规律和函数图像的特点，为解决实际问题提供数学工具和思路。

《幂函数》讲义一、幂函数的定义一般地，形如\（y ＝x^α\）（＼（α\）为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

其中\（x\）是自变量，＼（α\）是常数。

需要注意的是，在幂函数中，系数必须为\（1\）。

例如，＼（y ＝3x^2\）不是幂函数，而\（y ＝ x^2\）是幂函数。

二、幂函数的图像1、当\（α ＞ 0\）时（1）＼（α ＝ 1\）此时幂函数\（y ＝ x\）的图像是一条经过原点和点\（（1,1)＼）的直线，斜率为\（1\）。

（2）＼（α ＝ 2\）幂函数\（y ＝ x^2\）的图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为\（y\）轴，顶点为原点。

（3）＼（α ＝ 3\）幂函数\（y ＝ x^3\）的图像是一条经过原点，在第一、三象限单调递增的曲线。

2、当\（α ＜ 0\）时（1）＼（α ＝－1\）幂函数\（y ＝ x^｛－1} ＝＼frac{1}｛x}＼）的图像是位于第一、三象限的双曲线。

（2）＼（α ＝－2\）幂函数\（y ＝x^｛－2} ＝＼frac{1}｛x^2}＼）的图像是位于第一、二象限，开口向上的抛物线。

通过对不同幂函数图像的研究，我们可以发现幂函数的图像具有多样性，但也存在一些共性特征。

三、幂函数的性质1、定义域幂函数的定义域与指数\（α\）的取值有关。

当\（α\）为正整数时，定义域为\（R\）。

当\（α\）为负整数时，定义域是\（x ≠ 0\）。

当\（α\）为正分数时，可将\（α\）表示为\（＼frac{m}｛n}＼）（＼（m\）、＼（n\）为正整数且互质），若\（n\）为奇数，定义域为\（R\）；若\（n\）为偶数，定义域为\（0, ＋∞）＼）。

2、值域同样，值域也与\（α\）的取值相关。

当\（α ＞ 0\）时，值域为\（0, ＋∞）＼）。

当\（α ＜ 0\）时，值域为\（（0, ＋∞）＼）。

3、单调性当\（α ＞ 0\）时，幂函数在\（0, ＋∞）＼）上单调递增。

幂 函 数一、课程标准要求1.了解幂函数的概念；2.结合函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解它们的变化情况.二、教材分析教材内容是高中数学人教A 版教材必修1课本§2.3幂函数.幂函数作为基本初等函数之一，之前学生已经系统的学习了函数的基本概念、性质，研究了三个特殊函数：二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法．从教材的整体编排来看，环环紧扣，非常紧凑，充分体现了知识的发生、发展过程，编者想通过幂函数的教学主要是使学生进一步较系统的掌握幂函数的图象性质和研究函数的一般方法，为今后学习三角函数等其他函数打下一个良好的基础．教材将幂函数放在指数函数和对数函数的学习之后,原因有三：第一，幂函数中有一特殊函数21x y =，学生在没有学习分数指数幂之前，不能从根本上理解此式；第二，学生在初中已经学习了12,,-===x y x y x y 三个简单的幂函数，在第一章中也通过信息技术应用知晓了函数3x y =，对它们的图象和性质已经有了一定的直观认知，现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成系统的知识结构；第三，有了之前的铺垫，幂函数的学习过程可以类比二次函数、指数函数、对数函数的研究方法，渗透分类讨论、数形结合的数学思想，达到培养学生归纳、概括的能力的目的，使学生熟练的利用它们解决一些实际问题，体会从特殊到一般的研究过程，进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性与单调性研究一个未知函数的意识，以便能为研究一般函数图象与性质提供一个可操作性步骤，从这个角度看，本节课的教学更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合评测，是对之前研究函数的一个升华.三、教学目标鉴于课程标准的要求以及上述对教材的分析，制定如下的教学目标：1.知识与技能目标了解幂函数的概念, 会画五个简单的幂函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，能根据图象概括出幂函数的一般性质，同时能应用幂函数的图象和性质解决相关的简单问题； 2.过程与方法目标引导学生从具体幂函数的图象与性质中归纳出共性，培养学生的识图能力和抽象概括能力，培养学生数形结合的意识；通过对幂函数的学习，了解类比法在研究问题中的作用，使学生进一步熟练掌握研究一般函数的思想方法；3.情感、态度与价值观目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，引导学生主动参与作图、分析图象的特征，培养学生合作、交流、探究的意志品质，并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美，同时信息技术的应用也会激发学生的求知欲望.四、教学重难点：重点：通过具体实例认识幂函数的概念，研究其性质，体会图象的变化规律． 难点：幂函数的图象与性质的简单应用 重、难点突破措施： 1.以情感人，以理醒人创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分类探究，步步为营，丝丝入扣.2.数形结合现代的多媒体技术直观、形象展示幂函数的指数与图象之间的关联，突破重难点.五、设计理念与任务分析本节课遵循教师为主导，以学生为主体的原则，采用学生自主探究式的教学方法，重视思维发生的过程，注重提高学生的数学思维能力，注重发展学生的创新意识，注重信息技术与数学课程的有效整合，充分体现数学的应用价值、思维价值.围绕本节课的教学重点，教学过程中以“问题串” 的形式展开教学，逐步引导学生观察、思考、归纳、总结。

