2020年青海省西宁四中、五中、十四中三校联考高考数学模拟试卷(二)(4月份)(有答案解析)

青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2020届高三物理4月联考试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分300分，考试时间150分钟。

2．答题前考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息3．考试作答时，请将答案正确填写在答题卡上。

第一卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案．．．．．．．．．．．无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．。

可能用到的相对原子质量：H：1 C：12 O：16 S：32 N：14 I：127 第I卷选择题一、单项选择题（本题共13小题，每题6分，共78分）二、选择题:本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14-18题只有一项符合题目要求，第19-21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．一粒钢珠从静止状态开始自由落体，然后陷入泥潭中。

若把它在空中自由落体的过程称为Ⅰ，进入泥潭直到停止的过程称为Ⅱ，则( )A．过程Ⅰ中钢珠动量的改变量小于重力的冲量B．过程Ⅱ中钢珠所受阻力的冲量大小等于过程Ⅰ中重力冲量的大小C．过程Ⅱ中钢珠的动量改变量等于阻力的冲量D．过程Ⅱ中阻力的冲量大小等于过程Ⅰ与过程Ⅱ重力冲量的大小15．如图所示，半圆形框架竖直放置在粗糙的水平地面上，光滑的小球P在水平外力F的作用下处于静止状态，P与圆心O的连线与水平面的夹角为θ，将力F在竖直面内沿顺时针方向缓慢地转过90°，框架与小球始终保持静止状态。

在此过程中下列说法正确的是( )A．框架对小球的支持力先减小后增大B．拉力F的最小值为mgsin θC．地面对框架的摩擦力始终在减小D．框架对地面的压力先增大后减小16．如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平，a、b是两个完全相同的带正电小球（视为点电荷），b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过p点到达某点Q（图中未画出）时速度为零。

2020年青海省高考文科数学仿真模拟试题二（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合}1|{≥=x x A ，{|230}B x x =->，则AB =（ ）A. [0,)+∞B. [1,)+∞C. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2. 在复平面内，复数22ii+-对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“x＞5”是“＞1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件4. 以A （－2，1），B （1，5）为半径两端点的圆的方程是( ) A. （x ＋2）2＋（y －1）2＝25 B. （x －1）2＋（y －5）2＝25C. （x ＋2）2＋（y －1）2＝25或（x －1）2＋（y －5）2＝25D. （x ＋2）2＋（y －1）2＝5或（x －1）2＋（y －5）2＝5 5. 已知函数2()21x f x a =-+（a R ∈）为奇函数，则(1)f =（ ） A. 53-B. 13C. 23D. 326. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，510a =-，则1a =（ ） A. -3B. -2C. 2D. 37. 在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则（ ） A. 1212p p << B. 1212p p << C. 2112p p << D.2112p p << 8. 已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ） A. 58-B.118C.14D.189. 已知4616117421⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= T ，若右边的框图是计算T 的程序框图，则框图中①和②处可以分别填入( ) A.i m m i +=≤，?10 B.1?10++=≤i m m i ， C.i m m i +=≤，?11 D.1?11++=≤i m m i ，10．已知点()12,0F -，圆()222:236F x y -+=，点M 是圆上一动点，线段1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N .则点N 的轨迹方程为A.22192x y -=B.320x y --=C.2236x y += D.22195x y += 11．函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2017届高三化学4月联考试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2017届高三化学4月联考试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2017年三校联考理科综合能力测试—化学部分7、化学与生产、生活、科技、环境等密切相关。

下列说法正确的是（ )A．石油裂解、海水晒盐、纤维素制火棉都包含化学变化B．地沟油禁止用于食品用油，但可以用于制肥皂和生物柴油C．含磷污水是很好的肥料，可灌溉庄稼，能直接排放到自然界水体中D．“嫦峨三号”使用的碳纤维是一种新型的有机高分子材料8、设N A为阿伏加徳罗常数的值。

下列叙述正确的是（ )A．1L 0.1mol•L—1的NaClO溶液中含有ClO－的数目为N AB．28g由乙烯和环丁烷（C4H8)组成的混合气体中含有的碳原子数为3N AC．400mL 1mol/L稀硝酸与足量Fe完全反应(还原产物只有NO),转移电子的数目为0。

3N A D．在一定条件下，将0.1mol N2和0。

3 molH2充分反应,转移的电子数目为0。

6N A9、短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大，X原子核外最外层电子数是其电子层数的2倍，X、Y的核电荷数之比为3∶4。

W－的最外层为8电子结构。

金属单质Z在空气中燃烧生成的化合物可与水发生氧化还原反应。

下列说法正确的是（)A．X与Y能形成多种化合物，一般条件下都能与Z的最高价氧化物的水化物发生反应B．原子半径大小：X 〈 Y，Z 〉 WC．化合物Z2Y和ZWY3都只存在离子键D．Y、W的某些单质或两元素之间形成的某些化合物可作水的消毒剂10、根据下列实验操作和现象所得到的结论正确的是( )C向稀H2SO4催化水解后的麦芽糖溶液中加入NaOH溶液使PH 〉 7，然后加入新制Cu (OH）2悬浊液并加热,出现砖红色沉淀证明麦芽糖发生了水解D室温下，用pH试纸测得:0。

