2垂径定理

第21章第三课时 垂径定理（二）姓名__________________ 学号_________一、学习目标：1、进一步理解掌握垂径定理及逆定理；2、理解并掌握垂径定理的所有推论；3、通过对比、类比等能够灵活地应用垂径定理及推论。

4、重点：垂径定理及其所有推论的理解和运用 难点：如何正确灵活的运用定理及推论 二、探究：（一）逆定理：平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

几何语言：注：⑴逆定理中的“不是直径”的限制条件；⑵通过垂径定理或逆定理将：弦、弦心距、半径放在直角三角形中利用勾股定理解决问题。

（二）由垂径定理及逆定理知：（知二推三）①过圆心（直径、半径）；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。

以其中任意两个作为条件，可以得到其他三个结论，请你写出来，并判断是真命题还是假命题。

（三）常用的三个定理：1、②③⇒①④⑤：即：弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

2、①④⇒②③⑤：即：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

3、①③⇒②④⑤：即（逆定理）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

三、学练提升： 【例1】如图（填写你认为正确的结论）。

⑴若MN ⊥AB ，垂足为C ，MN 为直径，则___________，___________，___________。

⑵若AB=BC ，MN 为直径，AB 不是直径，则__________，___________，____________。

⑶若MN ⊥AB ，AC=BC ，则_____________，_____________，_______________。

⑷若AM ⌒=BM ⌒，MN 为直径，则_____________，_____________，_______________。

OA B C DEO A BC DE⑸若AB=BC ，AB 不是直径，MN 是直径，则_____________，_____________，_______________。

第（3）题（第4题）第2课时 垂径定理班级 姓名 学号一、 动手动脑、探索定理1、 画图，回答问题：如图，已知⊙O （1） 画⊙O 的一条非直径的弦AB（2） 画⊙O 的一条直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为P ．（3） 此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么?（4） 等式AP=BP ， ACBC =， AD BD =解：（3）___ _（填是或不是）轴对称图形．如果是，它的对称轴是直线_______（4）结论： __________________=⎧⎫⎪⇒=⎬⎨⎭⎪=⎩径为 CD是直CD ⊥AB，垂足P 垂径定理: 垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的 。

推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且针对练习：（1） 如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD 与AB 相交于点E 。

①如果CD ⊥AB ，则AE= ，AC = , BD = ②如果AE=BE ，则AC = ， BD = ，CD 与AB 的位置关系为 ③如果 ACBC =, 则AE= ，CD 与AB 的位置关系为（2）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB ，垂足为E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．CE=DE B.OE=BE C. BCBD = D. AC AD = （3）已知AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若OA= 10，AB=16， 则弦心距OC 的长为( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 （4）(08福州)如图，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于点C ，若8cm AB =，3cm OC =，则O 的半径为 cm ．二、知识的简单应用例1、已知：如图，直径CD ⊥AB ，垂足为E .（1）若半径R = 5 ，弦AB =8, 求弦心距OE 、弓形高DE 的长.DC（2）若弦AB=弦心距OE=1 ，求半径R 与DE 的长 （3）若半径R = 10 ，OE = 8 ，求DE 、AB 的长.（4）若弦AB=24，弓形高DE=8，求半径R 与OE 的长小结：对于的弦长a 、弦心距d 、圆半径r 、弓形高h ，这四个量中，只⑴d h r +=； （2）222()2a d r +=注意：①当知道a 、d 、r 中的两个，求第三个时，直接用勾股定理．．．．．．．； ②当知道的是弦长a 和弓形高h ，求半径时，要．先．设半径为．．．．x ，再用勾股定理．．．．三：练习(A 组)1. 如图，已知⊙O 中，MN 是直径，AB 是弦，MN AB ⊥，垂足为C ，由这些条件可推出结论 （不添加辅助线，只写出1个结论）．2. (2006年福州市) 如图, AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定．．．成立的是（ ） A.CM=DM B.AC AD = C.AD=2BD D.∠BCD=∠BDC3. 如图，在⊙O 中，直径AB=4cm ，弦CD AB ⊥于E ，cm ，则弦CD=4. 如图，⊙O 的半径为5cm ，OE=4cm ，则CE= cm ，CD= cm ，BE= cm5. 如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，AB 、CD 相交于点E ,∠COD ＝100°, ∠COE ＝___ °7．已知：以O 为圆心两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点。

垂径定理计算公式
「垂径定理」是几何中的基础定理，它表明了从垂足A到点P的垂径和从垂足A到点Q的垂径的乘积，等于对应的点P和Q的连线的平方。

下面我就来讲述一下垂径定理的计算公式。

首先，我们必须了解垂径定理的基本概念，即AB为一直线，A
为垂足，P为直线上点，Q为垂线上点，以及AP和BQ两条垂线。

垂径定理的计算公式为：AP*BQ=PB^2
其中，AP为从垂足A投影到点P的垂线，BQ为从垂足B投影到
点Q的垂线，而PB为从点P到点Q的直线，^2表示平方运算。

