初中数学平方差与完全平方公式基础题(含答案)

平方差公式◆基础训练1．（a2+b2）（a2－b2）=（____）2－（____）2=______．2．（－2x2－3y2）（2x2－3y2）=（____）2－（____）2=_____．3．20×19=（20+____）（20－____）=_____－_____=_____．4．9.3×10.7=（____－_____）（____+____）=____－_____．5．20062－2005×2007的计算结果为（）A．1 B．－1 C．2 D．－26．在下列各式中，运算结果是b2－16a2的是（）A．（－4a+b）（－4a－b） B．（－4a+b）（4a－b）C．（b+2a）（b－8a） D．（－4a－b）（4a－b）7．运用平方差公式计算．（1）102×98 （2）234×314（3）－2.7×3.3（4）1007×993 （5）1213×1123（6）－1945×2015（7）（3a+2b）（3a－2b）－b（a－b）（8）（a－1）（a－2）（a+1）（a+2）（9）（a+b）（a－b）+（a+2b）（a－2b）（10）（x+2y）（x－2y）－（2x+5y）（2x－5y）（11）（2m－5）（5+2m）+（－4m－3）（4m－3）（12）（a+b）（a－b）－（a－3b）（a+3b）+（－2a+3b）（－2a－3b）◆综合应用8．（3a+b）（____）=b2－9a2；（a+b－m）（____）=b2－（a－m）2．9．先化简，再求值:（3a+1）（3a－1）－（2a－3）（3a+2），其中a=－13．10．运用平方差公式计算:（1）220052005200042006-⨯；（2）99×101×10 001．11．解方程:（1）2（x+3）（x－3）=x2+（x－1）（x+1）+2x（2）（2x－1）（2x+1）+3（x+2）（x－2）=（7x－1）（x+1）12．计算：（4x－3y－2a+b）2－（4x+3y+2a－b）2．◆拓展提升13．若a+b=4，a2－b2=12，求a，b的值．完全平方公式◆基础训练1．完全平方公式：（a+b）2=______，（a－b）2=______．即两数的_____的平方等于它们的_____，加上（或减去）________．2．计算:（1）（2a+1）2=（_____）2+2·____·_____+（____）2=________；（2）（2x－3y）2=（_____）2－2·____·_____+（_____）2=_______．3．（____）2=a2+12ab+36b2；（______）2=4a2－12ab+9b2．4．（3x+A）2=9x2－12x+B，则A=_____，B=______．5．m2－8m+_____=（m－_____）2．6．下列计算正确的是（）A．（a－b）2=a2－b2 B．（a+2b）2=a2+2ab+4b2C．（a2－1）2=a4－2a2+1 D．（－a+b）2=a2+2ab+b27．运算结果为1－2ab2+a2b4的是（）A．（－1+ab2）2 B．（1+ab2）2 C．（－1+a2b2）2 D．（－1－ab2）2 8．计算（x+2y）2－（3x－2y）2的结果为（）A．－8x2+16xy B．－4x2+16xy C．－4x2－16xy D．8x2－16xy 9．计算（a+1）（－a－1）的结果是（）A．－a2－2a－1 B．－a2－1 C．a2－1 D．－a2+2a－1 10．运用完全平方公式计算:（1）（a+3）2（2）（5x－2）2（3）（－1+3a）2（4）（13a+15b）2（5）（－a－b）2（6）（－a+12）2（7）（xy+4）2（8）（a+1）2－a2（9）（－2m2－12n2）2（10）1012（11）1982（12）19.92 11．计算:（1）（a+2b）（a－2b）－（a+b）2（2）（x－12）2－（x－1）（x－2）12．解不等式：（2x－5）2+（3x+1）2>13（x2－10）+2．◆综合应用13．若（a+b）2+M=（a－b）2，则M=_____．14．已知（a－b）2=8，ab=1，则a2+b2=_____．15．已知x+y=5，xy=3，求（x－y）2的值16．一个圆的半径为rcm，当半径减少4cm后，这个圆的面积减少多少平方厘米？◆拓展提升17．已知x+1x=3，试x2+21x和（x－1x）2的值．平方差公式参考答案1．a2 b2 a4－b4 2．－3y2 2x2 9y4－4x43．2323202（23）2 399594．10 0.7 10 0.7 •100 0.49 5．A 6．D7．（1）9996 （2）81516（3）－8.91 （4）999 951（5）14389（6）－399.96 （7）9a2－ab－3b2（8）a4－5a2+4（9）2a2－5b2（10）21y2－3x2（11）－12m2－16 （12）4a2－b28．b－3a b－a+m9．3a2+5a+5 11310．（1）2005 （2）99 999 99911．（1）x=－172（2）x=－212．－48xy－32ax+16bx13．a=3.5，b=0.5完全平方公式参考答案1．a2+2ab+b2 a2－2ab+b2和（或差）平方和这两个数乘积的2倍2．（•1）•2a •2a 1 1 4a2+4a+1 （2）2x 2x 3y 3y 4x2－12xy+9y23．a+6b 2a－3b 4．－•2 •4 5．16 46．C 7．A 8．A 9．A10．（1）a2+6a+9 （2）25x2－20x+4 （3）9a2－6a+1 •（4）19a2+215ab+125b2（5）a2+2ab+b2（6）a4－a2+14（7）x2y4+8xy2+16 （8）2a+1 （9）4m4+2m2n2+14n4（10）10 201 （11）39 204 （12）396.0111．（1）－2ab－5b2（2）2x－7412．x<11 • •13．•－4ab14．1015．1316．（8r－16） cm217．7 5。