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷（二）一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）1.已知集合0，1，，，则A. ，B. 1，C.D.2.已知a，，，则A. B. C. D.3.已知平面，直线m，n，若，则“”是“”的A. 充分必要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件4.如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为且，已知，，且通过该规则可得，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为A. 7B. 16C. 19D. 215.已知等比数列的各项都为正数，则，，成等差数列，则的值是A. B. C. D.6.哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理．将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A，B，为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500kg生活垃圾．数据统计如表．则估计生活垃圾投放错误的概率为A B Ca2001040b1512020c155030A. B. C. D.7.理科若的展开式中的系数为，则实数a的值为A. B. C. D. 28.阿基米德公元前287年公元前212年是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为A. B. C. D.9.如图是计算的值的程序框图，则图中处应填写的语句分别是A. ，？B. ，？C. ，？D. ，？10.已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为A. 4B. 3C. 2D. 111.设正方体的棱长为1，E为的中点，M为直线上一点，N为平面AEC内一点，则M，N两点间距离的最小值为A. B. C. D.12.文科已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N，若为直角三角形，则A. B. 4 C. D. 313.理科已知倾斜角为的直线与双曲线C：相交于A，B两点，是弦AB的中点，则双曲线的离心率为A. B. C. D.14.已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为A. B. C. 0 D.15.已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足其中为的前n项和，则A. B. C. 3 D. 2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16.设，，则a，b的大小关系为______．17.向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为______．18.如图，点F是抛物线C：的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则周长的取值范围是______．19.已知过点作曲线C：的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是______．20.过点引曲线C：的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则______．三、解答题（本大题共10小题，共118.0分）21.已知在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积为．求角C的大小；若，求的值．22.某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若该产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图：Ⅰ根据已知数据，判断是否有的把握认为一等级产品与生产线有关？Ⅱ求抽取的200件产品的平均利润；Ⅲ估计该厂若产量为2000件产品时，一等级产品的利润．附：独立性检验临界值表参考公式：，其中．23.如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为O，且，C.求证：平面；设，若直线AB与平面所成的角为，求三棱锥的体积．24.三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，，且，O为CD中点，如图．求证：平面平面BCD；若二面角的大小为，求AD与平面ABC所成角的正弦值．25.已知椭圆E：的右焦点为，其长轴长是短轴长的倍．求椭圆E的方程；问是否存在斜率为1的直线l与椭圆E交于4，B两点，，的重心分别为G，H，且以线段GH为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．26.已知椭圆的左、右焦点为、，，若圆Q方程，且圆心Q满足．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ过点的直线：交椭圆于A、B两点，过P与垂直的直线交圆Q于C、D两点，M为线段CD中点，若的面积为，求k的值．27.设函数，．求的单调区间和极值；证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．28.理科已知函数．Ⅰ求的单调区间与最值；Ⅱ若，不等式恒成立，求a的取值范围．29.在极坐标系中，曲线C的方程为，以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标，直线l的参数方程为为参数，l与C交于M，N两点．Ⅰ写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；Ⅱ设点，若、、成等比数列，求a的值．30.设函数．求不等式的解集；若函数的最大值为m，正实数p，q满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：；．故选：D．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：解：由，得，即，．．故选：C．直接利用复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．本题考查复数相等的条件，是基础题．3.答案：D解析：解：由，，不一定有，反之，由，，一定有．若，则“”是“”的必要不充分条件．故选：D．由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，结合充分必要条件的判定得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查充分必要条件的判断，是基础题．4.答案：B解析：解：；；．故选：B．代入数列的递推式，计算可得所求值．本题考查数列的递推式的运用，考查运算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：设等比数列的公比为q，且，，，成等差数列，，则，化简得，，解得，则，，故选：A．设等比数列的公比为q，且，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，属于基础题．6.答案：D解析：解：由题意，估计生活垃圾投放错误的概率为：．故选：D．利用古典概型能估计生活垃圾投放错误的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：B解析：解：的展开式的通项公式，分别令，3，可得：的展开式中的系数为：．化为，解得．故选：B．的展开式的通项公式，分别令，3，可得：的展开式中的系数，进而求得结论．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：设该圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R则圆柱的表面积，解得，即．圆柱的体积为：，该圆柱的内切球体积为：．故选：C．由已知中圆柱的轴截面为正方形，根据圆柱的表面积公式，可得圆柱的底面半径R，进而求出圆柱的体积，即可求出结论．本题考查的知识点是旋转体，圆柱的几何特征以及球的体积计算，其中根据已知条件计算出圆柱的底面半径是解答本题的关键．9.答案：A解析：解：的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2，的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，而分母从1到31共16项，故选：A．首先分析，要计算的值需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算．本题考查程序框图应用，重在解决实际问题，通过把实际问题分析，经判断写出需要填入的内容，属于基础题．10.答案：A解析：解：，，，则：，，所以，；则：，则，所以，即：，故答案为：4．先求出所用到的向量的坐标，根据条件得出动点P的坐标即x，y所满足的不等式，对所求的值进行变形，使式子中出现所求出的不等式的形式，然后进行不等式的运算即可．所要掌握的一点就是，将所求式子中的x，y的形式，变形到条件中x，y所具有的形式．11.答案：B解析：【分析】此题考查了线面平行，面面垂直，距离的最值等，属于中档题．首先判断出平面ACE，并且平面平面，从而确定所求最小值为EF和的距离，即可求解．【解答】解：如图，F为底面中心，连接EF，则，不在平面ACE内，EF在平面ACE内，平面ACE，，N之间的最短距离即为直线与平面ACE之间的距离，平面ABCD，AC在平面ABCD内，，又，、BD为平面内两条相交直线，平面，AC在平面ACE内，平面平面，与的距离即为所求，在中，求得D到的距离为，与的距离为，故选：B．12.答案：C解析：解：由题可知，双曲线的渐近线方程为，点，为直角三角形，且OM与ON不垂直，直线MN与直线OM或ON垂直，不妨设直线MN与直线ON垂直，则，直线MN的方程为，将其分别与直线联立，可解得，，．故选：C．由题可知，双曲线的渐近线方程为，点，因为为直角三角形，且OM与ON不垂直，所以不妨设直线MN与直线ON垂直，则，所以直线MN的方程为，将其分别与直线联立，可解得，，再利用两点间距离公式即可求出．本题考查双曲线的性质，考查学生的数形结合能力和运算能力，属于基础题．13.答案：D解析：解：设A、B的坐标分别为，，则，两式相减，整理得，，直线AB的倾斜角为，且弦AB的中点为，，得，离心率．故选：D．设A、B的坐标分别为，，将其均代入双曲线的方程中，并作差化简后得，因为直线AB的倾斜角为，且弦AB的中点为，所以，得，而离心率，从而得解．本题考查双曲线的性质，理解点差法的使用条件是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．14.答案：B解析：【分析】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．由函数的图象关于对称，平移可得的图象关于对称，由题意可得，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求．【解答】解：函数在上单调，且函数的图象关于对称，可得的图象关于对称，由数列是公差不为0的等差数列，且，可得，又是等差数列，所以，则的前100项的和为，故选B．15.答案：C解析：解：由题意函数是奇函数，，，故函数是周期函数，且周期．对于数列：当时，，解得；当时，，，两式相减，可得，，两边同时减1，可得：，，数列是以为首项，2为公比的等比数列．，，，，．故选：C．利用函数是奇函数结合已知条件推出得出是周期函数；对于数列，根据数列的通项公式与是前n项和的关系推出数列是一个等比数列．根据数列的通项公式可得数列的通项公式，从而得到，的值，再代入函数根据奇函数的性质及周期性即可计算出结果．本题主要考查函数周期性的判断方法及应用，奇函数的性质，数列的通项公式与数列和的关系的应用能力，等比数列的判断及性质应用，本题属综合性较强的中档题．16.答案：解析：解：，，，、b的大小关系为；故答案为．先分别将a，b平方，再进行大小比较即可．此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．17.答案：解析：解：作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．本题可惜几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．18.答案：解析：解：抛物线的焦点为，准线方程为，圆的圆心为，与抛物线的焦点重合，且半径，，，，三角形ABF的周长，，三角形ABF的周长的取值范围是．故答案为：．圆的圆心为，半径，与抛物线的焦点重合，可得，，，即可得出三角形ABF的周长，利用，即可得出．本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解析：解：设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，则切线方程为，切线过点代入得，可得，即方程有两个解，则有可得或．即a的取值范围是．故答案为：．设切点为，求得的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入A的坐标，整理为m的二次方程，由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想，以及运算能力，属于中档题．20.答案：解析：解：根据题意，过点引曲线C：的两条切线，设切点坐标为，又由，则其导数，则有，又由切线经过端，则有，解可得：或，则切点的横坐标为0和，则两条切线的斜率为和，又由，则，解可得；故答案为：．根据题意，设出切点坐标，求出原函数的导函数，由导数的几何意义可得曲线C在切点处的切线的斜率，进而可得，解可得t的值，即可得两条切线的斜率，再由，可得，代入数据计算可得答案．本题考查利用导数分析切线的方程，涉及函数导数的几何意义，属于基础题．21.答案：解：由的面积为，可得：，由，及余弦定理可得：，故：，可得：；，，解得：，又，，可得，由正弦定理，，得：．解析：由的面积为，可得：，由，及余弦定理可得：，可得，得到角C；由的结果，先求出ab，根据c，即可求出，再由正弦定理可得，即可求出结果．本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．一等品非一等品总计A生产线2080100B生产线3565100总计55145200则．而．没有的把握认为一等级的产品与生产线有关；Ⅱ，B生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数为：元，故抽取的200件产品的平均利润为元；Ⅲ，B生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A线产品有20件，B线产品有35件，由样本频率估计总体概率，则该工厂生产产品为一等级的概率估计值为，当产量为2000件产品时，估计该工厂一等级产品获利元．解析：Ⅰ根据频率分布直方图中的数据建立列联表，再求出的值，结合临界值表得结论；Ⅱ由已知数据结合频率分布直方图中的数据列式求得A，B生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数；Ⅲ求出A，B生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A线产品与一等级的B线产品，由样本频率估计总体概率，得到该工厂生产产品为一等级的概率，乘以2000得答案．本题考查独立性检验，考查频率分布直方图，训练了学生读取图表的能力，是中档题．23.答案：证明：四边形是菱形，，，且，平面，，，O是的中点，，，平面C.解：由可得平面，则BO是AB在平面上的射影，是直线AB与平面所成角，即，在中，，又，且，是正三角形，，由棱柱性质得，及平面，平面，得到平面，三棱锥的体积：．解析：推导出，，从而平面，进而，再求出，由此能证明平面C.由平面，得是直线AB与平面所成角，即，推导出平面，从而三棱锥的体积，由此能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．24.答案：证明：是等腰直角三角形，，O为CD的中点，，，，平面ABO，平面BCD，平面平面BCD，平面ABO，，为二面角的平面角，即，，，为等边三角形，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，0，，，2，，，0，，，设平面ABC的法向量y，，则，即，取令可得，．设AD与平面ABC所成角为，则．故AD与平面ABC所成角的正弦值为．解析：证明平面AOB，即可证明平面平面BCD；证明为二面角的平面角，得，进而得为等边三角形，以B为原点建立空间直角坐标系，求平面ABC的法向量，利用向量的线面角公式求解即可．本题考查面面垂直证明，线面垂直的判定及二面角的定义，考查空间向量的线面角求法，考查空间想象及计算求解能力，是中档题25.答案：解：由题意可得，解得，，椭圆E的方程为，假设存在这样的直线l，设其方程为，由，消y可得其，解得，设，，，，，，，，由题意可得，以线段GH为直径的圆过原点，，则，，则，即，解得，故存在这样的直线l，其方程为．解析：由题意可得，解得，，解得即可求出椭圆方程，假设存在这样的直线l，设其方程为，由，利用韦达定理和向量的数量积，以及三角形的重心的性质即可求出本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量数量积运算等基本知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力与计算能力．26.答案：解：Ⅰ由题意可知：，，，，，，椭圆的方程为；Ⅱ设，，由消去y，得，，，，，为线段CD中点，，又，，，又点Q到的距离，．此时，圆心Q到的距离，成立；综上：即为所求．解析：Ⅰ由题意焦距及焦点在x轴的焦点坐标，和Q坐标即可求出，a，c再，即可写出椭圆方程；Ⅱ设的方程联立椭圆，设而不求的方法求出弦长AB，再由题意直线CD，联立圆，设而不求求出CD的中点M坐标，再用点到直线的距离公式求出M到直线AB的距离，由面积求出参数k的值．考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题27.答案：解：由由解得X所以，的单调递增区间为，单调递减区间为；在处的极小值为，无极大值．证明：由知，在区间上的最小值为．因为存在零点，所以，从而当时，在区间上单调递减，且所以是在区间上唯一零点．当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点．综上所述，若存在零点，则在区间上仅有一个零点．解析：本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．利用或求得函数的单调区间并能求出极值；利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．28.答案：解：已知，则，分当时，，则单调递增；当时，，则单调递减．分所以，无最小值．分由可知，，即，分则，即分若在恒成立，则分因为，所以当且仅当时，等号成立．分故，即a的取值范围为分解析：Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，最值即可；Ⅱ根据，得到，若在恒成立，则，替换求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．29.答案：解：Ⅰ曲线C的极坐标方程可化为：，可得曲线C的直角坐标方程为：．消去参数t可得直线l 的普通方程为：．Ⅱ把直线l 的参数方程代入抛物线并整理得：，，设方程的两根分别为，，则由，，知，，，，，，，成等比数列，，，，解得或舍，．解析：Ⅰ由互化公式可得曲线C的直角坐标方程，消去参数t可得直线l的普通方程；Ⅱ立参数t的几何意义以及等比数列知识可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．30.答案：解不等式或或，解得，故原不等式的解集为；，，，，，，，，的最小值为，当且仅当时取等．解析：本题考查了绝对值不等式的解法及基本不等式求最值，属中档题．分3段去绝对值符号解不等式，再把每段的结果取并集即得解集；先根据分段函数的单调性求出最大值可得，再通过变形后使用基本不等式可得最小值．第21页，共21页。

