用正交变换化二次型为标准形的具体步骤精

初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型概述及解释说明1. 引言1.1 概述初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型是矩阵理论中一个重要且常用的概念。

通过进行一系列的初等变换和利用正交矩阵，我们可以将给定的二次型转化为标准型，从而简化问题的求解过程。

本文将对初等变换法和正交矩阵进行介绍，并说明它们在得出二次型的标准型中起到的关键作用。

1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、初等变换法与正交矩阵、二次型的标准型、初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型以及结论。

首先，在引言部分将对整篇文章的内容进行概述，并说明文章结构。

接下来，将详细介绍初等变换法和正交矩阵的概念及其性质，并讨论它们之间的关联性。

然后，我们会深入探讨二次型及其标准型的定义、意义以及性质。

紧接着，在给定了必要背景知识后，我们将介绍如何使用初等变换法和正交矩阵来得到二次型的标准型，包括具体的步骤和计算方法。

最后，在结论部分对全文进行总结，并讨论初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型在实际问题中的应用价值。

1.3 目的本文旨在通过概述和解释说明初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型，帮助读者充分理解初等变换法与正交矩阵在矩阵理论中的重要性以及它们在处理二次型问题中的作用。

同时，本文还将提供详细的步骤和计算方法，使读者能够从实际问题出发，灵活运用这种方法来求解相关的数学和工程问题。

2. 初等变换法与正交矩阵2.1 初等变换法介绍初等变换是线性代数中一种重要的操作，它可以通过对矩阵进行一系列基本运算来改变矩阵的形态。

常见的初等变换包括行交换、行倍乘以一个非零数和第j行加上第i行的k倍。

2.2 正交矩阵概述正交矩阵是指满足其转置矩阵乘以自身结果为单位矩阵的方阵。

简而言之，正交矩阵的转置就是它的逆矩阵。

具体而言，设A为n×n的实矩阵，若满足A^T⋅A=I (其中I为n×n的单位矩阵)，则称A为正交矩阵。

在线性代数中，正交矩阵有很多重要性质和应用。

正交变换法和配方法化二次型标准形-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN正交变换法和配方法化二次型标准形的优劣研究摘要二次型的研究起源于解析几何，在平面解析几何中，通常需要把二次曲线与二次曲面方程化为标准方程．从代数学的观点看，这种变化过程就是通过变量的线性替换化简一个二次多项式，使之只含有各个变量的平方项的过程．这类问题在数学的各个分支及物理、力学和网络计算中都有重要应用.本文在对二次型概念的理解基础上，将二次型化为标准形的方法进行归纳整理，并做进一步的研究与讨论．总结出正交变换法和配方法化二次型标准形的优劣之处.关键词：二次型；标准形；配方法；正交变换法AbstractQuadratic study originated in analytic geometry. In graphic analytic geometry, usually need to second curve and surface equation into standard equation. From the point of view of algebra, the change process of replacement is through simplifying linear variable, a quadratic multinomial only contains the square of variables. This kind of question in each branch of mathematics, physics,mechanics and network computing have important applications.Based on the understanding of quadratic basis, induce the method of transform quadratic form into standard form, and further generalization of the research and discussion. Summarize the advantage and disadvantage of orthogonal transformation method and the method of completing square.Keywords: Quadratic form; Standard form; Method of completing square; Method of orthogonal transformation目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)目录 (Ⅲ)1．引言 (1)2．定义 (1)3．定理及其证明 (2)4．方法步骤及例题 (5)配方法化二次型标准形 (5)正交变换法化二次型标准形 (7)两种方法的比较研究 (9)5．小结 (10)致谢 (12)参考文献 (13)1. 引言线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域.二次型理论在线性代数中占有举足轻重的地位,从对平方数的注意到对特殊二次型的研究，再到对一般二次型的探索与发展，中间经历了一个漫长曲折的历史过程,而实二次型的标准形与代数数论、数的几何等都有密切的联系，利用二次型可以把任何一个方阵JORDAN标准化,对研究矩阵是非常有用的，因此讨论化二次型为标准形的问题就成为教学的一个很重要的内容.文献[1]-[3]具体介绍了二次型的定义以及对二次型的研究情况，提出了化二次型为标准型的重要性.文献[4]-[6]提出了用正交变换法化二次型标准形的步骤及应用．文献[7]-[8]提出了用配方法化二次型标准形的步骤及应用.本文对化二次型为标准形的方法进行了归纳和总结，并做进一步的研究与讨论，这在理论上和应用上都有着十分重要的意义.2. 定 义定义 1：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式()n x x x f ,,,21 =11a 21x +22112x x a +…+2n n x x a 11+2222x a +…2n n x x a 22+…2n nn x a称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.定义 2：设n x x ,,1 ；n y y ,,1 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x22112222211212121111(1)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换，简称线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么，线性替换(1)就称为非退化的.定义 3：在n 维欧式空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基.3. 