专题九 解析几何第二十七讲 双曲线 (1)

高中双曲线知识点总结引言在高中数学中，双曲线是一个非常重要的概念。

它作为解析几何的一个分支，在许多问题中都有着广泛的应用。

本文将总结高中双曲线的基本概念、性质以及相关的解题方法，帮助读者更加深入地理解和掌握这一知识点。

一、双曲线的定义双曲线是一种平面上的曲线，其定义可以通过以下方法得到：1.定义一条直线（称为准线）和一个点（称为焦点）；2.焦点至准线距离与焦点至双曲线上任意点距离之差的绝对值等于一个常数。

二、双曲线的方程在解析几何中，双曲线通常用点到焦点和焦准距离的关系方程表示。

根据焦准距离的不同符号，双曲线可分为以下两种情况：1.椭圆型双曲线：焦准距离之差的绝对值为正数。

其方程通常为：x^2/ a^2 - y^2 / b^2 = 1，其中a和b为正实数。

2.双曲线型双曲线：焦准距离之差的绝对值为负数。

其方程通常为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = -1，其中a和b为正实数。

三、双曲线的基本性质双曲线具有以下几个基本性质：1.焦距公式：对于椭圆型双曲线，焦距c满足c²=a²+b²。

对于双曲线型双曲线，焦距c满足c²=a²+b²。

2.离心率：对于椭圆型双曲线，离心率ε满足ε=c/a。

对于双曲线型双曲线，离心率ε满足ε=c/a。

3.对称轴：对于椭圆型双曲线，对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。

对于双曲线型双曲线，对称轴是与准线垂直且通过双曲线的中心。

4.渐近线：对于椭圆型双曲线，有两条渐近线，其方程分别为y=±b/a* x。

对于双曲线型双曲线，有两条渐近线，其方程分别为y=±b/a * x。

5.顶点：对于椭圆型双曲线，顶点为与对称轴的交点。

对于双曲线型双曲线，顶点为与对称轴的交点。

四、双曲线的画法与性质绘制双曲线的一种常见方法是使用焦点和准线进行绘制。

根据准线的不同位置可以得到不同形状的双曲线，如下所示：1.当准线与焦点重合时，得到的是一条垂直于x轴的对称双曲线。

解析几何【6】双曲线1、双曲线的定义（1）平面内到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （122a F F ）的点的轨迹称为双曲线，这两个定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，两个焦点的距离12F F 称为焦距．为空集．2、在x a 和x a 两条平行线的外侧，向左、右两旁无限伸展y a 和y a 两条平行线的外侧，向上、下两方无限伸展关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称1,0A a ， 2,0A a 10,A a ， 20,A a ,0F c ，,0F c 0,F c ，0,F c3、等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．焦点在x 轴上，标准方程为222x y a （0a ）；焦点在y 轴上，标准方程为222y x a （0a ）．渐近线方程为y x ．以坐标轴为渐近线的双曲线方程为xy m （0m ）．4、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线．互为共轭的两双曲线22221x y a b 和22221y x （0a ，0b ）有相同的渐近线，它们的四个焦点共圆．5、设直线kx m （0k ），双曲线22221x y a b （a 221my b，消去y 得222222220ba x a mkx a m ab ．（1）220a k ，即bk a，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．（2）若2220b a k ，即b k a， 22222222224a mk b a k a m a b ．①0 直线与双曲线相交，有两个交点；若相交于同侧（两个交点在一支上）的条件为120x x，若相交于异侧（两个交点在不同支上）的条件为120x x ．②0 直线与双曲线相切，有一个交点；注意：直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件．③0 直线与双曲线相离，无交点．【温馨点睛】1、求双曲线的标准方程的两种方法：（1）定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出2a 、2b ，写出双曲线方程．（2）待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定2a 、2b 的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为2222x y m n（0 ），根据条件求 的值．2、【例（1）（2）【同类变式】设直线l 的方程为210x By ，倾斜角为 ．（1）试将 表示为B 的函数；（2）若263，求B 的取值范围：（3）若 ,21,B ，求 的取值范围．【例（1）（2）（3）【同类变式】求适合下列条件的直线方程．（1）经过点 0,2A ，它的倾斜角的正弦值是35；（2）经过点 5,2B ，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍；（3）经过点 5,4C ，与两坐标轴围成的三角形面积为5．【考点三】直线过定点问题【例3】已知直线 :2311l a y a x ．（1）求证；无论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）直线l 是否有可能不经过第二象限？若有可能，求出a 的范围；若不可能，说明理由．【同类变式】已知直线方程为 22140m x m y ．（1）该直线是否经过定点？若经过，求出该点坐标；若不经过，说明你的理由；（2）当m 为何值时，点 3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）当m 在什么范围时，该直线与两坐标轴负半轴均相交？【例轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求ABO 的面积的最小（1）（2）【真题自测】1.现有下列四个命题：①经过定点 000,P x y 的直线都可以用方程 00y y k x x ；②经过任意两个不同的点 111,P x y 、 222,P x y 的直线都可以用方程121121x x y y y y x x 表示；③不经过原点的直线都可以用方程1x ya b表示：④经过定点 0,A b 的直线都可以用方程y kx b 表示．其中真命题的个数是（）.A 0；.B 1；.C 2；.D 3．2..A .B .C .D3.直线:tan105l x y 的倾斜角．4.已知点 2,3A 、 1,4B ，则直线AB 的点法式方程为．5.已知点 3,4A 、 2,2B ，直线20mx y m 与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是．6.1212x y y ．k ，0k。