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷（二）一、选择题（共15小题）.1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |y =√−x }，则A ∩B ＝（ ） A ．{}1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣2，﹣1}D ．{﹣2，﹣1，0}2．已知a ，b ∈R ，3+ai ＝b ﹣（2a ﹣1）i ，则（ ） A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a3．已知平面α，直线m ，n ，若n ⊂α，则“m ⊥n ”是“m ⊥α”的（ ） A ．充分必要条件 B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件4．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为f （n ）（n ≤9且n ∈N*），已知f （1）＝1，f （2）＝1，且通过该规则可得f （n ）＝f （n ﹣1）+2f （n ﹣2）+1，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）A ．7B ．16C ．19D ．215．已知等比数列{a n }的各项都为正数，则a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 4+a 6a 3+a 5的值是（ ）A ．1+√52B ．√5−12C ．3−√52D ．3+√526．哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理．将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a ，b ，c ；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A ，B ，C ．为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500kg 生活垃圾．数据统计如表．则估计生活垃圾投放错误的概率为（ ）A B C a2001040b 15 120 20 c155030A ．2350B ．14C ．950D ．3107．（理科）若（x ﹣a ）（1+3x ）6的展开式中x 3的系数为﹣45，则实数a 的值为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．28．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．64π39．如图是计算1+13+15+⋯+131的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（ ） ①①A ．n ＝n +2，i ＞16？B ．n ＝n +2，i ≥16？C ．n ＝n +1，i ＞16？D ．n ＝n +1，i ≥16？10．已知在平面直角坐标系中，O （0，0），A （1，12），B （0，1），Q （2，3），动点P （x ，y ）满足不等式0≤OP →⋅OA →≤1，0≤OP →⋅OB →≤1，则Z =OP →⋅OQ →的最大值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．111．设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为DD 1的中点，M 为直线BD 1上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ） A ．√63B ．√66C ．√34D ．√3612．（文科）已知双曲线C ：x 26−y 22=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝（ ） A ．4√2B ．4C ．3√2D ．313．（理科）已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）相交于A ，B两点，M （4，2）是弦AB 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．√6B ．√3C ．32D ．√6214．已知函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 50）＝f （a 51），则{a n }的前100项的和为（ ）A．﹣200B．﹣100C．0D．﹣5015．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（3﹣x）＝﹣f（x），f（1）＝﹣3，数列{a n}满足S n＝2a n+n（其中S n为{a n}的前n项和），则f（a5）+f（a6）＝（）A．﹣3B．﹣2C．3D．2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共20分．16．设a=√3+2√2，b＝2+√7，则a，b的大小关系为．17．向平面区域{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}内随机投入一点，则该点落在曲线y=√1−x2下方的概率为．18．如图，点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆x2+（y﹣1）2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则△AFB周长的取值范围是．19．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是．20．过点M（﹣1，0）引曲线C：y＝2x3+ax+a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|＝|MB|，则a＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．21．已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2﹣c2＝8，△ABC的面积为2√3．（1）求角C的大小；（2）若c＝2√3，求sin A+sin B的值．22．某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若该产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图：（Ⅰ）根据已知数据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？（Ⅱ）求抽取的200件产品的平均利润；（Ⅲ）估计该厂若产量为2000件产品时，一等级产品的利润．附：独立性检验临界值表P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001…k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828…（参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d）．23．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB ＝AC1=√6，AB⊥B1C．（1）求证：AO⊥平面BB1C1C；（2）设∠B1BC＝60°，若直线AB与平面BB1C1C所成的角为45°，求三棱锥A1﹣AB1C 的体积．24．三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是等腰直角三角形，BC＝BD＝2，AB=√2，且AB ⊥CD，O为CD中点，如图．（1）求证：平面ABO⊥平面BCD；（2）若二面角A﹣CD﹣B的大小为π3，求AD与平面ABC所成角的正弦值．25．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （2√2，0），其长轴长是短轴长的√3倍．（l ）求椭圆E 的方程；（2）问是否存在斜率为1的直线l 与椭圆E 交于4，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H ，且以线段GH 为直径的圆过原点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 26．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，|F 1F 2|=2√2，若圆Q 方程(x −√2)2+(y −1)2=1，且圆心Q 满足|QF 1|+|QF 2|＝2a ． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）过点P （0，1）的直线l 1：y ＝kx +1交椭圆C 1于A 、B 两点，过P 与l 1垂直的直线l 2交圆Q 于C 、D 两点，M 为线段CD 中点，若△MAB 的面积为6√25，求k 的值．27．设函数f （x ）=x 22−klnx ，k ＞0．（1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）证明：若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，√e ]上仅有一个零点． 28．（理科）已知函数f （x ）＝lnx ﹣x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间与最值；（Ⅱ）若x ∈（0，+∞），不等式x 2e x ﹣2lnx ﹣ax ﹣1≥0恒成立，求a 的取值范围． 二、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]29．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρcos 2θ＝a sin θ（a ＞0），以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标，直线l的参数方程为{x=2−√22ty=−1+√22t（t为参数），l与C交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设点P（2，﹣1），若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]30．设函数f（x）＝|1﹣x|﹣|x+3|．（1）求不等式f（x）≤1的解集；（2）若函数f（x）的最大值为m，正实数p，q满足p+2q＝m，求2p+2+1q的最小值．参考答案一、选择题：本题共15小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |y =√−x }，则A ∩B ＝（ ） A ．{}1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣2，﹣1}D ．{﹣2，﹣1，0}【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 解：B ＝{x |x ≤0}； ∴A ∩B ＝{﹣2，﹣1，0}． 故选：D ．2．已知a ，b ∈R ，3+ai ＝b ﹣（2a ﹣1）i ，则（ ） A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a【分析】直接利用复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案． 解：由3+ai ＝b ﹣（2a ﹣1）i ， 得{3=b a =1−2a ，即a =13，b ＝3．∴b ＝9a ． 故选：C ．3．已知平面α，直线m ，n ，若n ⊂α，则“m ⊥n ”是“m ⊥α”的（ ） A ．充分必要条件 B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，结合充分必要条件的判定得答案．解：由n ⊂α，m ⊥n ，不一定有m ⊥α， 反之，由n ⊂α，m ⊥α，一定有m ⊥n ．∴若n ⊂α，则“m ⊥n ”是“m ⊥α”的必要不充分条件． 故选：D ．4．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为f （n ）（n ≤9且n ∈N*），已知f （1）＝1，f （2）＝1，且通过该规则可得f （n ）＝f （n ﹣1）+2f （n ﹣2）+1，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）A ．7B ．16C ．19D ．21【分析】代入数列的递推式，计算可得所求值．解：f （3）＝f （2）+2f （1）+1＝1+2+1＝4；f （4）＝f （3）+2f （2）+1＝4+2+1＝7； f （5）＝f （4）+2f （3）＝7+8+1＝16． 故选：B ．5．已知等比数列{a n }的各项都为正数，则a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 4+a 6a 3+a 5的值是（ ）A ．1+√52B ．√5−12C ．3−√52D ．3+√52【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q ，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．解：设等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0， ∵a 3，12a 5，a 4成等差数列，∴2×12a 5＝a 3+a 4，则a 3q 2＝a 3+a 3q ，化简得，q 2﹣q ﹣1＝0，解得q =1±√52，则q =√5+12，∴a 4+a 6a 3+a 5=a 3q+a 5q a 3+a 5=q =√5+12，故选：A ．6．哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理．将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a ，b ，c ；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A ，B ，C ．为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500kg 生活垃圾．数据统计如表．则估计生活垃圾投放错误的概率为（ ）A B C a2001040 b1512020 c155030A．2350B．14C．950D．310【分析】利用古典概型能估计生活垃圾投放错误的概率．解：由题意，估计生活垃圾投放错误的概率为：P=15+15+10+50+40+20500=310．故选：D．7．（理科）若（x﹣a）（1+3x）6的展开式中x3的系数为﹣45，则实数a的值为（）A．14B．13C．23D．2【分析】（1+3x）6的展开式的通项公式T r+1=∁6r（3x）r，分别令r＝2，3，可得：（x ﹣a）（1+x3）6的展开式中x3的系数，进而求得结论．解：（1+3x）6的展开式的通项公式T r+1=∁6r•（3x）r，分别令r＝2，3，可得：（x﹣a）（1+3x）6的展开式中x3的系数为：∁62•32﹣a•∁63•33．∴∁62•32﹣a•∁63•33＝﹣45 化为15﹣60a＝﹣5，解得a=1 3．故选：B．8．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）A ．4πB ．16πC ．36πD ．64π3【分析】由已知中圆柱的轴截面为正方形，根据圆柱的表面积公式，可得圆柱的底面半径R ，进而求出圆柱的体积，即可求出结论． 解：设该圆柱的底面半径为R ，则圆柱的高为2R则圆柱的表面积S ＝S 底+S 侧＝2×πR 2+2•π•R •2R ＝54π， 解得R 2＝9，即R ＝3．∴圆柱的体积为：V ＝πR 2×2R ＝54π， ∴该圆柱的内切球体积为：23×54π＝36π．故选：C ．9．如图是计算1+13+15+⋯+131的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（ ） ①①A ．n ＝n +2，i ＞16？B ．n ＝n +2，i ≥16？C ．n ＝n +1，i ＞16？D ．n ＝n +1，i ≥16？【分析】首先分析，要计算1+13+15+⋯+131的值需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算．解：①的意图为表示各项的分母， 而分母来看相差2， ∴n ＝n +2②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件， 而分母从1到31共16项， ∴i ＞16 故选：A ．10．已知在平面直角坐标系中，O （0，0），A （1，12），B （0，1），Q （2，3），动点P（x ，y ）满足不等式0≤OP →⋅OA →≤1，0≤OP →⋅OB →≤1，则Z =OP →⋅OQ →的最大值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】先求出所用到的向量的坐标，根据条件得出动点P 的坐标即x ，y 所满足的不等式，对所求OP →⋅OQ →的值进行变形，使式子中出现所求出的不等式的形式，然后进行不等式的运算即可．解：OP →=(x ，y)，OA →=(1，12)，OB →=(0，1)，OQ →=(2，3)则： OP →⋅OA →=x +y2，OP →⋅OB →=y ，所以，0≤x +y2≤1，0≤y ≤1；则： OP →⋅OQ →=2x +3y =2（x +y2）+2y ， 则0≤2(x +y2)≤2，0≤2y ≤2， 所以 0≤2(x +y2)+2y ≤4， 即：0≤OP →⋅OQ →≤4， 故选：A ．11．设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为DD 1的中点，M 为直线BD 1上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ）A ．√63B ．√66C ．√34D ．√36【分析】首先判断出BD 1∥平面ACE ，并且平面ACE ⊥平面BB 1D 1D ，从而确定所求最小值为EF 和BD 1的距离，求解不难． 解：如图，F 为底面中心，连接EF ， 则BD 1∥EF ， ∴BD 1∥平面ACE ，∴M ，N 之间的最短距离即为直线BD 1与平面ACE 之间的距离， 易知平面ACE ⊥平面BB 1D 1D ， ∴EF 与BD 1的距离即为所求，在△DBB 1中，求得D 到BD 1的距离为√63，∴EF 与BD 1的距离为√66，故选：B ．12．（文科）已知双曲线C ：x 26−y 22=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝（ ） A ．4√2B ．4C ．3√2D ．3【分析】由题可知，双曲线x 26−y 22=1的渐近线方程为y =±√33x ，点F （2√2，0），因为△OMN 为直角三角形，且OM 与ON 不垂直，所以不妨设直线MN 与直线ON 垂直，则k MN =√3，所以直线MN 的方程为y =√3(x −2√2)，将其分别与直线y =±√33x联立，可解得M （3√2，√6），N （3√22，−√62），再利用两点间距离公式即可求出|MN |．解：由题可知，双曲线x 26−y 22=1的渐近线方程为y =±√33x ，点F （2√2，0），∵△OMN 为直角三角形，且OM 与ON 不垂直， ∴直线MN 与直线OM 或ON 垂直，不妨设直线MN 与直线ON 垂直，则k MN =√3， ∴直线MN 的方程为y =√3(x −2√2)，将其分别与直线y =±√33x 联立，可解得M （3√2，√6），N （3√22，−√62），∴|MN |=(3√2−322)2+(√6+62)2=3√2．故选：C ．13．（理科）已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）相交于A ，B两点，M （4，2）是弦AB 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．√6B ．√3C ．32D ．√62【分析】设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将其均代入双曲线的方程中，并作差化简后得y 1−y 2x 1−x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)，因为直线AB 的倾斜角为π4，且弦AB 的中点为M（4，2），所以tan π4=b 2×4a 2×2，得b 2a =12，而离心率e =√c 2a 2=√1+b 2a2，从而得解．解：设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 则{x 122−y 12b 2=1x 22a 2−y 22b 2=1，两式相减，整理得，y 1−y 2x 1−x 2=b 2(x 1+x 2)a (y 1+y 2)，∵直线AB 的倾斜角为π4，且弦AB 的中点为M （4，2），∴tan π4=b 2×4a 2×2，得b 2a =12， ∴离心率e =√c 2a 2=√1+b 2a 2=√1+12=√62．故选：D ．14．已知函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 50）＝f （a 51），则{a n }的前100项的和为（ ） A ．﹣200B ．﹣100C ．0D ．﹣50【分析】由函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1轴对称，平移可得y ＝f （x ）的图象关于x ＝﹣1对称，由题意可得a 50+a 51＝﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．解：函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于x ＝1对称， 可得y ＝f （x ）的图象关于x ＝﹣1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 50）＝f （a 51）， 可得a 50+a 51＝﹣2，又{a n }是等差数列， 所以a 1+a 100＝a 50+a 51＝﹣2， 则{a n }的前100项的和为100(a 1+a 100)2=−100故选：B ．15．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数且满足f （3﹣x ）＝﹣f （x ），f （1）＝﹣3，数列{a n }满足S n ＝2a n +n （其中S n 为{a n }的前n 项和），则f （a 5）+f （a 6）＝（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．2【分析】利用函数f （x ）是奇函数结合已知条件推出得出f （x ）是周期函数；对于数列{a n }，根据数列的通项公式与是前n 项和的关系推出数列{a n ﹣1}是一个等比数列．根据数列{a n ﹣1}的通项公式可得数列{a n }的通项公式，从而得到a 5，a 6的值，再代入函数根据奇函数的性质及周期性即可计算出结果． 解：由题意函数f （x ）是奇函数，f （0）＝0， f （3﹣x ）＝﹣f （x ）＝f （﹣x ）， 故函数f （x ）是周期函数，且周期T ＝3． 对于数列{a n }：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1+1，解得a 1＝﹣1； 当n ≥2时，S n ＝2a n +n ， S n ﹣1＝2a n ﹣1+n ﹣1，两式相减，可得a n ＝2a n ﹣2a n ﹣1+1，∴a n ＝2a n ﹣1﹣1， 两边同时减1，可得：a n ﹣1＝2a n ﹣1﹣1﹣1＝2（a n ﹣1﹣1）， ∵a 1﹣1＝﹣2，∴数列{a n ﹣1}是以﹣2为首项，2为公比的等比数列．∴a n ﹣1＝﹣2•2n ﹣1＝﹣2n ，∴a n ＝1﹣2n ，n ∈N*∴a 5＝﹣31，a 6＝﹣63．f （1）＝﹣3，∴f （a 5）+f （a 6）＝f （﹣31）+f （﹣63）＝f （﹣3×10﹣1）+f （﹣3×21）＝f （﹣1）+f （0）＝﹣f （1）＝3． 故选：C ．二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共20分．16．设a =√3+2√2，b ＝2+√7，则a ，b 的大小关系为 a ＜b ． 【分析】先分别将a ，b 平方，再进行大小比较即可． 解：∵a =√3+2√2，b ＝2+√7， ∴a 2=11+4√6，b 2=11+4√7 ∴a 、b 的大小关系为a ＜b ； 故答案为 a ＜b ．17．向平面区域{（x ，y ）|0≤x ≤1，0≤y ≤1}内随机投入一点，则该点落在曲线y =√1−x 2下方的概率为π4．【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．解：作出平面区域{（x ，y ）|0≤x ≤1，0≤y ≤1}及曲线y =√1−x 2（x ≥0，y ≥0）如图，S 正方形OABC ＝1×1＝1，S 阴影=14π×12=π4．∴向平面区域{（x ，y ）|0≤x ≤1，0≤y ≤1}内随机投入一点，则该点落在曲线y =√1−x 2下方的概率为P =π4． 故答案为：π4．18．如图，点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆x2+（y﹣1）2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则△AFB周长的取值范围是（4，6）．【分析】圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），半径r＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB|＝2，|AF|＝y A+1，|AB|＝y B﹣y A，即可得出三角形ABF的周长＝2+y A+1+y B﹣y A＝y B+3，利用1＜y B＜3，即可得出．解：抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y A+1，|AB|＝y B﹣y A，∴三角形ABF的周长＝2+y A+1+y B﹣y A＝y B+3，∵1＜y B＜3，∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．故答案为：（4，6）．19．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【分析】设切点为（m，me m），求得y＝x•e x的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入A的坐标，整理为m的二次方程，由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围．解：设切点为（m，me m），y＝x•e x的导数为y′＝（x+1）e x，可得切线的斜率为（m+1）e m，则切线方程为y﹣me m＝（m+1）e m（x﹣m），切线过点A（a，0）代入得﹣me m＝（m+1）e m（a﹣m），可得a=m 2m+1，即方程m2﹣ma﹣a＝0有两个解，则有△＝a2+4a＞0可得a＞0或a＜﹣4．即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．20．过点M（﹣1，0）引曲线C：y＝2x3+ax+a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|＝|MB|，则a＝−274．【分析】根据题意，设出切点坐标，求出原函数的导函数，由导数的几何意义可得曲线C在切点处的切线的斜率，进而可得6t2+a=2t 3+at+at+1，解可得t的值，即可得两条切线的斜率，再由|MA|＝|MB|，可得k1+k2＝0，代入数据计算可得答案．解：根据题意，过点M（﹣1，0）引曲线C：y＝2x3+ax+a的两条切线，设切点坐标为（t，2t3+at+a），又由y＝2x3+ax+a，则其导数y′＝6x2+a，则有y′|x＝t＝6t2+a，又由切线经过端（﹣1，0），则有6t2+a=2t 3+at+a t+1，解可得：t＝0或t=−3 2，则切点的横坐标为0和−3 2，则两条切线的斜率为k1＝y′|x＝0＝a和k2＝y′||x=−32=272+a，又由|MA|＝|MB|，则k1+k2＝a+272+a＝0，解可得a=−27 4；故答案为：−274．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．21．已知在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2+b 2﹣c 2＝8，△ABC 的面积为2√3．（1）求角C 的大小；（2）若c ＝2√3，求sin A +sin B 的值．【分析】（1）由△ABC 的面积为2√3，可得：12absinC =2√3，由a 2+b 2﹣c 2＝8，及余弦定理可得：2ab cos C ＝8，可得tan C =√3，得到角C ；（2）由（1）的结果，先求出ab ，根据c ，即可求出a +b ，再由正弦定理可得sin A +sin B =a⋅sinC c+b⋅sinCc ，即可求出结果． 解：（1）由△ABC 的面积为2√3，可得：12absinC =2√3，由a 2+b 2﹣c 2＝8，及余弦定理可得：2ab cos C ＝8， 故：tan C =√3，可得：C =π3； （2）∵C =π3，2ab cos C ＝8， ∴解得：ab ＝8，又a 2+b 2﹣c 2＝8，c ＝2√3，可得a +b ＝6， 由正弦定理，a sinA =b sinB=c sinC，得：sin A +sin B =a⋅sinC c +b⋅sinCc =（a +b ）sinC c =32． 22．某工厂A ，B 两条生产线生产同款产品，若该产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从A ，B 生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图：（Ⅰ）根据已知数据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？ （Ⅱ）求抽取的200件产品的平均利润；（Ⅲ）估计该厂若产量为2000件产品时，一等级产品的利润． 附：独立性检验临界值表 P （K 2≥k 0） 0.500.400.250.150.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 …k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 …（参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ）．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中的数据建立列联表，再求出K 2的值，结合临界值表得结论；（Ⅱ）由已知数据结合频率分布直方图中的数据列式求得A ，B 生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数；（Ⅲ）求出A ，B 生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A 线产品与一等级的B 线产品，由样本频率估计总体概率，得到该工厂生产产品为一等级的概率，乘以2000得答案．解：（Ⅰ）根据已知数据可建立列联表如下：一等品 非一等品 总计 A 生产线 20 80 100 B 生产线 35 65 100 总计55145200则K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(20×65−80×35)255×145×100×100=1800319≈5.643．而5.643＜6.635．∴没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关；（Ⅱ）A ，B 生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数为：1200×[10×(20+35)+8×(60+40)+6×(20+25)]=8.1（元），故抽取的200件产品的平均利润为8.1元；（Ⅲ）∵A ，B 生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A 线产品有20件，B 线产品有35件，由样本频率估计总体概率，则该工厂生产产品为一等级的概率估计值为20+35200=1140，当产量为2000件产品时，估计该工厂一等级产品获利2000×1140×10=5500（元）． 23．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，其对角线的交点为O ，且AB ＝AC 1=√6，AB ⊥B 1C ． （1）求证：AO ⊥平面BB 1C 1C ；（2）设∠B 1BC ＝60°，若直线AB 与平面BB 1C 1C 所成的角为45°，求三棱锥A 1﹣AB 1C 的体积．【分析】（1）推导出B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥AB ，从而B 1C ⊥平面ABC 1，进而B 1C ⊥AO ，再求出AO ⊥BC 1，由此能证明AO ⊥平面BB 1C 1C ．（2）由AO ⊥平面BB 1C 1C ，得∠ABO 是直线AB 与平面BB 1C 1C 所成角，即∠ABO ＝45°，推导出A 1C 1∥平面AB 1C ，从而三棱锥A 1﹣AB 1C 的体积V A 1−AB 1C =V C 1−AB 1C =V A−B 1C 1C ，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵四边形BB 1C 1C 是菱形，∴B 1C ⊥BC 1， ∵B 1C ⊥AB ，且BC 1∩AB ＝B ， ∴B 1C ⊥平面ABC 1，∴B 1C ⊥AO ，∵AB ＝AC ，O 是BC 1的中点，∴AO ⊥BC 1， ∵B 1C ∩BC 1＝O ，∴AO ⊥平面BB 1C 1C ． 解：（2）由（1）可得AO ⊥平面BB 1C 1C ， 则BO 是AB 在平面BB 1C 1C 上的射影，∴∠ABO 是直线AB 与平面BB 1C 1C 所成角，即∠ABO ＝45°， 在Rt △ABO 中，AO ＝BO =√3， 又∵∠B 1BC ＝60°，且BC ＝BB 1， ∴△BB 1C 是正三角形，BC ＝BB 1＝2，由棱柱性质得A1C1∥AC，及A1C1⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，得到A1C1∥平面AB1C，∴三棱锥A1﹣AB1C的体积：V A1−AB1C =V C1−AB1C=V A−B1C1C=13×12×2×√3×√3=1．24．三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是等腰直角三角形，BC＝BD＝2，AB=√2，且AB ⊥CD，O为CD中点，如图．（1）求证：平面ABO⊥平面BCD；（2）若二面角A﹣CD﹣B的大小为π3，求AD与平面ABC所成角的正弦值．【分析】（1）证明CD⊥平面AOB，即可证明平面AOB⊥平面BCD；（2）证明∠AOB为二面角A﹣CD﹣B的平面角，得∠AOB=π3，进而得△AOB为等边三角形，以B为原点建立空间直角坐标系，求平面ABC的法向量n→，利用向量的线面角公式求解即可．【解答】（1）证明：∵△BCD是等腰直角三角形，BC＝BD＝2，O为CD的中点，∴OB⊥CD，∵AB⊥CD，AB∩OB＝B，∴CD⊥平面ABO，∵CD⊂平面BCD，∴平面ABO⊥平面BCD，（2）∵CD⊥平面ABO，∴CD⊥AO，∴∠AOB为二面角A﹣CD﹣B的平面角，即∠AOB=π3，∵BO=√2，∴AB＝OB，∴△AOB为等边三角形，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （0，0，0），C （2，0，0），A （12，12，√62），D （0，2，0），∴BA →=（12，12，√62），BC →=（2，0，0），AD →=（−12，32，−√62），设平面ABC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BA →=0n →⋅BC →=0，即{12x +12y +√62z =02x =0， 取令z ＝﹣1可得n →=（0，√6，﹣1）， cos ＜n →，AD →＞=n →⋅AD→|n →||AD →|=2√62×7=√427． 设AD 与平面ABC 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜n →，AD →＞|=√427．故AD 与平面ABC 所成角的正弦值为√427．25．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （2√2，0），其长轴长是短轴长的√3倍．（l ）求椭圆E 的方程；（2）问是否存在斜率为1的直线l 与椭圆E 交于4，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H ，且以线段GH 为直径的圆过原点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可得{a =√3b c 2=a 2−b 2=8，解得a 2＝12，b 2＝4，解得即可求出椭圆方程，（2）假设存在这样的直线l ，设其方程为y ＝x +m ，由{y =x +mx 2+3y 2=12，利用韦达定理和向量的数量积，以及三角形的重心的性质即可求出解：（1）由题意可得{a =√3b c 2=a 2−b 2=8，解得a 2＝12，b 2＝4， ∴椭圆E 的方程为x 212+y 24=1，（2）假设存在这样的直线l ，设其方程为y ＝x +m ，由{y =x +m x 2+3y 2=12，消y 可得4x 2+6mx +3m 2﹣12＝0 其△＝36m 2﹣16（3m 2﹣12）＝﹣12（m 2﹣16）＞0，解得﹣4＜m ＜4， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴x 1+x 2=−32m ，x 1x 2=3m 2−124，∵F 1（﹣2√2，0），F 2（﹣2√2，0）， ∴G （x 13，y 13），H （x 23，y 23），由题意可得，以线段GH 为直径的圆过原点， ∴OG →•OH →=0，则x 1x 2+y 1y 2＝0， ∴x 1x 2+（x 1+m ）（x 2+m ）＝0， 则2x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2＝0， 即3m 2−122−3m 22+m 2＝0，解得m ＝±√6，故存在这样的直线l ，其方程为y ＝x ±√6．26．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，|F 1F 2|=2√2，若圆Q方程(x −√2)2+(y −1)2=1，且圆心Q 满足|QF 1|+|QF 2|＝2a ． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）过点P （0，1）的直线l 1：y ＝kx +1交椭圆C 1于A 、B 两点，过P 与l 1垂直的直线l 2交圆Q 于C 、D 两点，M 为线段CD 中点，若△MAB 的面积为6√25，求k 的值．【分析】（Ⅰ）由题意焦距及焦点在x 轴的焦点坐标，和Q 坐标即可求出，a ，c 再b 2＝a 2﹣c 2，即可写出椭圆方程；（Ⅱ）设l 1的方程联立椭圆，设而不求的方法求出弦长AB ，再由题意直线CD ，联立圆，设而不求求出CD 的中点M 坐标，再用点到直线的距离公式求出M 到直线AB 的距离，由面积求出参数k 的值．解：（Ⅰ）由题意可知：F 1(−√2，0)，F 2(√2，0)，Q(√2，1)，c =√2，∴2a ＝|QF 1|+|QF 2|＝4⇒a ＝2，∴b 2＝a 2﹣c 2＝2， ∴椭圆C 1的方程为x 24+y 22=1；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =kx +1x 2+2y 2=4 消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kx ﹣2＝0，△＝16k 2+8（2k 2+1）＝32k 2+8＞0，x 1+x 2=−4k 1+2k2，x 1x 2=−21+2k2，∴|AB|=√1+k 2|x1−x 2|=√1+k 2⋅√32k 2+81+2k2，∵M 为线段CD 中点，∴MQ ⊥CD ， 又∵l 1⊥l 2，MQ ∥AB ，∴S △MAB ＝S △QAB ， 又点Q 到l 1的距离d =√2k|√k +1，∴S △MAB=12|AB|⋅d =2√k 2(4k 2+1)1+2k2=6√25 ∴28k 4−47k 2−18=0⇒(k 2−2)(28k 2+9)=0⇒k 2=2⇒k =±√2．此时l 2：y =±√22x +1，圆心Q 到l 2的距离h =|±√22×√2−1+1|√12+1=√23＜1，成立；综上：k =±√2．即为所求． 27．设函数f （x ）=x 22−klnx ，k ＞0．（1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）证明：若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，√e ]上仅有一个零点． 【分析】（1）利用f '（x ）≥0或f '（x ）≤0求得函数的单调区间并能求出极值； （2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况． 解：（1）由f （x ）=x 22−klnx(k ＞0) f '（x ）＝x −k x =x 2−k x由f '（x ）＝0解得x =√kf （x ）与f '（x ）在区间（0，+∞）上的情况如下：X （0，√k ）√k （√k ，+∞）f '（x ） ﹣ 0+f （x ）↓k(1−lnk)2↑所以，f （x ）的单调递增区间为（√k ，+∞），单调递减区间为（0，√k ）； f （x ）在x =√k 处的极小值为f （√k ）=k(1−lnk)2，无极大值．（2）证明：由（1）知，f （x ）在区间（0，+∞）上的最小值为f （√k ）=k(1−lnk)2． 因为f （x ）存在零点，所以k(1−lnk)2≤0，从而k ≥e当k ＝e 时，f （x ）在区间（1，√e ）上单调递减，且f （√e ）＝0 所以x =√e 是f （x ）在区间（1，√e ）上唯一零点．当k ＞e 时，f （x ）在区间（0，√e ）上单调递减，且f(1)=12＞0，f(√e)=e−k2＜0， 所以f （x ）在区间（1，√e ）上仅有一个零点．综上所述，若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，√e ]上仅有一个零点． 28．（理科）已知函数f （x ）＝lnx ﹣x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间与最值；（Ⅱ）若x ∈（0，+∞），不等式x 2e x ﹣2lnx ﹣ax ﹣1≥0恒成立，求a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，最值即可；（Ⅱ）根据x ≥lnx +1，得到x 2e x ≥2lnx +x +1，若x 2e x ﹣2lnx ﹣ax ﹣1≥0在x ∈（0，+∞）恒成立，则a ≤x 2e x−2lnx−1x，替换求出a 的范围即可．解：（I ）已知f （x ）＝lnx ﹣x ， 则f′(x)=1x −1=1−xx，x ∈（0，+∞）．…………………………………………（1分） 当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0，则f （x ）单调递增；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）单调递减．………………………………………… 所以f （x ）max ＝f （1）＝﹣1，f （x ）无最小值．………………………………………… （II ）由（I ）可知，lnx ﹣x ≤﹣1，即x ≥lnx +1，………………………………………… 则x 2e x ≥ln （x 2e x ）+1，即x 2e x ≥2lnx +x +1．………………………………………… 若x 2e x ﹣2lnx ﹣ax ﹣1≥0在x ∈（0，+∞）恒成立，则a ≤x 2e x−2lnx−1x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯因为x 2e x≥2lnx +x +1，所以x 2e x −2lnx−1x≥(2lnx+x+1)−2lnx−1x=1当且仅当x 2e x ＝1时，等号成立．…………………………………………… 故a ≤1，即a 的取值范围为（﹣∞，1]．………………………………………… 一、选择题29．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρcos 2θ＝a sin θ（a ＞0），以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立直角坐标，直线l 的参数方程为{x =2−√22ty =−1+√22t（t 为参数），l 与C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P （2，﹣1），若|PM |、|MN |、|PN |成等比数列，求a 的值．【分析】（Ⅰ）由互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，消去参数t 可得直线l 的普通方程；（Ⅱ）立参数t 的几何意义以及等比数列知识可得．解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为：2cos 2θ＝a ρsin θ，可得曲线C 的直角坐标方程为：x 2＝ay （a ＞0）．消去参数t 可得直线l 的普通方程为：x +y ﹣1＝0．（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入抛物线并整理得：t 2﹣（4√2+√2a ）t +（8+2a ）＝0， △＝2a 2+8a ＞0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则由t 1+t 2＝4√2+√2a ＞0，t 1t 2＝8+2a ＞0，知t 1＞0，t 2＞0， ∴|MN |＝|t 1﹣t 2|，|PM |＝t 1，|PN |＝t 2， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列， ∴（t 1﹣t 2）2＝t 1t 2， （t 1+t 2）2＝5t 1t 2，∴（4√2+√2a ）2＝5（8+2a ）， 解得a ＝1或a ＝﹣4（舍），∴a ＝1． [选修4-5：不等式选讲]30．设函数f （x ）＝|1﹣x |﹣|x +3|． （1）求不等式f （x ）≤1的解集；（2）若函数f （x ）的最大值为m ，正实数p ，q 满足p +2q ＝m ，求2p+2+1q的最小值．【分析】（1）分3段去绝对值解不等式，再相并；（2）先根据分段函数的单调性求出最大值可得m ＝4，再通过变形后使用基本不等式可得最小值．【解答】解（1）不等式f （x ）≤1⇔|1﹣x |﹣|x +3|≤1⇔{x ≤−31−x +x +3≤1或{−3＜x ＜11−x −x −3≤1或{x ≥1x −1−x −3≤1， 解得x ≥−32，故原不等式的解集为{x |x ≥−32}；（2）∵f （x ）={4，x ≤−3−2x −2，−3＜x ＜1−4，x ≥1，∴f （x ）max ＝4，∴m ＝4，∴p +2q ＝4，p ＞0，q ＞0，∴p +2+2q ＝6， ∴2p+2+1q =（2p+2+1q）•p+2+2q6=16（2+2+4q p+2+p+2q ）≥16（4+2√4q p+2⋅p+2q ）=16（4+4）=43， ∴2p+2+1q的最小值为43，当且仅当p ＝1．q =32时取等．。