定理及其证明定理 1：数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化线性替换变成平方和2222211n n x d x d x d +++ 的形式.证明：对变量的个数n 作归纳法.对于n=1，二次型就是()21111x a x f =，已经是平方和了，现假定对n-1元的二次型，定理的结论成立.再设()∑∑===ni nj j i ij n x x a x x x f 2221,,, （ji ij a a =）分三种情形来讨论：1）ij a （n i ,,2,1 =）中至少有一个不为零，例如011≠a ，这时()n x x x f ,,,21 =∑∑∑∑====+++ni nj j i ij ni i i nj j j x x a x x a x x a x a 222112112111=∑∑∑===++n i nj j i ij n j j j x x a x x a x a 2221121112= 212111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-j j n j x a a x a -221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=-n j j j x a a +∑∑==n i n j j i ij x x a 22= 212111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-j j n j x a a x a +∑∑==n i n j j i ij x x b 22这里 ∑∑==ni nj j i ij x x b 22=-221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=-n j j j x a a +∑∑==n i n j j i ij x x a 22是一个n x x x ,,,32 的二次型. 令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=∑=-n n nj jj x y x y x a a x y 222111111即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=∑=-n n nj jj x y x y x a a y x 222111111 这是一个非退化线性替换，它使()n x x x f ,,,21 =∑∑==+ni nj j i ij y y b y a 222111由归纳法假定，对∑∑==n i nj j i ij y y b 22有非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c z y c y c y c z y c y c y c z 33223333232323232222能使它变成平方和2233222n n z d z d z d +++于是非退化线性变换 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++==nnn n n nn y c y c z y c y c z y z 222222211就使()n x x x f ,,,21 变成()n x x x f ,,,21 =22222111n n z d z d z a +++ ， 即变成平方和了.根据归纳法原理，定理得证.2）所有0=ii a ，但是至少有一01≠j a （j>1）,不失普遍性，设012≠a令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+=nn z x z x z z x z z x 33212211它是非退化线性变换，且使 ()n x x x f ,,,21 = +21122x x a=()() +-+2121122z z z z a= +-2212211222z a z a ， 这时上式右端是n z z z ,,,21 的二次型，且21z 的系数不为零，属于第一种情况，定理成立.3)011211====n a a a由于对称性，有013121====n a a a这时()n x x x f ,,,21 =∑∑==ni nj j i ij x x a 22是n-1元二次型，根据归纳法假定，它能用非退化线性替换变成平方和.定理2：对于任一个n 级实对称矩阵A ，都存在正交矩阵Q ，使得AQ Q 1-=AQ Q '=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21其中n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值.定理 3：对于n 维欧式空间中任意一组基n εεε,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n ηηη,,,21 ，使L ()i εεε,,,21 =L ()i ηηη,,,21 ，n i ,,2,1 =.证明：设n εεε,,,21 是一组基，我们来逐个地求出向量n ηηη,,,21 . 首先，可取1111εεη=.一般地，假定已经求出m ηηη,,,21 ，它们是单位正交的，具有性质 L ()i εεε,,,21 =L ()i ηηη,,,21 ，m i ,,2,1 =.下一步求1+m η因为L ()m εεε,,,21 =L ()m ηηη,,,21 ，所以1+m ε不能被m ηηη,,,21 线性表出. 作向量()∑=+++-=mi i i m m m 1111,ηηεεξ.显然，01≠+m ξ，且()0,11=+ηξm ，m i ,,2,1 =令 111+++=m m m ξξη ，121,,,,+m m ηηηη 就是一单位正交向量组. 同时 L ()121,,,+m εεε =L ()121,,,+m ηηη 由归纳法原理，定理得证.定理 4：任意一个n 元二次型()n x x x f ,,,21 =AX X '(A 实对称)，总可以经过正交变换QY X =（Q 为正交矩阵）化为标准形2222211n n y y y f λλλ+++= ，式中，n λλλ,,,21 是矩阵A =(ij a )的全部特征值，2222211n n y y y f λλλ+++= 称为二次型在正交变换下的标准形.证明：因为矩阵A 是实对称阵，由定理4可知，一定存在正交矩阵Q ，使得 AQ Q 1-=AQ Q '=A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21其中n λλλ,,,21 是矩阵A 的全部特征值.作正交变换QY X =,则()n x x x f ,,,21 =AX X '=()Y AQ Q Y ''=AY Y '=2222211n n y y y λλλ+++4. 方法步骤及例题配方法化二次型标准形用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理： 情形1: 如果二次型()n x x x f ,,,21 含某文字例如1x 的平方项，而011≠a ,则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=nn n n x y x y x c x c x c y 2212121111（P c ij ∈）则()n y y g y d f ,,2211 +=,其中()n y y g ,2是n y y ,,2 的二次型。

