乘法公式——平方差公式

平方差公式的基本概念与原理平方差公式是初中数学中非常重要的一个公式，用于快速计算两个数的平方差。

在实际问题中经常会用到平方差公式，因此了解其基本概念与原理对于学生来说至关重要。

本文将介绍平方差公式的基本概念与原理，帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识。

1. 平方差公式的定义平方差公式是用来计算两个数的平方差的一个数学公式，通常表示为：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$其中，a、b为任意实数。

这个公式的推导和证明可以通过“二次根式的乘法”来实现，具体推导过程可参考中学数学教材或相关学习资料。

2. 平方差公式的应用平方差公式在数学计算中具有广泛的应用，特别是在因式分解和简化表达式的过程中。

通过利用平方差公式，我们可以将一个二次根式分解成两个一次根式的乘积，从而更方便地进行计算和化简。

例如，如果要计算$(3+5)(3-5)$，通过平方差公式我们可以直接得到结果$3^2-5^2=9-25=-16$。

这种方法不仅简单高效，还可以避免繁琐的计算过程，提高计算的速度和准确性。

3. 平方差公式的原理平方差公式的原理其实比较简单，可以通过展开式来理解。

我们以$(a+b)(a-b)$为例进行展开：$$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$$通过上面的展开式，我们可以看到平方差公式实际上是一个特殊的乘法公式，利用了两个一次根式相乘的特殊性质。

这个公式的应用不仅仅局限于计算平方差，还可以在各种代数计算中发挥作用，是初中阶段数学学习中的基础知识之一。

4. 总结平方差公式是初中数学中一个重要且实用的公式，通过掌握其基本概念与原理，可以更好地应用于实际问题的解决中。

在学习数学的过程中，建议同学们多加练习和思考，加深对平方差公式的理解和掌握，为将来的数学学习打下坚实的基础。

通过以上对平方差公式的基本概念与原理的介绍，相信读者对这一数学知识有了更清晰的认识。

希望本文能够帮助大家更好地理解和运用平方差公式，在数学学习中取得更好的成绩。

乘法分式——平方差公式一、内容及内容解析《平方差公式》是人教版新教材八年级上册第十五章第二节的内容，本节内容只需一课时完成，主要内容是平方差公式的推导及使用。

平方差公式是学生在已经学习了多项式乘法的基础上，再次应用乘法公式对多项式乘法实行简便运算的知识。

平方差公式不但是对乘法公式的进一步补充，它还为后面因式分解学习奠定了基础。

所以本节课的教学重点是：平方差公式的推导及应用二、目标和目标解析：目标：1、经历探索平方差公式的全过程2、能使用公式实行简单的运算3、在探索平方公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的水平。

目标解析：（1）学生通过对几道特殊的多项式乘法的观察、计算、猜想、验证，归纳出平方差公式。

（2）通过图形让学生找出平方差公式与面积之间的内在联系，进而感受到数与形的统一。

（3）通过剖析平方差公式的结构和分类练习，让学生熟练掌握平方差公式。

三、教学问题诊断分析学生刚学过多项式乘法已有一定基础，但本节课是特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握，在乘法公式的灵活使用时常发生多种错误，常见的错误有：①学生难于跳出原有的定式思维；②符号错误；③混淆公式；④变式应用难以掌握。

所以，本节课的难点定为：理解平方差公式的结构特征，并能灵活使用平方差公式。

鉴于此，本节的教学难点是：揭示平方差公式的结构特征和公式的灵活使用。

四教学支持条件：利用多媒体展示教学的部分环节五、教学过程分析教学流程图：创设情境、导入新课自主探索、获取新知应用新知、形成技能变式训练、巩固提升总结归纳、上升理性即时反馈、查漏补缺教学情景：（一）创设情景，导入新课王力同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖10.2千克，售货员刚拿起计算器，王力就说出应付99.6元，结果与售货员计算出的结果吻合。