青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2018届高三数学4月联考试题 文第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （ ） A ．{12}x x -≤< B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤<2．若复数1i1iz -=+，则z =（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．已知1cos 3α=，则sin(2)2πα-= （ ）A ．79-B ．．79CD ．4. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ) A ．23 B ． 35 C ．58 D ． 8135.函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间(1,2)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．236.已知点P 是抛物线24y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，若5PF =，则点P 的横坐标为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ( )A.18+36B.54+18C ．.90D.818．函数()ln ||f x x x x =-的大致图像是（ ）A ．B.C ．D ．9.已知()3,0M 是圆2282100x y x y +--+=内一点，则过M 点最长的弦所在的直线方程是（ ）A.30x y +-=B.30x y --=C. 260x y --=D. 260x y +-=10.已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且2AB BC AC ===，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A. 83π C. 163π D. 323π11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）A ． 221913x y -= B. 221139x y -= C. 2213x y -= D.2213y x -=12.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A ．2B ．4 C. 6 D ．8第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．曲线xx y 12+=在点（1，2）处的切线方程为______________．14.已知向量=(2,3), =(m,-6),若⊥,则|2+|=__________.15．已知变量x y ，满足约束条件02200x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为 ．16.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ．三、解答题:本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17. （本小题满分12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，满足37a =，且2a 、4a 、9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足1n n n b a a +=⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18、（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点． （1）求证：//EF 平面PCD ； （2）若=12AD AP PB AB ===，求三棱锥P DEF -的体积．19．（本小题满分12分）某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率． n a b c d =+++．参考数据：20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点()02，．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且直线1l 与2l 的斜率互为相反数，直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 的斜率为1k ，直线BF 的斜率为2k .证明：12k k +为定值．21.（本小题共12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2022届高三数学4月联考试题 理一、选择题〔每题5分，共60分〕1．假设复数z 满足(1－2i)z ＝1＋3i ，那么|z |＝( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5． 2．全集R U =,集合(){}{}13,01lg ≤=≤+=x x B x x A ,那么()B A C U ⋂等于〔 〕A. ()()+∞⋃∞-,00,B. ()+∞,0C. (]()+∞⋃-∞-,01,D.()+∞-,13．某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，那么正视图中的x 的值是〔 〕A.2B. 29C.23 D. 3 〔第3题图〕 〔第4题图〕 〔第5题图〕4．向量，，在正方形网络中的位置如下图，假设=λ+μ〔λ，μ∈R 〕，那么μλ=〔 〕 A ．﹣8 B ．﹣4 C ．4 D ．25.某程序框图如下图，假设输出的S ＝57，那么判断框内为( )A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7? 6．双曲线的离心率为2，那么其两条渐进线的夹角为〔 〕A ．B ．C ．D ．7．设n m ,是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下选项正确的选项是〔 〕A. 假设βα⊥⊥n m ,，且βα⊥，那么n m ⊥B. 假设m ∥α，n ∥β，且α∥β，那么n ∥mC. 假设βα⊂⊥n m ,，且n m ⊥，那么βα⊥D. 假设βα⊂⊂n m ,，且m ∥α，n ∥β，那么α∥β8．根据需要安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是( )A ．2日和5日B ．5日和6日C ．6日和11日D ．2日和11日9.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据〔x 1，y 1〕，〔x 2，y 2〕，〔x 3，y 3〕，〔x 4，y 4〕，〔x 5，y 5〕．根据收集到的数据可知20=x ，由最小二乘法求得回归直线方程为=0.6x+48，那么=〔 〕A ．60B ．120C ．150D ．30010.在锐角三角形ABC 中， a ， b ， c 分别为内角A ， B ， C 的对边，3a =， ()223tan 3b c A bc +-=， 22cos 2A B + ()21cosC =-，那么ABC ∆的面积为〔 〕 A. 334+ B. 3264+ C. 3264- D. 332- 11．函数()sin f x x x =-在[]0,2x π∈上的图象大致为〔 〕A. B. C. D.12.偶函数()(){,40,log 84,84≤<<<-=x x x x f x f 且()()x f x f =-8，那么函数()()x x f x F 21-=在区间[]2018,2018-的零点个数为〔 〕A. 2022B. 2016C. 1010D. 1008二、填空题：〔本大题共4小题，共20分〕13.抛物线24y x =-的焦点到它的准线的距离是____________. 14．离散型随机变量ξ服从正态分布()~21N ，，且(3)0.968P ξ<=，那么(13)P ξ<<=__________．。