高中数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义双曲线是由平面上距离不变的所有点的轨迹组成的曲线。

具体地说，双曲线是平面上的一条曲线，其上的每一点到两个给定的不同点F1和F2的距离之差是一个常数。

在平面直角坐标系中，双曲线的定义可以表示为：一个点到两个不同点F1和F2的距离之差是一个常数e，即PF1-PF2=e。

二、双曲线的性质1. 双曲线包括两条分支，它们分别靠近两个焦点。

对于双曲线的每个分支来说，离焦点越远，离另一个分支越近。

2. 双曲线的两个焦点之间的距离称为焦距，是双曲线的重要参量，通常用2c表示。

3. 双曲线的渐近线是双曲线的一条特殊的直线，与双曲线有两个不同的交点。

双曲线的两条分支在渐近线上无限趋近。

4. 双曲线具有对称性，关于两个坐标轴都具有对称性，即当双曲线与一个坐标轴相交时，在另一个坐标轴上也有交点。

5. 双曲线有一个中心，它是两个焦点的中点，也是双曲线的对称中心。

6. 双曲线的方程通常可以表示为x^2/a^2-y^2/b^2=1或者y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a 和b分别是椭圆的轴长。

三、双曲线的方程在平面直角坐标系中，双曲线的一般方程可以表示为：1. 若横轴为实轴，纵轴为虚轴，则双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1；2. 若横轴为虚轴，纵轴为实轴，则双曲线的方程为y^2/b^2-x^2/a^2=1。