初中数学平方差完全平方公式练习题(附答案)初中数学平方差完全平方公式练题一、单选题1.下列各式添括号正确的是(。

)A.x y(y x)B.x y(x y)C.10m5(2m)D.32a(2a3)2.(1y)(1y)(。

)A.1+y2B.1y2C.1y2D.1y23.下列计算结果为2ab a2b2的是(。

)A.(a b)2B.(a b)2C.(a b)2D.(a b)24.5a24b2=()25a416b4，括号内应填(。

)A.5a24b2B.5a24b2C.5a24b2D.5a24b25.下列计算正确的是(。

)A.(x y)2x22xy y2B.(m2n)2m24n2C.(3x y)2=9x2-6xy+y2D.x5x25x25/46.多项式15m3n25m2n20m2n3各项的公因式是(。

)A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn27.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是(。

)A.a2b 2B.5m220mnC.x2y2D.x298.化简(x3)2x(x6)的结果为(。

)A.6x9B.12x9C.9D.3x99.下列多项式能用完全平方公式分解的是(。

)A.x2x 1B.12x x2C.a2a1/2D.a2b22ab10.计算(3a bc)(bc3a)的结果是(。

)A.b2c29a2B.b2c23a2C.b2c29a2D.9a2b2c211.如果x2(m1)x9是一个完全平方式，那么m的值是(。

)A.7B.7C.5或7D.5或512.若a,b,c是三角形的三边之长，则代数式a22bc c2b2的值(。

)A.小于0B.大于0C.等于0D.以上三种情况均有可能二、解答题13.计算：1）-3x2-5y/（x2-5y）；2）9x2+1(1-3x)(-3x-1)。

解：（1）-3x2-5y/（x2-5y）= -3x2/(x2-5y) - 5y/(x2-5y) = -3 - 5y/(x2-5y)。

2）9x2+1(1-3x)(-3x-1) = 9x2+1(9x2+3x-x-1) = (3x+1)(3x-1)。

平⽅差公式和完全平⽅公式（习题及答案）平⽅差公式和完全平⽅公式（习题）例题⽰范例1：计算：23(1)(1)2(1)a a a -+---+．【操作步骤】（1）观察结构划部分：23(1)(1)2(1)a a a -+---+①②（2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算．第⼀部分：a -和a -符号相同，是公式⾥的“a ”，1和-1符号相反，是公式⾥的“b ”，可以⽤平⽅差公式；第⼆部分：可以⽤完全平⽅公式，利⽤⼝诀得出答案．（3）每步推进⼀点点．【过程书写】解：原式2223()12(21)a a a ??=---++??223(1)242a a a =----2233242a a a =----245a a =--巩固练习1. 下列多项式乘法中，不能⽤平⽅差公式计算的是（）A ．()()x y y x ---+B ．()()xy z xy z +-C ．(2)(2)a b a b --+D ．1122x y y x --- ??2. 下列各式⼀定成⽴的是（）A ．222(2)42x y x xy y -=-+B ．22()()a b b a -=-C ．2221124a b a ab b ??-=++D ．222(2)4x y x y +=+3. 若2222(23)412x y x xy n y +=++，则n =__________．4. 若222()44ax y x xy y -=++，则a =________．5. 计算：①112233m n n m --- ??；②22()()()y x x y x y -++；③22(32)4x y y ---；④2()a b c +-；⑤296；⑥2112113111-?．6. 运⽤乘法公式计算：①2(2)(2)(2)x y x y x y -+-+；②22(1)2(24)a a a +--+；③(231)(231)x y x y +--+；④3()a b -；⑤222233m m +-- ? ?；⑥2210199-．思考⼩结1. 在利⽤平⽅差公式计算时要找准公式⾥⾯的a 和b ，我们把完全相同的“项”看作公式⾥的“_____”，只有符号不同的“项”看作公式⾥的“_____”，⽐如()()x y z x y z +---，_______是公式⾥的“a”，_______是公式⾥的“b ”；同样在利⽤完全平⽅公式的时候，如果底数⾸项前⾯有负号，要把底数转为它的______去处理，⽐如22()(_______)a b --=2. 根据两⼤公式填空：+(_______)+(_______)b )22(2【参考答案】巩固练习1. C2. B3. ±34. -25. ①22149n m - ②44x y -+ ③2912x xy +④222 222a ab b bc ac c ++--+ ⑤9 216⑥1 6. ①242xy y --②267a a -+- ③224961x y y -+- ④322333a a b ab b -+- ⑤83m ⑥400 思考⼩结1. a ，b ，(x -z )，y ，相反数，a +b2. 2ab ，2ab ，4ab。

