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高中数学必修2课后限时训练28 圆的一般方程一、选择题1．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案：C解析：两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2(x －3)即3x －y －9＝0，故选C. 2．圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上有两个点P 和Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝( )A ．2B ．－32C ．±32D ．不存在 答案：A解析：由题意得直线kx －y ＝4＝0经过圆心C (－12，3)，所以－k 2－3＋4＝0，解得k ＝2.故选A. 3．当a 取不同的实数时，由方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay －1＝0可以得到不同的圆，则( )A ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 上B ．这些圆的圆心都在直线y ＝－x 上C ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 或y ＝－x 上D ．这些圆的圆心不在同一条直线上答案：A解析：圆的方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝2a 2＋1，圆心为(－a ，－a )，在直线y ＝x 上．4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )， 则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－b a>0，所以直线不经过第四象限，故选D.5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为( )A ．5 2B ．102C ．15 2D ．202答案：B解析：圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[(1－0)2＋(3－1)2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝10 2. 6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π答案：B解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径长的圆，故面积为π×22＝4π.二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为________．答案：x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0解析：只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________． 答案：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0解析：设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.9．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.答案：－2解析：由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心，∴－1＋a 2＋2＝0，∴a ＝－2. 三、解答题10．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．解析：解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.[点评] (1)形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－F >0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．(2)在书写本题结果时，易出现r ＝5(m －2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．11．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．解析：方法1：(直接法)设P (x ，y )，连接OP ，则OP ⊥BC ，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0. ①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．方法2：(定义法)由方法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2， 由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)．12．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ①2D ＋6E －F －40＝0. ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0. ③由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.。
2024-2025学年高一数学苏教版必修第二册单元测试：第12章 复数一、选择题A. B. C. D.3．若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知，则下列数是z 的同部复数的是( )A. B. C. D.4．在复平面内,复数,对应的向量分别是,,其中O 是原点,则向量对应的复数为( )A.B. C.D.7．复数的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )B. C. D.8．复数( )A. B. C. D.二、多项选择题9．设方程在复数范围内的两根分别为,,则下列关于,的说法2i +2i -+2i --2i-()31i z =-2i +32i -4i -32i-+34i +2i -+OM ONMN53i--13i--53i+53i-i -1i 2±1i 2±1i 21i 2-22(1i)1iz =++-=13i +12i +12i -13i-210x x ++=1z 2z 1z 2z正确的有( )A. B. C. D.10．已知复数z 满足，则( )的取值范围是( )A. B. C. D.三、填空题12．若复数13．若复数z 满足14．计算：（i 为虚数单位）的结果是________.四、解答题15．已知复数，求当实数m 为何值时；（1）z 为实数；（2）z 为纯虚数；（3）z 为虚数.16．已知复数（）.（1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围.17．已知复数,（i 为虚数单位）.（1）求复数;（2）若复数在复平面内所对应的点在第四象限,求实数m 的取值范围.18．已知复数，其中i 为虚数单位，.212z z =33120z z -=22120z z -=121z z =210z z -+=12=1+=2-=()(),41,-∞-+∞ ()1,+∞(),4-∞-()4,1-20181iz =+-z z ⋅231001i i i i ++++⋯+()226215i 3m m z m m m --=+--+()21i 4i 32z m m =+--+m ∈R 12i z =-+1255i z z =-+2z ()()()2323231i z z m m m ⎡⎤=---+-⎣⎦()()2232232i z m m m m =-++--m ∈R（1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围.19．已知，复数（i 是虚数单位）.（1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.m ∈R ()2261124i z m m m m =--+-+参考答案1．答案：B 解析：,而的共轭复数是故选：B.2．答案：D解析：易知，，因此故选：D 3．答案：B 解析：4．答案：A解析：由题意可得,,所以,所以向量对应的复数为.故选:A.5．答案：D6．答案：D解析：，，故选：D.55(2i)105i 2i i 2(2i)(2i)5----===----+-- 2i --2i.-+()()()22i 2i i 2i i 12i 12i 2i 2i 2i 4i 555z ++-+=====-+--+-12i 55=--1212i i 5555z z ⎛⎫+=-++--= ⎪⎝⎭()3,4OM = ()2,1ON =-()()()2,13,45,3MN ON OM =-=--=--MN53i --()()()i 34i 43i 34i 34i 25+-+==-+21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2++===--+1i 2i2i i 2i i(2i)12i 1i iz z z +-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---12i ||z z ∴=-+⇒==7．答案：D，1，2）当时，得；当时，得，故选：D.8．答案：D解析：化简，故选D.9．答案：ABD解析：由方程得,由求根公式得,z 2,且,,故D 正确;因为,故A 正确;,故B 正确;因为,故C 错误.10．答案：AD0==1k=7π7π1cossin i 662+=-2k =11π11π1cos sin i 662+=()221i 1iz =++-()()()21i 22i2i 1i 1i 1i +==+-+-()21i 2i 12+=+=+13i =-210x x ++=1430∆=-=-<z ==12-+12=-121z z +=-121z z =221211312442z z ⎛⎫=-+=--=--= ⎪ ⎪⎝⎭()()()23322121212121212z z z z z z z z z z z z ⎡⎤-=-++=+-⎣⎦()110=-=()()221212121z z z z z z -=+-=-=解析：因为，则，，故A 正确；当，当，故B 错误；因为因为故选：AD 11．答案：D在复平面内所对应的点位于第四象限，，解得则实数a 的取值范围是，故选:D.12．答案：1010，则，z 的虚部为1010.解析：设，则由，210z z -+=212z ⎛⎫-= ⎪⎝⎭12z =±1=12z =+12=12z =-12=+312z +=2z -=(2i)(12i)22(4)i 224i (12i)(12i)555a a a a a ----+-+===-+-2205a -∴>405a +-<41a -<<(4,1)-()()()20181i 20182018i10091009i 1i 1i 2++===+-+2018i 10091010i 1iz =+=+-1+i(,)z a b a b =+∈R 0z z z z ⋅++≤得，即.复数z 在复平面内对应点的轨迹如图：..14．答案：1解析：由复数的运算法则可知：.15．答案：（1）；（2）或；（3）且解析：（1）当且时，复数z 为实数，解得，所以时，复数z 为实数；且且时，复数z 为纯虚数，解得或，所以或时，复数z 为纯虚数；（3）当且时，复数z 为虚数，解得且，所以且时，复数z 为虚数.16．答案：（1）1；2220a b a ++≤()2211a b ++≤1|111PC +=+=1+231001i i i i +++++ ()()2349798991001i i i i i i i i =+++++++++ 100=+++ 1=5m =3m =2m =-3m ≠-5m ≠22150m m --=30m +≠5m =5m =0=30m +≠22150m m --≠3m =2m =-3m =2m =-30m +≠22150m m --≠3m ≠-5m ≠3m ≠-5m ≠（2）.解析：（1）由题意可得，则z 的实部为，虚部为，因为z 是纯虚数，所以，解得；（2）题意可得，解得，即m 的取值范围是.17．答案：（1）见解析（2）解析：（1）,（2）,在复平面内所对应的点在第四象限,,解得,故实数m 的取值范围是.18．答案：（1）（2）解析：（1）由z 是纯虚数，则，故.()2,1-232m m -+2232040m m m ⎧-+=⎨-≠⎩()()22324i z m m m =-++-24m -1m =2232040m m m ⎧-+>⎨-<⎩21m -<<()2,1-()1,1-1255i z z =-+ ()()()()2155i 2i 55i 55i 3i.2i 2i 2i z z -+---+-+∴====--+-+--()()()2323231i z z m m m ⎡⎤=---+-⎣⎦()()2i 231i m m m ⎡⎤=--+-⎣⎦()()2123i m m m =--+--3z ()210230m m m ⎧-->∴⎨--<⎩11m -<<()1,1-1m =112m -<<2232(1)(2)0232(21)(2)0m m m m m m m m ⎧-+=--=⎨--=+-≠⎩1m =（2）由z 在复平面内对应的点在第四象限，，所以.19．答案：（1）；（2）解析：（1）因为z 是纯虚数，所以解得故m 的值为；（2）在复平面内z 对应的点为，由题意可得.解得，即m 的取值范围是.2232(1)(2)0232(21)(2)0m m m m m m m m ⎧-+=-->⎨--=+-<⎩112m -<<2m =-()2,3-2260,11240m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩2,m =-2-()226,1124m m m m ---+2260,11240m m m m ⎧--<⎨-+>⎩23m -<<()2,3-。