在双曲线的方程中，a和b分别代表横轴和纵轴方向的轴长，e为离心率。

四、双曲线的图像1. 当a>b时，双曲线的中心在x轴上，两分支朝向y轴；2. 当a<b时，双曲线的中心在y轴上，两分支朝向x轴。

双曲线的图像可以通过手工绘图或者计算机绘图软件来绘制，使学生更好地理解双曲线的性质和特点。

双曲线的图像在实际生活中也有许多应用，比如在光学中的抛物面镜和双曲面镜、在通信中的双曲线天线和成像原理等。

五、双曲线的相关定理和定律1. 双曲线的面积定理：双曲线的面积等于焦距的一半与两个辅助椭圆的面积之和。

双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。

在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。

一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。

当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。

2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。

（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。

（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。

（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。

二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。

（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。

2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。

在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。

专题九解析几何第二十七讲双曲线答案部分2019 年C x y的右焦点为F( 6,0)，渐近线方程为： 22 21. 解析双曲线: 1 yx，不妨4 2 2设点P在第一象限，可得tan2 ，( 6 , 3)POF P，所以△PFO的面积为：2 2 21 3 326．故选A．2 2 42. 解析因为双曲线y2x2 2 1(b 0) 经过点(3, 4) ，b16所以32 1，解得b 2 2 ，即b2 ．b2又a 1，所以该双曲线的渐近线方程是y2x．3.解析如图所示，因为F A AB,所以A 为F1B的中1点. 又O为F1F2 的中点，所以1AO BF.221AO P BF，22因为F B F B ，所以F1BF 2 90，1 2 01且O为F1F2 的中点，所以OBF F OF c.1 2 221BOFAOFBF F，所以OB BF，AO P BF得由 22 1 2 1 22b因此△OPF 2 为等边三角形， BOF 2 60，即渐近线的斜率为 3 ，也即3，a所以 eb212 . a214．A 解析：解法一：由题意，把cx 代入x 2 y 2 a2 ，得2c2PQ 2 a，24再由PQ OF，得 2c2a c，即2a 2 c2 ，24所以c c222，解得e 2.故选A．a a解法二：如图所示，由PQOF可知PQ为以OF为直径圆的另一条直径，Pc c所以, ，代入x 2 y 2 a2 得2a2c2 ，2 2所以c c22 2，解得e 2.故选A．a a解法三：由PQOF可知PQ为以OF为直径圆的另一条直径，则c1 2OP aOFc，e2 .故选A．22 2a5．解析根据渐进线方程为x y0的双曲线，可得a b，所以c2a，则该双曲线c的离心率为e2 ，故选C．a6.解析因为抛物线y x的焦点为F，准线为l，所以F 1, 0，准线l的方程为x 1.2 4x y2 2因为l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且2 2 1 a0,b0a bAB OF（O为原点），所以AB2b，OF1，所以2b 44，即b2a，a a2所以ca2 b2 5a，所以双曲线的离心率为e c 5．a故选D．2010-2018 年1．B【解析】由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c 2 a 2 b 2 314，所以c 2，故焦点坐标为(2, 0) ，(2, 0) ．故选B．2．B【解析】因为双曲线x23y 2 1的渐近线方程为3y x ，所以MON 60o．不3妨设过点F的直线与直线3y x交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设3OMN 90o，则MFO 60o，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y3(x2)，3y3(x2)x2由，所以，得3y x3y323 3M( , ) ，2 2所以| | (3)2 ( 3)2 3OM，2 2所以| MN | 3 | OM |3 ．