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷(二)一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）1.若集合A={2,3，4}，B={x|1+x>3}，则A∩B=()A. {4}B. {2}C. {3,4}D. {2,3}2.已知a，b∈R，3+ai=b−(2a−1)i，则()A. b=3aB. b=6aC. b=9aD. b=12a3.已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“l//α”是“l⊥m”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用a n表示解下n(n≤9,n∈N∗)个圆环所需的最少移动次数，｛a n｝满足a1=1，且则解下4个圆环所需的最少移动次数为A. 7B. 10C. 12D. 225.已知等比数列{a n}中的各项都是正数，且a1,12a3,2a2成等差数列，则a10+a11a8+a9=A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√26.2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为()A. 13B. 23C. 14D. 347.已知(x+1)5(ax+1)的展开式中x5的系数是−4，则实数a的值为()A. −1B. 1C. 45D. −458.阿基米德(公元前287年—公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( )A. 43πB. 16πC.163π D.323π9. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+140的值的一个程序框图，则图中判断框内①处和执行框内②处应填的语句分别是( )A. i >40?，n =n +1B. i >20?，n =n +2C. i >40?，n =n +2D. i =20?，n =n +210. 已知向量m⃗⃗⃗ =(1,2)，n ⃗ =(2,1)，则(m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ )(m ⃗⃗⃗ −2n ⃗ )等于( ) A. (−12,0) B. 4 C. (−3,0) D. −1211. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF//平面BB 1D 1D ，则EF 长度的最大值为( )A. √6B. √5C. 2D. √312. 已知双曲线C ：x 23−y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|=( )A. 4B. 2√3C. 3D. 3213.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为()A. 2B. 32C. 3√55D. √5214.已知函数f(x)的图象关于x=−1对称，且f(x)在(−1,+∞)上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)=f(a51)，则{a n}的前100项的和为()A. −200B. −100C. 0D. −5015.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(32−x)=f(x)，f(−2)=−3，数列{a n}满足a1=−1，且S nn =2×a nn+1，(其中S n为{a n}的前n项和)，则f(a5)+f(a6)=()A. −3B. −2C. 3D. 2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16.√6+√7与2√2+√5的大小关系为________．17.在一个半径为4的圆内任意选取一点P，则P到圆心的距离d∈(1,3)的概率为________．18.已知△FAB中，点F的坐标为(1,0)，点A，B分别在图中抛物线y2=4x及圆(x−1)2+y2=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围是．19.已知过点A(a,0)作曲线C:y=xe x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是__________．20.已知函数f(x)=ax3−x+2的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,6)，则a=____.三、解答题（本大题共10小题，共118.0分）21.已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2−c2=8，△ABC的面积为2√3．(1)求角C的大小；(2)若c=2√3，求sinA+sinB的值．22.为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了A、B两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在[80,100]的为优质品，现从该厂生产的A、B两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制成如下图所示的频率分布直方图：(1)设500件A型产品性能质量评分的中位数为M，直接写出肘所在的分组区间：(2)请完成下面的列联表(单位：件)(把有关结果直接填入下面的表格中)：A型节排器B型节排器总计优质品非优质品总计5005001000(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为A、B两种不同型号的节排器性能质量有差异？K2=n(ad−bc)2，其中n+a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.0100.001k0 2.706 6.63510.82823.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1=√6，AB⊥B1C.(1)求证：AO⊥平面BB1C1C；(2)设∠B1BC=60°，若直线AB与平面BB1C1C所成的角为45°，求三棱锥A1−AB1C的体积．24.如图，三棱锥P−ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．(I)求证：平面PAC⊥平面PBC；(II)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．25.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为2√3，过右焦点F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)当直线l的斜率为√3时，求△POQ的面积；(Ⅲ)在x轴上是否存在点M(m,0)，满足|PM|=|QM|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．26.设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点A为椭圆C的左顶点，点B为椭圆C的上顶点，且|AB|=√3，△BF1F2为直角三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线y=kx+2与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求实数k的值．27.设函数f(x)=x2−klnx，k>0．2(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,√e]上仅有一个零点．28.已知函数f(x)=x2+alnx．(1)当a=−2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若x∈[1,+∞)时，f(x)≥3−2恒成立，求实数a的取值范围．x29. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：{x =cosαy =√3sinα(α为参数)，在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为√22ρcos(θ+π4)=−1．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M(0,−1)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求线段AB 的距离．30. 设函数f(x)=|1−x|−|x +3|．(1)求不等式f(x)≤1的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m ，正实数p ，q 满足p +2q =m ，求2p+2+1q 的最小值．。