平方差公式和完全平方公式（含参一）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.若，则的值为( )A.-1B.1C.±1D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式2.若，则的值为( )A.-4B.±4C.±4yD.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式3.若，则的值为( )A.3B.-3C.±3D.±9答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式4.若，则的值为( )A.7B.±7C.-7D.以上都不对答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平方差公式5.若是完全平方式，则的值为( )A.2B.-2C.±2D.±1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式6.若是完全平方式，则的值为( )A.36B.9C.-9D.±9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式7.若是完全平方式，则的值为( )A.-6B.-12C.±6D.±12答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式8.若是完全平方式，则的值为( )A.-4B.4C.-16D.16答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式9.若，则的值为( )A.2B.-2C.±2D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式10.若，则的值为( )A.-1B.1C.±1D.-4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式。

乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 ② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2= x 2y 2-(z 2+2zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2 ⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2 ⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯- 例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

平方差与完全平方公式练习1、用平方差公式进行计算：
(1) 103×97; (2)118×122 (3) 102×98 (4) 51×49
2、平方差公式在混合运算中的应用：
(3) (4)
利用平方差公式进行证明:
3、对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数．
方法总结：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
4、如果两个连续奇数分别是2n-1，2n+1（其中n为正整数），证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
注意：逆用了平方差公式！5、
6、
7、
8、
9、对于任意一个正整数n，整式A=(4n+1)·(4n-1)-(n+1)·(n-1)能被15整除吗？请说明理由.
10、王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
完全平方公式
1、利用完全平方公式计算：
2、下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
3、利用完全平方公式计算
4、利用完全平方公式的变形求整式的值：
5、填空：
6、
7、
8、(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2) (2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n) 9、
10、已知x+y=8, x-y=4,求xy.。

乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，x y y x x 2y 2 ② 符号变化，x y x yx2y 2 x 2y 2③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化，2ab 2ab 4a2b 2 ⑤ 换式变化，xy zmxyzmxy 2zm 2x 2y 2z m z m x 2y 2z 2zmzm m 2x 2y 2z 22zmm 2 ⑥ 增项变化，x yz xyzx y 2z 2 x y xy z 2 x 2xyxy y 2z 2x 22xyy 2z 2 ⑦ 连用公式变化，x yxy x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ⑧ 逆用公式变化，xy z 2x y z 2xyzxyzx y z x y z2x 2y 2z4xy4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+ba ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a=-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+ba ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

平方差公式和完全平方公式（习题）➢ 例题示范例1：计算：23(1)(1)2(1)a a a -+---+．【操作步骤】（1）观察结构划部分：23(1)(1)2(1)a a a -+---+① ②（2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算．第一部分：a -和a -符号相同，是公式里的“a ”，1和-1符号相反，是公式里的“b ”，可以用平方差公式；第二部分：可以用完全平方公式，利用口诀得出答案．（3）每步推进一点点．【过程书写】解：原式2223()12(21)a a a ⎡⎤=---++⎣⎦223(1)242a a a =----2233242a a a =----245a a =--➢ 巩固练习1. 下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y y x ---+B ．()()xy z xy z +-C ．(2)(2)a b a b --+D ．1122x y y x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2. 下列各式一定成立的是（ ）A ．222(2)42x y x xy y -=-+B ．22()()a b b a -=-C ．2221124a b a ab b ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭D ．222(2)4x y x y +=+3. 若2222(23)412x y x xy n y +=++，则n =__________．4. 若222()44ax y x xy y -=++，则a =________．5. 计算： ①112233m n n m ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ②22()()()y x x y x y -++；③22(32)4x y y ---；④2()a b c +-；⑤296；⑥2112113111-⨯．6. 运用乘法公式计算：①2(2)(2)(2)x y x y x y -+-+； ②22(1)2(24)a a a +--+；③(231)(231)x y x y +--+；④3()a b -；⑤222233m m ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑥2210199-．➢ 思考小结1. 在利用平方差公式计算时要找准公式里面的a 和b ，我们把完全相同的“项”看作公式里的“_____”，只有符号不同的“项”看作公式里的“_____”，比如()()x y z x y z +---，_______是公式里的“a ”，_______是公式里的“b ”；同样在利用完全平方公式的时候，如果底数首项前面有负号，要把底数转为它的______去处理，比如22()(_______)a b --=2. 根据两大公式填空：+(_______)+(_______)b )222(2【参考答案】➢ 巩固练习1. C2. B3. ±34. -25. ①22149n m - ②44x y -+ ③2912x xy +④222 222a ab b bc ac c ++--+ ⑤9 216⑥1 6. ①242xy y --②267a a -+- ③224961x y y -+- ④322333a a b ab b -+- ⑤83m ⑥400 ➢ 思考小结1. a ，b ，(x -z )，y ，相反数，a +b2. 2ab ，2ab ，4ab。