故选B．3．A【解析】解法一由题意知，ec3，所以c3a，所以bc2 a2 2a，a所以b2 ，所以该双曲线的渐近线方程为yb x2x，故选A ．a a解法二由e c 1(b)2 3a a ，得b 2a，所以该双曲线的渐近线方程为y x2xba．故选A．4．C【解析】不妨设一条渐近线的方程为by x，a3则F 到2b | bc |y x的距离 db aa b22，在 Rt F PO 中，| F O | c ，所以| PO | a ，22所以| PF | 6a ，又| F O | c ，所以在与F PO111Rt F PO 中，2a c ( 6a )a222根据余弦定理得cos POFcos POF，122acc即3a 2 c 2 ( 6a )2 0，得3a2c 2．所以e c3．故选 C ．a5．C 【解析】通解 因为直线 AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取b 2A (c , ) ab2，B (c , ) ，a取双曲线的一条渐近线为直线bx ay0 ，由点到直线的距离公式可得| bc b | bc b 22d122a bcc| bc b 2 | bc b 2 ，d222abc，d 1 d 2 6 ，所以因为 bc b bc b2 2cc 6，所以 2b 6 ，得b 3．因为双曲线xy22的离心率为 2，所以 c 2 221( 0, 0) a b，a ba所以a b2224a，所以a29a24，解得 a 23，所以双曲线的方程为x y ，故选 C ．22139d d，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b 3 ．1 2 6 优解由因为双曲线x y2 2的离心率为2，所以c 22 2 1( 0, 0)a b ，a b a所以a b2 22 4a，所以a29a24，解得a 2 3，4所以双曲线的方程为x y ，故选C．2 213 96．A【解析】双曲线C的渐近线方程为bx ay0，圆心(2, 0) 到渐近线的距离为d| 2b a0 | 2ba b2 2a bc，圆心(2, 0) 到弦的距离也为d 22 1 3 ，所以2bc，又c 2 a 2 b2 ，所以得c 2a，所以离心率e c 23 ，选A．a7．B【解析】由题意可得：ba5，c 3，又a 2 b 2 c2 ，解得a 2 4，b 2 5，2则C的方程为x y 21．选B．4 58．B【解析】设F(c, 0) ，双曲线的渐近线方程为y b x，由 4 4ka c cPF4 b，又c 2有，c 2 a 2 b2 ，得b 2 2 ，a 2 2 ．选B．c a a，由题意9．D【解析】不妨设A在第一象限，A(x, y)，所以22 4x y，解得by x24x4 b222by4 b，4 2b32b故四边形ABCD的面积为4xy 42b，4 b 4 bb2 242解得b 2 12 ．故所求的双曲线方程为x y，选D．2 2=14 1210．A【解析】由题意得(m n)(3m n ) 0，解得m 2 n 3m2 ，又由该双曲线两焦2 2m 2 n 3m2 n 4 ，即m 2 1，所以1n 3．点间的距离为4，得M11．A【解析】设F1(c,0)，将x c代入双曲线方程，得c y2 22 2 1，化简得a b yb2，a1因为sin MF F ，所以2 13 tanb2| |MF a b c a2 2 2MF F 1 ，2 1| F F| 2c2ac2ac1 25c ae1 2 ，所以 22 1 0ee，所以 e2 ，故选 A ．2a 2c 2 2e4212．D 【解析】由双曲线的标准方程y2x 21得，右焦点 F (2,0)，两条渐近线方程为3y3x ，直线 AB ： x 2 ，所以不妨设取 A (2, 2 3) ， B (2,2 3) ，则| AB | 4 3 ，选 D ．13．B 【解析】由双曲线定义得 PF PFa ，即 122 63 PF 6 ，解得 2PF ，2 9 故选 B ．a bb 2214．D 【解析】由题意e11 ( )2 ，aae2(a m ) (b m ) b m221 ()a m a m2，∵b b mm (b a )a a m a (a m )，由于 m >0， a >0 ，b >0，b ，0 b m 1， 所以当 a >b 时， 01 aa mb b ma a mb b m，( ) 2( )2a a m，所以，而e e ；当 a b 时， b 1， b m 112a mab b ma a mb b m，( ) 2 ( )2， a a m所以e e ．所以当 a b 时，e e ；当 a b 时，1212e e ．1215．C 【解析】由题意，选项 A , B 的焦点在 x 轴，故排除 A , B ， C 项的渐近线方程为y 24x 2 0，即 y 2x ，故选 C ．16．