2020年青海省西宁四中等三校联考高考数学模拟试卷2（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知i 为虚数单位，在复平面内，复数1+i2−i 所对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象银C. 第三象限D. 第四象限 2. 集合A ={x |−2<x <3}，B ={x ∈Z |x 2−5x <0}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {2,3}C. {1,2，3}D. {2,3，4}3. 已知向量a ⃗ ⊥b ⃗ ，|b ⃗ |=1，则|a⃗ |a ⃗ |+b ⃗ |=( ) A. √2 B. √3C. √5D. √74. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列命题正确的是( )A. 若α⊥β，则l//mB. 若l ⊥m ，则α//βC. 若l//β，则m ⊥αD. 若α//β，则l ⊥m 5. 设命题p ：∀x >−1，x 2>1，则￢p 为( )A. ∀x >−1，x 2≤1B. ∀x ≤−1，x 2>1C. ∃x ≤−1，x 2≤1D. ∃x >−1，x 2≤16. 已知二项式(√x −√x 3)5的展开式中常数项为( )A. −10B. 6C. 10D. 207. 设x 、y 满足约束条件{x −y +1≥0,x +y −1≥0,x ≤3,则目标函数z =y+3x+1的取值范围是( )A. [14,4] B. (−∞,14]∪[4,+∞) C. [−4,−14]D. (−∞,−4]∪[−14,+∞)8. 一个直三棱柱的三视图如图所示，则该直三棱柱的外接球的表面积为( )A. 5πB. 9πC. 9√2πD. 18π9. 已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，|φ|<π)的部分图象如图所示，则它的解析式为( )A. y =sin(2x +π4) B. y =√2sin(2x −π4) C. y =√2sin(2x +π8) D. y =√2sin(2x +π4) 10. 若a >b >0，下列命题为真命题的是( )A. a 2<b 2B. a 2<abC. ba <1D. 1a >1b11. F 1、F 2的双曲线y 225−x 211=1的两焦点，P 在双曲线上，∠F 1PF 2=90°，则△PF 1F 2的面积是( ) A. 11B. 112C. 112D. √11212. 如图，在正方形ABCD 中分别以A ，B 为圆心、正方形的边长为半径画弧BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，弧AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A. √32−π6 B. π3−√32C. √34−π12D. π6−√34二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知随机变量X ～B(4,p)，若P(X =4)=116.则p =________.14. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 3=5，S 6=42，则S 9=______．15. 如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数t 的值为______．16.lg32−lg4lg2+(27)23=________.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1=b 1=1，a 2=b 2，2+a 4=b 3．(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{a n +b n }的前n 项和S n ．18. 已知|a →|=√3,|b →|=1,|a →−b →|=1，求|a →−2b →|.19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB//DC ，AB ⊥AD ，DC =6，AD =8，BC =10，∠PAD =45°，E 为PA 的中点．(1)求证：DE//平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF ⊥DB ？若存在，请求出二面角F −PC −D 的余弦值；若不存在，请说明理由．20. 如图所示，已知A ，B 为椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点，|AB|=4，且离心率为√22．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若点P(x 0,y 0)(y 0≠0)为直线x =4上任意一点，PA ，PB 交椭圆于C ，D 两点，则直线CD 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．21. 已知函数f(x)=e x ⋅(a +1x +lnx)，其中a ∈R ．(Ⅰ)若曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线y =−xe 垂直，求a 的值； (Ⅱ)当a ∈(0,ln2)时，证明：f(x)存在极小值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为{x =−1−√22ty =2+√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=sinθ． (1)求直线的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线与曲线C交于A,B两点，P(−1,2)，求|PA|⋅|PB|．23.已知函数f(x)=|3x−a|−2|x−1|．(Ⅰ)当a=−3时，解不等式f(x)>1；(Ⅱ)若不等式f(x)≥6+|x−1|有解，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：i为虚数单位，在复平面内，复数1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=1+3i5=15+35i，则复数1+i2−i 所对应的点坐标为(15,35)，故复数1+i2−i所对应的点在第一象限，、故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z所对应的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：A解析：【分析】本题考查集合的交集运算，基础题．【解答】解：B={x∈Z|x2−5x<0}={x∈Z|0<x<5}={1,2，3，4}，因为A={x|−2<x<3}，所以A∩B={1,2}．故选A．3.答案：A解析：【分析】利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．【解答】解：向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=√(a⃗|a⃗ |)2+2a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |+b⃗ 2=√1+1=√2．故选：A．4.答案：D解析：解：对于A 、B ，∵如图，由图可知A ，B 不正确；∵直线l ⊥平面α，l//β，∴α⊥β，对于C ，∵m ⊂平面β，∴m 与α不一定垂直，C 不正确．对于D ，∵l ⊥平面α，直线m ⊂平面β.若α//β，则l ⊥平面β，有l ⊥m ，D 正确； 故选：D ．直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中的点线面的位置关系，是中档题．5.答案：D解析：解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 则￢p ：∃x >−1，x 2≤1， 故选：D ．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．6.答案：A解析：解：二项式(√x √x 3)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(−1)r ⋅x 52−5r6， 令52−5r 6=0，求得r =3，可得展开式中常数项为−C 53=−10，故选：A ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．7.答案：A解析： 【分析】本题考查简单的线性规划及直线的斜率，由约束条件作出可行域，再由目标函数z =y+3x+1的几何意义，即可行域内的点与定点P(−1,−3)连线的斜率求解． 【解答】解：由约束条件{x −y +1≥0,x +y −1≥0,x ≤3,作出可行域如图，联立{x −y +1=0x +y −1=0，得A(0,1)，联立{x =3x +y −1=0，得B(3,−2)，由z =y+3x+1，点P(−1,−3)，而k PA =4,k PB =14． ∴目标函数z =y+3x+1的取值范围是[14,4]． 故选Ａ．8.答案：D解析： 【分析】本题考查三视图以及几何体的外接球问题，属于中档题．先由三视图得到直观图，再确定外接球的球心，得到球的半径，最后根据球的表面积公式计算，即可得到答案． 【解答】 解：如图1，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，A1A=3，AC=√3，BC=√6，所以其外接球的球心即为正方形AA1B1B的中心，半径R=32√2，所以外接球的表面积为，故选D．9.答案：B解析：【分析】本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，也是难点，属于中档题．由函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，|φ|<π)的部分图象可求得A，T=2π，继而可求得φ．【解答】解：∵A>0，∴A=√2，又ω>0，其周期T=9π8−π8=π=2πω，∴ω=2，由2×3π8+φ=π2+2kπ得，φ=2kπ−π4，而|φ|<π，∴φ=−π4，∴所求函数的解析式为y=√2sin(2x−π4).故选B．10.答案：C解析：【解答】解：∵a>b>0，∴a2>b2，故A错误；a2>ab，故B错误；ba<1，故C正确；ab>0，aab >bab，即1a<1b，故D错误；故选：C．解析：根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，属于基础题．11.答案：A解析：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，且m>n根据双曲线的定义可知m−n=2a=10，∵∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4c2=4×(25+11)=144，∴2mn=m2+n2−(m−n)2=144−100=44∴mn=22，∴△F1PF2的面积为12mn=11；故选：A．设|PF1|=m，|PF2|=n，且m>n根据双曲线的定义可知m−n=2a=10，利用勾股定理可得m2+ n2=144，求出2mn=m2+n2−(m−n)2=144−100=44，即可求出△PF1F2的面积．本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系．12.答案：A解析：【分析】本题考查几何概型概率的求法，求解阴影部分的面积是关键，是中档题．先求出阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式求解．【解答】解：如图所示，设正方形的边长为1，因为AB=AE=BE=1，所以∠ABE=π3，所以弓形AFE的面积为16⋅π⋅12−√34⋅12=π6−√34．所以阴影部分ADEF的面积为112⋅π⋅12−(π6−√34)=√34−π12，所以所有阴影部分的面积为2(√34−π12)=√32−π6．由几何概型的概率公式得此点取自阴影部分的概率是√32−π61=√32−π6．故选A ．13.答案：12解析： 【分析】本题考查二项分布求概率，属于基础题． 根据题意可得，解方程可求得p 的值．【解答】 解：由题意，得，解得p =12．故答案为12．14.答案：117解析： 【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5，S 6=42， ∴a 1+2d =5，6a 1+6×52d =42，联立解得a 1=−3，d =4． 则S 9=−3×9+9×82×4=117．故答案为117．15.答案：16解析： 【分析】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题．设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，0<m <1，结合已知及向量的基本定理可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合已知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，可求m ，t 的值即可．【解答】解：设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，0<m <1， 由题意及图知，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=m AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{1−m =t 25m =13，解得m =56，t =16．故答案为：16．16.答案：12解析： 【分析】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题． 根据指数与对数的运算性质求解． 【解答】 解：lg32−lg4lg2+(27)23=lg8lg2+(33)23=3lg2lg2+32=3+9=12．故答案为12．17.答案：解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．依题意，得{1+d =q2+(1+3d)=q 2.解得{d =2q =3或{d =−1q =0.(舍去)， 所以a n =2n −1，b n =3n−1， (Ⅱ)因为a n +b n =2n −1+3n−1，所以S n =[1+3+5+⋯+(2n −1)]+(1+3+32+⋯+3n−1)， =n[1+(2n−1)]2+1−3n 1−3，=n 2+3n −12．解析：本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列求和的应用，考查计算 (Ⅰ)利用已知条件列出方程组，求出数列的公差与公比，然后求解{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)化简数列的通项公式，利用分组求和求解即可． 能力．18.答案：解：因为|a →|=√3,|b →|=1,|a →−b →|=1，所以(a →−b →)2=|a →|2−2a →·b →+|b →|2=3−2a →·b →+1=1，解得2a →·b →=3，所以(a →−2b →)2=|a →|2−4a →·b →+4|b →|2=3−2×3+4=1，所以|a →−2b →|=1．解析：本题主要考查向量的模的计算.关键是利用2a →·b →=3．19.答案：(1)证明：取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为点N ．在平面ABCD 内，∵CN ⊥AB ，DA ⊥AB ， ∴CN//DA ，又AB//CD ，∴四边形CDAN 为平行四边形， ∴CN =AD =8，DC =AN =6，在Rt △BNC 中，BN =√BC 2−CN 2=√102−82=6，∴AB =12，而E ，M 分别为PA ，PB 的中点， ∴EM//AB 且EM =6，又DC//AB ，∴EM//CD 且EM =CD ，四边形CDEM 为平行四边形， ∴DE//CM ．∵CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ， ∴DE//平面BPC.(2)解：由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则A(8,0，0)，B(8,12，0)，C(0,6，0)，P(0,0，8)．假设AB 上存在一点F 使CF ⊥BD ，设点F 的坐标为(8,t ，0)(0<t <12)， 则CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,t −6,0)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,12，0)， 由CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得t =23． 又平面DPC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(1,0，0)， 设平面FPC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z).又PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6，−8)，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−8,163,0)． 由{n ⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ·FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{6y −8z =0−8x +163y =0 即{z =34y x =23y 不妨令y =12，则n⃗ =(8,12，9)． 则cos 〈n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ 〉=n ⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=81×√82+122+92=817． 又由图可知，该二面角为锐二面角， 故二面角F—PC—D 的余弦值为817.解析：本题考查了线面平行的判定，向量法求二面角、动点问题，属于中档题．(1)取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，通过证明四边形CDEM 为平行四边形，则DE//CM ，线面平行即可得证；(2)以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，假设AB 上存在一点F 使CF ⊥BD ，设点F 的坐标为(8,t ，0)(0<t <12)，由CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得t =23.再由空间向量求二面角的余弦值即可．20.答案：解：(1)由题意解得{a 2=4b 2=2所以椭圆的方程为x 24+y 22=1；(2)设C(x 1,y 1)、D(x 2,y 2)，设直线AC 的方程为y =k(x +2)，令x =4得y =6k ，即P(4,6k)． 将y =k(x +2)代入椭圆x 24+y 22=1得：(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−4=0，由韦达定理得−2⋅x 1=8k 2−41+2k 2，即x 1=2−4k 21+2k 2，于是y 1=k(x 1+2)=k(2−4k 21+2k 2+2)=4k1+2k 2.则C(2−4k 21+2k 2,4k1+2k 2)． 由B(2,0)、P(4,6k)得直线BP 的方程为y =3k(x −2)，代入椭圆x 24+y 22=1得：(1+18k 2)x 2−72k 2x +72k 2−4=0． 由韦达定理得2⋅x 2=72k 2−41+18k2，即x 2=36k 2−21+18k 2， 则y 2=3k(x 2−2)=3k(36k 2−21+18k2−2)=−12k 1+18k2，则D(36k 2−21+18k 2,−12k 1+18k 2)． 当直线CD 的斜率存在时，直线CD 的斜率为k CD =4k 1+2k 2+12k1+18k 22−4k 21+2k 2−36k 2−21+18k 2=4k1−6k 2．此时直线CD 的方程为y −4k 1+2k 2=4k 1−6k 2(x −2−4k 21+2k 2)，令y =0得x =−4k1+2k 2⋅1−6k 24k+2−4k 21+2k 2=1+2k 21+2k2=1．此时直线过定点(1,0)； 当直线CD 的斜率不存在时，有2−4k 21+2k 2=36k 2−21+18k 2，解得k =±√66． 此时x C =x D =1，直线过定点(1,0)． 故直线过定点(1,0)解析：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的关系和韦达定理的灵活运用，考查了直线过定点的问题，考查了推理能力和计算能力，属于难题． (1)利用已知条件得到a ，b ，即可求椭圆C 的方程；(2)设直线AC 的方程为y =k(x +2)可得P(4,6k)，再设出PB 的直线方程，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理求出C ，D 的坐标．分类讨论CD 斜率存在与不存在，写出直线CD 的方程，根据方程求出定点，即可得直线CD 过点(1,0)．21.答案：解：(Ⅰ)f(x)的导函数为f′(x)=e x ⋅(a +1x +lnx)+e x ⋅(1x −1x 2)=e x ⋅(a +2x −1x 2+lnx)． 依题意，有 f′(1)=e ·(a +1)=e, 解得a =0．(Ⅱ)由f ′(x)=e x ⋅(a +2x −1x 2+lnx)及e x >0知，f′(x)与a +2x −1x 2+lnx 同号．令g (x)=a +2x −1x 2+lnx ， 则 g ′(x)=x 2−2x+2x 3=(x−1)2+1x 3．所以对任意x ∈(0,+∞)，有g′(x)>0，故g(x)在(0,+∞)单调递增． 因为a ∈(0,ln2)，所以g(1)=a +1>0，g(12)=a +ln 12<0， 故存在x 0∈(12,1)，使得g(x 0)=0． f(x)与f′(x)在区间(12,1)上的情况如下：所以f(x)在区间(20上单调递减，在区间(x 0,1)上单调递增． 所以f(x)存在极小值f(x 0).解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，切线方程以及函数的极值问题，是一道中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，计算f ′(1)，求出a 的值即可；(Ⅱ)求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可．22.答案：解：(1)由参数方程消去t ，得直线l 的普通方程为x +y −1=0，由ρcos 2θ=sinθ，得ρ2cos 2θ=ρsinθ， 则y =x 2，故曲线C 的直角坐标方程为y =x 2； (2)将{x =−1−√22ty =2+√22t 代入y =x 2，得t 2+√2t −2=0， Δ=2+8=10>0， 则t 1t 2=−2，故|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=2．解析：本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，属于一般题．(1)消去参数t 得到直线l 的普通方程，由曲线C 的极坐标方程化为曲线C 的直角坐标方程； (2)把直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程化简，利用根与系数的关系求解．23.答案：解：(Ⅰ)a =−3时，f(x)=|3x +3|−2|x −1|={−x −5,x <−15x +1,−1≤x ≤1x +5,x >1，∴f(x)>1⇔{x <−1−x −5>1或{−1≤x ≤15x +1>1或{x >1x +5>1⇔x <−6或x >0；(Ⅱ)不等式f(x)≥6+|x −1|有解 ⇔|3x −a|−3|x −1|≥6有解 ⇔|x −a3|−|x −1|≥2有解，由于|x −a3|−|x −1|≤|1−a3|=|a3−1|， ∴|a3−1|≥2，解得：a ≥9或a ≤−3．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题． (Ⅰ)求出函数f(x)的分段函数的形式，通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可； (Ⅱ)根据绝对值的性质得到关于a 的不等式，解出即可．。