乘法公式的复习一、复习:a+ba-b=a 2-b 2 a+b 2=a 2+2ab+b 2 a-b 2=a 2-2ab+b 2归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式：① 位置变化,xyyxx 2y 2 ② 符号变化,xyxyx 2y 2 x 2y 2③ 指数变化,x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化,2ab 2ab 4a 2b 2⑤ 换式变化,xyzmxyzmxy 2zm 2 x 2y 2z 22zm +m 2x 2y 2z 22zmm 2⑥ 增项变化,xyzxyzxy 2z 2 x 22xy y 2z 2⑦ 连用公式变化,xyxyx 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4⑧ 逆用公式变化,xyz 2xyz 2xyzxyzxyzxyz2x 2y 2z 4xy 4xz例1．已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值;解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值;解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式;解：19992-2000×1998 =19992-1999+1×1999-1=19992-19992-12=+1 =1例4：已知a+b=2,ab=1,求a 2+b 2和a-b 2的值;〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解;解：a 2+b 2=a+b 2-2ab=4-2=2a-b 2=a+b 2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2,y-z=2,x+z=14;求x 2-z 2的值;〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值,比较麻烦,考虑到x 2-z 2是由x+z 和x-z 的积得来的,所以只要求出x-z 的值即可;解：因为x-y=2,y-z=2,将两式相加得x-z=4,所以x 2-z 2=x+zx-z=14×4=56; 例6：判断2+122+124+1……22048+1+1的个位数字是几〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案,故有一定的规律可循;观察到1=2-1和上式可构成循环平方差;解：2+122+124+1……22048+1+1=2-122+124+1……22048+1+1=24096=161024因为当一个数的个位数字是6的时候,这个数的任意正整数幂的个位数字都是6,所以上式的个位数字必为6;例7．运用公式简便计算11032 21982解：1103210032 10022100332 100006009 106092198220022 20022200222 400008004 39204例8．计算1a 4b 3ca 4b 3c 23xy 23xy 2解：1原式a 3c 4ba 3c 4ba 3c 24b 2a 26ac 9c 216b 22原式3xy 23xy 29x 2 y 24y 49x 2y 24y 4例9．解下列各式1已知a 2b 213,ab 6,求ab 2,ab 2的值;2已知ab 27,ab 24,求a 2b 2,ab 的值;3已知aa 1a 2b 2,求222a b ab +-的值; 4已知13x x -=,求441x x +的值; 分析：在公式ab 2a 2b 22ab 中,如果把ab ,a 2b 2和ab 分别看作是一个整体,则公式中有三个未知数,知道了两个就可以求出第三个;解：1∵a 2b 213,ab 6ab 2a 2b 22ab 132625 ab 2a 2b 22ab 132612∵ab 27,ab 24a 22abb 27 ① a 22abb 24 ②①②得 2a 2b 211,即22112a b +=①②得 4ab 3,即34ab =3由aa 1a 2b 2 得ab 24由13x x -=,得19x x 2⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 即22129x x +-= 22111x x ∴+= 221121x x 2⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 即4412121x x ++= 441119x x += 例10．四个连续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗为什么分析：由于1234125522345112111234561361192…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1,都是平方数; 解：设n ,n 1,n 2,n 3是四个连续自然数则nn 1n 2n 31 nn 3n 1n 21 n 23n 22n 23n 1n 23nn 23n 21 n 23n 12∵n 是整数, n 2,3n 都是整数 n 23n 1一定是整数n 23n 1是一个平方数 四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数;二、乘法公式的用法一、套用:这是最初的公式运用阶段,在这个环节中,应弄清乘法公式的来龙去脉,准确地掌握其特征,为辨认和运用公式打下基础,同时能提高学生的观察能力;例1. 计算：()()53532222x y x y +-解：原式()()=-=-53259222244x y x y二、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题;例2. 计算：()()()()111124-+++a a a a解：原式()()()=-++111224a a a例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--解：原式()()[]()()[]=-++--+25312531y z x y z x三、逆用:学习公式不能只会正向运用,有时还需要将公式左、右两边交换位置,得出公式的逆向形式,并运用其解决问题;例4. 计算：()()57857822a b c a b c +---+解：原式()()[]()()[]=+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c四、变用: 题目变形后运用公式解题;例5. 计算：()()x y z x y z +-++26解：原式()[]()[]=++-+++x y z z x y z z 2424五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题;这里以完全平方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式,往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用知识的能力; 例6. 