计算垂径定理的公式时，首先应计算相应的垂线的长度，例如
AP的长度为a，BQ的长度为b。

然后，可以用公式a*b=PB^2计算出PB的长度，即从点P到点Q的距离。

在一般的教学和习题中，可以有以下几种应用方法。

首先，可以利用垂径定理来计算平行四边形中任意两条边的长度，其中一边知道，另一边未知。

例如，若已知直线AB，以及M为其中
一点，则可以求出MN的长度。

另一种应用，是利用垂径定理求解三角形的内角。

有时候，我们需要求解的三角形的内角未知，仅知道三条边的长度时，则可以利用垂径定理来计算。

最后，垂径定理也可以用于求解椭圆的参数和椭圆上的点。

由于椭圆是以双曲线形式出现的，双曲线一端的点都是到椭圆中心的距离相等，则可以用垂径定理来计算双曲线上点的坐标，从而得到椭圆参
数。

以上就是关于垂径定理计算公式的全部内容，希望能够对读者有所帮助。

垂径定理在几何中有许多有趣的应用，如本文所提到的，通过深入的学习，可以更好地理解垂径定理。

9下-§3.3垂径定理（2）（垂径定理逆定理及推论）课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.2. 垂径定理逆定理解读：（1）条件：“弦”不可以是直径；因为任意两直径都被圆心平分,不一定有垂直关系.（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧.3. 垂径定理逆定理的三种语言：文字语言 图形语言 几何语言是直径（AB 过圆心）二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.回顾（补充）学习：轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.2. 垂径定理逆定理证明方法:构造等腰三角形,由平分弦得出垂直于弦;由圆心角相等得出弧相等.3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构造直角三角形，利用勾股定理解答.4.定理推论：以下五个条件：“过圆心、垂直于弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧”知二推三.三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）;CD AB ⊥∴AB DM CM ,= ;AD AC =;BD BC =【典例】如图 ，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD ，点O 是弧CD 所在圆的圆心），其中m CD 600=，E 为弧CD 上一点，且OE 平分弦CD ，交CD 于F ，m EF 90=． 求这段弯路的半径．一读：关键词：点O 是圆心，OE 平分弦CD .二联：重要结论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦.重要方法：垂径定理逆定理应用，构造直角三角形.进而用勾股解决问题.三解：解：连接.OC设,R OE OC ==则有.)90(m R OF -=OE 是半径（点O 是圆心），OE 平分弦CDCD OE CD CF ⊥==∴，30021 在OCF RT ∆中，由勾股定理得222OF CF OC +=22290300）（-+=∴R R ∴解得：545=R所以这条弯路的半径为m 545四悟：渗透用代数方法（列方程法）解决几何问题的思想.四、金题核思点拨（学习抓重点，思维抓核心，学必须学的.）1. 下列命题中，假命题是（ ）（A ）平分弧的直径必平分这条弧所对的弦.（B ）圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心.（C ）平分弦的直径垂直于弦.（D ）垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧.核思点拨: 理解“①过圆心、②垂直于弦、③平分弦、④平分劣弧、⑤平分优弧”知二推三.并能灵活应用.答案：选（C ）选项（A ）是由①④(⑤)推③,正确; 选项（B ）是②③推①,正确; 选项（C ）被平分的弦没有说明不是直径,不正确; 选项（D ）②③推④⑤,正确2. 如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ， , ，的中点分别是Q P N M ，，，.若14=+NQ MP ，18=+BC AC ，则直径AB 的长.核思点拨: 垂径定理与逆定理及有关推论的综合运用,求直径AB 长，即求半径长，与条件有关的半径为OQ OP ,,所以连接OQ OP ,,由垂径定理及有关知识说明OQN OPM ,三点共线，再由条件中的两个与线段有关的等式求出OQ OP ,长.答案：连接OP 交AC 于H ，连接OQ 交BC 于KOP 为半径，点P 是 的中点. 点Q 是 的中点.OP AC OP ,⊥∴平分AC ，OQ BC OQ ,⊥∴平分BC在正方形ACDE 中，DE AC DE AC =，//在正方形BCFG 中，FG BC FG BC =，//OP DE OP ,⊥∴平分DE ，OQ FG OQ ,⊥∴平分FGN M ， 是DE ，FG 的中点，OQN OPM ,∴三点共线.18=+BC AC ，92121=+∴BC AC ，18=+NK MH 9=+∴OH OK27918=+=+++OK OH NK MH14=+NQ MP131427=-=+∴OQ OP∴直径13=+=OQ OP ABAC BC AC BC H K。

垂 径 定 理内容提要：圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。

垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。

）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。

）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543 符号语言：⎩⎨⎧⊥ AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BDAD BC AC BEAE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。

推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。

相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。

概念辨析题：1．下面四个命题中正确的一个是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧典型例题分析：例题1、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.说明：本题主要考查垂径定理．易错点是忘记油面宽度AB 是DB 的2倍．例题2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.说明：①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②作辅助线的能力．例题3、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半CDA BO E径.说明：作出弦)(AB 的弦心距)(OE ，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键.例题4、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.例题5、如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.说明：此题是利用垂径定理的计算问题，要充分利用条件∠BED=30°，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过解直角三角形求解。