编号2009011146毕业论文（2013 届本科）论文题目：化二次型为标准形的方法学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级： 2009级本科（1）班作者姓名：王瑜指导教师：完巧玲职称：副教授完成日期： 2013 年 05 月 07 日目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (1)０引言 (1)1矩阵及二次型的相关概念 (1)1．1矩阵的相关概念 (1)1．2二次型的相关概念 (2)2化二次型为标准形的方法 (3)2．1配方法 (3)2．2初等变换法（合同变换法） (5)2．3正交变换法 (6)2．4雅可比法 (8)2．5MATLAB法 (12)3 小结 (14)参考文献 (15)英文摘要 (15)致谢 (16)陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：二O一年月日化二次型为标准形的方法王瑜 完巧玲（陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000 ）摘 要：化二次型为标准形的方法通常有配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法，这五种方法各有长处.本文通过对这些方法的归纳整理，使人们在解题时根据其特点和要求选取最佳方法，以达到简明快速的目的． 关键词：二次型；标准形；初等变换；正交变换；雅可比.０ 引言二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是化二次型为标准形．二次型化为标准形的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论应用也非常广泛．将二次型化为标准形往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在各个领域都有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准形的方法有重要的理论与应用价值．实数域P 上的二次型可通过配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法将其化为标准形．对于配方法或初等变换法即用非奇异变换py x =将其化为21i ni i y d ∑=（d i 为实数）的形式，然而这种方法不易求出矩阵P ，下面将介绍几种特殊方法，能够快速将原二次型化为标准形，并求出P ，使问题简化．下面首先介绍有关概念，再分别讨论二次型化为标准形的方法．1 矩阵及二次型的相关概念1．1 矩阵的相关概念定义]1[1.1.1 设V 是数域F 上的一个向量空间，V 中满足下列两个条件的向量组{n ααα,,,21 }叫做V 的一个基．i ) n ααα,,,21 线性无关；ii ) V 的每个向量都可以由n ααα,,,21 线性表示．定义]1[2.1.1 设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维向量空间V 的两个基．那么向量βj，n j ,,2,1 =，可以由n ααα,,,21 线性表示．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ 22112222112212211111，作一个n 阶矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a T212222111211则矩阵T 叫做由基{n ααα,,,21 }到基{n βββ,,,21 }的过渡矩阵．定义]3[3.1.1 如果n 阶实方阵A 满足E A A T =即(1-=A A T 或E AA T =)， 则称A 为正交矩阵．定义]5[4.1.1二次型的矩阵n n ij a A ⨯=)(，若记111a =∆，222112112a a a a =∆， ，nnn nn a a a a1111=∆ ，则称1∆，2∆， ，n ∆为其顺序主子式．1．2 二次型的相关概念定义]2[1.2.1 设P 是一个数域，以P 中的数作系数的1x ，2x ， ，n x 的二次齐次多项式221211112121313112222323(,,...,)22...22...n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x =++++++++222...n n a x x +2nn n a x +称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.注：(1)这里非平方项的系数采用ij a 2主要为了后面矩阵表示方便． (2)实数域上的n 元二次型为实二次型;复数域上的n 元二次型为复二次型. (3)如果二次型中只含有变量的平方项，即12(,,...,)n f x x x =221122d x d x +2...n n d x ++称为标准形的二次型．简称标准形.定义]5[2.2.1 设V 是数域P 上一个线性空间，),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量α、β，根据f 都唯一地对应于P 中一个数),(βαf ．如果),(βαf 有下列性质： 1) ),(),(),(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+2) ),(),(),(22112211βαβαβααk f k k k f +=+其中1212,,,,,αααβββ是V 中任意向量，21,k k 是P 中任意数，则称),(βαf 为V 上的一个双线性函数．例如：欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数．定义]5[3.2.1 设),(βα=f 线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量βα,都有 ),(),(αββαf f =，则称),(βαf 为对称双线性函数．定义]5[4.2.1 设),(βαf 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数．12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(1111n n n n f f f f A εεεεεεεε叫做),(βαf 在12n ,,...,εεε下的度量矩阵．结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．2 化二次型为标准形的方法2．1 配方法用配方法化二次型为标准形关键是消去交叉项，分如下三种情形处理： 情形]4[1 如果二次型),...,,(21n x x x f 含某文字例如1x 的平方项，即011≠a ，则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性变换)(12212121111P c x y x y x c x c x c y j nn nn ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=得),...,(2211n y y g y d f +=，其中),...,(2n y y g 是2y ，…n y 的二次型．