售货员很惊讶地说：“你怎么算得这么快？”王力同学说：“我仅仅用了在数学上刚学过的一个公式”。

平方差公式一、内容和内容解析【内容】八年级上册第15章第2节乘法公式---平方差公式【内容解析】整式乘法的平方差公式是把特殊形式的多项式相乘写成公式的形式，既为符合公式特征的整式乘法运算带来简便；又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；同时平方差公式将在九年级“一元二次方程”中有广泛地应用。

“平方差公式”又是初中阶段的第一个公式，无论是公式的探究过程，还是结构特征的剖析都是学习其它公式的基础。

所以“平方差公式”是一个重要公式。

基于上述分析，确定本节的教学重点是；理解并掌握平方差公式及其结构特征；会运用此公式进行计算。

二、目标和目标解析【目标】1、了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。

2、经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，积累数学活动的经验，感受利用归纳、转化、数形结合等数学思想与方法解决数学问题的策略。

3、在探索平方差公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的能力，同时在解决问题过程中学会与他人合作交流。

在公式的学习及运用中积累解题的经验、体会成功的喜悦，增强学生学数学、用数学的兴趣，【目标解析】1、了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。

让学生经历特例—归纳—猜想—验证—用数学符号表示，这一数学活动过程，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，让学生能清楚地知道公式中a 、b 各代表什么，并在运用中与平方差公式的结构特征联系起来分析解答题目。

2、在探索平方差公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的能力，体会数形结合、转化等思想。

让学生能够认识到从具体到抽象，从特殊到一般，找寻规律，自我归纳，建立解决同类问题的模型，并能了解公式的几何意义及运用转化的思想解决数学问题。

3、通过探索新知，应用新知这一过程，创设自主探究与合作交流的学习气氛。

体验知识的产生与发展，积累数学活动的经验，在公式的学习及运用中积累解题的经验、体会成功的喜悦，增强学生学数学、用数学的兴趣，三、教学问题诊断分析学生的认知基础：第一、七年级学生已有用字母表示数的基础。

初中数学公式：平方差公式表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式公式运用可用于某些分母含有根号的分式：1/（3-4倍根号2）化简：1×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2)^2；=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2）/-23[解方程]x^2-y^2=1991[思路分析]利用平方差公式求解[解题过程]x^2-y^2=1991(x+y)(x-y)=1991因为1991可以分成1×1991，11×181所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，y=-85有时应注意加减的过程。

常见错误平方差公式中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难以掌握。

三角平方差公式三角函数公式中，有一组公式被称为三角平方差公式：(sinA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(cosA)^2=sin(A+B)sin(A-B)(cosA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(sinA)^2=cos(A+B)sin(A-B)这组公式是化积公式的一种，由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。

注意事项1、公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。

2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。

3、公式中的a.b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。

例题一，利用公式计算(1)103×97解：(100+3)×(100-3)=（100）^2-（3）^2=100×100-3×3=10000-9=9991(2)(5+6x)(5-6x) 解：5^2-（6x)^2 =25-36x^2。

平方差公式特征
平方差公式特征如下：
1. 左边是两项式相乘，有一项是完全相同的。

2. 右边的结果是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。

3. 公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式。

4. 当除式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式。

这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了。

而它们的积等于乘式中这两个数的平方差。

以上信息仅供参考，如果您还有疑问，建议咨询专业人士。

乘法公式基础好嘞，以下是为您生成的关于“乘法公式基础”的文章：乘法公式，这可是数学学习中的“大明星”，从小学到高中，它都时不时地出来露个脸。

咱先来说说乘法公式中的平方差公式，（a+b）（a - b）= a² - b²。

这就好像是一个神奇的魔法咒语，只要你念对了，就能轻松解决好多数学问题。

记得我以前教过一个小朋友，他叫小明。

那时候，他对平方差公式那是一脸懵啊。

我就给他举了个例子，比如说咱要计算 203×197 ，这看起来挺难是不？但咱用平方差公式，把 203 看成（200 + 3），197 看成（200 - 3），那这式子就变成了（200 + 3）×（200 - 3），套用上平方差公式，那不就是 200² - 3²嘛，算起来一下子简单多了，结果就是39991 。