已知a b ab -==45，,求a b 22+的值;解：()a b a b ab 2222242526+=-+=+⨯=例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22解：原式()()[]()()[]=++-++--b c a d b c a d 22三、学习乘法公式应注意的问题一、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”．例1 计算-2x 2-52x 2-5分析：本题两个因式中“-5”相同,“2x 2”符号相反,因而“-5”是公式a +ba -b =a 2-b 2中的a ,而“2x 2”则是公式中的b ．解：原式=-5-2x 2-5+2x 2=-52-2x 22=25-4x 4．例2 计算-a 2+4b 2分析：运用公式a +b 2=a 2+2ab +b 2时,“-a 2”就是公式中的a ,“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为4b -a 22时,则“4b ”是公式中的a ,而“a 2”就是公式中的b ．解略二、注意为使用公式创造条件例3 计算2x +y -z +52x -y +z +5．分析：粗看不能运用公式计算,但注意观察,两个因式中的“2x ”、“5”两项同号,“y ”、“z ”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式=〔2x +5+y -z 〕〔2x +5-y -z 〕=2x +52-y -z 2=4x 2+20x +25-y +2yz -z 2．例5 计算2+122+124+128+1．分析：此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项2-1,则可运用公式,使问题化繁为简．解：原式=2-12+122+124+128+1 =22-122+124+128+1=24-124+128+1=28-128+1=216-1三、注意公式的推广计算多项式的平方,由a +b 2=a 2+2ab +b 2,可推广得到：a +b +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ．可叙述为：多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍．例6 计算2x +y -32解：原式=2x 2+y 2+-32+2·2x ·y +2·2x -3+2·y -3=4x 2+y 2+9+4xy -12x -6y ．四、注意公式的变换,灵活运用变形公式例7 2已知：x +2y =7,xy =6,求x -2y 2的值．分析：粗看似乎无从下手,但注意到乘法公式的下列变形：x 2+y 2=x +y 2-2xy ,x 3+y 3=x +y 3-3xyx +y ,x +y 2-x -y 2=4xy ,问题则十分简单．解：2x -2y 2=x +2y 2-8xy =72-8×6=1．例8 计算a +b +c 2+a +b -c 2+a -b +c +b -a +c 2．分析：直接展开,运算较繁,但注意到由和及差的完全平方公式可变换出a +b 2+a -b 2=2a 2+b 2,因而问题容易解决．解：原式=a +b +c 2+a +b -c 2+c +a -b 2+c -a -b 2=2a +b 2+c 2+2c 2+a -b 2=2a +b 2+a -b 2+4c 2=4a 2+4b 2+4c 2五、注意乘法公式的逆运用例9 计算a -2b +3c 2-a +2b -3c 2．分析：若按完全平方公式展开,再相减,运算繁杂,但逆用平方差公式,则能使运算简便得多． 解：原式=a -2b +3c +a +2b -3ca -2b +3c -a +2b -3c =2a -4b +6c =-8ab +12ac ．例10 计算2a +3b 2-22a +3b 5b -4a +4a -5b 2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算,但逆用完全平方公式,则运算更为简便．解：原式=2a +3b 2+22a +3b 4a -5b +4a -5b 2=2a +3b +4a -5b 2=6a -2b 2=36a 2-24ab +4b 2． 四、怎样熟练运用公式：一、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差,且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．二、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数,也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算x +2y －3z 2,若视x +2y 为公式中的a ,3z 为b ,则就可用a －b 2=a 2－2ab +b 2来解了;三、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点．常见的几种变化是：1、位置变化 如3x +5y 5y －3x 交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了．2、符号变化 如－2m －7n 2m －7n 变为－2m +7n 2m －7n 后就可用平方差公式求解了思考：不变或不这样变,可以吗3、数字变化 如98×102,992,912等分别变为100－2100+2,100－12,90+12后就能够用乘法公式加以解答了．4、系数变化 如4m +2n 2m －4n 变为22m +4n 2m －4n 后即可用平方差公式进行计算了． 5、项数变化 如x +3y +2zx －3y +6z 变为x +3y +4z －2zx －3y +4z +2z 后再适当分组就可以用乘法公式来解了四、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算a 2+12·a 2－12,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便．即原式=a 2+1a 2－12=a 4－12=a 8－2a 4+1．对数学公式只会顺向从左到右运用是远远不够的,还要注意逆向从右到左运用．如计算1－2211－2311－241…1－2911－2101,若分别算出各因式的值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题． 即原式=1－211+211－311+31×…×1－1011+101=21×23×32×34×…×109×1011 =21×1011=2011． 