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江苏省连云港高中数学苏教版必修二立体几何初步强化训练(2)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）11. 在三棱柱 中, 是等边三角形, 平面 ,则异面直线 和所成角的正弦值为（）A. B. C. D.2. 在三棱锥中，， 则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.43.《算数术》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与h ，当圆周率π近似取3时，其体积V 的近似公式.现有一圆锥，其体积的近似公式， 侧面积为其轴截面面积的3倍，母线长为4，则此圆锥的高为（ ）A. B. C. D.4. 如图，在三棱柱中，平面 ． ， ， 分别为的中点，则直线与平面的位置关系是（ ）平行垂直直线在平面内相交且不垂直A. B. C. D. 充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件5. 已知a ，b 是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，且 ，， 则“”是“”的（ ）A. B. C. D. 611.6481.4692.5512.46. 胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor ，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若，则由勾股定理，，即，因此可求得为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形，顶点的投影在底面中心，为中点，根据以上信息，的长度（单位：英尺）约为（）．A. B. C. D. 13π52π104π208π7. 在三棱柱中，侧棱平面ABC，，，，， P 为侧棱的中点，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 8. 某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的外接球的体积(单位：)是（）A. B. C. D.9. 正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.10. 已知一个底面半径为2，高为的圆锥，被一个过该圆锥高的中点且平行于该圆锥底面的平面所截，则截得的圆台的体积为（ ）A.B.C. D.若两个平面都垂直于第三个平面则这两个平面平行若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行若两个平面不平行，则两个平面内存在互相平行的直线若一条直线不平行于一个平面，则这个平面内不存在与该直线平行的直线11. 下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 12. 在四棱锥中，底面为正方形，且平面， 则直线与直线所成角的余弦值是（ ）A.B.C.D.13. 端午节是中国的传统节日，“咸蛋黄”口味的粽子也越来越受人们的喜爱，高三年级各班进行了包粽子大赛，我们把粽子的形状近似为一个正四面体，蛋黄近似为一个球体，当这个球体与正四面体的六条棱都相切时小组获得奖励，若某小组获得了奖励，他们包的粽子棱长为3，则放入粽子的蛋黄的体积等于 ．14. 已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，记圆锥和球体的体积分别为 ， ，则的值为 ．15. 已知圆锥的底面半径为2cm ，高为1cm ，则圆锥的侧面积是 cm 2 ．16. 棱长为1的正四面体 内有一个内切球O ，M 为 中点，N 为中点，连接交球O 于P ，Q 两点，则球O 的表面积为 ，的长为 .17. 如图，在四棱锥中，底面 为正方形， 底面 ， 为 的中点， 为线段上的点，且．(1) 求证：平面平面；(2) 求点到平面的距离．18. 如图，已知三棱柱，平面，，，，是的中点，是线段上的动点.(1) 求证：平面平面；(2) 当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长度.19. 在△ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB为轴将三角形旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积与体积．20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，，分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线所成角的正弦值.21. 如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上)，圆锥的母线长为是底面的两条直径，且，圆柱与圆锥的公共点恰好为其所在母线的中点，点是底面的圆心.(1) 求圆柱的侧面积；(2) 求异面直线和所成的角的大小.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)19.20.21.(1)(2)。
2024-2025学年高一数学苏教版必修第二册单元测试：第9章 平面向量一、选择题1．在中,点D 在边的延长线上,且.若,,则点O 在( )A.线段上 B.线段上 C.线段上 D.线段上，，则实数( )A.6B. C.3D.3．在平行四边形ABCD 中,,,,则( )C.2D.34．已知向量，，，5．如图，梯形的腰的中点为E ，且，记,，则( )A. B. C. D.6．已知向量,满足( )A. B.7．已知平面向量、满足,A. B. C.D.ABC △BC 3BC CD =(1)AO xAB x AC =+- 103x -<<BC CD AC AD b a +=- ()1,2= (),3b m = m =6-3-3AB =AD =45A =︒2DE EC = AE BE =⋅a b ()42a b a +⋅= (1,2)b = ABCD CD 3BC AD =AB m = AD n =BE =122m n-+ 2n +122m n -+ 1322m n -+ a b2b a =+ 2b = 2a ba = ||4ab -= [2,6]2,⎡⎣⎡⎤⎣⎦1,⎡⎣8．在菱形中,,点E 是线段上靠近B 的三等分点,点F 是线段上靠近B 的四等分点,则( )二、多项选择题9．如图，四边形ABCD 为梯形，其中，，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.10．下列向量中与共线的是( )A. B. C. D.11．已知点D ，E ，F 分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是( )A. B.C. D.三、填空题12．在中,,,点P 在直线T 上,若的面积为4,则的最小值是________.13．如图在等边中，D 、E 为边AB 、AC 上的点，且满足，2PB PC BC ⋅+ABCD AB BD =CB AB DC =415AE DF +65AE DF +415AE DF +45AE DF + //AB CD 2AB CD =12AC AD AB=+1124MC AC BC=+ 14MN AD AB=- 12BC AD AB=+ ()1,3a =()1,2b =()1,3c =-()1,3d =--()2,6e =ABC △AB BC CA FD DA FA += 0FD DE EF ++= DE DA DF += AF EF CE+= ABC △23AS AB = 23AT AC =ABC △ABC △||3BD =，F ，G 分别为BC ，DE 的中点，则__________.14．已知非零向量，满足，，且，则__________.四、解答题15．设两个非零向量与不共线.（1）若，，，求证：A ，B ，D 三点共线；（2）试确定实数k ，使和反向共线.16．已知向量,,,O 为坐标原点.（1）若,求实数m 的值;（2）在（1）的条件下,求与夹角的余弦值.17．在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同.( )18．向量与共线且同向.( )19．若，，，则.()||4CE = ||FG =a b||1a =+||1b =- ||4a b -= ||a b +=a bAB a b =+ 28BC a b =+ ()3CD a b =-ka b + a kb +()2,1OA =- (),3OB m = ()1,5OC =//OA BCOA OB(1,2)a = (3,6)b =--()11,a x y = ()22,b x y =//a b 1221x y x y =参考答案1．答案：B解析：因为,所以,由向量共线定理可知O,B,C三点共线., ,.又,点O在线段CD上,且不与C、D点重合.故选：B.2．答案：B，即，所以，因为，，所以，所以，解得.故选：B.3．答案：A解析:如下图所示:由可得,;所以(1)AO xAB x AC=+-13x-<<3BC CD=33AC AB AD AC∴-=-∴1433AD AB AC=-+13x-<<∴b a+=-)()22a b a b+=-222222a b a b a b a b++⋅=+-⋅a b⋅=()1,2a=(),3b m=6a b m⋅=+60m+=6m=-2DE EC=2233DE DC AB==1133CE D ABC=-=-()()2221123339AE BE AD DE BC CE AD AB AD AB AD AB AD AB⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅-=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:A.4．答案：B解析：因为，则，即，解得，，.故选：B.5．答案：A解析：因为，又，所以，又E为腰的中点，所以，故选：A.6．答案：D,化简得,故选：D.7．答案：A解析：设,又,,因为,所以,所以在以为圆心,4为半径的圆上,又,=|2|1a b +====2123453212319=⨯=⨯++--= (4)2a b a +⋅= 242a a b +⋅= 42a b +⋅= 2a b ⋅=- (1,2)b = 3BC AD =0AB BC CD DA +++=32CD AB BC DA m n n m n =---=--+=-- CD 11132222BE BC CE BC CD n m n m n =+=+=--=-+2b a =+ )()2222a ba b -=+0a b ⋅=2b ==== (,)b x y = a = (1)a b x y -=--||4a b -= ||4a b -==(,)x y C ||2OC =.故选:A.8．答案：C解析：作出图形如图所示.记线段,交于点O,分别以,所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系.设,则,,,,,故,,,设,则,解得,故选：C.9．答案：AC解析：A选项：，A正确；B选项：C选项：D选项：10．答案：CD解析：向量，因，则与不共线，A不是；因，则与不共线，B不是；[42,4-+AC BDAC BD2AB BD==()A()0,1D-23E⎫⎪⎪⎭34F⎛⎫⎪⎪⎝⎭)C)DC=23AE⎫=⎪⎪⎭74DF⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭DC xAE yDF=+27134x yx y=-⎨⎪=+⎪⎩xy⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩44515DC AE DF∴=+12AC AD DC AD AB=+=+11()22MC MA AC BA AC BC CA AC=+=+=++=1124MN MA AD DN AB AD AB AD=++=-++=1122BC BA AD DC AB AD AB AD=++=-++=-()1,3a=12310⨯-⨯≠()1,2b=()1,3a=123(1)0⨯-⨯-≠()1,3c=-()1,3a=而，，则，与都共线，即C ，D 是.故选：CD.11．答案：ABC解析：对于A ，，故A 正确；对于B ，，故B 正确；对于C ，因为D ，E ，F 分别是的边，，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，即，故C 正确；对于D ，因为F 为的中点，所以，所以，故D 错误.故选：ABC.,,所以,取BC 的中点M ,连接PM ,过点P 作于N ,AH 是的高,由,所以由由题意可得,,所以,所以()1,3a d =--=- ()2,62a e ==d e a FD DA FA +=0FD DE EF FE EF ++=+=ABC △AB BC CA DE AF ∥DEFA DE AF = DE DA DF +=CA AF FC =AF EF FC EF EC CE +=+=≠23AS AB = 23AT AC =//ST BC PN BC ⊥ABC △ABC △4=//ST 13PN AH ==PB PM MB =+ PC PM MC =+221()()4PB PC PM MB PM MC PM BC ⋅=+⋅+=- 22222222133444PB PC BC PM BC BC PM BC PN BC⋅+=-+=+≥+与重合时取等号.所以解析：作于O，于N，于M，则，因为，所以，因为为等边三角形，，由，得，所以因为所以14．答案：4解析：如图所示，222283643||443||9||BC BCBC BC⎛⎫=+=+≥=⎪⎝⎭34BC==N2PB PC BC⋅+DO BC⊥EN BC⊥GM BC⊥////OD GM EN DG EG=OM MN=ABC△60B C∠=∠=︒3BD=4CE=BO=2=DO==11()22GM DO EN=+=⨯=BF CF=322BO=-=OF FN-=FG===设，，则，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则，由于，故，所以是直角三角形，，从而，所以平行四边形OACB 是矩形.根据矩形的对角线相等得，即.故答案为：4.15．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1），，，，、共线，又它们有公共点B ，，B ，D 三点共线.（2）与反向共线，存在实数，使，即，.、是不共线的两个非零向量，，，，28BC a b =+ ()()283283355BD BC CD a b a b a b a b a b AB ∴=+=++-=++-=+= BDA ∴a kb + (0)λλ<1k ∴=±OA a = OB b = ||||BA a b =- ||||OC a b =+2221)1)4++-=222||||||OA OB BA += OAB △90AOB ∠=︒OA OB ⊥||||4OC BA == ||4a b +=1k =-AB a b =+ ()3CD a b =-AB ∴ ka b + ∴()ka b a kb λ+=+ka b a kb λλ+=+ ()()1k a k b λλ∴-=-a b10k k λλ-=⎧∴⎨-=⎩210k ∴-=，.16．答案：（1）5（2）解析：（1）因为,,,所以,又因为,所以,,解得;（2）由（1）知,设,的夹角为,则17．答案：√解析：在平面直角坐标系中，设，，若，则，所以，，可得，故在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同.故答案为：√.18．答案：×解析：，所以与共线且反向.故答案为：×.19．答案：√解析：若，，，则，即.故答案为： √.1k ∴=-()2,1OA =- (),3OB m = ()1,5OC =()1,2B m =-0λ< //OA BC OA BC λ=()()2,11,2m λ-=-5m =()()2,1,5,3OA OB =-=OA OB θcos OA OB OA OB θ⋅====xOy ()11,a x y = ()22,b x y =a b = ()1212,0a b x x y y -=--= 121200x x y y -=⎧⎨-=⎩1212x x y y =⎧⎨=⎩()3,631,23()b a =--=-=-a b ()11,a x y = ()22,b x y =//a b 12210x y x y -=1221x y x y =。