小明听完眼睛都亮了，直说这公式太神奇啦！再来说说完全平方公式，（a ± b）² = a² ± 2ab + b²。

这个公式在解决一些图形面积问题的时候，那可是大显身手。

就像有一次，我们在课堂上做一个关于正方形面积的练习题。

题目是一个边长为（x + 5）的正方形，求它的面积。

好多同学一开始都有点不知所措。

我就引导大家，把这个边长用完全平方公式展开，（x + 5）² = x² + 10x + 25 ，这不就轻松得出面积的表达式啦。

乘法公式在代数运算中，那真是用处多多。

比如说化简式子、因式分解等等。

就像在化简（2x + 3y）² - （2x - 3y）²时，先用完全平方公式把两个式子展开，然后通过合并同类项，就能很快得出结果 24xy 。

在实际生活中，乘法公式也有它的用武之地呢。

比如装修房子的时候，要计算房间地面的面积，如果地面是一个长方形，长为（a + b），宽为（a - b），那面积就是 a² - b²。

用乘法公式减少错误的 一个窍门：提高口算能 力，简化变形步骤。

一、 细说乘法公式 1、平方差公式应用的条件:两个多项式相乘，一个多项式可以看作两数的和，另一个多项式正好是这两数的差,或两多项式中，一项相同，另一项互为相反数结果写成：(相同项)2.(相反项)22、完全平方公式：结果可看作对这两数分别平方，再加上它们乘积的2倍。

即写成：(a-b) 2=a 2+b 2-2ab 试写出：(a ・b ・c) 2=3、完全平方公式相关变形及推广：(t) a 2 +b 2 =(白 + bV 一 2ab =(白 一 Z?)2 + lab ； (2)(a + /?)2 - (a -b)2= 4ah ;。

(一o + /?)2 =[—(Q -/?) - = (a _ I,)'；"[—(Q + D )} =(Q + /?)2；⑤(a.b+c.d) 2 =二、 下列能运用什么乘法公式：3、 (b-a) (-a-b)〈比较两项的关系： 〉. • •乘法公式4、(-a-b) (a+b)〈比较两项的关系：〉. • ♦5、(-a+b) (-a-b)〈比较两项的关系：〉. • •6、(a+b)(-a+b)〈比较两项的关系：〉(1)(2)(2 X — 3 y)((3)(—a+ — ) ( —a ——) 5(―a —5 )()=25—a 2平方差公式等号右边为：(相 同项)2-(相反项)2那含Y 的是相同项还是相反 项呢？含X 的呢？(4) (x-1) (x 2+l)() = X 4-1(5) (a+b+c)(a-b~c)= [ a + ()][a -()](7) 99x101x10001(8) 20092 -2008x20107、 (_a -b) (a-b)〈比较两项的关系： 〉. ♦ ♦ ^―8、 (-a+b) (a-b)〈比较两项的关系： 〉平方差公式组题【典型例题】 9、热身训练(-x+-y) (-y--x)=23” 3” 2相由项 相如项用乘法公式运算:10. 计算：(1) x 2- (%-2y)(x + 2力 + (%2-力()，+ %2)12.解方程:5x + 6(3x + 2)(- 2 + 3x) - 541-X —Y 1) -X + — =2 13.己知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数分别是多少?IO 。

平方差公式知识点归纳总结平方差公式是数学中常用的公式之一，用于计算两个数的平方之差。

在代数学和几何学中都有广泛的应用。

本文将对平方差公式的定义、原理、应用以及相关例题进行全面的总结和归纳。

一、平方差公式的定义和原理平方差公式是指对于任意实数a和b，有：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2这个公式也可以写成：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)平方差公式的原理是基于多项式的乘法公式进行推导，通过展开和合并同类项的方法，可以得到上述等式。