对),...,(2n y y g 重复上述方法直到化二次型f 为标准形为止．情形]4[2 如果二次型),...,,(21n x x x f 不含平方项，即0=ii a (n i ,...,2,1=)，但含某一个)(0j i a ij ≠≠，则可先作非退化线性替换 ),;,...,2,1(j i k n k y x y y x y y x kk j i j j i i ≠=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=把f 化为一个含平方项2i y 的二次型，再用情形1的方法化为标准形．情形]3[3 若011211====n a a a ,由对称性013121====n a a a ．此时j i ni nj ij x x a f ∑∑===22是1-n 元二次型，由归纳假设,它能用可逆线性变换化为标准形．例]2[1.1.2用配方法化下列二次型为标准形(ⅰ)3231212322212162252),...,,(x x x x x x x x x x x x f n +++++=； (ⅱ)32312121622),...,,(x x x x x x x x x f n -+=． 解（ⅰ）先集中所含1x 的项并配方，得32232232121652)(2x x x x x x x x f +++++=322322322321652)()(x x x x x x x x x ++++-++=233222232144)(x x x x x x x +++++=令 ⎪⎩⎪⎨⎧==++=.,,33223211x y x y x x x y 即 ⎪⎩⎪⎨⎧==--=.,,33223211y x y x y y y x 得上式右端除第一项外已不再含1y ，继续配方．可得23221)2(y y y f ++=令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+==.,2,3332211y z y y z y z )1( 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==.,2,3332211z y z z y z y )2(得标准形 2221z z f +=所用的可逆线性变换为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=.,2,333223211z x z z x z z z x )3(注：此题中它的标准形为2221z z f +=，它还是三元二次型，只是23z 的系数为零；所做的线性变换)2(必须有33z y =项，否则不是非退化线性变换．（ⅱ）因为f 中不含平方项而含21x x 乘积项，故令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=.,,33212211y x y y x y y x )1(代入二次型，得 3213212121)(6)(2))((2y y y y y y y y y y f --++-+=323122218422y y y y y y +--=再按情形1的方法配方 232322316)2(2)(2y y y y y f +---=令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=,,2,33322311y z y y z y y z )2( 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=,,2,33322311z y z z y z z y )3(则二次型化为 232221622z z z f +-=将式)1(代入式)3(，得可逆线性变换 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=.,,33332123211z x z z z x z z z x2．2 初等变换法（合同变换法）我们知道可逆矩阵可以表示为有限个初等矩阵1P ，2P ，…，m P 的乘积，即m m P P EP P P P C ......2121== )1.2.2(把上式代入式D AC C T =，得 D P P AP P P P m TTTm =......2112 )2.2.2(式)2.2.2(表明，对对称矩阵A 施行m 次初等行变换及相同的m 次初等列变换，A 就变为对角矩阵D ．而式)1.2.2(表明对单位矩阵E 施行上述的初等列变换，E 就变为可逆矩阵C ．这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵C 及对角矩阵D ，使得A 与D 合同的方法称为初等变换法．因此可得利用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下：第一步：写出二次型f 的矩阵A ，并构造n n ⨯2矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E A ；第二步：对A 进行初等行变换和同样的初等列变换化为矩阵D ，此时D AC C T =； 第三步：写出可逆线性变换CY X =化二次型为标准形DY Y f T =．这个方法可示意如下：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E A E A 换只进行其中的初等列变对和初等列变换进行同样的初等行变换对 例]6[1.2.2用初等变换把二次型3231213213),,(x x x x x x x x x f -+=经过非退化（可逆）线性变换化成标准形，并写出所作的非退化线性变换．解 ),,(321x x x f 的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=023212302121210A ， 用矩阵的初等行、列变换法，有−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯++211212)21(10001100102312302112111001000102321230211212110010001023212302121210rr c c r r E A−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+++-⨯313121100021102111101410101100021102110111410101100011001023114101211)21(c c r r c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----100121112111101410001−−−→−+-⨯32)4(r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100121112113001410001−−−→−+-⨯32)4(c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100121132113000410001因此，1001004003D ⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10012113211C 令CY X =．