苏教版高中数学必修二全册同步课时练习棱柱 棱锥 棱台(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C ．棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高D ．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形．A [棱柱的面中，有两个底面，所以至少有两个面互相平行，故A 正确．棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的侧面，B 错误．棱柱中一条侧棱的长不一定是棱柱的高，C 错误．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面可能是平行四边形，D 错误．]2．如图所表示的几何体中，不是棱锥的为( )A B C DA [结合棱锥的定义可知，A 不符合其定义，故选A.] 3．如图所示，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝2，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1C [根据棱台是由棱锥截成的进行判断．A 中A 1B 1AB ≠ B 1C 1BC ，故A 不正确；B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC，故B 不正确；C 中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC，故C 正确；D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台，故选C.]4.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图形如图所示，A ，B ，C 是展开图上的三点，在正方体盒子中三角形ABC 的形状为( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形B[由题图知，分别连接A，B，C三点，AB，BC，CA是正方体盒子的面对角线，所以△ABC 为等边三角形．]5．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图所示)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为________．A BC DA[两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．]二、填空题6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可以确定的几何图形或几何体为________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．①③④⑤[在正方体ABCDA1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可以确定：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如AA1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤.]7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.12[由棱柱有10个顶点知此棱柱有5条侧棱，又棱柱侧棱长相等，故每条侧棱长为12 cm.]8．所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥的一个面重合后暴露的面的个数为________个．7[如图(1)(2)所示分别是所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥．图(3)是它们拼接而成的一个几何体．故暴露的面数为7个．(1) (2) (3)]三、解答题9．观察图中的几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．(1) (2) (3)[解]图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体．图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组成．图(3)是由一个三棱台和一个上底面与三棱台的下底面重合的三棱柱组成．10．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？[解](1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF均为直角三角形．(3)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝S 正方形ABCD －S △PEF －S △DPF －S △DPE ＝(2a )2－12a 2－a 2－a 2＝32a 2.[等级过关练]1．一个截面经过棱锥各条侧棱的中点，则截得棱台的上、下底面积之比是( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ．1∶8C [如图，由于A 1是SA 的中点， 则SA 1SA ＝12＝A 1B 1AB， 故S 上底面S 下底面＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1B 1AB 2＝14.] 2．在正五棱柱中，不在同一侧面且不在同一底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线条数有( )A ．5B ．6C ．8D ．10D [正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线．]3．用一个平行于底面的平面去截一个几何体，如果截面是三角形，则这个几何体可能是__________．三棱锥、三棱柱、三棱台等(答案不唯一) [用平行于底面的平面去截三棱柱，截面是三角形，用同样的方法去截三棱锥、三棱台，所得截面均为三角形．]4．如图，M 是棱长为2 cm 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是________ cm.13 [由题意，若以BC 为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.]5．如图所示，已知三棱台ABCA′B′C′.(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)把它分成三个三棱锥并用字母表示．[解](1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，多面体是B′C′BCC″B″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.①②圆柱圆锥圆台和球(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列说法正确的是( )A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形C[由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确．]2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )A．圆锥B．圆台C．圆柱D．两个圆锥组合体D[连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕其一条对角线旋转一周形成两个圆锥的组合体．]3．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面不可能的图形是( )A B C DD[当截面平行于正方体的一个侧面时得C，当截面过正方体的体对角线时得B，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A，但无论如何都不能截出D.]4．线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是( )A．圆台B．圆锥C．圆锥侧面D．圆台侧面C[由线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周，得到的是圆锥侧面，不含底面．]5．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径为( )A．9 B．3C. 5 D．2 2B[如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝5，r2＝22.∵球心到两个截面的距离d1＝R2－r21，d2＝R2－r22，∴d1－d2＝R2－5－R2－8＝1，∴R2＝9，∴R＝3.]二、填空题6．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．一个六棱柱中挖去一个圆柱[一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱．]7．如图所示，将梯形ABCD绕底边AB所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体__________构成的．圆锥、圆柱[旋转体要注意旋转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征知它中间是圆柱，两头是圆锥．]8．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是__________．πS[因为圆柱的轴截面的一边是底面直径，另一邻边为圆柱的高，所以应满足4S＝2r(r为底面圆半径)，∴r＝S，故底面面积为πS.]三、解答题9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，求其底面周长和高．[解]如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16 cm2，解得r＝2 cm.所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高h＝2r＝4 cm.10.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．[解] 轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，设圆锥的截面圆的半径O1D为x.因为OA＝AB＝R，所以△OAB是等腰直角三角形．又CD∥OA，则CD＝BC，所以x＝l，故截面面积S＝πR2－πl2＝π(R2－l2)．[等级过关练]1．下列命题中正确的是( )A．圆柱上底面圆上任一点与下底面上任一点的连线都是圆柱的母线B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台C．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形D．在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球C[A错，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；B错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体；C正确；D错，点的集合应为球面．]2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( ) A．圆锥B ．两个圆锥组合体C ．圆台D ．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥D [如图，以AB 为轴旋转所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．]3．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到点G 的最短距离是________cm.52π2＋4 [如图所示，E ′F ＝12×2π×52＝52π(cm)， ∴最短距离E ′G ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52π2＝52π2＋4(cm)．]4．在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，其中AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．12 [由线段的长度知△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r ＝AB2＝5，所以d ＝R 2－r 2＝12.]5．如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f (x )的最大值． [解]将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ，∴SR ＝SA ·SM AM ＝4xx 2＋16(0≤x ≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4xx 2＋16(0≤x ≤4)．(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数， ∴f (x )的最大值为f (4)＝32.中心投影与平行投影及直观图画法(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是( ) A ．正三角形的直观图仍然是正三角形 B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形 C ．正方形的直观图是正方形 D ．圆的直观图是圆B [由斜二测画法可知，平面图形中的垂直关系变成相交关系，故A 、C 错误；又圆的直观图为椭圆，故D 错误．]2．如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是( )A B C DC [根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形且在直观图中平行于y ′轴的边与底边垂直．]3．如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是( )A ．AB B ．ADC ．BCD ．ACD [由题图可知，在△ABC 中，AB ⊥BC ，AC 为斜边，AD 为直角边上的一条中线，显然斜边AC 最长．]4．如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′与x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2D [由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S 原图形＝22S直观图，得12·OB ·h ＝22×12×2·O ′B ′，∵OB ＝O ′B ′，∴h ＝4 2.]5．