二、平方差公式的应用1. 因式分解平方差公式在因式分解中经常被使用。

对于二次三项式或含有平方项的多项式，可以利用平方差公式将其分解为两个因式的乘积。

例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以将其分解为(x + 2)(x - 2)。

2. 数列求和平方差公式在数列求和中也有应用。

考虑一个等差数列：a, a + d, a + 2d, ..., a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数。

当我们计算这个数列的平方和时，可以利用平方差公式简化计算。

例如，要求等差数列1, 3, 5, 7的平方和，可以利用平方差公式将其化简为：(1^2 + 7^2) + (3^2 + 5^2) = 503. 平方差法求根平方差公式还可以在求解方程中使用。

特别是在二次方程的解法中，通过巧妙地运用平方差公式，可以简化求解的过程。

例如，对于二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以利用平方差公式将其化简为：(x - 2)(x - 3) = 0从而得到方程的两个根x = 2和x = 3。

三、平方差公式的例题1. 例题一：计算(7 + 3)(7 - 3)的值。

解：根据平方差公式，我们有：(7 + 3)(7 - 3) = 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 402. 例题二：分解多项式x^2 - 9y^2。

解：利用平方差公式，我们可以得到：x^2 - 9y^2 = (x + 3y)(x - 3y)通过展开乘法，可以验证这个分解是正确的。

平方差公式（提高）【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】 要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】类型一、公式法——平方差公式【高清课堂400108 因式分解之公式法 例1】1、分解因式：（1）2()4x y +-； （2）2216()25()a b a b --+； （3）22(2)(21)x x +--．【思路点拨】（1）把x y +看做整体，变形为22()2x y +-后分解．（2）216()a b -可写成2[4()]a b -，225()a b +可写成2[5()]a b +，4()a b -和5()a b +分别相当于公式里的a 和b ．（3）把(2)x +、(21)x -看作一个整体进行分解． 【答案与解析】解：（1）222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-． （2）222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+ (9)(9)a b a b =+-- (9)(9)a b a b =-++．（3）22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-．【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）()()22259a b a b +--； （2）()22234x y x --（3）33x y xy -+； （4）32436x xy -；【答案】解：（1）原式()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()8228444a b a b a b a b =++=++（2）原式＝()()232232x y x x y x -+-- ＝()343y x y --（3）原式()()()22xy x y xy x y x y =--=-+- （4）原式()()()2249433x x y x x y x y =-=+-2、分解因式： （1）2128x -+； （2）33a b ab -； （3）516x x -； （4）2(1)(1)a b a -+- 【答案与解析】 解：（1）221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-． （2）3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-．（3）5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-．（4）222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-． 【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止． 举一反三： 【变式】分解因式 （1）()()2222aa b a a b --+ （2）481a - （3）()()42a b b a ---【答案】解：（1）原式＝()()222a a b a b ⎡⎤--+⎣⎦()()()223224a a b a b a b a b a a b a b=-++---=⋅⋅-=-（2）原式()()()()()22299933a a a a a =+-=++-（3）原式()()()()()()()42222111a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤=---=---=--+--⎣⎦类型二、平方差公式的应用3、2222211111111......1123420112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案与解析】 解：2222211111111......1123420112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13242010201220112013 (22332011201120122012120132201220134024)=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=【总结升华】本题考查了因式分解的应用，先利用平方差公式，再两两约分即可求解，解题的关键是应用平方差公式简便计算．4、 根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25； 16×24；17×23；18×22；19×21；20×20； （1）试将以上各乘积分别写成一个22-口（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）请将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来.【思路点拨】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可． 【答案与解析】解：（1）11×2922209=-；12×2822208=-； 13×2722207=-； 14×2622206=-； 15×2522205=-； 16×2422204=-； 17×2322203=-； 18×2222202=-； 19×2122201=-； 20×2022200=-； 例如11×29()()22=-=+-口口口，令11,29-=+=口口，解得9=口=20,∴11×2922209=-（2）这10个乘积按照从小到大的顺序排列依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21 ＜20×20.