§2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点)．预习教材P62－P63，完成下面问题：知识点1对数1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2．常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)对数的运算实质是求幂指数．()提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√由对数的定义可知(3)正确．知识点2对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1)． (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1)． 【预习评价】若log 32x －33＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.解析 若log 32x －33＝1，则2x －33＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1.答案 6 1题型一 对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________． (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，解得2<x <4且x ≠3.答案 (2,3)∪(3,4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log 5125＝6，得(5)6＝125.规律方法 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝⎛⎭⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3. 解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3； (2)因为ln a ＝b ，所以e b ＝a ；(3)因为⎝⎛⎭⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m ；(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值．①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值． ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2.答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23 ＝43×(－23 )＝4－2＝116；②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝816 ＝23×16 ＝2；③由lg 100＝x ，得10x ＝100＝102，即x ＝2；④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x ＝e 2，－x ＝2，x ＝－2. 规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想．在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法．①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算．【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值． (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得2－12 ＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71－log75；(2)100⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg 9－lg 2；(3)a log ab ·log bc(a ，b 为不等于1的正数，c >0)．解 (1)原式＝7×7－log 75＝77log 75＝75. (2)原式＝10012lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1100lg 2＝9×1(10lg 2)2＝94. (3)原式＝(a log ab )log bc ＝b log bc ＝c .规律方法 对数恒等式a log a N ＝N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．【训练3】 (1)设3log 3(2x＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________. 解析 (1)3log 3(2x＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1．有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确． 答案 B2．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．a >12且a ≠1B ．0<a <12C ．a >0且a ≠1D ．a <12解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1>0，a >0，a ≠1，解得0<a <12.答案 B3．方程lg(2x －3)＝1的解为________．解析 由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝132.答案1324．计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________. 解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 05．把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)2－3＝18；(2)⎝⎛⎭⎫17a ＝b ；(3)lg 11 000＝－3； (4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝18可得log 218＝－3；(2)由⎝⎛⎭⎫17a＝b 得log 17b ＝a ； (3)由lg11 000＝－3可得10－3＝11 000； (4)ln 10＝x 可得e x ＝10.课堂小结1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log aN ＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．指数式与对数式的互化。

2．3幂函数一． 选择题1. 4213332,3,25a b c ===，那么〔 〕A ．b a c << B. a b c << C.b c a << D.c a b << 2. 设1{1,1,,3}2α∈-，那么使幂函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值是〔 〕A. 1,3B. -1,1C.-1,3D.-1,1,33. 幂函数()a x x f =的图像经过点()2,2，函数g 〔x 〕=log ()a x k +，假设0<x 时()0≥x g 无解，那么k 的范围是〔 〕A. 2≥kB.1-≤kC.11≤≤-kD.1≤k4．函数：22(),()2,()log x f x x g x h x x ===，当(4,)a ∈+∞时，以下选项正确的选项是( )A.()()()f a g a h a >>B.()()()g a f a h a >>C.()()()g a h a f a >>D.()()()f a h a g a >>二．填空题：5. 幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)21m m x +-的图像与坐标轴没有交点，那么m ＝__________________．6. 函数()()()⎩⎨⎧<≥+=01012x x x x f ，那么满足不等式()()x f x f 212>-的x 的范围是_____.7. 假设关于x 的一元二次方程030112=++-a x x 的两根均大于5，务实数a 的取值范围三．解答题：8．函数f 〔x 〕＝(a 2－3a ＋2)x a 2－5a ＋5(a 为常数)，问a 为何值时，f 〔x 〕〔1〕是幂函数；〔2〕是正比例函数；〔3〕是反比例函数。

9. 幂函数f 〔x 〕=2322()k k x k Z +-∈，假设函数f 〔x 〕为偶函数，且在〔0，+∞〕上是增函数，求f 〔x 〕的解析式。