如图所示，为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )A.22B ．1 C. 2D ．2A [在直观图中，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故顶点B ′到x ′轴的距离为22.]二、填空题6．如图所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为 1 cm ，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________cm.8 [由于平行性不变，O ′A ′∥B ′C ′，故在原图形中，OABC ，∴四边形OABC 为平行四边形，且对角线OB ⊥OA ，对角线OB ＝22，则AB ＝12＋（22）2＝3.∴原图形的周长为l ＝3×2＋1×2＝8.]7.如图是△AOB 用斜二测画法画出的直观图△A ′O ′B ′，则△AOB 的面积是________．16 [由题图易知△AOB 中，底边OB ＝4， 又因为底边OB 的高线长为8， 所以面积S ＝12×4×8＝16.]8．如图所示，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为________．10 [由四边形OPQR 的直观图可知该四边形是矩形，且OP ＝3，OR ＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.]三、解答题9．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm ，3 cm ，2 cm 的长方体ABCD A ′B ′C ′D ′的直观图．[解] 画法：第一步，画轴，如图(1)，画x ′轴、y ′轴、z ′轴，三轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°.(1) (2)第二步，画底面，以点O ′为中点，在x ′轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y ′轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm ，分别过点M 和N 作y ′轴的平行线，过点P 和Q 作x ′轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面．第三步，画侧棱，过A ，B ，C ，D 各点分别作z ′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.第四步，成图，顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就可以得到长方体的直观图(如图(2))．10．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，∠A ′B ′C ′＝45°，D ′C ′⊥A ′D ′，A ′B ′＝A ′D ′＝1，D ′C ′⊥B ′C ′，求这块菜地的面积．[解] 在直观图①中，过点A ′作A ′E ′⊥B ′C ′，垂足为E ′，①则在Rt △A ′B ′E ′中，A ′B ′＝1， ∠A ′B ′E ＝45°， ∴B ′E ′＝22，而四边形A ′E ′C ′D ′为矩形，A ′D ′＝1，②∴E ′C ′＝A ′D ′＝1. ∴B ′C ′＝B ′E ′＋E ′C ′＝22＋1. 由此可得原图形如图②，在原图形中，AD ＝1，AB ＝2，BC ＝22＋1， 且AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴这块菜地的面积S ＝12(AD ＋BC )·AB ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.[等级过关练]1．利用斜二测画法画边长为1 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的( )A B C DD [正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.故D 正确．] 2．如图，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中O ′C ′＝O ′A ′＝2O ′B ′，则以下说法正确的是( )A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等边三角形C [将其恢复成原图，设A ′C ′＝2，则可得OB ＝2O ′B ′＝1，AC ＝A ′C ′＝2，故△ABC 是等腰直角三角形．]3.如图，在直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中原四边形OABC 为________(填形状)，面积为________ cm 2.矩形 8 [由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC 为矩形，其中OA ＝2 cm ，OC ＝4 cm ，所以四边形OABC 的面积S ＝2×4＝8(cm 2)．]4．在平面直角坐标系xOy 中，O (0，0)，B (4，0)，C (0，22)，用斜二测画法把△OBC 画在对应的x ′O ′y ′中时，B ′C ′的长是________．10 [由题设知OB ＝4，OC ＝22，∠COB ＝90°.根据斜二测画法的规则可得O ′B ′＝4，O ′C ′＝222＝2，∠C ′O ′B ′＝45°，在△C ′O ′B ′中，由余弦定理， 得B ′C ′＝（2）2＋42－2×2×4×22＝10.] 5．已知△ABC 的面积为62a 2，它的水平放置的直观图为△A ′B ′C ′是一个正三角形，根据给定的条件作出△A ′B ′C ′的原图形，并计算△A ′B ′C ′的面积．[解] (1)取B ′C ′所在的直线为x ′轴，过B ′C ′中点O ′与O ′x ′成45°的直线为y ′轴，建立坐标系x ′O ′y ′；(2)过A ′点作A ′M ′∥y ′轴交x ′轴于M ′点，在△A ′B ′C ′中，设它的边长为x ，∵O ′A ′＝32x ，∠A ′M ′O ′＝45°，∴O ′A ′＝O ′M ′＝32x ，故A ′M ′＝62x ；(3)在直角坐标系xOy 中，在x 轴上O 点左右两侧， 取到点O 距离为x2的点B ，C ，在x 轴O 点左侧取到原点O 距离为32x 的点M ，过M 在x 轴上方作y 轴的平行线并截取MA ＝6x ，连结AB ，AC ，则△ABC 为△A ′B ′C ′的原图形，由S △ABC ＝62a 2，得12x ×6x ＝62a 2，∴x ＝a ，故△A ′B ′C ′的面积为34a 2.平面的基本性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下面是四个命题的叙述(其中A ，B 表示点，a 表示直线，α表示平面)，其中叙述方式和推理都正确的是( )A．Aα，Bα，∴ABαB．∵A∈α，B∈α，∴AB∈αC．∵Aα，aα，∴A aD．∵ABα，∴AαC[A错，应写为A∈α，B∈α；B错，应写为ABα；C对．D错，A有可能在α内．] 2．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线B[如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A，B，D不共线．(1) (2)]3．如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是( )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1四点共面C．A，O，C，M四点共面D．B，B1，O，M四点共面D[因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知A、B、C均正确．]4．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是( )A B C D[答案] D5．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是( )A B C DA[图形A中，连结MN，PQ，则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形A正确．分析可知图形B、C、D中这四点均不共面．]二、填空题6．经过空间任意三点可以作________个平面．一个或无数[若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面．] 7．设平面α与平面β相交于l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则M________l.∈[因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.] 8．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．共线[∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈ABβ，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．]三、解答题9.如图所示，点A平面BCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH与FG交于点K，求证：点K在直线BD上．[证明]∵EH∩FG＝K，∴K∈EH，K∈FG.∵E∈AB，H∈AD，∴EH平面ABD，∴K∈平面ABD.同理，K∈平面BCD.又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴K在直线BD上．10．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．[证明]因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得，D1E 与DA共面于平面A1D且不平行，如图．分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC 的延长线交于H，则H∈平面α.又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB 为等腰直角三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，又GH平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．[等级过关练]1．下列命题中是假命题的为( )A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则lαB．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝ABC．若lα，A∈l，则A∈αD．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合C[C中A是l和α交点时，A∈α.]2．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β且P l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝( )A．l B．PRC．PN D．PMB[如图，MNγ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.]3．如图所示，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．P∈DE[因D，E两点都在α内，也都在平面ABC内，故DE是平面ABC与平面α的交线．又∵P在α内，也在平面ABC内，故P点在平面ABC与平面α的交线DE上．]4．正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是__________．正六边形[如图所示，取C1D1的中点E，连结RE，RE PQ，∴P，Q，E，R共面．再取BB1，DD1的中点F，G.∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，∴GE∥PF，综上E，G，F，P，Q，R共面，又∵QP＝PF＝FR＝ER＝EG＝GQ＝22 AB，∴截面图形为正六边形．]5．在棱长是a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出交线l；(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；(3)求点D1到l的距离．[解](1)如图，延长DM 交D 1A 1的延长线于点Q ，则点Q 是平面DMN 与平面A 1B 1C 1D 1的一个公共点．连结QN ，则直线QN 就是两平面的交线l .(2)∵M 是AA 1的中点，MA 1∥DD 1， ∴A 1是QD 1的中点． 又∵A 1P ∥D 1N ，∴A 1P ＝12D 1N .∵N 是D 1C 1的中点，∴A 1P ＝14D 1C 1＝a4，∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝34a .(3)过点D 1作D 1H ⊥PN 于点H ，则D 1H 的长就是点D 1到l 的距离． ∵QD 1＝2A 1D 1＝2a ，D 1N ＝a2，∴QN ＝QD 21＋D 1N 2＝172a ， ∴D 1H ＝D 1Q ·D 1NQN ＝2a ·a2172a ＝21717a ，即点D 1到l 的距离是21717a .空间两条直线的位置关系(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列说法正确的有( )A ．两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线B ．两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线C ．两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线D ．两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线C [A 只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；B 把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；C 从反面肯定了两直线的异面；D 中的两条直线可能在同一平面内．故选C.]2．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有( )①②③④A．①②B．①③C．②③D．