有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变式主要有：a 2+b 2=a +b 2－2ab ,a 2+b 2=a －b 2+2ab 等．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如已知m +n =7,mn =－18,求m 2+n 2,m 2－mn + n 2的值．面对这样的问题就可用上述变式来解,即m 2+n 2=m +n 2－2mn =72－2×－18=49+36=85,m 2－mn + n 2= m +n 2－3mn =72－3×－18=103．下列各题,难不倒你吧1、若a +a1=5,求1a 2+21a ,2a －a 12的值． 2、求2+122+124+128+1216+1232+1264+1+1的末位数字．答案：1.123；221．2. 6五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：a ＋ba －b=a 2－b 2,a ±b=a 2±2ab ＋b 2,a ±ba 2±ab ＋b 2=a 3±b 3．第一层次──正用即根据所求式的特征,模仿公式进行直接、简单的套用．例1计算 2－2x －y2x －y ．2原式=－y －2x －y ＋2x=y 2－4x 2．第二层次──逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用．例2计算119982－1998·3994＋19972；解1原式=19982－2·1998·1997＋19972 =1998－19972=1 第三层次──活用 ：根据待求式的结构特征,探寻规律,连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件,灵活应用公式．例3化简：2＋122＋124＋128＋1＋1．分析直接计算繁琐易错,注意到这四个因式很有规律,如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式,从而问题迎刃而解．解原式=2－12＋122＋124＋128＋1＋1=22－122＋124＋128＋1＋1=216．例4计算：2x－3y－1－2x－3y＋5分析仔细观察,易见两个因式的字母部分与平方差公式相近,但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：－1=2－3,5=2＋3,使用公式巧解．解原式=2x－3y－3＋2－2x－3y＋3＋2=2－3y＋2x－32－3y－2x－3=2－3y2－2x－32=9y2－4x2＋12x－12y－5．第四层次──变用：解某些问题时,若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式,如a2＋b2=a＋b2－2ab,a3＋b3=a＋b3－3aba＋b等,则求解十分简单、明快．例5已知a＋b=9,ab=14,求2a2＋2b2和a3＋b3的值．解：∵a＋b=9,ab=14,∴2a2＋2b2=2a＋b2－2ab=292－2·14=106,a3＋b3=a＋b3－3aba＋b=93－3·14·9=351第五层次──综合后用：将a＋b2=a2＋2ab＋b2和a－b2=a2－2ab＋b2综合,可得 a＋b2＋a－b2=2a2＋b2；a＋b2－a－b2=4ab；等,合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．例6计算：2x＋y－z＋52x－y＋z＋5．解：原式=142x+y-z+5+2x-y+z+52-142x+y-z+5-2x-y+z+52=2x＋52－y－z2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2六、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式：对于学习的两种三个乘法公式：平方差公式：a+ba-b=a2-b2、完全平方公式：a+b2=a2+2ab+b2；a-b2=a2-2ab+b2,可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们;假设a、b都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式;如图1,两个矩形的面积之和即阴影部分的面积为a+ba-b,通过左右两图的对照,即可得到平方差公式a+ba-b=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为a+b2与a-b2,通过面积的计算方法,即可得到两个完全平方公式：a+b2=a2+2ab+b2与a-b2=a2-2ab+b2;2、乘法公式的使用技巧：①提出负号：对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以避免负号多带来的麻烦;例1、运用乘法公式计算：1-1+3x-1-3x； 2-2m-12解：1-1+3x-1-3x=-1-3x-1+3x=1-3x1+3x=12-3x2=1-9x2.2 -2m-12=-2m+12=2m+12= 4m 2+4m+1.②改变顺序：运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排列顺序,可以使公式的特征更加明显.例2、 运用乘法公式计算：1错误!错误!; 2x-1/2x 2+1/4x+1/2解：1错误!错误!=错误!错误!=错误!错误!=错误!= 错误!2 x-1/2x 2+1/4x+1/2= x-1/2 x+1/2x 2+1/4=x 2-1/4 x 2+1/4= x 2-1/16.③逆用公式将幂的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得a 2-b 2 = a+ba-b,逆用积的乘方公式,得a n b n =ab n ,等等,在解题时常会收到事半功倍的效果;例3、 计算：1x/2+52-x/2-52 ; 2a-1/22a 2+1/4 2a+1/22解：1x/2+52-x/2-52 =x/2+5+x/2-5 x/2+5-x/2-5=x/2+5+x/2-5 x/2+5-x/2+5=x ·10=10x.2a-1/22a 2+1/4 2a+1/22=a-1/2a 2+1/4 a+1/2 2 =a-1/2 a+1/2 a 2+1/4 2=a 2-1/4 a 2+1/4 2 =a 4-1/16 2 =a 8-a 4/8+1/256.④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项调到各因式的前面,视为一组；符号相反的项放在后面,视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算;计算：1x+y+11-x-y; 22x+y-z+52x-y+z+5.