2020年三校联考试题文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，考生要认真核对答题纸上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题纸上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．3.函数, ,则任取一点,使得≥的概率为（）A. B. C. D.4. 若向量，，则与的夹角等于（）A． B． C． D．5.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A． B．C． D．6. 若,且，则的值为（）A. B. C. D.7. 秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为，每次输入的值均为，输出的值为，则输入的值为（）A. 3B.4C. 5D. 68. 已知是等比数列，且，，则等于（）A. B. 24 C. D. 489.函数的图象大致为（）10．已知函数在定义域上不是常函数，且满足条件：对于任意的都有，则（）A．是奇函数 B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数11．经过点,且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．12．已知函数定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，②函数有个零点③的解集为④，都有，其中正确的命题是_________．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

青海省西宁市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题甲､乙､丙､丁四人计划一起去陕西省榆林市旅游，他们从榆林古城､镇北台､红石峡､榆林沙漠国家森林公园､红碱淖､白云山､易马城遗址这7个景点中选4个游玩（按照游玩的顺序，最先到达的称为第一站，后面到达的依次称为第二､三､四站），已知他们第一站不去榆林沙漠国家森林公园，且第四站去红碱淖或白云山，则他们这四站景点的选择共有（）A．180种B．200种C．240种D．300种第(2)题已知函数，若关于的方程有3个实数解，且则的最小值是（）A．8B．11C．13D．16第(3)题下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是A．B．C．D．第(4)题函数的定义域为（）A．B．C．D．第(5)题不等式的解集是A．或B．C．D．第(6)题下列说法中，正确命题的个数为（）①已知随机变量服从二项分布，若，则.②对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.③以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则、的值分别是和.④若样本数据的方差为，则数据:的方差为16A．0个B．1个C．2个D．3个第(7)题《九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在三棱锥中，面，是以为斜边的直角三角形，过点作的垂面分别交，于，，则在，，，，，中任选四点，能构成鳖臑的有（）A．4种B．3种C．2种D．1种第(8)题与直线3x+5=0关于x轴对称的直线方程为（）A．3x+4y=0B．3x+4y+5=0C．+4y=0D．+4y+5=0二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