②④D[①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交．]3．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线条数为( )A．0 B．1C．2 D．无数D[l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n 都垂直．]4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是( ) A．平行四边形B．矩形C．梯形D．正方形B[易证四边形EFGH为平行四边形，又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°.∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．]5．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．C 1C 与AE 共面 C ．AE ，B 1C 1是异面直线D ．AE 与B 1C 1所成的角为60°C [CC 1与B 1E 共面，CC 1与AE 异面，故A 、B 错；AE 与BC 垂直，BC ∥B 1C 1，∴AE ⊥B 1C 1，故D 错．]二、填空题6．如图，A 是△BCD 所在平面外一点，M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若MN ＝6，则BD ＝________．18 [连结AM 并延长交BC 于E ，连结AN 并延长交CD 于F ，则E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连结EF .由题意知，AM AE ＝MN EF ＝23，∴EF ＝32×6＝9，∴BD ＝2EF ＝18.]7．如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是梯形，AB ∥CD ，则所有与∠A 1AB 相等的角是________．∠D 1DC ，∠D 1C 1C ，∠A 1B 1B [因四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中AA 1∥DD 1.又AB ∥CD ，所以∠A 1AB 与∠D 1DC 相等．又由于侧面A 1ABB 1，D 1DCC 1为平行四边形，所以∠A 1AB 与∠A 1B 1B ，∠D 1C 1C 也相等．]8．如图，过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作________条．4[连结AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．]三、解答题9．如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．[证明]如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，∴EQ B1C1(平行公理)，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E C1Q.又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QD C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q DF.又∵B1E C1Q，∴B1E DF，∴四边形B1EDF是平行四边形．10．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．[解]因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB 所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.[等级过关练]1．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.A．①③B．②④C．②③D．③④A[把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB ∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1，CC1的中点，有以下四个结论错误的是( )A．直线DM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线B[B中AM和BN是异面直线．]3．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C 所成的角的大小是__________．60°[如图，连结BC1，A1B.∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．又∵∠A1BC1为60°，∴直线EF与D1C所成的角为60°.]4．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________．相交或异面[如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线．]5．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且OAOA′＝OBOB′＝OCOC′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．[解](1)证明：∵AA′∩BB′＝O，且AOA′O＝BOB′O＝23，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且边AB和A′B′，AC和A′C′方向都相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝AOOA′＝23，∴S△ABCS△A′B′C′＝⎝⎛⎭⎪⎫232＝49.直线与平面平行(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在梯形ABCD中，AB∥CD，ABα，CDα，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )A．平行B．异面C．相交D．平行或异面D[由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面．]2．若直线l不平行于平面α，且lα，则下列四个命题正确的是( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l相交B[依题意，直线l∩α＝A(如图)，α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线．]3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形是( )A．①②B．②④C．②③D．①④D[过AB的体对角面与面MNP平行，故①成立；④中易知AB∥NP，故④也成立．]4．P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段条数是( )A．1 B．2C．3 D．4B[由题意知EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．]5．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或相关A [∵⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥αα∩β＝CD AB β⇒AB ∥CD ，同理可证AB ∥EF ，∴EF ∥CD .] 二、填空题6．如图，三棱锥A BCD 中E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________．m ∶n [∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，HG ∥AC . ∴EF ＝HG ＝BEBA·m . 同理，EH ＝FG ＝AE AB·n ， ∴BE AB ·m ＝AEAB·n ， ∴AE ∶EB ＝m ∶n .]7．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 是A 1B 1的中点，N 是AB 上的点，且AN ∶NB ＝1∶2，过D 1，M ，N 的平面交AD 于点G ，则NG ＝__________．53a[由题意易知GN ∥D 1M ，由AN ∶NB ＝1∶2，M 为A 1B 1的中点得AN ＝13AB ＝13A 1B 1＝23A 1M .∴GN D 1M ＝AN A 1M ＝23， ∴GN ＝23D 1M ＝23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝53a .] 8．如图，四边形ABCD 是矩形，P 平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F ，则四边形BCFE 的形状一定是______．梯形 [∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD .∵AD 平面PAD ，∴BC ∥平面PAD .∵平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ， ∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ， ∴BC ≠EF ，∴四边形BCFE 为梯形．] 三、解答题9．如图，已知A 1B 1C 1ABC 是正三棱柱，D 是AC 的中点．求证：AB 1∥平面DBC 1.[证明] ∵A 1B 1C 1ABC 是正三棱柱， ∴四边形B 1BCC 1是矩形．连结B 1C 交BC 1于点E ， 则B 1E ＝EC .连结DE ，在△AB 1C 中， ∵AD ＝DC ，B 1E ＝EC ， ∴DE ∥AB 1.又∵AB 1平面DBC 1，DE 平面DBC 1， ∴AB 1∥平面DBC 1.10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1上不同于B ，B 1的任一点，AB 1∩A 1E ＝F ，B 1C。
第9章平面向量午练1 向量的概念与加减法运算 (242)午练2 向量的数乘 (243)午练3 向量的数量积 (244)午练4 向量的基本定理与线性运算的坐标表示 (245)午练5 向量数量积的坐标表示 (246)午练6 向量平行的坐标表示 (247)第10章三角恒等变换午练7 两角和与差的三角函数 (248)午练8 二倍角的三角函数 (249)午练9 几个三角恒等式 (250)第11章解三角形午练10 余弦定理 (251)午练11 正弦定理 (252)午练12 余弦定理、正弦定理的应用 (253)第12章复数午练13 复数的概念 (255)午练14 复数的运算 (256)午练15 复数的几何意义 (257)第13章立体几何初步午练16 基本立体图形 (258)午练17 平面的基本性质及空间直线的位置关系 (259)午练18 线面平行的判定与性质 (260)午练19 线面垂直的判定与性质 (261)午练20 两平面平行的判定与性质 (262)午练21 两平面垂直的判定与性质 (263)午练22 空间平行垂直复习课 (264)午练23 空间几何体的表面积与体积 (265)第14章统计午练24 抽样 (267)午练25 统计图表 (269)午练26 用样本估计总体 (271)第15章概率午练27 随机事件及其概率、古典概型 (273)午练28 互斥事件、独立事件 (275)测评卷及答案与解析(另成册)第9章测评 (277)第10章测评 (281)第11章测评 (285)第12章测评 (289)第13章测评 (293)第14章测评 (297)第15章测评 (301)答案与解析 (305)第9章平面向量午练1 向量的概念与加减法运算A.若a,b都是单位向量,则a=bB.若向量a∥b,b∥c,则a∥cC.与非零向量a共线的单位向量是唯一的D.已知λ,μ为非零实数,若λa=μb,则a与b共线2.下列结论中正确的是( )①若a∥b且|a|=|b|,则a=b;②若a=b,则a∥b且|a|=|b|;③若a 与b 方向相同且|a|=|b|,则a=b; ④若a≠b,则a 与b 方向相反且|a|≠|b|. A.①③B.②③C.③④D.②④3.在四边形ABCD 中,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状一定是( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形4.已知边长为1的正方形ABCD 中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则|a-b+c|=( ) A.1B.2C.3D.45.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =d,且四边形ABCD 为平行四边形,则( ) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c+d=0 D.a-b-c+d=06.已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是 . 7.一条河两岸平行,河的宽度为240√2米,一个人从岸边游向对岸,已知他在静水中游泳时,速度大小为每分钟12√3米,水流速度大小为每分钟12米.①当此人垂直游向河对岸时,他实际前进速度的大小为每分钟 米;②当此人游泳距离最短时,他游到河对岸需要 分钟.8.如图,已知正方形ABCD 的边长等于单位长度1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,试求: (1)a+b+c;(2)a-b+c,并求出它的模.9.在△OAB 中,已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,|a|=|b|=|a-b|=2,求|a+b|与△OAB 的面积.午练2 向量的数乘1.已知λ,μ∈R,则下列说法正确的是( ) A.λa 与a 同向 B.0·a=0C.(λ+μ)a=λa+μaD.若b=λa,则|b|=λ|a|2.3(2a-b)-2(a+3b)的化简结果为( ) A.4a+3b B.4a-9b C.8a-9bD.4a-3b3.在平行四边形ABCD 中,12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.BD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.DB⃗⃗⃗⃗⃗ C.12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.12DB ⃗⃗⃗⃗⃗ 4.(多选题)向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是( ) A.a ∥b B.向量a,b 方向相反 C.|a|=3|b|D.b=-3a5.