解：1 x+y+11-x-y=1+x+y1-x-y= 1+x+y1-x+y=12-x+y 2=1-x 2+2xy+y 2= 1-x 2-2xy-y 2.22x+y-z+52x-y+z+5=2x+5+y-z2x+5-y+z= 2x+5+y-z2x+5-y-z= 2x+52-y-z 2 =4x 2+20x+25-y 2-2yz+z 2= 4x 2+20x+25-y 2+2yz-z 2 = 4x 2-y 2-z 2+2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要内容,是今后学习的基础,应用极为广泛;尤其多项式乘多项式,运算过程复杂,在解答中,要仔细观察,认真分析题目中各多项式的结构特征,将其适当变化,找出规律,用乘法公式将其展开,运算就显得简便易行;一. 先分组,再用公式例1. 计算：()()a b c d a b c d -+-----简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开,则显得非常繁杂;通过观察,将整式()a b c d -+-运用加法交换律和结合律变形为()()--++b d a c ；将另一个整式()----a b c d 变形为()()---+b d a c ,则从其中找出了特点,从而利用平方差公式即可将其展开;解：原式[]()()[]=--++---+()()b d a c b d a c 二. 先提公因式,再用公式例2. 计算：8244x y x y +⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪简析：通过观察、比较,不难发现,两个多项式中的x 的系数成倍数,y 的系数也成倍数,而且存在相同的倍数关系,若将第一个多项式中各项提公因数2出来,变为244x y +⎛⎝ ⎫⎭⎪,则可利用乘法公式; 解：原式=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪24444x y x y 三. 先分项,再用公式例3. 计算：()()232236x y x y ++-+简析：两个多项中似乎没多大联系,但先从相同未知数的系数着手观察,不难发现,x 的系数相同,y 的系数互为相反数,符合乘法公式;进而分析如何将常数进行变化;若将2分解成4与-2的和,将6分解成4与2的和,再分组,则可应用公式展开; 解：原式=[]()()[]()()24232423x y x y +--++- 四. 先整体展开,再用公式例4. 计算：()()a b a b +-+221简析：乍看两个多项式无联系,但把第二个整式分成两部分,即[]()a b -+21,再将第一个整式与之相乘,利用平方差公式即可展开;解：原式[]=+-+()()a b a b 221五. 先补项,再用公式例5. 计算：331313131842+++++()()()()简析：由观察整式()31+,不难发现,若先补上一项()31-,则可满足平方差公式;多次利用平方差公式逐步展开,使运算变得简便易行;解：原式=+++++-331313131312842()()()()() 六. 先用公式,再展开例6. 计算：11211311411102222-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪… 简析：第一个整式1122-⎛⎝ ⎫⎭⎪可表示为11222-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,由简单的变化,可看出整式符合平方差公式,其它因式类似变化,进一步变换成分数的积,化简即可;解：原式=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪11211211311311411411101110… 七. 乘法公式交替用例7. 计算：()()()()x z x xz z x z x xz z +-+-++222222简析：利用乘法交换律,把第一个整式和第四个整式结合在一起,把第二个整式与第三个整式结合,则可利用乘法公式展开;解：原式[][]=+++-+-()()()()x z x xz z x xz z x z 222222 八、中考与乘法公式1. 结论开放例1. 02年济南中考请你观察图1中的图形,依据图形面积的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是______________;分析：利用面积公式即可列出()()x y x y x y +-=-22或()()x y x y x y 22-=+-或()x y x xy y -=-+2222在上述公式中任意选一个即可;例2. 03年陕西中考如图2,在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形a b >,把余下的部分剪成一个矩形,如图3,通过计算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是______________;分析：利用面积公式即可列出()()a b a b a b +-=-22或()()a b a b a b 22-=+-2. 条件开放例3. 03年四川中考多项式912x +加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式可以是____________填上你认为正确的一个即可,不必考虑所有的可能情况;分析：解答时,可能习惯于按课本上的完全平方公式,得出 ()9163122x x x ++=+ 或()9163122x x x +-=-只要再动点脑筋,还会得出 9191222x x +-= 故所加的单项式可以是±6x ,或8144x ,或-1,或-92x 等; 3. 找规律例4. 01年武汉中考 观察下列各式：由猜想到的规律可得()()x x x x x n n n -+++++=--1112…____________;分析：由已知等式观察可知 ()()x x x x x x n n n n -+++++=---+111121…4. 推导新公式例5. 在公式()a a a +=++12122中,当a 分别取1,2,3,……,n 时,可得下列n 个等式 将这n 个等式的左右两边分别相加,可推导出求和公式：123++++=…n __________用含n 的代数式表示 分析：观察已知等式可知,后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边,将已知等式左右两边分别相加,得：()n n n +=+⨯+⨯++⨯+112122222… 移项,整理得：例6. 04年临汾中考阅读材料并解答问题：我们已经知道,完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些等式也可以用这种形式表示,例如：()()22322a b a b a ab b ++=++ 就可以用图4或图5等图表示;1请写出图6中所表示的代数恒等式____________；2试画出一个几何图形,使它的面积能表示：3请仿照上述方法另写一个含有a,b 的代数恒等式,并画出与之对应的几何图形; 解：1()()2222522a b b a a b ab ++=++2如图7。