A 【解析】由题意知 a 2 = 2 ，b 2 =1，所以 c 2= 3，不妨设 F 1( 3, 0) ， F，2( 3, 0)所以 MF 1 ( 3 x 0 ,y 0 ) ， MF 2 ( 3 x 0 ,y 0 ) ，又∵M(x, y)在双曲线上，所以0 0 x222 ，即x02 2 2y02 ，y0 1MF1 MF 2 x0 3y 0 3y0 10 ，所以2 2 23 3y ，故选A．3 3617．A 【解析】 由题意bb22A (a , 0),B (c , ),C (c , ) ，由双曲线的对称性知D 在 x 轴上，a a设 D (x ,0) ，由 BD AC 得 b b2 2 0 a a1，解得c x a cc x b 4a 2(c a ) ，所以b4c xa ab a c22，所以a 2 (c a ) b4a2c a b222b221a，而双曲线的渐近性斜率为 b 01 ，所以双曲线的渐近线的斜率取值范围b aa是 (1, 0) U (0,1)，选 A ．18．A 【解析】双曲线方程为xy 221，焦点 F 到一条渐近线的距离为b 3 ，选 A ． 3m319．A 【解析】∵ 0 k 9，∴9 k 0,25 k0 ，本题两条曲线都是双曲线，又 25 (9 k ) (25 k ) 9，∴两双曲线的焦距相等，选 A ．ì ï b = 2a ï ï ï =20．A 【解析】 依题意得 c 5í ï ïï 2 = 2 + 2 c a b ïî，所以 a 2 = 5 ，b 2 = 20 ，双曲线的方程为xy22- = 1．52021．B 【解析】由双曲线的定义得|| PF | | PF || 2a ，又| PF | | PF | 3b ，1212所以 (| PF | | PF |)2 (| PF | | PF |) 2 9b 2 4a 2 ，即 4 | PF || PF | 9ab ，121212因此9b24a29ab ，即9(b )2 9b 4 0，则（ 3b 1）（ 3b 4）=0，a a a a解得b 4 b 1 b 5( 舍去），则双曲线的离心率e 1( )2 ．a 3 a 3 a 322．C 【解析】由题知，ca，即54=c2a2=ab22a，∴b2a2=14，∴ba1=，∴C的2渐近线方程为yx，故选C．723．D 【解析】双曲线C 的离心率是 e111 ，双曲线C 的离心率是cos22e2sin1 tan 1 22，故选 D ．sincos24．A 【解析】设双曲线的焦点在 x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率 b a必须满足3 3≤ ，所 以 1 ( )2 ≤3，4 1 ( )2 4bb≤ ，既有 2 3 1 (b )2 2 3b≤ ，a3 a 3 a3a又双曲线的离心率为e1 ( ) 2e ≤ ．cb ，所以 2 3 2aa 325．C 【解析】∵双曲线xy 2221的右焦点为（3，0），∴ a 2 +5=9，∴ a 2 =4，∴ a =2a 5∵ c =3，∴ec 3，故选 C ． a 226．A 【解析】设双曲线 C ：x 2a2-y 2b2=1 的半焦距为c ，则 2c 10,c 5．又Q C 的渐近线为yx g ，即 a2b ．b ，点 P(2,1)在 C 的渐近线上， 1 b 2g ，即 a 2b ．a a又 c 2 a 2b 2，a 2 5,b 5 ， C 的方程为 x 2 20- y 25=1． 27．C 【解析】 xy可变形为x y ，则22a 2 4， a 2， 2a 4.故选 C ． 14828．A 【解析】圆 :(3) 4C xy，c 3,而 3b 222 ，则b 2,a 2 5 ，应选 A ．c 329．C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为 yx ，故可知 a 2 ．a30．B 【解析】双曲线xy 22的渐近线为 y b x 221( 0, 0) a b，由双曲线的一条渐a bap近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得 2，即 p 4 ， 2p ，∴ a 2 ，将（－2，－1）代入 y b x又∵ a 4 得b 1，2 a∴ c a 2 b 25 ，即 2c 2 5 ．831．B 【解析】由双曲线 E 的中心为原点， P (3, 0) 是 E 的焦点可设双曲线的方程为xy222 2 1(9) ，设ab22a b A (x , y ), B (x , y ) ，即 1 1 2 2x y x y22 2 2 1122221,221abab则 yy b x x b12 0 152212121，则x x a yy a2215 312121 2b2a25,b 5,a 4 ，224故 E 的方程式为x y .应选 B ．2214532．D 【解析】设双曲线的方程为xyb 222 2 1(a 0,b 0) ，其渐近线为 y x ，aba∵点 (4,2) 在渐近线上，所以1 ，由 1 ( )25a 2 a 2bb e．33．