点C 在线段AB 上,且|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=23|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=( ) A.23B.-23C.53D.-536.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G 分别是BC,CD 的中点,则MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.32DB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.3GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.3MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.2MG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 7.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= .8.已知3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若A,B,C 三点共线,则实数λ= . 9.设a,b 是两个不共线的向量,若向量ka+2b 与8a+kb 的方向相同,求k 的值.10.(1)已知e 1,e 2是两个不共线的向量,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-8e 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,求证:A,B,D 三点共线; (2)已知A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求x+y 的值.午练3 向量的数量积1.已知等边△ABC,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( )A.120°B.60°C.30°D.-60°2.已知|a|=1,|b|=√3,若a 与b 的夹角为π6,则a·b 为( ) A.√3 B.32C.√32D.13.若|a|=4,|b|=2,a 和b 的夹角为60°,则a 在b 的方向上的投影向量的模长为( ) A.2√3B.√3C.2D.44.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,那么四边形ABCD 为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形D.正方形5.(多选题)已知向量a,b,c 和实数λ,则下列各式一定正确的是( ) A.a·b=b·a B.(λa)·b=a·(λb) C.(a+b)·c=a·c+b·c D.(a·b)·c=a·(b·c)6.已知向量a,b 满足|a|=2,|b|=1,a·(a -2b)=2,则a 与b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120°D.150°7.点P 是△ABC 所在平面上一点,满足|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,则△ABC 的形状是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形8.已知e 1,e 2是单位向量,其夹角为π3,若|me 1+ne 2|=√2(m,n ∈R),则m+2n 的最大值为 .9.已知|a|=3,|b|=4,|a-b|=√13. (1)求<a,b>; (2)求|a+2b|.10.已知向量a,b 的夹角为60°,且|a|=1,|b|=2,设m=3a-b,n=ta+2b. (1)求a·b;(2)试用t 来表示m·n 的值;(3)若m 与n 的夹角为钝角,试求实数t 的取值范围.午练4 向量的基本定理与线性运算的坐标表示1.(多选题)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4),则下面说法错误的是( ) A.点A 的坐标是(-2,4) B.点B 的坐标是(-2,4)C.当B 是原点时,点A 的坐标是(-2,4)D.当A 是原点时,点B 的坐标是(-2,4)2.已知MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6),则12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)3.在△ABC 中,D 为BC 的中点,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗4.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),则当点P 在第三象限时,实数λ的取值范围为( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1) C.[-1,+∞)D.(-1,+∞)5.(多选题)在平行四边形ABCD 中,点E,F 分别是边AD 和DC 的中点,BE 与BF 分别与AC 交于M,N 两点,则有( )A.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗C.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BF⃗⃗⃗⃗⃗ −23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ D.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BE⃗⃗⃗⃗⃗ 6.已知G 是△ABC 的重心,点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y 的值为( ) A.13B.12C.23D.17.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),若c 满足3a-2b+c=0,则c 的坐标为 .8.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点M 的坐标为 .9.如图,已知边长为1的正方形ABCD 中,AB 与x 轴正半轴成30°角,求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.10.如图,在△ABC 中,点D,E,F 分别是边BC,CA,AB 上的一个三等分点,求证:AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =0.午练5 向量数量积的坐标表示1.向量a=(2,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )A.1B.-1C.-6D.62.已知向量a=(1,√3),b=(-2,2√3),则a与b的夹角是( )A.π6B.π4C.π3D.π23.已知向量a=(4,2),b=(-1,m),若a⊥b,则m的值为( )A.12B.-12C.2D.-24.向量b=(1,2)在向量a=(-1,1)上的投影向量为( )A.±(-12,12) B.(-√22,√22)C.(12,-12) D.(-12,12)5.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°6.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5√2,则|b|等于( )A.√5B.√10C.5D.257.已知向量a=(2,y-1),b=(x,3),且a⊥b,若x,y均为正数,则3x +2y的最小值是.8.已知向量a=(1,2),b=(-1,1),若(λa+μb)⊥(a-b)(λ,μ∈R),则μλ的值为.9.在平面直角坐标系内,已知A(0,5),B(-1,3),C(3,t).(1)若t=1,求证:△ABC为直角三角形;(2)求实数t 的值,使|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |最小; (3)若存在实数λ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数λ,t 的值.10.在平面四边形ABCD 中,AB=√3BC,∠ABC=90°,AD=4,连接AC,∠ACD=90°,∠CAD=30°. (1)求CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)E 为线段AD 上的动点,求BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.午练6 向量平行的坐标表示1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a ∥b,则实数m 等于( ) A.-√2 B.√2 C.-√2或√2D.02.已知向量a=(32,sinα),b=(sinα,16),若a ∥b,则锐角α为( )A.30°B.60°C.45°D.75°3.(多选题)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中不正确的是( )A.存在实数,使(ma+b)∥b4.(多选题)已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b).若A,B,C 三点共线,则下列a,b 的值可能为( ) A.a=b=1 B.a=0,b=2 C.a=b=2D.a=2,b=05.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b 与非零向量ma+nb(m,n ∈R)共线,则mn 等于( )A.-2B.2C.-12D.126.(多选题)向量a=(4,3k),b=(4k,3),则( ) A.若a ⊥b,则k=0B.若a ∥b,则k=1C.若|a|>|b|,则k<1D.若|a+b|=|a-b|,则a ⊥b7.已知a=(2,-1),b=((x,y),点N(y,x),若a ∥b,(a+b)·(b -c)=3,则向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为 . 8.在平面直角坐标系中,A(k,12),B(4,5),C(10,k),若A,B,C 三点共线,则正数k= .9.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-m,-3-m). (1)若点A,B,C 不能构成三角形,求m 的值;(2)若点A,B,C 构成的三角形为直角三角形,求m 的值.10.如图所示,在四边形ABCD 中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),求直线AC 与BD 的交点P 的坐标.第10章 三角恒等变换 午练7 两角和与差的三角函数1.下列各式化简错误的是( )A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°B.cos 15°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45°D.cos (α-π6)=12cos α+√32sin α2.与1-tan21°1+tan21°相等的是( ) A.tan 66° B.tan 24° C.tan 42°D.tan 21°3.(徐州质检)在△ABC 中,sin A=35,cos B=513,则cos C 等于( ) A.1665或5665B.-1665或-5665C.-1665D.16654.如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,终边分别是射线OA 和射线OB,且射线OA 和射线OB 关于x 轴对称,射线OA 与单位圆的交点为A (-35,45),则cos(β-α)的值是( )A.-2425B.2425C.725D.-7255.(多选题)化简cos α-√3sin α的结果可以是 (A.12cos (π6-α)B.2cos (π3+α)C.12sin (π3-α) D.2sin (π6-α) 6.(多选题)下列式子的运算结果为√3的是( ) A.tan 25°+tan 35°+√3tan 25°tan 35° B.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°) C.1+tan15°1-tan15°D.3tanπ63-√3tanπ67.计算:√3cos π12-sin π12= .8.已知tan α+tan β=3,cos αcos β=14,则sin(α+β)= .9.已知函数f(x)=Asin (x +π3),x ∈R,且f (5π12)=3√22. (1)求A 的值;(2)若f(θ)-f(-θ)=√3,θ∈(0,π2),求f (π6-θ).10.已知cos α=17,cos(α+β)=-1114,且α,β∈(0,π2),求β的值.午练8 二倍角的三角函数1.计算:1-2cos 267.5°=( ) A.-12B.-√22C.-√32D.√222.已知x ∈(-π2,0),cos x=45,则tan 2x= (A.724B.-724C.247D.-2473.已知cos α=15,α∈(3π2,2π),则sin α2等于(A.√105 B.-√105C.2√65D.2√554.(多选题)下列各式的值为12的是( ) A.sin 17π6B.sin π12cos π12C.cos2π12-sin2π12D .tanπ81-tan 2π85.(多选题)下列式子等于cos (x -π6)的是( )A.cos (x -5π6) B.sin (x -2π3)C.√3cosx+sinx2D.2cos 2(π12-x2)-16.已知α∈(π2,π),sin α=√55,则sin 2α= . 7.已知sin α=-45且π<α<3π2,则sin α2= .8.已知α为第二象限角,sin α+cos α=√33,则cos 2α= . 9.已知函数f(x)=2cos (x -π6),x ∈R.(1)求f(π)的值; (2)若f (α+2π3)=65,α∈(-π2,0),求f(2α)的值.10.已知α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-√55.(1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值.午练9 几个三角恒等式1.已知sin α=√55,cos α=2√55,则tan α2等于(A.2-√5B.2+√5C.√5-2D.±(√5-2)2.设5π<θ<6π,cos θ2=a,则sin θ4等于( ) A.√1+a2B.√1-a2C.-√1+a 2D.-√1-a 23.√1+cos100°−√1-cos100°等于( ) A.-2cos 5° B.2cos 5° C.-2sin 5° D.2sin 5°4.若sin 74°=m,则cos 8°=( ) A.√1-m 2B.±√1-m 2C.√1+m 2D.±√1+m 25.已知cos θ=-725,θ∈(-π,0),则sin θ2+cos θ2=( )A.-75B.