青海省西宁市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知直四棱柱的底面为梯形，，若平面，则（）A．B．C．D．第(2)题已知，分别是双曲线（，）的左右焦点，若过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（）A．B．3C．D．第(3)题已知数列满足，，则（）A．B．C．D．第(4)题如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（）A．B．C．D．第(5)题已知是抛物线上的两个动点，，的中点到轴距离的最小值为，则（）A．B．C．D．1第(6)题以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为（）A．或4B．C．或4D．4第(7)题2025年某省将实行“3+1+2”模式的新高考，其中“3”表示语文、数学和英语这三门必考科目，“1”表示必须从物理和历史中选考一门科目，“2”表示要从化学、生物、政治和地理中选考两门科目.为帮助甲、乙两名高一学生应对新高考，合理选择选考科目，将其高一年级的成绩综合指标值（指标值满分为5分，分值越高成绩越优）整理得到如下的雷达图，则下列选择最合理的是（）A．选考科目甲应选物理、化学、历史B．选考科目甲应选化学、历史、地理C．选考科目乙应选物理、政治、历史D．选考科目乙应选政治、历史、地理第(8)题数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（）.A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山，某家庭一家三口计划在假期出游，每人选一个地方，则（）A．恰有人选一个地方的方法总数为B．恰有人选一个地方的方法总数为C．恰有人选泰山的概率是D．恰有人选泰山的概率是第(2)题1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（）A．若，则满足戴德金分割B．若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素C．若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素D．若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素第(3)题已知函数及其导函数的定义域均为，记．若满足，的图象关于直线对称，且，则（）A．B．为奇函数C．D．三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷（二）一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）1.已知集合0，1，，，则A. ，B. 1，C.D.2.已知a，，，则A. B. C. D.3.已知平面，直线m，n，若，则“”是“”的A. 充分必要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件4.如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为且，已知，，且通过该规则可得，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为A. 7B. 16C. 19D. 215.已知等比数列的各项都为正数，则，，成等差数列，则的值是A. B. C. D.6.哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理．将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A，B，为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500kg生活垃圾．数据统计如表．则估计生活垃圾投放错误的概率为A B Ca2001040b1512020c155030A. B. C. D.7.理科若的展开式中的系数为，则实数a的值为A. B. C. D. 28.阿基米德公元前287年公元前212年是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为A. B. C. D.9.如图是计算的值的程序框图，则图中处应填写的语句分别是A. ，？B. ，？C. ，？D. ，？10.已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为A. 4B. 3C. 2D. 111.设正方体的棱长为1，E为的中点，M为直线上一点，N为平面AEC内一点，则M，N两点间距离的最小值为A. B. C. D.12.文科已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N，若为直角三角形，则A. B. 4 C. D. 313.理科已知倾斜角为的直线与双曲线C：相交于A，B两点，是弦AB的中点，则双曲线的离心率为A. B. C. D.14.已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为A. B. C. 0 D.15.已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足其中为的前n项和，则A. B. C. 3 D. 2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16.设，，则a，b的大小关系为______．17.向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为______．18.如图，点F是抛物线C：的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则周长的取值范围是______．19.已知过点作曲线C：的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是______．20.过点引曲线C：的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则______．三、解答题（本大题共10小题，共118.0分）21.已知在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积为．求角C的大小；若，求的值．22.某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若该产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图：Ⅰ根据已知数据，判断是否有的把握认为一等级产品与生产线有关？Ⅱ求抽取的200件产品的平均利润；Ⅲ估计该厂若产量为2000件产品时，一等级产品的利润．附：独立性检验临界值表参考公式：，其中．23.如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为O，且，C.求证：平面；设，若直线AB与平面所成的角为，求三棱锥的体积．24.三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，，且，O为CD中点，如图．求证：平面平面BCD；若二面角的大小为，求AD与平面ABC所成角的正弦值．25.已知椭圆E：的右焦点为，其长轴长是短轴长的倍．求椭圆E的方程；问是否存在斜率为1的直线l与椭圆E交于4，B两点，，的重心分别为G，H，且以线段GH为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．26.已知椭圆的左、右焦点为、，，若圆Q方程，且圆心Q满足．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ过点的直线：交椭圆于A、B两点，过P与垂直的直线交圆Q于C、D两点，M为线段CD中点，若的面积为，求k的值．27.设函数，．求的单调区间和极值；证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．28.理科已知函数．Ⅰ求的单调区间与最值；Ⅱ若，不等式恒成立，求a的取值范围．29.在极坐标系中，曲线C的方程为，以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标，直线l的参数方程为为参数，l与C交于M，N两点．Ⅰ写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；Ⅱ设点，若、、成等比数列，求a的值．30.设函数．求不等式的解集；若函数的最大值为m，正实数p，q满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：；．故选：D．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：解：由，得，即，．．故选：C．直接利用复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．本题考查复数相等的条件，是基础题．3.答案：D解析：解：由，，不一定有，反之，由，，一定有．若，则“”是“”的必要不充分条件．故选：D．由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，结合充分必要条件的判定得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查充分必要条件的判断，是基础题．4.答案：B解析：解：；；．故选：B．代入数列的递推式，计算可得所求值．本题考查数列的递推式的运用，考查运算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：设等比数列的公比为q，且，，，成等差数列，，则，化简得，，解得，则，，故选：A．设等比数列的公比为q，且，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，属于基础题．6.答案：D解析：解：由题意，估计生活垃圾投放错误的概率为：．故选：D．利用古典概型能估计生活垃圾投放错误的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：B解析：解：的展开式的通项公式，分别令，3，可得：的展开式中的系数为：．化为，解得．故选：B．的展开式的通项公式，分别令，3，可得：的展开式中的系数，进而求得结论．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：设该圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R则圆柱的表面积，解得，即．圆柱的体积为：，该圆柱的内切球体积为：．故选：C．由已知中圆柱的轴截面为正方形，根据圆柱的表面积公式，可得圆柱的底面半径R，进而求出圆柱的体积，即可求出结论．本题考查的知识点是旋转体，圆柱的几何特征以及球的体积计算，其中根据已知条件计算出圆柱的底面半径是解答本题的关键．9.答案：A解析：解：的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2，的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，而分母从1到31共16项，故选：A．首先分析，要计算的值需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算．本题考查程序框图应用，重在解决实际问题，通过把实际问题分析，经判断写出需要填入的内容，属于基础题．10.答案：A解析：解：，，，则：，，所以，；则：，则，所以，即：，故答案为：4．先求出所用到的向量的坐标，根据条件得出动点P的坐标即x，y所满足的不等式，对所求的值进行变形，使式子中出现所求出的不等式的形式，然后进行不等式的运算即可．所要掌握的一点就是，将所求式子中的x，y的形式，变形到条件中x，y所具有的形式．11.答案：B解析：【分析】此题考查了线面平行，面面垂直，距离的最值等，属于中档题．首先判断出平面ACE，并且平面平面，从而确定所求最小值为EF和的距离，即可求解．【解答】解：如图，F为底面中心，连接EF，则，不在平面ACE内，EF在平面ACE内，平面ACE，，N之间的最短距离即为直线与平面ACE之间的距离，平面ABCD，AC在平面ABCD内，，又，、BD为平面内两条相交直线，平面，AC在平面ACE内，平面平面，与的距离即为所求，在中，求得D到的距离为，与的距离为，故选：B．12.答案：C解析：解：由题可知，双曲线的渐近线方程为，点，为直角三角形，且OM与ON不垂直，直线MN与直线OM或ON垂直，不妨设直线MN与直线ON垂直，则，直线MN的方程为，将其分别与直线联立，可解得，，．故选：C．由题可知，双曲线的渐近线方程为，点，因为为直角三角形，且OM与ON不垂直，所以不妨设直线MN与直线ON垂直，则，所以直线MN的方程为，将其分别与直线联立，可解得，，再利用两点间距离公式即可求出．本题考查双曲线的性质，考查学生的数形结合能力和运算能力，属于基础题．13.答案：D解析：解：设A、B的坐标分别为，，则，两式相减，整理得，，直线AB的倾斜角为，且弦AB的中点为，，得，离心率．故选：D．设A、B的坐标分别为，，将其均代入双曲线的方程中，并作差化简后得，因为直线AB的倾斜角为，且弦AB的中点为，所以，得，而离心率，从而得解．本题考查双曲线的性质，理解点差法的使用条件是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．14.答案：B解析：【分析】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．由函数的图象关于对称，平移可得的图象关于对称，由题意可得，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求．【解答】解：函数在上单调，且函数的图象关于对称，可得的图象关于对称，由数列是公差不为0的等差数列，且，可得，又是等差数列，所以，则的前100项的和为，故选B．15.答案：C解析：解：由题意函数是奇函数，，，故函数是周期函数，且周期．对于数列：当时，，解得；当时，，，两式相减，可得，，两边同时减1，可得：，，数列是以为首项，2为公比的等比数列．，，，，．故选：C．利用函数是奇函数结合已知条件推出得出是周期函数；对于数列，根据数列的通项公式与是前n项和的关系推出数列是一个等比数列．根据数列的通项公式可得数列的通项公式，从而得到，的值，再代入函数根据奇函数的性质及周期性即可计算出结果．本题主要考查函数周期性的判断方法及应用，奇函数的性质，数列的通项公式与数列和的关系的应用能力，等比数列的判断及性质应用，本题属综合性较强的中档题．16.答案：解析：解：，，，、b的大小关系为；故答案为．先分别将a，b平方，再进行大小比较即可．此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．17.答案：解析：解：作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．本题可惜几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．18.答案：解析：解：抛物线的焦点为，准线方程为，圆的圆心为，与抛物线的焦点重合，且半径，，，，三角形ABF的周长，，三角形ABF的周长的取值范围是．故答案为：．圆的圆心为，半径，与抛物线的焦点重合，可得，，，即可得出三角形ABF的周长，利用，即可得出．本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解析：解：设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，则切线方程为，切线过点代入得，可得，即方程有两个解，则有可得或．即a的取值范围是．故答案为：．设切点为，求得的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入A的坐标，整理为m的二次方程，由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想，以及运算能力，属于中档题．20.答案：解析：解：根据题意，过点引曲线C：的两条切线，设切点坐标为，又由，则其导数，则有，又由切线经过端，则有，解可得：或，则切点的横坐标为0和，则两条切线的斜率为和，又由，则，解可得；故答案为：．根据题意，设出切点坐标，求出原函数的导函数，由导数的几何意义可得曲线C在切点处的切线的斜率，进而可得，解可得t的值，即可得两条切线的斜率，再由，可得，代入数据计算可得答案．本题考查利用导数分析切线的方程，涉及函数导数的几何意义，属于基础题．21.答案：解：由的面积为，可得：，由，及余弦定理可得：，故：，可得：；，，解得：，又，，可得，由正弦定理，，得：．解析：由的面积为，可得：，由，及余弦定理可得：，可得，得到角C；由的结果，先求出ab，根据c，即可求出，再由正弦定理可得，即可求出结果．本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．一等品非一等品总计A生产线2080100B生产线3565100总计55145200则．而．没有的把握认为一等级的产品与生产线有关；Ⅱ，B生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数为：元，故抽取的200件产品的平均利润为元；Ⅲ，B生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A线产品有20件，B线产品有35件，由样本频率估计总体概率，则该工厂生产产品为一等级的概率估计值为，当产量为2000件产品时，估计该工厂一等级产品获利元．解析：Ⅰ根据频率分布直方图中的数据建立列联表，再求出的值，结合临界值表得结论；Ⅱ由已知数据结合频率分布直方图中的数据列式求得A，B生产线共随机抽取的200件产品获利的平均数；Ⅲ求出A，B生产线共随机抽取的200件产品中，一等级的A线产品与一等级的B线产品，由样本频率估计总体概率，得到该工厂生产产品为一等级的概率，乘以2000得答案．本题考查独立性检验，考查频率分布直方图，训练了学生读取图表的能力，是中档题．23.答案：证明：四边形是菱形，，，且，平面，，，O是的中点，，，平面C.解：由可得平面，则BO是AB在平面上的射影，是直线AB与平面所成角，即，在中，，又，且，是正三角形，，由棱柱性质得，及平面，平面，得到平面，三棱锥的体积：．解析：推导出，，从而平面，进而，再求出，由此能证明平面C.由平面，得是直线AB与平面所成角，即，推导出平面，从而三棱锥的体积，由此能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．24.答案：证明：是等腰直角三角形，，O为CD的中点，，，，平面ABO，平面BCD，平面平面BCD，平面ABO，，为二面角的平面角，即，，，为等边三角形，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，0，，，2，，，0，，，设平面ABC的法向量y，，则，即，取令可得，．设AD与平面ABC所成角为，则．故AD与平面ABC所成角的正弦值为．解析：证明平面AOB，即可证明平面平面BCD；证明为二面角的平面角，得，进而得为等边三角形，以B为原点建立空间直角坐标系，求平面ABC的法向量，利用向量的线面角公式求解即可．本题考查面面垂直证明，线面垂直的判定及二面角的定义，考查空间向量的线面角求法，考查空间想象及计算求解能力，是中档题25.答案：解：由题意可得，解得，，椭圆E的方程为，假设存在这样的直线l，设其方程为，由，消y可得其，解得，设，，，，，，，，由题意可得，以线段GH为直径的圆过原点，，则，，则，即，解得，故存在这样的直线l，其方程为．解析：由题意可得，解得，，解得即可求出椭圆方程，假设存在这样的直线l，设其方程为，由，利用韦达定理和向量的数量积，以及三角形的重心的性质即可求出本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量数量积运算等基本知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力与计算能力．26.答案：解：Ⅰ由题意可知：，，，，，，椭圆的方程为；Ⅱ设，，由消去y，得，，，，，为线段CD中点，，又，，，又点Q到的距离，．此时，圆心Q到的距离，成立；综上：即为所求．解析：Ⅰ由题意焦距及焦点在x轴的焦点坐标，和Q坐标即可求出，a，c再，即可写出椭圆方程；Ⅱ设的方程联立椭圆，设而不求的方法求出弦长AB，再由题意直线CD，联立圆，设而不求求出CD的中点M坐标，再用点到直线的距离公式求出M到直线AB的距离，由面积求出参数k的值．考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题27.答案：解：由由解得X所以，的单调递增区间为，单调递减区间为；在处的极小值为，无极大值．证明：由知，在区间上的最小值为．因为存在零点，所以，从而当时，在区间上单调递减，且所以是在区间上唯一零点．当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点．综上所述，若存在零点，则在区间上仅有一个零点．解析：本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．利用或求得函数的单调区间并能求出极值；利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．28.答案：解：已知，则，分当时，，则单调递增；当时，，则单调递减．分所以，无最小值．分由可知，，即，分则，即分若在恒成立，则分因为，所以当且仅当时，等号成立．分故，即a的取值范围为分解析：Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，最值即可；Ⅱ根据，得到，若在恒成立，则，替换求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．29.答案：解：Ⅰ曲线C的极坐标方程可化为：，可得曲线C的直角坐标方程为：．消去参数t可得直线l 的普通方程为：．Ⅱ把直线l 的参数方程代入抛物线并整理得：，，设方程的两根分别为，，则由，，知，，，，，，，成等比数列，，，，解得或舍，．解析：Ⅰ由互化公式可得曲线C的直角坐标方程，消去参数t可得直线l的普通方程；Ⅱ立参数t的几何意义以及等比数列知识可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．30.答案：解不等式或或，解得，故原不等式的解集为；，，，，，，，，的最小值为，当且仅当时取等．解析：本题考查了绝对值不等式的解法及基本不等式求最值，属中档题．分3段去绝对值符号解不等式，再把每段的结果取并集即得解集；先根据分段函数的单调性求出最大值可得，再通过变形后使用基本不等式可得最小值．第21页，共21页。