C 【解析】由题意，F （－1，0），设点 P (x , y ) ，则有x y, 2 2 0143解得x2y 0 3(1)，24因为 FP (x 1, y ) ，OP (x , y ) ，OP FP x 0 (x 0 1) y 0 =0 ( 0 1)2 OP FP x x所以x2 3(1 0 ) =4x 24 x ， 0 3 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x ，因为 0 22 x 2，所以当 x 时，OP FP 取得最大值 0 22 242 3 6，选 C ．34．y 1 x 【解析】由题意 a 2 ，b 1，∴ 1 y x x ．b2 a 235．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x ，所以 | bc |3 b c，所a222ab以b 2 c 2 a 2 3 c 2 ，得c 2a ，所以双曲线的离心率e c2．4a936． 2 3 【解析】由题意，右准线的方程为 xa 2 3 ，渐近线的方程为 3 yx ，c 23设3 3 3 3 P ( , ) ，则Q ， 1( 2, 0)( , ) F ，2 2 2 2F， 2 (2,0)所以四边形 F PF Q 的面积为1 21 1| F F || PQ | 4 3 2 3 ． 1 22 237．2 3 3【解析】如图所示， AH MN ， AM AN b ，MAN =60°，yNOM HAx所以 HAN 30o ，又 MN 所在直线的方程为 y b x，aA (a ,0) 到 MN 的距离AH | b | 1b a22， | b |在 Rt HAN 中，有 cos HAN HA，所以 NA3 2b a2 21，即b3 2aa b22c a b ，得 3 222因为2 a ，所以c 2 3e ． a ，所以 c 2 3c a 31038．2 y x 【解析】设2A (x , y ) ， 1 1B (x , y )，由抛物线的定义有2 2pp p | AF | | BF | yyyyp ，而| OF | ，12122 2 2p所以y yp，即 124 y yp ，122由22x ya b22x 2py21得 a 2 y 2 2pb 2 y a 2b 2 0，所以2pb2y y，122a所以2pb 2 a2，即 a 2b ，所以渐近性方程为2 pyx ．2 39．2【解析】 a21,b2m ，所以1 3c m，解得 m 2 ．a140．2【解析】不妨令 B 为双曲线的右焦点， A 在第一象限，则双曲线图象如图∵ OABC 为正方形， OA 2 ∴ c OB 2 2 ， AOBπ 4b ∵直线OA 是渐近线，方程为 y x a b，∴ tan AOB 1a又∵ a 2 b 2 c 2 8 ∴ a 2yAxBOC41．2【解析】由题意| BC | 2c ，所以| AB | 3c ，3c于是点(c, )在双曲线E上，代入方程，得2 c9c2 21，a4b2 2a b c得E的离心率为e c 22 22，应填2.在由a1142．3 3的一条渐近线为 y 3x ，所以 1 3 x2【解析】因为双曲线2，2y1 a 0aa故3a．343．2 2【解析】设 P (x , y ),(x 1) ，因为直线 x y 1 0 平行于渐近线 x y 0 ，所以c 的最大值为直线 x y1 0 与渐近线 x y0 之间距离，为 12 ．2244．3 2xy 22【解析】Ca b 的渐近线为 1: 22 1( 0, 0) ab b y x ， a则2pb 2pb2A (, )，aa22pb 2pbp2B ( , ) ，C x py p 的焦点 (0, )2:2 (0)2F，aa22则 kAF2pbp 2a a2 2，即2p b bab 2 a 25 ， 4 c a b 9 ， c 3 2 2 2 e ． a a 4 a 2 2245． y x 【解析】抛物线的准线p y ，与双曲线的方程联立得2 p2x a (1 )，根 2 24b2据已知得p2ac 2(1) 2①，由| AF | c 得 4b2p 2422②，由①②得 a 2b 2，即aca b ，所以所求双曲线的渐近线方程为 yx ．46．5 2【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程by x 可解得交点为aam bmA ( , ) 3b a 3b aambm， B ( ,)，而1 k ，由| PA || PB | ，可得 AB 的中AB3b a3b a 3 am am bm bm点( 3 3 , 3 3 )b a b a b a b a与点P(m,0) 连线的斜率为-3，可得4b 2 a2，2 25所以e．21247．x yy 2x 【解析】设与 2213 12 y 24x 2 1具有相同渐近线的双曲线 C 的方程为y 2 4，将点2, 2代入 C 的方程中，得k 3．∴双曲线的方程为x k 2x kx y ，2213 12渐近线方程为 y2x ． 48．5 4b 9c 25 5 522【解析】所以离心率为 。