-15C.15D.756.(多选题)已知3π≤θ≤4π,且√1+cosθ2+√1-cosθ2=√62,则θ=( )A.10π3B.37π12C.19π6D.23π67.已知sin θ=-35,3π<θ<72π,则tan θ2= . 8.化简:(1-sinα-cosα)(sin α2+cos α2)√2-2cosα(-π<α<0)= .9.已知sin (π4+α)sin (π4-α)=16,且α∈(π2,π),求tan 4α的值.10.已知0<α<π4,0<β<π4,且3sin β=sin(2α+β),4tan α2=1-tan 2α2,求证:α+β=π4.第11章 解三角形 午练10 余弦定理1.下列说法中错误的是( )A.在三角形中,已知两边及其一边的对角,不能用余弦定理求解三角形B.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此它适用于任何三角形C.利用余弦定理,可以解决已知三角形三边求角的问题D.在三角形中,勾股定理是余弦定理的特例 2.在△ABC 中,若a=√7,b=3,c=2,则A= (A.30°B.60°C.45°D.90°3.在△ABC 中,A 为钝角,则三边a,b,c 满足的条件是( ) A.b 2+c 2≥a 2 B.b 2+c 2>a 2 C.b 2+c 2≤a 2D.b 2+c 2<a 24.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若b 2+c 2=a 2+bc,则角A 的大小为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π65.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若b=c=2a,则cos B 等于( ) A.18B.14C.13D.126.(多选题)在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边,则由下列条件一定能得到直角三角形的是( ) os A=b B.cos 2A 2=b+c 2cC.sin 2A2=c -b 2cD.cos 2C=cos 2B+cos 2A7.在△ABC 中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC 边上的中线长为( ) A.4B.5C.6D.78.已知在△ABC中,AC=2,AB=2√7,cos ∠BAC=2√77且D 是BC 的中点,则中线AD 的长为 .9.已知△ABC 同时满足下列四个条件中的三个: ①A=π3;②cos B=-23;③a=7;④b=3.(1)请指出这三个条件,并说明理由; (2)求c.10.如图,△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+√3cosA=0,a=2√7,b=2.(1)求角A和边长c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求CD的长.午练11 正弦定理1.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若A=45°,B=60°,b=√3,则a等于(A.√2B.√6C.√22D.12.在△ABC中,若AB=3,BC=3√2,B=45°,则△ABC的面积为( )A.2√2B.4C.72D.923.在△ABC中,sin A=13,b=√3sin B,则a= (A.√32B.√33C.√3D.2√34.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=k∶(k+1)∶2k(k≠0),则k的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(-∞,0)C.(-12,0) D.(12,+∞)5.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,c=2,A=π3,sin B=2sin C,则△ABC的面积为( )A.√3B.2√3C.2D.46.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于( )A.1∶2∶3B.3∶2∶1C.2∶√3∶1D.1∶√3∶2A.若acosA =bcosB=ccosC,则△ABC一定是等边三角形B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B+√3bcos A=0,则角A的大小为;若b=4,△ABC的面积S=2√3,则△ABC的周长为.9.在①A=π3,a=√3,b=√2;②a=1,b=√3,A=π6;③a=√2,b=√62,B=π3这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解答.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, ,判断三角形解的情况,并在三角形有两解的情况下解三角形.10.在△ABC 中,它的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且B=2π3,b=√6.(1)若cos Acos C=23,求△ABC 的面积;(2)试问a+c=ac 能否成立?若能成立,求此时△ABC 的周长;若不能成立,请说明理由.午练12 余弦定理、正弦定理的应用1.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C 的南偏西40°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东60°方向上,则灯塔A 在灯塔B的( )A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°第1题图第2题图2.如图,货轮在海上以40 km/h的速度由B向C航行,航行的方位角∠NBC=140°,A处有灯塔,方位角∠NBA=110°.在C处观察灯塔A的方位角∠N'CA=35°,由B到C需要航行半小时,则C到灯塔A的距离是( )A.10√6 kmB.10√2 kmC.10(√6−√2) kmD.10(√6+√2) km3.若某人在点A测得金字塔顶端的仰角为30°,此人往金字塔方向走了80 m到达点B,测得金字塔顶端的仰角为45°,则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)( )A.110 mB.112 mC.220 mD.224 m4.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里,乙船正在向北行驶,若甲船的速度是乙船速度的√3倍,则甲船应取北偏东θ方向前进,才能尽快追上乙船,此时θ=()A.60°B.30°C.45°D.120°5.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500 m,则电视塔的高度是( )A.100√2 mB.400 mC.200√3 mD.500 m6.小李在某大学测绘专业学习,节日回家,来到村头的一个池塘(图中阴影部分),为了测量该池塘两侧C,D两点间的距离,除了观测点C,D外,他又选了两个观测点P1,P2,且P1P2=a,已经测得两个角∠P1P2D=α,∠P2P1D=β,由于条件不足,需要再观测新的角,则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组,就可以求出C,D间距离的是( )①∠DP1C和∠DCP1;②∠P1P2C和∠P1CP2;③∠P1DC和∠DCP1.A.①和②B.①和③C.②和③D.①和②和③7.(多选题)如图,为对某失事客轮AB进行有效援助,现分别在河岸MN选择两处C,D用强光柱进行辅助照明,其中A,B,C,D在同一平面内.现测得CD 长为100米,∠ADN=105°,∠BDM=30°,∠ACN=45°,∠BCM=60°,则( )A.S△BCD=2 500√3平方米√6米B.AD=1003√15米C.船AB长为1003D.BD=200√3米第7题图第8题图8.如图所示,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD 走到D用了2 min,从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径为( )A.50√5 mB.50√7 mC.50√11 mD.50√19 m9.如图所示,在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为;塔BB1的高为m.10.如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从B点到C点历时14 s,则这辆汽车的速度约为m/s(精确到0.1).参考数据:√2≈1.414,√5≈2.236.第12章复数午练13 复数的概念1.下列关于复数x+i的说法一定正确的是( )A.x+i是虚数B.存在x使得x+i是纯虚数C.x+i不是实数D.实部和虚部均为12.(多选题)下列说法错误的是( )A.复数a+bi不是纯虚数B.若x=1,则复数z=(x2-1)+(x+1)i是纯虚数C.若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数∈R,则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若实数x,y满足x+y+(x-y)i=2,则+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为( )A.-2B.3C.-3D.±36.已知sin θ+icos θ=√22−√22i,θ∈[0,2π],则θ=.7.已知a是实数,b是纯虚数,且满足ai-b=3+bi,则a2+b2的值等于.8.已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实数根b,且z=a+bi,则复数z等于.9.m为何实数时,复数z=m2+m-6+(m2-2m-15)i是:(1)实数?(2)纯虚数?(3)虚数?10.设m为实数,若集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},求m的值.午练14 复数的运算1.若z-3+5i=8-2i,则z等于( )A.8-7iB.5-3iC.11-7iD.8+7i2.-i(1+i)=( )A.-i-1B.i-1C.-i+1D.i+13.已知a+3i1+i(i为虚数单位,a∈R)为纯虚数,则a=( )A.-1B.1C.-3D.34.若i为虚数单位,复数z满足z(3+4i)=5(1+i)2,则z的共轭复数为( )A.-8+6i5B.8+6i5C.-8-6√2i5D.8-6i55.(多选题)复数z满足2-3i3+2i·z-3i=2,则下列说法正确的是( ) A.z的实部为3 B.z的虚部为2C.z=3+2iD.z=-3+2i6.计算:(1+i)÷[√3(cos3π4+isin3π4)]= .7.若复数z满足1+z1-z=i,则复数z2 023的值是.8.z为z的共轭复数,如果z=21+i,那么z-10= .9.计算:(1)(1+i1-i )6+√2+√3i√3-√2i;(2)(12+√32i)4.10.已知复数z=(1-i)2+3(1+i)2-i.(1)求z的共轭复数;(2)若az+b=1-i,求实数a,b 的值.午练15 复数的几何意义1.设i 为虚数单位,复数z=1+2i,则|z|=( ) A.√5B.5C.1D.22.复数z=i(1-i)在复平面内对应的点位于 (A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B 对应的复数分别是z 1,z 2,则|z 1-z 2|=( )A.√2B.2√2C.2D.84.在复平面中,下列向量对应的复数是纯虚数的是( ) A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2) B.OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0) C.OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,23) D.OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2)5.(多选题)设复数z 1,z 2满足z 1+z 2=0,则 (A.z 1=z 2B.|z 1|=|z 2|C.若z 1(2-i)=3+i,则z 1z 2=-2iD.若|z 1-(1+√3i)|=1,则1≤|z 2|≤36.已知复数z 1=2-i,z 2=1+2i(i 为虚数单位),z 3在复平面上对应的点分别为A,B,C,若四边形OABC 为平行四边形(O 为复平面的坐标原点),则复数z 3的模为( ) A.√10B.√5C.5D.107.当x ∈[-1,2]时,复数z=x+(x-2)i 的模的最小值是( ) A.2B.√2C.10D.√108.在复平面内,已知O 为坐标原点,点Z 1,Z 2分别对应复数z 1=4+3i,z 2=2a-3i(a ∈R),若OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则a= .9.已知复数z=(m 2-8m+15)+(m 2+3m-28)i(i 是虚数单位),当实数m 为何值时,(1)复数z 对应的点在第四象限; (2)复数z<0.10.在①z+z=4,②z为纯虚数,③z1=z且z1对应的点在第一象限内这三个1-i条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知复数z=(m2-3m+2)+(m-1)i(i为虚数单位),z为z的共轭复数,若,求实数m的值或取值范围.第13章立体几何初步午练16 基本立体图形1.若正方形的边长为2,则斜二测画法所得直观图的面积为( )A.2B.√2C.1D.√222.如图所示的组合体的结构特征是( )A.一个棱柱中截去一个棱柱B.一个棱柱中截去一个圆柱C.一个棱柱中截去一个棱锥D.一个棱柱中截去一个棱台3.下列图形所表示的几何体中,不是棱锥的为( )A B C D4.下列平面图形旋转能够得到左图的是( )A B C DA.由五个面围成的多面体只能是三棱柱B.由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体C.仅有一组对面平行的五面体是棱台D.有一面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥6.(多选题)下列说法正确的是( )A.圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成B.用任意一个与底面平行的平面截圆台,截面是圆面C.以半圆的直径所在直线为轴旋转半周形成的旋转体叫做球D.圆柱的任意两条母线平行,圆锥的任意两条母线相交,圆台的任意两条母线延长后相交7.在古代,斗笠作为挡雨遮阳的器具,用竹篾夹油纸或竹叶棕丝等编织而成,其形状可以看成一个圆锥体,在《诗经》有“何蓑何笠”的句子,说明它很早就为人所用.已知某款斗笠如图所示,它的母线长为2√2,侧面展开图是一个半圆,则该斗笠的底面半径为.第7题图第8题图8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AA1=4,AD=3,从点A出发沿着表面运动到点C1的最短路线长是.9.