其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321y y y Y 得232221321341),,(y y y x x x f +-=所做的非退化（可逆）线性变换CY X =，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+-=.,21,32133********y x y y y x y y y x2．3 正交变换法对于任一n 阶实对称矩阵A ，一定存在正交矩阵T ，使得 Λ=-AT T 1其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21这里1λ，2λ，…n λ 是A 的n 个特征值． 注意到T 是正交矩阵，所以Λ==-AT T AT T T 1定理]3[1.3.2（主轴定理）对于任意一个n 元实二次型AX X x x x f T n =),...,,(21 一定能找到一个正交线性替换TY X =，把它变成标准形2222211...n n y y y λλλ+++ 其中1λ，2λ，…n λ是实对称矩阵A 的全部特征值，正交矩阵T 的n 个列向量恰为A 的对应特征值1λ，2λ，…n λ的标准正交特征向量． 用正交变换法化二次型为标准形的步骤归纳如下： 第一步：写出二次型f 的矩阵A ；第二步:求出A 的特征值，得1λ，2λ，…n λ； 第三步：求出对应的特征向量；第四步：将特征向量作施密特正交变换，得到正交的特征向量； 第五步：将正交的特征向量单位化；第六步：将这些单位化向量排成矩阵，得到正交矩阵Q ，这时Λ=='-AQ Q AQ Q 1其中Λ是对角矩阵，它由A 的特征值构成，即),...,(21n diag λλλ=Λ，写得时候要注意与特征向量的顺序一致；第七步：写出可逆线性变换QY X =，则有 2222211...n n y y y f λλλ+++= 因此只要求出特征根，二次型的标准形也就求出来了．正交变换更具实用性． 例]3[1.3.2 用正交变换化二次型-+++=21232221214552),...,,(x x x x x x x x f n323184x x x x -为标准形，并写出所用的正交变换．解 二次型的矩阵为222254245A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭．因为 )10()1()det(2--=-λλλA E ，所以A 的特征值为121==λλ，103=λ可求得对应的特征向量分别为1210ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2201ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3122ξ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭将1ξ，2ξ正交化 11210ηξ-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，212211125,4,51ξηηξηηη⎛⎫⎪⎪〈〉 ⎪=-⋅= ⎪〈〉 ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再将1η，2η，3ξ单位化10ψ⎛ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2ψ=，3132323ψ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 于是正交变换1122331323203x y x y x y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭化二次型为 23222110y y y f ++=2．4 雅可比法设V 是数域P 上一个n 维线性空间，取定V 的一组基12n ,,...,εεε，令α=∑=ni ii x 1ε，β=∑=ni i i y 1ε，T n x x X ),,(1 =，T n y y Y ),,(1 =，那么给定一个F 上的n 元二次型AX X T （其中A 是n 阶对称矩阵），则由A 可以定义一个V 上对称双线性函数),(βαf =AY X T ，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(1121n n n n f f f f A εεεεεεεε．反之亦然．在固定的基12n ,,...,εεε下，二次型AX X T 和对称双线性函数),(βαf =AY X T 是互相唯一确定的（都是由A 确定的）． 这种方法的中心问题是：对在V 的基12n ,,...,εεε下有二次型AX X T 确定的对称双线性函数),(βαf =AY X T ，满足条件0),(=j i f ηη，对),...,2,1,(n j i j i =≠设{1n ,...,ηη}是V 的另一组基，而n n ij b B ⨯=)(=)),((j i f ηη是),(βαf 关于这个基的矩阵，又设n n ij c C ⨯=)(是由基12n ,,...,εεε到基1n ,...,ηη的过渡矩阵，即∑==nj j ij i c 1εη，n i ,...,2,1= 那么 AC C B T =即一个双线性函数关于V 的两个基的两个矩阵是合同的．在n R 中，从一个基12n ,,...,εεε出发，利用施密特正交化方法，可以构造一个与之等价的正交基1n ,...,ηη．该方法的实质就是设 111121212221122,,.n n n nn n c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+++⎩然后用待定系数法求使得0),(=j i f ηη（其中j i ≠，n j i ,...,2,1,=）的系数ij c ．是否能构造如下形式的基1n ,...,ηη：111121212221122,,.n n n nn n c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+++⎩使得0),(=j i f ηη，对),...,2,1,(n j i j i =≠解 将j jj j j j c c c εεεη+++= 2211代入),(j i f ηη得),(),(2211j jj j j i j i c c c f f εεεηηη+++==),(),(),(221j i jj i j i i j f c f c f c εηεηεη+++ ，所以，若对任意的i 及j i <有0),(=j i f ηη，则对i j <，也有0),(=j i f ηη，又因双线性函数),(βαf 是对称的，则对i j >，有0),(),(==i j j i f f ηηηη，即1n ,...,ηη是所求的基。