解析几何中的双曲线双曲线是解析几何中的一类曲线，由一对焦点和一条连接两个焦点的直线构成。

本文将对双曲线的定义、性质以及应用进行详细的解析。

一、双曲线的定义双曲线是与两个焦点F1和F2的连线长度之和为常数的点P的轨迹。

这意味着对于双曲线上的任意一点P，它到焦点F1的距离加上到焦点F2的距离等于常数。

二、双曲线的标准方程双曲线的标准方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b为常数。

该方程描述了具有两个焦点和两条渐近线的双曲线。

三、双曲线的性质1. 双曲线是关于x轴和y轴对称的。

即，如果点P(x, y)在双曲线上，则点P'(-x, y)、P(x, -y)和P'(-x, -y)也在双曲线上。

2. 双曲线有两条渐近线，分别与x轴和y轴相交于原点，并且与曲线无限趋近于平行。

3. 双曲线的离心率定义为c/a，其中c为焦点之间的距离，a为半焦距。

离心率决定了双曲线的形状，当离心率小于1时，双曲线的形状较为扁平；当离心率大于1时，双曲线的形状较为狭长。

4. 双曲线上不存在对称中心，没有对称轴和顶点。

四、双曲线的应用双曲线在数学和物理学中有许多应用。

1. 光学中的反射定律：双曲线被广泛应用于光学中的反射定律研究中。

根据反射定律，光线从一个焦点入射于双曲线，并反射到另一个焦点上。

2. 天体力学中的轨道：行星的运动轨迹可以用双曲线描述。

行星围绕太阳运动时，在一些特定的情况下，其轨道可以近似为一个双曲线。

3. 电磁学中的电场和磁场：在电磁学中，电场和磁场的密度分布常常呈现出双曲线的形状。

通过双曲线的性质，我们可以更好地理解电磁场的行为规律。

综上所述，双曲线作为解析几何中的重要曲线之一，具有独特的定义、特点和应用。

通过深入研究和理解双曲线的性质和公式，我们能够更好地应用双曲线解决问题，并在相关领域中取得更多的研究成果。

平面解析几何中的双曲线正文：平面解析几何中的双曲线一、引言平面解析几何是数学的一个重要分支，涉及到直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线等各种图形。

在本教案中，我们将重点探讨双曲线的性质和应用。

二、基本概念1. 双曲线的定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，其定义形式为x²/a² - y²/b² = 1，其中a和b是正常数。

双曲线可分为两支，互相对称，且与坐标轴的交点称为焦点。

2. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点是指离曲线上的点到准线的距离和离焦点的距离之差为常数。

准线是指离焦点的距离等于另一个焦点到该点的距离。

3. 双曲线的离心率双曲线的离心率是一个标志性指标，用来描述焦点和准线之间的关系。

其计算公式为e = c/a，其中c表示焦点到原点的距离。

三、双曲线的性质1. 对称性双曲线是关于y轴和x轴的对称图形。

如果曲线的方程是y²/a² -x²/b² = 1，则它是关于y轴对称的；如果方程是x²/a² - y²/b² = 1，则它是关于x轴对称的。

2. 渐近线双曲线有两条渐近线，分别与曲线趋近的方向平行。

渐近线的方程为y = ±(b/a)x。

当x趋近于无穷大时，曲线趋近于渐近线。

3. 焦点和准线之间的关系双曲线的焦点和准线之间的距离等于离心率e乘以焦点到原点的距离。

即c = ae。

4. 双曲线的离点和离线双曲线上每一个点到焦点的距离与到准线的距离之差等于定值2a，即PF - PD = 2a，其中PF表示点到焦点的距离，PD表示点到准线的距离。

四、双曲线的应用双曲线在现实生活中有许多应用，以下举几个例子：1. 双曲线凸面镜：双曲线曲面的反射特性使得双曲线凸面镜能够聚焦光线，被广泛应用于望远镜和汽车的后视镜等光学设备中。

2. 无线电接收器的天线：双曲线天线由摇杆形状的天线组成，其形状与双曲线曲线非常相似，能够帮助接收无线电信号。