如图,在一个长方体的容器中,里面装有一些水,现将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中,判断下面的说法是否正确,并说明理由. (1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形;(2)水的形状不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱锥.10.用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥,所得的截面三角形称为圆锥的轴截面,也称为圆锥的子午三角形.如图,圆锥SO底面圆的半径是2√3,轴截面SAB的面积是4√3.(1)求圆锥SO的母线长;(2)过圆锥SO的两条母线SB,SC作一个截面,求截面SBC面积的最大值.午练17 平面的基本性质及空间直线的位置关系A.空间三点可以确定一个平面B.三角形一定是平面图形C.若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合D.四条边都相等的四边形是平面图形2.已知空间中两个角α,β,且角α与角β的两边分别平行,若α=30°,则β=()A.30°B.150°C.30°或150°D.60°或120°3.已知a,b,c是两两不同的三条直线,下列说法正确的是( )A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c4.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,则( )A.点M一定在直线AC上B.点M一定在直线BD上C.点M可能在直线AC上,也可能在直线BD上D.点M不在直线AC上,也不在直线BD上5.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C 交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是( )A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面6.(多选题)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列结论错误的是( )A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面7.如图,在三棱台ABC-A1B1C1的9条棱所在直线中,与直线A1B是异面直线的共有条.第7题图第8题图8.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN= .9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和C1D1的中点.(1)证明:E,F,D,B四点共面;(2)对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC与BD交于点M,求证:C1,O,M三点共线.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)求直线A1B与C1C的夹角大小;(2)作出异面直线AC与D1B所成的角;(3)作出异面直线A1C与D1D所成的角,并求出该角的正切值.午练18 线面平行的判定与性质1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的( )A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交2.若直线a与平面α不平行,则平面α内与a平行的直线有( )A.无数条B.0条C.1条D.以上均不对3.如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则( )A.GH∥SAB.GH∥SDC.GH∥SCD.以上均有可能4.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,H,G分别为BC,CD的中点,则( )A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.GH∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形5.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BB1,DD1,A1B1的中点,则下列说法中正确的是( )A.B1D∥平面A1FC1B.CE∥平面A1FC1C.GE∥平面A1FC1D.AE∥平面A1FC16.(多选题)已知a,b表示两条不重合的直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列说法,正确的是( )A.若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥βB.若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥βC.若a∥α,b∥β,且a∥b,则α∥βD.若a⊂α,a∥β,α∩β=b,则a∥b7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过A1,C1,B三点的平面与底面ABCD的交线为l,则直线l与A1C1的位置关系为.(填“平行”“相交”或“异面”)9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AC与BD交于点O,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=1BC,点E为PC上一点,F为PB2的中点,且AF∥平面BDE.(1)若平面PAD与平面PBC的交线为l,求证:l∥平面ABCD;(2)求证:AF∥DE.午练19 线面垂直的判定与性质1.设a,b是平面α内两条不同的直线,l是平面α外的一条直线,则“l ⊥a,l⊥b”是“l⊥α”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的位置关系是( )A.异面B.平行C.垂直D.不确定3.下列说法正确的是( )A.若a是平面α的斜线,直线b垂直于a在α内的射影,则a⊥bB.若a是平面α的斜线,平面β内的一条直线b垂直于a在α内的射影,则a⊥bC.若a是平面α的斜线,b⊂α,且b垂直于a在另一个平面内的射影,则a ⊥bD.若a是平面α的斜线,b⊂α,且b垂直于a在α内的射影,则a⊥b4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示),则下列结论正确的是( )A.BD1∥A1AB.BD1∥A1DC.BD1⊥A1CD.BD1⊥A1C15.(多选题)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法错误的是( )A.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nB.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α6.(多选题)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论正确的是( )A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角7.a,b,c是三条不同的直线,α是平面,若c⊥a,c⊥b,a⊂α,b⊂α,且(填上一个条件即可),则有c⊥α.。
第34练 班级 姓名
1、在等差数列{}n a 中，已知=-===
n S a d n n 则项数公差,2
15,23,21
2、已知直线122+=++=+a y ax a ay x 与直线平行，则实数=a
3、若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是 .
4、过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程为 。
5、将直线x y 3=绕原点按逆时针方向旋转 90，再向右平移1个单位，所得到的直线的方程为 。
6、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若060,2,3,ABC A b S ∆∠===
则c =___________.
7、求数列
,)
1(211,,3211,211+++++++n 前n 项和 .
8、已知y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则y x z 42+=的最小值为 . 9、等差数
列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知3010=a ，5020=a .
(1)求通项公式n a ; (2)若242=n S ，求n .[来源:学科网]
10、如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABC D是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是
AB、PC的中点，PA＝AD＝a．[来源:学,科,网]
(1)求证:MN∥平面PAD；
(2)求证:平面PMC⊥平面PCD．[来源:Z|xx|]。
第15练 班级 姓名
1、过点)4,3(-且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
2、已知数列{}n a 是等差数列，且,2,211-==d a 公差则这个数列的前n 项和n S 的最大值为
[来源:]
3、长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为
4、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为π84，则圆台较小的底面的半径为
5、在ABC Rt ∆中，5,4.3===AC BC AB ,将三角形绕直角边AB 旋转一周所形成的几何体的体积为
6、若三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为
7、已知一个正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是 。
8、圆锥的轴截面是正三角形，则它的底面积与侧面积之比为
9、球内有相距cm 1的两个平行截面，截面的面积分别为2
285cm cm ππ和，球心不在截面之间，求球的表面积和体积。
10、P 为圆06422=-++y x y x 上一个动点，
(1)定点||),1,1(PQ Q 求-的最值；
(2)定点的最值求||),2,2(PN N -； (3)到直线2=y 的距离最大的点P 的坐标；
(4)圆上到直线2=y 的距离为1的点有几个？。
同学们！期末考试已经结束，同学们迎来了高中时代第一个假期，这个寒假对高一学生来说至关重要，在适应了高中学习节奏之后，同学们应该在这个假期里，继续保持自己良好的有规律的学习习惯，总结适合自己的学习方法，及时对所学知识查缺补漏，以便自己能够轻松适应高一下学期繁重的学习生活。
下面，老师从几个方面对同学们提出几点要求：2、高一把重点放在教材上、课堂内。
当然，重点放在课本上，并不是将视野局限于课本，有能力的同学可以根据自己情况安排课外阅读，在课外阅读中巩固，贯通课本知识，培养能力。
3、制定有效计划，要求同学们明确学习奋斗的目标，了解自己的学习情况，明确地估计自己的学习能力。
第 1 页共 16 页1、详细，要让自己知道，每天你具体干些什么，知道一周或一月的安排等。
一份计划上只出现时间和科目是不够的，最起码还要有具体的内容安排，包括整理哪些知识点，看哪些笔记，读什么书籍等都应当有，这样才能真正地发挥计划的优势。
2、实际，就是一定要符合自己的实际情况，适当地高一些也可以，但绝不可过高或过低。
太低了，计划的内容松松垮垮，反而不如没有计划;但大多数人可能更容易把计划列得偏高，开始还能拼一拼坚持一下，但很快地就败下阵来。
如果总是列这种过高过紧的计划，常常完不成，那么时间一久也就会对所列计划失去信心了。
一份好的计划绝不在于它的起点有多高，而在于它是不是能帮你更好地完成学习任务，让你的能力得到最好的发挥。
尽量不要让你的时间浪费。
应该说明的是，不浪费时间并不是把所有时间都用来学习，也不是说打球、同学聚会等时间都是浪费。
如六、日的时间，如果你的学习黄金时间在上午，而你却在整个上午做一些无关紧要的杂事，而中午、下午才来做作业的话，这就不能不说是一种浪费了。
很多事不能不做，但要放在合适的时候做，黄金时间都应用来学习。
3、目前已经从外地返回的学生，一定要严格居家观察两周，有什么情况及时向老师反映。
4、所有学生，不管其是否在常州，根据省厅要求，从即日起均居家观察两周，非必要，不外出。
第22练 班级 姓名1、已知两圆20)3()1(102222=-+-=+y x y x 和相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是 。
2、过直线014204222=+-++=++y x y x y x 和圆的交点，且面积最小的圆的标准方程是 。
3、圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的体积为 。
4、一平行于棱锥底面的截面平分棱锥的某侧棱，则该截面把棱锥分成上、下两部分的体积之比为 。
5、有下列命题：○1若一条直线平行于一个平面，那么这条直线就与这个平面内的任意一条直线不相交；○2过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；○3若一条直线和一个平面平行，则在平面内的任意一条直线都和该直线平行；○4若一条直线和一个平面平行，则在平面内只有一条直线和这条直线平行。
○5若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ；其中为真命题的序号是6、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直EF 与GH 所成的角等于7、与直线05247=-+y x 平行，并且距离等于3的直线方程为 。
8、下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是____ ____． （1） （2） （3） （4）9、如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，22CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.10.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,① ②③ ⑤ ⑥ ④ ① ⑤ ⑥ ④ ③ ②A B C D 1A 1B 1C 1D④ ⑥ ① ⑤③ ② ④ ② ⑥ ③ ①⑤,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, P A ＝AD ＝AB ＝1.（1）证明: //EB PAD 平面;（2）直线BE 与AD 所成角的正弦值。