初中数学平方差完全平方公式练习题一、单选题1.下列各式添括号正确的是( )A. B. C. D.2.( )A. B. C. D.3.下列计算结果为的是( )A. B. C. D.4.，括号内应填( )A. B. C. D.5.下列计算正确的是( )A. B.C. D.6.多项式各项的公因式是( )A. B. C. D.7.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是( )A. B. C. D.8.化简的结果为( )A. B. C.9 D.9.下列多项式能用完全平方公式分解的是( )A. B. C. D.10.计算的结果是( )A. B. C. D.11.如果是一个完全平方式，那么的值是( )A.7B.C.或7D.或512.若是三角形的三边之长，则代数式的值( )A.小于0B.大于0C.等于0D.以上三种情况均有可能二、解答题13.计算：（1）；（2）.14.因式分解.（1）（2）15.用提公因式法将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）.16.分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）.17.分解因式：（1）；（2）；（3）.18.先化简,再求值:a(a﹣2)﹣(a+1)(a﹣1),其中19.先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：（1）上述分解因式的方法是________，共应用__________了次；（2）若分解，则需应用上述方法________次，结果是___ ________；（3）分解因式：（为正整数）.三、填空题20.已知，则代数式的值是_________.21.若，则 ， .22.已知，则的值是___________.23.已知,则的值为 .24.计算的结果等于 .25.计算: .参考答案1.答案：D解析：，故A错误；，故B错误；易知C错误.故选D.2.答案：C解析：本题考查平方差公式.由平方差公式可得，故选C.3.答案：D解析：.故选D.4.答案：C解析：括号内应填.故选C.5.答案：D解析：，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选D.6.答案：C解析：多项式中，各项系数的最大公约数是5，各项都含有的相同字母是，字母的最低次数是2，字母的最低次数是1，所以各项的公因式是.故选C.7.答案：D解析：A选项，与符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误;B选项，，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误;C选项，与符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误;D选项，，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确.故选D.8.答案：C解析：.故选C.9.答案：B解析：A,C,D项不符合完全平方式的形式，故不能用完全平方公式分解因式；B项，，能用完全平方公式分解因式.故选B.10.答案：D解析：.故选D.11.答案：C解析：是一个完全平方式，，，，故选：C.12.答案：B解析：，因为三角形的任意两边之和大于第三边，所以，因此原式大于0.故选B.13.答案：（1）（2）解析：14.答案：(1)(2)略解析：15.答案：（1）（2）（3）解析：16.答案：（1）.（2）.（3）（4）解析：17.答案：（1）（2）（3）解析：18.答案：化简得-2a+1;2解析：19.答案：（1）提公因式法；2（2）2018；（3）解析：20.答案：-6解析：因为，所以.21.答案：-2 1解析：，，22.答案：2020解析：，两等式相加，得，所以.23.答案：4解析：,,.故答案为4.24.答案：9解析：根据平方差公式得，原式.25.答案：解析：原式.。