【总结升华】本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的探究发现的能力． 【巩固练习】 一.选择题1．(2)(2)x y x y --+是下列哪一个多项式的分解结果（ ）A ．224x y - B ．224x y + C ．224x y -- D ．224x y -+ 2. 把()()223232m n m n +--分解因式,结果是( ).A.0B.162n C.362m D.24mn3. 下列因式分解正确的是( ).A.()()2292323a b a b a b -+=+-B.()()5422228199a ab a a b ab -=+-C.()()2112121222a a a -=+- D.()()22436223x y x y x y x y ---=-+- 4. 下列各式，其中因式分解正确的是（ ） ①22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；②()()2933x x x -=-+ ③()()()()2212121m n m n m n +--+=+- ④()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 若4821-能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ） A ．61，63 B ．61，65 C ．63，65 D ．63，676. 乘积22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭应等于（ ） A ．512 B ．12 C ．1120 D ．23二.填空题 7. 11_________m m aa +--=；()2211x x x --+= .8. 若)2|4|50m -+=，将22mx ny -分解因式为__________.9. 分解因式：2121()()=m m p q q p +--+-_________.10. 若()()()216422n x x x x -=++-，则n 是_________.11.分解因式：()()2244x x x +++-=_____________. 12. 已知2275x =，2544y =，()()22x y x y +--的值为___________. 三.解答题13. 用简便方法计算下列各式：（1） 21999－1998×2000 （2）2253566465⨯-⨯ （3） 222222221009998979695......21-+-+-++-14. 已知：222,2,,m n n m m n =+=+≠求332m mn n -+.15.设22131a =-，22253a =-，……，()()222121n a n n =+--（n 为大于0的自然数）（1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出1a ，2a ，……，n a 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数.【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D ；【解析】()()()22224422x y x y x y x y -+=--=-+-. 2. 【答案】D ；【解析】()()()()22323232323232m n m n m n m n m n m n +--=++-+-+ 6424m n mn =⋅=. 3. 【答案】C ；【解析】()()22933a b b a b a -+=+-；()()()()()542222228199933a ab a a b ab a a b a b a b -=+-=++-；()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--. 4. 【答案】C ；【解析】①②③正确. ()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++-- ()()53232a b c a b c =+++-. 5. 【答案】C ；【解析】()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212121216563=+++-=++⨯⨯6. 【答案】C ； 【解析】22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111 (11112233991010314253108119) (2233449910101111121020)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=二.填空题7. 【答案】()()111m a a a -+-；()()211x x -+【解析】()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+.8. 【答案】()()2525x y x y +-；【解析】4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-. 9. 【答案】21()(1)(1)m p q p q p q ---+--；【解析】原式＝()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦. 10.【答案】4； 【解析】()()()()()22244224416x x x x x x++-=+-=-.11.【答案】()()221x x ++；【解析】()()()()()()22442422x x x x x x x +++-=++++- ()()()()242222x x x x x =+++-=++=()()221x x ++. 12. 【答案】23； 【解析】()()()()224x y x y x y x y x y x y xy +--=++-+-+=将2275x =，2544y =代入得：222524475443xy =⨯⨯=. 三.解答题 13.【解析】解：（1）21999－1998×2000 ＝()()222199919991199911999199911--+=-+=（2）()2222535664656535465⨯-⨯=-()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯= （3）222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (21)5050=+-++-+++-=++++++=14.【解析】解：∵222,2,m n n m =+=+∴22m n n m -=-即 ()()()m n m n m n +-=-- 1m n +=-332222m mn n m m mn n n -+=⋅-+⋅()()()2222m n mn n m m n =+-++=+∵1m n +=-， ∴原式＝－2. 15.【解析】解：（1）()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n =+--=++-+-+= 又n 为非零的自然数， ∴n a 是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数. （2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n 为一个完全平方数的2倍时，n a 为完全平方数.。