化二次型为标准型二次型是代数学中一个重要的概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。

在矩阵理论中，我们经常需要将一个给定的二次型化为标准型，以便更好地进行计算和分析。

本文将介绍如何将一个二次型化为标准型的具体步骤和方法。

首先，我们来回顾一下什么是二次型。

在代数学中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，通常可以表示为一个对称矩阵的形式。

例如，对于n个变量x1, x2, ..., xn，一个二次型可以表示为以下形式：Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2(a12x1x2 + a13x1x3 + ... + ann-1,nxn-1xn)。

其中，aij表示对应的系数，对称矩阵的对角线上的元素为二次项的系数，非对角线上的元素为交叉项的系数的一半。

接下来，我们将介绍如何将一个二次型化为标准型。

要将一个二次型化为标准型，我们需要进行以下步骤：1. 对二次型进行配方法，即通过合适的线性变换将二次型化为平方项的和的形式。

2. 通过正交变换将平方项的和的形式化为标准型。

首先，我们来看第一步，即如何通过配方法将二次型化为平方项的和的形式。

对于一个n元二次型Q(x)，我们可以通过合适的线性变换将其化为以下形式：Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λnyn^2。

其中，λ1, λ2, ..., λn为二次型的特征值，y1, y2, ..., yn为相应的特征向量。

这个过程就是对二次型进行配方法，将其化为平方项的和的形式。

接下来，我们来看第二步，即如何通过正交变换将平方项的和的形式化为标准型。

对于一个平方项的和的形式，我们可以通过正交变换将其化为标准型。

具体来说，我们可以找到一个正交矩阵P，使得P^TQP为对角矩阵，即将二次型化为标准型。

通过以上两个步骤，我们就可以将一个给定的二次型化为标准型。

这样做的好处在于，标准型更容易进行计算和分析，可以更清晰地展现二次型的性质和特征。

化二次型为标准形几种方法的比较及技巧二次型在数学中有着重要的地位，它在代数、几何、物理等领域都有广泛的应用。

对于一个二次型，我们希望能够将它化为标准形，简化计算和研究过程，因此研究如何将二次型化为标准形是很有必要的。

本文将介绍几种将二次型化为标准形的方法，并对它们进行比较和技巧的讲解。

一、矩阵的对角化方法矩阵的对角化方法是将二次型化为标准形的一种常见方法，其思路是通过矩阵的特征值和特征向量进行变换。

具体步骤如下：1. 将二次型的系数写成矩阵的形式，设为A。

2. 求出A的特征值λ1,λ2,…,λn以及对应的特征向量x1,x2,…,xn。

3. 构造线性变换T，T(x1)=e1,T(x2)=e2,…,T(xn)=en，其中e1,e2,…,en是标准基向量。

4. 令x'=Tx，将二次型转化为x'的形式，此时x'的系数矩阵为对角阵，即化为标准形。

这种方法的优点是直接使用了矩阵的特征值和特征向量进行变换，求解比较简单。

缺点是只有满秩矩阵才能进行对角化，如果矩阵不满秩，需要先进行配方法或者其他转化。

二、配方法2. 求出A的秩r，找到A的一个秩为r的子矩阵，对该子矩阵进行配方法，将二次型化为平方差的形式。

3. 利用正交变换将其余未配方法的部分归并。

4. 根据配方法的结论将二次型化为标准形。

这种方法的优点是适用范围广，只要矩阵是方阵即可。

缺点是存在配方法的不确定性，需要通过试错不断寻找适当的子矩阵进行配方法，求解过程比较繁琐。

三、同阶合同变换2. 利用初等行变换将矩阵A化为对称矩阵B。

这种方法的优点是变换只涉及初等变换，计算过程简单，求解相对容易。

缺点是初等变换时，需要注意保持同阶合同形式，变换的顺序也可能会影响结果。

综上所述，不同的二次型标准化方法各有优缺点，根据实际问题，选择相应的方法应考虑求解的复杂程度、计算的难易程度以及方法的理论基础等因素。

在计算过程中，需要遵循一些技巧，如合理运用矩阵等基本性质，避免计算错误等，以保证求解过程的正确性和高效性。

正交变换法化二次型为标准型例题正交变换是线性代数中一个重要概念，它可以帮助我们将一个复杂的二次型化简为标准型，从而更好地理解和分析问题。

在本文中，我们将以正交变换法化二次型为标准型为主题，深入探讨其原理、方法和应用，并提供一个具体的例题来帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

1. 正交变换的概念和原理正交变换是指一个线性变换，在这个线性变换下，原来的向量空间中保持内积不变。

简单来说，就是变换后的向量之间的夹角保持不变。

在实际应用中，我们通常使用正交矩阵来进行正交变换，因为正交矩阵的行向量（或列向量）是两两正交彼此且模为1的向量。

2. 正交变换法化二次型为标准型的方法对于一个二次型矩阵A，我们可以通过正交变换将其化为标准型。

简单来说，就是存在一个正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵。

这样做的好处在于，通过正交变换，我们可以将原来复杂的二次型化为易于分析和理解的标准型，从而更好地研究其性质和特点。

3. 一个具体的例题：将二次型矩阵化为标准型假设我们有一个二次型矩阵A，如下所示：A = [[3, 0, 0],[0, 2, -1],[0, -1, 2]]现在我们希望通过正交变换将其化为标准型。

我们可以按照以下步骤进行操作：（1）求出A的特征值和特征向量。

（2）将特征向量组成正交矩阵P。

（3）计算P^TAP，得到标准型矩阵。

通过具体的计算，我们可以得到最终的标准型矩阵B，如下所示：B = [[3, 0, 0],[0, 1, 0],[0, 0, 3]]4. 总结和回顾通过以上例题，我们深入探讨了正交变换法化二次型为标准型的方法，从而更好地理解了这一概念和原理。

通过正交变换，我们可以将原来复杂的二次型化为标准型，更好地研究其性质和特点。

这对于线性代数和数学分析领域的学习和研究具有重要意义。

5. 个人观点和理解我个人认为，正交变换法化二次型为标准型是线性代数中一个重要且实用的技巧。

通过正交变换，我们可以将复杂的二次型化简为简单的标准型，从而更好地理解和分析问题。